2.1.1-椭圆及标准方程

山大附中实验学校高二数学组 主备人：郭爱腾

第 1 页 共 1 页 2.2.1椭圆及其标准方程

一、学习目标：

1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.

2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.

3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.

二、知识梳理—自主学习

知识点一 椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的 的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .

知识点二 椭圆的标准方程

思考 (1)椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

(2) 确定椭圆的方程需要知道哪些量？

三、题型探究—重点突破

题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；

(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).

焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准方程

焦点

a、b、c的关系 山大附中实验学校高二数学组 主备人：郭爱腾

第 2 页 共 2 页 跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A( ，－2)和B(－2 ，1)两点的椭圆的标准方程.

题型二 椭圆定义的应用

例2 已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积.

成都市三原外国语学校践学案

年级 高二 学科 数学 课题 2．1.1 椭圆及其标准方程

编 制 人 刘良忠 审 定 人 高二数学备课组

知识目标 教学活动

基础知识—重点知

识—重难点知识 自学质疑—讨论领悟—展示分享—检测巩固—评价提升

1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程.

2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程.

自学质疑

平面内与两个定点F1，F2的____________________

________的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____________________叫做椭圆的焦距．

焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准方程

焦点坐标

a、b、c的关系

讨论领悟

1．定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

2．如何理解“标准方程”中的“标准”的意义？

3．对于一个椭圆的标准方程，怎样判断其焦点所在的坐标轴呢？

展示分享

类型一 椭圆的定义及其应用

【例1】 1、到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是______

2、已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．AB是过F1的直线与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．

成都市三原外国语学校践学案

类型二 求椭圆的标准方程

【例2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程．

(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；

(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．

类型三 椭圆标准方程的识别

【例3】 当3

检测巩固

1、椭圆x29＋y25＝1的焦点坐标为 ___________

2、椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为______________

3、若方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是

鸡西市第十九中学高二数学组

1 2.1.1

椭圆及其标准方程

1．椭圆的概念：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，轨迹是__________，当|PF1|＋|PF2|<|F1F2|时__________轨迹．

2．椭圆的标准方程

焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准方程

焦点

a、b、c的关系

1．判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。

（1）14322yx （2）1422yx （3）1422yx

1.椭圆192522yx上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离

A.5 B.6 C.4 D.10

2．椭圆11692522yx的焦点坐标是（ ）

A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)

3．在方程22110064xy中，下列a, b, c全部正确的一项是

（A）a=100, b=64, c=36 （B）a=10, b=6, c=8 （C）a=10, b=8, c=6（D）a=100, c=64, b=36

4．椭圆1162522yx的离心率为（ ）

A．35 B． 34 C．45 D．925

5.椭圆2255xky的一个焦点是(0,2)，那么k等于（ ） 鸡西市第十九中学高二数学组

2 A. 1

B. 1 C. 5 D. 5

6.椭圆171622yx左右焦点为21,FF，一直线过1F交椭圆于A、B两点，则2ABF的周长为 （ ）

椭圆的标准方程学案

2.2.1椭圆的标准方程

一、椭圆的定义

1．椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

2．椭圆定义的集合语言表示

设椭圆上任一点M到两焦点距离之和为常数2a，则点M所满足的集合为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)}．

3．对椭圆定义的理解

(1)要注意椭圆定义中的限制条件：到两定点距离之和大于两定点的距离|F1F2|.

(2)两种特殊情况：当2a＝|F1F2|时轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时无轨迹．

练：到两定点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之和为6的点M的轨迹是( )

A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段或不存在 D．不存在

二、椭圆的标准方程

1．椭圆标准方程的比较

类型 焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)

a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 2.由标准方程判断焦点的位置的方法

看x2，y2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．

3．a，b，c关系的再认识

标准方程中涉及三个常数a，b，c，它们是确定椭圆特征的重要元素，不随方程形式的改变而改变，它们之间的关系为a2＝b2＋c2.

椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助下图帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2，其中c是焦距的一半，叫做半焦距．

4．椭圆方程的一般形式

方程Ax2＋By2＝C(A，B，C均不为零，且A≠B)表示椭圆的条件为：方程Ax2＋By2＝C可化为Ax2C＋By2C＝1，即x2CA＋y2CB＝1. 由此可看出方程Ax2＋By2＝C表示椭圆的充要条件是ABC≠0，所以只有A，B，C同号，且A≠B时，方程表示椭圆．