高三数学章节专题基础梳理导学案42(等差数列等比数列的性质)

高三数学一轮复习导学案《等差数列及其性质应用》1．(教材习题改编)等差数列a n 的前n 项和为S ，若a 21,a 3 3,则 s 4 (n)． 【学习目标】A ．12B ．10C ．8D ．61.通过课前预习，学生理解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系． 2．已知a n 为等差数列，a 2 a 8 12,则a 5等于( )． 2．通过课堂探究，熟练掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式及其性质． 3．通过课堂探究，使学生能用有关知识解决相应的问题．【重、难点】A ．4B ．5C ．6D ．73．设数列a n 是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 62且S 5 30,则s 8等于()． 1.等差数列的判断与证明;2.等差数列的通项公式与前n 项和公式; 3、等差数列的性质及应用．A ．31B ．32C ．33D ．344．(2012·杭州质检)设S n 是等差数列a n的前n 项和，已知a 2 3,a 6 11,则S 7等于( )．课前预习一、【知识回顾】A ．13B ．35C ．49D ．631．等差数列的概念与公式 5．在等差数列a n 中，a 37,a 5 a 2 6,则a 6 _________.等差数列{a n }的有关概念及公式相关名词 高考展示与预测从近两年的高考试题来看，等差数列的判定，等差数列的通项公式、前n 项和公式以及与前n项和有关的最值问题等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，主要考查对概念的理 解及性质的灵活运用，考查基本运算能力，注重考查函数方程、等价转化、分类讨论等思想方法． 【预测2013年高考会这样考】重点考查运算能力与逻辑推理能力。

a n 1－ a n a n ＝＝ 或 a na n1(n2)定义 通项公式前n 项和公式 s n ＝ ＝等差中项 数列 a, A, b 成等差数列的充要条件是 ，其中 A 叫做 a, b 的．1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2.等差数列的性质 2．考查等差数列的性质及综合应用．【2012高考山东文20】已知等差数列{a n }的前5项和为105，且 a 102a 5.①a n 为等差数列，则a m =a n ＋.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；②a为等差数列，若m,n, p,q Nn*，且mn p q ，则 .(Ⅱ)对任意 m N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和 S m . 5a 1 10d 105,③a n 为等差数列，则s n ，s 2n s n ，s 3n s 2n ，…仍为等差数列，公差为 .【答案】(I)由已知得：解得 a 1 7,d 7,a 1 9d 2(a 1 4d),二、【回扣课本】所以通项公式为 a n 7 (n 1)7 7n .1、-401是不是等差数列-5，-9，-13，……的项？如果是，是第几项？（43页例1）2、已知数列a n 的通项公式为a n pn q ,其中 p,q 为常数，且 p 0,那么这个数列一定是等差 数列吗?（44页例3） (II)由 a n7n72m ，得 n72m 1，即b m 72m 1 .∵ b k17 2 m14 9，b k 72 m 13、已知一个等差数列a n前10项的和是310，前20项的和是1220，有这些条件能确定这个等差数∴{b m }是公比为49的等比数列， 列吗?（50页例2）m7(1 49 ) 7 (49 ∴ Sm 1). （课本原型52页习题1（3））2 4m1 49 484、已知等差数列5,4 ,3 ,…的前n 项和为s n ，求使得 s n 最大的序号n 的值（51页例4）7 7【2012高考重庆文16】已知 {a n }为等差数列，且a 1 a 3 8,a 2 a 4 12,（Ⅰ）求数列{a n }的通三、【双基自测】项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1,a k ,S k2成等比数列，求正整数k 的值。

认识等差数列与等比数列数学中的等差数列和等比数列是我们经常会遇到的两种数列类型。

通过研究和掌握这两种数列的特点、性质和应用，我们可以更好地理解数字的变化规律，从而在解决实际问题中提供帮助。

本文将介绍等差数列和等比数列的定义、性质及其在数学和生活中的应用。

一、等差数列等差数列是指具有相同公差的数列，其中公差指的是相邻两项之间的差值。

数列中第一项为a₁，公差为d，则该等差数列可以表示为：a₁，a₁+d，a₁+2d，a₁+3d，...1. 等差数列的公式等差数列的通项公式可以通过以下公式得出：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示第n项，a₁表示首项，d表示公差。

2. 等差数列的性质（1）项数和求解对于等差数列，我们可以通过项数和公式来求解数列的和。

设数列的首项为a₁，公差为d，数列的前n项和为Sn，那么有以下两种计算方法：- 方法一：Sn = (a₁ + an)×n/2，其中an表示数列的第n项。

- 方法二：Sn = (n/2)×[2a₁ + (n-1)d]这两种方法都可以用来计算等差数列的项数和。

（2）推理与判断在解决实际问题时，我们有时需要利用已知的数列信息进行推理和判断。

等差数列的性质可以帮助我们更好地理解数字之间的规律，从而在解决问题时提供指导。

二、等比数列等比数列是指具有相同公比的数列，其中公比指的是相邻两项之间的比值。

数列中第一项为a₁，公比为q，则该等比数列可以表示为：a₁，a₁q，a₁q²，a₁q³，...1. 等比数列的公式等比数列的通项公式可以通过以下公式得出：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示第n项，a₁表示首项，q表示公比。

2. 等比数列的性质（1）项数和求解对于等比数列，我们也可以通过项数和公式来求解数列的和。

设数列的首项为a₁，公比为q，数列的前n项和为Sn，那么有以下公式：- 当q ≠ 1时，Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)- 当q = 1时，Sn = n * a₁等比数列的项数和公式可以根据公比是否为1来选择使用。

高三数学第二轮专题讲座复习：等差数列、等比数列性质的灵活运用高考要求等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申 应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视 高考中也一直重点考查这部分内容 重难点归纳1 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用2 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形3 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=412-x (x <－2) (1)求f (x )的反函数f -－1(x );(2)设a 1=1,11+n a =－f－-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，考查学生的逻辑分析能力 知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破技巧与方法 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解 (1)设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =f －-1(x )=－214y + (x >0) (2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m成立例2设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n 可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大解法二 接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31, ∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg31为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0,∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大例3 等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________解法一由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210 解法二根据等差数列性质知 S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列， 从而有 2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210解法三 令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70∴a 3=70+(70－30)=110∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 学生巩固练习1 等比数列{a n }的首项a 1=－1,前n 项和为S n ,若3231510=S S ，则lim ∞→n S n 等于( ) 32 B. 32A.- C 2D －22 已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________3 等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________4 已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则ycx a +=_________5 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0 (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由6 已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列a 1b ,a 2b ,…,a n b ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17(1)求数列{b n }的通项公式； (2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nn nn bT +∞→4lim参考答案:1 解析 利用等比数列和的性质 依题意，3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1, ∴3213232315510-=-=-S S S ,根据等比数列性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列， 且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =21 ∴.321lim 1-=-=∞→q a S n n 答案 B2 解析 解出a 、b ,解对数不等式即可 答案 (－∞,8)3 解析 利用S 奇/S 偶=nn 1+得解答案 第11项a 11=29 4 解法一 赋值法 解法二 b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),y c x a + =)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xy cx ay ++++=+=2答案 25 (1)解 依题意有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+==+=0212131302111212,12211311213d a S d a S d a a 得公差d 的取值范围为－724＜d ＜－3 (2)解法一 由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此，在S 1，S 2，…，S 12中S k 为最大值的条件为 a k ≥0且a k +1＜0,即⎩⎨⎧<-+≥-+0)2(0)3(33d k a d k a ∵a 3=12,∴⎩⎨⎧-<-≥122123d kd d kd ，∵d ＜0,∴2－d 12＜k ≤3－d 12∵－724＜d ＜－3,∴27＜－d12＜4,得5 5＜k ＜7因为k 是正整数，所以k =6,即在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大 6 解 (1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{n b a }的公比q =11154a d a a a +==3, ∴n b a =a 1·3n －1①又n b a =a 1+(b n －1)d =121a b n +② 由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1 ∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －1－1(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C nn b n=C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C n n (2·3n －1－1) =32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C nn ) =32［(1+3)n －1］－(2n －1)= 32·4n －2n +31, .32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n b T。

第2课时等差数列的性质1.等差数列的性质(1)等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推广a n＝a1＋(n－1)d(揭示首末两项的关系)a n＝a m＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系)(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝□01a p＋a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝□022a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋□03a n－1＝…＝a k＋□04a n－k＋1＝….2．等差数列的常用结论(1)若数列{a n}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为□05d的等差数列．②{ca n}(c为任一常数)是公差为□06cd的等差数列．③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为□072d的等差数列．(2)若数列{a n}，数列{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为□08pd1＋qd2的等差数列．(3)等差数列{a n}中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是□09等差数列．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在等差数列{a n}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N*，则a m＋a n＝a r.()(2)若数列{a n}是等差数列，则a1，a3，a5，a7，a9是等差数列．()(3)两个等差数列的和仍是等差数列．()答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)(教材改编P 39T 5)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．30B ．15C ．5 6D ．106(2)在等差数列{a n }中，a 3＝2，公差d ＝－1，则a 10＝________. (3)若等差数列{a n }中，a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________. 答案 (1)B (2)－5 (3)2b －a 解析 (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 2＋a 42＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.探究1 等差数列的性质应用例1 等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8答案 C解析 解法一：由a 1＋3a 8＋a 15＝120，可得5a 1＋35d ＝120，即a 1＋7d ＝24，又2a 9－a 10＝a 1＋7d ，所以2a 9－a 10＝24.解法二：因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，而2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.[变式探究] 若本例中条件不变，求a 3＋a 13的值又如何？ 解 由例题解知，a 8＝24，由等差数列的性质知a 3＋a 13＝2a 8＝48. 拓展提升等差数列性质的应用技巧(1)适用情景已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项． (2)常用性质利用已知m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 或若m ＋n ＝2r ，则a m ＋a n ＝2a r 将题目条件转化．【跟踪训练1】 (1)已知{a n }为等差数列，a 4＋a 7＋a 10＝30，则a 3－2a 5的值为( )A ．10B ．－10C ．15D ．－15(2)等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________.答案 (1)B (2)18解析 (1)∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝30，∴a 7＝10， 而a 3－2a 5＝a 3－(a 3＋a 7)＝－a 7＝－10. (2)解法一：根据题意，有(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋9d )＋(a 1＋10d )＝36， ∴4a 1＋22d ＝36，则2a 1＋11d ＝18.而a 5＋a 8＝(a 1＋4d )＋(a 1＋7d )＝2a 1＋11d ，因此，a 5＋a 8＝18.解法二：根据等差数列性质，可得a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11＝36÷2＝18. 探究2 灵活设项求解等差数列例2 (1)三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数；(2)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数．解 (1)设这三个数为a －d ，a ，a ＋d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝21，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－2，∴这三个数为5,7,9或9,7,5.(2)设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝28，(a －d )(a ＋d )＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－3.∴这四个数依次为－2,4,10,16或16,10,4，－2. 拓展提升常见设元技巧(1)当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)当等差数列{a n }的项数n 为偶数时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．【跟踪训练2】 已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式．解 解法一：根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝21，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝21，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝231， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4.因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.解法二：由于数列{a n }为等差数列，因此可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝21，(a －d )a (a ＋d )＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝21，a (a 2－d 2)＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1.探究3 等差数列的综合应用例3 在△ABC 中，若lg (sin A )，lg (sin B )，lg (sin C )成等差数列，并且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断该三角形的形状．解 由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， ∴3B ＝π，∴B ＝π3.∵lg (sin A )，lg (sin B )，lg (sin C )成等差数列， ∴2lg (sin B )＝lg (sin A )＋lg (sin C )， 即sin 2B ＝sin A sin C ，∴sin A sin C ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝－12[cos(A ＋C )－cos(A －C )]． ∴－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π3－cos (A －C )＝34. ∴14＋12cos(A －C )＝34. ∴cos(A －C )＝1. ∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3， ∴A ＝B ＝C .故△ABC 为等边三角形． 拓展提升等差数列与三角函数结合，一般需要根据等差数列的定义、性质等得到三角恒等式，然后运用三角恒等知识变形、化简，得到有关的恒等式，进而求解相关问题．【跟踪训练3】 (1)若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的4个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( )A.38B.1124C.1324D.3172(2)在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝10，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝20，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.答案 (1)D (2)30解析 (1)设4个根构成的等差数列为{a n }．由于两方程对应二次函数f (x )＝x 2－x ＋a ，g (x )＝x 2－x ＋b 的对称轴均为x ＝12.由根的对称性可判断，a 1与a 4是同一方程的根，a 2与a 3是另一方程的根．于是，a 1＋a 4＝1，又a 1＝14，所以a 4＝34，则公差d ＝13(a 4－a 1)＝16，于是a 2＝512，a 3＝712，所以a ＋b ＝a 1a 4＋a 2a 3＝316＋512×712＝3172.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋33d ，又a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝10，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝20，∴33d ＝10.∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)＋33d ＝20＋10＝30. 探究4 等差数列的实际应用例4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 由题意可知，设第1年获利为a 1，第n 年获利为a n ，则a n －a n －1＝－20(n ≥2，n ∈N *)，每年获利构成等差数列{a n }，且首项为a 1＝200，公差d ＝－20，所以a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝200＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋220.若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n ＝－20n ＋220<0，解得n >11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．拓展提升解决等差数列实际问题的步骤(1)将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； (2)构建等差数列模型，由条件确定a 1，d ，n ，a n ； (3)利用通项公式或等差数列的性质求解； (4)将所求问题还原到实际问题中．【跟踪训练4】 如图所示，三个正方形的边AB 、BC 、CD 的长组成等差数列，且AD ＝21 cm ，这三个正方形的面积之和是179 cm 2.(1)求AB 、BC 、CD 的长；(2)以AB 、BC 、CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解 (1)设公差为d (d >0)，BC ＝x ， 则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝－4(舍去)．所以AB ＝3(cm)，BC ＝7(cm)，CD ＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a210＝392＝1521(cm2)．所求正方形的面积为1521 cm2.[规律小结]1.等差数列的公差与斜率的关系(1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，斜率k＝f(x2)－f(x1) x2－x1(x1≠x2)．当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立．(2)等差数列{a n}的公差本质上是相应直线的斜率．如a m，a n是等差数列{a n}的任意两项，由a n＝a m＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式得d＝a n－a mn－m(m≠n)．2.等差数列的“子数列”的性质若数列{a n}是公差为d的等差数列，则(1){a n}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；(3)若{k n}成等差数列，则{akn}也是等差数列；(4)从等差数列{a n}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差可能也随之发生变化．3.等差数列两项和的性质若{a n}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q，特别地，若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.(m，n，p，q∈N*)[走出误区]易错点⊳弄错等差数列中项的序号而致误[典例]已知等差数列{a n}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝()A.8a－9b B．9b＋8a C．9b－8a D．8b－7a[错解档案]选D，令a9＋a10＝b1，a19＋a20＝b2，则b1，b2，b3，…，b9构成新的等差数列，a 99＋a 100＝b 9＝b 1＋8d ＝a ＋8(b －a )＝8b －7a .[误区警示] 由已知条件中项的下标的关系，构造出新的等差数列{b n }，而a 99＋a 100应为b 10，本题弄错项数致误．[规范解答] C解法一：由上述分析可知a 99＋a 100＝b 10＝b 1＋9d ＝9b －8a .解法二：将相邻两项和a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…，a 99＋a 100分别记为b 1，b 2，b 3，…，b 50，可知{b n }为等差数列，设此数列的公差为d ， 则d ＝b 10－b 510－5＝b －a 5.∴a 99＋a 100＝b 50＝b 5＋45d ＝a ＋b －a5×45＝9b －8a .[名师点津] (1)熟练掌握等差数列的性质，尤其是对各项的下标存在的关系以及所具有的性质的掌握；(2)在解答有关等差数列的问题时，要明确数列所求的项与已知条件之间的关系.1．等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝( ) A ．64 B ．30 C ．31 D ．15答案 D解析 解法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 9＝16，a 4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ＝16，a 1＋3d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，∴a 11＝a 1＋10d ＝15. 解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a 4＋a 11＝a 6＋a 9＝16， ∴a 11＝15.2．若{a n }为等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( )A ．39B ．20C ．19.5D ．33答案 D解析 ∵a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝45，∴a 4＝15，∵a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝39，∴a 5＝13，∴d ＝a 5－a 4＝－2，a 6＝a 5＋d ＝11，∴a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3×11＝33.故选D.3．已知(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的4个根组成首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.答案12解析 由已知设4个根分别为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d ，且14＋14＋3d ＝14＋d ＋14＋2d ＝2，解得d ＝12，∴这 4个数分别为14，34，54，74，由韦达定理知：m ＝14×74，n ＝34×54，或m ＝1516，n ＝716，∴|m －n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪716－1516＝12.4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于________．答案 100解析 设{a n }、{b n }的公差分别为d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100.5．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解 设这四个数为a －3d 、a －d 、a ＋d 、a ＋3d ， 则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2、5、8、11或11、8、5、2.A 级：基础巩固练一、选择题1．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4. 又a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.2．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 100≤0 D ．a 51＝0 答案 D解析 由题设a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝101a 51＝0， ∴a 51＝0.3．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为( )A.53B.103C.56D.116答案 A解析 设五个人分得的面包为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，(d >0)，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝100，∴a ＝20，由17 (a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d 得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556，∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53.故选A.4．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 因为a 1＝0，d ≠0，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝6d ＝a 7.故选B. 二、填空题5．已知等差数列{a n }满足a 1＝1，公差为d ，a 3>0，当且仅当n ＝3时，|a n |取得最小值，则公差d 的取值范围是_________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25解析 ∵a 3>0，当且仅当n ＝3时|a n |取最小值， ∴a 4<0，且a 4＋a 3<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d >0，1＋3d <0，1＋2d ＋1＋3d <0，解得－12<d <－25.6．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________. 答案 24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415，∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24.7．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.答案 19解析 因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19. 三、解答题8．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )·(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.9．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94⇒2a 2＋10d 2＝47.① 又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72.故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n3－a n (n ∈N *)，且a 1＝0.(1)求a 2，a 3的值； (2)是否存在一个实常数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由．解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n3－a n(n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 13－a 1＝1＋03－0＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝1＋133－13＝12.(2)假设存在一个实常数λ， 使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列， 则1a 1－λ，1a 2－λ，1a 3－λ成等差数列， 所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ， 所以213－λ＝10－λ＋112－λ，解之得λ＝1.因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n3－a n－1－1a n －1＝3－a n2(a n －1)－1a n －1＝1－a n 2(a n －1)＝－12， 又1a 1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列．B 级：能力提升练1．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则这两个数列中有多少个共同的项？解 设用两数的公共项组成的新数列为{a n }，则{a n }是首项为11的等差数列，而两个数列公差分别为3和4，则{a n }的公差为d ＝3×4＝12.∴a n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.数列5,8,11，…与3,7,11，…第100项分别为302与399. ∴a n ≤302，即n ≤25.25. ∴所给数列有25个共同的项．2．设各项均为正数的无穷数列{a n }和{b n }满足：对任意n ∈N *都有2b n ＝a n＋a n ＋1且a 2n ＋1＝b n b n ＋1.(1)求证：{b n }是等差数列；(2)设a 1＝1，a 2＝2，求{a n }和{b n }的通项公式． 解 (1)证明：a 2n ＋1＝b n b n ＋1得a n ＋1＝b n b n ＋1，∴a n ＝b n －1b n 代入2b n ＝a n ＋a n ＋1， 得2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }是等差数列．(2)由a 1＝1，a 2＝2得b 1＝a 1＋a 22＝32.又由a 2n ＋1＝b n b n ＋1得a 22＝b 1b 2，∴b 2＝a 22b 1＝83，∴b 1＝32＝62，b 2＝83＝263.∴{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝66. ∴b n ＝62＋(n －1)·66＝66(n ＋2)， ∴b n ＝16(n ＋2)2，∴a 2n ＝b n －1b n ＝16(n ＋1)2·16(n ＋2)2， ∴a n ＝16(n ＋1)(n ＋2)．。

等差数列与等比数列的应用知识点总结等差数列和等比数列是高中数学中常见的两种数列。

它们具有很多重要的应用，在不同的数学问题中发挥着重要的作用。

本文将对等差数列与等比数列的应用进行知识点总结，并探讨它们在实际生活和其他学科中的具体应用。

一、等差数列的应用等差数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项之差都相等的数列。

其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等差数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

这个公式的应用非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如求等差数列的和、计算时间、距离、速度等问题。

2. 平均数的应用对于等差数列，它的各项的平均数与首末两项的平均数是相等的。

这个特性可以用来解决一些平均数相关的问题，比如求取某一连续数列的平均值等。

3. 等差数列的推广等差数列可以推广到高阶等差数列，即每一项与前一项之差的差值也相等。

这种推广常用于解决一些复杂的数学问题，比如等差数列的前n项和Sm，可以通过差分公式Sm = (m/2)(2a1 + (m-1)d)来求解。

4. 几何问题等差数列在几何问题中也有重要应用，比如解决一些等边三角形、等腰梯形等形状相关的问题时，常常需要利用等差数列的性质进行计算。

二、等比数列的应用等比数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项的比值都相等的数列。

其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等比数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

这个公式的应用也非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如计算财务中的复利问题、人口增长问题等。

2. 指数问题等比数列可以与指数问题进行关联。

比如在计算家庭用电量、金融中的复利计算、物理中的指数增长问题等方面，常常需要利用等比数列的特性进行计算。

3. 几何问题等比数列在几何问题中同样有重要应用，比如解决一些等比序列相关的问题，如等比数列构造的等边五角星等。

等差与等比数列的应用教案一、引言本教案旨在介绍等差与等比数列的应用，并通过具体的案例来说明其重要性和实际运用场景。

通过本课程的学习，学生将能够深入理解等差与等比数列的概念、性质以及在现实生活中的应用。

二、知识概述1. 等差数列等差数列是指具有相同公差的数列，每一项与前一项之差都相等。

其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n表示项数。

2. 等比数列等比数列是指具有相同公比的数列，每一项与前一项之比都相等。

其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

三、教学内容1. 等差数列的应用1.1 等差数列的求和对于给定的等差数列，通过求和公式Sn = [2a1 + (n-1)d] * n/2，可以快速求得其前n项和。

1.2 等差数列在商业中的应用等差数列的性质使得其在商业领域中有广泛的应用。

例如，利润、销售额、库存等指标往往可以用等差数列来刻画。

学生可以通过实际案例来了解等差数列在商业中的运用。

2. 等比数列的应用2.1 等比数列的求和对于给定的等比数列，通过求和公式Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)，可以快速求得其前n项和。

2.2 等比数列在科学中的应用等比数列的特性使得其在科学领域中具有广泛的应用。

例如，细胞分裂、放射性衰变、物种繁殖等现象可以用等比数列来建模。

学生可以通过具体案例，深入理解等比数列在科学中的应用。

四、教学方法1. 探究法通过引导学生观察、总结等差与等比数列的特性，并从实际生活中找出案例，引导其分析、归纳和掌握相应的应用方法。

2. 讨论法根据给定的实际问题，组织学生进行小组讨论，鼓励学生积极发表观点，从不同角度思考等差与等比数列在解决问题中的应用。

3. 实践方法引导学生通过实例分析和计算，将等差与等比数列的理论运用到实际问题中，提高学生的运用能力和解决实际问题的能力。

五、教学步骤1. 引入通过提出一个简单的实际问题，引导学生思考等差与等比数列的应用场景。

课 题 等差数列与等比数列课 时 共 3课时本节第1课时选用教材 专题四知识模块数列课 型复习教学目标 熟练掌握等差数列与等比数列的公式性质等 重 点 熟练掌握等差数列与等比数列的公式性质等 难 点 熟练掌握等差数列与等比数列的公式性质等 关 键 熟练掌握等差数列与等比数列的公式性质等教学方法 及课前准备多媒体辅助教学 学生自主探究 讲练结合教学流程多媒体辅助教学内容 网络构建考点溯源[思考1] 等差数列中的公式及性质有哪些？ 提示：(1)定义式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (3)前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －1d2.(4)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (5)性质：①a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． ③等差数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，……也成等差数列．复习知识点，用多媒体展示，带领学生对相关知识进行回忆与记忆[思考2] 等比数列中的公式及性质有哪些？ 提示：(1)定义式：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(3)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 q ＝1，a 11－q n1－qq ≠1.(4)等比中项公式：a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (5)性质：①a n ＝a m qn －m (n ，m ∈N *)．②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．③等比数列中，q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，……也成等比数列． [思考3] 已知数列的前n 项和S n ，如何求通项a n ？需要注意什么问题？提示：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2.由S n －S n －1＝a n 推出的a n 是在n ≥2的条件下成立的，若当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则数列的通项需要统一“合写”；若当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项需要分段表示． 考向一 等差、等比数列基本运算的考查高考经常考查等差(等比)中a 1、n 、d (q )、a n 与S n 的基本运算，或考查等差、等比数列的交汇计算．求解这类问题要重视方程思想与整体思想的应用，难度中档．【例1】 (2013·武汉调研)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． [思路点拨](1)列出关于a 1、d 的方程组求解；(2)根据a 2，a 3，a 1成等比数列确定数列{a n }，求数列{|a n |}的通项公式，最后求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列的通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4； 当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式． 综上知S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.[探究提升] 1.涉及等差(比)数列的运算，一般是利用等差(比)数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列前n 项和公式时，若公比q 不能确定是否为1，应分q ＝1和q ≠1两种情况讨论．【变式训练1】 (1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. (2)(2013·福建高考)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . ①若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； ②若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．(1)解析 法一 当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 2＝2a 1， 由S 3＋3S 2＝0，得9a 1＝0，∴a 1＝0，这与{a n }为等比数列矛盾，则q ≠1. 由S 3＋3S 2＝0，得a 11－q 31－q ＋3a 11－q21－q＝0，解得q ＝－2.法二 ∵S 3＋3S 2＝0， ∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0. ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0.。

高中数学教学等差数列和等比数列的性质高中数学教学：等差数列和等比数列的性质等差数列和等比数列是高中数学中常见的数列类型，它们有着各自独特的性质和应用。

本文将探讨等差数列和等比数列的性质以及它们在高中数学教学中的重要性。

一、等差数列的性质等差数列是一种数学序列，其中每一项与前一项之差都相等。

等差数列的一般形式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

1. 公差的概念公差d是等差数列中相邻两项之间的差值。

等差数列中的任意两项之间的差值都等于公差d。

公差可以为正数、负数或零。

2. 常见等差数列的性质等差数列有以下一些重要性质：- 求和公式：等差数列的前n项和Sn可表示为Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)，其中n为项数。

- 通项公式：等差数列的第n项可表示为an = a1 + (n - 1)d。

- 任意三项关系：等差数列中，已知任意三项，可以通过关系式解出公差d。

- 对称性质：等差数列中，如果一项等于首项与末项的和，那么它的位置是中间项。

- 逆序数列：等差数列的逆序数列也是等差数列，其公差与原序列相等。

二、等比数列的性质等比数列是一种数学序列，其中每一项与前一项之比都相等。

等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

1. 公比的概念公比r是等比数列中相邻两项之间的比值。

等比数列中的任意两项之间的比值都等于公比r。

公比可以为正数、负数或零。

2. 常见等比数列的性质等比数列有以下一些重要性质：- 求和公式：等比数列的前n项和Sn可表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，且公比r不等于1。

- 通项公式：等比数列的第n项可表示为an = a1 * r^(n - 1)。

- 任意三项关系：等比数列中，已知任意三项，可以通过关系式解出公比r。

- 正比例关系：等比数列中，任意两项的比值都等于公比r。

等差数列与等比数列的性质数列在数学中起着重要的作用，它们是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。

其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们都有着自身特定的性质和规律。

本文将介绍等差数列和等比数列的性质以及它们在数学中的应用。

一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差固定的数列。

设数列的首项为a₁，公差为d，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。

1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。

假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。

1.2 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之和的一半再乘以项数来表示。

设前n项和为Sₙ，则Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2。

1.3 等差数列的性质等差数列具有以下性质：（1）相邻两项之差相等；（2）任意三项成等差数列；（3）n个连续的自然数之和为n²；（4）若等差数列的和等于某项的积，则这些项必为等差数列。

二、等比数列的性质等比数列是指数列中相邻两项之比固定的数列。

设数列的首项为a₁，公比为q，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。

2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。

假设首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。

2.2 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之差再除以公比再加1来表示。

设前n项和为Sₙ，则Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)。

2.3 等比数列的性质等比数列具有以下性质：（1）相邻两项之比相等；（2）任意三项成等比数列；（3）若等比数列的前n项和存在，则当n趋向无穷时，和趋向于无穷；（4）若等比数列的各项均为正数，且和存在，则公比q必定在0到1之间。

三、等差数列与等比数列的应用等差数列与等比数列在数学中有着广泛的应用。

4.3.1.2等比数列的性质及应用要点一 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(m ，n ∈N *)(2)若p ＋q ＝s ＋t (p 、q 、s 、t ∈N *)，则a p ·a q ＝s t a a 【重点总结】(1)在已知等比数列{a n }中任一项a m 及公比q 的前提下，可以利用a n ＝a m q n－m求等比数列中任意项a n ；(2)已知等比数列{a n }中的a m 和a n 两项，就可以使用a n a m ＝q n －m 求公比，其中m 可大于n ，也可小于n.要点二 等比数列的单调性已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则(1)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<00<q <1时，等比数列{a n }为递增数列； (2)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>00<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1时，等比数列{a n }为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{a n }为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当1<1时，等比数列{a n }为摆动数列． 【重点总结】由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．要点三 等比数列的其它性质 若{a n }是公比为q 的等比数列，则(1)若m ，p ，n (m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(2)数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q ，q 2. (3)若{b n }是公比为p 的等比数列，则{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也都是等比数列，公比分别为pq 和qp .(4)在数列{a n }中，每隔k (k ∈N *)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为q k ＋1. (5)在数列{a n }中，连续相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或qk 2)的等比数列． 【重点总结】若数列{a n }是各项都为正数的等比数列，则数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列； 若数列{b n }是等差数列，公差为d ，则数列{cb n }是以c d (c>0且c ≠1)为公比的等比数列． 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( )(3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( )(4)若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 【答案】D【解析】∵q <0，a 1>0，∴所有奇数项为正、偶数项为负，故成摆动数列，选D. 3．(多选题)若数列{a n }为等比数列，则下列式子一定成立的是( ) A ．a 2＋a 5＝a 1＋a 6 B ．a 1a 9＝a 25 C ．a 1a 9＝a 3a 7 D ．a 1a 2a 7＝a 4a 6 【答案】BC【解析】根据等比数列的性质知BC 正确．4．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________． 【答案】25【解析】∵a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，∴a 8a 9a 10a 11＝25.题型一 等比数列性质的应用 【例1】已知{a n }为等比数列．(1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5； (2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．【解析】(1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12，所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12，所以a 1a 23a 5＝14. (2)由等比中项，化简条件得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10. 【方法归纳】有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项“下标”的指导作用．【跟踪训练1】(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27，求a 7. (2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q .【解析】(1)法一：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3，a 1q 10＝27相除得q 8＝9.所以q 4＝3，所以a 7＝a 3·q 4＝9.法二：因为a 27＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9， 又a 7＝a 3q 4＝3q 4>0，所以a 7＝9.(2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15， 所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3. 所以q 4＝a 7a 3＝4或14，所以q ＝±2或q ＝±22.题型二 灵活设项求解等比数列【例2】已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为________________．【解析】设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3.则a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，① 所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q >0，代入①式化简可得q 2－14q ＋1＝0，此方程无解；当a 2q 3＝－1时，q <0，代入①式化简可得q 2＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－14.当q ＝－4时，a ＝－18；当q ＝－14时，a ＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2,8.【变式探究】本例中的条件换为“前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80”，则这4个数为__________________．【答案】1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8【解析】由题意设此四个数为bq ，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.【方法归纳】巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2.(2)若四个数成等比数列，可设为a q ，a ，aq ，aq 2.若四个正数成等比数列，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3.题型三 等比数列与等差数列的综合应用【例3】在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3. (1)求d ，q 的值；(2)是否存在常数a ，b ，使得对任意n ∈N *，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由a 2＝b 2，a 8＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝b 1q ，a 1＋7d ＝b 1q 2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝5，q ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，q ＝1，(舍去)．(2)由(1)知a n ＝1＋(n －1)·5＝5n －4， b n ＝b 1q n －1＝6n －1.假设存在常数a ，b ，使得对任意n ∈N *，都有a n ＝log a b n ＋b 成立，则5n －4＝log a 6n －1＋b ， 即5n －4＝n log a 6＋b －log a 6.比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 6＝5，b －log a 6＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝615，b ＝1.故存在a ＝615，b ＝1，使得对任意n ∈N *，都有a n ＝log a b n ＋b 成立．【解题关键】 (1)联立方程组可求．(2)假设存在，由(1)得出方程，注意比较系数可求a ，b. 【方法归纳】求解等差、等比数列综合问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．(2)发挥两个数列的基本量a 1，d 或b 1，q 的作用，并用好方程这一工具． (3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验．【跟踪训练2】已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n, 若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值。