全等三角形章末重难点题型分类练习

全等三角形知识要点② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 3． 请填空1） 全等形的概念两个______________的图形叫全等形。

2） 全等形的性质全等图形的________和__________都相同。

3) 全等三角形的判定____________________________________________________ 4)角平分线的性质角平分线的性质：___________________________ 5)角平分线的判定角平分线的判定的判定定理：_________________________________________ 6)三角形角平分线的性质三角形的三条内角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

题型汇总一、填空题（3分×10=30分） 题型：边角边证明三角形全等 1.如图（1），△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，则__________≌__________．2.如图4，已知AB=BE ，BC=BD ，∠1=∠2，那么图中 ≌ ，AC= ，∠ABC= .3、如图，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠C AE ，AC=AE ，求证：CB=ED4、已知：如图，AB ＝CD ，AB ∥DC． 求证：，AD∥BC ， AD ＝BCAB CDE5、如图，D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠ADE=∠AED ，求证：AB=AC 。

6、如图，已知AB=AD ，且AC 平分∠BAD ，求证：BC=DC题型：角角边证明三角形全等 1．如图（3），若∠1=∠2，∠C =∠D ，则△ADB ≌__________，理由______________________．2．如图（5），AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，交BD 于P ，则PD __________PE （填“<”或“>”或“=”）．AB C D题型：角边角证明三角形全等1．如图（4），∠C=∠E，∠1=∠2，AC=AE，则△ABD按边分是__________ 三角形．2．（5分）已知EF是AB上的两点，AE=BF，AC∥BD，且AC=DB，求证：CF=DE．题型：边边边证明三角形全等1．如图（6），△ABC中，AB=AC，现利用证三角形全等证明∠B=∠C，若证三角形全等所用的公理是SSS公理，则图中所添加的辅助线AD应是____________________________．题型：角平分线的应用1、如图，在△AB C中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为___________。

专题1.3全等三角形章末重难点题型【考点1全等三角形的性质（线段的和差）】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，利用线段相等进行等量代换即可求解.【例1】（2020春•万州区期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12B．7C．2D．14【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【答案】解：如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．故选：A．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【变式1-1】（2019秋•秦淮区期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（）A．2B．3C．5D．7【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝7，∴EF＝7，∵EC＝5，∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【变式1-2】（2019秋•邳州市期中）如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∴AB﹣AE＝DE﹣AE，∴EB＝AD，∵AB＝7，AE＝2，∴EB＝5，∴AD＝5．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．【变式1-3】（2019秋•拱墅区校级期中）若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（）A．3B．4C．1或3D．3或5【分析】根据全等求出DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，根据△DEF的周长为奇数求出EF的长为奇数，再根据EF长为奇数和三角形三边关系定理逐个判断即可．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，∵△DEF的周长为奇数，∴EF的长为奇数，D、当EF＝3或5时，符合EF的长为奇数和三角形的三边关系定理，故本选项正确；A、当EF＝3时，由选项D知，此选项错误；B、当EF＝4时，不符合EF为奇数，故本选项错误；C、当EF＝1或3时，其中1无法构成三角形，故本选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形三边关系定理的应用，能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【考点2全等三角形的性质（角的计算）】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应角相等，利用角度之间的关系进行等量代换即可求解. 【例2】（2019秋•江北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，可以得到∠DCB的度数，再根据△EDC≌△ABC，可以得到∠ECA的度数，从而可以求得∠BCE的度数．【答案】解：∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，∴∠BCD＝80°，∵△EDC≌△ABC，∴∠DCE＝∠BCA，∵∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∠BCA＝∠BCE+∠ECA，∴∠DCB＝∠ECA，∴∠ECA＝80°，∴∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠ECA＝180°﹣80°﹣80°＝20°，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．【变式2-1】（2020春•南岗区校级期中）如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B ＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（）A．40°B．50°C．55°D．60°【分析】设AD与BF交于点M，要求∠DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的内角和定理求解，转化为求∠AMC的大小，再转化为在△ACM中求∠ACM就可以．【答案】解：设AD与BF交于点M，∵∠ACB＝105，∴∠ACM＝180°﹣105°＝75°，∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，∴∠FMD＝∠AMC＝95°，∴∠DFB＝180°﹣∠D﹣∠FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•洛阳期中）如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC ＝24°，则∠BEA的度数为（）A．54°B．63°C．64°D．68°【分析】直接利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理得出∠BAE＝54°，进而得出答案．【答案】解：∵△ABC≌△AED，∠D＝135°∴∠C＝∠D＝135°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠ABC＝15°，∠D＝∠C＝135°，∴∠BAC＝30°，∵∠EAC＝24°，∴∠BAE＝54°，则∠BEA 的度数为：12×（180°﹣54°）＝63°． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出∠BAE ＝54°是解题关键．【变式2-3】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC ≌△ADE ，且AE ∥BD ，∠BAD ＝130°，则∠BAC 度数的值为 ．【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，从而可以得到∠ABD ＝∠ADB ，再根据AE ∥BD ，∠BAD ＝130°，即可得到∠DAE 的度数，从而可以得到∠BAC 的度数．【答案】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠BAD ＝130°，∴∠ABD ＝∠ADB ＝25°，∵AE ∥BD ，∴∠DAE ＝∠ADB ，∴∠DAE ＝25°，∴∠BAC ＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【考点3全等三角形的判定（选择条件）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例3】（2020春•常熟市期末）如图，点C 、D 分别在BO 、AO 上，AC 、BD 相交于点E ，若CO ＝DO ，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC ≌△BOD 的是（ ）A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．【答案】解：A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；C、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式3-1】（2020春•崇川区期末）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【答案】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式3-2】（2020春•竞秀区校级期末）如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【分析】先求出BE＝CF，根据平行线的性质得出∠AEF＝∠DFC，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【答案】解：∵BF＝CE，∴BE＝CF．①AE＝DF时，在△ABE和△DCF中，{AB=DCAE=DFBE=CF，∴△ABE≌△DCF（SSS）；故①正确；②∵AE∥DF，∴∠AEF＝∠DFC．在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠AEF＝∠DFC．不能判定△ABE与△DCF全等，故②不正确；③∵AB∥DC，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，{AB=DC ∠B=∠C BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；故③正确；④在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠A＝∠D．不能判定△ABE与△DCF全等，故④不正确；故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定的应用，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．【变式3-3】（2020春•金牛区期末）如图，已知：在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD ≌△CEB的有（）组．A．4B．3C．2D．1【分析】根据题目中的条件，先把AE＝CF和DF∥BE能够得到的条件写出来，然后再根据题意，写出其中的三个为条件，是否可以证明△AFD≌△CEB，本题得以解决．【答案】解：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DF A＝∠BEC，∴若①②③为条件，不能证明△AFD≌△CEB，若①②④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），若①③④为条件，不能证明△AFD≌△CEB，若②③④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．【考点4全等三角形的判定（判定依据）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例4】（2019秋•广安期末）如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【分析】利用判定方法“HL ”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．【答案】解：在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，{OM =ON OP =OP， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP ＝∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．【变式4-1】（2019秋•江津区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M ，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．由此作法便可得△MOC ≌△NOC ，其依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【分析】由作图过程可得MO ＝NO ，NC ＝MC ，再加上公共边CO ＝CO 可利用SSS 定理判定△MOC ≌△NOC ．【答案】解：∵在△ONC 和△OMC 中{ON =OMCO =CO NC =MC，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【变式4-2】（2019秋•西宁期末）如图，P A⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，P A＝PB．则△OAP≌△OBP的依据不可能是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】先根据角平分线的性质定理的逆定理得到∠POA＝∠POB，然后根据三角形全等的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵P A⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，而P A＝PB，∴OP平分∠AOB，即∠POA＝∠POB，∴可根据：“SAS”或“AAS”或“AAS”判断△OAP≌△OBP．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．【变式4-3】（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【分析】要想买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边的长度或两角及一边即可，即简单的全等三角形在实际生活中的应用．【答案】解：由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，能够联系实际，灵活应用所学知识．【考点5全等三角形的判定与性质（基础证明）】【方法点拨】全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例5】（2020春•工业园区期末）已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：BE＝DE．【分析】根据HL证明Rt△ABC与Rt△ADC全等，利用全等三角形的性质得出∠BAE＝∠DAE，进而利用SAS证明△ABE≌△ADE，进而解答即可．【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴在Rt△ABC与Rt△ADC中{AB=ADAC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAE＝∠DAE，在△ABE与△ADE中{AB =AD ∠BAE =∠DAE AE =AE，∴△ABE ≌△ADE （SAS ），∴BE ＝DE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．【变式5-1】（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE ＝AF ，CE ＝CF ，求证：CB ＝CD ．【分析】先证明△AEC ≌△AFC ，根据全等三角形的性质得出∠CAE ＝∠CAF ，利用角平分线的性质解答即可．【答案】证明：连接AC ，在△AEC 与△AFC 中{AC =AC CE =CF AE =AF，∴△AEC ≌△AFC （SSS ），∴∠CAE ＝∠CAF ，∵∠B ＝∠D ＝90°，∴CB ＝CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．【变式5-2】（2020春•雨花区期末）如图，已知AB ⊥CF 于点B ，DE ⊥CF 于点E ，BH ＝EG ，AH ＝DG ，∠C ＝∠F ．（1）求证：△ABH ≌△DEG ；（2）求证：CE ＝FB ．【分析】（1）由HL 可证明△ABH ≌△DEG ；（2）证明△ABC ≌△DEF （AAS ）．得出BC ＝EF ，则可得出结论．【答案】（1）证明：∵AB ⊥CF ，DE ⊥CF ，∴∠DEG ＝∠ABH ＝90°，在Rt △ABH 和Rt △DEG 中，∵{BH =EG AH =DG， ∴Rt △ABH ≌Rt △DEG （HL ）．（2）∵Rt △ABH ≌Rt △DEG （HL ）．∴AB ＝DE ，在△ABC 和△DEF 中，∵{∠ABC =∠DEF =90°∠C =∠F AB =DE，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．∴BC ＝EF ，∴CE ＝FB ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式5-3】（2020春•历下区期末）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：∠ABE ＝∠ACE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，CE 的延长线交AB 于点G ．求证：EF ＝EG ．【分析】（1）根据已知条件可以证明△ABD 和△ACD 全等，可得∠BAD ＝∠CAD ，再证明△ABE 和△ACE 全等，即可得结论；（2）结合（1）根据△ABE 和△ACE 全等可得BE ＝CE ，再证明△BEG ≌△CEF ，即可得结论．【答案】解：（1）证明：∵点D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ACD 中，{AB =AC AD =AD BD =CD，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠BAD ＝∠CAD ，在△ABE 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAE =∠CAE AE =AE，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACE ；（2）如图，由（1）知，△ABE ≌△ACE ，∴BE ＝CE ，∠ABE ＝∠ACE ，在△BEG 和△CEF 中，{∠GBE =∠FCE BE =CE ∠GEB =∠FEC，∴△BEG ≌△CEF （ASA ），∴EG ＝EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．【考点6全等三角形的判定与性质（多结论）】【例6】（2020春•高明区期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ．给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AC ＝3BF ．其中正确的结论为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【分析】根据△ABD ≌△ACD 即可得到BD ＝CD ，AD ⊥BC ，故②③正确；通过△CDE ≌△DBF 即可得到DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①④正确．【答案】解：∵BF ∥AC ，∴∠C ＝∠CBF ，∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC ＝∠CBF ，∴∠C ＝∠ABC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，又∵AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD （AAS ），∴BD ＝CD ，故②正确，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC ，故③正确，在△CDE 与△DBF 中，{∠C =∠CBF CD =BD ∠EDC =∠BDF，∴△CDE ≌△DBF （ASA ），∴DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①正确，∵AE ＝2BF ，∴AE ＝2CE ，∴AC ＝AE +CE ＝3CE ＝3BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式6-1】（2019秋•潜山市期末）如图，在△ABC 中，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，那么下面四个结论：①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP ；④BR ＝QS ，其中一定正确的是（填写编号） ．【分析】通过证明△APR ≌△APS ，可得AS ＝AR ，∠BAP ＝∠P AS ，可证QP ∥AR ，可求解．【答案】解：如图，连接AP ，①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴∠SAP＝∠RAP，且AP＝AP，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴△APR≌△APS（AAS），∴AR＝AS，∴①正确；②∵AQ＝QP，∴∠QAP＝∠QP A，∵∠QAP＝∠BAP，∴∠QP A＝∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③④在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式6-2】（2020春•平阴县期末）如图，EB交AC于点M，交C于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F ＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②CD＝DN；③△ACN≌△ABM；④BE ＝CF．其中正确的结论有．（填序号）【分析】①根据已知条件可以证明在△ABE和△ACF全等，即可得∠1＝∠2；②没有条件可以证明CD＝DN，即可判断；③结合①和已知条件即可得△ACN≌△ABM；④根据△ABE ≌△ACF ，可得BE ＝CF ，【答案】解：①在△ABE 和△ACF 中，{∠E =∠F ∠B =∠C AE =AF，∴△ABE ≌△ACF （AAS ），∴∠EAB ＝∠F AC ，∴∠EAB ﹣∠BAC ＝∠F AC ﹣∠BAC ，∴∠1＝∠2．∴①正确；没有条件可以证明CD ＝DN ，∴②错误；∵△ABE ≌△ACF ，∴AB ＝AC ，在△ACN 和△ABM 中，{∠C =∠B AC =AB ∠CAB =BAC，∴△ACN ≌△ABM （ASA ），∴③正确；∵△ABE ≌△ACF ，∴BE ＝CF ，∴④正确．∴其中正确的结论有①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．【变式6-3】（2020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝140°，AB ⊥CB 于点B ，AD ⊥CD 于点D ，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且∠EAF ＝70°，下列说法正确的是 ．（填写正确的序号）①DF ＝BE ，②△ADF ≌△ABE ，③F A 平分∠DFE ，④AE 平分∠F AB ，⑤BE +DF ＝EF ，⑥CF +CE ＞FD +EB ．【分析】延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，根据全等三角形的判定定理求出△ADF ≌△ABG ，根据全等三角形的性质得出AF ＝AG ，∠G ＝∠DF A ，∠DAF ＝∠BAG ，求出∠F AE ＝∠EAG ＝70°，根据全等三角形的判定定理得出△F AE ≌△GAE ，根据全等三角形的性质得出∠FEA ＝∠GEA ，∠G ＝∠EF A ，EF ＝EG ，再进行判断即可．【答案】解：延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，∵AB ⊥CB ，AD ⊥CD ，∴∠D ＝∠ABG ＝90°，在△ADF 和△ABG 中{AD =AB ∠D =∠ABG DF =BG，∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AF ＝AG ，∠G ＝∠DF A ，∠DAF ＝∠BAG ，∵∠EAF ＝70°，∠DAB ＝140°，∴∠DAF +∠EAB ＝∠DAB ﹣∠F AE ＝140°﹣70°＝70°，∴∠EAG ＝∠EAB +∠BAG ＝∠EAB +∠F AD ＝70°，∴∠F AE ＝∠EAG ＝70°，在△F AE 和△GAE 中{AE =AE ∠FAE =∠EAG AF =AG，∴△F AE ≌△GAE （SAS ），∴∠FEA ＝∠GEA ，∠G ＝∠EF A ，EF ＝EG ，∴EF ＝EB +DF ，∠F AE ≠∠EAB ，故⑤正确，④错误；∴∠G＝∠EF A＝∠DF A，即AF平分∠DFE，故③正确；∵CF+CE＞EF，EF＝DF+BE，∴CF+CE＞DF+BE，故⑥正确；根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故①错误，②错误；故答案为：③⑤⑥．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，角平分线的定义，三角形的三边关系定理，垂直定义等知识点，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．【考点7全等三角形的判定与性质（动点问题）】【例7】（2019春•平阴县期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D为AB上一点且BD＝8厘米，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）用含t的式子表示PC的长为；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD与三角形CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP全等？【分析】（1）先表示出BP，根据PC＝BC﹣BP，可得出答案；（2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS 判定两个三角形全等．（3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P 运动的时间，再求得点Q 的运动速度．【答案】解：（1）BP ＝2t ，则PC ＝BC ﹣BP ＝12﹣2t ；故答案为（12﹣2t ）cm ．（2）当t ＝2时，BP ＝CQ ＝2×2＝4厘米，∵BD ＝8厘米．又∵PC ＝BC ﹣BP ，BC ＝12厘米，∴PC ＝12﹣4＝8厘米，∴PC ＝BD ，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△BPD 和△CQP 中，{BD =PC∠B =∠C BP =CQ，∴△BPD ≌△CQP （SAS ）；③∵v P ≠v Q ，∴BP ≠CQ ，又∵△BPD ≌△CPQ ，∠B ＝∠C ，∴BP ＝PC ＝6cm ，CQ ＝BD ＝8cm ，∴点P ，点Q 运动的时间t =PB 2=62=3秒，∴V Q =CQ t =83厘米/秒．即点Q 的运动速度是83厘米/秒时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程＝速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．【变式7-1】（2019秋•德惠市期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90，AC ＝6，BC ＝8．点P 从点A 出发，沿折线AC ﹣﹣CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC ﹣CA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P 、Q 两点同时出发．分别过P 、Q 两点作PE ⊥l 于E ，QF ⊥l 于F ．设点P 的运动时间为t （秒）：（1）当P 、Q 两点相遇时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，求CP 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，直接写出所有满足条件的CQ 的长．【分析】（1）由题意得t +3t ＝6+8，即可求得P 、Q 两点相遇时，t 的值；（2）根据题意即可得出CP 的长为{6−t(t ≤6)t −6(6＜t ≤14)； （3）分两种情况讨论得出关于t 的方程，解方程求得t 的值，进而即可求得CQ 的长．【答案】解：（1）由题意得t +3t ＝6+8，解得t =72（秒），当P 、Q 两点相遇时，t 的值为72秒； （2）由题意可知AP ＝t ，则CP 的长为{6−t(t ≤6)t −6(6＜t ≤14)； （3）当P 在AC 上，Q 在BC 上时，∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，∴CQ＝8﹣3t＝5；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣t＝3t﹣8，解得t＝3.5，∴CQ＝3t﹣8＝2.5，当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．【变式7-2】（2019秋•花都区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝112或192时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P 在BC 上时，②当点P 在BA 上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P 移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ ≌△DEF ，可得对应顶点为A 与D ，P 与E ，Q 与F ；于是分两种情况进行解答，①当点P 在AC 上，②当点P 在AB 上，分别求出P 移动的距离和时间，进而求出Q 的移动速度．【答案】解：（1）①当点P 在BC 上时，如图①﹣1，若△APC 的面积等于△ABC 面积的一半；则CP =12BC =92cm ，此时，点P 移动的距离为AC +CP ＝12+92=332，移动的时间为：332÷3=112秒， ②当点P 在BA 上时，如图①﹣2若△APC 的面积等于△ABC 面积的一半；则PD =12BC ，即点P 为BA 中点，此时，点P 移动的距离为AC +CB +BP ＝12+9+152=572cm ， 移动的时间为：572÷3=192秒， 故答案为：112或192；（2）△APQ ≌△DEF ，即，对应顶点为A 与D ，P 与E ，Q 与F ；①当点P 在AC 上，如图②﹣1所示：此时，AP ＝4，AQ ＝5，∴点Q 移动的速度为5÷（4÷3）=154cm /s ，②当点P 在AB 上，如图②﹣2所示：此时，AP ＝4，AQ ＝5，即，点P 移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm ，点Q 移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm ，∴点Q 移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm /s ， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ ≌△DEF ，点Q 的运动速为154cm /s 或9332cm /s ．【点睛】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键．【变式7-3】（2019秋•内乡县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB ＝∠DBA ”，点Q 的运动速度为xcm /s ，其它条件不变，当点P 、Q 运动到何处时有△ACP 与△BPQ 全等，求出相应的x 的值．【分析】（1）利用AP ＝BQ ＝2，BP ＝AC ，可根据“SAS ”证明△ACP ≌△BPQ ；则∠C ＝∠BPQ ，然后证明∠APC +∠BPQ ＝90°，从而得到PC ⊥PQ ；（2）讨论：若△ACP ≌△BPQ ，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，即5＝7﹣2t ，2t ＝xt ；②若△ACP ≌△BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，即5＝xt ，2t ＝7﹣2t ，然后分别求出x 即可．【答案】解：（1）△ACP ≌△BPQ ，PC ⊥PQ ．理由如下：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴∠A ＝∠B ＝90°，∵AP ＝BQ ＝2，∴BP ＝5，∴BP ＝AC ，在△ACP 和△BPQ 中{AP =BQ ∠A =∠B AC =BP，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）；∴∠C ＝∠BPQ ，∵∠C +∠APC ＝90°，∴∠APC +∠BPQ ＝90°，∴∠CPQ ＝90°，∴PC ⊥PQ ；（2）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，可得：5＝7﹣2t ，2t ＝xt解得：x ＝2，t ＝1；②若△ACP ≌△BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，可得：5＝xt ，2t ＝7﹣2t解得：x =207，t =74．综上所述，当△ACP 与△BPQ 全等时x 的值为2或207．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【考点8全等三角形的判定与性质（添辅助线）】【例8】（2020•黄州区校级模拟）如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．（1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）求∠F AE 的度数；（3）求证：CD ＝2BF +DE ．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC ≌△ADE 的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠F AE 的度数；（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．【答案】证明：（1）∵∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠BAC +∠CAD ＝90°，∠CAD +∠DAE ＝90°，∴∠BAC ＝∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，{AB =AD ∠BAC =∠DAE AC =AE，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE ＝90°，AC ＝AE ，∴∠E ＝45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA ＝∠E ＝45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CF A ＝90°，∴∠CAF ＝45°，∴∠F AE ＝∠F AC +∠CAE ＝45°+90°＝135°；（3）延长BF 到G ，使得FG ＝FB ，∵AF ⊥BG ，∴∠AFG ＝∠AFB ＝90°，在△AFB 和△AFG 中，{BF =GF∠AFB =∠AFG AF =AF，∴△AFB ≌△AFG （SAS ），∴AB ＝AG ，∠ABF ＝∠G ，∵△BAC ≌△DAE ，∴AB ＝AD ，∠CBA ＝∠EDA ，CB ＝ED ，∴AG ＝AD ，∠ABF ＝∠CDA ，∴∠G ＝∠CDA ，∵∠GCA ＝∠DCA ＝45°，在△CGA 和△CDA 中，{∠GCA =∠DCA ∠CGA =∠CDA AG =AD，∴△CGA ≌△CDA （AAS ），∴CG ＝CD ，∵CG ＝CB +BF +FG ＝CB +2BF ＝DE +2BF ，∴CD ＝2BF +DE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式8-1】（2020春•青羊区期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠EAF ═12∠BAC ，BF ⊥AE 于E 交AF 于点F ，连结CF ．（1）如图1所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF ＝BE +CF ．（2）如图2所示，当∠EAF 的边AE 、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF ＝BF +2BE ．【分析】（1）在EF 上截取EH ＝BE ，由“SAS ”可证△ACF ≌△AHF ，可得CF ＝HF ，可得结论；（2）在BE 的延长线上截取EN ＝BE ，连接AN ，由“SAS ”可证△ACF ≌△ANF ，可得CF ＝NF ，可得结论．【答案】证明：（1）如图，在EF 上截取EH ＝BE ，连接AH ，∵EB ＝EH ，AE ⊥BF ，∴AB ＝AH ，∵AB ＝AH ，AE ⊥BH ，∴∠BAE ＝∠EAH ，∵AB ＝AD ，∴AC ＝AH ，∵∠EAF ═12∠BAC∴∠BAE +∠CAF ＝∠EAF ，∴∠BAE +∠CAF ＝∠EAH +∠F AH ，∴∠CAF ＝∠HAF ，在△ACF 和△AHF 中，{AC =AH ∠CAF =∠HAF AF =AF，∴△ACF ≌△AHF （SAS ），∴CF ＝HF ，∴EF ＝EH +HF ＝BE +CF ；（2）如图，在BE 的延长线上截取EN ＝BE ，连接AN ，∵AE ⊥BF ，BE ＝EN ，AB ＝AC ，∴AN ＝AB ＝AC ，∵AN ＝AB ，AE ⊥BN ，∴∠BAE ＝∠NAE ，∵∠EAF ═12∠BAC ∴∠EAF +∠NAE =12（∠BAC +2∠NAE ）∴∠F AN =12∠CAN ，∴∠F AN ＝∠CAF ，在△ACF 和△ANF 中，{AC =AN ∠CAF =∠NAF AF =AF，∴△ACF ≌△ANF （SAS ），∴CF ＝NF ，∴CF ＝BF +2BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．【变式8-2】（2020春•南岸区期末）在∠MAN 内有一点D ，过点D 分别作DB ⊥AM ，DC ⊥AN ，垂足分别为B ，C ．且BD ＝CD ，点E ，F 分别在边AM 和AN 上．（1）如图1，若∠BED ＝∠CFD ，请说明DE ＝DF ；（2）如图2，若∠BDC ＝120°，∠EDF ＝60°，猜想EF ，BE ，CF 具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【分析】（1）根据题目中的条件和∠BED ＝∠CFD ，可以证明△BDE ≌△CDF ，从而可以得到DE ＝DF ；（2）作辅助线，过点D 作∠CDG ＝∠BDE ，交AN 于点G ，从而可以得到△BDE ≌△CDG ，然后即可得到DE ＝DG ，BE ＝CG ，再根据题目中的条件可以得到△EDF ≌△GDF ，即可得到EF ＝GF ，然后即可得到EF ，BE ，CF 具有的数量关系．【答案】解：（1）∵DB ⊥AM ，DC ⊥AN ，∴∠DBE ＝∠DCF ＝90°，在△BDE 和△CDF 中，∵{∠BED =∠CFD ，∠DBE =∠DCF ，BD =CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）．∴DE ＝DF ；（2）EF ＝FC +BE ，理由：过点D 作∠CDG ＝∠BDE ，交AN 于点G ，在△BDE 和△CDG 中，{∠EBD =∠GCD BD =CD ∠BDE =∠CDG，∴△BDE ≌△CDG （ASA ），∴DE ＝DG ，BE ＝CG ．∵∠BDC ＝120°，∠EDF ＝60°，∴∠BDE +∠CDF ＝60°．∴∠FDG ＝∠CDG +∠CDF ＝60°，∴∠EDF ＝∠GDF ．在△EDF 和△GDF 中，。

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC在△ABE和△ADG中，∵DC DGB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵AE CGA BOG AF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=45°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，∵BE BGEBF GBF BF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.2．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析【解析】【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≅CFD，从而得出BG=CF；（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．【详解】解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG＝∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵DBG DCF BD CDBDG CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．3．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或32（3）9s 【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【详解】（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP与△BPQ中，AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∠CPQ=90°，则线段PC与线段PQ垂直.（2）设点Q的运动速度x,①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，912tt xt=-⎧⎨=⎩，解得31t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，912xt t t=⎧⎨=-⎩ 解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩， 综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；∴EB=EA=18cm.当V Q =1时，依题意得3x=x+2×9，解得x=9；当V Q =32时， 依题意得3x=32x+2×9， 解得x=12.故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.4．已知：平面直角坐标系中，点A （a ，b ）的坐标满足|a ﹣b|+b 2﹣8b+16＝0．（1）如图1，求证：OA 是第一象限的角平分线；（2）如图2，过A 作OA 的垂线，交x 轴正半轴于点B ，点M 、N 分别从O 、A 两点同时出发，在线段OA 上以相同的速度相向运动（不包括点O 和点A ），过A 作AE⊥BM 交x 轴于点E ，连BM 、NE ，猜想∠ONE 与∠NEA 之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，F 是y 轴正半轴上一个动点，连接FA ，过点A 作AE⊥AF 交x 轴正半轴于点E ，连接EF ，过点F 点作∠OFE 的角平分线交OA 于点H ，过点H 作HK⊥x 轴于点K ，求2HK+EF 的值．【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3）8【解析】【分析】（1）过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则AN ＝AM,根据非负数的性质求出a 、b 的值即可得结论；（2）如图2，过A 作AH 平分∠OAB ，交BM 于点H ，则△AOE ≌△BAH ，可得AH ＝OE ，由已知条件可知ON=AM ，∠MOE ＝∠MAH ，可得△ONE ≌△AMH ，∠ABH ＝∠OAE ，设BM 与NE 交于K ，则∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA ，即2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°； （3）如图3，过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于M 、N ，可证△FMH ≌△FNH ，则FM ＝FN ，同理：NE ＝EK ，先得出OE+OF ﹣EF ＝2HK ，再由△APF ≌△AQE 得PF ＝EQ ，即可得OE+OF ＝2OP ＝8，等量代换即可得2HK+EF 的值．【详解】解：（1）∵|a ﹣b|+b 2﹣8b+16＝0∴|a ﹣b|+（b ﹣4）2＝0∵|a ﹣b|≥0，（b ﹣4）2≥0∴|a ﹣b|＝0，（b ﹣4）2＝0∴a ＝b ＝4过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则AN ＝AM∴OA 平分∠MON即OA 是第一象限的角平分线（2）过A 作AH 平分∠OAB ，交BM 于点H∴∠OAH ＝∠HAB ＝45°∵BM ⊥AE∴∠ABH ＝∠OAE 在△AOE 与△BAH 中OAE ABH OA ABAOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）∴AH ＝OE在△ONE 和△AMH 中OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）∴∠AMH ＝∠ONE设BM 与NE 交于K∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于M 、N可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）∴FM ＝FN同理：NE ＝EK∴OE+OF ﹣EF ＝2HK过A 作AP ⊥y 轴于P，AQ ⊥x 轴于Q可证：△APF ≌△AQE （SAS ）∴PF ＝EQ∴OE+OF ＝2OP ＝8∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8【点睛】本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.5．在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=︒是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF ．()1当点E 在线段AD 上时，①若点E 与点A 重合时，请说明线段BF DC =；②如图2，若点E不与点A重合，请说明BF DC AE=+；()2当点E在线段DA的延长线上()DE DB>时，用等式表示线段,,AE BF CD之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF＝AE-CD【解析】【分析】（1）①根据等边对等角，求到B C∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF∆是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC∠=∠=︒，推出ABF ACD∆∆≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A做AG∥EF交BC于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根据线段的和差即可整理出结论；（2）根据题意画出图形，作出AG ，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】（1）①证明：AB AC=B C∴∠=∠,60DF DE ADB=∠=︒，且E与A重合，ADF∴∆是等边三角形60ADF AFD∴∠=∠=︒120AFB ADC∴∠=∠=︒在ABF∆和ACD∆中AFB ADCB CAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD∴∆∆≌BF DC∴=②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，∵∠ADB＝60°DE＝DF∴△DEF为等边三角形∵AG∥EF∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°∴∠DAG＝∠AGD∴DA＝DG∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF由①易证△AGB≌△ADC∴BG＝CD∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，∴+=+==BF CD BF BG GF AE=-．故BF AE CD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为t(s).（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。

专题12.1全等三角形-重难点题型【人教版】【知识点1全等三角形的性质】全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等）【题型1全等三角形的对应元素判断】【例1】（2020秋•潍城区期中）如图，△ABC≌△DEF，点E、C、F、B在同一条直线上．下列结论正确的是（）A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等解答．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E，但∠B与∠D不一定相等，A选项结论错误，不符合题意；∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠EFD，当∠ACB与∠DEF不一定相等，B选项结论错误，不符合题意；∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，当AC与EF不一定相等，C选项结论错误，不符合题意；∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC﹣CF＝EF﹣CF，即BF＝CE，D选项结论正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．【变式1-1】（2020秋•合江县月考）如图，已知△ABC≌△CDA，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABC和△CDA的面积相等B．△ABC和△CDA的周长相等C．∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD D．AD∥BC，且AD＝CB＝S△CDA，△ABC和△CDA的周长相等，AD＝CB，∠B＝∠D，【分析】由全等三角形的性质可得S△ABC∠ACB＝∠DAC，进而可得AD∥BC，即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△CDA，＝S△CDA，△ABC和△CDA的周长相等，AD＝CB，∠B＝∠D，∠ACB＝∠DAC，∴S△ABC∴AD∥BC，故选项A、B、D都不符合题意，∵∠ACB不一定等于∠ACD，∴∠B+∠ACB不一定等于∠D+∠ACD，故选项C符合题意，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是本题的关键．【变式1-2】（2020秋•海珠区校级期中）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于下列结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用全等三角形的性质可得答案．【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴AF＝AC，EF＝CB，∠FAE＝∠BAC，∴∠FAE﹣∠FAB＝∠BAC﹣∠BAF，即∠BAE＝∠FAC，∴正确的结论是①③④，共3个，故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形，对应边相等，对应角相等．【变式1-3】（2020秋•北碚区期中）如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C＝30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD＝AC其中正确的有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD＝∠EBD，即可判断①；先由全等三角形的对应边相等得出BD＝CD，BE＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DE⊥BC，则∠BED＝90°，再根据全等三角形的对应角相等得出∠A＝∠BED＝90°，即可判断②；根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，从而可判断∠C，即可判断③；根据全等三角形的对应边相等得出BE＝CE，再根据三角形中线的定义即可判断④；根据全等三角形的对应边相等得出BD＝CD，但A、D、C 可能不在同一直线上，所以AD+CD可能不等于AC．【解答】解：①∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBD，∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；②∵△BDE≌△CDE，∴BD＝CD，BE＝CE，∴DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∵△ADB≌△EDB，∴∠A＝∠BED＝90°，∴AB⊥AD，∵A、D、C可能不在同一直线上∴AB可能不垂直于AC，故②不正确；③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，∴∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，∵∠A＝90°若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，∴∠C≠30°，故③不正确；④∵△BDE≌△CDE，∴BE＝CE，∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；⑤∵△BDE≌△CDE，∴BD＝CD，若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD＞AC，∴AD+BD＞AC，故⑤不正确．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难度适中．【题型2利用全等三角形的性质求角度】【例2】（2020秋•兰山区期末）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（）A．30°B．50°C．44°D．34°【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD=12∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD＝∠BCD=12∠BCA，∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝30°，∵∠CGF＝∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，∴∠BCA＝116°，∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝34°，故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．【变式2-1】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC 度数的值为．【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，从而可以得到∠ABD＝∠ADB，再根据AE∥BD，∠BAD＝130°，即可得到∠DAE的度数，从而可以得到∠BAC的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝130°，∴∠ABD＝∠ADB＝25°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB，∴∠DAE＝25°，∴∠BAC＝25°，故答案为：25°．【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2-2】（2020秋•覃塘区期中）如图，已知△AEF≌△ABC，点E在BC边上，EF与AC交于点D．若∠B＝64°，∠C＝30°，求∠CDF的度数．【分析】根据全等三角形的性质和三角形外角性质解答即可．【解答】解：∵△AEF≌△ABC，∴AE＝AB，∠AEF＝∠B＝64°，∵点E在BC边上，∴∠AEB＝∠B＝64°，∴∠DEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣64°﹣64°＝52°，又∵∠C＝30°，且∠CDF是△CDE的外角，∴∠CDF＝∠DEC+∠C＝52°+30°＝82°．【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答．【变式2-3】（2020秋•西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAC=12（120°﹣10°）＝55°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．【题型3利用全等三角形的性质求线段长度】【例3】（2020秋•永吉县期中）如图，△EFG≌△NMH，E，H，G，N在同一条直线上，EF和NM，FG 和MH是对应边，若EH＝1.1cm，NH＝3.3cm．求线段HG的长．【分析】由△EFG≌△NMH，EF和NM，FG和MH是对应边，得到EG和NH是对应边，根据全等三角形的性质得到EG＝NH，根据线段的和差计算即可得到结果．【解答】解：∵△EFG≌△NMH，EF和NM，FG和MH是对应边，∴EG和NH是对应边，∴EG＝NH，∴EH+HG＝HG+NG，∴EH＝NG，∵EH＝1.1，∴NG＝1.1∵NH＝3.3cm，∴HG＝NH﹣NG＝3.3﹣1.1＝2.2（cm）．【点评】本题主要考查了全等三角形全等的性质，熟练找出两个全等三角形的对应边是解此题的关键．【变式3-1】（2020秋•永定区期中）如图，△ADE≌△BCF，AD＝8cm，CD＝6cm，则BD的长为cm．【分析】根据全等三角形的性质得出AD＝BC＝8cm，进而即可求得BD＝BC﹣CD＝2cm．【解答】解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC＝8cm，∵BD＝BC﹣CD，CD＝6cm，∴BD＝8﹣6＝2（cm）．故答案为：2．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质是解题的关键．【变式3-2】（2020秋•东莞市校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知△AEH≌△CEB，EB＝5，AE＝7，则CH的长是．【分析】根据全等三角形的性质分别求出EC、EH，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵△AEH≌△CEB，∴EC＝AE＝7，EH＝EB＝5，∴CH＝EC﹣EH＝7﹣5＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式3-3】（2020秋•中山市期中）一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x﹣2y，x+2y，若这两个三角形全等，则x+y的值是．【分析】根据全等三角形的性质可得方程组3−2=53−2=7，解方程组可得答案．+2=7，或+2=5【解答】解：由题意得3−2=53−2=7，+2=7，或+2=5解得：=3=2或=3=1，x+y＝5或x+y＝4，故答案为：5或4【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．【题型4与全等三角形性质有关的证明】【例4】（2020秋•安徽月考）如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上，求证：∠BED＝∠BAD．【分析】根据全等三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】证明：∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠AED，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，∵∠AEB＝∠AED+∠DEB＝∠CAE+∠C，∴∠CAE＝∠BED，∴∠BED＝∠BAD．【点评】本题考查了三角形全等的性质，三角形的外角的性质，关键是熟练掌握全等三角形的性质．【变式4-1】（2020秋•大安市校级期中）已知△ABF≌△DCE，E与F是对应顶点．证明AF∥DE．【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠C，∠BAF＝∠CDE，根据三角形外角性质求出∠AFE＝∠DEF，根据平行线的判定得出即可．【解答】证明：∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C，∠BAF＝∠CDE，∴∠B+∠BAF＝∠C+∠CDE，∴∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角性质，平行线的判定等知识点，能灵活运用定理机芯推理是解此题的关键．【变式4-2】（2020春•成都期中）如图，△ABC中，点E是AB边上一点，△BCE≌△ACE，ED∥AC，DF ⊥AB．（1）判断CE与AB是否垂直，并说明理由；（2）证明：∠EDF＝∠BDF．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行线的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）CE⊥AB，理由：∵△BCE≌△ACE，∴BEC＝∠AEC=12×180°＝90°，∴CE⊥AB；（2）∵ED∥AC，∴∠DEC＝∠ACE，∵△BCE≌△ACE，∴∠BCE＝∠ACE，∴∠CED＝∠DCE，∵DF⊥AB，∴DF∥CE，∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠CED，∴∠EDF＝∠BDF．【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式4-3】（2020秋•定远县月考）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．（1）求证：BC＝DE+CE；（2）当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，AC＝DE，再求出答案即可；（2）根据平行线的性质得出∠BCE＝∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠E，求出∠ACB＝∠BCE，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，AC＝DE，又∵AE＝AC+CE，∴BC＝DE+CE；（2）解：∵BC∥DE，∴∠BCE＝∠E，又∵△ABC≌△DAE，∴∠ACB＝∠E，∴∠ACB＝∠BCE，又∵∠ACB+∠BCE＝180°，∴∠ACB＝90°，即当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【题型5与全等三角形性质有关的综合】【例5】（2020秋•朔州月考）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在同一条直线上．（1）若BE⊥AD，∠F＝63°，求∠A的大小．（2）若AD＝11cm，BC＝5cm，求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠FCA＝∠EBD＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；（2）根据全等三角形的性质得到CA＝BD，结合图形得到AB＝CD，计算即可．【解答】解：（1）∵BE⊥AD，∴∠EBD＝90°，∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA＝∠EBD＝90°，∴∠A＝90°﹣∠F＝27°；（2）∵△ACF≌△DBE，∴CA＝BD，∴CA﹣CB＝BD﹣BC，即AB＝CD，∵AD＝11cm，BC＝5cm，∴AB+CD＝11﹣5＝6cm，∴AB＝3cm．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．【变式5-1】（2020秋•新罗区校级月考）如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm．（1）求DE的长；（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．（3）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等得到BD＝BC＝5cm，BE＝AB＝2cm，计算即可；（2）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；（3）根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行解答．【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC，∴BD＝BC＝3cm，BE＝AB＝2cm，∴DE＝BD﹣BE＝1cm；（2）DB与AC垂直，理由：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC，又A、B、C在一条直线上，∴∠EBC＝90°，∴DB与AC垂直．（3）直线AD与直线CE垂直．理由：如图，延长CE交AD于F，∵△ABD≌△EBC，∴∠D＝∠C，∵Rt△ABD中，∠A+∠D＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∴∠AFC＝90°，即CE⊥AD．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【变式5-2】（2018春•德化县期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，即可求出答案；（2）①根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，即可得出答案；②根据三角形外角性质求出∠AEF，根据三角形外角性质求出∠AFD即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，故答案为：3；（2）①∵△ABC≌△DEB∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°；②∵∠AEF是△DBE的外角，∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°，∵∠AFD是△AEF的外角，∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【变式5-3】（2020春•铁西区期中）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F是直线．AD上方的点，连接AE、CE、BF、DF，若△ACE≌△FDB，FD＝3，AD＝8．（1）判断直线CE与DF是否平行？并说明理由；（2）求CD的长；（3）若∠E＝26°，∠F＝53°，求∠ACE的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：（1）CE∥DF，理由：∵△ACE≌△FDB，∴∠ACE＝∠D，∴CE∥DF；（2）∵△ACE≌△FDB，∴AC＝DF＝3，∵AD＝8，∴CD＝AD﹣AC＝8﹣3＝5；（3）∵△ACE≌△FDB，∴∠DBF＝∠E＝26°，∵CE∥DF，∴∠1＝∠F＝53°，∴∠ACE＝180°﹣26°﹣53°＝101°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．【题型6与全等三角形性质有关的动点问题】【例6】（2020秋•丹徒区校级月考）如图，已知AB＝3，AC＝2，点D、E分别为线段BA、CA延长线上的动点，如果△ABC与△ADE全等，则AD为．【分析】分△ABC≌△ADE和△ABC≌△ADE两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：当△ABC≌△ADE时，AD＝AB＝3，当△ABC≌△AED时，AD＝AC＝2，故答案为：2或3．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式6-1】（2020秋•滨湖区期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为s．【分析】由条件分两种情况，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，由条件可得到关于t的方程，当△BPE≌△CPQ，则有BP＝PC，同样可得出t的方程，可求出t的值．【解答】解：∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，故答案为：1或4．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于t的方程是解题的关键．【变式6-2】如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，点P在线段AC上，以2cm/s速度从点A 出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线AM上运动，且PQ＝AB．若△ABC与△PQA全等，则点P运动的时间为（）A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s【分析】分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QPA两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：当△ABC≌△PQA时，AP＝AC＝8，∵点P的速度为2cm/s，∴8÷2＝4（s）；当△ABC≌△QPA时，当AP＝BC＝4，∵点P的速度为2cm/s，∴4÷2＝2（s）故选：D．【点评】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．【变式6-3】（2020春•广饶县期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+92=332，移动的时间为：332÷3=112秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12BC，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+152=572cm，移动的时间为：572÷3=192秒，故答案为：11或19；（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=154cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速为154cm/s或9332cm/s．【点评】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键．。

八年级数学上册第十二章全等三角形重难点归纳单选题1、如图，若△ABC≌△ADE则下列结论中不成立．．．的是（）A．∠BAD=∠CAEB．∠BAD=∠CDEC．DA平分∠BDED．AC=DE答案：D分析：根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．解：A．∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；B．如图，∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，∴∠CAE＝∠CDE，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；C．∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ADE，∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；D．∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．2、下列说法不正确的是（）A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等B．有三个角对应相等的两个三角形全等C．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等D．有三条边对应相等的两个三角形全等答案：B分析：根据全等三角形的判定定理逐一判断即可得答案．A.符合判定SAS，故该选项说法正确，不符合题意，B.全等三角形的判定必须有边的参与，AAA不能判定两个三角形全等，故该选项说法不正确，符合题意，C.正确，符合判定AAS，故该选项说法正确，不符合题意，D.正确，符合判定SSS，故该选项说法正确，不符合题意，故选：B．小提示：本题考查全等三角形的判定，全等三角形常用的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAS、AAA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．3、小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点答案：A分析：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．小提示：本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（）A．BF=1B．DC=3C．AE=5D．AC=9答案：A分析：根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥AB，∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．小提示：此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．5、如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°答案：B分析：由BD、CE是高，可得∠BDC=∠CEB=90°，可求∠BCD＝70°，可证Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），得出∠BCD ＝∠CBE＝70°即可．解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，，{CE=BDBC=CB∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴∠BCD＝∠CBE＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．小提示：本题考查三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式，掌握三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式是解题关键．6、如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（）A．SASB．SSSC．ASAD．AAS答案：A分析：已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．解：在△ADC与△ABC中，{CD=CB∠ACD=∠ACBAC=AC．∴△ADC≌△ABC（SAS）．故选：A．小提示：此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7、如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD,CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合BF⊥CF即可判定．解：∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE故①正确；∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠BGA=90°,∴∠BFC=90°故②正确；分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴12BD⋅AM=12CE⋅AN∵BD=CE∴AM=AN∴AF平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；∵AF平分∠BFE，BF⊥CF∴∠AFE=45°故④正确．故答案为C．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．8、如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED答案：B分析：根据全等三角形的性质即可得到结论．解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作N为圆心，以大于12∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（）DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=12A．①②③B．①②③④C．②④D．②③④答案：A分析：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得①正确，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正确，解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，∵∠C=90°,∴DC⊥BC，又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，∴CD=ED，故①正确，在Rt△BCD和Rt△BED中，，{DE=DCBD=BD∴△BCD≌△BED，∴BC=BE，故③正确.故选A.小提示：本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.10、判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等答案：D分析：根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．填空题11、如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．答案：3.5分析：过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．解：过C点作CF⊥AB于F，如图，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF=CE，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，{AC=ACCF=CE∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF=AE，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D，在△CBF和△CDE中，{∠CBF=∠D∠CFB=∠CEDCF=CE，∴△CBF≌△CDE（AAS），∴BF=DE，∵AF=AE，∴AB+BF=AD-DE，即11+DE=18-DE，∴DE=3.5cm．所以答案是：3.5．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．12、如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件____，使△ABC≌△ADC．答案：∠D=∠B(答案不唯一)分析：本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．解：添加的条件为∠D=∠B，理由是：在△ABC和△ADC中，{∠BAC =∠DAC∠D =∠B AC =AC，∴△ABC ≌△ADC (AAS )，所以答案是：∠D =∠B ．小提示：本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．13、如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF,OA =OB ，则图中有__________对全等三角形．答案：3分析：根据角平分线的性质得到PE =PF ，根据全等三角形的判定定理判断即可．解：如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF ，∴∠1=∠2，在△AOP 和△BOP 中，{OA =OB ，∠1=∠2,OP =OP ，∴△AOP ≌△BOP (SAS )，∴AP =BP ，在Rt △EOP 和Rt △FOP 中，{PE =PF ，OP =OP,∴Rt △EOP ≌Rt △FOP (HL )，在Rt △AEP 和Rt △BFP 中，{PA =PB,PE =PF,∴Rt △AEP ≌Rt △BFP (HL )，∴图中有3对全等三角形．所以答案是：3.小提示：本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，AB =5，CD =2，则△ABD 的面积是________．答案：5分析：过D 作DE ⊥AB 于E ，由△DAE ≌△DAC 得到DE 的长，进而解答；解：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ，△DAE 和△DAC 中，AD 平分∠BAC ，则∠DAE =∠DAC ，∠DEA =∠DCA =90°，DA =DA ，∴△DAE ≌△DAC （AAS ），∴DE =DC =2，∴△ABD 的面积=12×AB ×DE =12×5×2=5，所以答案是：5；小提示：本题考查了角平分线的概念，全等三角形的判定（AAS ）和性质；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．15、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC ，D 为△ABC 内一点，且∠BCD =∠CAD ，若CD =4，则△BCD 的面积为________．答案：8分析：由线段CD 的长求ΔBCD 的面积，故过B 作CD 的垂线，则由三角形面积公式可知：S ΔBCD =12×CD ×BE ，再由题中的∠BCD =∠CAD 和等腰直角三角形ABC ，即可求证ΔACD ≌ΔCBE ，最后由CD =BE =4即可求解． 解：过点B 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E∵∠ACB =90°∴∠BCD +∠ACD =90°∵∠BCD =∠CAD∴∠ACD +∠CAD =90°∴∠ADC =90°∵BE ⊥CD∴∠E =90°∴∠BCD +∠CBE =90°∴∠ACD =∠CBE∵AC =CB∴ΔACD ≌ΔCBE∴CD =BE =4∴SΔBCD=12×CD×BE=12×4×4=8故答案是：8．小提示：本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线．解答题16、已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE=68°，则∠DFC的度数为；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC=90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出△AEC的面积．答案：（1）68°；（2）见解析；（3）36分析：（1）由已知条件可得∠D=∠C=45°，对顶角∠AQD=∠CQF，则∠DAC=∠DFC，根据∠DAE=∠CAB即可的∠DFC=∠BAE；（2）过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,证明△AEC≌△BNA，得AE=BN,进而可得AD=NB，再证明△DAM≌△BNM即可得证点M为BD中点；（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，先证明△ABE≌△ACD，进而证明△AEG≌△KCG，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得∠BAD=∠KCA，进而证明△ABD≌△CAK，再根据∠CAG=∠ABD,∠BAC=90°,证明AH⊥BD，根据已知条件求得S△ABD最后证明S△AEC=S△ABD即可．（1）设DF交AC于Q，如图1，∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴∠D=∠C=45°∵∠AQD=∠CQF∵∠DAQ=180−∠D−∠AQD,∠QFC=180−∠C−∠CQF∴∠DAQ=∠QFC∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAQ=∠EAQ+∠QAD∴∠BAE=∠QAD∴∠DFC=∠BAE∵∠BAE=68°∴∠DFC=68°故答案为68°（2）如图2，过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,∴∠N=90°∵∠AEC=90°∴∠N=∠AEC∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠NAB=90°∵∠NAC+∠ACE=90°∴∠NAB=∠ECA∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AD=AE 又∵AC=AB∴△AEC≌△BNA∴NB=AE∵AE=AD∴AD=NB∵∠DAE=90°∴∠DAM=90°∴∠DAM=∠N又∵∠DMA=∠BMN∴△DAM≌△BNM∴DM=BM即M是BD的中点（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，如图∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD∴∠BAE=∠CAD∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AE=AD在△ABE与△ACD中，{AE=AD∠BAE=∠CAD AB=AC∴△ABE≌△ACD（SAS）∴S△ABE=S△ABD，BE=CD∵G点是EC的中点∴EG=GC∵∠AGE=∠KGC，AG=GK∴△AGE≌△KGC（SAS）∴AE=CK,∠AEG=∠KCG∴AE=KC=AD,∠ACK=∠ACB+∠BCE+∠KCG=45°+∠AEC+∠BCE=45°+∠ABC+∠BAP=90°+∠BAE=∠BAD∴△AKC≌△ABD（SAS）∴BD=AK=18，∠CAK=∠ABD∵∠BAG+∠CAG=90°∴∠ABD+∠BAG=90°即∠AHB=90°∵AG=9，HG=5∴AH=AG−HG=9−5=4∴S△ABD=12BD⋅AH=12×18×4=36∵S△AEC=S△AEG+S△AGC=S△GCK+S△AGC=S△ACK=S△ABD=36∴S△AEC=36小提示：本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．17、如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，∠ABD=∠BCE，且AD=BE．(1)证明：①△ABD≅△ECB；②AD≌BC；(2)若BC=15，AD=6，请求出DE的长度．答案：(1)①证明见解析；②证明见解析(2)9分析：（1）①由ASA证明全等即可，②由①可证明；（2）由△ABD≌△ECB可证DE=BD-BE=15-6=9．（1）解：证明：①在△ABD和△ECB中，{∠A=∠BEC∠ABD=∠BCEAD=BE，∴△ABD≌△ECB（ASA），②由①得：△ABD≌△ECB∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；（2）∵△ABD≌△ECB，BC=15，AD=6，∴BD＝BC=15，BE=AD=6，∴DE=BD-BE=15-6=9．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．18、如图1，已知ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为E，D．(1)猜想线段AD、DE、BE三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C的直线绕点C旋转到ΔABC的内部，其他条件不变，如图2所示，①线段AD、DE、BE三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；②若AD=2.8，DE=1.5时，求BE的长．答案：(1)DE=AD+BE，证明见解析(2)①发生改变，DE=AD−BE；②1.3分析：（1）证明ΔACD≅ΔCBE，可得AD=CE，CD＝BE，即可求解；（2）①证明ΔACD ≅ΔCBE ，可得AD =CE ，CD ＝BE ， 即可求解；②由①可得DE =AD −BE ，从而得到BE =AD −DE ，即可求解．（1）解：DE =AD +BE ， 理由如下：∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD ≅ΔCBE (AAS )，∴AD =CE ，CD ＝BE ，∵ DE ＝EC ＋CD ，∴DE =AD +BE ；（2）解：①发生改变．∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD≅ΔCBE(AAS)，∴AD=CE，CD＝BE，∵DE＝CE-CD，∴DE=AD−BE；②由①知：DE=AD−BE，∴BE=AD−DE=2.8−1.5=1.3，∴BE的长为1.3.小提示：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

全等三角形知识回顾1、 全等三角形的意义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2、 全等三角形的性质：（1） ______________________________ 全等三角形的对应边 、 相等。

（2） _________________________________ 全等三角形的周长相等、 相等。

（3） ________________________________________ 全等三角形的对应边上的中线、 、高线分别相等。

3、 全等三角形的判定方法：（1） __________________________________________________________ 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成 __________________________________________________________ ）（2） ___________________________________________________________________ 边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成 _________________________________________________ ）（3） ______________________________________________________________________ 角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成 ______________________________________________ ）（4） ________________________________________________________________________ 角角边：两角和其中-•角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成 ________________________________________ ）（5） ____________________________________________________________________________ 斜边•直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成 ____________________________________ ）考点一：关于三角形全等的基本定理4. 两三角形有以下元素对应相等，不能判定全等的是（ ）5. 如果两个三介形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）针对性练习典型例题例1 •下列命题屮正确的是（）A.全等三角形的高相等C.全等三角形的角平分线相等★2.下列说法止确的是（） A.周长相等的两个三角形全等C.面积相等的两个三角形全等★3.下列说法屮不正确的是（） A.全等三角形的对应高相等C.全等三角形的周长相等 B.全等三角形的中线和等D.全等三角形对应角的平分线相等 B.有两边和其中一边的对角对应和等的两个三角形全等 D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B.全等三角形的面积相等 D.周长相等的两个三角形全等A.两角和一边B.两边及夹角C.三个角D.三条边A. 一定全等B. 一定不全等C.不一定全等D.面积相等1.如果两个三角形屮两条边和具屮一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A.相等B.不相等C.互余或相等D.互补或相等2.下列各图中，一定全等的是（）针对性练习:1. （2008湖北咸宁）如图，在RtZXMC 屮，AB = AC , D 、E 是斜边加 上 两点,顺时针旋转90。

全等三角形复习[知识要点]【一、全等三角形】注: ①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形面积相等.2. 证题的思路：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（垂线段相等）判定: 到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（常作垂线）[多边形的内角和]①三角形的一个外角等于及它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个及它不相邻的内角。

——常用来比较角的大小5.多边形的内角及外角2.多边形的内角和及外角和（识记）（1）多边形的内角和: （n-2）180° （2）多边形的外角和: 360°引申: （1）从n 边形的一个顶点出发能作（n-3）条对角线；（2）多边形有2)3(-n n 条对角线。

（3）从n 边形的一个顶点出发能将n 边形分成（n-2）个三角形；（4）边数=外角和360°÷一个外角 （5）内角和=（边数-2）×180① 3. 轴对称；一个图形沿着一条直线折叠, 两部分能够完全重合, 这个图形是轴对称图形 （选择题应用）点 关于 轴对称的点的坐标为 .[ 关于x 轴对称----横坐标x 不变纵坐标y 互为相反数]② 点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -[关于y轴对称----纵坐标y不变横坐标x互为相反数]x y关于原点对称的坐标为"P（-x,-y）③点P(,)[关于原点对称----横坐标相反, 纵坐标互为相反]4.垂直平分线的性质垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等（直角三角形的斜边相等）---常用来算周长和角度5.等腰三角形的性质:①等腰三角形两腰相等..②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线, 底边上的高相互重合.⑸等边三角形的性质:3.基本判定:⑴等腰三角形的判定:①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.基本方法:⑴做已知直线的垂线:⑵做已知线段的垂直平分线:⑶作对称轴：连接两个对应点, 作所连线段的垂直平分线.第十五章⑷作已知图形关于某直线的对称图形: （5）做平行线得到等腰、等边三角形第十六章（5）整式乘除及因式分解5.知识点归纳:一、幂的运算:1.同底数幂的乘法法则: （都是正整数）如:2.幂的乘方法则: （都是正整数）如:幂的乘方法则可以逆用: 即如:3.积的乘方法则：（是正整数）积的乘方, 等于各因数乘方的积。

专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训【题型目录】题型一 用“SSS ”证明三角形全等问题题型二 全等的性质与“SSS ”综合问题题型三 用“SAS ”证明三角形全等问题题型四 全等的性质与“SAS ”综合问题题型五 用“ASA(AAS)”证明三角形全等问题题型六 全等的性质与“ASA(AAS)”综合问题题型七 用“HL ”证明三角形全等问题题型八 全等的性质与“HL ”综合问题题型九 灵活选用判定方法证全等题型十 结合尺规作图的全等问题题型十一 与角平分线相关的全等证明问题题型十二 全等三角形的综合问题【知识梳理】知识点、全等三角形的判定一、全等三角形判定1——“边边边”定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定2——“边角边”定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C .注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、全等三角形判定3——“角边角”定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .四、全等三角形判定4——“角角边”定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.知识点、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.3.三角形证全等思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AASì®ìïï®íïïï®îïï®®ìïï®ìïïííï®íïïïïï®îîïï®ìïí®ïîïî找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边知识点、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL ”定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【经典例题一【例1①以【变式训练】1．（2022①△ABD【经典例题二 全等的性质与“SSS ”综合问题】【例2】（2023·贵州黔东南·统考二模）如图，在ABC V 中，=90ACB а，按如下步骤操作：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC ，AB 于D ，E 两点；②以点C 为圆心，AD 长为半径作弧，交AC 的延长线于点F ；③以点F 为圆心，DE 长为半径作弧，交②中所画的弧于点G ；④作射线CG ，若=40B а，则FCG Ð为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【变式训练】1．（2023春·全国·七年级期末）如图，在ACD V 和BCE V 中，AC BC =，AD BE =，CD CE =，55ACE Ð=°，155BCD Ð=°，AD 与BE 相交于点P ，则BPD Ð的度数为（ ）A ．110°B ．125°C ．130°D ．155°2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知AB AD =，AC AE =，BC DE =，直线BC 与AD ，DE 分别交于点F ，G ，且65DGB Ð=°，120EAB Ð=°，则CAD Ð的度数为___________．3．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在ABC V 中，点D ，点E 分别在边AB ，边BC 上，连接,DE AD AC =，ED EC =．(1)求证：ADE C Ð=Ð．(2)若,30AB DE B ^Ð=°，求A Ð的度数．【经典例题三 用“SAS ”证明三角形全等问题】【例3】（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）如图，AD 是ABC V 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且CE BF P ，连接BF CE ，，下列说法：①DE DF =；②ABD V 和ACD V 面积相等；③CE BF =；④BDF CDE V V ≌；⑤CEF F ÐÐ=．其中正确的有（ ）A ．1个B ．5个C ．3个D ．4个【变式训练】1．（2022·浙江杭州·校考模拟预测）如图，正五边形ABCDE 中，AF CD ^，则BAF Ð的度数是（ ）A ．50°B ．54°C ．60°D ．72°2．（2022秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，在ABC D 中，已知AB AC =，BD CF = ，BE CD =．若40A Ð=°，则EDF Ð的度数为__________．3．（2023春·七年级课时练习）如图，点E 在AB 上，DE BC P ，且DE AB EB BC ==，，连接EC 并延长，交DB 的延长线于点F ．(1)求证：AC DB =；(2)若30A Ð=°，40BED Ð=°，求F Ð的度数．【经典例题四 全等的性质与“SAS ”综合问题】【例4】（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，AB AC =，AD AE =，点B 、D 、E 在一条直线上，BAC DAE Ð=Ð，125Ð=°，230Ð=°，则3Ð=（ ）A ．55°B ．50°C ．45°D ．60°【变式训练】1．（2023秋·八年级单元测试）在ABC V 中，D 是BC 边的中点，若9AB =，5AC =，则ABC V 的中线AD 长的取值范围是（ ）A ．59AD <<B ．49AD <<C ．214AD <<D ．27AD <<2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，4cm AB =，3cm AC BD ==，60CAB DBA Ð=Ð=°，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为()s t ．设点Q 的运动速度为cm/s x ，若使得ACP △与BPQ V 全等，x 的值为_________．3．（2023·河北沧州·统考二模）如图1，C ，O ，B 三点在同一条直线上，点A 在线段OC 上，点D 在线段OE 上，且OA OD =，AC DE =，连接CD ，AE ．(1)求证：AE CD =；(2)写出1Ð，2Ð和C Ð三者间的数量关系，并说明理由；(3)如图2，OC ，OE 两根长度相等的木棍固定在点O 处，290Ð=°．点A 在木棍OC 上，点D 在木棍OE 上，AE 与CD 是两根皮筋，皮筋的端点C ，E 固定，改变皮筋端点A ，D 的位置，始终保持OA OD =，且皮筋处于绷直状态，若1Ð增加了3°，则CFE Ð_______（填“增加”或“减少”）_________度．【经典例题五 用“ASA(AAS)”证明三角形全等问题】【例5】（2022春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O 处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A 处，然后转过身，保持和刷才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B 处（A ，O ，B 三点在同一水平直线上），小明通过测量O ，B 之间的距离，即得到O ，A 之间的距离．小明这种方法的原理是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【变式训练】1．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．10D ．162．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，已知点B ，E ，F ，C 在同一条直线上，BE CF =，AB AF ^，CD DE ^，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定ABF △与DCE △全等，则添加的条件可以是______（写出一个条件即可）．3．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）如图，90ACB AC BC AD CE BE CE Ð=°=^^，，，，垂足分别为D ，E ．(1)求证：ACD CBE △△≌；(2)若127AD DE ==，，求BE 的长．【经典例题六 全等的性质与“ASA(AAS)”综合问题】【例6】（2023·浙江·八年级假期作业）已知如图：AC CE =，且90ACE Ð=°，AB BD ^于D ，ED BD ^于D ． 2BC =，3CD =．连接AD ，AE ．则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．5B ．6C ．9D ．10【变式训练】1．（2023春·重庆大渡口·七年级重庆市第三十七中学校校考期中）如图，在ABC V 中，60A Ð=°，ABC Ð和ACB Ð的平分线BD 、CE 相交于点O ，BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ，若已知ABC V 周长为20，7BC =，:5:4AE AD =，则AD 长为（ ）A ．83B ．2．（2023·山东淄博·校考二模）的面积为2，则ABC V 的面积为3．（2023·江苏·八年级假期作业）点M ，BN MN ^于点N (1)若MN 在ABC V 外（如图1），求证：MN AM BN =+(2)若MN 与线段AB 相交（如图2），且 2.6AM =，BN 【经典例题七【例7】（2022春·七年级单元测试）下列说法中，不正确的个数有（ ）①有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；④斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式训练】1．（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，CA ⊥AB ，垂足为点A ，AB ＝12米，AC ＝6米，射线BM ⊥AB ，垂足为点B ，动点E 从A 点出发以2米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED ＝CB ，当点E 经过t 秒时，由点D 、E 、B 组成的三角形与△BCA 全等．请问t 有几种情况？（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在Rt ABC △中，90126C AC BC PQ AB Ð=°===，，，，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC V 和QPA △全等，则AP = ______．3．（2023春·广东深圳·八年级统考阶段练习）如图，ABC V 中，90ACB Ð=°，CA CB =，点F 为BC 延长线上一点，点E 在AC 上，且AF BE =．(1)求证：ACF △≌BCE V ；(2)若23ABE Ð=°，求BAF Ð的度数．【经典例题八 全等的性质与“HL ”综合问题】【例8】（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，AB AC =，CF AB ^于F ，BE AC ^于E ，CF 与BE 交于点D ．有下列结论：①ABE ACF @V V ；②BDF CDE @V V ；③点D 在BAC Ð的平分线上；④点C 在AB 的中垂线上．以上结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练】1．（2021秋·陕西汉中·八年级统考期末）如图，在ADE V 和ABC V 中，AD AB =，DE BC =，EA CA =，过A 作AF D E ^，垂足为F ，过A 作AH BC ^，垂足为H ，DE 交CB 的延长线于点G ，连接AG ．四边形DGBA 的面积为12，4AF =，则FG 的长是( )A．2B．2.53．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）^于点E．点D，CE DE=，求证：(1)若B，C在直线DE的同侧（如图①所示），且AD CE^；①AB AC=+．②DE BD CE=，其他条件不变，(2)若B，C在直线DE的两侧（如图②所示），且AD CE【经典例题九【例9A．BCC ．A A ¢Ð=Ð，AB B C ¢¢=，AC A C ¢¢=D ．BC B C ¢¢=，AC A B ¢¢=，B C ¢Ð=Ð【变式训练】1．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知AB DC AD BC BE DF =∥，∥，，则图中全等的三角形有（ ）对．A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在ABC V 和DEF V 中，点B ，E ，C ，F 在同条一直线上，下列4个条件：AB DE AC DF ABC DEF BE CF ÐÐ①=；②=；③=；④=，请你从中选3个条件作为题设，余下的1个条件作为结论，写出一个真命题，则你选择作为题设的条件序号为：______，作为结论的条件序号为：______．3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图，AD AC AB AE DAB CAE ==Ð=Ð，，．(1)写出ADE V 与ACB △全等的理由；(2)判断线段DF 与CF 的数量关系，并说明理由．【经典例题十 结合尺规作图的全等问题】【例10】（2023春·全国·七年级专题练习）已知ABC V ，按图示痕迹作A B C ¢¢¢V ，得到A ABC B C ¢¢¢≌△△．则在作图时，这两个三角形满足的条件是（ ）A ．,AB A B AC A C ==¢¢¢¢B ．,B B AB A B Ð=Ð=¢¢¢C ．,,A A B B C C ¢¢¢Ð=ÐÐ=ÐÐ=ÐD ．,,AB A B AC A C BC B C ¢¢¢¢¢¢===【变式训练】1．（2022秋·八年级课时练习）已知锐角AOB Ð，如图，（1）在射线OA 上取点C ，E ，分别以点O 为圆心，OC ，OE 长为半径作弧，交射线OB 于点D ，F ；（2）连接CF ，DE 交于点P ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）A ．CE DF=B ．PE PF =C ．若60AOB Ð=°，则120CPD Ð=°D ．点P 在AOB Ð的平分线上2．（2022春·广东揭阳·八年级校考阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt ABC V ，使90B Ð=°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了90MBN Ð=°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______3．（2023春·七年级课时练习）如图，已知同一平面内四个点A ，B ，C ，D ，请按要求完成下列问题：(1)画直线AB ，射线BD ，连接AC ；(2)在线段AC 上求作点P ，使得CP AC AB =-；（保留作图痕迹）(3)过点P 作直线l ，使得l AB ∥；（保留作图痕迹）(4)请在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到点C 与点D 的距离之和最短，并写出画图的依据．【经典例题十一 与角平分线相关的全等证明问题】【例11】（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知ABC V 的面积为12，AD 平分BAC Ð，且AD BD ^于点D ，连结CD ，则ADC △的面积是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【变式训练】A．1个B．2个3．（2023·安徽·校联考一模）如图，在正方形EAFÐ=°．45(1)若EA是BEFÐ的角平分线，求证：(2)若BE DF=，求证：【经典例题十二A ．4个B ．3个【变式训练】1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，梯形ADC Ð，以下说法：①CDE ÐA ．①②④2．（2022秋·贵州遵义线l 上．点P 从点A3．（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图（1），16cm AB =，AC AB ^，BD AB ^，垂足分别为A ，B ，10cm AC =．点P 在线段AB 上以3cm/s 的速度由点A 向点B 运动．同时，点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为t （s ）（当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当2t =时，①试说明ACP BPQ △≌△．②此时，线段PC 和线段PQ 有怎样的关系，请说明理由．(2)如图（2），若“AC AB ^，BD AB ^”改为“60CAB DBA Ð=Ð=°”，点Q 的运动速度为cm /s x ，其他条件不变，当点P ，Q 运动到某处时，有ACP △和BPQ V 全等，求出此时的x ，t 的值．【重难点训练】1．（2023秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，对角线 AC 平分，BAD AB AD Ð>，下列结论中正确的是（ ）A ．AB AD CB CD->-B ．AB AD CB CD -=-C ．AB AD CB CD -<-D ．AB AD - 与 CB CD -的大小关系不确定2．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，F 是对角线AC 的中点，连接DF 并延长交BC 于点E ，若AD BE =，DF EF =，6ABCD S =四边形，则四边形ABED 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图所示，小语同学为了测量一幢楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ，测得PC 与地面夹角38DPC Ð=°，测得PA 与地面夹角52APB Ð=°，量得点P 到楼底的距离PB 与旗杆的高度都是9m ，量得旗杆与楼之间的距离36m DB =，则楼高AB =（ ）A ．36mB ．27mC ．25mD ．18m4．（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）如图，在ABC V 和BAD V 中，90C D Ð=Ð=°．在以下条件：①AC BD =；②AD BC =；③BAC ABD Ð=Ð；④ABC BAD Ð=Ð；⑤CAD DBC Ð=Ð中，再选一个条件，就能使ABC BAD ≌△△，共有（ ）选择．A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种5．（2022秋·七年级单元测试）ABC V 中，12AB AC ==厘米，B C Ð=Ð，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v 厘米/秒，则当BPD △与CQP V 全等时，v 的值为（ ）A ．2B ．5C ．1或5D ．2或36．（2023·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，将直线l 向上平移线段AB 的长得到直线m ，直线m 分别交AD ，CD 于点E ，F ．若求DEF V 的周长，则只需知道( )A ．AB 的长B ．FE 的长C ．DE 的长D ．DF 的长7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =、BM 是AC 边的中线，有AD BM ^；垂足为点E 交BC 于点D ．且AH 平分BAC Ð交BM 于N ．交BC 于H ．连接DM ．则下列结论：①AMB CMD Ð=Ð；②HN HD =；③BN AD =；④BNH MDC Ð=Ð；错误的有（ ）个．A ．0B ．1C ．3D ．48．（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，2AB AC =，点D 是线段AB 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板按如图()ADE V 放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A 、D重合，连接BE 、CE ，CE 与AB 交于点.F 下列判断正确的有（）①ACE △≌DBE V ；②BE CE ^；③DE DF =；④DEF ACF S S =V VA ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④9．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，已知CD AB ^，BE AC ^垂足分别为D 、E ，BE 、CD 交于点O ，且BAO CAO Ð=Ð，则图中的全等三角形共有__对．10．（2019春·广东揭阳·七年级统考阶段练习）如图，在ABE V 中，已知AB BE =，过E 作EF AB ^于F ，且BEF △的三条角平分线交于点G ，连接AG ，则AGB Ð=___________度．11．（2022春·七年级单元测试）ABC V 的角平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AC ^，交AC 边于点E ，DF AB ^，交AB 边所在的直线于点F ，若52AE BF ==，，则AB 的长为________．12．（2023春·吉林·八年级校考阶段练习）如图，在ABC V 中，AP 垂直ABC Ð的平分线BP 于点P ，若6PBC S D =，且2APB APC S S =V V ，则APB S =△__________．14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，®®路径向终点运动，出发沿A C BA点，点P和Q分别以2cm^动，分别过P和Q作PE l以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则15．（2023·江苏·八年级假期作业）已知：在16．（2023·浙江温州·校考三模）如图，在四边形=，AB CE(1)求证：ABD ECD V V ≌；(2)当65DCB Ð=°时，求ABD Ð的度数．17、（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC V 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC △≌EDB △的理由是______．A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL（2）求得AD 的取值范围是______．A ．68AD <<B ．68AD ££C ．17AD << D ．17AD ££【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD 是ABC V 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE EF =．求证：AC BF =．18．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ^于D ，BE MN ^于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ACD CEB V V ≌；②DE AD BE =+．(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE AD BE 、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．。

初二全等三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.常考题：一．选择题（共14小题）1．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点5．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°6．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．58．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D9．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（ ）A ．10B ．7C ．5D ．410．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．边边角11．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：512．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP 由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS13．下列判断正确的是（ ）A ．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等14．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题（共11小题）15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D 到线段AB的距离是cm．16．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是．17．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=°．18．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=．19．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．20．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=cm．21．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度．22．如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=度．23．如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是．24．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．25．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG ⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．三．解答题（共15小题）26．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．27．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．28．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．29．如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．30．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．31．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．32．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE 上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．33．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 为AB边上一点．求证：BD=AE．34．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．35．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．36．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．37．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证：（1）DF∥BC；（2）FG=FE．39．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．（1）求证：AD=AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．40．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．2．（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．3．（2014秋•江津区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．4．（2007•中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：D．【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项5．（2011•呼伦贝尔）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，∴∠ACA′=∠B′CB，又∠B′CB=30°∴∠ACA′=30°．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．6．（2000•安徽）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．7．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．5【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S=S△ABD+S△ACD，△ABC∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．8．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，=BC•EF=×5×2=5，∴S△BCE故选C．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．10．（1998•南京）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．边边角【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE ，又CD=BC ，∠ACB=∠DCE ，由此根据角边角即可判定△EDC ≌△ABC ．【解答】解：∵BF ⊥AB ，DE ⊥BD∴∠ABC=∠BDE又∵CD=BC ，∠ACB=∠DCE∴△EDC ≌△ABC （ASA ）故选B ．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．11．（2017•石家庄模拟）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C ．故选C ．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．12．（2009•鸡西）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP 由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．【解答】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；∴在△OCP和△ODP中，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．（2002•河南）下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，对比选项进行分析．【解答】解：A、只有两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才能成立；B、30°角没有对应关系，不能成立；C、如果这个角是直角，此时就不成立了；D、符合全等三角形的判断方法：AAS或者ASA．故选D．【点评】本题要求对全等三角形的几种判断方法熟练运用，会对特殊三角形全等进行分析判断．14．（2006•十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．二．填空题（共11小题）15．（2006•芜湖）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到线段AB的距离是3cm．【分析】求D点到线段AB的距离，由于D在∠BAC的平分线上，只要求出D到AC的距离CD即可，由已知可用BC减去BD可得答案．【解答】解：CD=BC﹣BD，=8cm﹣5cm=3cm，∵∠C=90°，∴D到AC的距离为CD=3cm，∵AD平分∠CAB，∴D点到线段AB的距离为3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质；知道并利用CD是D点到线段AB的距离是正确解答本题的关键．16．（2013•邵东县模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是5．【分析】要求△ABD的面积，有AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离=CD=2，∴△ABD的面积是5×2÷2=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意分析思路，培养自己的分析能力．17．（2016秋•宁城县期末）如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=135°．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1=∠DBE，又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．故填135．【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．18．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=20．【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=20，即x=20．故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．19．（2009•杨浦区二模）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去玻璃店．【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故答案为：③．【点评】这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．20．（2015秋•西区期末）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=4cm．【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．【解答】解：∵AB∥CF，∴∠ADE=∠EFC，∵∠AED=∠FEC，E为DF的中点，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5cm，∵AB=9cm，∴BD=9﹣5=4cm．故填4．【点评】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单．21．（2009秋•南通期末）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是35度．【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠EAB的度数．【解答】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°﹣35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（2012秋•合肥期末）如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=50度．【分析】先运用三角形内角和定理求出∠C，再运用全等三角形的对应角相等来求∠AED．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=180﹣∠B﹣∠BAC=50°，又∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠C=50°，∴∠AED=50度．故填50【点评】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要识记的内容．23．（2015秋•蒙城县期末）如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．【分析】已知二边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．【解答】解：∵OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．【点评】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法，题目不难．24．（2011•河南）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为4．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=4，∴DP=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键在于确定好DP垂直于BC．25．（2015•鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= 4cm．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．三．解答题（共15小题）26．（2008•北京）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．【分析】根据AB∥ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC=CD．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠B=∠E．在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED．∴AC=CD．【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．27．（2007•北京）已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．【分析】根据角平分线的性质得出∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB=∠COD，再利用SAS判定其全等从而得到AB=CD．【解答】证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．∴∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，．∴△AOB≌△COD．∴AB=CD．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等．28．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，求证：DE=DF．【分析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．【解答】证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．29．（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．【分析】根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．30．（2008•重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC ≌△DFC．（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．。

专题三角形章末重难点题型【考点1 三角形的边角关系】【方法点拨】解题的关键是了解三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【例1】（庐江县期末）已知4条线段的长度分别为2，4，6，8，若三条线段可以组成一个三角形，则这四条线段可以组成三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（当涂县期末）若一个三角形的两边长分别为4和7，则周长可能是（）A．11B．18C．14D．22【变式1-2】（临清市期末）a，b，c为三角形的三边长，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【变式1-3】（江东区期末）已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（）A．3B．10C．6.5D．3或6.5【考点2 巧用三角形中线求面积】【方法点拨】解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．【例2】（长丰县期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（）A．16B．8C．4D．2【变式2-1】（宁阳县期末）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．6【变式2-2】（椒江区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE为△ABD中AB边上的中线，△ABC的面积为6，则△ADE的面积是（）A．1B．C．2D．【变式2-3】（温州期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，【考点3 三角形内角和之折叠变换】【方法点拨】解题的关键是掌握折叠的性质．【例3】（潮州期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．32°B．45°C．60°D．64°【变式3-1】（岱岳区期中）如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，点A的对应点为点A'，若∠A'＝32°，∠B ＝112°，则∠A'NC的度数是（）A．114°B．112°C．110°D．108°【变式3-2】（江阴市期中）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（）A．27°B．59°C．69°D．79°【变式3-3】（繁昌县期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）【考点4 三角形内角和之角平分线】【例4】（顺义区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（）A．2∠DAE＝∠B﹣∠C B．2∠DAE＝∠B+∠C C．∠DAE＝∠B﹣∠C D．3∠DAE＝∠B+∠C【变式4-1】（璧山区期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC＝120°，则∠A的【变式4-2】（拱墅区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．38°【变式4-3】（巴州区期末）如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝β，那么∠A等于（）A．180°﹣B．180°﹣2βC．90°﹣βD．90°﹣【考点5 全等三角形的判定】【方法点拨】全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例5】（九龙坡区校级期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB【变式5-1】（东阿县期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB＝BD B．∠E+∠D＝90°C．AC＝AE+CD D．∠EBD＝60°【变式5-2】（正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【变式5-3】（鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正【考点6 尺规作图】【例6】（蜀山区期末）如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【变式6-1】（秦都区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）【变式6-2】（平川区期末）已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝2α．（保留作图痕迹，不写作法）【变式6-3】（包河区期末）已知平面内有∠α，如图（1）．（1）尺规作图：在图（2）∠AOB的内部作∠AOD＝∠α（保留作图痕迹，不需要写作法）；（2）已知（1）中所作的∠AOD＝40°，OE平分∠BOC，∠AOE＝2∠BOE，求∠BOD．【考点7 全等三角形的证明】【例7】（东西湖区期中）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【变式7-1】（大观区校级期中）如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点H，且AD＝BD，试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【变式7-2】（黄岛区期末）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE全等吗？请说明理由．【变式7-3】（北碚区校级期末）如图，点D在△ABC外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：（1）∠B＝∠D；（2）△ABC≌△ADE．【考点8 全等三角形的应用】【例8】（开江县期末）如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步．（1）根据题意，画出示意图；（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．【变式8-1】（峄城区期末）如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？为什么？【变式8-2】（槐荫区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【变式8-3】（临海市期末）如图1，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连接AO，BO，并分别延长至点C，D，使OC＝OA，OD＝OB，连接CD．（1）求证：AB＝CD；（2）如图2，受地形条件的影响，于是采取以下措施：延长AO至点C，使OC＝OA，过点C作AB的平行线CE，延长BO至点F，连接EF，测得∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，请直接写出池塘宽度AB．【考点9 全等三角形中的动点问题】【例9】（莱山区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为多少时，△PEC与△QFC全等？【变式9-1】（娄底期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？【变式9-2】（内乡县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB 上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．【变式9-3】（梁平区期末）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）．（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【考点10 全等三角形判定与性质综合运用】【例10】（红桥区期末）（1）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：BD＝DE﹣CE；（2）上题中，变成如图，B，C在AE的异侧时，BD，DE，CE关系如何？并加以证明．【变式10-1】（张店区期末）如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF．（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．【变式10-2】（绿园区期末）探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．【变式10-3】（开福区校级期末）在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．（1）如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线：①求∠AFD的度数；②若AD＝3，CE＝2，求AC的长；（2）如图2，若∠EAC＝∠DCA＝30°，求证：AD＝CE．。

专题1.2 全等三角形章末重难点题型【人教版】【考点1 全等形的概念】【方法点拨】解决此类问题根据能够完全重合的两个图形叫做全等形求解即可.【例1】（2019秋•新乐市期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案．【答案】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的性质是解题关键．【变式1-1】（2020春•山亭区期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（）A．③和④B．②和③C．①和③D．①②【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【答案】解：①、②可以完全重合，因此全等的图形是①、②．故选：D．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式1-2】（2020秋•苏州期末）下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【答案】解：全等的两个图形是①和③，故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式1-3】（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．【答案】解：如图所示：．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【考点2 全等形的应用（格图中求角度）】【方法点拨】解决此类问题要善于找出格图中的全等形，利用角度之间的等量代换即可求解。

【例2】（2020春•平阴县期末）如图是由4个相同的小正方形组成的格图，其中∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．225°【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC，可得出∠BAC＝∠DEC，继而可得出答案．【答案】解：由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∠1+∠2＝180°．故选：B．【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出△ABC≌△EDC．【变式2-1】（2020春•玉门市期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【答案】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．【点睛】此题综合考查角平分线以及全等图形，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．【变式2-2】（2019秋•江汉区期末）如图，是一个3×3的正方形格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．【答案】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4＝90°，∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案为：180°．【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．【变式2-3】（2019秋•莆田期末）如图，在孔雀开屏般漂亮的4×4正方形格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ ．【分析】利用“SAS ”判断△AEF ≌△LBA 得到∠7＝∠EAF ，则∠1+∠7＝90°，同样方法得到∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°，而∠4＝45°，从而得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．【答案】解：在△AEF 和△LBA 中{EF =AB ∠AEF =∠ABL AE =BL，∴△AEF ≌△LBA （SAS ），∴∠7＝∠EAF ，∴∠1+∠7＝90°，同理可得∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°，而∠4＝45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°．故答案为315°．【点睛】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．【考点3 全等三角形的性质（线段的和差）】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，利用线段相等进行等量代换即可求解.【例3】（2020春•万州区期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12B．7C．2D．14【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【答案】解：如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．故选：A．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【变式3-1】（2019秋•秦淮区期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（）A．2B．3C．5D．7【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝7，∴EF＝7，∵EC＝5，∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【变式3-2】（2019秋•邳州市期中）如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE ＝2，则AD的长是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∴AB﹣AE＝DE﹣AE，∴EB＝AD，∵AB＝7，AE＝2，∴EB＝5，∴AD＝5．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．【变式3-3】（2019秋•拱墅区校级期中）若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（）A．3B．4C．1或3D．3或5【分析】根据全等求出DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，根据△DEF的周长为奇数求出EF的长为奇数，再根据EF长为奇数和三角形三边关系定理逐个判断即可．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，∵△DEF的周长为奇数，∴EF的长为奇数，D、当EF＝3或5时，符合EF的长为奇数和三角形的三边关系定理，故本选项正确；A、当EF＝3时，由选项D知，此选项错误；B、当EF＝4时，不符合EF为奇数，故本选项错误；C、当EF＝1或3时，其中1无法构成三角形，故本选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形三边关系定理的应用，能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【考点4 全等三角形的性质（角的计算）】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应角相等，利用角度之间的关系进行等量代换即可求解. 【例4】（2019秋•江北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，可以得到∠DCB的度数，再根据△EDC≌△ABC，可以得到∠ECA的度数，从而可以求得∠BCE的度数．【答案】解：∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，∴∠BCD＝80°，∵△EDC≌△ABC，∴∠DCE＝∠BCA，∵∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∠BCA＝∠BCE+∠ECA，∴∠DCB＝∠ECA，∴∠ECA＝80°，∴∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠ECA＝180°﹣80°﹣80°＝20°，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．【变式4-1】（2020春•南岗区校级期中）如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（）A．40°B．50°C．55°D．60°【分析】设AD与BF交于点M，要求∠DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的内角和定理求解，转化为求∠AMC的大小，再转化为在△ACM中求∠ACM就可以．【答案】解：设AD与BF交于点M，∵∠ACB＝105，∴∠ACM＝180°﹣105°＝75°，∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，∴∠FMD＝∠AMC＝95°，∴∠DFB＝180°﹣∠D﹣∠FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．【变式4-2】（2019秋•洛阳期中）如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC ＝24°，则∠BEA的度数为（）A ．54°B ．63°C ．64°D ．68°【分析】直接利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理得出∠BAE ＝54°，进而得出答案．【答案】解：∵△ABC ≌△AED ，∠D ＝135°∴∠C ＝∠D ＝135°，AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∵∠ABC ＝15°，∠D ＝∠C ＝135°，∴∠BAC ＝30°，∵∠EAC ＝24°，∴∠BAE ＝54°，则∠BEA 的度数为：12×（180°﹣54°）＝63°． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出∠BAE ＝54°是解题关键．【变式4-3】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC ≌△ADE ，且AE ∥BD ，∠BAD ＝130°，则∠BAC 度数的值为 ．【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，从而可以得到∠ABD ＝∠ADB ，再根据AE ∥BD ，∠BAD ＝130°，即可得到∠DAE 的度数，从而可以得到∠BAC 的度数．【答案】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠BAD ＝130°，∴∠ABD ＝∠ADB ＝25°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB，∴∠DAE＝25°，∴∠BAC＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【考点5 判断全等三角形的对数】【方法点拨】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【例5】（2019秋•海港区期末）如图，AC、BD相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】利用“SSS”可判断△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA，则∠BAC＝∠CDB，然后可根据“AAS”判断△ABE≌△DCE．【答案】解：∵AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），△ABD≌△DCA（SSS），∴∠BAC＝∠CDB，∵AB＝CD，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△DCE（AAS）．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式5-1】（2020春•高新区期末）如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【答案】解：①在△AEO 与△ADO 中，{AE =AD∠1=∠2OA =OA(公共边)，∴△AEO ≌△ADO （SAS ）；②∵△AEO ≌△ADO ，∴OE ＝OD ，∠AEO ＝∠ADO ，∴∠BEO ＝∠CDO ．在△BEO 与△CDO 中，{∠BEO =∠CDOOE =OD ∠BOE =∠COD(对顶角相等)，∴△BEO ≌△CDO （ASA ）；③∵△BEO ≌△CDO ，∴BE ＝CD ，BO ＝CO ，OE ＝OD ，∴CE ＝BD ．在△BEC 与△CDB 中，{BE =CD ∠BEC =∠CDB CE =BD，∴△BEC ≌△CDB （SAS ）；④在△AEC 与△ADB 中，{AE =AD ∠AEC =∠ADB CE =BD，则△AEC ≌△ADB （SAS ）；⑤∵△AEC ≌△ADB ，∴AB ＝AC ．在△AOB 与△AOC 中，{AB =AC OB =OC OA =OA，∴△AOB ≌△AOC ．综上所述，图中全等三角形共5对．故选：A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式5-2】（2020春•碑林区校级期末）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共线，AE ∥DF ，BE ∥CF ，AC ＝BD ，则图中全等三角形有（ ）A ．4对B ．6对C ．8对D ．10对【分析】由AC ＝BD 可得AB ＝AC ，由AE ∥DF 可得∠EAB ＝∠FDC ，由BE ∥CF 可得∠EBC ＝∠FCB ，根据等角的补角相等得出∠EBA ＝∠FCD ，利用ASA 得△ABE ≌△DCF ，进一步得其它三角形全等．【答案】解：∵AC ＝BD ，∴AB ＝AC ．∵AE ∥DF ，∴∠EAB ＝∠FDC ．∵BE ∥CF ，∴∠EBC ＝∠FCB ，∴∠EBA ＝∠FCD ．在△ABE 与△DCF 中，{∠EAB =∠FDC AB =DC ∠EBA =∠FCD，∴△ABE ≌△DCF （ASA ）．进一步得△EBC ≌△FCB ，△ECD ≌△FBA ，△AEC ≌△DFB ，△EBD ≌△FCA ，△AED ≌△FDA ，共6对．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．【变式5-3】（2020春•碑林区校级期末）如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，CF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．则图中共有（ ）对全等三角形．A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】根据全等三角形的判定即可求出答案．【答案】解：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∠ADB ＝∠CBD ，∠BAC ＝∠DCA ，在△ABD 和△CDB 中，{∠ABD =∠CDBBD =DB ∠ADB =∠CBD，∴△ABD ≌△CDB （ASA ），同理：△ABC ≌△CDA （ASA ）；∴AB ＝CD ，BC ＝DA ，在△AOB和△COD中，{∠BAO=∠DCO ∠AOB=∠COD AB=CD，∴△AOB≌△COD（AAS），同理：△AOD≌△COB（AAS）；∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠AEO＝∠CFD＝∠CFO＝90°，在△ABE和△CDF中，{∠AEB=∠CFD ∠ABE=∠CDF AB=CD，∴△ABE≌△CDF（AAS），同理：△AOE≌△COF（AAS），△ADE≌△CBF（AAS）；图中共有7对全等三角形；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【考点6 格中全等三角形个数问题】【方法点拨】认真观察图形，利用SSS判断即可．【例6】（2019秋•沙河口区期末）如图，在4×4方形格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出4个，AC不可以，故可求出结果．【答案】解：如图所示，△ABD，△BEC，△BFC，△BGC，共4个，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，以及格点的概念等知识点，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的三条对应边分别相等．【变式6-1】（2020春•太仓市期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（重合的除外）的三角形个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【答案】解：如图所示可作3个全等的三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．【变式6-2】（2019秋•睢宁县校级月考）如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有（）个．A．9B．10C．11D．12【分析】用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【答案】解：如图示2×3排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形，所以共有12个全等三角形，除去△DEF外有11个与△DEF全等的三角形：△DAF，△BGQ，△CGQ，△NFH，△AFH，△WBI，△QBI，△CKR，△KRW，△CGR，△KIW．故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，应用SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．【变式6-3】（2020秋•南充期中）如图为正方形格，顶点在格点上的三角形称为格点三角形，每个小正方形均为边长为1的正方形，图中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有（）个．A．4B．16C．23D．24【分析】用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【答案】解：如图所示：故选：C．【点睛】本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．【考点7 全等三角形的判定（选择条件）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例7】（2020春•常熟市期末）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．【答案】解：A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；C、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式7-1】（2020春•崇川区期末）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【答案】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式7-2】（2020春•竞秀区校级期末）如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【分析】先求出BE＝CF，根据平行线的性质得出∠AEF＝∠DFC，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【答案】解：∵BF＝CE，∴BE＝CF．①AE＝DF时，在△ABE和△DCF中，{AB=DCAE=DFBE=CF，∴△ABE≌△DCF（SSS）；故①正确；②∵AE∥DF，∴∠AEF＝∠DFC．在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠AEF＝∠DFC．不能判定△ABE与△DCF全等，故②不正确；③∵AB∥DC，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，{AB=DC ∠B=∠C BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；故③正确；④在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠A＝∠D．不能判定△ABE与△DCF全等，故④不正确；故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定的应用，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．【变式7-3】（2020春•金牛区期末）如图，已知：在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD ≌△CEB的有（）组．A．4B．3C．2D．1【分析】根据题目中的条件，先把AE＝CF和DF∥BE能够得到的条件写出来，然后再根据题意，写出其中的三个为条件，是否可以证明△AFD≌△CEB，本题得以解决．【答案】解：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DF A＝∠BEC，∴若①②③为条件，不能证明△AFD≌△CEB，若①②④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），若①③④为条件，不能证明△AFD ≌△CEB ，若②③④为条件，能证明△AFD ≌△CEB （AAS ），故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．【考点8 全等三角形的判定（判定依据）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例8】（2019秋•广安期末）如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【分析】利用判定方法“HL ”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．【答案】解：在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，{OM =ON OP =OP， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP ＝∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．【变式8-1】（2019秋•江津区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M ，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．由此作法便可得△MOC ≌△NOC ，其依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．【答案】解：∵在△ONC和△OMC中{ON=OM CO=CO NC=MC，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【变式8-2】（2019秋•西宁期末）如图，P A⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，P A＝PB．则△OAP≌△OBP的依据不可能是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】先根据角平分线的性质定理的逆定理得到∠POA＝∠POB，然后根据三角形全等的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵P A⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，而P A＝PB，∴OP平分∠AOB，即∠POA＝∠POB，∴可根据：“SAS”或“AAS”或“AAS”判断△OAP≌△OBP．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．【变式8-3】（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【分析】要想买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边的长度或两角及一边即可，即简单的全等三角形在实际生活中的应用．【答案】解：由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，能够联系实际，灵活应用所学知识．【考点9 全等三角形的判定与性质（基础证明）】【方法点拨】全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例9】（2020春•工业园区期末）已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：BE＝DE．【分析】根据HL 证明Rt △ABC 与Rt △ADC 全等，利用全等三角形的性质得出∠BAE ＝∠DAE ，进而利用SAS 证明△ABE ≌△ADE ，进而解答即可．【答案】证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴在Rt △ABC 与Rt △ADC 中{AB =AD AC =AC， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ），∴∠BAE ＝∠DAE ，在△ABE 与△ADE 中{AB =AD ∠BAE =∠DAE AE =AE，∴△ABE ≌△ADE （SAS ），∴BE ＝DE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．【变式9-1】（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE ＝AF ，CE ＝CF ，求证：CB ＝CD ．【分析】先证明△AEC ≌△AFC ，根据全等三角形的性质得出∠CAE ＝∠CAF ，利用角平分线的性质解答即可．【答案】证明：连接AC ，在△AEC 与△AFC 中{AC =AC CE =CF AE =AF，∴△AEC ≌△AFC （SSS ），∴∠CAE ＝∠CAF ，∵∠B ＝∠D ＝90°，∴CB ＝CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．【变式9-2】（2020春•雨花区期末）如图，已知AB ⊥CF 于点B ，DE ⊥CF 于点E ，BH ＝EG ，AH ＝DG ，∠C ＝∠F ．（1）求证：△ABH ≌△DEG ；（2）求证：CE ＝FB ．【分析】（1）由HL 可证明△ABH ≌△DEG ；（2）证明△ABC ≌△DEF （AAS ）．得出BC ＝EF ，则可得出结论．【答案】（1）证明：∵AB ⊥CF ，DE ⊥CF ，∴∠DEG ＝∠ABH ＝90°，在Rt △ABH 和Rt △DEG 中，∵{BH =EG AH =DG，∴Rt △ABH ≌Rt △DEG （HL ）．（2）∵Rt △ABH ≌Rt △DEG （HL ）．∴AB ＝DE ，在△ABC 和△DEF 中，∵{∠ABC =∠DEF =90°∠C =∠F AB =DE，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．∴BC ＝EF ，∴CE ＝FB ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式9-3】（2020春•历下区期末）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：∠ABE ＝∠ACE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，CE 的延长线交AB 于点G ．求证：EF ＝EG ．【分析】（1）根据已知条件可以证明△ABD 和△ACD 全等，可得∠BAD ＝∠CAD ，再证明△ABE 和△ACE 全等，即可得结论；（2）结合（1）根据△ABE 和△ACE 全等可得BE ＝CE ，再证明△BEG ≌△CEF ，即可得结论．【答案】解：（1）证明：∵点D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ACD 中，{AB =AC AD =AD BD =CD，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠BAD ＝∠CAD ，在△ABE 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAE =∠CAE AE =AE，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACE ；（2）如图，由（1）知，△ABE ≌△ACE ，∴BE ＝CE ，∠ABE ＝∠ACE ，在△BEG 和△CEF 中，{∠GBE =∠FCE BE =CE ∠GEB =∠FEC，∴△BEG ≌△CEF （ASA ），∴EG ＝EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．【考点10 全等三角形的判定与性质（推理论证）】【例10】（2020春•高明区期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ．给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AC ＝3BF ．其中正确的结论为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【分析】根据△ABD ≌△ACD 即可得到BD ＝CD ，AD ⊥BC ，故②③正确；通过△CDE ≌△DBF 即可得到DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①④正确．【答案】解：∵BF ∥AC ，∴∠C ＝∠CBF ，∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC ＝∠CBF ，∴∠C ＝∠ABC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，又∵AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD （AAS ），∴BD ＝CD ，故②正确，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC ，故③正确，在△CDE 与△DBF 中，{∠C =∠CBF CD =BD ∠EDC =∠BDF，∴△CDE ≌△DBF （ASA ），∴DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①正确，∵AE ＝2BF ，∴AE ＝2CE ，∴AC ＝AE +CE ＝3CE ＝3BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式10-1】（2019秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，那么下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④BR＝QS，其中一定正确的是（填写编号）．【分析】通过证明△APR≌△APS，可得AS＝AR，∠BAP＝∠P AS，可证QP∥AR，可求解．【答案】解：如图，连接AP，①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴∠SAP＝∠RAP，且AP＝AP，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴△APR≌△APS（AAS），∴AR＝AS，∴①正确；②∵AQ＝QP，∴∠QAP＝∠QP A，∵∠QAP＝∠BAP，∴∠QP A＝∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③④在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式10-2】（2020春•平阴县期末）如图，EB 交AC 于点M ，交C 于点D ，AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，给出下列结论：①∠1＝∠2；②CD ＝DN ；③△ACN ≌△ABM ；④BE ＝CF ．其中正确的结论有 ．（填序号）【分析】①根据已知条件可以证明在△ABE 和△ACF 全等，即可得∠1＝∠2；②没有条件可以证明CD ＝DN ，即可判断；③结合①和已知条件即可得△ACN ≌△ABM ；④根据△ABE ≌△ACF ，可得BE ＝CF ，【答案】解：①在△ABE 和△ACF 中，{∠E =∠F ∠B =∠C AE =AF，∴△ABE ≌△ACF （AAS ），∴∠EAB ＝∠F AC ，∴∠EAB ﹣∠BAC ＝∠F AC ﹣∠BAC ，∴∠1＝∠2．∴①正确；没有条件可以证明CD ＝DN ，∴②错误；∵△ABE ≌△ACF ，∴AB ＝AC ，在△ACN 和△ABM 中，{∠C =∠B AC =AB ∠CAB =BAC，∴△ACN ≌△ABM （ASA ），∴③正确；∵△ABE ≌△ACF ，∴BE ＝CF ，∴④正确．∴其中正确的结论有①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．【变式10-3】（2020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝140°，AB ⊥CB 于点B ，AD ⊥CD 于点D ，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且∠EAF ＝70°，下列说法正确的是 ．（填写正确的序号）①DF ＝BE ，②△ADF ≌△ABE ，③F A 平分∠DFE ，④AE 平分∠F AB ，⑤BE +DF ＝EF ，⑥CF +CE ＞FD +EB ．【分析】延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，根据全等三角形的判定定理求出△ADF ≌△ABG ，根据全等三角形的性质得出AF ＝AG ，∠G ＝∠DF A ，∠DAF ＝∠BAG ，求出∠F AE ＝∠EAG ＝70°，根据全等三角形的判定定理得出△F AE ≌△GAE ，根据全等三角形的性质得出∠FEA ＝∠GEA ，∠G ＝∠EF A ，EF ＝EG ，再进行判断即可．【答案】解：延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，∵AB ⊥CB ，AD ⊥CD ，∴∠D ＝∠ABG ＝90°，在△ADF 和△ABG 中{AD =AB ∠D =∠ABG DF =BG，∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AF ＝AG ，∠G ＝∠DF A ，∠DAF ＝∠BAG ，∵∠EAF ＝70°，∠DAB ＝140°，。

八年级上册全等三角形章末训练（Word 版 含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，此时CP=AC ，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5， 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，点P 在直线BC 上确定出点E 、F 位于什么位置时PC 有最大（小）值是解题的关键.2．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥，PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ．【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．【详解】解：∵PD AB ，PE BC ∥∴四边形HBDP 是平行四边形∴PD=HB∵ABC 为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∵PE BC ∥∴∠AHE=∠B=60°∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE 是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE 是等边三角形，∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．3．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC∆中，25,105A ABC∠=︒∠=︒，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC∆分割成两个等腰三角形，则BDA∠的度数是______．（2）已知在ABC∆中，AB AC=，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC∆分割成两个等腰三角形，则A∠的最小度数为________．【答案】130︒1807︒⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得：DA=DB，结合25A∠=︒，即可得到答案；（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A∠的度数，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=180 ()7︒．综上所述，∠A的最小度数为：180 ()7︒．故答案是：180 ()7︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．4．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，12），且△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．【答案】-83．【解析】【分析】先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝132，故可得出a的值．【详解】∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，∴223+213AB＝＝，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴1113•1313222 ABCS AB AC⨯⨯＝＝＝，作PE⊥x轴于E，连接OP，此时BE＝2﹣a，∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，∴111•••222 ABP POA AOB BOPS S S S OA OE OB OA OB PE ++＝﹣＝﹣，111113332222222a⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＝（﹣）﹣＝，解得a＝﹣83．故答案为﹣83．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出关于a的方程．5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．【答案】30°．【解析】【分析】如图：分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB 、OA 于M 、N ，则可证明此时△PMN 周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB=12∠P'O P''=30°. 【详解】解：如图：分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB 、OA 于M 、N ，由轴对称△PMN 周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN 周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB ，∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°. 故答案为30°.【点睛】 本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.6．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，点E 为AD 边上一点，连接BD .CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为_______________.【答案】27【解析】【分析】由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解.【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点O∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形∴30BAO DAO ∠=∠=︒，8AB AD BD ===，4BO OD ==∵CE AB ∥∴30BAO ACE ∠=∠=︒，60CED BAD ∠=∠=︒∴30DAO ACE ∠=∠=︒∴6AE CE ==∴2DE AD AE =-=∵60CED ADB ∠=∠=︒∴EDF 是等边三角形∴2DE EF DF ===∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-=∴2223OC CF OF =-=∴2227BC BO OC =+=【点睛】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.7．如图，已知每个小方格的边长为1，A 、B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C ，使△ABC 是等腰三角形，这样的格点C 有________个。

2024届初中数学重难点题型专项(全等三角形证明题)练习题型1：重叠边技巧①短边相等＋重叠边=长边相等②长边相等－重叠边=短边相等1．（∙广东）如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF ，求证：∥AB DE ．2．（∙重庆）已知点A 、E 、F 、C 在同一直线上，已知AD BC ∥，AD BC =，AE CF =，试说明BE 与DF 的关系．3．（∙湖北荆门）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．4．（∙甘肃）如图，AB∥CD，BN∥MD，点M、N在AC上，且AM=CN，求证：BN=DM．5．（∙新疆）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A ＝∠D，AF＝DC．求证：(1)ABC≌△DEF；(2)BC∥EF．△题型2：重叠角技巧重叠角技巧： 小角相等+重叠角=大角相等大角相等-重叠角=小角相等∠＝2∠，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．6．（∙福建∙福州）如图，AC＝AE，17．（∙四川资阳）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，1=2∠∠．求证：BC=DE．∠，求证：△ABC≌△ADE．8.如图，AB＝AD，∠C＝∠E，1∠＝29．(雅礼)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE．∠∠．10．（∙四川达州）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，1=2（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．题型3：等角的余角相等技巧： ∠1+∠2=90，∠2+∠3=90， ∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。

11．（∙甘肃）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD， （1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．12．（∙辽宁沈阳）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD CE ⊥于D ， 2.5cm AD =，1.7cm DE =，求BE 的长．13．（长郡）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 是BC 边上的一点，连接AE ，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．（1）求证：△ACE ≌△CBD ；（2）若BE ＝3，AB ＝6，求点E 到AB 的距离．14．（∙广东）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE =CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF =2CD ．15．（周南）（1）如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：BD ＝DE +CE ．（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．题型4：证两次全等的证明题16．如图，已知AB＝DC，AE＝DF，CE＝BF．求证：AF＝DE．17．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．18．如图1所示，点E、F在线段AC上，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F；DE，BF分别在线段AC的两侧，且AE＝CF，AB＝CD，BD与AC相交于点G．（1）求证：EG＝GF；（2）若点E在F的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．题型5：旋转型全等（手拉手模型）19．（∙浙江）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，DC连接AE、DE、．(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20．（∙山东聊城）如图，在ABC 中，90ACB ∠= ，AC BC =，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B 不重合)，连接CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90 得到线段CE ，连接DE 交BC 于点F ，连接BE ． 1（）求证：ACD △≌BCE ；2（）当AD BF =时，求BEF ∠的度数．21．（∙湖南∙澧县）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AB ＝AC ，点E 是BD 上一点，且AE ＝AD ，EAD ∠＝BAC,∠（1）求证：A ∠BD ＝ACD ∠；（2）若ACB ∠＝65°，求BDC ∠的度数．22．（∙北京）如图，已知：△OAB ，△EOF 都是等腰直角三角形，∠AOB =90°，中，∠EOF =90°，连结AE 、BF ．求证：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ．23．（∙浙江）如图，点C 为线段BD 上一点，,ABC CDE △△都是等边三角形，AD 与CE 交于点,F BE 与AC 相交于点G ．（1）求证：ACD BCE ≌；（2）求证：ACF BCG ≌求证：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ．题型6：角平分线的性质与判定24．（∙北京）如图所示，在△ABC 中，C ∠＝90°，AD 是BAC ∠的平分线，⊥DE AB 交AB 于点E ，点F 在AC 上，BD ＝DF ．求证：（1）CF ＝EB ；（2）AB ＝AF ＋2EB ．25．（∙广西北海）如图，⊥DE AB 于E ，⊥DF AC 于F,若BD=CD 、BE=CF ，(1)求证：AD 平分BAC ∠；(2)已知AC=20， BE=4，求AB 的长.求证：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ．26．（∙浙江∙义乌）如图，已知AC 平分∠⊥BAD,CE AB 于E ，⊥CF AD 于F ，且BC=CD ， （1）求证：△≌△BCE DCF（2）若AB=17，AD=9，求AE 的长.27．（∙甘肃平凉）如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，求证：AM 平分DAB ∠．∠， 28．（∙北京）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分ABC ∠∠．求证：A+C=180°29．（∙全国）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．(1)若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．(2)若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．参考答案题型1：重叠边技巧①短边相等＋重叠边=长边相等②长边相等－重叠边=短边相等1．（∙广东）如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF ，求证：∥AB DE ．【答案详解】∵AF=DC ，∴AF ﹣FC=DC ﹣CF ，即AC=DF ．在△ACB 和△DFE 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△≌△ACB DFE（SSS ），∴∠∠A=D ，∴∥AB DE ．2．（∙重庆）已知点A 、E 、F 、C 在同一直线上，已知AD BC ∥，AD BC =，AE CF =，试说明BE 与DF 的关系．【答案详解】解：数量关系BE DF =，位置关系BE DF ∥．理由：∵AD BC ∥，∴∠A =∠C ，又AE CF = ，∴AE +EF =CF +EF ，即AF =CE ，在ADF 和CBE △中，AD BC A C AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADF ∴ ≌()CBE SAS △∴BE =DF ，∠BEF =∠DFE ，∴BE DF ∥．3．（∙湖北荆门）如图，点E 、F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ．求证：∠A ＝∠D ．【答案详解】解∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF ＝CE ．在△ABF 和△DCE 中，AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DCE ， ∴∠A ＝∠D ．4．（∙甘肃）如图，AB ∥CD ，BN ∥MD ，点M 、N 在AC 上，且AM =CN ，求证：BN =DM ．【答案详解】解：∵AB ∥CD ，BN ∥MD ，∴∠A =∠C ，∠CMD =∠ANB ，∵AM =CN ，∴AM +MN =MN +CN ，即AN =MC ，在△ANB 和△CMD 中，∠A =∠C ，AN =MC ，∠ANB =∠CMF，∴△ANB ≌△CMD （ASA ），∴BN =MD ．5．（∙新疆）如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AF ＝DC ．求证：△(1)ABC ≌△DEF ；(2)BC ∥EF ．【答案详解】(1)证明：∵AF ＝DC ，∴AF +CF ＝DC +CF ，∴AC ＝DF ，∵在△ABC 和△DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；(2)证明：由（1）知△ABC ≌△DEF ，∴∠BCA ＝∠EFD ，∴BC ∥EF ．题型2：重叠角技巧重叠角技巧：①小角相等+重叠角=大角相等②大角相等-重叠角=小角相等6．（∙福建∙福州）如图，AC ＝AE ，1∠＝2∠，AB ＝AD ．求证：△ABC ≌△ADE ．【答案详解】证明：∵∠∠1=2，12EAB EAB ∴∠+∠=∠+∠，即CAB EAD ∠=∠，在ABC 和ADE 中，{AC AECAB EAD AB AD=∠=∠=()ABC ADE SAS ∴≅ ．7．（∙四川资阳）如图，在△ABC和△ADE 中，AB =AD ，∠B =∠D ，1=2∠∠．求证：BC =DE ．【答案详解】证明：∵∠∠1=2，∵∠DAC +1=2+∠∠∠DAC ∴∠BAC =∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，B D AB AD BAC DAE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△ABC （ASA ）∴BC =DE ，8.如图，AB ＝AD ，∠C ＝∠E ，1∠＝2∠，求证：△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠1＝2∠，∴∠1+∠EAC ＝2+∠∠EAC ，即∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，BAC DAE C E AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADE （AAS ）． 9．(雅礼)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC ＝90°，∠DAE ＝90°，B ，C ，D 在同一条直线上．求证：BD ＝CE ．【解答】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，又∵∠EAC ＝90°+∠CAD ，∠DAB ＝90°+∠CAD ，∴∠DAB ＝∠EAC ，∵在△ADB 和△AEC中，∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∴BD ＝CE ．10．（∙四川达州）已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB =AC ，AD =AE ，1=2∠∠．（1）求证：BD =CE ；（2）求证：∠M=∠N ．【答案详解】（1）证明：在△ABD 和△ACE 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD =CE ；（2）证明：∵∠∠1=2，∴∠∠1+DAE =2+∠∠DAE ，即∠BAN =∠CAM ，由（1）知：△ABD ≌△ACE ，∴∠B =∠C ，在△ACM 和△ABN 中，C B AC AB CAM BAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACM ≌△ABN （ASA ），∴∠M =∠N ．题型3：等角的余角相等技巧： ∠1+∠2=90，∠2+∠3=90，∴∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。

全等三角形的判定（六大题型）【题型01：判断三角形全等-SSS】【题型02：判断三角形全等-SAS】【题型03：判断三角形全等-ASA】【题型04：判断三角形全等-AAS】【题型05：判断三角形全等-HL】【题型06：全等三角形的综合】【题型01：判断三角形全等-SSS】1．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=CF，求证：△ABC≌△DFC．2．如图，AC=BD，BC=AD，求证：△ABC≌△BAD．3．已知：如图，点A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF．(1)求证：△AEC≌△BFD；(2)求证：DE∥CF4．如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE．(1)求证：∠BAC=∠DAE；(2)猜想∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并证明．5．如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，AB=FC，AD=FE，BC=DE．求证：△ABD≌△FCE．6．已知：如图，AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上一点．求证：(1)∠ABD=∠ACD；(2)BF=CF．7．如图，在△ABC和△DEF中，BE=CF，AB=DE，AC=DF．(1)求证：△ABC≌△DEF．(2)若BC=11，BF=16，求CE的长．【题型02：判断三角形全等-SAS】8．如图，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD．求证：△ABC≌△AED．9．如图，已知A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，DE∥AF，且DE=AF．试说明：(1)△AFC≌△DEB；(2)BE∥CF．10．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=DC，BE=CF，求证：△ABE≌△DCF．11．如图，AD=AE，AC=AB．求证：△ACD≌△ABE．12．如图，已知AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC，BE．(1)求证：△BAE≌△DAC；(2)若∠CAD=135°，∠D=20°，求∠E的度数．13．如图：已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)若∠1=30°，∠2=40°，求∠3的度数．14．已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AB=DC，∠B=∠C，BE=CF．(1)求证：△ABF≌△DCE．(2)若∠AGE=80°，求∠AFE的度数．【题型03：判断三角形全等-ASA】15．如图，AD∥BC，BE∥DF，AE=CF，求证：△ADF≌△CBE．16．如图，AD=AE,CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D,E．(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AC=12,CD=8,BC=10，求BC边上的高的长度．17．如图，A、E、F、B在同一条直线上，AE=BF，∠A=∠B，∠CEB=∠DFA，试说明：△AFD≌△BEC．18．如图，点A为△ABC和△ADE的公共顶点，已知∠C=∠E，AC=AE，请你添加一个条件，使得AB=AD．（不再添加其他线条和字母）(1)你添加的条件是______；(2)根据你添加的条件，写出证明过程．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC⊥CD，DE⊥AC于点E，AB=CE．求证：△ABC≌△CED．20．如图所示，已知BC∥DE，AD=CF，∠A=∠F.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)判断AB和EF的位置关系并说明理由．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，∠ABE=∠ACD，BE、CD相交于点O．(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)求证：BD=CE．22．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，∠ACB=∠DEF，AB∥DF，BE=FC．(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)若BF=14，EC=8，求BC的长．【题型04：判断三角形全等-AAS】23．如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1=∠2=∠3，AB=AD．求证：△ABC≌△ADE．24．如图，点E，C在BF上，∠ACB=∠DEF，BE=CF，∠A=∠D．试说明△ABC≌△DFE．25．如图，点C、E在BF上，BE=CF，AB∥FD，∠A=∠D．(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)若∠B=50°，∠BED=145°，求∠D的度数．26．如图，在△ABC与△DEF中，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AC=DF，∠A=∠D．(1)试说明△ABC≌△DEF；(2)若BF=7，CE=3，求线段BE的长度．27．如图，△ABC中，AB=AC，D、E是边AB、AC上的点，连接CD、BE交于点F，∠ADC=∠AEB．(1)求证：CD=BE；(2)若∠A=45°，∠ACD=20°，求∠BFC的度数．【题型05：判断三角形全等-HL】28．如图，点B、E、C、F在同一直线上，∠A=∠D=90°，BE=CF，AC=DF．求证：∠B=∠DEF．29．已知：如图，∠B=∠C=90°，且AF=DE，BE=CF．(1)求证：AB=DC；(2)若∠A=55°，求∠DEF的度数．30．如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A=∠D=90°，BE=FC，AB=DF．求证：∠ACB=∠DEF．31．如图，过射线EF外一点D，作DE⊥EF，点A为射线EF上一点，在AF上截取AC=DE，作MC⊥EC，点D,M位于EF的同侧，连接AD，以A为圆心，以AD的长为半径画弧，交MC于B．求证：(1)△DAE≌△ABC；(2)AD⊥AB．32．如图，在△ABC中，∠C=90°，将线段AB绕点A逆时针旋转50°得到线段AD，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，DE=BC，求∠B的度数．33．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：△ABE≌△CBF；(2)若∠CAE=15°，BF=3，求AE的长．【题型06：全等三角形的综合】34．如图，在△ABC中，∠B=80°，将AB沿射线BC的方向平移至A′B′，连接AA′，设A′B′与AC的交点为O．(1)若B′为BC的中点，求证：△AOA′≌△COB′；(2)若AC平分∠BAA′，求∠C的度数．35．如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，其中AB⊥BE于点B，FE⊥BE于点E，点P在BE上，已知AP=PF，AB=PE．(1)求证：△ABP≌△PEF；(2)求BE的长．36．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，DE⊥AB，且DE=AC，DE与AC 交于点G，过点E作FE∥BC交AB于点F，交AC于点H．(1)求证：△ABC≌△EFD；(2)若∠EFD=58°，求∠DGH的值．37．如图，A 、D 、E 三点在同一条直线上，且△ABD≌△CAE ．(1)若DB =6，CE =4，求DE ；(2)若BD ∥CE ，求∠BAC ．38．如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，点D ，E 分别在边AB 和AC 上，连接BE ，CD ，交点为F ，且AD =13AB ，AE =13AC ．(1)求证：CD =BE ．(2)求证：DF =EF ．39．如图，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，CM=BN，连接AN，DM．求证：(1)△ABM≌△DCN；(2)AN∥DM．40．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E是边BC延长线上一点，BD=EC，点F 为△ABC外一点，连接DF，EF，∠A=∠F，AC∥DF，(1)求证：△ABC≌△FED；(2)若点D是BC中点，且BE=12，BA=4，AC=5，求△DEF的周长．41．在四边形ABCD中，∠B=90°，E为BC边的中点，AE平分∠BAD，F分别为AD上一点，AF=AB．(1)求证：△ABE≌△AFE；(2)若∠AED=90°，请证明BC⊥CD．42．如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．(1)求∠CPD的度数；(2)若AE=3，CD=5，求线段AC的长．43．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D是边BC上一点，AB=DC，点E在边AC上．(1)若∠ADE=∠B，求证：△BAD≌△CDE；(2)若BD=CE，∠BAC=70°，求∠ADE的度数．44．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)已知AC=12，BE=2，求AB的长．。

八年级数学全等三角形章末训练（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．-【答案】10310【解析】解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP-；最小，最小值为10310③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；-（cm）．综上所述，PA的最小值为10310-．故答案为：10310点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．3．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．【答案】AD的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.详解：如图，过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD∴△ABP≌△DC′P∴AP=PD即P为AD的中点.故答案为P为AB的中点.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．4．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出下列四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③EF=AB ；④12ABC AEPF S S ∆=四边形，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP=CP，∴∠PAE=∠PCF，在△APE与△CPF中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC∠=∠=∠=∠，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=12S△ABC，①②④正确；而AP=12BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．6．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△A n B n A n+1的边长为_____．【答案】2n．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n．故答案为：2n．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为______．【答案】7或34【解析】【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．【详解】如图1，当∠AMB =90°时， ∵O 是AB 的中点，AB =8，∴OM =OB =4，又∵∠AOC =∠BOM =60°，∴△BOM 是等边三角形，∴BM =BO =4，∴Rt △ABM 中，AM =22AB BM -=43；如图2，当∠AMB =90°时，∵O 是AB 的中点，AB =8，∴OM =OA =4，又∵∠AOC =60°，∴△AOM 是等边三角形，∴AM =AO =4；如图3，当∠ABM =90°时，∵∠BOM =∠AOC =60°，∴∠BMO =30°，∴MO =2BO =2×4=8，∴Rt △BOM 中，BM =22MO OB -=43，∴Rt △ABM 中，AM =22AB BM +=47．综上所述，当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为43或47或4．故答案为43或47或4．8．如图，30AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上的动点，则PQR ∆周长的最小值为_______.【答案】10【解析】【分析】作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，利用对称的性质得到△PQR周长=P′P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10，从而得到△PQR周长的最小值【详解】解：作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，则OP=OP′，OP=OP″，RP=RP′，QP=QP″，∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″，∴此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，∵由对称性可知OP=OP′，OP=OP″，PP′⊥OB，PP″⊥OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，∴△P′OP″为等边三角形，∴P′P″=OP′=OP=10，故答案是：10.【点睛】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则α＝__________.【答案】20°或40°【解析】【分析】过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．【详解】如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，∴∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况：①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，∴90°-12θ+2×（30°+θ）=180°，解得θ=20°；②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，即90°-12θ=30°+θ，解得θ=40°；③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°-12θ，又∵∠BQP=30°+θ，∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-12θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），故答案为：20°或40°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A．3B．332C．32D．不能确定【答案】B【解析】已知，如图，P为等边三角形内任意一点，PD、PE、PF分别是点P到边AB、BC、AC的距离，连接AP、BP、CP，过点A作AH⊥BC于点H，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH=332，因S△ABC=12BC•AH=12AB•PD+12BC•PE+12AC•PF，所以1 2×3×AH=12×3×PD+12×3×PE+12×3×PF，即可得PD+PE+PF=AH=332，即点P到三角形三边距离之和为332．故选B.点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．12．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若△ADC 的周长为14，BC=8，则AC 的长为A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】【分析】 根据题意可得MN 是直线AB 的中点，所以可得AD=BD ，BC=BD+CD ，而△ADC 为AC+CD+AD=14，即AC+CD+BD=14，因此可得AC+BC=14，已知BC 即可求出AC .【详解】根据题意可得MN 是直线AB 的中点AD BD ∴=ADC 的周长为14AC CD AD ++=14AC CD BD ++=∴BC BD CD =+14AC BC =∴+已知8BD =6AC ∴= ，故选B【点睛】本题主要考查几何中的等量替换，关键在于MN 是直线AB 的中点，这样所有的问题就解决了.13．如图所示，在ABC 中，AC BC =，90ACB ︒∠=，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线F ，E 为垂足．则有：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出答案．【详解】解：∵AC BC =，90ACB ︒∠=∴45CAB ABC ︒∠=∠=∵AD 平分BAC ∠∴22.5BAE EAF ︒∠=∠=∵90EAF F FBC F ︒∠+∠=∠+∠=∴EAF FBC ∠=∠∴ADC BFC ≅∴AD=BF ，CF=CD ，故①②正确；∵CD=CF，∴AC+CD=AC+CF=AF∵67.5F ︒∠=∵18018067.54567.5ABF F CAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴AF=AB ，即AC+CD=AB ，故③正确；由③可知，三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥ ∴12BE BF = 若BE CF =，则30CBF ∠=︒与②中结论相矛盾，故④错误；∵三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥ ∴12BE BF = ∴BF=2BE ，故⑤正确；综上所述，正确的选项有4个．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．14．如图，已知：30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形，若112OA =，则667A B A的边长为( )A．6 B．12 C．16 D．32【答案】C【解析】【分析】先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理求∠OB1A1=30°，则∠MON=∠OB1A1，由等角对等边得：B1A1=OA1=12，得出△A1B1A2的边长为12，再依次同理得出：△A2B2A3的边长为1，△A3B3A4的边长为2，△A4B4A5的边长为：22=4，△A5B5A6的边长为：23=8，则△A6B6A7的边长为：24=16．【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，∵∠MON=30°，∴∠OB1A1=60°-30°=30°，∴∠MON=∠OB1A1，∴B1A1=OA1=12，∴△A1B1A2的边长为12，同理得：∠OB2A2=30°，∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=12+12=1，∴△A2B2A3的边长为1，同理可得：△A3B3A4的边长为2，△A4B4A5的边长为：22=4，△A5B5A6的边长为：23=8，则△A6B6A7的边长为：24=16．故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的性质和外角定理，运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，解题关键是总结规律，得出结论．15．如图，30MON ∠=︒．点1A ，2A ，3A ，⋯，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋯，在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，⋯均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ∆的边长为（ ）A ．20172B ．20182C ．20192D ．20202【答案】B【解析】【分析】 根据等边三角形的性质和30MON ∠=︒，可求得1130∠=︒OB A ，进而证得11OA B ∆是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得规律333、、=⋅⋅⋅=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果． 【详解】解：∵30MON ∠=︒，112A B A ∆是等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，1112A B A A =∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ∆是等腰三角形，∴111=A B OA ，∵11OA =，∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA =2，同理得23342==A B 、34482==A B ，根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ∆的边长为20182，故选：B ．【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．16．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ,若△ABC 的周长为24，CE ＝4，则△ABD 的周长为（ ）A．16 B．18 C．20 D．24【答案】A【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB=DC，BC=2CE=8又∵AABC的周长为24，∴AB+BC+AC=24∴AB+AC=24-BC=24-8=16∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为A【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：根据题意，∵△PAB为等腰三角形，∴可分为：PA=PB，PA=AB，PB=AB三种情况，如图所示：∴符合条件的点P共有4个；故选择：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．18．如图, 在△DAE中, ∠DAE＝40°, B、C两点在直线DE上，且∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，则∠BAC的大小是（）A．100°B．90°C．80°D．120°【答案】A【解析】【分析】由已知条件，利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等，再结合三角形内角和定理求解.【详解】解：如图，∵BG是AE的中垂线，CF是AD的中垂线，∴AB=BE，ACECD∴∠AED=∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠CAD=∠DAE+∠CAE，∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE=3∠DAE+∠BAD+∠EAC=120°+∠BAD+∠EAC=180°∴∠BAD+∠EAC=60°∴.∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=60°+40°=100°；故选：A【点睛】本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质；找着各角的关系利用内角和列式求解是正确解答本题的关键.19．如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R。

专题03全等三角形的性质与判定选择、填空重难点题型分类（原卷版）专题简介：本份资料包含《全等三角形》这一章在各次期中、期末考中常考的主流选择、填空题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含七类题型：全等三角形的性质、五种判定方法的选择、添加一个条件判定三角形全等、尺规作图的依据、角平分线的性质、全等三角形性质与判定的小压轴题、动点问题的小压轴题，本专题资料适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生月考、期末考前刷题时使用。

题型1： 全等三角形的性质1．（青竹湖）下列说法正确的是（ ）A ．两个等边三角形一定全等B ．形状相同的两个三角形全等C ．面积相等的两个三角形全等D ．全等三角形的面积一定相等2．（长郡）如图，△ABC ≌△DEF ，BE ＝7，AD ＝3，则AB ＝ ．3．（2021·内蒙古赤峰）如图，ABC EDC △≌△，3cm AC =，5cm DC =，则BE =（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．（2021·福建福州）如图，ABC DCB △≌△，35DBC ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒5．（2021·重庆）如图，ABC ADE △≌△，若70C ∠=，30B ∠=，35CAD ∠=，则EAC ∠=（ ）A ．40B ．45C ．50D ．556．（2022·江西吉安）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF ．若10AB =cm ，6BE =cm ，4DH =cm ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．47cm 2B ．48 cm 2C ．49 cm 2D ．50 cm 2题型2：五种判定方法的选择7．（2022·江西）如图，已知AD BD ⊥，BC AC ⊥，AC BD =．则CAB DBA △△≌的理由是（ ）A ．HLB ．SASC ．AASD ．ASA8．（2021·河南·濮阳）已知△ABC 和△DEF ，下列条件中，不能保证△ABC ≌△DEF 的是( ) A ．AB =DE ，AC =DF ，BC =EFB ．∠A =∠D ， ∠B =∠E ，AC =DF C ．AB =DE ，AC =DF ，∠A =∠D D ．AB =DE ，BC =EF ， ∠C =∠F9．（2022·湖南邵阳）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A ．一个锐角和一条斜边分别对应相等B ．两条直角边分别对应相等C ．一条直角边和斜边分别对应相等D ．两个锐角分别对应相等10．（2022·河北·平乡）已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B '，使ACB ACB '∠∠＝，这时只要出AB '的长，就知道AB 的长，那么判定ABC ∆≌AB C ∆'的理由是（ ）A ．ASAB ．AASC ．SASD ．HL11．（2022·辽宁大连）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），要测量工件内槽宽AB ，只需测量A B ''的长度即可．AOB A OB ''≌的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS12．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，借助剩余的图形，他很快就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是______．题型3：添加一个条件判定两三角形全等13．如图，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列条件中不能判定△ABM ≌△CDN 的是（ ）A ．∠M ＝∠NB ．AM ∥CNC ．AB ＝CD D ．AM ＝CN14．如图，已知∠ADB ＝∠CBD ，下列所给条件不能证明△ABD ≌△CDB 的是（ ）A ．∠A ＝∠CB ．AD ＝BC C ．∠ABD ＝∠CDB D ．AB ＝CD15．如图，已知∠1＝∠2，要使△ABC ≌△CDA ，还需要补充的条件不能是（ ）A．AB＝CD B．BC＝DA C．∠B＝∠D D．∠BAC＝∠DCA 16．（2021·四川）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C ＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．（2022·浙江）如图，已知∠A＝∠D，EF∥BC，请在空格上添加一个适当的条件，使得△ABC≌△DEF，则添加的这个条件是________（只要填上一个满足的条件即可）．18．（2022·浙江）如图AB＝DC，若要证明△ABC≌△DCB，需要补充的一个条件是________（写出一个即可）．题型4：尺规作图的依据19．（2021·湖北荆州）如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到△COD≅△C′O′D′的依据是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS20．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS21．（2021·广东·广州）如图，用直尺和圆规作一个三角形O1A 1B 1，使得O 1A 1B 1≌OAB 的示意图，依据（ ）定理可以判定两个三角形全等A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS22．（2022·山西）如图，点C 在AOB ∠的边OB 上，利用尺规过点C 作OA 的平行线CM ，其作图过程如下：在OB 上取一点D ，以O 圆心、OD 为半径画弧，弧交OA 于点F ，再以C 圆心、OD 为半径画弧，该弧与CB 交于点E ，再以E 为圆心、DF 为半径画弧，圆心为C 的弧与圆心为E 的弧交于点M ，作射线CM ，则OF OD CM CE ===，DF EM =，可得CEM ODF ≌，进而可以得到BCM AOB ∠=∠，CM OA ∥，以上作图过程中的依据不包括（ ）A ．圆的半径相等B ．两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．同位角相等，两直线平行D ．全等三角形的对应角相等题型5：角平分线的性质23．（2022·湖南常德）如图，在ABC 中，∠C =90°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC ，AB 于点M ，N ；②分别以点M 和点N 为圆心，大于12MN 的长为半径作圆弧，在∠BAC 内，两弧交于点P ；③作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =3，AB =8，则ABD 的面积是（ ）A ．48B ．24C ．12D ．624．（2022·陕西）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S =，则CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．825．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，S △ABC ＝36cm 2，AB ＝18cm ，BC ＝12cm ，则DE ＝ cm ．26．（2022·山东青岛）如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的角平分线交于点O ，AB =6cm ，BC =9cm ，△ABO的面积为182cm ，则△BOC 的面积为（ ）2cmA ．27B ．54C ．272D ．10827．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝6cm ，则△DBE 的周长是（ ）A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm题型6：全等三角形性质与判定的小压轴题28．（2022·全国）如图，已知AB ＝AC ，AF ＝AE ，∠EAF ＝∠BAC ，点C 、D 、E 、F 共线．则下列结论，其中正确的是（ ）①△AFB ≌△AEC ；②BF ＝CE ；③∠BFC ＝∠EAF ；④AB ＝BC ．A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．①②③④29．（2020·江西·宜春）如图，△ABC 中，∠C =90°、AD 是角平分线，E 为AC 边上的点，DE =DB ，下列结论：①∠DEA ＋∠B =180°；② ∠CDE =∠CAB ；③ AC =12(AB ＋AE )；④ S △ADC =12S 四边形ABDE ，其中正确的结论个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个30．（2022·黑龙江）如图，已知AF AB =，60FAB ∠=︒，AE AC =，60EAC ∠=︒，CF 和BE 交于O 点，则下列结论：：①CF BE =；②120COB ∠=︒；③OA 平分FOE ∠；④OF OA OB =+．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②③④D ．①②④31．（2021·湖南湘西）如图，直线AC 上取点B ，在其同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE ，CD 与GF ，下列结论正确的有（ ）① AE = DC ；②∠AHC =120︒；③△AGB ≌△DFB ；④BH 平分∠AHC ；⑤GF ∥ACA ．①②④B ．①③⑤C ．①③④⑤D ．①②③④⑤题型6：动点问题的小压轴题32．（2022·全国）如图，在△ABC 中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q 的运动速度为______时，能够在某一时刻使BPD △与△CQP 全等．33．（2019·河北秦皇岛）如图，AB=4cm ，AC=BD=3cm ．∠CAB=∠DBA=60°，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ），则点Q 的运动速度为_____cm/s ，使得A 、C 、P 三点构成的三角形与B 、P 、Q 三点构成的三角形全等．34．（2022·河南·郑州）在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，与此同时点Q从点C出发，以a cm/s的速度沿CD向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，当a=___________时，△ABP与△PQC全等．。