河北省辛集中学2020届高三4月数学(理)限时练13

2020年河北省石家庄市辛集中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是直角三角形参考答案：C2. 已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是A. B. C.D.参考答案：C3. 同时具有性质①最小正周期是；②图像关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（）A． B．C． D．参考答案：C4. 执行右边的程序框图,输出的S值为A B C D参考答案：A5. 已知函数的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象做出下面的判断：若，且，则A． B． C．D．参考答案：D6. 投掷两枚骰子，则点数之和是6的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用乘法原理计算出所有情况数，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，再看点数之和为6的情况数，最后计算出所得的点数之和为6的占所有情况数的多少即可．解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是6，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选：A．点评：本题根据古典概型及其概率计算公式，考查用列表法的方法解决概率问题；得到点数之和为6的情况数是解决本题的关键，属于基础题．7. 已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；（2）讨论函数f（x）在上的单调性．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性求得ω，可得其解析式，利用正弦函数的图象的对称求得函数y=f（x）图象的对称轴方程．（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在上的单调性．【解答】解：（1）∵，且T=π，∴ω=2．于是，令，得，即函数f（x）的对称轴方程为．（2）令，得函数f（x）的单调增区间为．注意到，令k=0，得函数f（x）在上的单调增区间为；同理，求得其单调减区间为．8. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C略9. 有四个关于三角函数的命题：或；；；.其中真命题是（）A． B． C．D．参考答案：D考点：命题真假10. 若直线l与平面垂直,则下列结论正确的是（）A．直线l与平面内所有直线都相交 B．在平面内存在直线m与l平行C．在平面内存在直线m与l不垂直 D．若直线m与平面平行,则直线l⊥m 参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设集合A=, 函数，若, 且,则的取值范围是_________．参考答案：12. 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为．参考答案：【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，动直线x+y=a（即y=﹣x+a）在y轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S阴影=S△ADC﹣S△EOC=故答案为：．13. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为．参考答案：﹣【考点】函数的值．【分析】由奇函数的性质得当x＞0时，f（x）=﹣，由此利用对数函数的性质和换底公式能求出f （log49）的值．【解答】解：∵f（x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）=2x，∴当x ＞0时，f （x ）=﹣，∴f（log 49）=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意奇函数的性质和对数函数的性质、换底公式的合理运用．14. 已知x ，y 满足约束条件，且z=2x+4y 的最小值为6，则常数k=．参考答案：﹣3【考点】简单线性规划． 【专题】数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数后由z 的值等于6求得k 的值．【解答】解：由约束条件作可行域如图，图中以k=0为例，可行域为△ABC 及其内部区域，当k ＜0，边界AC 下移，当k ＞0时，边界AC 上移，均为△ABC 及其内部区域． 由z=2x+4y ，得直线方程，由图可知，当直线过可行域内的点A 时，z 最小．联立，得A （3，﹣k ﹣3）．∴z min =2×3+4（﹣k ﹣3）=﹣4k ﹣6=6，解得k=﹣3． 故答案为：﹣3．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．15. 如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量在A 点处与圆O相切，点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则·的取值范围是 .参考答案：16. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为参考答案：17. 下列命题中： ①集合A={），B={}，若B A ，则-3a 3② 函数与直线x=l 的交点个数为0或l③ 函数y=f （2-x ）与函数y=f （x-2）的图象关于直线x=2对称④ ，+∞）时，函数的值域为R⑤ 与函数关于点（1，-1）对称的函数为（2 -x ）上述说法正确的题号为参考答案：②③⑤三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高三数学（理科）答案1-5ABBAB 6-10CDCDD 11-14CBAC 15.132n -16.210-17.32+18.113ln 2,ln 33⎛⎤-- ⎥⎝⎦19．解：（1cos sin C c B =+cos sin sin A B C C B =+)cos sin sin B C B C C B+=+cos sin B C B C+cos sin sin B C C B=+sin sin sin B C C B =即：sin B B =，tan B ∴=∴3B π=（2）由正弦定理：sin sin a b A B =，∴sin 2sin 2a B Ab ==∵a b <∴A B <∴4A π=∴62sin sin()4C AB =+=设AC 边上的高为h ，则有31sin 2h a C ==20．解：（Ⅰ）由2132n n n a a a ++=-可得2112()n n n n a a a a +++-=-．又11a =，23a =，所以2120a a -=≠，故2112n n n na a a a +++-=-.所以1{}n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列.所以12n n n a a +-=.所以1211()()n n n a a a a a a -=+-++- 21222n =++++ 21n =-.（Ⅱ）因为12(21)(21)n n n n b +=--11(21)(21)(21)(21)n n n n ++---=--1112121n n +=---.所以12n n S b b b =+++ 223+1111111212121212121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭+11=121n --.又因为对任意的*n N ∈都有1n n S m a ≥+，所以+11112121n n m ≤----恒成立，即1min 1112121n n m +⎛⎫≤-- ⎪--⎝⎭,即当1n =时，13m ≤-.21．（1）证明：//EF 平面BCD ，CD BCD ACD ACD EF =⋂⊂平面且平面平面又,，//EF CD ∴．CD BC ⊥ ，EF BC ∴⊥．∵⊥AB 平面BCD ，AB CD ∴⊥，AB EF ⊥，所以EF ⊥平面ABC（2）解：由（1）知CD ⊥平面ABC ，ACB ∴∠是二面角B CD A --的平面角，60ACB ∠=︒，2BE =，34EF AE CD AC ==，34EF =．CD ⊥ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ACD ．BE AC ⊥ ，BE ∴⊥平面ACD ，所求线面角是BFE ∠，故tan 3BE BFE EF ∠==.22．解：（1）∵圆的极坐标方程为ρθ=∴2sin ρθ=（*）又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=∴222ρx y =+代入（*）即得圆的直角坐标方程为220x y +-=（2）直线1的参数方程可化为322x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入圆c的直角坐标方程，得240t -+=，∴124t t ⋅=∴1212||||4PA PB t t t t ⋅==⋅=23．解：（1）()f x 定义域为()0,∞+，()111x f x x x-'=-=，01x <<时，()0f x '<，1x >时，()0f x '>，∴()f x 在(]0,1上是减函数，在[)1,+∞上是增函数，∴()f x 的极小值为()11f =，没有极大值．（2）()()2ln g x xf x x x x ==-，则()()2ln 10g x x x x '=-->，令()2ln 1h x x x =--，则()()12120x h x x x x-'=-=>．当12x ≥时，()0h x '≥，()h x （即()g x '）为增函数，又()11202g x g n ⎛⎫''≥=> ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭上递增．因为()g x 在[],m n 上的值域是()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，所以()()22g m k m =+-，()()22g n k n =+-，12m n ≤<，则()()22g x k x =+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根．()22g x k x +=+，令()()22ln 222g x x x x F x x x +-+==++，求导得()()2232ln 4122x x x F x x x +--⎛⎫'=≥ ⎪⎝⎭+．令()2132ln 42G x x x x x ⎛⎫=+--≥ ⎪⎝⎭，则()()()2122230x x G x x x x-+'=+-=≥，所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，102G ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10G =，当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,21x 时，()0G x <，∴()0F x '<，当[)+∞∈,1x 时，()0G x >，∴()0F x '>，所以()F x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在()1,+∞上递增，所以()121F k F ⎛<≤⎫ ⎪⎝⎭，所以92ln 21,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．。

高三数学理科模拟试题一一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1A x N x =∈≤，{}12B x x =-≤≤，则A B =（ ）A. {}0,1B. {}-1,0,1C. []-l,lD. {}1【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合A ，由此能求出A ∩B ．【详解】∵集合A ＝{x |x ≤1，x ∈N }＝{0，1}，又{}12B x x =-≤≤， ∴A ∩B ＝{0，1}． 故选A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件x N ∈． 2. 2(1)i += A. 2i B. 2i -C. 2D. -2【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算法则运算即可.【详解】()22112121 2.i i i i i +=++=+-= 故选A.【点睛】本题考查复数乘方运算，属基础题.3. 已知命题:p 方程210x ax +-=有两个实数根；命题:q 函数()4sin sin f x x x=+，()0,x π∈的最小值为4．给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③p q ⌝∧；④p q ⌝⌝∨．则其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】判断两个简单命题p 、q 的真假，再利用复合命题真假的判断原则判断出各选项中复合命题的真假. 【详解】对于命题p ，240a ∆+>=，则方程210x ax +-=有两个实数根，命题p 为真命题； 对于命题q ，当0πx <<时，0sin 1x <≤，设sin t x =，由于函数4y t t=+在区间(]0,1上单调递减，则min 4151y =+=，所以，函数()4sin sin f x x x=+在()0,x π∈上的最小值为5，命题q 为假命题，因此，p q ∨、p q ⌝∧、p q ⌝⌝∨为真命题，p q ∧为假命题，则真命题的个数为3，故选C.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，关键在于判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题.4. 对任意x ，下列不等式恒成立的是（ ）A. 20x >B.0>C. 1102x⎛⎫+> ⎪⎝⎭D. lg 0x >【答案】C 【解析】 【分析】利用各基本初等函数的定义域和值域对各选项中的不等式进行判断.【详解】对于A 选项，对任意的实数x ，20x ≥，A 选项中的不等式不恒成立；对于B 选项，函数y =[)0,+∞，且当0x ≥0≥，B 选项中的不等式不恒成立；对于C 选项，对任意的实数x ，102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，则11102x⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，C 选项中的不等式恒成立；对于D 选项，函数lg y x =的定义域为()0,∞+，且当01x <≤时，lg 0x ≤，D 选项中的不等式不恒成立.故选C.【点睛】本题考查不等式恒成立的判断，要充分理解各基本初等函数的定义域和值域，并结合不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于基础题.5. 设向量(,1)a x =，(1,3)b =-，且a b ⊥，则向量3a b -与b 的夹角为（ ） A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】D 【解析】向量(),1a x =，()1,3b =-，且a b ⊥，则30,3a b x x ⋅=-==,3(3,1)a b -=-3(1,3)(0,4)-=,(3)014(3)43a b b -⋅=⨯+⨯-=-,34,2a b b -== ,设向量3a b -与b 的夹角为θ，则(3)433cos 3a b b a b bθ-⋅-===--⋅ ，50,6πθπθ≤≤∴=，选D. 6. 运行如图所示的程序框图，输出的n 等于（ ）A. 27B. 28C. 29D. 30【答案】C 【解析】 【分析】按算法和循环结构依次计算即可【详解】解：第1 次，011S =+=,1200S =<成立，则123n =+=， 第2次，134S =+=，4200S =<成立，则325n =+=， 第3次，1359S =++=，9200S =<成立，则527n =+=， ……第k 次，2135(21)S k k =+++⋅⋅⋅+-=， 因为2214196200,15225200=<=>， 所以第15次时结束，此时215129n =⨯-=， 所以输出29 故选：C【点睛】此题考查了算法和循环结构，属于基础题.7. 已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下图 所示，()cos(g x A x ω=+0)x 的图象的对称轴方程可以．．是（）A. 724x π=-B. 48x π=C. 2x π=D. 12x π=【答案】B 【解析】依题意得，0022,2,22A T x x πππωπ⎡⎤⎛⎫==--=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.又()f x 在1312x π=处取得最大值，则()1322Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，故()52Z 3k k πϕπ=-+∈，又2πϕ<，所以3πϕ=，而()002sin 223f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭02sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以结合图象可知0022,Z 3413,212x k k x πππππ⎧+=+∈⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得02324x π=，故()232cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令()232Z 24x m m ππ+=∈，即()232Z 24x m m ππ=-+∈， 故()23Z 482m x m ππ=-+∈， 故选B ．8. 如图，在矩形ABCD 中，//EF AD ，//GH BC ，2BC =，1AF BG ==，2FG =，现分别沿EF 、GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 6πC.163π D.83π 【答案】B 【解析】 【分析】折叠后形成的几何体AFG DEG -为直棱柱，计算出底面AFG ∆的外接圆直径2r ，再利用公式()()22222R AD r =+求出几何体的外接球半径R ，再利用球体表面积公式可计算出外接球的表面积.【详解】在矩形ABCD 中，//EF AD ，//GH BC ，现分别沿EF 、GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合，则折叠后的几何体AFG DEH -为直三棱柱，且AD ⊥平面AFG ， 在AFG ∆中，1AF AG ==，2FG =222AF AG FG ∴+=，则AFG ∆为等腰直角三角形，且FG 为斜边，所以，AFG ∆的外接圆直径为22r FG ==设直三棱柱AFG DEH -的外接球半径为R ，则()()2222222226R AD r =+=+=，因此，该几何体的外接球的表面积为246S R ππ==，故选B.【点睛】本题考查多面体的外接球，同时也考查了球体表面积的计算，解题时要充分分析几何体的结构特征，利用相应的公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.9. 已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1yz x =+的取值范围是( ) A. [)1,2,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B. 12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据线性约束条件作可行域，由z 的几何意义可得z 的取值范围.【详解】由约束条件212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩作出可行域如图，yz x 1=+的几何意义是可行域内的点()x,y 与()1,0-连线的斜率， 由可行域可知，当取点B （0,2）时，连线斜率最大，所以z 的最大值为2z 201==+, 当取点A （1,1）时，连线斜率最小，所以z 的最小值为11z 112==+, 则y z x 1=+的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选C .【点睛】线性规划中的最值,范围问题主要涉及三个类型：1.分式形式0y y z x x -=-：与斜率有关的最值问题：表示定点P ()00,x y 与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.2. 一次形式z=ax+by :与直线的截距有关的最值问题, 特别注意斜率范围及截距符号.3. 与距离有关的最值问题()()2200z x x y y =-+-:表示定点P ()00,x y 到可行域内的动点N(x,y)的距离． 10. 将二项式6(x x+展式式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A. 27B.37C.835D.724【答案】A 【解析】二项式6(x展开式通项为：36621662r r r r r rr T C x C x --+==，知当r=0，2，4，6时为有理项，则二项式6(x +展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为77A ，无理项互为相邻有4345A A ，所以所求概率P=43457727A A A =， 故选A ．11. 关于下列命题，正确的个数是（ ）（1）若点()2,1在圆2222150x y kx y k ++++-=外，则2k >或4k <-； （2）已知圆()()22:cos sin 1M x y θθ++-=，直线y kx =，则直线与圆恒相切；（3）已知点P 是直线240x y ++=上一动点，PA 、PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，则四边形PACB 的最小面积是2；（4）设直线系:cos sin 22cos M x y θθθ+=+，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】（1）根据一般方程表示圆和点()2,1列不等式组可解出实数k 的取值范围，可判断出命题（1）的真假；（2）计算圆心到直线y kx =的距离d 的取值范围，可判断出命题（2）的真假；（3）找出当切线PA 、PB 的长取得最小值时点P 的位置，计算出PA 的长，并计算出此时四边形PACB 的面积，可判断出命题（3）的真假；（4）由直线系方程可知，M 中所有直线都是定圆()2224x y -+=的切线，易知M 中的直线所能围成的正三角形的面积不一定都相等，即可判断出命题（4）的真假.【详解】对于命题（1），由于方程2222150x y kx y k ++++-=表示圆，则()2244150k k +-->，整理得23640k -<，由于点()2,1在该圆外，则2280k k +-<，所以223640280k k k ⎧-<⎨+->⎩，解得4k <<-或2k <<1）为假命题；对于命题（2），直线y kx =过原点O ，圆()()22:cos sin 1M x y θθ++-=的圆心M 的坐标为()cos ,sin θθ-，且1OM=，所以，圆心M 到直线y kx =的距离1d ≤，则直线与圆相交或相切，命题（2）为假命题；对于命题（3），圆C 的标准方程为()2211x y +-=，圆心C 的坐标为0,1，半径长为1，圆心C 到直线240x y ++=的距离为22521d ==+，min 5PC ∴=，则()22min512PA =-=，∴四边形PACB 的面积的最小值为min 122122PA r ⨯⋅=⨯=，命题（3）为真命题； 对于命题（4），直线系M 的方程为()2cos sin 20x y θθ-+-=，由于点()2,0到直线M 的距离为222cos sin d θθ==+，直线系M 中所有的直线都是圆()22:24D x y -+=的切线，如下图，M 中的直线所能围成的正三角形ABC 和ADE 面积不相等，故（4）错误. 如下图所示：因此，真命题的个数为1. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查了转化和数形结合思想等数学思想方法，属于难题. 12. 已知'()f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有1'()()x f x f x e=-（e 是自然对数的底数），(0)0f =，若不等式()0f x k ->的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A. 221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3232,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3232,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D. 3232,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】化简()1'(x f x f x e=-为()()'1,x f x f x e ⎡⎤+=⎣⎦ 即()()'1x x e f x e f x x c ⎡⎤=⇒=+⎣⎦ ，令0x =，可得0c ，所以()(),x x x e f x x f x e== ，()1'x xf x e -= ，令()'0f x > 可得()f x 在(),1-∞ 上递增，令()'0f x < 可得()f x 在()1,+∞ 上递减，所以()f x 在1x = 处取得极大值()11=f e，又因为()()()23230=0,2=,3=f f f e e，不等式()0f x k ->的解集中恰有两个整数，等价于不等式()f x k >的解集中恰有两个整数，当3232k e e≤<时，不等式不等式()f x k >的解集中恰有两个整数1,2 ，所以不等式()0f x k ->的解集中恰有两个整数，实数k 的取值范围是3232,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选D. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数解决不等式有解问题,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13. 已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()1f a =，则实数a =_________. 【答案】1-或0 【解析】 【分析】分0a ≥和0a <两种情况解方程()1f a =，可得出实数a 的值.【详解】当0a ≥时，()211f a a =+=，解得0a =；当0a <时，()211f a a ==，得1a =-. 因此，1a =-或0，故答案为1-或0.【点睛】本题考查利用分段函数值求自变量的值，解题时要对自变量进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题.14. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()112f x f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()11f =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()421n n a S n N +-=∈，()()35f a f a +=_________.【答案】2- 【解析】 【分析】利用题中条件可推出函数()y f x =是以3为周期的周期函数，由421n n a S -=可得出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出3a 、5a 的值，再利用周期性和奇函数的性质求出()()35f a f a +的值.【详解】对任意的n ∈+N ，421n n a S -=，当1n =时，11421a S -=，得112a =； 当2n ≥时，由421n n a S -=得11421n n a S ---=， 上述两式相减得14420n n n a a a ---=，整理得12nn a a -=， 所以，数列{}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，231222a ∴=⨯=，451282a =⨯=. ()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()32f x f x ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =为奇函数， ()()32f x f x f x ⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭，()()332f x fx f x ⎛⎫∴+=-+= ⎪⎝⎭，则函数()y f x =是以3为周期的周期函数，()()()()32111f a f f f ∴==-=-=-，()()()5821f a f f ===-，因此，()()352f a f a +=-，故答案为2-.【点睛】本题考查函数周期性与奇偶性求值，同时也考查了利用前n 项和公式求数列的通项，考查运算求解能力，属于中等题.15. 抛物线()2:20C y px p =>的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作C 的两条切线，切点分别为P 、Q ，则PMQ ∠=__________. 【答案】2π【解析】 【分析】求出点M 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，并设过点M 的直线方程为2p x ky =-，将该直线方程与抛物线的方程联立，由0∆=求出k 的值，利用斜率关系得出PM QM ⊥，从而得出PMQ ∠的大小.【详解】抛物线()2:20C y px p =>的准线与x 轴的交点为M ，则,02p M⎛⎫-⎪⎝⎭， 设过点M 的直线方程为2p x ky =-，由222p x ky y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2220y kpy p -+=，由222440k p p ∆=-=，得1k =±，PM QM ∴⊥，因此，2PMQ π∠=，故答案为2π.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键就是要抓住直线与抛物线相切这一条件进行转化，考查运算求解能力，属于中等题.16. 已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】(]1,2 【解析】 【分析】作出函数()21y x =-和函数log a y x =在区间(]1,2上的图象，由图象得出log a y x =为增函数且log 21a ≥，由此可解出实数a 的取值范围.【详解】如下图所示：由上图所示，当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则函数log ay x =为增函数，且有log 21a ≥，所以1log 21a a >⎧⎨≥⎩，解得12a <≤，因此，实数a 的取值范围是(]1,2，故答案为(]1,2.【点睛】本题考查对数不等式的求解，在利用数形结合思想求解时，要充分分析出函数的单调性，并抓住一些关键点进行分析，列出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题：共70分。

绝密★启用前 河北省辛集中学2020届高三上学期入学考试数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设1i z =+，则z 的虚部是（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．1- 2．曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线方程为（ ） A ．330x y ++= B ．330x y --= C ．30x y -= D ．330x y -+= 3．已知0a >且1a ≠，函数()121x a x f x ax a x ⎧≥=⎨+-<⎩，，，在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是( ) A ．()1+∞， B ．()01， C ．()12， D ．(]12， 4．若()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(1)(21)f x f x ++-的定义域是（ ）． A ．[1,1]- B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．∫(4−4cos(x +π2)+√16−x 2)dx =( ) A ．8π B ．4π C ．2π D ．π 6．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）………○……………○……A．2B．4C D7．用数学归纳法证明4221232n nn++++⋅⋅⋅+=，则当1n k=+时左端应在n k=的基础上（）A．增加一项B．增加2k项C．增加2k项D．增加21k+项8．已知函数2()ax bf xx+=是定义在(][),31,b b-∞--+∞U上的奇函数.若(2)3f=，则+a b的值为（）A．1B．2 C．3 D．09．函数y=）A．[0,4]B．(,4]-∞C．[0,)+∞D．[0,2]10．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A．甲B．乙C．丙D．丁11．若21()ln(2)2f x x a x=-++在(1,)-+∞上是减函数，则a的取值范围是（）A．[1,)-+∞B．(1,)-+∞C．(,1]-∞-D．(,1)-∞-12．在由直线1x=，y x=和x轴围成的三角形内任取一点(,)x y，记事件A为3y x>，B为2y x>，则(|)P B A=（）A．16B．14C．13D．2313．重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据2[)75,90的概率为( ) 附：若()2,X N μσ~，则()0.6826P X μσμσ-<<+=；()220.9544P X μσμσ-<<+=. A ．0.6826 B ．0.8413 C ．0.8185 D ．0.9544 14．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 发生次数ξ的期望和方差分别为 （ ） A ．94和916 B ．34和316 C ．916和364 D ．94和964 15．若()2cos x x f x e e x -=++，则()(2)0f x f x --<，解集（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(2,)+∞ 16．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 的图象经过点(2,4)，且对(0,)x ∀∈+∞，都有()1f x '>，则不等式(22)2x x f -<的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,2) D ．(0,1) 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 17．若()3211n n x x ax bx +=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+，且3a b =，则n =_____________． 18．1999年10月1日，在中华人民共和国建国50周年之际，中国人民银行陆续发行了第五套人民币（1999年版），第五套人民币纸币共有1元、5元、10元、20元、50元、100元6种面额，现有这6种面额纸币各一张，一共可以组成______种币值.（用数字作答） 19．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 20．已知实数a ，b 满足|a −2b +1|+√4a 2−12ab +9b 2=0，函数y =x 2+a +−b x (1≤x ≤2)，则y 的取值范围是________．21．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n +1=4a n ，数列{b n }满足b 1=2，a n+1⋅b n =2a n ⋅b n+1−2n ． (1)求{a n }的通项公式； (2)设∁n =log 2(4a n )，求数列{1b n+1c n }的前n 项和T n ． 22．由中央电视台综合频道（1CCTV -）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A 、B 两个地区的100名观众，得到如下的22⨯列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B 地区当中“非常满意”的观众的概率为0.35.（1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”的A 、B 地区的人数各是多少.（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.（3）若以抽样调查的频率为概率，从A 地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X ，求X 的分布列和期望.附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.23．坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为4π⎫⎪⎭，直线l 的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且点A 在直线l 上 （Ⅰ）求a 的值和直线l 的直角坐标方程及l 的参数方程； （Ⅱ）已知曲线C 的参数方程为45cos 35sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数），直线l 与C 交于,M N 两点，求11+AM AN 的值 24．已知函数(),()(ln ),x f x xe g x a x x a R ==+∈. （1）求函数()f x 的极值点； （2）已知00(,)T x y 为函数(),()f x g x 的公共点，且函数(),()f x g x 在点T 处的切线相同，求a 的值.参考答案1．B【解析】【分析】 先化简()()()2121111i z i i i i -===-++-，再求得其共轭复数，从而得解. 【详解】 因为()()()2121111i z i i i i -===-++-， 所以1z i =+， 则z 的虚部是1.故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．D【解析】【详解】试题分析：2'3y x =,()21'|313x y =-∴=⨯-=. 由导数的几何意义可得所求切线的斜率3k =,所以所求切线方程为()31y x =+,即330x y -+=.故D 正确.考点：导数的几何意义.3．D【解析】【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可．【详解】解：a ＞0且a ≠1，函数()121x a x f x ax a x ⎧≥=⎨+-⎩，，＜在R 上单调递增，可得：122a a a ⎧⎨≥-⎩＞，解得a ∈（1，2]． 故选D ．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，是基本知识的考查．4．B【解析】【分析】根据函数()y f x =的定义域为[]0,2可得012x ≤+≤且0212x ≤-≤，解得x 的取值范围即为所求函数的定义域．【详解】由函数()f x 的定义域为[0,2]得0120212x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩， 解得112x ≤≤， 所以函数()()121f x f x ++-的定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选B ．【点睛】求该类问题的定义域时注意以下结论：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 5．A【解析】【分析】对函数y =√16−x 2，确定该函数在x ∈[−4,4]上的图象，利用几何法求出定积分∫√16−x 24−4dx 的值，然后利用定积分的性质可求出答案．【详解】∵cos(x +π2)=−sinx ，令y =√16−x 2≥0，两边平方得y 2=16−x 2，则有x 2+y 2=16，所以，函数y =√16−x 2在x ∈[−4,4]上的图象是圆x 2+y 2=16的上半部分，所以，∫24−4dx =12×π×42=8π．所以，∫(4−4cos(x +π2)+√16−x 2)dx =∫(4−4√16−x 2−sinx)dx =∫√16−x 24−4dx −∫sin 4−4xdx =8π+cosx|−44=8π，故选A ．【点睛】本题主要考查定积分的几何意义以及利用微积分基本定理求定积分，考查了计算能力与转化能力，属于基础题．6．B【解析】【分析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率.【详解】设圆的半径为r ，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB 的面积为2222111sin 6236S r r r π=π-⋅⋅=π-弓形． ∴所求的概率为P=24S S 弓形圆22212464r r ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭== ． 故选B ．【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养.7．D【解析】【分析】明确从n k =变为1n k =+时，等式左端的变化，利用末尾数字作差即可得到增加的项数.【详解】当n k =时，等式左端为：2123k +++⋅⋅⋅+当1n k =+时，等式左端为：()()()2222123121k k k k +++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++ ()22121k k k +-=+Q ∴需增加21k +项本题正确选项：D【点睛】本题考查数学归纳法的基础知识，关键是明确等式左端的数字变化规律.8．C【解析】【分析】由奇函数的定义域关于原点对称，即可求出b 值，由于(2)3f =，即可计算出a 值，由此得到+a b 的值【详解】 由于函数2()ax b f x x+=是定义在(][),31,b b -∞--+∞U 上的奇函数，奇函数的定义域关于原点对称，则(3)(1)0b b -+-=，解得：2b =，由于(2)3f =，则2(2)23=2a ⋅+，解得：1a =，所以3ab += 故答案选C【点睛】本题主要考查奇函数的定义域的性质，以及函数代值，解题的关键是牢记奇偶函数的定义域关于原点对称这一性质，属于基础题。

第1页共4页4-14理数作业一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知集合{|0,}1x M x x R x =≥∈-，2{|31,}N y y x x R ==+∈，则M N ⋂为（）A.{}1x x B.{|1}x x ≥ C.{1x x 或0}x ≤ D.{|01}x x ≤≤2.已知11617a =，16log b =17log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c>> B.a c b >> C.b a c >> D.c b a >>3.已知命题:p 存在102x π≤≤，cos 2cos 0x x m +-=为真命题,则实数m 的取值范围是（）A.9[,1]8-- B.9[,1]8-- C.[1,2]- D.9[,]8-+∞4.若某程序框图如右图所示，则该程序框图运行后输出的B等于A.31B.63C.15D.75.函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件是A.0ab =B.0a b +=C.220a b +=D.a b=6.O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= (·cos ·cos AB AC AB B AC C+ ，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（）A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心7.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为060的菱形，则该棱柱的体积等于（）A.B.C.D.8.已知函数2 1 0() 0x x f x a x +>=≤在点（1，2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取值范围是（）。

2020届河北省辛集中学高三下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2540M x x x =-+≤，{}24xN x =>，则（ ） A ．R M N ⋃= B ．{}24M N x x ⋂=<<C ．{}2M N x x ⋃=> D ．{}24M N x x ⋂=<≤【答案】D【解析】求解一元二次不等式可得：{}|14M x x =≤≤，求解指数不等式可得：{}|2N x x =>，据此可得：{}{}|24,1M N x x M N x x x ⋂=<≤⋃=≥， 本题选择D 选项.2．记复数z 的虚部为lmz ，已知复数5221iz i i =--，（i 为虚数单位），则lmz 为（ ） A ．2 B ．3C ．3i -D ．3-【答案】D 【解析】()()()5i 12i 5i 105i2i 2i=2i=23i 2i 112i 12i 5z ---=-=-----+--，3Imz ∴=-，故选D. 3．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+（ ）A ．12B ．35C ．2D ．38-【答案】B【解析】根据导数的几何意义，求得直线的斜率，即为倾斜角的正切值；结合同角三角函数关系式中齐次式的化简方法，即可得到最后的值． 【详解】 曲线()323f x x =，点的坐标为21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2'()2f x x = ，在点21,3⎛⎫⎪⎝⎭处切线斜率2k = ，即tan 2α= 所以222sin cos 2sin cos cos ααααα-+分子分母同时除以 2cos α可得 222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 132tan 15αα-==+所以选B 【点睛】本题考查了导数的几何意义，三角函数式的化简求值，属于中档题．4．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的纪念币.如图是一枚8克圆形精制金质纪念币，直径为22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．7265πmm 2 B ．36310πmm 2 C ．3635πmm 2 D ．36320πmm 2 【答案】B【解析】落在军旗内部的次数除以总次数约等于军旗面积除以圆的面积. 【详解】由该纪念币的直径为22mm ，知半径r ＝11mm ，则该纪念币的面积为πr 2＝π×112＝121π（mm 2），∴估计军旗的面积大约是3036312110010ππ⨯=（mm 2）. 故选：C 【点睛】此题考查利用随机模拟方法对几何概型的辨析.5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线经过圆22:240E x y x y +-+=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B 5C ．2D 2【答案】A【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，求出圆E 的圆心，分析可得双曲线的一条渐近线方程为2y x =-，则有2ba=，即2b a =，由双曲线的几何性质可得c =，由离心率公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为by x a=±， 圆22:240E x y x y +-+=的圆心为()1,2-，若双曲线的渐近线经过圆E 的圆心， 则双曲线的一条渐近线方程为2y x =-， 则有2ba=，即2b a =，则22225c a b a =+=，即c =，则双曲线的离心率ce a==． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质以及圆的一般方程，注意先求出双曲线的渐近线方程，属于中档题．6．已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan 3a a π⎛⎫=⎪⎝⎭( )A ．BC ．D ．3-【答案】A【解析】先根据已知得34a =-，78a =-，再利用等比数列性质463732a a a a ==，再求46tan 3a a π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】由题意得3234364a a a a ==-，所以34a =-．又2764a =，所以78a =-或78a =（由于7a 与3a 同号，故舍去）．所以463732a a a a ==，因此4632tan tan tan 11tan 33333a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故答案为A 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质和三角函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m+n=p+q,则m n p q a a a a ⋅=⋅,特殊地，2m=p+q 时，则2m p q a a a =⋅，m a 是,p q a a 的等比中项.(3)解答本题要注意，等比数列的奇数项必须同号，偶数项必须同号.7．执行如图的程序框图，若输出的S 的值为10-，则①中应填（ ）A ．18?n ≥B ．19?n ≥C ．20?n ≥D ．19?n <【答案】B【解析】流程图实际计算()()()()0123451819-+-+-++-，故可得正确的选项.【详解】由题意可得：()()()()012345181910S =-+-+-++-=-，即19n =时退出循环，则①中应填19?n ≥. 故选：B . 【点睛】本题考查流程图中判断条件的补充，此类问题需要弄清楚流程图的作用，再根据输出结果确定控制变量的临界值，本题属于基础题.8．已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，()1cos xf x e m x =-++，记()()()22133a f b f c f =-=--=，，，则,,a b c 间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】根据奇函数(0)0f =解得0m =，设()()g x xf x =，求导计算单调性和奇偶性，根据性质判断大小得到答案. 【详解】根据题意得(0)0f m ==，令()()g x xf x =. 则()()g x xf x =为R 内的偶函数，当0x ≥时，()()e 11e e (1)e 10x x x x g x x x x '⎡⎤'=-+=--=-++<⎣⎦，所以()g x 在[0,)+∞内单调递减又()()()()()()22211333a f g b f g c f g =--==--===，，，故c a b <<，选D. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性，比较大小，构造函数()()g x xf x =是解题的关键. 9．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）A ．23π+B ．12+π C ．26π+D ．23π+【答案】D【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，进而得到答案. 【详解】结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为21112212123223V ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+＝. 故选: D. 【点睛】本题主要考查由三视图还原成直观图，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题. 10．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0,,2πωϕπ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦）的部分图象如图所示，其中52MN =.即命题()5:2sin 36p f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，命题q ：将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数22sin 33y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象.则以下判断正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．p q ∨为假C ．()p q ∧⌝为真D ．()p q ⌝∨为真【答案】C【解析】由52MN =225222πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：3πω=， 结合()01f =可得：1sin 2ϕ=， 结合,2πϕπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：56πϕ=， 函数的解析式为：()52sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则命题p 是真命题.将函数()f x 的图像上所有的点向右平移6π个单位，所得函数的解析式为：252sin 63618f x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像，即命题q 为假命题，则 p q ∧为假命题；p q ∨为真命题；()p q ∧⌝为真命题；()p q ⌝∨为假命题. 本题选择C 选项.11．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ） A ．712612+B ．910+C ．832612D ．926+【答案】D【解析】抛物线方程中：令1y =可得14x =，即1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-，与抛物线方程联立可得：()2222220k x k x k -++=，据此可得：11,4A B B Ax x x x =∴==， 且：254A B AB x x p =++=， 将4x =代入24y x =可得4y =±，故()4,4B -， 故MB ==故△ABM的周长为1253944MA AB BM ⎛⎫++=-++=+ ⎪⎝⎭,本题选择D 选项.12．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若n k T >恒成立，则k 的最小值为（ ） A ．17B ．149C ．49D ．8441【答案】B【解析】先求得n a 的通项公式，化简n b 的表达式，利用裂项求和法求得n T ，由此求得k 的最小值.【详解】当1n =时，211163a a a =+，解得13a =.当1n ≥时，由263n n n S a a =+，得211163n n n S a a ---=+，两式相减并化简得()()1130n n n n a a a a --+--=，由于0n a >，所以1130,3n n n n a a a a ----=-=，故n a 是首项为3，公差为3的等差数列，所以3n a n =.则()()112111781812121nn n a n n n a a b ++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，故12n n T b b b =+++223111111117818181818181n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11117781n +⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦()11149781n +=--，由于n T 是单调递增数列，1111498149n +-<-，149k ≥. 故k 的最小值为149，故选B. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题.二、填空题13．已知在ABC ∆中，BC AB CB =-，(1,2)AB =，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，则t =__________．【答案】1【解析】依题意，得BC AC =，故ABC ∆是以AB 为底边的等腰三角形，故CD AB ⊥，所以()()3t,11,23t 20CD AB =--=--=.所以t 1=.14．已知*1()()2nx n N x-∈的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则64p q +的最小值为__________．【答案】16【解析】显然2np =.令1x =，得12nq =. 所以646421622n n np q +=+≥=. 当且仅当6422nn =.即3n =时，取等号，此时64p q +的最小值为16. 15．已知x ，y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>，若sin()x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为__________． 【答案】57[,]66ππ 【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设z x y =+，作出直线:z l x y +=， 当直线l 过点B ,06π⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值6π；当直线l 过点A ,62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取得最大值t 3π-. 即t 63x y ππ≤+≤-，当6x y π+=或56π时，()1sin 2x y +=. 当2x y π+=时，()sin 1x y +=.所以5 t 236πππ≤-≤，解得5766t ππ≤≤. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________． 6π【解析】由已知设出PAC θ∠=，2PA PB PC x ===，EC y =，分别在PAC 中和在EAC 中运用余弦定理表示cos θ，得到关于x 与y 的关系式，再在Rt CEF ∆中运用勾股定理得到关于x 与y 的又一关系式，联立可解得x ，y ，从而分析出正三棱锥是PA ，PB ，PC 两两垂直的正三棱锥，所以三棱锥P ABC -的外接球就是以PA 为棱的正方体的外接球，再通过正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求出球的半径，再求出球的体积. 【详解】在PAC 中，设PAC θ∠=，2PA PB PC x ===，EC y =，0x >,0y >， 因为点E ，点F 分别是PA ，AB 的中点，所以12EF PB x ==，AE x =， 在PAC 中，22444cos 222x x x θ+-=⨯⨯，在EAC 中，224cos 22x y x θ+-=⨯⨯，整理得222x y -=-，因为ABC 是边长为2的正三角形，所以3CF =，又因为90CEF ︒∠=，所以223x y +=，由222223x y x y ⎧-=-⎨+=⎩，解得2x =， 所以22PA PB PC x ====．又因为ABC 是边长为2的正三角形，所以2224PA PB AB +==，所以PA PB ⊥， 所以PA ，PB ，PC 两两垂直， 则球O 为以PA 为棱的正方体的外接球， 则外接球直径为23||6d PA ==，所以球O 的体积为333444663323d V r ππππ⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝=⎝⎭, 故答案为6π.【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球的体积，破解关键在于熟悉正三棱锥的结构特征，运用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱锥的棱的关系，继而分析出正三棱锥的外接球是以正三棱锥中互相垂直的三条棱为棱的正方体的外接球，利用正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求解更方便快捷，属于中档题．三、解答题17．已知函数21()cos 3)cos()2f x x x x ππ=-+-，x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()1,3f A a =-=， sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）最小正周期,π对称轴方程为,()23k x k Z ππ=+∈ （2）93【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式、诱导公式以及配角公式化为基本三角函数，再根据正弦函数性质确定函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）先求A ，再根据正弦定理将边角关系化为边的关系，最后根据三角形面积求面积. 试题解析：解(1) f(x)，故其最小正周期, 令，解得， 即函数图象的对称轴方程为，. （2）由（1），知，因为，所以.又，故得，解得.由正弦定理及，得.故.18．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中CD AB ∥，BC AB ⊥，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且AB AE BE ===222BC CD ==，动点F在棱AE 上，且EF FA λ=.（1）试探究λ的值，使CE ∥平面BDF ，并给予证明； （2）当1λ=时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.【答案】(1)当12λ=时，CE ∥平面BDF .证明见解析；(2)15. 【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）连接AC 交BD 于点G ，连接GF ，通过证得//GF CE ，即可证得//CE 平面BDF ；（2）取AB 的中点O ,连接EO ，可得,,OA OD OE 两两垂直，建立空间直角坐标系，设CE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin cos CE n θ=⋅，n 为平面BDF 的一个法向量. 试题解析： （1）当12λ=时，//CE 平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF .∵//,2CD AB AB CD =，∴12CG CD GA AB ==. ∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==. ∴//GF CE .又∵CE ⊄平面BDF ，GF ⊂平面BDF ， ∴//CE 平面BDF .（2）取AB 的中点O ,连接EO .则EO AB ⊥.∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE ⋂平面ABCD AB =，且EO AB ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD .∵//BO CD ，且1BO CD ==，∴四边形BODC 为平行四边形，∴//BC DO . 又∵BC AB ⊥，∴//AB DO .由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .则()0,0,0O ，()0,1,0A ，()0,1,0B -，()1,0,0D ，()1,1,0C -，(3E . 当1λ=时，有EF FA =，∴可得130,,22F ⎛ ⎝⎭.∴()1,1,0BD =，(3CE =-，331,2BF ⎛= ⎝⎭.设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =，则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,330,22x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令3z =，得1y =-，1x =.即()1,1,3n =-.设CE 与平面BDF 所成的角为θ， 则sin cos CE n θ=⋅=1131555--+=⨯. ∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）不能（2）710（3）995.5,40【解析】试题分析：（1）由列联表中的数据计算2K的观测值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理求出所抽取的5名女网民中经常进行网购和偶尔或不进行网购的人数，计算所求的概率值；（3）由列联表中数据计算经常进行网购的频率，将频率视为概率知随机变量X服从n次独立重复实验的概率模型，计算数学期望与方差的大小．试题解析：（1）由列联表数据计算()2220050405060= 2.020 2.072 11090100100K⨯-⨯≈<⨯⨯⨯.所以，不能再犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民网购情况与性别有关.（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有605=3100⨯人，偶尔或从不进行网购的有405=2100⨯人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是2133233355710C C C C C +=. （3）由列联表可知，经常进行网购的频率为11011=20020. 由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是1120. 由于该市市民数量很大，故可以认为1110,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭. 所以，()1110=5.520E X =⨯，()1199910202040D X =⨯⨯=. 20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且12l l //，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由12c a =，b =222c a b =-，可得方程； （2）易知直线MN 不能平行于x 轴，所以令直线MN 的方程为1x my =-与椭圆联立得()2234690m y my +--=，令直线PQ 的方程为1x my =+，可得MN PQ =，进而由MNPQ 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=，于是有12120x x y y +=由韦达定理代入知无解. 试题解析： （1）由已知，得12c a =，b = 又222c a b =-， 故解得224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1），知()11,0F -，如图，易知直线MN 不能平行于x 轴. 所以令直线MN 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y . 联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得()2234690m y my +--=， 所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+. 此时()()2212121MN m y y y y ⎡⎤=++-⎣⎦同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，此时342634m y y m -+=+，342934y y m -=+， 此时()()22343414PQ m y y y y ⎡⎤=++-⎣⎦.故MN PQ =.所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=， 于是有12120x x y y +=. 又()()121211x x my my =--，()212121m y y m y y =-++，所以有()()21212110m y y m y y +-++=，整理得到22125034m m --=+，即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形. 21．已知函数()ln 1f x a x ax =-+ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数21()()12g x f x x =+-有两个极值点1x ，2x 12()x x ≠．且不等式1212()()()g x g x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； （2）[)2ln 23,-+∞. 【解析】（1）求得(1)(),(0)a x f x x x-'=>，对a 的范围分类，即可解不等式()0f x '>，从而求得函数()f x 的单调区间，问题得解. （2）由题可得：()()21ln 2a x g x x x -+=，由它有两个极值点，可得：()0g x '=有两个不同的正根，从而求得1212x x ax x a =⎧⎨+=⎩及4a >，将1212()()()g x g x x x λ+<+恒成立转化成：1ln 12a a λ>--恒成立，记：1ln 12y a a =--，利用导数即可求得：2ln 23y <-，问题得解.【详解】（1）因为()ln 1f x a x ax =-+，所以(1)(),(0)a a x f x a x x x-'=-=>， 则①当0a =时，()1,(0)f x x =>是常数函数，不具备单调性； ②当0a >时，由()001f x x '>⇒<<；由()01f x x '<⇒>． 故此时()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减③当0a <时，由()01f x x '>⇒>；由()001f x x '<⇒<<．故此时()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增． （2）因为21()()12g x f x x =+-21(ln )2a x x x =-+ 所以2(),(0)x ax ag x x x-+'=>，由题意可得：()0g x '=有两个不同的正根，即20x ax a -+=有两个不同的正根，则2121240040a a x x a a x x a ⎧∆=->⎪+=>⇒>⎨⎪=>⎩， 不等式1212()()()g x g x x x λ+<+恒成立等价于121212()()()()g x g x g x g x x x aλ++>=+恒成立又221211122211()()(ln )(ln )22g x g x a x x x a x x x +=-++-+ 221212121(ln ln )()()2a x x a x x x x =+-+++2121212121ln ()[()2]2a x x a x x x x x x =-+++-221ln (2)2a a a a a =-+- 21ln 2a a a a =--所以1212()()1ln 12g x g x a a x x +=--+， 令1ln 12y a a =--（4a >），则1102y a '=-<， 所以1ln 12y a a =--在(4,)+∞上单调递减， 所以1ln 4412ln 232y <-⨯-=-所以2ln 23λ≥-． 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及极值知识，考查了转化能力及函数思想，还考查了利用导数求函数值的取值范围问题，考查计算能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x t y αα=⎧⎨=⎩，（0,t α>为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线lsin()34πθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围. 【答案】(1) 12+；(2) (0, 【解析】(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为d =C 上的点到直线l 的距离的最大值为22+. (2)原问题等价于对R α∀∈，有30tcos sin αα+-<恒成立，结合恒成立的条件可得实数t的取值范围是(0,. 【详解】（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=. 曲线C 上的点到直线l 的距离d ==当14sin πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，22max d +==， 即曲线C 上的点到直线l. （2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方， ∴对R α∀∈，有30tcos sin αα+-<恒成立，()3αϕ-<（其中1tan tϕ=）恒成立，3<.又0t >，∴解得0t <<， ∴实数t的取值范围为(0,. 【点睛】本题考查了参数方程、直线的极坐标方程与直角方程的互化，注意利用参数方程求点到直线的距离，本题属于中档题.。

2020河北辛集一中高三数学第一次月考试卷（理）一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分；共60分，在每小题给出的4个选项中只有一个是符合题目要求的）1、已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}则()()U U A B =U 痧A 、{1，6}B 、{4，5}C 、{2，3，4，5，7}D 、{1，2，3，6，7} 2、若函数y=f(x)在[a,b] 单调，则使得y=f(x+3)必为单调函数区间的是A 、[a,b+3]B 、[a+3,b+3]C 、[a-3,b-3]D 、[a+3,b] 3、已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+……+a 99=0则 A 、a 1+a 99>0 B 、a 2+a 98<0 C 、a 3+a 9=0 D 、a 50=50 4、为了得到y=2x-3-1的图象，只需把函数y=2x 的图象上所有的点A 、向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度。

B 、向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度。

C 、向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度。

D 、向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度。

5、,22αααα4设是第二象限的角, tan =-且sin <cos3cos2α=则A 、35- B、、 6、下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是A 、151x y -=+ B、y C、y =、113xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭7、设等差数列{a n }公差为2，前n 项和为S n ,则下列结论中正确的是 A ，S n =na n -3n(n-1) B 、S n = na n +3n(n-1) C 、S n =na n -n(n-1) D 、S n =na n +n(n-1)8、1,0,cos ,tan()226ππααα⎛⎫∈-=+ ⎪⎝⎭设则等于A 9、已知21tan(),tan(),tan()5444ππαββα+=-=+=且则A 、322B 、16C 、1318D 、132210、已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1,且b i >0(i ∈N *)若a 1=b 1,a 11=b 11 ,则A 、a 6=b 6B 、a 6>b 6C 、a 6<b 6D 、a 6>b 6或a 6<b 611、sin 50(1)+o o 的值为A 、12B 、1CD 、212、已知函数f(x)=3-2∣x ∣,g(x)=x 2-2x,构造函数y=F(x),定义如下：当f(x)≥g(x)时，F （x ）=g(x);当f(x)<g(x)时，F （x ）=f(x),那么F （x ）A 、有最大值3，最小值-1B 、有最大值3，无最小值。