逻辑函数的标准形式及公式化简法共33页文档
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逻辑函数的公式化简
一、化简的意义
逻辑函数的公式化简
1.逻辑函数表达式的不同形式 2.逻辑函数化简的意义 用较少的门电路实现相同的逻辑功能，不仅可以降低成本，而且还可提高电路工作的可 靠性。
二、公式化简的方法
1.并项法 2.吸收法 3.消去法 4.配项法
谢谢！
每一个逻辑函数式都对应 着一个具体电路。在具体实现 电路时，往往根据现有的元器 件（集成门电路）选择相应的 逻辑表达式。
一、化简的意义
2.逻辑函数化简的意义
在数字电路中，是由逻辑门电路来实现一定的逻辑功能，逻辑函数的化简就意味着实现该 功能的电路简化，能用较少的门电路实现相同的逻辑功能，不仅可以降低成本，而且还可提高 电路工作的可靠性。
逻辑函数的公式化简
逻辑函数化简的意义是什么？ 逻辑函数公式化简的方法有哪些？
一、化简的意义
1.逻辑函数表达式的不同形式
异或门
Y AB AB A B
Y AB AB
与或表达式
AB AB AB AB (A B)(A B) AB AB AB AB
与或非-非表达式 与非-与非表达式 或与非表达式 与或非表达式 或非-或非表达式
AB
二、公式化简的方法
2.吸收法 利用公式A+AB＝A ，吸收多余项AB。
【例2】化简逻辑函数 Y AC ABCD 【解】 Y AC ABCD
AC（1 BD） AC
二、公式化简的方法
3.消去法
利用公式 A AB A B，消去 AB 项中的多余因子 A。 【例3】化简逻辑函数 Y AB AC BC 【解】Y AB AC BC
AB（A B）C AB（AB）C AB C
二、公式化简的方法
4.配项法
利用公式 A A 1 ，给适 【解】Y AB BC BC AB
卡诺图化简
2017/4/18
7
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺 点。 卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一 种方法。 卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论 一下最小项及最小项表达式。
的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那
一组变量取值组合当成二进制数，与其等值的十进
制数，就是该最小项的编号。
表1-14 三变量最小项的编号表
2017/4/18
12
（3）最小项表达式
任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是唯一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1-7 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： Y AB BC AB (C C ) ( A A) BC
反演律 可见，实现该函数需要用两个非门、四个两输入 端与非门、一个五输入端与非门。电路较复杂。
×1
2017/4/18
×2
×4
2
若将该函数化简并作变换：
Y A AB ABC BC BC
Y A(1 B BC ) C ( B B) AC AC
可见，实现该函数需要用两个非门和一个两输入 端与非门即可。电路很简单。
1
1
ACD=101 最后将剩 下的填20 0
2017/4/18
Y1 AB AB (C C )( D D) AB C D AB C D ABC D ABCD m (12,13,14,15)
第三讲 逻辑函数的公式化简法
(二) 逻辑函数的代数化简法
（1）并项法
运用公式 A A 1，将两项合并为一项，消去一个变量。如
L A(BC BC) A(BC BC) ABC ABC ABC ABC AB(C C) AB(C C)
AB AB A(B B) A
A BC CB BD DB ADE(F G)
（利用 A AB A B ）
A BC CB BD DB
（利用A+AB=A） （配项法）
A BC(D D) CB BD DB(C C)
A BCD BC D CB BD DBC DBC
A BC D CB BD DBC
（利用A+AB=A）
A C D(B B) CB BD
A C D CB BD
（利用 A A 1 ）
例3
化简逻辑函数： L AB BC BC AB
解法1：
解法2：
由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。代数化 简法的优点是不受变量数目的限制。 缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式 和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技 巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。
知识点导入
这一讲，我们将学习如何使用代数法来 化简逻辑函数，从而使逻辑电路达到最简 洁合理。 首先，我们要熟悉和掌握逻辑代数的基 本公式和基本定律；在此基础上，大家要 灵活运用这些公式和定律对逻辑函数进行 化简。
一、逻辑代数中的基本公式和定律 (一) 基本公式 1．逻辑变量和常量的关系
2．与普通代数相似的定律 1) 交换律
二、逻辑函数的化简与变换（代数法） (一)化简与变换的意义 对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最 简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最 简洁的逻辑电路。 1．逻辑函数的五种表达式 除了与或表达式外还有或与表达式、与 非—与非表达式、或非—或非表达式、与或 非表达式等。
逻辑函数及其简化
消去法
运用吸收律 A AB A B 消去多余因子。
L A AB BE A B BE ABE
L AB AC BC
AB A B C
AB ABC
AB C
AB AB C C ABC ABC
AB AC AB AC BC
将某一乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项 进行合并化简。
AB
A
C 00 01 11 10
00 0 1 0
C1 0 1 1 1
B
从逻辑表达式到卡诺图
（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图,方法如下：
逻辑函数包含的最小项，其对应的方格填1。 逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填0。
用卡诺图表示3变量逻辑函数： F ABC ABC ABC ABC
所以：F F * * AC B D B F
不受变量数目的限制。
没有固定的步骤可循； 需要熟练运用各种公式和定理； 复杂的逻辑函数化简时需要技巧和经验； 有时很难判定化简结果是否最简。
1. 逻辑函数化简的意义和目标； 2. 逻辑函数的化简方法； 3. 公式法化简的方法和步骤。
逻辑函数的 卡诺图法化简
从真值表到卡诺图
已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。
解 该函数有3个变量，先 画出3变量卡诺图，然 后根据真值表将8个最 小项的取值0或者1填入 卡诺图中对应的8个方 格中即可。
真值表
ABC L
000 0 001 0 010 0 011 1 100 0 101 1 110 1 111 1
A AC BD BEF （利用 A AB A ） A C BD BEF （利用 A AB A B ）
化简函数
F A A B A C B D A C E F B F D E F
第三章逻辑函数及其化简
AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
三变量最小项的编号表
2、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是唯一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例13 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： Y AB BC AB (C C ) ( A A) BC
或：
Y AB AB A
代入规则
2、吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。 例6 化简函数 解：
Y A B A B CD( E F )
Y A B A B CD( E F ) AB
例7 化简函数
Y ABD C D ABC D( E F EF )
第四节
逻辑函数的卡诺图化简法
用代数法化简逻辑函数，需要依赖经验和技巧，有 些复杂函数还不容易求得最简形式。下面介绍的卡 诺图化简法，是一种更加系统并有统一规则可循的 逻辑函数化简法。 一、最小项及最小项表达式 1、最小项 设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项： ①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是 它的一个因子； ②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、 B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
归纳简化任意逻辑函数的方法：
(1) A AB A （吸收法） AB AC BC AB AC (2) A AB A B （消去法） （3）AB AB A （并项法） （4）A A A A A 1 （配项法）
逻辑函数公式法化简
逻辑函数公式法化简逻辑函数是分析和设计数字电路的数学依据和基础，用化简后的表达式构成逻辑电路可节省器件，降低成本，提高工作的可靠性，因此将逻辑函数化简为最简式是至关重要的。
逻辑函数的化简一般有两种方法：卡诺图化简法、公式化简法。
本文主要阐述公式化简法的注意事项，其目的在于帮助学生理清解题步骤，减轻学生学习负担。
标签：逻辑函数，公式法，化简1 引言逻辑函数又称布尔代数，是分析和设计数字电路的数学依据和基础，它最初的表达式一般重复性较多，使构成的电路复杂化.用化简后的表达式构成逻辑电路可节省器件，降低成本，提高工作的可靠性，因此将逻辑函数化简为最简式是至关重要的。
而公式化简法是学生学习数字电路中的一个难点，大部分学生在看到题目之后，不知从何处开始下手，不知道用何种方法，即没有解题思路。
2 最简式的判断依据一个与或表达式的最简标准是：1、乘积项个数最少，2、每个乘积项中变量因子最少。
这个标准是一个模糊概念，一个逻辑函数的最简结果应是几个乘积项，乘积项中应是几个变量，显然是不能定论的，鉴别的方法是用基本公式再无法化简时，可认为该逻辑表达式是最简函数。
这就要求逻辑设计者具有一定的逻辑函数化简经验并掌握技巧才行乘积项个数最少。
因此本人通过教学和参考相关教学资料，总结出最简式的判断依据为：1、函数表达式中只存在“与” 、“与-或”逻辑运算（单个自变量可看作它本身与1）；2、与运算乘积项中自变量的个数最少；3、每个自变量在式子中重复出现的机会最少：一般情况下每个自变量以相同的形式出现一次。
以上依据只是定性表达，“最少”的含义只有在具体实例中才能领会，下面就公式法举例说明。
比如：化简函数化简得到：我们来判断此式，勉强符合依据1和2，但A和B以原变量的形式分别出现了两次，不符合依据3中的“最少”条件，因此不是最简式.继续化简如下：3 公式法化简技巧（1）尽量减少记忆的公式由于公式繁多，不易记住，学生即使记住公式，也不知道如何应用公式化简，因此在教学中要尽量减少学生记忆公式，对于能简单计算出的公式，要求学生通过计算或简单化简得到。
数字电子技术逻辑函数的公式化简法
使最大项为0 对应的十进制 编号
的变量取值
数
ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
0
M0
1
M1
2
M2
3
M3
4
M4
5
M5
6
M6
7
M7
最大项的性质
• 在输入变量任意取值下，有且仅有一个最大项的 取值为0
• 任意两个最大项之和为1 • 全体最大项之积为0 • 只有一个变量不同的2个最大项的乘积等于各相同
[例 2] 写出下列函数的标准与或式：
[解]
标准与或表达式是唯一的，一个函数只有 一个最小项之和的表达式。
相同最小项合 并
函数的标准与或式也可以由其真值表直接写出：
例如，已知 Y = A + BC 的真值表
ABC 0 00 0 0 01 0 0 10 0 0 11 1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11 1
(1) 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；
(2)对任应意规两律个：最1小项原的变乘量积为 00 ； 反变量
(3)A0全B0体C1最小项之和为
1
。
AB
10
C
1
(4) 相邻2个最小项之和可以合并为一项并消去一对因子
3. 最小项是组成逻辑函数的基本单元
任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可 以表示成为最小项之和的形式。
2.3 逻辑函数的公式化简法
逻辑函数的2种标准形式
• 最小项之和 • 最大项之积
逻辑函数的最小项之和表示法
1 逻辑函数的标准与或式和最简式 一、标准与或表达式 [例 1]
最简式
逻辑函数化简方法
YF(A ,B) ( 2 变量共有 4 个最小项)
A B AB A B AB YF( A ,B ),C( 3 变量共有 8 个最小项) ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
Y F(A ,B ,C),D( 4 变量共有 16 个最小项) ABCD ABCD ABCD … … ABCD ABCD
( n 变量共有 2n 个最小项)
2. 最小项的性质：
ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 01
二、吸收法： AA B A
[例 1. 2. 10] YA B A D B E A BA D B E AB
[例 1. 2. 11] YA BA CD B CD AB(AB)CD ABABCD AB AB
[例] YA A B(C A B C D )BC (A B) C (A B)(C A B C D )
BCACAB
或 BCA CACBC AB
冗余项
ABACBC [例 1. 2. 15] Y A B A B C C A B A C BC
ABAC BC 或 A B A C B C A B A C BC
ABACBC
综合练习：
Y A A C B B C E E D B C D E C A E E E (A A C B B C D C A ) B C D E(C B D A )B C D
A B AB A B AB YF( A ,B ),C( 3 变量共有 8 个最小项) ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
Y F(A ,B ,C),D( 4 变量共有 16 个最小项) ABCD ABCD ABCD … … ABCD ABCD
( n 变量共有 2n 个最小项)
2. 最小项的性质：
ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 01
二、吸收法： AA B A
[例 1. 2. 10] YA B A D B E A BA D B E AB
[例 1. 2. 11] YA BA CD B CD AB(AB)CD ABABCD AB AB
[例] YA A B(C A B C D )BC (A B) C (A B)(C A B C D )
BCACAB
或 BCA CACBC AB
冗余项
ABACBC [例 1. 2. 15] Y A B A B C C A B A C BC
ABAC BC 或 A B A C B C A B A C BC
ABACBC
综合练习：
Y A A C B B C E E D B C D E C A E E E (A A C B B C D C A ) B C D E(C B D A )B C D
电工电子技术-逻辑函数的化简
（2）吸收法
运用公式 A AB A 消去多余的项，其中，A、B可以是
任意一个复杂的逻辑式。例如：
Y1 AB AC DEB AB
Y2 AB ABC ABD AB D E AB AB C D D E AB
（3）消去法
运用公式 A AB A B 消去多余的因子。例如：
例如：逻辑函数Y的卡诺图。 Y ABCD ABCD ABCD ABCD
ABCD ABCD ABCD ABCD
（3）用卡诺图化简逻辑函数式 使用卡诺图化简逻辑函数所依据的原理是：具有相邻性 的最小项可以合并消去不同的因子。 ①2个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去1个取值不同的变量而合并为1项，如下图所示。
00 01 11 10 00
01 11 10
②4个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去2个取值不同的变量而合并为l项，如下图所示。
00 01 11 10 00
01 11 10
③8个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消 去3个取值不同的变量而合并为l项，如下图所示。
00 01 11 10 00
②化简具有无关项的逻辑函数 在卡诺图中用×表示无关项。使用卡诺图化简逻辑函数 式时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩 大卡诺圈，使逻辑函数式更简。
（2）卡诺图
卡诺图就是将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，
并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列起 来所得的图形。下图所示为2到4变量最小项的卡诺图。
若要画出某一逻辑函数的卡诺图，只需将该逻辑函数式 化为最小项之和的标准形式后，在卡诺图中这些最小项对应 的位置上填入1，在其余的位置上填入0即可。
1．公式化简法
逻辑函数的公式化简法
公式法化简的一般规律（经验总结）： 1. 提公因式； 2. 使用最频繁的是反演律、互补律、吸收律和冗 余律。
脉冲与数字电路
3. 对偶法则
第一章 数字电路基础
对任意一个逻辑函数表达式，若将0→1，1→0，＋→∙，∙→ ＋，并保持原来的运算顺序，则新的逻辑式与原来的逻辑式互为 对偶式。
A(B+C)=AB+AC
A+BC=(A+B)(A+C)
A(A+B)=A
A+AB=A
对偶法则：如果两个函数相等，则它们的对偶式也相等。
结合律
A( BC ) ( AB )C
A ( B C ) ( A B) C
A BC ( A B)( A C )
A B AB
分配律
A( B C ) AB AC
AB A B
反演律
A( A B ) A
吸收律
A( A B) AB
F1 AB ABCDE F F2 AB C ABD AD
脉冲与数字电路
3.消元法
利用公式
第一章 数字电路基础
A AB A B ，消去多余的因子 A 。
F1 AB AC BC
F2 A AB BE
脉冲与数字电路
4. 配项法
将任一项乘以 A 与其它项合并化简。
L A C D C B BD
脉冲与数字电路
§1.4 逻辑函数的公式化简法
脉冲与数字电路
第一章 数字电路基础
一、逻辑函数表达式的几种形式
F AB AC
A B A C
AB AC A B A C