高中数学选修2-2精品学案：2.1.1 合情推理

2.1.1 合情推理学习目标：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．教材新知：知识点一：归纳推理提出问题如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n的长度构成数列{a n}，问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值．问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{a n}的通项公式a n吗？问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？问题4：以上两个推理有什么共同特点？导入新知1．归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．化解疑难归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.知识点二：类比推理和合情推理 提出问题问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边．那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的12.那么，在四面体中，如何表示四面体的体积？问题3：以上两个推理有什么共同特点？问题4：以上两个推理是归纳推理吗？导入新知1．类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．2．类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理． 3．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理．化解疑难对类比推理的定义的理解(1)类比推理是两类对象特征之间的推理．(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的，如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同．(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现． 例题讲解：题型一：数、式中的归纳推理例1：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．类题通法归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)． 活学活用：(1)观察分析下表中的数据：． (2)将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…按照以上排列的规律，则第n (n ≥3)行从左向右数第3个数为________． 题型二：图形中的归纳推理例2：(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是________．类题通法解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手： (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．活学活用：如图，第n 个图形由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2,3，…)，则第n 个图形中的顶点个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n题型三：类比推理例3：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 类题通法类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论． 该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 活学活用：如图，在△ABC 中，a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，写出对空间四面体性质的猜想．题型四：从平面到空间的类比例4：三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：1．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行2．根据给出的等式猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．1 111 110B．1 111 111C．1 111 112D．1 111 1133．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．5．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则AGGD＝2.”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则AOOM＝k(k为定值)”，求k的值．——★参考答案★——教材新知：知识点一：归纳推理问题1：答：由图知a 1＝OA 1＝1， a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2， a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝22＋12＝3， a 4＝OA 4＝OA 23＋A 3A 24＝32＋12＝4＝2.问题2：答：能猜想出a n ＝n (n ∈N *)． 问题3：答：所有三角形的内角和都是180°. 问题4：答：都是由个别事实推出一般结论． 知识点二：类比推理和合情推理 提出问题问题1：答：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． 问题2：答：四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题3：答：根据三角形的特征，推出四面体的特征．问题4：答：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理 例题讲解：题型一：数、式中的归纳推理例1：解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，所以S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，所以S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，所以S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N *.活学活用：[解析](1)观察表中数据，并计算F ＋V 分别为11,12,14，又其对应E 分别为9,10,12，容易观察并猜想F ＋V －E ＝2.(2)前(n －1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n2个，因此第n 行从左向右数第3个数是全体正整数中第⎝⎛⎭⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. [答案](1)F ＋V －E ＝2 (2)n 2－n ＋62题型二：图形中的归纳推理例2：[解析](1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. [答案](1)B (2)28活学活用：[解析]第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点. [答案]B题型三：类比推理例3：[解析]由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q 1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q 1＋2＋…＋11＝b 121q 66， T 16＝b 161q 1＋2＋…＋15＝b 161q120， ∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38， T 16T 12＝b 41q 54， 即⎝⎛⎭⎫T 8T 42＝T 12T 8·T 4，⎝⎛⎭⎫T 12T 82＝T 8T 4·T 16T 12， 故T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[答案]T 8T 4 T 12T 8活学活用：解：如图所示，在四面体P ­ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.题型四：从平面到空间的类比例4：解：三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面， 即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：1．[解析]利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比． [答案]D2．[解析]由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111. [答案]B3．[解析]V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.[答案]1∶84．[解析]观察等式，发现等式左边各指数幂的指数均为3，底数之和等于右边指数幂的底数，右边指数幂的指数为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.[答案]13＋23＋33＋43＋53＋63＝2125．解：如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝32×23＝33，AM ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， R ＝⎝⎛⎭⎫63－R 2＋⎝⎛⎭⎫332，解得R ＝64.于是，k ＝AOOM ＝6463－64＝3.。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1合情推理学习目标：1.了解合情推理的含义．(易混点)2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．归纳推理与类比推理[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理[基础自测]1．思考辨析(1)利用合情推理得出的结论都是正确的．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)由个别到一般的推理为归纳推理．()[答案](1) ×(2)×(3)√2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对B[推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]3．等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是________．[解析]类比等差数列，可以类比出结论b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)．[答案]b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)4．如图2-1-1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n ＝________(n>1，n∈N*).图2-1-1[解析]依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n－3(n>1，n∈N*)．[答案]153n－3[合作探究·攻重难](1)12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为________． (2)已知：f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． ①求a 2，a 3，a 4的值； ②猜想a n 的表达式． [解析] (1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x 1－x. 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x1－4×x 1－4x ＝x 1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x1－8×x 1－8x＝x 1－16x， 根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x(3)①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32， 又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34， 又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34， 解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322， a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．[规律方法]进行数、式中的归纳推理的一般规律1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式. [跟踪训练]1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________.[解析] 因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33猜测x ＝64＋1＝65. [答案] 65 2．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5；…… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. [解析] 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．[答案] 43n (n ＋1)图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.图2-1-2(2)根据图2-1-3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．①②③④图2-1-3[解析](1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.[答案](1)5n＋1(2)509[规律方法]归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：[跟踪训练]3．如图2-1-4，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：图2-1-4通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根.[解析]数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．[答案]163n＋1[探究问题]三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点：1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的积的13.(1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1n＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出对△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系，并给予必要证明．[思路探究] (1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . [解析] (1)由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以n ，即商类比成开n 次方，即在正项等比数列{b n }中，有n b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .[答案]nb 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n(2)△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ， ∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ， 又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE . ∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD . 母题探究：1.(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边”．类比上述定理，写出对空间四面体(如图2-1-5所示)性质的猜想．图2-1-5[解] 如图所示，在四面体P －ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．(变条件)把本例(2)条件换为“在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立”．那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．[解] 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.下面证明上述猜想成立．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于点F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．[规律方法]类比推理的一般步骤[当堂达标·固双基]1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可知扇形面积公式为()A．r22B．l22C．lr2D．无法确定C[扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝lr 2.]2．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()图2-1-611 A.B.△C.D.○A [观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果. ]3．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．[解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7.[答案] b 4＋b 8>b 5＋b 74．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________.[解析] 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.[答案] 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)25．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1. 于是把结论类比到四面体P - A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。

合情推理与演绎推理1推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理•推理一般分为合情推理与演绎推理两类•2•合情推理3•演绎推理(1) 定义：从一般性的原理岀发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理:(2) 特点：演绎推理是由一般到特殊的推理:(3) 模式：三段论•“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：1例1设f(x)= 屛书，先分别求f(0) + f(1), f(—1) + f(2), f(-2)+ f(3)，然后归纳猜想一般性结论, 并给出证明•思维启迪解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明•1 * 1 1+ .3 3+ ；3同理可得：f( — 1) + f(2)=f,f(— 2) + f(3) = £，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于 归纳猜想得：当X 1 + X 2= 1时，均为f(X 1)+ f(X 2) =3* 3 4.1.证明：设X 1+ X 2= 1 ,T f(X 1)+ f(X 2) = 1 1------------ + --------------- X 1. X23+ 3 3+ '3X 1X 23 + ,3 + 3+ 3X1X23+ 3 + 2 . 3X 1X 23+ ,'3 3+ '3X13X 2为 X 23 3 + 3 + 3X 1X 23+ 3 + 2 3X 1X 23+ 3 + 2 3；3 3X1 + 3X2f(0)+ f(1)=_1_ 31 + ■：..n n + 2*⑵f(2n )> 厂(n >2, n € N)解析 (1)由于 1 = 12,2+ 3 + 4= 9= 323+ 4 + 5 + 6+ 7 = 25= 524+ 5+ 6 + 7+ 8+ 9 + 10= 49= 72,所 以第五个等式为 5+ 6 + 7 + 8+ 9+ 10+ 11+ 12+ 13= 92= 81. ⑵由题意得 f(22)>|, f(23)>|, f(24)>|, f(25)>2, n + 2所以当n 》2时，有f(2n )> — n + 2故填 f(2n )> —(n >2, n € N *).题型二类比推理差数列{a n }的上述结论，对于等比数列 {b n }( b n >0, n € N *),若b m = c , b n = d(n — m 》2, m , n € N *), 则可以得到b m + n =.思维启迪 等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比， 等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运解析 设数列｛ a n ｝的公差为d ,数列｛b n ｝的公比为q.nb — ma因为 a n = a 1 + (n — 1)d , b n = b 1q n — 1, a m + n =n — mn —所以类比得b m + n =思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2) 类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数 的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等(3) 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找例2已知数列｛a n ｝为等差数列，若 a m = a , a n = b(n — m 》1, m ,* nb — ma _n * N)，则am + n=二—7 .类比等两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等跟氐训练2 (1)给出下列三个类比结论：①(ab)n= a n b n与(a+ b)n类比，则有(a+ b)n= a n+ b n；②log a(xy)= log a x+ log a y 与sin( a+ ® 类比，则有sin( a+ 3 = sin a sin 3；③(a+ b)2= a2+ 2ab+ b2与(a+ b)2类比，则有(a + b)2= a2+ 2a b+ b2.其中结论正确的个数是()A. OB.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r = 叮"(其中a, b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a, b, c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R= _________ .a2+ b2+ c2答案(1)B ⑵亠解析⑴①②错误，③正确•(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径题型三演绎推理例 3 已知函数f(x) = - aX^a a(a>0，且1).(1) 证明：函数y= f(x)的图象关于点g, - 1)对称；(2) 求f( —2)+ f( —1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3)的值.思维启迪证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y= f(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上•小前提是f(x) = —^a(a>0且1)的图象关于点&, —2)对称.(1) 证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x, y),1 1 它关于点(2，—刁对称的点的坐标为(1 —x,—1 —y).由已知得y=—-—，则一1 —y=— 1 + -4 = ——a x+诵a x W a a x+V af(1 —)__ v a =_ v a =_ v a a x=_ a xa1-x+诵-0- +百a+T^a X a x^/a，a v••• — 1 —y= f(1 —x),即函数y= f(x)的图象关于点(1，—》对称.(2) 解由(1)知一1 —f(x)= f(1 —x)，即f(x) + f(1 —x) = —1.••• f(—2)+ f(3) = - 1 , f( —1) + f(2) = - 1 , f(0) + f(1) = - 1.则f(- 2) + f(- 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = - 3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提•跟腺训练3已知函数y= f(x),满足：对任意a, b€ R, a工b，都有af(a) + bf(b)>af(b)+ bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数.证明设X1, X2€ R，取X1<X2,则由题意得X1f(X1)+ X2f(X2)>X1f(X2) + X2f(X1),•- X1[f(X1) - f(X2)] + X2[f(X2)- f(X1)]>0 ,[f(X2) —f(X1)](X2 —X1)>0 ,T X1<X2, •. f(X2) —f(X1)>0 , f(X2)>f(X1 ).所以y= f(x)为R上的单调增函数.高考中的合情推理问题典例：(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…，第n个n n +1 1 1三角形数为一2 =尹2+ 2n，记第n个k边形数为N(n, k)(k> 3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：1 1三角形数N( n,3) = ?n2+尹,正方形数N( n,4) = n2,3 1五边形数N(n ,5) = ?n2-刃,六边形数N(n,6) = 2n2- n可以推测N(n, k)的表达式，由此计算N(10,24) = ____________ .思维启迪从已知的部分k边形数观察一般规律写出N(n, k)，然后求N(10,24).k—2 4—k 解析由N(n,4)= n2, N(n,6) = 2n2-n,可以推测：当k为偶数时，N(n, k)=一^n2+一^n,24 —2 4 —24• N(10,24) = X 100 + X 10=1 100- 100= 1 000.答案 1 0002 2(2)(5分)若P o(x o, y o)在椭圆拿+ b2= 1(a>b>0)外，过P o作椭圆的两条切线的切点为P i, P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是X0X+翠=1,那么对于双曲线则有如下命题：若P o(x o, y o)在双曲线£—b2= 1(a>0, b>0)外，过P o作双曲线的两条切线，切点为P i, P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是思维启迪直接类比可得• 解析设P1(x1, y1), P2(x2, y2),则P1 , P2的切线方程分别是X1X y1y X2X y2y尹—b2 = 1,歹—b2 = 1.因为P o(x o, y o)在这两条切线上,故有警-章=1,a bX2x o y2y o苜—b2 = 1, 这说明P1(X1, y1), P2(X2, y2)在直线X"2X—yoy= 1 上,a b故切点弦P1P2所在的直线方程是X^—yb y= 1.答案xo x—y°y= 1a b⑶(5分)在计算“ 1X 2+ 2X 3+-+ n(n+1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项:1k(k+ 1) = 3【k(k+ 1)(k+ 2)—(k —1)k(k+ 1)],由此得11 x 2= 3(1 x2 x 3—o x 1 x 2),12 x 3= 3(2 x3 x 4—1 x 2x 3),1n(n + 1)=破n(n + 1)(n + 2) —(n —1)n(n+ 1)].1相加，得 1 x 2+ 2x 3 + …+ n(n + 1) = §n(n+ 1) (n + 2).类比上述方法，请你计算“ 1 x 2x 3+ 2 x 3x 4+-+ n(n+ 1) (n + 2)”，其结果为_______________ .思维启迪根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证1解析类比已知条件得k(k+ 1)(k + 2) = yk(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) —(k—1)k(k+ 1)(k+ 2)],1 由此得1 x 2x 3= 4(1 x 2x 3x 4 —o x 1 x 2x 3),n(n + 1)(n + 2) = f[n(n + 1)(n + 2)(n + 3)- (n - 1)n(n + 1)(n + 2)]. 以上几个式子相加得： 1X 2X 3 + 2 X 3X 4+ - + n(n + 1)(n + 2)1=4"(n + 1)(n + 2)(n + 3). 答案 *n(n + 1)(n + 2)( n + 3)1•判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确 ( X ) (2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理 ( V ) (3) 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(X )(4) “所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理,但其结论是错误的• ( V )2. 数列2,5,11,20,x,47,…中的x 等于 ()A.28B.32C.33D.27答案 B解析 5- 2= 3,11-5 = 6,20- 11 = 9, 推出 x - 20= 12,所以 x = 32. 3.观察下列各式：55=3 125,56= 15 625,57 = 78 125,…，则52 011的后四位数字为 ( )解析 55= 3 125,56= 15 625,57= 78 125,58= 390 625,59= 1 953 125，可得 59与 55 的后四位数字相同，…，由此可归纳出5叫4k 与5m (k € N *, m = 5,6,7,8)的后四位数字相同，又 2 011 = 4X 501 + 7,所以52 011与57后四位数字相同为 8125,故选D. 4.观察下列等式2 X 3X 4= 4(2X 3X 4X 5- 1 X 2X 3X 4), 3X 4X 5= X 4X 5X 6- 2X 3X 4X 5),A.3 125 答案 DB.5 625C.0 625D.8 1251 ⑸一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n = n(n € N +).( X ) 数)，则可以推测a = 35, b = 6. (V )12= 112-22=- 312— 22+ 32= 612— 22+ 32 — 42 = — 10照此规律，第n 个等式可为 _________ .答案 12— 22 + 32— 42+…+ (— 1)n +1n 2= (— 1)n +1 n n j 1解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第 n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(一1)n + 1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21,….设此数列为｛a n ｝，贝U a 2 — a 1= 2, a 3 — a 2= 3, a 4 — a 3= 4, a 5 — a 4= 5,…，a n — a nn n + 1—1= n ,各式相加得 a n — a 1 = 2+ 3 + 4 +…+ n ,即a n = 1 + 2 + 3+…+ n =2•所以第n 个等式5. 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,贝yS 4, S 8 — S 4, S 12—S 8, S 16 — S 12成等差数列.类比以上结论有设解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列｛b n ｝的前n 项积为T n ,贝U T 4 = a 1a 2a 3a 4, T 8 = a£2…a 8, T 12= a 1a 2…a 12,T 16= a£2 …a 16,因此T 4, Ti T 2,筈成等比数列基础巩固A 组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题12 — 22 + 32 — 42+ …+ (— 1)n +1 n 2= (— 1)n +1n n + 12等比数列｛b n ｝的前n 项积为T n ,则T 4, ,芸成等比数列.答案 T 8 T 4 T 12 T? 因此 T 8T 4 =a 5a 6a 7a 8T 12 T 8 =a 9a 1o ana 12,T^兀=a 13a 14a 15a 16,而T 4 ,T 8 T 12 T 16T 4‘ T 8 , T 12的公比为q 16,1.观察下列各式：a+ b= 1, a2+ b2= 3, a3+ b3= 4, a4+ b4= 7, a5+ b5= 11,…，贝V a10+ b10等于解析观察规律，归纳推理•从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面 两个式子右端值的和，照此规律，则a 10+b 10= 123.2•定义一种运算“ * ” ：对于自然数n 满足以下运算性质： (1)1*1=1 , (2) (n +1) *1= n*1+1，贝U n*1 等于 ( )A.nB.n +1C. n — 1D.n 2答案 A解析 由(n + 1)*1 = n*1 + 1,得 n*1 = (n — 1)*1 + 1 = (n — 2)*1 + 2=…=1*1+ (n — 1). 又•/ 1*1=1 ,••• n*1 = n 3. 下列推理是归纳推理的是( )A. A , B 为定点，动点 P 满足|PA|+ |PB|= 2a>|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B. 由a 1= 1, a n = 3n — 1，求出S, S 2, S 3,猜想出数列的前 n 项和S n 的表达式C. 由圆x 2 + y 2= r 2的面积n 2,猜想出椭圆 冬+占=1的面积S = jaba b D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B解析 从S 1, S 2, S 3猜想出数列的前n 项和S n ,是从特殊到一般的推理，所以 B 是归纳推理，故 应选B.4. 已知△ ABC 中，/ A = 30° / B = 60° 求证：a<b. 证明：•••/ A = 30° / B = 60° , A< / B.• a<b ，其中，画线部分是演绎推理的 ( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论答案 B解析由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提A.28B.76 答案 CC.123D.199数列｛C n ｝是等比数列，且｛d n ｝也是等比数列，则 d n 的表达式应为()5.若数列｛a n ｝是等差数列, 则数列{b n }( b n = a 1+ a 2+…+n也)也为等差数列.类比这一性质可知,若正项A.d n =C 1+ C 2+・・・+CB. d n =C 1 C 2 …C n二 f2(X )= f(x x + 2)=x + 2x + 2x 3x + 4n — 1 d d2 d = ^n + a 1 — 2，即｛b n ｝为等差数列;若｛C n ｝是等比数列，则C i C 2…C n = c i q 1 + 2+ + (n -°=岀二d n =守C 1 C 2…C n = C 1 q~^~，即｛d n ｝为等比数列，故选 D. 二、填空题6.仔细观察下面O 和•的排列规律：o• oo • ooo • oooo • OOOOO •OOOOOO •……若依此规律继续下去，得到一系列的o 和•，那么在前120个o 和•中，•的个数是 ________ . 答案 14解析 进行分组O ・|OO ・ |OOO ・ |OOOO ・ |OOOOO ・ |OOOOOO ・|……,n n + 3则前n 组两种圈的总数是 f(n)= 2 + 3+ 4+ •+ (n + 1) = 2—，易知 f(14) = 119, f(15) = 135,故 n = 14.7.若函数 f(x)= ------- (x>0)，且 f 1(x) = f(x)= ---- ，当 n € N *且 n > 2 时,f n (x)= f[f n - 1(x)]，则 f 3(x) = ____x ~H 2 x ~H 2 猜想f n (x)(n € N *)的表达式为 _________ . XX7x + 82n — 1 x + 2nxT f 1(x)=, f n (x)= f[f n — 1(x)]( n > 2),x + 2C.d n = n n nnc i + C 2 +…+ c nD.d n =址1 C 2 …C n答案解析 若｛a n ｝是等差数列，则a i + a 2+••• + a n = na i +n n — 1 2 d ,--b n = a i +答案解析在三棱锥A — BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A — CD — B 且与AB 相交于点E ,则类比 得到的结论是 _________解析 易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等, 故 V E -BCD = BE = 0BCD 故 V E —ACD = EA = & ACD . 三、解答题9•已知等差数列｛a n ｝的公差d = 2，首项a i = 5. (1) 求数列｛a n ｝的前n 项和S n ；(2) 设 T n = n(2a n — 5)，求 S 1, S 2, S 3, S 4, S; T 1, T 2, T a , T 4, T 5，并归纳出 3 与 T n 的大小规律故 f n (x)=2n— 1 x + 28•在平面几何中，△ ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE ACEB = BC 把这个结论类比到空间:答案 BE = S ^ BCDEA S ^ ACD解(1)由于 a 1 = 5, d = 2,(2) T T n = n(2a n — 5) = n[2(2 n + 3) — 5] = 4n 2+ n. --T 1 = 5, T 2= 4 x 2?+ 2 = 18, T 3= 4x 32+ 3 = 39, T 4= 4X 42+ 4 = 68, T 5= 4X 52+ 5= 105. S 1= 5, S 2= 2 x (2 + 4) = 12, S 3= 3X (3 + 4)= 21, S 4= 4 x (4 + 4) = 32 , S 5= 5X (5 + 4) = 45. 由此可知S 1= T 1,当n > 2时，3<T n .归纳猜想：当n = 1时，S n = T n ；当n 》2, n € N 时，S n <T n .11110.在Rt △ ABC 中，AB 丄AC , AD 丄BC 于D ，求证：2= 2+ 2,那么在四面体 ABCD 中，类AD AB AC 比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由 解如图所示，由射影定理 AD 2= BD DC , AB 2= BD BC , AC 2= BC DC ,Si = 5n +n n — 12~x 2= n(n + 4).丄- 1AD 2=BD DCBC 2 _______ BC 2BD BC DC BC = AB 2 AC 2.B 组专项能力提升 （时间：30分钟）1•给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：① “若 a , b € R ，贝U a — b = 0? a = b ” 类比推出“若 a , b € C ,贝U a — b = 0? a = b ”； ② “若 a , b , c , d € R ，则复数 a + bi = c + di? a = c , b = d ” 类比推出“若 a , b , c , d € Q ,贝U a + b 眨=c + d '2? a = c , b = d ”；③ 若“ a , b € R ，贝U a — b>0? a>b ”类比推出“若 a , b € C ,贝U a — b>0? a>b ” .其中类比结论正 确的个数是 （ ）A.0B.1C.2D.3答案 C解析 ①②正确，③错误•因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小2•设 是R 的一个运算，A 是R 的非空子集 若对于任意a , b € A ,有a b € A ,则称A 对运算 封 闭下列数集对加法、减法、乘法和除法 （除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）又 BC 2= AB 2 + AC 2,1AB 2 + AC 2A^= AB 2 AC 21 1 A^+A^.猜想，四面体 ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE 丄平面BCD ,1111则走=届+ A^+时证明：如图，连接 BE 并延长交CD 于F ，连接AF. •/ AB 丄 AC ，AB 丄 AD , ••• AB 丄平面ACD. ••• AB 丄 AF.在 Rt A ABF 中，AE 丄 BF , • 1 _ 1 丄 1 …AE 2= AB2+AF 2.1 1 1在Rt A ACD 中，AF 丄CD , •洁=応+荷, 1 _ 1 1A E 2= A?+ A?*1 A D ^-C.有理数集D.无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法 运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭 3•平面内有n 条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为答案n 2 + n + 22解析 1条直线将平面分成1 + 1个区域；2条直线最多可将平面分成 1 + (1 + 2) = 4个区域；3条直线最多可将平面分成1 + (1 + 2+ 3) = 7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1+ (1 + 2+ 3n n + 1 n 2+ n + 2+ …+ n) = 1 + 一2一 = 一2 ------ 个区域•n + 2 * 4•数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ,已知a 1= 1, a n +1= J$(n € N ).证明： (1) 数列｛半｝是等比数列； (2) S n + 1 = 4a n .、n + 2证明 ⑴-a n + 1 = S n + 1 — S n , a n + 1 = ~n~S n , ••• (n + 2)S n = n(S n +1 — S n ), 即 nS n +1= 2(n + 1)S n .故 =2总，(小前提)n +1 n故為是以2为公比，1为首项的等比数列• (结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了 )S n + 1 S n — 1 ⑵由(1)可知 =4厂 (n > 2),n + 1 n — 1S n — 1 n — 1 + 2••• S n +1 = 4(n + 1) • = 4 - S n — 1 = 4a n (n 》2).(小前提)n — 1 n — 1 又■/a 2= 3S 1= 3, S 2= a 1 + a 2= 1 + 3 = 4= 4a 1, •••对于任意正整数n ,都有S n +1 = 4a n . (除数不等于零)四则(小前提) (结论)第13页第22页的导数，若方程f " (x)= 0有实数解x o ,则称点(x o , f(x o ))为函数y = f(x)的"拐点”.某同学经过探 究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对 称中心.若f(x) = 3y 3 4 — 2x 5 + 3x — 12，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)= 3x 3 — *x 2+ 3x —12的对称中心;1 2 3 4 2 012⑵计算 fq 013)+ f(2 013) + f(2 013) + f(2 013)+^+ f(2 013).解 (1)f ' (x) = x 2 — x + 3, f " (x)= 2x — 1,1 由 f " (x) = 0,即 2x —1= 0,解得 x = ^.3 2 010 _f(2 013)+ f(2 013) = 2,4 2 3 4 2 012所以 f(2 013) + f(2 2 0131111£)= 3 x (夕3 -孑 1 2(2)2+3第23页11 5 1 由题中给出的结论，可知函数 f(x) = §x 3 — qx 2+ 3x —12的对称中心为(㊁,1).11 51 ⑵由(1)，知函数f(x) = §x 3— ^x2 + 3x —12的对称中心为(-,1),1 1所以 f(，+ x) + f (2 — x) = 2, 即 f(x) + f(1 — x)= 2. ,,1 2 012故 f(2 013)+ f(2 013)= 2, 2 2 011 _f(2 013)+ f(2 013) = 2,为 X 2 + 2X 3 .'3 3 + 3 + 2 .'3思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围•(2) 归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的(3) 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用跟麻训练(1)观察下列等式1= 12+ 3+ 4= 93 + 4+ 5+ 6 + 7= 254 + 5+ 6+ 7+ 8 + 9+ 10 = 49.2 012上 f(2 013)+ f( 1 2 013) = 2.-X 2 X 2 012= 2 012.2照此规律，第五个等式应为___________________________ .11 1 5 7⑵已知f(n)= 1 + 2+ 3+…+N*)，经计算得f(4)>2 ,f(8)>2，f(16)>3 , f(32)>?,则有答案(1)5 + 6+ 7+ 8 + 9 + 10+ 11+ 12+ 13= 81第24页。

2.1.1合情推理(二)【学习目标】1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2.能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.【新知自学】知识回顾：1.归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理.2.归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.新知梳理：问题1：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；问题2：地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.2.类比推理就是由两类对象具有和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理.3. 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 对点练习：）. A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c≠0）”D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n na ab +=+n （b ）:22n a +++也是等差数列4．三角形的面积为()2S a b c r =++⋅，,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类 比推理，得到四面体的体积为_____ _________.【合作探究】典例精析：.变式练习：.例2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式练习：规律总结：1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.【课堂小结】【当堂达标】1.若数列{a n }是等差数列，对于)(121n n a a a nb +++= ，则数列{}n b 也是等差数列. 类比上述性质，若数列{}n c 是各项都为正数的等比数列，对于0>n d ，则n d = 时，数列{}n d 也是等比数列.2. 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？3.如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=∙.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？【课时作业】1.线段AB 两端点的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则线段AB 的中点坐标为1212(,)22x x y y G ++,类比得：三角形ABC 三顶点坐标为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心G 的坐标为 .2.在等差数列{}n a 中，若100a =，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈且成立。

2.1.1合情推理(一)【学习目标】1.了解归纳推理的定义，能利用归纳进行简单的推理，并作出猜想；2.了解归纳推理在数学发现中的作用；3.培养学生的想像能力和逻辑思维能力.【新知自学】知识回顾：（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.（3）已知一数列的前5项为2，4，6，8，10，你知道数列的第6项及第n项吗？在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理,推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.新知梳理：问题1：二百多年前，德国数学家哥德巴赫在研究自然数时偶然发现：6＝3＋3， 8＝3＋5， 10＝3＋7，12＝5＋7， 14＝7＋7, 16＝5＋11，…，1002=139+863，……于是他大胆地提出了一个猜想.继续上述过程你能提出一个猜想吗？问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，由此你能得出什么结论?问题3：三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒.由此我们猜想：凸边形的内角和是 .问题4：一个口袋里装有许多球，每次从中取出一个球，先后取20次均为白球，由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？应用归纳推理可以发现一般结论，其不足之处是什么？定义：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.对点练习：1.观察下面的“三角阵”：1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1… …1 10 45 … … 45 10 1试找出相邻两行数之间的关系.2.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能3.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）. A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数4.从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ .【合作探究】典例精析：例1. 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24， 1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式练习：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， ……你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3.)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式练习：在数列{n a }中，11()2n n na a a =+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.规律总结：1.归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.2.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.【课堂小结】【当堂达标】1.已知：223sin 30cos 60sin 30cos604++=; 223sin 20cos 50sin 20cos504++=; 223sin 15cos 45sin15cos 454++=观察上述三等式的规律，请你猜想出一般性的结论：_____________________________________.2．对于任意正整数n ，猜想12-n 与2)1(+n 的大小关系.:4.在数列{n a }中，11a =，122nn na a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.【课时作业】1.已知数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-，)(n *∈N 则5432,,,a a a a 的值分别是 ， 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 ．2.根据下列图案中的圆圈的排列规则，猜想第（5）个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的；第n 个图形有多少个圆圈3.(f n 357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>4.设()0(*),(2)4f n n N f >∈=，并且对于任意121212,*,()()()n n N f n n f n f n ∈+=成立。

2.1.1 合情推理学习目标 实例――→了解归纳推理、类比推理的定义――→体会、认识合情推理在数学发现中的作用――→掌握归纳推理、类比推理的实质 重点难点重点：理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理．难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想．新知初探1．归纳推理由某类事物的__________具有的某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由______事实概括出___________的推理，称为__________ (简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．想一想1.归纳推理所归纳的结论对已考定过的对象一定成立吗？对未被考定的对象一定成立吗？2．类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称_____)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 做一做下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形3．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行_______、_______,然后提出_____的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“_____________”的推理．想一想2.合情推理在数学上有什么作用？题型探究题型一代数中的归纳推理例1 (1)应用归纳推理推测的值．(2)已知数列{a n}满足a n＋1＝12－a n，a1＝0，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，归纳、猜想{a n}的通项公式．名师点评归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．跟踪训练1．观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________.题型二几何中的归纳推理例2 在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？名师点评在几何中，随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决该类问题的关键．跟踪训练2．设平面内有n条直线(n≥3)．其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n≥3时，f(n)＝________(用n 表示)．题型三类比推理及其应用例3 如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形分为面积相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题．名师点评(1)本例是一道由平面图形类比到空间图形的问题，它的求解主要利用了平面与空间的以下类比：三角形与四面体，三角形内切圆与四面体内切球，面积与体积，周长与表面积等．(2)在推导空间中的结论时，可利用类似平面结论的推导方法，如等体积法类比等面积法，平面类比直线，空间的四面体类比三角形，球类比圆等．跟踪训练3．在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC、△SAC、△SAB面积分别为S1、S2、S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．方法感悟1．归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知功能．在数列问题中，常用归纳推理猜测、求解数列的通项公式．2．类比推理的关键是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，为了提高所得结论的准确性，常采用下列技巧.名师解题等差数列、等比数列的性质类比问题例4 在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b10＝1，则有等式______成立．跟踪训练4．若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝a＋b2,则两边均含有运算符号“*”和“＋”,且对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是_______．——★参考答案★——新知初探1．部分对象全部对象个别一般结论归纳推理想一想1. 提示：一定成立；不一定成立．2．类比做一做[答案]C[解析]因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.3．归纳 类比 猜想 合乎情理想一想2.提示：(1)猜想和发现结论；(2)提供证明的思路和方向．题型探究题型一 代数中的归纳推理例1 解：(1)对式子中的n 分别取1,2,3进行观察：当n ＝1时，11－2＝3，当n ＝2时， 1 111－22＝33，当n ＝3时，111 111－222＝333，当n ＝4时，11 111 111－2 222＝3 333…由此猜想：＝.(2)由a n ＋1＝12－a n 和a 1＝0，得a 2＝12－0＝12， a 3＝12－12＝23，a 4＝12－23＝34，a 5＝12－34＝45. 归纳上述结果，得到猜测：a n ＝n －1n(n ＝1,2，…)． 跟踪训练1．[答案](n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)[解析]从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n－1)．题型二 几何中的归纳推理例2 解：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n －1边形多n －2条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)． 跟踪训练2．[答案]5 n 2－n －22[解析]如图，可得f (4)＝5；∵f (3)＝2，f (4)＝5＝f (3)＋3，f (5)＝9＝f (4)＋4，f (6)＝14＝f (5)＋5，…，f (n )＝f (n －1)＋n －1，对f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3，f (5)＝f (4)＋4，f (6)＝f (5)＋5，…f (n )＝f (n －1)＋(n －1)．两端分别相加，得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝n 2－n －22. 题型三 类比推理及其应用例3 解：如图，截面AEF 经过四面体ABCD 的内切球(与四个面都相切的球)的球心O ，且与BC ，DC 分别交于E ，F ，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积相等．跟踪训练3．解：在△DEF中，由正弦定理得dsin D＝esin E＝fsin F.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体中，我们猜想S1sin α1＝S2sin α2＝S3sin α3成立．例4 [答案]b1b2…b n＝b1b2…b19－n(n＜19，n∈N*)[解析]等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q)；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m，n，p，q∈N*，m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q)．由此，猜测本题的[答案]为b1b2…b n＝b1b2…b19－n(n＜19，n∈N*)．跟踪训练4．[答案]a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)注：填(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c也对．[解析]由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且[答案]不唯一，解决这道试题要把握住a*b＝a＋b2，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．正确的结论还有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．。

．合情推理与演绎推理．合情推理．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点)．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．(重点)．了解类比推理的定义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理推理与合情推理阅读教材，完成下列问题．．推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个，这种思维方式叫做推理．．推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做；一部分是由已知推出的判断，叫做．．推理的分类推理一般分为推理与推理．．合情推理前提为真时，结论为真的推理，叫做合情推理．【答案】.判断.前提结论.合情演绎．可能如图--所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有(>，∈＋)个点，每个图形总的点数记为，则＝，＝(>，∈＋)．图--【解析】依据图形特点，可知第个图形中三角形各边上各有个点，因此＝×)．－＝.由＝的图形特点归纳得＝－(>，∈＋【答案】－教材整理归纳推理与类比推理阅读教材～，完成下列问题．．归纳推理()定义根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做(简称)．()归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．【答案】.()归纳推理归纳．类比推理()定义：根据之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做(简称)．它属于合情推理．()类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性；②。

合情推理与演绎推理2．1.1合情推理预习课本P70～ 77，思虑并达成以下问题(1)概括推理的含义是什么？有如何的特色？(2)类比推理的含义是什么？有如何的特色？(3)合情推理的含义是什么？[新知初探 ]1．概括推理和类比推理[点睛 ](1) 概括推理与类比推理的共同点：都是从详细事实出发，推测猜想新的结论．(2)概括推理的前提和结论之间的联系不是必定的，结论不必定正确；而类比推理的结果拥有猜想性，不必定靠谱，所以不必定正确．2．合情推理[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从整体中抽取样本，而后用样本预计整体，这类预计属于概括推理． ()(2)类比推理获得的结论能够作为定理应用．()(3) 由个到一般的推理推理．()答案： (1) √ (2) × (3) √2．由“若 a＞ b， a＋ c＞ b＋ c”获得“若 a＞ b， ac＞ bc”采纳的是 ()A．推理B．演推理C．比推理D．数学明答案：C3．数列 5,9,17,33， x，⋯中的 x 等于 ________．答案： 65推理在数、式中的用[典例 ] (1) 察以下各式：a＋ b＝ 1， a2＋ b2＝ 3， a3＋ b3＝ 4， a4＋ b4＝ 7， a5＋ b5＝ 11，⋯， a10＋ b10＝ () A． 28B． 76C． 123D． 199(2)已知 f(x)＝x， f1(x)＝ f( x)， f n(x)＝ f n－1 (f n－1(x))(n＞ 1，且 n∈ N* )， f 3(x)的表1－x达式 ________，猜想 f n(x)(n∈ N* )的表达式 ________．[分析 ] (1) 利用法： a＋ b＝ 1，a2＋ b2＝ 3，a3＋ b3＝ 3＋ 1＝ 4，a4＋ b4＝ 4＋ 3＝ 7，a5＋b5＝ 7＋ 4＝ 11， a6＋ b6＝ 11＋ 7＝ 18， a7＋ b7＝ 18＋ 11＝ 29， a8＋ b8＝ 29＋ 18＝ 47， a9＋ b9＝ 47＋ 29＝ 76， a10＋ b10＝76＋ 47＝ 123，律从第三开始，其果前两果的和．(2) ∵ f(x)＝x，∴ f1( x)＝x.1－ x1－ x又∵ f n(x)＝ f n－1(f n－1(x))，x∴ f2 (x)＝ f1(f1(x)) ＝1－ x＝x，x1－ 2x1－1－ xxf3(x)＝ f2(f2(x)) ＝1－ 2x＝x，x－1－2×14x1－ 2xxf4(x)＝ f3(f3(x)) ＝1－ 4x＝x，x－1－4×18x1－ 4xxf 5(x)＝ f 4(f 4(x)) ＝1－ 8x＝ x，x1－ 16x1－8×1－ 8xx∴ 依据前几 能够猜想f n ( x)＝n － 1 .1－2x[答案 ] (1)C(2)f 3(x)＝x f n (x)＝x1－ 4x n －1x1－ 21．已知等式或不等式 行 推理的方法(1) 要特 注意所 几个等式 (或不等式 )中 数和次数等方面的 化 律； (2) 要特 注意所 几个等式 (或不等式 )中 构形式的特色； (3) 提 出等式 (或不等式 )的 合特色；(4) 运用 推理得出一般 ．2． 数列中的 推理在数列 中，经常用到 推理猜 数列的通 公式或前n 和．(1) 通 已知条件求出数列的前几 或前n 和；(2) 依据数列中的前几 或前 n 和与 序号之 的关系求解；(3) 运用 推理写出数列的通 公式或前n 和公式．[活学活用 ]1． 察以下等式：sinπ － 2 2π －2 43＋ sin3 ＝ ××；31 2sinπ － 2＋ sin2π－2＋ sin3π－2＋ sin4π－2＝4×2×3；5 55 53sinπ － 2 2π －2＋ sin 3π－ 2＋ ⋯＋ sin 6π－ 2 47 ＋ sin7 7 7 ＝ ×3×4；3 sinπ － 2 2π －2 ＋ sin 3π－ 2＋ ⋯＋ sin 8π－ 2 49＋ sin9 9 9＝ ××；3 4 5⋯⋯照此 律，sinπ－2＋ sin2π － 2＋ sin 3π －2＋ ⋯ ＋ sin 2n π－2＝ ________.2n ＋ 12n ＋ 12n ＋ 1 2n ＋ 1分析： 通 察已 出等式的特色，可知等式右 的4是个固定数， 4后边第一个数是33等式左 最后一个数括号内角度 分子中π的系数的一半，4后边第二个数是第一个数的下3一个自然数，所以，所求 果443×n ×(n ＋1)，即 3n(n ＋ 1)．4答案： 3n( n ＋ 1)2．已知数列 {a n }的前 n 和 S n ，a 1＝ 3， 足 S n ＝ 6－ 2a n ＋ 1(n ∈ N * )．(1) 求 a 2，a 3， a 4 的 ．(2) 猜想 a n 的表达式．解： (1)因 a 1＝ 3，且 S n ＝ 6－2a n ＋1 (n ∈ N * )，3所以 S 1＝ 6－ 2a 2＝ a 1＝ 3，解得 a 2＝ 2，又 S 2＝ 6－ 2a 3 ＝a 1＋ a 2＝ 3＋ 3，解得 a 3＝ 3，2 43 3又 S 3＝ 6－ 2a 4 ＝a 1＋ a 2＋ a 3＝ 3＋ 2＋ 4，3解得 a 4＝ 8.(2) 由 (1)知 a 133 33 3， ＝ 3＝ 0， a 2＝ ＝ 1， a 3＝ ＝ 22 2 2 4 23 33 *a 4＝ ＝3＝ n － 1(n ∈ N ).82 ， ⋯ ，猜想 a n2推理在几何中的 用[典例 ] 有两栽花色的正六 形地面 ，按下 的 律拼成若干个 案， 第六个 案中有菱形 的正六 形的个数是( )A ． 26B ．31C ． 32D ． 36[分析 ] 有菱形 的正六 形个数以下表：案1 2 3 ⋯个数61116⋯由表能够看出有菱形 的正六 形的个数挨次 成一个以差数列，所以第六个 案中有菱形 的正六 形的个数是[] B6 首 ，以 5 公差的等6＋ 5×(6－ 1)＝ 31.故 B.利用 推理解决几何 的两个策略(1) 通 公式法：数清所 形中研究 象的个数，列成数列， 察所得数列的前几 ，商讨其变化规律，概括猜想通项公式．(2)递推公式法：研究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数当作数列，列出递推公式，再求通项公式．[活学活用 ]1．用火柴棒摆“金鱼”，以下图：依据上边的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A． 6n－ 2B． 8n－2C． 6n＋ 2D． 8n＋ 2分析：选 C概括“金鱼”图形的构成规律知，后边“金鱼”都比它前方的“金鱼”多了去掉尾巴后 6 根火柴构成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是 6 的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n＝ 6n＋ 2.2． (陕西高考)察看剖析下表中的数据：多面体面数 (F)三棱柱5极点数6(V )棱数9(E )五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中 F ， V， E 所知足的等式是________．分析：三棱柱中 5＋ 6－ 9＝ 2；五棱锥中 6＋ 6－ 10＝ 2；立方体中 6＋ 8－ 12＝ 2，由此概括可得 F＋V－E＝2.答案： F＋V－E＝2类比推理的应用[典例 ] 以下图，在△ ABC 中，射影定理可表示为 a=b·cos C+c·cos B，此中 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四周体性质的猜想．[解 ] 以下图，在四周体 P- ABC 中， S1，S2， S3， S 分别表示△ PAB，△ PBC，△ PCA ，△ ABC 的面积，α，β ，γ 挨次表示平面 PAB，平面PBC ，平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．我猜想射影定理比推理到三空，其表形式S=S1· cos α +S2· cos β+S3· cos γ .1．比推理的步(1)找出两象之能够切实表述的相像性(或一致性 )．(2)用一象的性去推另一象的性，进而得出一个猜想．(3)个猜想．2．平面形与空形比方下平面形空形点面球三角形四周体角二面角面周表面面体⋯⋯[活学活用 ]11．在△ ABC 中， D BC 的中点，AD ＝2( AB +AC)，将命比到四周体中去，获得一个命：______________________________________.分析：平面中段的中点比到空四周体中面的重心，点与中点的比点和重心的．答案：在四周体 A-BCD 中， G 是△ BCD 的重心，AG―→＝13( AB + AC + AD )2．在 Rt △ ABC 中，若∠ C＝ 90°， cos2A＋ cos2B＝ 1，在空中，出四周体性的猜想．解：如，在Rt △ABC 中，22b 2 a 2＝a2＋ b2＋c2＝ 1.cosA＋ cos B＝c c于是把结论类比到四周体P-A′B′C′中，我们猜想，三棱锥 P-A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，222PB′C′， PC′A′两两相互垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cosα＋ cos β＋ cos γ＝1.层级一学业水平达标1．察看图形规律，在其右下角的空格内画上适合的图形为()A. C.B．△D．○分析：选A察看可发现规律：① 每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，② 每行、每列有两暗影一空白，即得结果．2．下边几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，概括出全部三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的全部椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是 540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n－ 2) ·180°(n∈N *，且n≥3)．A．①②B．①③④C．①②④D．②④分析：选 C① 是类比推理；②④ 是概括推理，∴①②④ 都是合情推理．3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶ 2，则它们的面积比为1∶ 4，近似地，在空间内，若两个正四周体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积比为() A． 1∶2B．1∶ 4C． 1∶8D． 1∶ 16分析：选 C由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比建立方关系，故若两个正四周体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积之比为 1∶ 8.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的性质，可推出以下空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一平面的两个平面相互平行，则其中正确的结论是()A．①②B．②③C．③④D．①④分析：选B依据立体几何中线面之间的地点关系及有关定理知，②③ 是正确的结论．5．察看以下各等式：2 ＋ 6＝2，5＋3＝2，7＋1＝2，10＋－ 2－2－4 2－4 6－ 45－4 3－ 47－ 4 1－410－ 4＝ 2，依据以上各式建立的律，获得一般性的等式()A.n＋8－n＝ 2 n－4 (8－ n)－ 4B.n＋1＋(n＋1)＋5＝2 (n＋1)－ 4(n＋ 1)－ 4C.n＋n＋4＝ 2 n－4 (n＋ 4)－ 4n＋ 1n＋ 5＋＝ 2D.(n＋1)－ 4(n＋ 5)－ 4分析： A察：每个等式的右均2，左是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子同样，减数都是4，所以只有 A 正确．6．察以下等式1＝ 12＋3＋4＝93＋4＋ 5＋ 6＋ 7＝ 254＋ 5＋ 6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49照此律，第n 个等式 ________．分析：察所等式，等式左第一个加数与行数同样，加数的个数2n－ 1，故第 n 行等式左的数挨次是n， n＋ 1， n＋ 2，⋯， (3n－2) ；每一个等式右的数等式左加数个数的平方，进而第n 个等式 n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)2.答案： n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)27．我知道：周必定的全部矩形中，正方形的面最大；周必定的全部矩形与中，的面最大，将些比到空，能够获得的是 _______________________ ．分析：平面形与立体形的比：周→ 表面，正方形→ 正方体，面→ 体，矩形→ 方体，→ 球．答案：表面必定的全部方体中，正方体的体最大；表面必定的全部方体和球中，球的体最大8．如 (甲 )是第七届国数学教育大会(称 ICME － 7)的会徽案，会徽的主体案是由如 (乙 )的一串直角三角形演化而成的，此中OA1＝A1A2＝ A2 A3＝⋯＝ A7 A8＝ 1，如果把 (乙 )中的直角三角形依此律作下去，OA1，OA2，⋯， OA n，⋯的度构成数列 {a n}，此数列 {a n}的通公式a n＝ __________.分析：依据 OA 1＝ A 1A 2＝ A 2A 3＝ ⋯ ＝ A 7 A 8＝ 1 和 (乙 )中的各直角三角形，由勾股定理，可得 a 1＝ OA 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ OA 2 ＝ OA 21＋ A 1A 22 ＝12＋ 12 ＝2 ， a 3＝ OA3 ＝ OA 22＋A 2A 23 ＝22a n ＝ n.( 2)＋ 1 ＝ 3， ⋯ ，故可 推 出 答案：n9．在平面内 察：凸四 形有2 条 角 ，凸五 形有5 条 角 ，凸六 形有9 条角 ， ⋯ ，由此猜想凸n 形有几条 角 ？解： 因 凸四 形有2 条 角 ，凸五 形有 5条 角 ，比凸四 形多3 条；凸六形有9 条 角 ，比凸五 形多4 条， ⋯ ，于是猜想凸 n 形的 角 条数比凸(n － 1)形多 (n － 2)条 角 ， 由此凸 n 形的 角 条数2＋ 3＋ 4＋ 5＋ ⋯＋ (n － 2)，由等差数1*列乞降公式可得 2n(n － 3)(n ≥4， n ∈ N )． 所以凸 n 形的 角 条数 1 *2n(n － 3)(n ≥4， n ∈ N )．10．已知 f(x)＝1，分 求f(0)＋ f(1) ，f( － 1)＋ f(2) ， f(－ 2)＋ f(3) ，而后 猜想3x＋ 3一般性 ，并 明你的 ．1解： f( x)＝ x，3 ＋ 3所以 f(0)＋ f(1) ＝ 01＋ 1 1 ＝ 3，3 ＋33＋3 3 f(－ 1)＋ f(2)＝ － 11＋ 2 1 ＝ 3 ，3 ＋3 3 ＋ 3 3 f(－ 2)＋ f(3)＝ － 21＋ 3 1 ＝ 3 . 3 ＋3 3 ＋ 3 33猜想一般性 ；f(－ x)＋ f(x ＋ 1)＝ 3 .明以下： f (－ x)＋ f(x ＋ 1)＝113－x＋3＋3x ＋1＋ 3x1x 133·3＝1＋ 3·3x ＋ 3x ＋ 1＋ 3＝3＋ 3x ＋1＋3x ＋1＋ 3x＋ 1x＋ 1＝3. ＝ 3·3x ＋ 1＝3·3 x3＋ 33(1＋ 3·3 )3二能力达1．由代数式的乘法法 比获得向量的数目 的运算法 ：① “mn ＝ nm ” 比获得 “a ·b ＝ b ·a ”；② “(m ＋ n)t ＝ mt ＋ nt ” 比获得 “(a ＋ b) ·c ＝ a ·c ＋ b ·c ”；③ “(m ·n)t ＝ m(n ·t) ” 比获得 “(a ·b) ·c ＝ a ·(b ·c) ”；④ “t ≠0， mt ＝ xt ? m ＝ x ” 比获得 “p ≠0，a ·p ＝ x ·p ? a ＝ x ”；⑤ “|m ·n|＝ |m| ·|n| ” 比获得 “|a ·b|＝ |a| ·|b| ”；ac aa ·c a⑥“ ＝ ” 比获得 “ ＝ ”．bc b b ·c b此中 比 正确的个数是 ()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：B由向量的有关运算法 知①② 正确， ③④⑤⑥ 都不正确，故 B.2． 比三角形中的性 ：(1) 两 之和大于第三 ； (2) 中位 等于底 的一半；(3) 三内角均分 交于一点．可得四周体的 性 ：(1) 随意三个面的面 之和大于第四个面的面 ；(2) 四周体的交于同一 点的三条棱的中点的平面面 等于 点所 的面面 的(3) 四周体的六个二面角的均分面交于一点．此中 比推理方法正确的有()A ． (1)B ． (1)(2)C ． (1)(2)(3)D ．都不分析：C以上 比推理方法都正确，需注意的是 比推理获得的 能否正确与1； 4比推理方法能否正确其实不等价，方法正确 也不必定正确．1 31 15 1 1 173． 察以下式子：22，1＋ 2 2 ， 1＋ 2 22， ⋯，依据以上式子可1＋2 ＜2 ＋3 ＜ 32 ＋3 ＋4 ＜ 4以猜想：1＋ 1 1122＋32＋⋯ ＋ 2 0172＜ ()4 0314 032A. 2 017B.2 0174 0334 034 C. 2 017D.2 017分析：C察能够 ，第 n(n ≥2)个不等式左端有n ＋ 1 ，分子 1，分母挨次2, 2,22n ＋ 1，分子成等差数列，首 3，公差2，所以1 23 ， ⋯， (n ＋ 1)；右端分母1112n ＋ 11 1第 n 个不等式1＋ 22＋ 32＋ ⋯＋ (n ＋ 1)2＜ n ＋ 1 ，所以当 n ＝ 2 016 不等式 ： 1＋ 22＋ 32＋⋯ ＋14 0332 0172＜2 017.2Sa ，b ，c ，△ ABC 的面 S ，内切 半径 r ， r ＝ ；a ＋ b ＋ c类比这个结论可知：四周体P-ABC 的四个面的面积分别为S1， S2， S3， S4，内切球的半径为 r，四周体 P-ABC 的体积为 V，则 r＝ ()A.VB.2VS1＋S ＋S ＋S＋S ＋S ＋S234S12343V4VC.S1＋S2＋ S3＋ S4D.S1＋ S2＋ S3＋ S4分析：选 C将△ ABC 的三条边长 a，b，c 类比到四周体 P-ABC 的四个面面积S1，S2，S3， S4，将三角形面积公式中系数1，类比到三棱锥体积公式中系数1，进而可知选 C.证明23以下：以四周体各面为底，内切球心O 为极点的各三棱锥体积的和为11 V，∴ V＝S1r＋ S2r33113V＋3S3r＋3S4r，∴ r＝S1＋S2＋S3＋S4.5．察看以下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥ 2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S 与n 的关系式为____________．分析：每条边上有 2 个圆圈时共有 S＝ 4 个；每条边上有 3 个圆圈时，共有S＝8 个；每条边上有 4 个圆圈时，共有 S＝ 12 个．可见每条边上增添一个点，则S 增添 4，∴ S 与 n 的关系为 S＝ 4(n－ 1)(n≥2)．答案： S＝ 4(n－ 1)(n≥2)6．能够运用下边的原理解决一些有关图形的面积问题：假如与一固定直线平行的直线被甲、乙两个关闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中领会这个原理．此刻图③中的两个曲线的方程分别是x2y2a2＋b2＝1(a＞ b＞ 0)与 x2＋ y2＝ a2，运用上边的原理，图③中椭圆的面积为______________．y 轴所得线段之比为b分析：因为椭圆与圆截a，b2b即 k＝，∴ 椭圆面积S＝πa·＝πab.a a答案：πab7．察看以下两个等式：223① sin10°＋ cos 40°＋ sin 10 cos ° 40 ＝° ①；4223② sin 6°＋ cos 36°＋ sin 6 cos ° 36 ＝° ② .4由上边两个等式的构造特色，你可否提出一个猜想？并证明你的猜想．解： 由 ①② 知若两角差为 30°，则它们的有关形式的函数运算式的值均为3 4.猜想：若 β－ α＝30°，则 β＝ 30°＋ α， sin 2α＋ cos 2(α＋ 30°)＋ sin αcos(α＋ 30°)＝34.下边进行证明：左侧＝ sin 2α＋ cos(α＋ 30°)[cos(α＋ 30°)＋ sin α]23 1 3 1＝ sin α＋2 cos α－2sin α 2 cos α＋ 2sin α ＝ sin 2 α＋ 34cos 2α－ 14sin 2α＝ 34＝右侧．所以，猜想是正确的．故 sin 2α＋ cos 2(α＋ 30°)＋ sin αcos(α＋ 30°)＝ 3. 41118．已知在Rt △ ABC中， AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC于点 D ，有 AD 2＝AB 2＋ AC 2建立．那么在四周体 A-BCD 中，类比上述结论，你能获得如何的猜想，并说明猜想能否正确及原因．解： 猜想：类比 AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC ，能够猜想四周体 A-BCD 中， AB ，AC ，AD两两垂直，AE ⊥ 平面BCD .则1AE1 2＝ AB1 2＋ AC1 2＋ AD2.下边证明上述猜想建立以下图，连结BE ，并延伸交 CD 于点 F ，连结 AF .∵ AB ⊥ AC ， AB ⊥ AD ，AC ∩ AD =A ，∴ AB ⊥平面 ACD.而 AF ? 平面 ACD ，∴ AB ⊥ AF.在 Rt △ ABF 中， AE ⊥ BF ，11∴ AE 2＝ AB 2＋ AD 2.1在 Rt△ ACD 中， AF ⊥ CD，111∴AF2＝AC2＋AD2.∴12121212AE ＝AB＋AC＋AD，故猜想正确．。

2.1.1 合情推理教课建1.教材剖析: 推理和比推理.前者是由部分到整体、由本主要内容是合情推理的两种常用思方法个到一般的推理 ,后者是由特别到特别的推理.合情推理能够、探究新的供给思路,但其未必正确 .本要点是认识合情推理的含,能利用和比行的推理,点是用和比行推理 ,作出猜想 .2.主要及教课建(1)对于合情推理的含,其含的教课 ,建教多以学生熟推理和比推理在学生从前的学程中已有浸透悉的例子体 ,引他提、归纳和比的含及推理方法,培育他用种思方法的意 ,不用在字面上追究 .(2)对于合情推理的方法及,多剖析能行的共性和行比的特性 ,指学生如教课中建教从详细的例子出何行和比 ,通和比能得出什么的.至于的正确性 ,能够向学生明 ,由合情推理的程能够看出 ,合情推理的常常超了前提所涵盖的范,所以推理所得的未必正确 .1.已知= 2= 3= 4,⋯,若= 6(a,b∈ R ),a+b=.分析 :依据意 ,因为 = 2=3= 4, ⋯,那么可知 = 6,a= 6,b= 6×6-1= 35,所以 a+b= 41.答案 :412.依据所数列前几的, ⋯,猜想数列 { a n} 的通公式 .思路剖析 :依据数列中前几的出数列的一个通公式,主假如数列各的特点行真察,合常数列的通公式,已知数列行分解、合,进而此中的律,猜想出通公式.解:; ⋯;于是猜想数列{ a n} 的通公式a n=.3.在平面上, h a,h b,h c分是△A BC三条上的高,P△ABC内随意一点,P 到相三的距离分p a,p b,p c,能够获得=1.明此 ,并通比写出在空中的似,并加以明 .思路剖析 :此可用比的方法 ,将四周体比三角形 ,体比面等 .明 :如所示 ,接 PA,PB,PC,,同理 ,.∵S△PBC +S △PAC+S△PAB=S△ABC,∴= 1.类比上述结论得出以下结论: 以下图 ,在四周体 ABCD 中 ,设 h a,h b,h c,h d分别是四周体ABCD 的四个极点到对面的距离,P 为四周体 ABCD 内随意一点 ,P 到相应四个面的距离分别为p a,p b,p c,p d,能够获得结论 = 1.证明以下 :,同理 ,,.∵V 四周体PBCD +V 四周体PACD +V 四周体PABD+V 四周体PABC=V 四周体ABCD ,∴== 1.。

2.1.1 合情推理 (二)【学习目标】1.联合已学过的数学实例，认识类比推理的含义;2.能利用类比进行简单的推理，领会并认识合情推理在数学发现中的作用.【新知自学】知识回首：1.归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的的推理，或许由的推理 .简言之，归纳推理是由的推理 .2.归纳推理的思想过程大概是：实验、察看归纳、推行猜想一般性结论.3.归纳推理的一般步骤：①经过察看个别状况发现某些同样的性质；②从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.新知梳理：问题 1：鲁班由带齿的草发明锯；人类模仿鱼类外形及沉浮原剪发明潜水艇；问题2：地球上有生命，火星与地球有很多相像点，如都是绕太阳运转、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节更改，温度也合适生物生计，科学家猜想：火星上有生命存在.以上都是类比思想，即类比推理.2.类比推理就是由两类对象拥有和其中简言之，类比推理是由，推出另一类对象也拥有这些特点的推理到.行3.和，而后提出的推理 .都是依据已有的事实，经过察看、剖析、比较、联想，再进的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获取的结论，只是是一种猜想，未必靠谱.对点练习：1.以下说法中正确的选项是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理D.类比推理是从特别到特别的推理2. 下边使用类比推理正确的选项是（）.A. “若 a 3b3,则a b ”类推出“若 a 0b0,则 a b ”B. “若(a b)c ac bc ”类推出“(a b)c ac bc ”C. “若 (a b)c aca b a b（ c≠0）”bc ”类推出“c ccna n n”类推出（“ ananbnD.（“ab）b b）3.类比等差数列的性质，写出等比数列的近似性质:等差数列a n等比数列bna1 a n n 1 dd a m a nm n若 m n p q ，m, n, p, q N *，则a m a n a p a q，S1a1 a2a n ,S2a n 1a n 2a2n , S3a2 n 1a2 n 2a3 n ,则 S1, S2 , S3也是等差数列4．三角形的面积为S 1(a b c) r ，a, b, c为2三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，获取四周体的体积为______________.【合作研究】典例精析：例 1. 类比实数的加法和乘法，列出它们相像的运算性质.类比实数的加法实数的乘法角度运算结果运算律逆运算单位元变式练习：找出圆与球的相像之处，并用圆的性质类比球的相关性质圆的观点和性质球的近似观点和性质.圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点 ( x0 , y0 ) 为圆心， r为半径的圆的方程为( x x0 )222 ( y y0 )r例 2. 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四周体性质的猜想.变式练习：用三角形的以下性质类比出四周体的相关性质.三角形四周体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为1S(a b c) r（ r 为三2角形内切圆的半径）规律总结：1．类比推理是由特别到特别的推理.2.类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相像性或一致性；②用一类事物的性质去推断另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3.合情推理仅是“符合情理”的推理，它获取的结论不必定真，但合情推理经常帮我们猜测和发现新的规律，为我们供给证明的思路和方法.【讲堂小结】【当堂达标】1.若数列 {a n} 是等差数列，关于1a n ) ，则数列b n也是等差数列 . 类比上b n(a1 a2n述性质，若数列 c n是各项都为正数的等比数列，关于 d n 0 ，则 d n=时，数列 d n也是等比数列.2.在ABC中，不等式1119建立；在四边形 ABCD中，不等式A B C111116建立；在五边形 ABCDE 中，不等式1 1 1 1125建立 .猜想，A B C D2ABCD E3在 n 边形 A1 A2A n中，有如何的不等式建立？3.如图，若射线 OM，ON上分别存在点M1,M2与点N1,N2，则三角形面积之比S OM1N1OM 1ON1.若不在同一平面内的射线，，点Q,Q和点OP OQ 上分别存在点 P , PSOM2N2OM 2ON21212R1, R2，则近似的结论是什么？【课时作业】1.线段 AB两端点的坐标为 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则线段AB的中点坐标为G (x1x2 ,y1y2),类比得：三角形ABC 三极点坐标为A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3 ) ，则三角22形 ABC的重心 G 的坐标为.2.在等差数列{ a n}中，若a100，则有a1a2a n a1a2a19 n (n 19,且n N * ) 建立。

§2.1.1 合情推理学习目标：1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理；2、了解合情推理在数学发现中的作用。

一、主要知识：1、归纳推理： 。

2、类比推理： 。

二、典例分析：〖例1〗：（1）已知数列{}n a 中，11a =，112nn na a a +=+，求出234,,a a a 的值，并归纳猜想通项公式n a 。

（2）设平面内有()3n n ≥条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若有()f n 表示这n 条直线交点的个数，则()4f = ，当4n >时，()f n = 。

〖例2〗：在三棱锥S ABC -中，SA SB ⊥，SB SC ⊥，SC SA ⊥，且,,SA SB SC 和底面所成角分别为123,,ααα，三侧面,,SBC SAC SAB ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，类比三角形的正弦定理，给出空间情形的一个猜想。

〖例3〗：已知椭圆具有性质：若,M N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线,PM PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值。

试对双曲线()222210x y a b a b -=>>写出类似特征的性质，并加以证明。

三、课后作业：1、已知123,6a a ==，且21n n n a a a ++=-，则33a =（ ）A 、3B 、3-C 、6D 、6- 2、已知{}n b 为等比数列，52b =，则912392bb b b =。

若{}n a 为等差数列，52a =，则的类似结论为（ ） A 、912392a a a a = B 、912392a a a a ++++=C 、123929a a a a =⨯D 、123929a a a a ++++=⨯3、在平面几何中，ABC ∆是等边三角形，其外接圆、内切圆的半径分别为,R r ，其比为2:1。

2．1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．用归纳和类比进行推理，作出猜想．基础梳理1．归纳推理由于某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．2．类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．想一想：(1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？(2)根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．1 111 110B．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113(3)已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________．(1)解析：归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然性的，而是偶然性的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，也不一定可靠，因此也不一定正确．(2)解析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111.故选B. 答案：B(3)分析：从方法的类比入手．解析：原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12×ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是高的14.答案：正四面体的内切球半径是高的14自测自评1．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为(A ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6解析：a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，…，故{a n }以6个项为周期循环出现，a 33＝a 3＝3.2．由“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”得到“若a ＞b ，则ac ＞bc ”采用的是(C ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．数学证明 解析：由加法类比乘法． 3．设函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x（2－1）x ＋2．基础巩固1．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(D )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等A ．①B ．③C ．①②D ．①②③2．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为(D )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1253．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝(D )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：归纳所给出的导函数知，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，根据这一规律可知，f (x )为偶函数，其导函数g (x )必为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．4．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列几式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x4≥3，……，类比有x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝_______________． 解析：根据已知等式类比可得a ＝n n. 答案： n n能力提升5．已知对正数a 和b ，有下列命题： ①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤(B ) A ．2 B.92C ．4D ．56．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的直线方程为(A )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zca＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1 7．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于(B ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27解析：5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9推出x －20＝12，x ＝32.故选B. 8．(2014·高考陕西卷)观察分析下表中的数据：解析：①三棱锥：F ＝5，V ＝6，E ＝9，得F ＋V －E ＝5＋6－9＝2； ②五棱锥：F ＝6，V ＝6，E ＝10，得F ＋V －E ＝6＋6－10＝2； ③立方体：F ＝6，V ＝8，E ＝12，得F ＋V －E ＝6＋8－12＝2；所以归纳猜想一般凸多面体中，F ，V ，E 所满足的等式是：F ＋V －E ＝2，故答案为F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝29．点P 是三角形ABC 内切圆的圆心，半径是r ，三角形ABC 的面积是12(AB ＋BC ＋CA )r .类比写出三棱锥S ­ABC 的一个相似的结论．解析：假设点P 是三棱锥SABC 内切球的球心，半径是R ，则三棱锥SABC 体积是13(S △SAB ＋S △SBC ＋S △SCA ＋S △ABC )R . 10．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n 条直线最多有多少个交点．解析：设直线条数为n ，最多交点个数为f (n )，则f (2)＝1， f (3)＝3＝1＋2， f (4)＝6＝1＋2＋3， f (5)＝10＝1＋2＋3＋4， f (6)＝15＝1＋2＋3＋4＋5，……由此可以归纳出，n 条直线交点个数最多为f (n )＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2.。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1合情推理[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用.[知识链接]1.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.2.由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.[预习导引]1.归纳推理和类比推理合情推理的含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.3.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 11 14 11 5 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为_______、_______、_______、_______、_______、_______；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式.解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解.跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a (n ∈N *).(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1， ∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *). 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想.解 如右图所示，在四面体P ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小.我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论.(2)平面图形与空间图形类比跟踪演练2 已知P (x 0，y 0)P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________.[答案] 2x －y －2＝0[解析] 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：解规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法.跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A.①B.①②C.①②③D.③[答案]C[解析]由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.1.下列说法正确的是()A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论不能判断正误[答案]B[解析]根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论.2.下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大[答案] A[解析] 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色. 3.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________. [答案] n 2－n ＋62[解析] 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4.观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________. [答案] (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4[解析] 由已知四个式子可分析规律： (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1.合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想.一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明.2.归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理.(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.。

2.1.1 合情推理课型：新授课 教学目标：1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出合乎情理的猜想。

教学过程： 一、课堂引入： 先研究几个问题：问题1、当5,4,3,2,1,0=n 时，分别计算112+-n n 的值；你能得到什么结论。

问题2、无限小数都是无理数，34是无限小数，所以， 。

问题3、由“等差数列}{n a 中，若),,,(,*N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a +=+”根据这个命题，你能得到什么？问题4、所有的金属都能导电，铁是金属，所以， 。

问题5、观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形。

问题6、由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ”，根据这个命题，你能得到什么？由同学讨论后逐一回答提问：这6个问题有哪些共性？如果把这6个问题让你分类，你如何分类？ 共性：都是从一个或几个命题得出另一个新命题的思维过程。

分类：问题1与问题5，问题2与问题4，问题3与问题6 二、新课讲解：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，结论是根据前提推得的命题。

上述问题1与问题5，都是从个别事实中推演出一般性的结论。

这样的推理称为归纳推理。

问题3、问题6是类比推理，问题2、问题4是演绎推理。

其中归纳推理和类比推理都是合情推理。

三、例题讲解：例1、已知数列}{n a 满足21=a ，121+-=+n n n na a a （ ,3,2,1=n ），试能写出这个数列的一个通项公式吗？例2、已知0>x ，观察下列不等式：21≥+xx ，342≥+x x ，4273≥+x x ，…，则第n 个不等式为归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理； （2）提出带有规律性的结论，即猜想； 归纳推理的思维过程是：归纳推理的一般模式为：1S 具有性质P ； 2S 具有性质P ； ……n S 具有性质P （1S ，2S ，…，n S 是A 类事物的对象）； 所以，A 类事物具有性质P华罗庚教授曾经举过一个例子：从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西都是红玻璃球？”但是，当有一个摸出来的是白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时，我们会有另一个猜想：“是不是袋里都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了；这时我们会有第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须继续加以检验在这个过程中，一方面通过推理得出结论，另一方面要对所得的结论进行验证和证明。

2.1.1合情推理(二)【学习目标】1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2.能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.【新知自学】知识回顾：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由 的推理.2.归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.新知梳理：问题1：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；问题2：地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.2.类比推理就是由两类对象具有和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理.3. 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.对点练习：）. A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c≠0）”D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n na ab +=+n （b ）:22n a +++也是等差数列4．三角形的面积为()2S a b c r =++⋅，,,a b c 为 三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类 比推理，得到四面体的体积为_____ _________.【合作探究】典例精析：.类比角度实数的加法 实数的乘法运算结果运算律逆运算单位元变式练习：.例2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式练习：规律总结：.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.【课堂小结】【当堂达标】1.若数列{a n }是等差数列，对于)(121n n a a a nb +++= ，则数列{}n b 也是等差数列. 类比上述性质，若数列{}n c 是各项都为正数的等比数列，对于0>n d ，则n d = 时，数列{}n d 也是等比数列.2. 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？3.如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=∙.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？【课时作业】1.线段AB 两端点的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则线段AB 的中点坐标为1212(,)22x x y y G ++,类比得：三角形ABC 三顶点坐标为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心G 的坐标为 .2.在等差数列{}n a 中，若100a =，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈且成立。

普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]2.1.1合情推理教学目标：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用教学过程一、引入新课1归纳推理(一)什么是归纳推理归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。

归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。

也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。

拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。

由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。

”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。

这里就有着归纳推理的运用。

(二)归纳推理与演绎推理的区别和联系归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。

其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。

一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。

而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。

也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。