平行线的判定及性质 例题及练习

平行线的判定及性质

一、【基础知识精讲】

1、平行线的判定

（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

（2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线 .

（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线 .

（4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.

（6）同旁内角互补，两直线平行.

3、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.

（3）两直线平行，同旁内角互补.

二、【例题精讲】

专题一：余角、补角、对顶角与三线八角

例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（ ）

A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能

【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（ ）

A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角

B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角

C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角

D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角

【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )

A.∠3和∠5是同位角 B.∠4和∠5是同旁内角

C.∠2和∠4是对顶角 D.∠1和∠2是同位角

【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,

图中∠1与∠2的关系是（ ）

A.对顶角 B.互余 C.互补 D相等

例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.

【活学活用4】如图，∠AOC+∠DOE+∠BOF= .

专题二：平行线的判定

例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG∥AB.

1 2 A

B C D F E G

【活学活用】

1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )

A．9对 B．16对 C.18对 D．以上答案都不对

2、已知:如图2-96,DE⊥AO于E,BO⊥AO,FC⊥AB于C，∠1=∠2,求证：DO⊥AB.

3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD∥BC.

4、如图2—101，若要能使AB∥ED，∠B、∠C、∠D应满足什么条件?

A B C

D

O

E F 5、同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（ ） A.互相垂直 B．互相平行 C.相交 D．没有确定关系

专题三：平行线的性质1、如图，110,ABCACBBO、CO分别平分ABC和,ACBEF过点O与BC平行，则BOC .

2、如图，AB//CD，BC//DE，则∠B+∠D= .

3、如图，直线AB与CD相交于点O，OB平分∠DOE.若60DOE，则∠AOC的度数是 .

4、 如图，175,2120,375，则4

.

1

3 4 2

5、如图，//ABCD，直线EF分别交AB、CD于E、F，ED平分BEF，若172，则2 .

【例题讲解】

例1：如图，已知：AD∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD∥EF。

证明：∵ AD ∥BC（已知）

∴ ∠A+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵ ∠AEF=∠B（已知）

∴ ∠A＋∠AEF＝180°（等量代换）

∴ AD∥EF（同旁内角互补，两条直线平行） A

B C E F O A B

C D E

C

A B

D O E

A B

C D E

F 1 2 3

ABCDEF例2：如图，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD。 求证：∠1＋∠2=90°

证明：∵ AB∥CD（已知）

∴ ∠BAC＋∠ACD=180°(两条直线平行，同旁内角互补)又∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD（已知）

∴∠1＝21∠BAC, ∠2＝21∠ACD（角平分线的定义）

∴∠1+∠2 ＝ 21 (∠BAC＋∠ACD)（等式的性质）

＝ 21 × 180o ＝90 o

即 ∠1＋∠2=90o

例3：如图，已知：∠1＝∠2，求证：∠3＋∠4=180o 证明：

例4：如图，已知：AB ∥CD，MG平分∠AMN ,NH平分∠DNM，求证：MG∥NH。

E1ABCD2ABCDMFG123451ABCDMFGEHN2

例5：如图，已知：AB∥CD，∠A＝C， 求证：AD∥BC。

例6：如图，EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB=∠GDC，求证：∠AGD=∠ACB。

如图，已知：AB∥DE，∠ABC+∠DEF=180°, 求证：BC∥EF。

如图。已知：∠1=∠2，AC平分∠DAB，求证：AB∥CD。

ABCDABCDFGEABCDFEABCD2

专题四：批注理由

例题3：完成推理填空：如图，直线AB、CD被EF所截，若已知AB//CD，求证：∠1＝∠C .

请你认真完成下面填空.

证明：∵ AB//CD（已知），

∴∠1 ＝ ∠ （ 两直线平行， ）

又∵∠2 ＝ ∠3， （ ）

∴∠1 ＝ ∠C （ ）.

【活学活用1】完成推理填空：如图：已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：BD∥CE .

请你认真完成下面的填空.

证明：∵∠A＝∠F （ 已知 ）

∴AC∥DF （ ）

∴∠D＝∠ （ ）

又∵∠C＝∠D （ 已知 ），

∴∠1＝∠C （ 等量代换 ）

∴BD∥CE（ ）.

【活学活用2】如图：已知∠B＝∠BGD，∠DGF＝∠F，求证：∠B ＋ ∠F ＝180°.

请你认真完成下面的填空.

证明：∵∠B＝∠BGD （ 已知 ）

∴AB∥CD （ ）

∵∠DGF＝∠F；（ 已知 ）

∴CD∥EF （ ）

∵AB∥EF （ ）

∴∠B ＋ ∠F ＝180°（ ）.

专题五：作辅助线（过平行线之间的拐点作平行线）

1、 如图，AB//CD，若∠ABE=130，∠CDE=152，则∠BED=

.

2、如图④，AB∥CD，∠BAE = 120º，∠DCE = 30º，则∠AEC = 度.

B

D E

1

3 A

C

F 2

A

C B

D E 3、如图2-83，如果AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为 ( )

A．α+β+γ=360° B．α-β+γ=180°

C．α+β-γ=180° D．α+β+γ=180°

4、如图2-86，AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3+∠4=( )

A.720° B．360° C．180° D.540°

5、如图，已知AB//CD，

（1）你能找到∠B、∠D和∠BED的关系吗？

（2）如果∠B=46，∠D=58，则∠E的度数是多少？

6、如图 ，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E = 140º，求∠BFD的度数？

例题4（探究题）：如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝ 度；

如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝ 度；

如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝ 度；

如图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝ 度；

从上述结论中你发现了什么规律？

如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋……＋∠An＝ 度.

A1

A2 A2A1

A3

A2 图1 图2 M M

M N N

A3 A1

A4

图3 N A3 A1 A2 A4 A5

图4 M

N A1A3

A4

A5 A2A6 An

图5 M

N A B

C D E