利息度量

1
1+ i
0
1
当期利息：i
根据贴现率的定义：
d i 1 i
40
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（2）
年末的1元在年初的现值为：1 - d
1-d
1
0
1
当年利息：d
根据利率的定义：
i d 1 d
41
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（3）
d iv
证明： d i i 1 i v 1i 1i
1
教材：
课程简介
中文（任选1本）：
金融数学（第四版），中国人民大学出版社，2014 金融数学基础，中国人民大学出版社，2015
英文：Financial Mathematics，2005（图书馆）。
2
教学内容：基本的金融计算问题。不含BS期权定价、 期权交易策略、随机利率。
计算工具：EXCEL
注：把年末支付的利息 i 贴现到年初，等于在年
初支付的 d。换言之，年末的 i 相当于年初的 d。
42
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（4）
v=1–d
证明： d i 1 1 1 v 1i 1i
解释：年末的1在年初的现值可以表示为 v，或1 – d。
0
1
v
1
（1－d）
贴现函数可表示为 a–1(t) = t (1 d )t
a(t)
0
1
1
2
2
5
3
10
1 22
500
500 2.5 1250
1 12
14
1.2 实际利率（effective rate of interest）
实际利率 i 是时间零点的1元在期末产生的利息：
i a(1) a(0)
实际利率i 是期末获得的利息金额与期初本金之比：
当期利息 i 期初本金
累积函数可表示为 a(t) = t (1 d )t
43
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（5）
i – d = id
证明： d i i v i (1 d ) i id 1 i
解释：1元本金在年末有 i 元利息，(1– d) 元本金在年末 有 d 元利息。产生(i – d)元利息差额。 原因：本金有 d 元差额，导致的利息差额是 id。
a(t) a(t 1) it a(t 1)
(1 it) [1 i(t 1)] 1 i(t 1)
i 1 (t 1)i
可见，实际利率是 t 的递减函数。 问题: 为什么每个时期的利息金额相等，而实际利率却 越来越小呢？
20
单利的特点：
只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息。 时间零点投资1元，在每年末得到完全相同的利息 i ，i 称
本金（Principal ） 1
1-d
利息（interest） i d
本金之差: d →
累积值（Accumulated value） 1+i 1
利息之差 di
利息之差: i – d
44
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（6）
i1 d 1
n
n 1
证明： d i 1/ n 1 1 i 11/ n n 1
3.5 3
2.5 2
1.5 1 0
单利
0.5
复利
1
1.5
31
32
Exercise
It is known that 1000 invested for 4 years will earn 250 in interest, i.e., that the value of the fund after 4 years will be 1250. Determine the accumulated value of 4500 invested at the same rate of compound interest for 10 years.
n
n
lim
x0
exp
ln(1 x
ix)
lim
x0
exp
1
i
ix
ei
27
1.4 复利 (compound interest)
单利：本金保持不变。 复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即 “利滚利”。 例：
假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利50元， 因此在年末有1050元可以用来投资。
含义：分两段投资将产生更多利息。 问题：分段越来越多，产生的利息是否会趋于无穷大？
26
练习
单利的年利率为i，当前的1元到年末的累积值为1+i 如果把1年划分为n个等间隔的时间段按单利进行投资，年
末的累积值是多少？当n趋于无穷大时会怎样？
lim 1 i / nn lim exp n ln(1 i / n)
第二年按照1050元来计算，将在年末获得52.5元利息。 问题：在利率相等的情况下，复利的累积值总是大于单利吗？
28
复利的积累函数
a(t) (1 i)t
29
复利的实际利率
实际利率 = 复利利率
a(t) a(t 1) it a(t 1)
(1 i)t (1 i)t1 (1 i)t1
11
5
4
a(t) (1 0.1)t
3
2
a(t) 1 0.1t
1
a(t) 1
0
-1
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
12
a(t) 累积函数？
1
0
t
对应哪些实例？
13
例
假设累积函数为 a(t) 1 t2
请计算 t =1 时的500元 ，在 t = 2 的累积值是多少。
解：
t
（2）“实际/360 ”：投资天数按两个日期之间的实际天数计 算，每年按360天计算。称为行家规则 ( banker’s rule )。
（3）“ 30/360 ”规则：每月按30天计算, 每年按360天计算。 两个给定日期之间的天数按下述公式计算：
360(Y2 Y1) 30(M 2 M1) (D2 D1)
(1 i) 1 1
i
30
单利与复利的比较（假设年利率相等）
单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率为常数。 当 0 < t < 1 时，单利比复利产生更大的积累值。 当 t > 1时，复利比单利产生更大的积累值。 当 t = 0 或 1 时，单利和复利产生相同的累积值。
5.5 5
4.5 4
例: i = 5% = 1/20, d = 1/21
45
问题：
已知年实际利率为5%。回答下述问题： （1）100万元贷款在年末的利息是多少？ （2）如果在贷款起始日收取利息，应该收取多少利息？ （3）年实际贴现率是多少？ （4）写出累积函数和贴现函数。 （5）分别用实际利率和实际贴现率计算，5年末到期的
9
积累函数 (Accumulation function)
累积函数：时间零点的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。 性质：
a (0) = 1； a (t) 通常是时间的增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
10
例：
常见的几个积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t
15
注：
实际利率经常用百分比表示，如8% ； 利息是在期末支付的； 本金在整个时期视为常数； 通常使用的时间单位是年。 如无特殊说ห้องสมุดไป่ตู้，利率是指年利率。
16
例：
把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末
存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是
多少？
i1
20 1000
3601 30 (2 6) (7 14) 233 故 t = 233/360，利息金额为：10000 0.08 233 517.8
360
单利的缺陷：不满足一致性 若t t1 t2 , 则a(t1)a(t2 ) a(t)
证明：
a(t1)a(t2 ) (1 it1)(1 it2 ) 1 it i2t1t2 (1 it) a(t)
2%
i2
30 1020
2.94%
问题：整个存款期间的实际利率是多少？ 整个存款期间的年平均实际利率是多少？（后面讨论）
17
1.3 单利 (simple interest)
单利的积累函数：
a(t) 1 it
a(0) 1
a(1) 1 i
18
单利的累积函数
19
单利与实际利率的关系：
单利对应的实际利率：
33
Solution:
100（ 0 1 i)4 1250
10
4500(1 i)10
4500
1250 1000
4
7861.18
34
1.5 贴现（discount）
累积：在时间零点投资1元，在时间 t 的累积值是多少？ 贴现：在时间零点投资多少，才能在时间 t 累积到 1元? 时间 t 的1元在时间零点的价值称为贴现函数，记为 a-1(t)。
其中起始日为Y2年M2月D2日，到期日为Y1年M1月D1日。23
例：
投资者在2014年6月14日存入基金10000元，2015年2月 7日取出，基金的年单利利率为8%，请分别根据下列 规则计算投资者可以获得的利息金额：
（1）“实际/365”规则 （2）“实际/360”规则 （3）“30/360”规则
0 1 a -1(t)
t a(t) 1