湖南省衡阳市第一中学2021届上学期高三数学周周清(三)(word版,无答案)

衡阳市第一中学高三第五次月考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x|x 2-x ≤0},N=(y|y=sinx,x ∈R),则M ∩N=（ ）A.[-1,0]B.(0,1)C.[0,1]D.2.已知函数()131,2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是( )A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫⎪⎝⎭C.12,23⎛⎫⎪⎝⎭D.2,13⎛⎫⎪⎝⎭3. 数列{}n a 满足11a =，对任意*N n ∈的都有11n n a a n +=++，则a 10（ ）A.54B.55C.56D.574. 已知函数f(x)在区间(a ，b)上可导，则“函数f(x)在区间(a ，b)上有最小值”是“存在x 0∈(a，b)，满足f’(x 0)＝0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数f(x)＝cos2x ＋2sinx 在[－π，π]上的图象是( )6.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π7.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。

”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。

例：五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC △中，BC AC =sin 234︒=（ ）C.D.8.已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（ ） A. 4-B. 2-C. 2D. 4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年湖南省衡阳市河洲第一中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限参考答案：D2. 已知全集，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为()（A）{0,1} （B）{1} （C）{1,2} （D）{0,1,2}参考答案：A3. 命题“”的否定是( )A. B. C. D.参考答案：D4. 一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为A． B． C． D．高考资源网参考答案：B略5. 定义域为的函数图象的两个端点为，向量，是图象上任意一点，其中. 若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似阀值．下列定义在上函数中，线性近似阀值最小的是（）A. B. C. D.参考答案：6. 已知集合,，则=A. B. C. D.参考答案：D略7. 在中，已知则的值为A. B. C. D.参考答案：A略8. 在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－ B. C．－ D.参考答案：D9. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )A．m B．m C．m D．m 参考答案：B考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB的长度，作差后可得答案．解答：解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．10. 过双曲线=1 （a＞0，b＞0）的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l，垂足为A，l与另一条渐近线交于B点，若，则双曲线的离心率为( )A．2 B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先由=2，得出A 为线段FB 的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a ，b 之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率． 【解答】解：如图过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ， 延长FA 与另一条渐近线交于点B ．所以FB⊥OA， 又因为=2，所以A 为线段FB 的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°， 所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．故∠2+∠3=90°=3∠2?∠2=30°?∠1=60°?=．∴=3，e 2==4?e=2．故选A ．【点评】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，同时考查平面向量的共线定理的运用，属于中档题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若是公比为2的等比数列，且，则（用数字作答）参考答案：101312. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＝3S n －3，若对于任意，恒成立，则实数M 的最小值为 。

2021届湖南省衡阳一中高三上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{}260A x x x =--≤，{}10B x x =->，则A B =（ ）A ．{}13x x <≤ B ．{}12x x <≤C ．{}22x x ≥-D ．{}23x x ≥-【答案】A【分析】先解不等式求出集合,A B ，在根据集合的运算求解即可【详解】解不等式260x x --≤可得263-≤-≤x 所以{}23A x x =-≤≤， 解10x ->可得1x >，所以{}1B x x =>， 所以{}13A B x x ⋂=<≤. 故选：A.2．已知复数1z i =+，则21z -=（ ）A ．5B ．CD ．2【答案】C【分析】先求出21z -，再根据复数模的求法即可求得结果 【详解】由复数1z i =+，得()2211121z i i -=+-=-，所以21-==z 故选：C.3．在ABC 中，“sin sin cos cos A B A B >”是“ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由已知得cos 0C >，再由充分必要条件的定义可得选项.【详解】sin sin cos cos A B A B >，()cos 0A B ∴+<，cos 0C ∴-<，即cos 0C >. 由ABC 为锐角三角形，可得cos 0C >.而由cos 0C >，不能推出ABC 为锐角三角形，∴在ABC 中，“sin sin cos cos A B A B >”是“ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件.故选：B.4．向量a ，b 满足2=a b ，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【分析】根据向量的数量积的运算，求得0a b ⋅=，即可得到答案. 【详解】由题意，因为2=a b ，且()()2a b a b +⊥-，所以()()222222220a b a b a b a b b b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=⋅=， 可得a b ⊥，所以向量a ，b 的夹角为90︒. 故选：D.5．函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案.详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±，所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6．1715年英国数学家布看克泰勒（Brook Taylor ）在他的著作中陈述了泰勒公式.如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达个函数.泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具.例如：01230!0!1!2!3!!n nxn x x x x x x e n n ∞===++++++∑，其中x ∈R ，*n ∈N .试用上述公式估计12e 的近似值为（ ） （精确到0.001） A ．1.647 B ．1.648 C ．1.649 D ．1.650【答案】B【分析】根据题意列出式子101234420005050505050505!!0!1!2!3!4!n n n n e n n ∞==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=≈=++++∑∑，求解即可.【详解】由题意可知，结果只需精确到0.001即可， 令0.5x =，取前5项可得：101234420005050505050505!!0!1!2!3!4!n n n n e n n ∞==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=≈=++++∑∑0.250.1250.062510.52624=++++1.648438 1.648≈≈，所以12e 的近似值为1.648， 故选：B.【点睛】本题考查新定义题型，解题的关键是正确理解定义，考查学生的理解和运算能力，属于中档题.7．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =，则（ ）A ．23321222log 3g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．23321222log 3g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．233212log 322g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．233212log 322g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】分析出函数()g x 为偶函数，且该函数在区间[)0,+∞上为增函数，再比较232-、322-、2log 3的大小关系，由此可得出232g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、322g -⎛⎫- ⎪⎝⎭、12log 3g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系. 【详解】根据题意，函数()f x 是R 上奇函数，()()g x xf x =， 则()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，即函数()g x 为偶函数，则332222g g --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1222log 3log 3log 3g g g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，奇函数()f x 是R 上增函数，在区间[)0,+∞上，()()00f x f >=， 任取120x x >≥，则()()120f x f x >≥，可得()()11220x f x x f x >≥，即()()12g x g x >，所以，函数()g x 在[)0,+∞上是增函数，又由233220221log 3--<<<<，故有233212log 322g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 8．已知实数m ，n 满足0mn >，则3m mm n m n-++的最大值为（ ）A ．3+B ．3-C ．2+D ．2【答案】D【分析】先通分化简，分子分母同除以mn ，原式化为234m n n m++，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为0mn>，则2222233434m m mnm nm n m n m mn nn m-==≤=++++++，当且仅当3m nn m=时取等号，此时3m mm n m n-++的最大值为2.故选：D.【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.二、多选题9．下列说法正确的有（）A．22a a=B．2a b baa⋅=C ．若a b a b+=-，则0a b⋅=D ．若a与b是单位向量，则1a b⋅=【答案】AC【分析】由向量的数量积运算法则可判断A；由向量数量积的定义可判断B；根据向量数量积的运算法则可判断C；举反例，如果两个向量垂直，则数量积为0，可判断D.【详解】22a a=，满足向量的数量积运算法则，故A正确；22cos,cos,a b a b b a ba b baaa a⋅==≠，所以B不正确；若a b a b+=-，则22a b a b+=-，即()()22a b a b+=-，所以2222+22a ab b a a b b⋅⋅+=-⋅⋅+，则0a b⋅=，所以C正确；若a与b是单位向量，如果两个向量垂直，则数量积为0，所以判断为1a b⋅=，D不正确；故选：AC.10．已知函数()()ππsin322f x xϕϕ⎛⎫=--<<⎪⎝⎭的图象关于直线π4x=对称，则（）A．函数()f x的图象向右平移π4个单位长度得到函数cos3y x=-的图象B ．函数π12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数C ．函数()f x 在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为π3【答案】BCD【分析】函数()f x 的图象关于直线π4x =对称，可得π4ϕ=，()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 对于A ，根据函数()f x 的图象平移可判断；对于B ，求出函数π12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭的解析式可判断；对于C ，求出ππ3420,x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，根据函数()f x 在区间上单调递增可判断；对于D ，求出()max f x ，()min f x ，()f x 的周期可判断.【详解】函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，ππ3π42k ϕ∴⨯-=+，k ∈Z ；ππ22ϕ-<<，π4ϕ∴=，()πsin 34f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，对于A ，函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度得到函数πππsin 3sin 3444f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故错误；对于B ，函数πππsin 3cos312124f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据余弦函数的奇偶性，可得()()f x f x -=，可得函数()f x 是偶函数，故正确；对于C ，由于ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ3420,x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，函数()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确；对于D ，因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π3T =， 所以则12x x -的最小值为π3，故正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查了()()sin f x A x ωϕ=+的性质.有关三角函数的题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题.11．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.如果定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数3y x =是圆O 的一个太极函数B ．函数sin y x =是圆O 的一个太极函数C ．若函数()f x 是奇函数，则()f x 为圆O 的太极函数D ．若函数()f x 是偶函数，则()f x 不能为圆O 的太极函数 【答案】AB【分析】本题首先可根据太极函数的定义得出经过原点的奇函数是圆O 的“太极函数”，然后对四个选项中的函数依次进行分析，即可得出结果. 【详解】根据题意，圆22:1O x y +=，其图形关于原点对称， 若函数为奇函数且经过原点，其图像关于原点对称，则函数的图像必定将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分， 故经过原点的奇函数是圆O 的“太极函数”，A 项：函数3y x =是经过原点的奇函数，故函数3y x =是圆O 的一个太极函数，A 正确；B 项：函数sin y x =是经过原点的奇函数，故是圆O 的一个太极函数，B 正确；C 项：若函数()f x 是奇函数，且图像与圆O 不相交，则不是圆O 的一个太极函数，C 错误；D 项：函数0y =是偶函数，但0y =是圆O 的一个太极函数，D 错误， 故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否根据题意得出经过原点的奇函数是圆O 的“太极函数”是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题.12．设()sin ax f x x =，ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值为M ，则（ ）A ．当1a =-时，M >B ．当1a =时，1M <C ．当2a =时，M <D ．当3a =时，M <【答案】AB【分析】代入a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数()f x 的最大值M ，从而求出答案即可．【详解】解：对于A ：当1a =-时，()sin f x x x =，()sin cos 0f x x x x '=+>，ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()f x 在ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，故πππsin 33362M f ⎛⎫===>⎪⎝⎭， 故A 正确；对于B ：1a =时，()sin xf x x=， ()2cos sin x x x f x x -='，令()cos sin h x x x x =-，ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()cos sin cos sin 0h x x x x x x x =--=-<'，()h x 在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减，而ππ10662h ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，故()0f x <′，()f x 在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减，故1π321π6π6M f ⎛⎫===< ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：2a =时，()2sin xf x x =， 则()3cos 2sin x x x f x x -='，令()cos 2sin x x x h x =-，ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()cos sin 2cos cos sin 0x x x x x h x x x =--=--<'，故()h x 在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减，而π06h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()h x 在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减，而π06h ⎛⎫<⎪⎝⎭，即()0f x <′，()f x 在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减，故221π182π6π36M f ⎛⎫===> ⎪⎝⎭C 错误；对于D ：3a =时，()3sin xf x x=， 则()4cos 3sin x x x f x x -='，令()cos 3sin x x x h x =-，ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()cos sin 3cos 2cos sin 0x h x x x x x x x =--=--<'，故()h x 在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减，而π06h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()h x 在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减， 而π06h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()0f x <′，()f x 在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减，故3π1086πM f ⎛⎫==>⎪⎝⎭D 错误； 故选：AB.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，解答的关键是对导函数求导说明导函数的单调性，从而得到导函数值的正负，即可得到原函数的单调性.三、填空题13．已知a ∈R ，命题“存在x ∈R ，使20x ax a -+≤”为假命题，则a 的取值范围为__.【答案】()0,4【分析】由题意可知，命题“对x ∀∈R ，使20x ax a -+>恒成立”为真命题，可得出∆<0，进而可解得实数a 的取值范围.【详解】命题“存在x ∈R ，使20x ax a -+≤”为假命题， 命题“对x ∀∈R ，使20x ax a -+>恒成立”为真命题，所以240a a ∆=-<，故04a <<，所以a 的取值范围为()0,4. 故答案为：()0,4.14．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别是边BC ，CD 上的动点，且EF =则AE AF ⋅的最小值为__. 【答案】4【分析】根据题意，可分别以边AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴，并设(2,)E y ，(,2)F x ，x，[0y ∈，2]，然后根据EF =22(2)(2)2x y -+-=，然后即可设2,2x y θθ+=+，[0θ∈，2]π，从而可得出4sin()84AE AF πθ=++，然后即可求出AE AF 的最小值．【详解】解：分别以AB ，AD 为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：设(2,)E y ，(,2)F x，x ，[0y ∈，2]，且EF =22(2)(2)2x y ∴-+-=，∴设2,2x y θθ=+=+，[θπ∈，3]2π，∴22444sin()84AE AF x y πθθθ=+=+++=++，∴sin()14πθ+=-时，AE AF 取最小值4．故答案为：4．【点睛】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，两角和的正弦公式，考查了计算能力．15．已知函数(),e ,x xx af x x x a⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零点，则a 的取值范围是__.【答案】1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设函数()x x h x e =，求得()1xxh x e '-=，求得函数的单调性和极值，画出函数的图象，结合图象分类讨论，即可求解. 【详解】设函数()x x h x e =，x ∈R ，则()1xxh x e '-=，令()0h x '=得：1x =， 当(),1x ∈-∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 又()11h e=，故画出函数()h x 的图象，如图所示： 因为存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零点， 所以存在实数b ，使方程()f x b =有三个实数根， 所以存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，因为函数(),,x xx a f x e x x a⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，结合函数()h x 的图象和函数y x =-单调递减，所以1a <，①当01a ≤<时，函数()f x 的图象如图所示：显然存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，符合题意， ②当0a <时，函数()f x 的图象如图所示：要存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，则1a e-<，解得1a e >-，所以10a e-<<， 综上所述，a 的取值范围是：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】有关函数零点的判定方法及策略：（1）直接法：令()0f x =，有几个解，函数就有几个零点；（2）零点的存在定理法：要求函数()f x 在区间[],a b 上连续不断的曲线，且()()0f a f b <，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数()f x 的零点个数.四、双空题16．如图所示，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数sin y A x ω=（0A >，0>ω），[]0,4x ∈的图象，且图象的最高点为()3,23S ，赛道的后一部分为折线段MNP ，则ω=__，M ，P 两点间的距离为__.【答案】π65 【分析】根据前半段的图象求出()sin f x A x ω=的解析式，然后求出M 点的坐标，结合(8,0)P ，最后利用两点间的距离公式求出M ，P 两点间的距离． 【详解】解：对于曲线段OSM ，易知，3A =12T =， 故2ππ126ω==，所以曲线段为函数π236y x =， 所以4π2336M y ==，故()4,3M . 又()8,0P ，故()()2284035MP =-+-=.故答案为：π6；5.五、解答题17．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满22sin cos 212B CA ++=. （1）求角A 的大小；（2）若a =3BA AC ⋅=-，求ABC 的周长.【答案】（1）3π；（2）5+. 【分析】（1）由二倍角的余弦公式和特殊角的三角函数值，可得所求值； （2）由向量的数量积的定义和余弦定理，结合配方法，整理可得所求的周长． 【详解】（1）22sincos 212B CA ++=， 即为cos()cos20BC A +-=， 可得22cos cos 10A A +-=， 解得1cos (12A =-舍去），由0A π<<，可得3A π=；（2）3BA AC ⋅=-，即为2πcos 33cb =-， 可得6bc =，由()22222cos 27a b c bc A b c bc bc =+-=+--=，可得5b c +==，则ABC 的周长为5a b c ++=.【点睛】关键点睛：利用数量积与余弦定理构建方程组，通过整体思想得到结果. 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，从条件①()11n n na n a +=+，②()12n n n a S +=，③22n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 和n T .【答案】（1）()*n a n n N=∈；（2）()1122n nT n +=-⋅-.【分析】（1）若选①可得n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，即可求出n a ；若选②利用1n n n a S S -=-可得()11n n n a na --=，即可得n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，即可求出n a ；若选③利用1n n n a S S -=-可得11n n a a --=，即可得到数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；（2）利用错位相减法求和； 【详解】选条件①时，（1）()11n n na n a +=+时，整理得11111n n a a a n n +===+，所以n a n =. （2）由（1）得：2nn b n =-⋅， 设2nn c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅ ①， 231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅ ②，①-②得：()()12112212222221n n n n nC n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+， 所以()1122n n T n +=-⋅-.选条件②时， （1）由于()12n n n a S +=，所以()21nn Sn a =+①，当2n ≥时，112n n S na --=②，①-②得：()121n n n a n a na -=+-，()11n n n a na --=，整理得1111n n na a a n n -===-，所以n a n =. （2）由（1）得：2nn b n =-⋅， 设2nn c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅ ①， 231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅ ②，①-②得：()()12112212222221n nn n nC n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+， 所以()1122n n T n +=-⋅-.选条件③时，由于22n n n a a S +=， ①21112n n n a a S ---+= ②①-②时，2211n n n n a a a a ---=+，整理得11n n a a --=（常数），所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以n a n =.（2）由（1）得：2nn b n =-⋅， 设2nn c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅①， 231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅②，①-②得：()()12112212222221n nn n nC n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+， 所以()1122n n T n +=-⋅-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．19．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD，且AE =（1）求直线DE 与直线AC 所成的角； （2）求二面角B ED C --的余弦值. 【答案】（1）2π；（2）12.【分析】由题意可得AB AD ⊥，AE AB ⊥，AE AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出所用点的坐标．（1）分别求出,DE AC 的坐标，由0DE AC =可得直线DE 与直线AC 所成的角； （2）分别求出平面BED 的一个法向量与平面EDC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B ED C --的余弦值．【详解】如图，由题意，AB AD ⊥，AE AB ⊥，AE AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：则()0,0,0A ，()2,0,0B ，(2C ，()0,2,0D ，(2E ， （1）(0,2DE =-，(2AC =，220DE AC ⋅=-+=，∴直线DE 与直线AC 所成的角为π2； （2）设平面BED 的一个法向量为()111,,m x y z =，(BE =-，(0,DE =-，由11112020m BE x m DE y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z，得(m =； 设平面EDC 的一个法向量为()222,,n x y z =，(0,2,2DE =-，()1,1,0EC =，由2222200n DE y n EC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2z，得(1,1,n =-. 21cos ,222m n m n m n⋅∴===⨯⋅， ∴二面角B ED C --的余弦值为12. 【点睛】本题考查了立体几何中的异面直线所成的角和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．已知椭圆()2222:10x y C ab a b +=>>C 过点32⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为原点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB 的面积的最大值.【答案】（1）22132x y+=；（2）3. 【分析】（1）根据离心率3c e a ==，将点坐标代入曲线方程，结合222a b c =+，即可求得a ，b ，c 的值，即可求得答案；（2）由题意得右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，与椭圆联立，根据韦达定理，可得12y y +，12y y 的表达式，即可求得12y y -的表达式，根据m 的范围，即可求得12y y -的最大值，代入面积公式，即可求得OAB 的面积的最大值.【详解】（1）由题意得2222292144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =b =1c =.故椭圆方程为：22132x y +=.（2）易知椭圆的右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，联立直线l 方程代入椭圆方程221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：()2223440m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则222(4)4(23)(4)48(+1)0m m m ∆=-+-=>122423m y y m -+=+，122423y y m -=+， 所以12y y -===，因为20m ≥，所以2110,233m ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦， 易知当0m =，即211233m =+时，原式12y y -取得最大值=.此时AOBS的最大值为121112233y F y O ⨯⨯=⨯⨯=-. 即三角形OAB 【点睛】解题的技巧为：设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，可联立消去x ，得到关于y 的一元二次方程，进而可直接求得12y y -的表达式，即可得12y y -的最大值，即可求得面积的最大值，考查分析理解，计算求值的能力属中档题.21．大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.（1）将用时低于15秒的称为“熟练盲拧者”，不低于15秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？（2）以这100名盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？【答案】（1）填表见解析；有95%的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关（2）4人【分析】（1）由已知数据直接得到22⨯列联表，计算2K的观测值k，对照临界值表即可；（2）利用ξ服从二项分布，计算kξ=的概率最大值.【详解】解：（1）由题意得列联表如下：2K 的观测值()210037241623 4.523 3.84153476040k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关. （2）根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为2011005=， 设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则1~20,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中()20201455k k kP k C ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,...,20k =； 由()()()()11P k P k P k P k ξξξξ=≥=+⎧⎪⎨=≥=-⎪⎩，得201191202020121120201414555514145555k k k k k k k k k k k k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 化简得()4120214k k k k+≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得162155k ≤≤； 又k Z ∈，所以4k =，即这20名爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4人.【点睛】本题考查了独立性检验的应用、二项分布的概率最大值，运算量较大，难度中等.22．已知函数()()()ln 11xf x e ax x a =+-+-∈R . （1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：()11eln 1n k k n n =>++∑.【答案】（1）[)0,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）求得()(),f x f x '''，求得()f x '在[)0,+∞递增，而()0f a '=，分0a ≥和0a <分类讨论，即可求解.（2）由（1）0a =时，()()ln 11x f x e x =-+-，得到()ln 11xe x >++，进而利用累加法，即可作出证明【详解】（1）由题意，函数()()ln 11xe axf x x =+-+-， 可得()11xe xf x a =+-+'，()()2101x e x f x =++'>'， 故()f x '在[)0,+∞递增，而()0f a '=，①0a ≥时，()00f '≥，()f x 在[)0,+∞递增，故()()00f x f ≥=恒成立，故0a ≥符合题意；②0a <时，存在()00x ∈+∞,使得，()00f x '=，故()f x 在[)00,x 递减，在()0,x +∞递增，故()()0f x f x ≥，而()00f =，故()00f x <，使得()0f x ≥不恒成立，故0a <时不合题意； 综上：a 的取值范围是[)0,+∞；（2）由（1）0a =时，()()ln 11xf x e x =-+-， 又()()00f x f >=，故()ln 11xe x >++， 则()1ln 111e >++， 121ln 112e ⎛⎫>++ ⎪⎝⎭， 131ln 113e ⎛⎫>++ ⎪⎝⎭，，11ln 11n e n ⎛⎫>++ ⎪⎝⎭， 累加得： ()1111322341ln ln ln ln ln 1123n n e e e e n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>+++++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()11ln 1n k k en n =>++∑.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式()()()()()f x g x f x g x ><转化为证明()()0f x g x ->()()(0)f x g x -<，进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数；。

2021届湖南省衡阳一中高三上学期第一次月考数学试题总分：150分 时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}lg 0P x x =≥，112xQ x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（ ）A ．{}1R Q x x =>B ．PQ φ= C ．P Q R = D ．{}1P Q x x =≥2．已知命题p ：关于x 的函数234y x ax =-+在[1,)+∞上是增函数，命题q ：函数(21)xy a =-为减函数，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23a ≤B ．102a <<C ．1223a <≤D ．112a << 3．命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a ≤ B ．2a ≤ C ．3a ≤ D ．4a ≤4．已知函数1,3()3(1),3xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则()32log 2f +的值为（ ） A ．227-B ．154C ．227D ．-54 5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油速度 6．函数ln ||()||x x f x x =的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．7．已知1232ab -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．设函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．已知非零向量a ，b ，若||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若:(0,)p x ∀∈+∞，1ln x x ->，则0:(0,)p x ⌝∃∈+∞，001ln x x -≤C ．在ABC △中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数10．若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A ．1ab ≤B 2≤C ．222a b +≥ D ．112a b+≥ 11．已知函数2()log f x x =-，下列四个命题正确的是（ ） A ．函数(||)f x 为偶函数函数B ．()22f x x -+在(1,3)上为单调递增函数C ．若()|()|f a f b =，其中0a >，0b >，a b ≠，则1ab =D ．若01a <<，则|(1)||(1)|f a f a +<-12．在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(,)B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是（ ）A ．函数()y f x =是偶函数B ．函数()()g x f x =-[3,9]-上有两个零点C ．函数()y f x =在[8,6]--上单调递增D ．对任意的x R ∈，都有1(4)()f x f x +=-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________．14．若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为________． 15．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是________．16．已知函数{}()min 2f x x =-，其中,min{,},a a ba b b a b⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ⋅⋅的最大值是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC △中，设角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =+-． （1）求角C 的大小；（2）若2c =，求ABC △面积的最大值．18．已知正项等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，236a a ⋅=，410S =，等比数列{}n b 的前n 项和21n n T =-．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和．19．如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE △折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）（1）证明：AE PB ⊥； （2）若线段PCA PE C --的余弦值． 20．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？（保留三位小数） （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到愿意参与管理的男性村民的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 参考公式及数据：()()niix x y y r --=∑，22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++10.7≈．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点(0,2)C ，ABC△的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于PQ 两点，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究M ，N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．22．已知函数1()ln x f x x+'=，()1x e g x x =-．（1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值． （2）证明：当1x >时，()()f x g x <． （参考数据：ln 20.693≈，ln3 1.099≈）衡阳市第一中学2021届高三第一次月考数学参考答案 选择题填空题13．(0,1) 14．(,1)-∞ 15．(4,2)- 16．1 解答题17．解：（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+--即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，由正弦定理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又∵0C π<<，∴3C π=． （2）∵22222ab a b c ab c =+-≥-，∴24ab c ≤=，当且仅当a b =时取等号，又1sin 24ABC S ab C ab ==≤△ABC △ 18．解：（1）423105S a a =⇒+=，又23262a a a ⋅=⇒=，33a =或23a =，32a =． 则n a n =或5n a n =-，又数列{}n a 为正项数列，则n a n =当2n ≥时，112n n n n b T T --=-=；当1n =时，111b T ==也满足上式，∴12n n b -=． （2）由题可知，n a n =，12n n n n c a b n -=⋅=⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n G ，01221122232(1)22n n n G n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， 12312122232(1)22n n n G n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯111222(1)21n n n n G n n --=+++-⨯=-⨯-，故(1)21n n G n =-⨯+．19．解：（1）在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，∵AB CE ∥，AB CE =，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE BC AD DE ===， ∴ADE △为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=，∴在等腰ADB △中，6ADB ABD π∠=∠= ∴2362DBC πππ∠=-=，即BD BC ⊥，∴BD AE ⊥， 翻折后可得：OP AE ⊥，OB AE ⊥，又∵OP ⊂平面OB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =，∴AE ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AE PB ⊥； （2）由（1）知DO PO ==，连接OC 在OEC △中，由余弦定理可得OC =． 在POC △中有222PC PO OC =+，可知PO OC ⊥，又PO AE ⊥，OC AE O PO =⇒⊥平面ABCE ，则以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为乙轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，0,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1,0,22PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,022EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则1100PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴1022102x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．设x =1y =，1z =，∴1(3,1,1)n =-，由题意得平面P AE 的一个法向量2(0,1,0)n =，设二面角A EP C --为α，1212|cos |5n n n n α⋅===． 易知二面角A EP C --为钝角，所以cos α=．（射影面积法也可）20．解：（1）依题意：1234535x ++++==，810132024155y ++++==，故()()5142i i i x xy y =--=∑，()52110i i x x=-=∑，()521184i i y y=-=∑，则()()0.981niix x y y r --==≈∑故管理时间y 与土地使用面积线性相关．（2）依题意，女性村民中不愿意参与管理的人数是50，计算得2k 的观测值为22300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100k ⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯．故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关．（3）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到愿意参与管理的男性村民的概率为12． 311(0)28P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，31313(1)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，32313(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33311(3)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 故x 的分布列为则数学期望为()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（1）由已知，A ，B 的坐标分别是(,0)A a，(0,)B b -由于ABC △的面积为3，∴1(2)32b a +=，又由2e =得2a b =，解得：1b =，或3b =-（舍去），∴2a =，1b =，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，P ，Q 的坐标分别为()11,P x y ，()22,Q x y ． 则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+． 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N xx y =+． ∴()()()()()121212212121212113339M N x x x x x x x x y y kx kx k x x k x x ⋅===+++++++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得()221416120k x kx +++=． 由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+． ∴22222222121241412481248936391414M N k x x k k k k k k k +===-++-+++，是定值． 22．解：（1）当1x >时，21ln 1()ln x x f x x--'=，令1()ln 1F x x x =--，则211()0F x x x '=+>． 因此()F x 在(1,)+∞上为增函数，又4(3)ln 303F =-<，5(4)ln 404F =->，∴0(3,4)x ∃∈使得()()000F x f x '==，即001ln 1x x =+， 当01x x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当0x x >时，()0f x '>，()f x 为增函数； ∴()00min 000011()(3,4)1ln 1x x f x f x x x x ++====∈+，所以整数m 的最大值为3． （2）法一：要证()()f x g x <，即证21ln 0xx x e-->， 令21()ln xx h x x e -=-，则2321212()x x xx x e x x xh x x e xe -++--'=-=． 令32()2x x e x x x ϕ=+--，则2()341x x e x x ϕ'=+--，()64x x e x ϕ''=+-，()6xx e ϕ'''=+∵()0x ϕ'''>，∴()x ϕ''在(1,)+∞上为增函数，又(1)2e ϕ''=-，∴()0x ϕ''>， ∴()x ϕ'在(1,)+∞上为增函数，又(1)2e ϕ'=-，∴()0x ϕ'>，∴()x ϕ在(1,)+∞上为增函数，又(1)2e ϕ=-，∴()0x ϕ>，即()0h x '>， ∴()h x 在(1,)+∞上为增函数，∴()(1)0h x h >=，故()()f x g x <． 法二：放缩法．。

2021届高三第一次周考数学试题2021-07-26一、选择题：（每小题5分，1—9单选，10—12多选，共60分） 1、设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A. {x |2<x ≤3} B. {x |2≤x ≤3} C. {x |1≤x <4}D. {x |1<x <4}2、设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3、函数241xy x =+的图象大致为（ ） A .B.C.D.4、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名5、在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A. 5-B. 5C. 10-D. 106、不等式x 2x －1＞1的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，2 7、已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞8、25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 209、已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则（ ） A. a <0B. a >0C. b <0D. b >010、(多选)下列叙述中不正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．“a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件11、(多选)已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A. 2212a b +≥B. 122a b->C. 22log log 2a b +≥-D.≤12、(多选)下列四个命题中，是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2B ．∃x 0∈R ，使得x 20＋1≤2x 0C ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xyx ＋yD ．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则实数m 的取值范围是(－∞，－5]二、填空题：（每小题5分.共20分）13、若命题“存在2,40x R ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14、已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则23a b+的最小值为______．15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，123i z z +=+，则12||z z -=__________. 16、若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则222522x yx xy y --+的最大值为 ．三、解答题：（共70分）17、（本小题满分10分）设全集U ＝R ，函数的定义域为集合A ，函数g（x ）＝e x +2的值域为集合B ． （1）求∁U （A ∩B ）；（2）若集合C ＝{x |x +a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 18、（本小题满分12分）已知集合(){}22|log 4159,A x y x x x ==-+-∈R ，{}|1,B x x m x =-≥∈R ‖(1)求集合A ；(2)若p ：x A ∈，q ：x B ∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R.(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x ＞0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求实数a 的取值范围．20、（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．（注意：方法不作要求）21、（本小题满分12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，22、（本小题满分12分）已知函数(1)()ln 1a x f x x a R x -=-∈+，． (1)若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； (3)设,m n 为正实数，且m n >，求证：2ln ln nm n m n m +<--．。

2021年高三上学期第一次周练数学试卷 Word 版含答案考试时间：100分钟 班级 姓名 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请注意答题的准确度. 1．已知复数( i 是虚数单位，R )，则 ． 【解析】因为i 215)i 21(5)i 21)(i 21()i 21(5i 215+=+=+-+=-，所以3． 2．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 ． 【解析】因为抽取的比例为，所以中等收入家庭应抽取的户数为．3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ︱x 2－x －6≥0，x ∈R }，则N ∩(∁U A )＝ ． 【解析】因为A ＝{x ︱x 2－x －6≥0，x ∈R }＝{x ︱x ≤－2，或x ≥3}， 所以∁U A ＝{x ︱－2＜x ＜3}，所以N ∩(∁U A )＝{0，1，2}．4．从中随机选取一个数a ，从中随机选取一个数b ，则的概率为 ． 【解析】因为所有的基本事件个数为5×3=15，满足a ＞2b 的有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)共4个基本事件， 所以a ＞2b 的概率为．5．如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值 ．【解析】当x ＜0时，y ＝log 2(x +5)＝3，得x +5＝8，所以x ＝3(舍去)； 当x ≥0时，y ＝x 2－3x －1＝3，解得x ＝4或x ＝－1(舍去)．所以输入值x ＝4．6．函数的定义域是 .【解析】因为，所以，即(x －1)(x －2)＞0，解得x ＜1，或x ＞2． 所以定义域为(－∞，1)∪(2，+∞)． 7．函数的值域为 ． 【解析】因为，所以，所以，又． 所以值域为(0，2]．8．函数，的单调减区间为 . 【解析】因为)4sin(2)cos 22sin 22(2cos sin π-=-=-=x x x x x y ， 当时，．又函数的单调减区间为，令，得．所以单调减区间为．9．已知函数R的值域为，则满足条件的实数a组成的集合是．【解析】因为值域为，所以二次函数的开口向下，且与x轴只有一个交点.所以，解得a＝－2．所以实数a组成的集合是{－2}．10．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(0,2)时，f(x)＝x2＋1，则f(123) 的值为．【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(123)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)．因为x∈(0,2)时，f(x)＝x2＋1，所以f(1)＝12＋1＝2，所以f(123)＝－f(1)＝－2．11．已知函数有两个零点，那么实数a的值为．【解析】因为．令，得.又因为有两个零点，所以或，即或，所以实数a的值为6或－6．12．已知下列四个命题，其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上)．(1) 命题“R，使得”的否定是“R，都有”；(2) 命题“在中，若，则”的逆命题为真命题；(3) “”是“函数在处取得极值”的充分不必要条件；(4) 直线不能作为函数图象的切线.【解析】(1)应为“R，都有”．所以(1)错误；(2) 逆命题为“在中，若，则”，由正弦定理，得，从而有，所以(2)正确；(3)因为时，在处不一定取得极值(例如在处)；但在处取得极值，则，所以应是必要不充分条件，故(3)错误；(4)因为恒成立，所以切线的斜率不能为，故(4)正确.因此填(2)(4).13. 已知函数当时，f(x)的取值范围为，则实数m的取值范围是．【解析】当时，，由，得.因为当时，f(x)的取值范围为，实数m的取值范围是[－8，2]．14. 已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，若m，n∈ [-1，1]< f (1-x)的解集为．【解析】因为f(x)是奇函数，所以，所以>0可变形为：，即，根据单调性的定义，可知：f (x )是定义在[-1，1]上的增函数，所以由不等式< f (1-x )，得： ，解得．故不等式< f (1-x )的解集为．二、解答题：本大题共4小题，共计58分. 请注意：答题要规范，步骤要完整. 15. (本小题满分14分)已知命题p ：；命题q ：关于m 的方程 有实数解．(1) 当时，若p 为真命题，求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)当时，若p 为真，则，因为p 为真命题，所以实数x 的取值范围是． (2)因为p ：11111+<<-⇒<-<-⇒<-a x a a x a x ， q ：关于m 的方程有实数解， 所以．因为p 是q 的充分不必要条件，所以是的真子集． 所以或，即或，故实数a 的取值范围为．16. (本小题满分14分)已知向量．(1) 若且，求x 的值；(2) 设，求在区间上的最小值． 【解析】(1)由，得，即， 所以或，即或．因为，所以x 的值为或．(2)因为x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2cos 2)(2++=+=⋅= )42sin(21)2cos 222sin 22(21π++=++=x x x ， 当时，，所以当，即时，0)22(2145sin 21)(min =-⨯+=+=πx f ． 即在区间上的最小值为0．17. (本小题满分14分)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝12时，因为，x ∈[1，＋∞)．所以恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)为增函数． 所以当时，f (x )的最小值为．(2)因为对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＝x2＋2x＋ax＞0恒成立，所以在x∈[1，＋∞)上恒成立，所以，x∈[1，＋∞)．因为在x∈[1，＋∞)上单调递减，所以当时，．所以，即实数a的取值范围为．18. (本小题满分16分)设函数，R．(1) 若，求的极值；(2) 讨论的单调性；(3) 若函数在定义域内为单调函数，求a的取值范围．【解析】(1)当时，，x∈(0，＋∞)．由，得．所以当时，，递减；当时，，递增．所以当时，取得极小值2－2ln2．(2)因为，①当a≤0时，因为x＞0，所以恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.②当a＞0时，令，解得；令，解得．所以f(x)在(0，)上单调递减，在上单调递增.(3)因为在定义域(0，＋∞)内为单调函数，且.①当a≤0时，因为x＞0，所以恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减.(符合题意)②当a＞0时，由已知，得在(0，＋∞)上恒成立，则在(0，＋∞)上恒成立，即在(0，＋∞)上恒成立，所以，x∈(0，＋∞)．因为(当且仅当，即时取＝).即，所以．综上，实数a的取值范围为．426063 65CF 族339989 9C35 鰵22937 5999 妙>36332 8DEC 跬E!22491 57DB 埛dg27040 69A0 榠d40435 9DF3 鷳。

衡阳县一中2025届高三上学期期中考试数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合M={x|x―1x+2≤0},Q={x∈N||x|≤2}，则M∩Q=（）A．{―1,0,1}B．[0,1]C．(―2,1]D．{0,1}2．已知复数z=1―i2+i，则z表示的点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：∀x∈R，ax2―ax+1>0；q：∃x∈R，x2―x+a=0.均为真命题，则a的取值范围是（）A．(―∞,4)B．[0,4)C．(0,14]D．[0,14]4．已知|a|=1,|b|=2，且a―b与a垂直，则a与b的夹角为（）A．60°B．30°C．135°D．45°5．椭圆x29+y25=1，若椭圆上存在不同的两点M,N关于直线y=3x+m对称，则实数m的取值范围（）A．(―263,223)B．(―263,263)C．(―63,263)D．(―233,233) 6．某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（）A．625B．47C．27D．257．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的716，则沙子堆积成的圆台的高（）A ．1B ．32C ．3D ．438．已知函数f (x )=sin 4ωx +cos 4ωx ―58在(0,π4]上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(43,83]B ．[43,83)C ．(83,163]D ．[83,163)二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于―1，到点F (1,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为1，则（ ）A ．a =―1B ．点(2,0)在C 上C ．C 在第一象限点的纵坐标的可以为12D ．当点(x 0,y 0)在C上时，y 20>1(x 0+1)210．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点M ,N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM =BN =a (0<a <2)，则下列结论中正确的有（ ）A．∃a∈(0,2)，使MN=12CEB．线段MN存在最小值，最小值为23C．直线MN与平面ABEF所成的角恒为45°D．∀a∈(0,2)，都存在过MN且与平面BEC平行的平面11．设正项等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项正确的是（）A．S9=S4+q4S5B．若T2025=T2020，则a2023=1C．若a1a9=4，则当a24+a26取得最小值时，a1=2D．若(a n+1)n>T2n，则a1<1第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）12．已知2a+b=1(a>0,b>0)，则3a+1+1b+1的最小值为．13．已知某三棱台的高为25，上、下底面分别为边长为43和63的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．14．已知f(x)={|ln x|,0<x≤e2―ln x,x>e，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+e2c的范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）已知数列{a n}和等比数列{b n}，a n=1+1，若{a n}的最大项和2n―9最小项分别是{b n}中的b2―1和b3―9的值．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n=1⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．a n―116．（15分）如图，在四棱锥P―ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB ⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD=5.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD?若存在，求出AM的值；若不存在，AP请说明理由.17．（15分）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合计喜欢食堂就餐不喜欢食堂就餐10合计100(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；(2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为45；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为13，求甲同学星期四选择②号套餐的概率.参考公式：χ2=n (ad ―bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d .α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818．（17分）如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1)，焦距为42，斜率为―13的直线l与椭圆C相交于异于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)若MN=10，求MN的方程；(3)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明:k1k2为定值.19．（17分）已知函数f(x)=x3―3mx+m2.(1)当m=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有三个不相等的零点x1,x2,x3，且f(x)在点(x i,f(x i))处切线的斜率为k i(i=1,2,3)，求m的取值范围及1k1+1k2+1k3的值.数 学（答案）1．【答案】D【解析】由x ―1x +2≤0，可得{(x ―1)(x +2)≤0x +2≠0，解得―2<x ≤1，∴M ={x|―2<x ≤1}，又Q ={0,1,2}，所以M ∩Q ={0,1}，故选：D ．2．【答案】A【解析】z =1―i2+i=(1―i )(2―i )(2+i )(2―i )=2―i ―2i ―15=15―35i ，所以z =15+35i ，所以z 表示的点所在象限是第一象限，故选：A 3．【答案】D【解析】ax 2―ax +1>0恒成立，当a =0时，1>0，满足要求，当a ≠0时，需满足{a >0Δ=a 2―4a <0，解得0<a <4，故p 为真命题，需满足0≤a <4，∃x ∈R ，x 2―x +a =0，则Δ=1―4a ≥0，解得a ≤14，故q 为真命题，需满足a ≤14，综上，a 的取值范围为[0,4)∩(―∞,14]=[0,14]故选：D 4．【答案】D【解析】由题设(a ―b )⋅a =a 2―a ⋅b =0⇒a ⋅b =a 2=1，所以cos ⟨a ,b ⟩=a b=22，而0°≤⟨a ,b ⟩≤180°，所以⟨a ,b ⟩=45°.故选：D 5．【答案】B【解析】椭圆x 29+y 25=1，即：5x 2+9y 2―45=0，设椭圆上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =3x +m 对称，AB 中点为M (x 0,y 0)，则5x 21+9y 21―45=0，5x 22+9y 22―45=0，所以5(x 1+x 2)(x 1―x 2)+9(y 1+y 2)(y 1―y 2)=0，所以y 1―y 2x 1―x 2=―59⋅x 0y 0=―13，所以y 0=53x 0，代入直线方程y =3x +m 得x 0=―3m 4，y 0=―5m 4，即M (―3m 4,―5m 4)，因为(x 0,y 0)在椭圆内部，所以5×9m 216+9×25m 216<45，解得―263＜m ＜263，即m 的取值范围是(―263,263)．故选：B ．6．【答案】B【解析】设样本空间为Ω，则n (Ω)=C 49=126，设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A ，则n (A )=C 24C 13C 12+C 14C 23C 12+C 14C 13C 22=72，所以P (A )=n (A )n (Ω)=72126=47.故选：B.7．【答案】B【解析】设沙漏下半部分的圆锥的容积为V ，沙子堆成的圆台体积为V 1，该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为V 2=V ―V 1．由题意可知V 12V =716，即V 1V =78，则V 2V =18，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为32．故选：B 8．【答案】B【解析】因为f (x )=sin 4ωx +cos 4ωx ―58=(sin 2ωx +cos 2ωx)2―2sin 2ωx cos 2ωx ―58=―12sin 22ωx +38=―12×1―cos 4ωx2+38=14cos4ωx +18，令4ωx =t ,t ∈(0,ωπ]，则y =14cos t +18，令14cos t +18=0，得到cos t =―12，所以t =2π3+2k π,k ∈Z 或t =4π3+2k π,k ∈Z ，令k =0，得到t =2π3或t =4π3，令k =1，得到t =8π3或t =10π3，又f (x )在(0,π4]上有且仅有两个零点，所以y =14cos t +18在(0,ωπ]上有且仅有两个零点，所以4π3≤ωπ<8π3，得到ω∈[43,83)，故选：B.9．【答案】ABC【解析】对于A ，因为O 在曲线上，所以O 到x =a 的距离为―a ，而|OF |=1，所以有―a ⋅1=1，故a =―1，故A 正确，对于B ，因为曲线的方程为(x +1)(x ―1)2+y 2=1，代入(2,0)知满足方程；故B 正确，对于C ，由(x +1)(x ―1)2+y 2=1，将(1,12)代入方程满足，故(1,12)在曲线上，故C 正确，对于D ，曲线的方程为(x +1)(x ―1)2+y 2=1，可化为(x ―1)2+y 2=(1x +1)2，即y 2=(1x +1)2―(x ―1)2，因为y 20=(1x 0+1)2―(x 0―1)2≤(1x 0+1)2，故D 错误，故选：ABC ．10．【答案】AD【解析】因为四边形ABCD 正方形，故CB ⊥AB ，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB ⊥BE .设MC =λAC ，则BN =λBF ，其中λ=a 2∈(0,1)，由题设可得MN =MC +CB +BN =λAC +CB +λBF ，=λ(BC ―BA )+CB +λ(BA +BE )=(λ―1)BC +λBE ，对于A ，当λ=12即a =22时，→MN =―12⃗BC +12⃗BE =12⃗CE ，故A 正确；对于B ， MN 2=(λ―1)2+λ2=2λ2―2λ+1=2(λ―12)2+12，故|MN |≥22，当且仅当λ=12即a =22时等号成立，故|MN |min=22，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得MN =(λ―1)BC +λBE ，而平面ABEF 的法向量为BC 且MN ⋅BC =(λ―1)BC 2=λ―1，故cos ⟨MN ,BC ⟩=λ―12λ2―2λ+1，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得MN =(λ―1)BC +λBE ，故MN ,BC ,BE 为共面向量，而MN⊄平面BCE ，故MN //平面BCE ，故D 正确；故选：AD 11．【答案】AB【解析】因为数列{a n }为正项等比数列，则a 1>0,q >0,T n >0，对于选项A ：因为S 9=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=S 4+q 4(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)=S 4+q 4S 5，所以S 9=S 4+q 4S 5，故A 正确；对于选项B ：若T 2025=T 2020，则T 2025T 2020=a 2021⋅a 2022⋅a 2023⋅a 2024⋅a 2025=a 52023=1，所以a 2023=1，故B 正确；对于选项C ：因为a 1a 9=a 4a 6=4，则a 24+a 26≥2a 4a 6=8，当且仅当a 4=a 6=2时，等号成立，若a 24+a 26取得最小值，则a 4=a 6=2，即{a 4=a 1q 3=2a 6=a 1q 5=2，解得{a 1=2q =1，故C 错误；对于选项D ：例如a 1=1,q =2，则a n =2n―1，Tn=a 1a 2⋅⋅⋅a n =20×21×⋅⋅⋅×2n―1=21+2+⋅⋅⋅+n―1=2n (n―1)2，可得(a n +1)n=(2n )n=2n 2,T 2n=(2n (n―1)2)2=2n 2―n ，因为n ∈N *，则n 2>n 2―n ，可得2n 2>2n2―n，即(a n +1)n >T 2n ，符合题意，但a 1=1，故D 错误；故选：AB.12．【答案】7+264【解析】3a +1+1b +1=14(62a +2+1b +1)(2a +2+b +1)=14[7+6(b +1)2a +2+2a +2b +1]≥7+264，当且仅当6(b +1)2a +2=2a +2b +1，即6(b +1)2=(2a +2)2，即当a =7―265,b =46―95时等号成立.故答案为：7+26413．【答案】144π【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台ABC ―A 1B 1C 1，如图，上底面正△A 1B 1C 1外接圆的半径是O 1A 1=23×32×43=4，O 1为正△A 1B 1C 1外接圆圆心，下底面正△ABC 外接圆的半径是O 2A =23×32×63=6，O 2为正△ABC 外接圆圆心，由正三棱台的性质知，其外接球的球心O 在直线O 1O 2上，令该球半径为R ，R 2―42+R 2―62=25，或R 2―42―R 2―62=25，解得R 2=36，所以球O 的表面积是S =4πR 2=4π×36=144π．故答案为：144π14．【答案】(3,2e +1e)【解析】函数f (x )={―ln x,0<x ≤1ln x,1<x ≤e 2―ln x,x >e在(0,1]，(e,+∞)上单调递减，在(1,e ]上单调递增，f (e 2)=0，f (1)=0，画出f (x )={|ln x |,0<x ≤e2―ln x,x >e的图象，如图，令a <b <c ，由f (a )=f (b )=f (c )，得1e <a <1，1<b <e ，e <c <e 2，由|ln a |=|ln b |，得ln a +ln b =0，即ab =1，由ln b =2―ln c ，得bc =e 2，于是a +b +e 2c =1b +b +bc c =1b +2b ，由对勾函数性质知，y =1b +2b 在(1,e )上递增，则3<1b +2b <2e +1e，所以a +b +e 2c的范围是(3,2e +1e )．故答案为：(3,2e +1e)15．【解析】（1）由题意，a n =1+12n ―9(n ∈N ∗)，结合函数f (x )=1+12x ―9的单调性，可知a 5>a 6>a 7>⋯>a n >1>a 1>a 2>a 3>a 4(n ∈N ∗)，所以数列{a n }中的最大项为a 5=2，最小项为a 4=0，所以b 2―1=2,b 3―9=0，即b 2=3,b 3=9，所以等比数列{b n }的公比q =b 3b 2=3，所以b n =b 2⋅q n―2=3n―1（2）c n =1a n ―1⋅b n =(2n ―9)⋅3n―1，S n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =(―7)×30+(―5)×31+⋯+(2n ―11)×3n―2+(2n ―9)×3n―1，3S n =(―7)×31+(―5)×32+⋯+(2n ―11)×3n―1+(2n ―9)×3n ，两式相减得：―2S n =―7+2×(31+32+33+⋯+3n―1)―(2n ―9)×3n =―7+2×3(1―3n―1)1―3―(2n ―9)×3n =―10+3n (10―2n )，故S n =5+3n (n ―5).16．【解析】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，且AB ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又PD ⊥PA ，且PA ∩AB =A ，PA ,AB ⊂平面PAB ，∴PD ⊥平面PAB ；（2）取AD 中点为O ，连接CO ,PO ，又∵PA =PD ，∴PO ⊥AD ．则AO =PO =1，∵CD =AC =5，∴CO ⊥AD ，则CO =AC 2―OA 2=5―1=2，以O 为坐标原点，分别以OC ,OA ,OP 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O ―xyz ，则P (0,0,1)，B (1,1,0)，D (0,―1,0)，C (2,0,0)，则PB =(1,1,―1)，PD =(0,―1,―1)，PC =(2,0,―1)，CD =(―2,―1,0)，设n =(x,y,z )为平面PCD 的一个法向量，则由{n ⋅PD =0n ⋅PC =0，得{―y ―z =02x ―z =0，令z =1，则n =(12,―1,1)．设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则sin θ=|cos ⟨n ,PB ⟩|=n PB =|12―1―114+1+1×3|=33；（3）假设在棱PA 上存在点M 点，使得BM //平面PCD . 设AM =λAP ，λ∈[0,1]，由（2）知，A (0,1,0)，B (1,1,0)，P (0,0,1)，则AP =(0,―1,1)，BA =(―1,0,0)，BM =BA +AM =BA +λAP =(―1,0,0)+(0,―λ,λ)=(―1,―λ,λ)，由（2）知平面PCD 的一个法向量n =(12,―1,1)．若BM //平面PCD ，则BM ⋅n =―12+λ+λ=2λ―12=0，解得λ=14，又BM⊄平面PCD ，故在棱PA 上存在点M 点，使得BM //平面PCD ，此时AMAP =14.17．【解析】（1）喜欢食堂就餐的人数为100+202=60，则不喜欢的人数为60―20=40人，则不喜欢食堂就餐的女生为40―10=30人，因为男女生人数比为1∶1，则男女生各50人，则喜欢堂食就餐的女生为50―30=20人，喜欢堂食就餐的男生为50―10=40人，则列联表见图，男生女生合计喜欢食堂就餐402060不喜欢食堂就餐103040合计5050100零假设H 0:假设食堂就餐与性别无关，由列联表可得H 0:χ2=100(40×30―10×20)250×50×60×40≈16.667>10.828，根据小概率α=0.001的独立性检验推断H 0不成立，即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关.（2）记事件A ：小林同学星期二选择了①号套餐，事件B ：小林同学星期四选择了②号套餐,P (A )=P (A )=12,P (B∣A )=1―45=15,P (B ∣A )=1―13=23,由全概率公式可得P (B )=P (A )⋅P (B |A )+P (A )⋅P (B |A )=12×15+12×23=133018．【解析】（1）由题意得{9a 2+1b2=12c =42a 2=b 2+c 2解得{a =23b =2c =22，故椭圆C 的方程为x 212+y 24=1.（2）设直线l 的方程为y =―13x +m ，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)由{y =―13x +mx 212+y 24=1得4x 2―6mx +9m 2―36=0，由Δ=(6m)2―144(m 2―4)>0，得―433<m <433，则x 1+x 2=3m 2,x 1x 2=9m 2―364.|MN |=1+19⋅(x 1+x 2)2―4x 1x 2=102⋅16―3m 2=10，解得m =2或m =―2当m =2时，直线l :y =―13x +2经过点P (3,1)，不符合题意，舍去；当m =―2时，直线l 的方程为y =―13x ―2.（3）直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以x 1≠3,x 2≠3，则m ≠0且m ≠2，所以k 1k 2=y 1―1x 1―3⋅y 2―1x 2―3=(―13x 1+m ―1)(―13x 2+m ―1)(x 1―3)(x 2―3)=19x 1x 2―13(m ―1)(x 1+x 2)+(m ―1)2x 1x 2―3(x 1+x 2)+9=19⋅9m2―364―13(m ―1)⋅3m2+(m ―1)29m 2―364―3⋅3m2+9=3m 2―6m 9m 2―18m=13为定值.19．【解析】（1）当m =1时，f (x )=x 3―3x +1，f ′(x )=3x 2―3，切点为(0,1)，切线斜率f ′(0)=―3，故切线方程为y ―1=―3(x ―0)，即切线方程为y=―3x+1.（2）f′(x)=3x2―3m,x∈R，当m≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(―∞,+∞)上单调递增；当m>0时，令f′(x)=0，得x=±m，令f′(x)<0，得―m<x<m，令f′(x)>0，得x<―m或x>m，所以f(x)在(―m,m)上单调递减，在(―∞,―m)，(m,+∞)上单调递增.（3）由（2）知，f(x)有三个零点，则m>0，且{f(―m)>0f(m)<0，即{m2+2m m>0m2―2m m<0，解得0<m<4，当0<m<4时，3m>m，且f(3m)=m2>0，所以f(x)在(m,3m)上有唯一一个零点，同理―2m―1<―m，f(―2m―1)=―8m3―5m2―3m―1<0，所以f(x)在(―2m―1,―m)上有唯一一个零点，又f(x)在(―m,m)上有唯一一个零点，所以f(x)有三个零点，综上可知m的取值范围为(0,4)，由f(x)有三个不相等的零点x1,x2,x3，不妨设f(x)=a(x―x1)(x―x2)(x―x3)，其中a≠0，则f′(x)=a[(x―x2)(x―x3)+(x―x1)(x―x3)+(x―x1)(x―x2)]，则1k1+1k2+1k3=1a[1(x1―x2)(x1―x3)+1(x2―x1)(x2―x3)+1(x3―x1)(x3―x2)]∴1k1+1k2+1k3=x2―x3+x3―x1+x1―x2a(x1―x2)(x1―x3)(x2―x3)=0.。

2021年高三上学期第一次周考 数学理一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确答案填入答题卡上的相应空格内） 1．已知集合{}{}N M x x g y x N x y y M x ⋂-==>== ,)2(1,0,22为（ ） A ．（1，2） B ． C ． D ． 2．函数的定义域是( )A. (-)B.C. (2,+)D. [1,+) 3．函数的定义域为，则它的值域为（ ）A. B. C. D. 4．函数的零点个数为（ ）.A. 0B. 1C. 2D. 3 5．设函数，若时，有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6. 已知，则下列函数的图象错误．．的是（ ）7. 设函数是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，2)B ．(-∞，]C ．(0,2)D ．[,2) 8. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件9．已知以为周期的函数，其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）A ． B. C. D.10．若函数在区间上恒有，则 的单调递增区间是（ ）A. B. C. D.二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填入答题卡上)。

11．设，则大小关系是_______________12．若是上的奇函数，则函数的图象必过定点 . 13．若函数对任意实数都有，且，则14．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k 的取值范围 .15．给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数x 最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R ，值域是[0，]； ②函数的图像关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期是1； ④ 函数在上是增函数.则其中真命题是__ ．（请填写序号）D .的图象 A .的图象 B .的图象 C .的图象吉安县二中高三上第一次周考数学试卷答题卡(理)xx.9.15111. 12. 13. 14. 15. 三、解答题（本大题6小题，共75分。

2021年湖南省衡阳市市第一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线，过原点的动直线交抛物线于、两点，是的中点，设动点，则的最大值是（）A．B．C． D．参考答案：A2. 设集合A={－1,0,1}，B={x|x2=x}，则A∩B=（）A．{1} B．{－1} C．{0,1} D．{－1,0}参考答案：C，，，故选C.3. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A．3 B．C．D．参考答案：B 4. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．4参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），由中点坐标公式求出M、N坐标关于x1、y1的表达式．根据直径所对的圆周角为直角，得=（4﹣）﹣=0．再由点A在双曲线上且直线AB的斜率为，得到关于x1、y1、a、b的方程组，联解消去x1、y1得到关于a、b的等式，结合b2+a2=c2=4解出a=1，可得离心率e的值．【解答】解：根据题意，设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴M（（x1+2），y1），N（（﹣x1+2），﹣y1）．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴∠NOM=90°，可得=（4﹣）﹣=0．…①又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②．由①②联解消去x1、y1，得﹣=，…③又∵F（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2﹣a2=4﹣a2，∴代入③，化简整理得a4﹣8a2+7=0，解之得a2=1或7，由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．故a2=1，得a=1，离心率e==2．故选：C5. 若函数在区间上递减，且，，则（）A． B． C． D．参考答案：D考点：1、复合函数的单调性；2、指数与对数函数．6. 如图，已知点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD－A1 B1C l D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、 AG、BE、C1B1上运动，当以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P－MNQ的俯视图是如右图所示的等腰三角形时，点P到平面MNQ的距离为（）A．B．C．D．a参考答案：D7. 函数的单调增区间是A. (－∞,2]B．[0,2]C．[2,4]D．[2,+∞)参考答案：B 8. 已知?为等比数列，若的值为（） A．10 B．20 C．60 D．100参考答案：9. ．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是参考答案：C略10. 若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知单位向量的夹角为60°，则=__________.参考答案：略12. 已知函数y=f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+2）﹣3，则f（6）= ，f（f（0））= ．参考答案：0，-1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：运用解析式得出f（6）=log2（6+2）﹣3，结合函数的奇偶性f（f（0））=f（﹣2）=f（2）求解即可．解答：解：∵当x≥0时，f（x）=log2（x+2）﹣3，∴f（6）=log2（6+2）﹣3=3﹣3=0f（0）=1﹣3=﹣2，∵函数y=f（x）为R上的偶函数，∴f（f（0））=f（﹣2）=f（2）=2﹣3=﹣1故答案为：0，﹣1点评：本题简单的考查了函数的性质，解析式，奇偶性的运用，属于简单计算题13. 对于数列{a n}，定义数列{a n＋1－a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1＝1.{a n}的“差数列”的通项公式为a n＋1－a n＝2n，则数列{a n}的前n项和S n＝________.参考答案：2n＋1－n－214. （文）已知数列满足，且,,则的值为 .参考答案：13915. 为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为=0.85x﹣0.25．由以上信息，得到下表中c的值为．6【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于c 的方程，解方程即可．【解答】解：∵ =（3+4+5+6+7）=5， =（2.5+3+4+4.5+c）=∴这组数据的样本中心点是（5，）把样本中心点代入回归直线方程=0.85x﹣0.25∴=0.85×5﹣0.25，∴c=6故答案为：6【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．16. 数列{a n}满足，若a1＝34，则数列{a n}的前100项的和是_____．参考答案：450分析：根据递推关系求出数列的前几项，不难发现项的变化具有周期性，从而得到数列的前项的和.详解：∵数列{a n}满足，∵a1=34，∴a2==17，a3=3a2+1=3×17+1=52，a4==26，a5==13，a6=3a5+1=40，a7==20，a8==10，a9==5，a10=3a9+1=16，a11==8，a12==4，a13==2，a14==1，同理可得：a15=4，a16=2，a17=1，……．可得此数列从第12项开始为周期数列，周期为3．则数列{a n}的前100项的和=（a1+a2+……+a11）+a12+a13+29（a14+a15+a16）=（34+17+52+26+13+40+20+10+5+16+8）+4+2+29×（1+4+2）=450．故答案为：450．点睛：本题考查了分段形式的递推关系，数列的周期性.数列作为特殊的函数，从函数角度思考问题，也是解题的一个角度,比如利用数列的单调性、周期性、对称性、最值等等.17. 已知f(x)定义域为(a，b)，如果都有,则称f(x)为“周函数”。

2021年高三上学期第三次周考（理）数学试题含答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，集合，则等于（）A． B． C． D．2.已知复数（为虚数单位），则等于（）A． B． C． D．3.设是等差数列，若，则等于（）A．6 B．8 C．9 D．164.某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编辑为（）A．2 B．3 C．3 D．55．已知向量，且与共线，那么的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A．3 B．-6 C．10 D．128．已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．9．函数的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则两球在正方体的面上的正投影是（）A． B．C．D．11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，直线分别与抛物线交于点，设直线的斜率分别为，则等于（）A． B． C．1 D．212．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分）13.设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则________．14.某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据，因书写不清，只记得是内的任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为________．（残差=真实值-预测值）．15.数列的通项为，前项和为，则________．16.设为的导函数，是的导函数，如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递增，在区间单调递减，则称为的“上趋拐点”；如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递减，在区间单调递增．则称为的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是_______．（只写出正确结论的序号）①0为的“下趋拐点”；②在定义域内存在“上趋拐点”；③在上存在“下趋拐点”，则的取值范围为；④是的“下趋拐点”，则的必要条件是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.分）17.（本小题满分12分）已知向量,若函数，（1）求时，函数的值域；（2）在中，分别是角的对边，若，且，求边上中线长的最大值．18.在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分，现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为，设为坐标原点，点的坐标为，记．（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（2）求随机变量的分布列和数学期望．19.如图，在直角梯形中，平面，．（1）求证：平面；（2）在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．20.已知两点,动点与两点连线的斜率满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）是曲线与轴正半轴的交点，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．21.已知函数，；（取为2.8，取为0.7，取），（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若与的图象有两个交点，求证：．22.已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为，（1）将曲线的参数方程化为普通方程；（2）曲线与曲线有无公共点？试说明理由．23.（本小题满分10分）已知，（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）设，且，求证：．参考答案1～12． BAAB DCCA ABBA13． 14． 15．200 16．①③④17．试题解析：（1），值域； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．试题分析：（1）∵可能的取值为1、2、3，∴，（2）的所有取值为0，1，2，5．∵时，只有这一种情况，时，有1,12,12,33,3x y x y x y x y ========或或或四种情况，时，有两种情况．∴142(0),(1),(2),999P P P ξξξ====== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分则随机变量的分布列为：1 12 5因此，数学期望，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、古典概型；2、随机变量的分布列及期望．19．解：（1）如图，作，连接交于，连接，∵且，∴，即点在平面内．由平面，知．∴四边形为正方形，四边形为平行四边形，∴为的中点，为的中点．∴，∵平面，平面，∴平面．（2）法一：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系． 则，设，∴，设平面的一个法向量为，则，令，得，∴．又∵平面，∴为平面的一个法向量， ∴2023cos ,cos 621(2)14n AE y π===⨯-++，解得， ∴在直线上存在点，且，即二面角的余弦值是．考点：线面垂直、二面角20.试题解析：（1）设点的坐标为，则，依题意，所以，化简得，所以动点的轨迹的方程为．注：如果未说明（或注），扣1分．（2）设能构成等腰直角，其中为，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设所在直线的方程为，（不妨设），则所在直线的方程为联立方程，消去整理得，解得，将代入可得，故点的坐标为．所以2814HM k==+， 同理可得，由，得，所以，整理得，解得或，当斜率时，斜率-1；当斜率时，斜率；当斜率时，斜率，综上所述，符合条件的三角形有3个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：圆锥曲线的综合应用．21．解析：（1）由，得；∵在上递增，∴对，都有，（求出导数给1分）即对，都有，∵，∴；故实数的取值范围是．（2）设切点，则切线方程为：， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即， 令，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---； 令，则．当时，在上递减；当时在上递增，∴，故的最小值为-1．（3）由题意知：，，两式相加得：，两式相减得：，即， ∴21211212122112ln1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-，即， 不妨令，记，令，则．∴在上递增，则，∴，则，∴，又1212121212122()ln ln lnx xx x x x x xx x+-<-==∴，即，令，则时，，∴在上单调递增，又1ln210.8512e=+-=<，∴1lnG=>>∴，即．22．试题解析：解：（1），，（2）消得，，所以无公共点考点：参数方程化为普通方程，直线与抛物线位置关系23．（1），（2）∵，∴只需证明：，成立即可；，333422m n m n≤---=--=，∴，故要证明的不等式成立．32676 7FA4 群K32845 804D 聍G24277 5ED5 廕33291 820B 舋 39542 9A76 驶31505 7B11 笑930081 7581 疁._H。

2020-2021学年湖南省衡阳一中高三（上）期中数学试卷一、选择题：（体大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤3}B．{x|1＜x≤2}C．{x|x2≥﹣2}D．{x|x2≥﹣3} 2．（5分）已知复数z＝1+i，则|z2﹣1|＝（）A．5B．2C．D．23．（5分）在△ABC中，“sin A sin B＞cos A cos B”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）向量，满足||＝||，（+2）⊥（﹣）与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（5分）函数y＝sin x+ln|x|在区间[﹣3，3]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）1715年英国数学家布看克泰勒（BrookTaylor）在他的著作中陈述了泰勒公式．如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达个函数．泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数x＝＝+++…++…，n∈N*．试用上述公式估计e的近似值为（精确到0.001）（）A．1.647B．1.648C．1.649D．1.6507．（5分）已知奇函数f（x）是R上增函数，g（x）＝xf（x），则（）A．B．C．D．8．（5分）已知实数m，n满足mn＞0，则的最大值为（）A．3+2B．3﹣2C．2+D．2﹣二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分。

9．（5分）下列说法正确的有（）A．||2＝2B．＝C．若|+|＝|﹣|，则•＝0D．若与是单位向量，则•＝110．（5分）已知函数f（x）＝sin（3x﹣φ）（﹣＜φ＜）的图象关于直线x＝，则（）A．函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝﹣cos3x的图象B．函数f（x﹣）为偶函数C．函数f（x）在[，]上单调递增D．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为11．（5分）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．如果定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”2+y2＝1，则下列说法中正确的是（）A．函数y＝x3是圆O的一个太极函数B．函数y＝sin x是圆O的一个太极函数C．若函数f（x）是奇函数，则f（x）为圆O的太极函数D．若函数f（x）是偶函数，则f（x）不能为圆O的太极函数12．（5分）设f（x）＝，x∈[，]的最大值为M，则（）A．当a＝﹣1时，M＞B．当a＝1时，M＜1C．当a＝2时，M＜D．当a＝3时，M＜2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

衡阳市第一中学高三第五次月考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =-≤， {}sin ,N y y x x R ==∈，则MN =（ ）A. []1,0-B. ()0,1C. []0,1D. ∅C解不等式化简集合M ，利用三角函数的值域可得集合N ，再进行集合的交运算即可；{}{}2001M x x x x x =-≤=≤≤，{}{}sin ,11N y y x x R y y ==∈=-≤≤， ∴[]0,1M N ⋂=，故选：C.本题考查集合的交运算以及正弦函数的值域，考查运算求解能力，属于基础题.2. 已知函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．因为函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,是连续单调函数，且()1133111f 010,f 0,323⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112311111f 0,f f 022232⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数f(x)在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭必有零点，故选B ．利用方程根的存在性定理求解三步曲是：①先移项使方程右边为零，再令方程左边为函数()f x ；②求区间(,)a b 两端点的函数值(),()f a f b ；③若函数在该区间上连续且()()0f a f b ⋅<，则方程在该区间内必有根.3. 数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈的都有11n n a a n +=++，则10a =（ ） A. 54B. 55C. 56D. 57B由已知得11n n a a n +-=+，利用累加法即可得结果. 对任意n *∈N 的都有11n n a a n +=++，则11n n a a n +-=+，()()()1012132109101112310=552a a a a a a a a ⨯∴=+-+-++-=++++=，故选：B. 4. 已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 A由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.(),a b 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点. 5. 函数()cos22sin x x f x =+在[],ππ-上的图象是（ ）A. B.C.D.A利用02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭和02f π⎛⎫-< ⎪⎝⎭可排除错误选项得到结果.cos 2sin 121022f πππ⎛⎫=+=-+=> ⎪⎝⎭，可排除,B C ；()cos 2sin 123022f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可排除D .故选：A 本题考查函数图象的识别，此类问题通常采用排除法，排除依据通常为：奇偶性、特殊位置的符号、单调性.6. 矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ） A. 12512π B.1259π C.1256π D.1253π C由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭. 故选：C本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.7. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A. 1254- B. 358+-C. 514-D. 458-C先求出51cos ACB -∠=，再根据二倍角余弦公式求出cos144，然后根据诱导公式求出sin 234.由题意可得：72ACB ︒∠=，且1512cos 4BCACB AC ∠==， 所以225151cos1442cos 72121︒︒-+=-=⨯-=⎝⎭， 所以()51sin 234sin 14490cos1444︒︒︒︒=+==-，故选：C 本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.8. （2020·山东滨州.高三三模）已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（ ） A. 4- B. 2- C. 2 D. 4D根据题意，延长CO 交AB 于D ，求得3OD mOC=，再求得面积比，结合已知条件，即可求得结果.由2OA OB mOC+=-得：12333mOA OB OC+=-设3mOC OD-=，则1233OA OB OD+=,,A B D∴三点共线如下图所示：OC与OD 反向共线，0m>,3OD mOC∴=3313mOD mm mCD∴==++734AOBABC DS ODmSmC∆∆∴+===4m⇒=.故选：D.本题考查向量共线定理的应用，属综合中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知复数()()()32=-+∈z a i i a R的实部为1-，则下列说法正确的是（）A. 复数z的虚部为5-B. 复数z的共轭复数15=-z iC. 26z= D. z在复平面内对应的点位于第三象限ACD首先化简复数z，根据实部为-1，求a，再根据复数的概念，判断选项.()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i=-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a+=-，解得：1a=-，所以15z i=--，A.复数z的虚部是-5，正确；B.复数z的共轭复数15z i=-+，不正确；C.()()221526z=-+-=正确；D.z在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确.故选：ACD10. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A. a 1=22B. d =－2C. 当n =10或n =11时，S n 取得最大值D. 当S n >0时，n 的最大值为20BCD由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠， 由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20．故选：BCD方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.11. 已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A. a 与b 的夹角为钝角B. 向量a 在b 方向上的投影为C. 2m +n =4D. mn 的最大值为2 CD对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断.对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误； 对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确；故选：CD.本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题. 12. 已知函数()=cos sin f x x x -，则下列结论中，正确的有（ ） A. π是()f x 的最小正周期B. ()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. ()f x 的图象的对称轴为直线()4x k k Z ππ=+∈D. ()f x 的值域为[]0,1 BD由()()f x f x -=，知函数为偶函数，又()()2f x f x π+=，知2π是()f x 的周期，当[0,]4x π∈时，化简()f x 并画出其图象，在根据偶函数和周期性，画出函数()f x 的图象，根据图象判断每一个选项是否正确.由()()f x f x -=，知函数为偶函数，又()()2f x f x π+=，知2π是()f x 的周期，当[0,]4x π∈时，()cos sin 2sin()4f x x x x π=-=--，画出()f x 的图象如图所示：由图知，()f x 的最小正周期是2π，A 错误；()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；()f x 的图象的对称轴为(),4k x k Z π=∈，C 错误； ()f x 的值域为[]0,1，D 正确.故选：BD.本题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键，属于中档题.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 计算：132318log log ()927-+=____________.4122=、2139-=、382()273=代入式中化简求值 132318log log ()927-+113()232232log 2log 3()3⨯--=-+ 13222=++ 4=故答案为：4本题考查了对数运算；结合有理数指数幂进行化简求值14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若2n ≥时，n a 是n S 与1n S -的等差中项，则5S =_______.81根据题意得2n ≥时，12n n n a S S -=+，再结合1n n n a S S -=-即可得{}n S 是等比数列，公比为3，首项为111S a ==，再根据等比数列通项公式即可得答案.解：根据题意得：2n ≥时，12n n n a S S -=+，另一方面，当2n ≥时，1n n n a S S -=-, 所以()112n n n n S S S S ---=+，即：当2n ≥时，13n n S S -=，所以{}n S 是等比数列，公比为3，首项为111S a ==，所以13n n S -=，所以515381S -==.故答案为：81.本题解题的关键在于利用2n ≥时，1n n n a S S -=-得{}n S 是等比数列，公比为3，首项为111S a ==，考查等比数列的定义，通项公式等，是中档题.15. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的表面积是_________.723【分析】求出三棱柱的高为4，设正三棱柱的底面边长为a ，根据等体积法可得出关于a 的等式，解出a 的值，即可求得该正三棱柱的表面积. 设正三棱柱111ABC A B C -的内切球为球O ，设球O 的半径为R ，则343233R ππ=，解得2R =，所以，124AA R ==， 设正ABC 的边长为a ，2213sin 6024ABC S a a =⨯=△，正三棱柱111ABC A B C -的体积为1112213434ABC A B C ABC V S AA a a -=⋅=⨯=△， 另一方面111111111111ABC A B C O ABC O A B C O AA B B O AA C C O BB C C V V V V V V ------=++++，即112213132322342343O ABC O AA B B a V V a a --=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯，整理得2430a a -=，0a >，解得43a =， 因此，这个三棱柱的表面积为233427234S a a =⨯+⨯=. 故答案为：723.方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.16. 已知函数221,0()2,0x x f x x x x -⎧-≤=⎨-->⎩，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是________.(-1，2)利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系得到关于 a 的不等式，解不等式即可．函数()21x f x -=-在(,0)-∞单调递减，2()2f x x x =--在(0)+∞，单调递减， 而函数在0x =处连续，∴函数221,0()2,0x x f x x x x -⎧-≤=⎨-->⎩在R 单调递减.2(2)()f a f a -> 22a a ∴-<解得(1,2)a ∈-． 故答案为：(-1，2)(1)利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数21()cos sin ()2f x x x x x R =++∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()2c f C ==，向量(1,)m a =与向量(2,)n b =共线，求,a b 的值．（1）,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,2a b ==.（1）应用二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得增区间；（2）由()2f C =求得C ，再由向量共线得,a b 关系同，然后由余弦定理可得,a b 值．（1）∵函数21()cos sin ,2f x x x x x R =++∈，12cos 21sin(2)126f x x x x π∴-+=-+（） 令222,,26263k x k k -x k πππππππππ-≤-≤+≤≤+解得所以函数的单调递增区间为,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （开闭区间都可以）（2）C =sin(2)126f C π-+=（），sin(2)16C π-=，∵110,2,266662C C C ππππππ<<∴-<-=-=，解得3C π= ∵向量(1,),(2,)m a n b ==共线，∴2b a =①由余弦定理，得222222cos,33c a b ab a b ab π=+-∴+-=，②由①②得1,2a b ==．本题考查二倍角公式、两角差的正弦公式，考查向量共线的坐标表示，主要考查正弦型函数的单调性，余弦定理解三角形．所用公式较多但都是基本应用，属于中档题．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数f (x )=-x 2+3x +2的图象上. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n -a n }是首项为1，公比为q (q ≠0)的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n .（1）4,124,2n n a n n =⎧=⎨-+≥⎩；（2）22242,1132,11n n n q T q n n q q⎧-++=⎪=⎨--++≠⎪-⎩. （1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩和已知可得答案；（2）由1n n n b a q --=及211n n n T S q q q --=++++利用等比数列求和公式可得答案（ 1）由232n S n n =-++及11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得()()2213221332(2n n S S n n n n n n --=-++--+-+-+≥），1n =时14S =，所以4,124,2n n a n n =⎧=⎨-+≥⎩. (2)∵1n n n b a q --=，211n n n T S q q q -∴-=++++，当1q =时，212213242n n n T q q q S n n n n n -=+++++=+-++=-++，当1q ≠时，221211321n n n q T q q qS n n q--=+++++=-++-，∴22242,1132,11n n n q T q n n q q ⎧-++=⎪=⎨--++≠⎪-⎩. 本题考查了数列通项公式及等比数列求和公式，关键点是利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项，注意验证1n =，利用等比数列求和时注意公比是否为1，考查学生的推理能力、计算能力. 19. 新高考取消文理科，实行“3+1+2”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表：（1）请根据上表完成答题纸上2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A ：“恰有一人年龄在[)45,55”发生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.（1）列联表见解析；有；（2）47. （1）根据表中的数据即可得中青年30人中有22人了解新高考，中老年20人中有8人了解新高考，进而可得列联表，计算2K 即可得答案；（2）根据分层抽样的方法得：年龄在[)45,55中的有4人，年龄在[)55,65中的有2人，年龄在[)65,75中的有2人，进而根据古典概型公式计算概率即可得答案. 解：（1）22⨯列联表如图所示250(221288) 5.556 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.（2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在[)45,55中的有4人，分别记为,,,A B C D ，年龄在[)55,65中的有2人，分别记为,a b ，年龄在[)65,75中的有2人，分别记为1,2. 从8人中抽取2人可能性有：,,,,,1,2,,,,,1,2AB AC AD Aa Ab A A BC BD Ba Bb B B ，,,,1,2,,,1,2,,1,2,1,2,12CD Ca Cb C C Da Db D D ab a a b b ， 共28种可能性，其中恰有一人年龄在[)45,55被抽中的方法有：,,1,2,Aa Ab A A ,,1,2Ba Bb B B ,,1,2,,,1,2Ca Cb C C Da Db D D ，共16种.所以164()=287P A =. 本题考查独立性检验与分层抽样，古典概型，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意读取数据，根据题意进行数据的加工处理；其中第二问的核心是列举出所有可能的基本事件总数.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若12PA AB BC AD ===. （1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（3）求二面角A PD C --的余弦值.（1）见解析（2）见解析（3）66（Ⅰ）证明线面垂直一般是证线线垂直，由题知90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD AD =，所以PA ⊥底面ABCD ，即可得PA ⊥CD ；在ACD ∆中，可证得AC CD ⊥，综上即证CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）先假设在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，设PD 的中点是F ，连结BE ，EF ，FC ，可证得四边形BEFC 为平行四边形，即得//BE CF ，故//BE 平面PCD ，即假设成立； （Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则CG ⊥AD ，由题得CG ⊥平面PAD ，过G 作GH PD ⊥于H ， 连结CH ，由三垂线定理可知CH PD ⊥，所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角，在Rt CGH ∆中，即可求得GHC ∠的余弦值，即为二面角A PD C --的余弦值． （Ⅰ）因为90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD AD =， 所以PA ⊥底面ABCD ． 而CD ⊂底面ABCD ， 所以PA ⊥CD ．在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==， 所以22AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD ． 又因为PAAC A =， 所以CD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ， 证明如下：设PD 的中点是F ， 连结BE ，EF ，FC ，则//EF AD ，且12EF AD =． 由已知90ABC BAD ∠=∠=︒， 所以//EF AD ．又12EF AD =， 所以//EF AD ，且//EF AD ，所以四边形BEFC 为平行四边形，所以//BE CF ． 因为BE ⊄平面PCD ，BE ⊄平面PCD ， 所以//BE 平面PCD ．（Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ， 则CG ⊥AD ．又因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 所以CG ⊥平面PAD ． 过G 作GH PD ⊥于H ，连结CH ，由三垂线定理可知CH PD ⊥． 所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角．设2AD =，则1PA AB CG DG ====,DP ．在PAD ∆中，GH DGPA DP=，所以GH =所以tan CG GHC GH ∠==cos 6GHC ∠=．即二面角A PD C --的余弦值为6考点：1．线面垂直的判定；2．线面平行；3．二面角．21. 已知点A 是离心率为2的椭圆C ：22221(0)x y a b b a +=>>上的一点.BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合. （1）求椭圆C 的方程；（2）ABD △的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （3）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值.（1）22124x y +=；（2；（3）证明见解析.（1）根据离心率和过的点A ，建立,,a b c 的三个关系式，求出,,a b c ，写出椭圆方程 （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，表示出三角形ABD △的面积，利用基本不等式求最大值（3）设11(,)D x y ，22(,)B x y ，表示出AB k 、AD k ，计算AD AB k k +，代入条件计算其为定值即可解：（Ⅰ）ce a==， 22121b a +=，222a b c =+2a =，b =c =22124x y ∴+=（2）设直线BD 的方程为y b =+22440x b ⇒++-=28640b ∴∆=-+>b ⇒-<<122x x +=- ① 21244b x x -=②12||1|BD xx =-===设d 为点A 到直线BD ：y b =+的距离，d ∴=∴1||2ABD S BDd ∆==≤ ，当且仅当2b =±时取等号.因为2(±∈-，所以当2b =± 时，ABD △（3）设11(,)D x y ，22(,)Bx y ，直线AB 、AD的斜率分别为：AB k 、ADk ，则ADAB k k +=121212121111y yb b x x x x +++=+---- =1212122()1x x b x x x x ⎡⎤+-⎢⎥-++⎣⎦ *将（2）中①、②式代入*式整理得12121222()1x x b b x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤+-==⎢⎥-++⎣⎦22220b b --=+= 即AD AB k k +=01.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2.解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22. 已知函数2(x 1)(x)a f x -=，其中0a >. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（3）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数） （1）()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是（0,2）． （2）1a =（3）当01ea e <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， 当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g = （1）()[]22243(1)()((x 1)())2(01())a f x x f a x x x a x a x x x x x''-'=-⋅-⋅--==≠，， ()002f x x '>⇒<<，()00f x x '<⇒<或2x >，故函数的单调递增区间为（0,2），单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞. （2）设切点为（x,y ）,由切线斜率得33(2)12a x k x ax a x-==⇒=-+① 由22(1)110()(1)01a x x y x x a x x x---=--=⇒--=⇒=，x =当x=1时，得a=1,当x =a=1,当x =a 的值为1.（3）()2()ln ()ln 1,()ln 1g x x x x f x x x a x g x x a '=-=--=+-，当01a <≤时，()0,()g x g x '≥单调递增，最大值为(e)e e g a a =+-， 当2a ≥时，()0,()g x g x '≤单调递减，()g x 的最大值为(1)0g =， 当12a <<时，函数先减后增，最大值为g(1)或g(e), 设(1)()g g e ≥，即0e a ae +-<时，即e e 1a ≥-时，即e2e 1a ≤<-时，最大值为g(1), 若11ea e <<-时，最大值为g(e),综上，当01ea e <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， 当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g = 本试题主要是考查了运用导数的思想来求解函数的单调区间和函数的最值问题，以及曲线在某点的切线方程的综合运用．（1根据函数求解导数，然后令导数大于零或者小于零得到单调区间． （2）根据给定的切线方程得到切点的坐标，进而得到参数的值．（3）对于函数的最值问题，根据给定的函数，求解导数，运用导数的符号判定单调性，和定义域结合得到最值．。

2020-2021学年湖南省衡阳一中高三（上）期中数学试卷一、选择题：（体大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤3}B．{x|1＜x≤2}C．{x|x2≥﹣2}D．{x|x2≥﹣3} 2．（5分）已知复数z＝1+i，则|z2﹣1|＝（）A．5B．2C．D．23．（5分）在△ABC中，“sin A sin B＞cos A cos B”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）向量，满足||＝||，（+2）⊥（﹣）与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（5分）函数y＝sin x+ln|x|在区间[﹣3，3]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）1715年英国数学家布看克泰勒（BrookTaylor）在他的著作中陈述了泰勒公式．如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达个函数．泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数x＝＝+++…++…，n∈N*．试用上述公式估计e的近似值为（精确到0.001）（）A．1.647B．1.648C．1.649D．1.6507．（5分）已知奇函数f（x）是R上增函数，g（x）＝xf（x），则（）A．B．C．D．8．（5分）已知实数m，n满足mn＞0，则的最大值为（）A．3+2B．3﹣2C．2+D．2﹣二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分。

9．（5分）下列说法正确的有（）A．||2＝2B．＝C．若|+|＝|﹣|，则•＝0D．若与是单位向量，则•＝110．（5分）已知函数f（x）＝sin（3x﹣φ）（﹣＜φ＜）的图象关于直线x＝，则（）A．函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝﹣cos3x的图象B．函数f（x﹣）为偶函数C．函数f（x）在[，]上单调递增D．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为11．（5分）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．如果定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”2+y2＝1，则下列说法中正确的是（）A．函数y＝x3是圆O的一个太极函数B．函数y＝sin x是圆O的一个太极函数C．若函数f（x）是奇函数，则f（x）为圆O的太极函数D．若函数f（x）是偶函数，则f（x）不能为圆O的太极函数12．（5分）设f（x）＝，x∈[，]的最大值为M，则（）A．当a＝﹣1时，M＞B．当a＝1时，M＜1C．当a＝2时，M＜D．当a＝3时，M＜2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年湖南省衡阳市市铁第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等边中，分别是的中点，以为焦点且过的椭圆和双曲线的离心率分别为，则下列关于的关系式不正确的是（）A． B． C． D．参考答案：A略2. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为=，故选D．【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．3. 已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，则A∩B为( )A．? B．{1} C．{2} D．{1，2}参考答案：C考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先将B化简，再求A∩B．解答：解：B={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}={2，﹣1}∵A={1，2，3}，∴A∩B={2}故选C点评：本题考查了集合的含义、表示方法，集合的交、并、补集的混合运算，属于基础题．4. 函数是指数函数，则的值是（）A． B． C．D．参考答案：C略5. 已知命题p：，，则（）A．：，B．：，C．：，D．：，参考答案：B由含有一个量词的命题的否定可知存在性命题的否定是全称命题,故应选B. 6. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图2所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．B ．C ．D ．参考答案： D7. 已知双曲线的渐近线为，则双曲线的焦距为A ．B ．2C ．D ．4 参考答案： C8. 已知集合，则（ ） A.B.C.D.参考答案：【知识点】集合的包含关系判断及应用．A1【答案解析】B 解析：∵集合M={x|y=lg （2﹣x ）}=（﹣∞，2）， N={y|y=+}={0}，故选B ．【思路点拨】由题意先化简集合M ，N ；再确定其关系．9. 设集合，，若,则的值是( ) A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1参考答案：A 略10. 已知函数，则(A)为偶函数且在上单调增 (B)为奇函数且在上单调增 （C ）为偶函数且在上单调减 (D)为奇函数且在上单调增参考答案： C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA 1=4，M 为AA 1的中点，点P 为BM 中点，Q 在线段CA 1上，且A 1Q=3QC ．则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值．参考答案：考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．解答：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．故答案为：．点评：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12. 已知，则.参考答案：，故答案为13. 如图，已知平面，，，,、分别是、的中点. 则异面直线与所成角的大小为__________.参考答案：（）略14. 取一个边长为的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是；参考答案：15. 已知集合,，若=，R ，则的最小值为 .参考答案：略16. 某小区共有1500人，其中少年儿童，老年人，中青年人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么老年人被抽取了 人参考答案：20 略17. 已知水平放置的的直观图（斜二测画法）是边长为的正三角形，则原的面积为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。