(2021年整理)重庆中考数学考纲

2021年重庆市中考数学试卷（B卷）一．选择题（共12小题）1．5的倒数是（）A．5B．C．﹣5D．﹣2．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（）A．长方体B．圆柱体C．球体D．圆锥体3．计算a•a2结果正确的是（）A．a B．a2C．a3D．a44．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（）A．65°B．55°C．45°D．35°5．已知a+b＝4，则代数式1++的值为（）A．3B．1C．0D．﹣16．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：57．小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（）A．5B．4C．3D．28．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（）A．18B．19C．20D．219．如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE 方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A．23米B．24米C．24.5米D．25米10．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．011．如图，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（）A．B．3C．2D．412．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．8C．10D．二．填空题（共6小题）13．计算：（）﹣1﹣＝．14．经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人．请把数94000000用科学记数法表示为．15．盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）17．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚分钟到达B地．18．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为元．三．解答题19.计算：（1）（x+y）2+y（3x﹣y）；（2）（+a）÷．20.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．21.每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：八年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数7.47.4中位数a b众数7c合格率85%90%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．23.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣的图象并探究该函数的性质．x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…﹣a﹣2﹣4b﹣4﹣2﹣﹣…（1）列表，写出表中a，b的值：a＝，b＝；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数y＝﹣的图象关于y轴对称；②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数y＝﹣x﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣x﹣的解集．24.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加a%．求a的值．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26.△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．2021年重庆市中考数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．5的倒数是（）A．5B．C．﹣5D．﹣【分析】根据倒数的定义，可得答案．【解答】解：5得倒数是，故选：B．2．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（）A．长方体B．圆柱体C．球体D．圆锥体【分析】根据平面与曲面的概念判断即可．【解答】解：A、六个面都是平面，故本选项正确；B、侧面不是平面，故本选项错误；C、球面不是平面，故本选项错误；D、侧面不是平面，故本选项错误；故选：A．3．计算a•a2结果正确的是（）A．a B．a2C．a3D．a4【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3．故选：C．4．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（）A．65°B．55°C．45°D．35°【分析】根据切线的性质得到∠OAB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°，故选：B．5．已知a+b＝4，则代数式1++的值为（）A．3B．1C．0D．﹣1【分析】将a+b的值代入原式＝1+（a+b）计算可得．【解答】解：当a+b＝4时，原式＝1+（a+b）＝1+×4＝1+2＝3，故选：A．6．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．7．小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（）A．5B．4C．3D．2【分析】设还可以买x个作业本，根据总价＝单价×数量结合总价不超过40元，即可得出关系x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：设还可以买x个作业本，依题意，得：2.2×7+6x≤40，解得：x≤4．又∵x为正整数，∴x的最大值为4．故选：B．8．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（）A．18B．19C．20D．21【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第n个图形中实心圆点的个数为2n+n+2，据此求解可得．【解答】解：∵第①个图形中实心圆点的个数5＝2×1+3，第②个图形中实心圆点的个数8＝2×2+4，第③个图形中实心圆点的个数11＝2×3+5，……∴第⑥个图形中实心圆点的个数为2×6+8＝20，故选：C．9．如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE 方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A．23米B．24米C．24.5米D．25米【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．【解答】解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BE＝CD＝78米，∴设EF＝x，则DF＝2.4x．在Rt△DEF中，∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，解得x＝30，∴EF＝30米，DF＝72米，∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四边形EFCM是矩形，∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝43°，∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．故选：D．10．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．0【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．【解答】解：不等式组整理得：，由解集为x≥5，得到2+a≤5，即a≤3，分式方程去分母得：y﹣a＝﹣y+2，即2y﹣2＝a，解得：y＝+1，由y为非负整数，且y≠2，得到a＝0，﹣2，之和为﹣2，故选：B．11．如图，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（）A．B．3C．2D．4【分析】延长BC交AE于H，由折叠的性质∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°，由外角的性质可求∠AED＝∠EAC，可得AC＝EC，由“SAS”可证△ABC≌△EBC，可得AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解答】解：如图，延长BC交AE于H，∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，∴∠ACB＝120°，∵将△ACB沿直线AC翻折，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°，∵∠DAE＝∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝15°，∴∠CAE＝30°，∵∠ADC＝∠DAE+∠AED，∴∠AED＝45°﹣15°＝30°，∴∠AED＝∠EAC，∴AC＝EC，又∵∠BCE＝360°﹣∠ACB﹣∠ACE＝120°＝∠ACB，BC＝BC，∴△ABC≌△EBC（SAS），∴AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°，∴∠ABE＝90°，∵AB＝BE，∠ABC＝∠EBC，∴AH＝EH，BH⊥AE，∵∠CAE＝30°，∴CH＝AC＝，AH＝CH＝，∴AE＝2，∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴BE＝＝2，故选：C．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．8C．10D．【分析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC＝90°，根据勾股定理得到AE＝＝4，根据矩形的性质得到AD＝BC，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝4，求得AF＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，∴∠BHC＝90°，∵点D（﹣2，3），AD＝5，∴DE＝3，∴AE＝＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，∴∠CBH＝∠DCH，∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，∠CPD＝∠APO，∴∠DCP＝∠DAE，∴∠CBH＝∠DAE，∵∠AED＝∠BHC＝90°，∴△ADE≌△BCH（AAS），∴BH＝AE＝4，∵OE＝2，∴OA＝2，∴AF＝2，∵∠APO+∠P AO＝∠BAF+∠P AO＝90°，∴∠APO＝∠BAF，∴△APO∽△BAF，∴，∴＝，∴BF＝，∴B（4，），∴k＝，故选：D．二．填空题（共6小题）13．计算：（）﹣1﹣＝3．【分析】先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算加减可得．【解答】解：原式＝5﹣2＝3，故答案为：3．14．经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人．请把数94000000用科学记数法表示为9.4×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：94000000＝9.4×107，故答案为：9.4×107．15．盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：列表如下123134235345由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种结果，所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为＝，故答案为：．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为3﹣π．（结果保留π）【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，可证△BEO，△DFO是等边三角形，由等边三角形的性质可求∠EOF＝60°，由扇形的面积公式和面积和差关系可求解．【解答】解：如图，设连接以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与AB，AD相交于E，F，连接EO，FO，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝2，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴BO＝DO＝，∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，∴BO＝OE＝OD＝OF，∴△BEO，△DFO是等边三角形，∴∠DOF＝∠BOE＝60°，∴∠EOF＝60°，∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S扇形OEF）＝2×（×12﹣×3﹣×3﹣）＝3﹣π，故答案为：3﹣π．17．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚12分钟到达B地．【分析】首先确定甲乙两人的速度，求出总里程，再求出甲到达B地时，乙离B地的距离即可解决问题．【解答】解：由题意乙的速度为1500÷5＝300（米/分），设甲的速度为x米/分．则有：7500﹣20x＝2500，解得x＝250，25分钟后甲的速度为250×＝400（米/分）．由题意总里程＝250×20+61×400＝29400（米），86分钟乙的路程为86×300＝25800（米），∴＝12（分钟）．故答案为12．18．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为1230元．【分析】设第一时段摸到红球x次，摸到黄球y次，摸到绿球z次，（x，y，z均为非负整数），则第一时段返现（50x+30y+10z），根据“第三时段返现金额比第一时段多420元”，得出z＝42﹣9y，进而确定出y≤，再根据“三个时段返现总金额为2510元”，得出25x＝42y﹣43，进而得出≤y≤，再将满足题意的y的知代入④，计算x，进而得出x，z，即可得出结论．【解答】解：设第一时段摸到红球x次，摸到黄球y次，摸到绿球z次，（x，y，z均为非负整数），则第一时段返现金额为（50x+30y+10z），第二时段摸到红球3x次，摸到黄球2y次，摸到绿球4z次，则第二时段返现金额为（50×3x+30×2y+10×4z），第三时段摸到红球x次，摸到黄球4y次，摸到绿球2z次，则第三时段返现金额为（50x+30×4y+10×2z），∵第三时段返现金额比第一时段多420元，∴（50x+30×4y+10×2z）﹣（50x+30y+10z）＝420，∴z＝42﹣9y①，∵z为非负整数，∴42﹣9y≥0，∴y≤，∵三个时段返现总金额为2510元，∴（50x+30y+10z）+（50x+30×4y+10×2z）+（50x+30×4y+10×2z）＝2510，∴25x+21y+7z＝251②，将①代入②中，化简整理得，25x＝42y﹣43，∴x＝④，∵x为非负整数，∴≥0，∴y≥，∴≤y≤，∵y为非负整数，∴y＝2，34，当y＝2时，x＝，不符合题意，当y＝3时，x＝，不符合题意，当y＝4时，x＝5，则z＝6，∴第二时段返现金额为50×3x+30×2y+10×4z＝10（15×5+6×4+4×6）＝1230（元），故答案为：1230．三．解答题19.计算：（1）（x+y）2+y（3x﹣y）；（2）（+a）÷．【考点】4A：单项式乘多项式；4C：完全平方公式；6C：分式的混合运算．【专题】512：整式；513：分式；66：运算能力；69：应用意识．【分析】（1）利用完全平方公式和多项式的乘法，进行计算即可；（2）根据分式的四则计算的法则进行计算即可，【解答】解：（1）（x+y）2+y（3x﹣y），＝x2+2xy+y2+3xy﹣y2，＝x2+5xy；（2）（+a）÷，＝（+）×，＝×，＝﹣．20.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．【专题】555：多边形与平行四边形；67：推理能力．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD ＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF，∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE＝，∠DCF＝，∴∠BAE＝∠DCE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF．21.每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：八年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数7.47.4中位数a b众数7c合格率85%90%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝7.5，b＝8，c＝8；（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．【考点】V5：用样本估计总体；W4：中位数；W5：众数．【专题】542：统计的应用；69：应用意识．【分析】（1）由图表可求解；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．【解答】解：（1）由图表可得：a＝＝7.5，b＝＝8，c＝8，故答案为：7.5，8，8；（2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数＝800×＝200（人），答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；（3）∵八年级的合格率高于七年级的合格率，∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．【考点】#3：数的整除性．【专题】32：分类讨论；66：运算能力．【分析】（1）根据“好数”的意义，判断即可得出结论；（2）设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），得出百位数字和十位数字的和为2a+5，再分别取a＝1，2，3，4，计算判断即可得出结论．【解答】解：（1）312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且3+1＝4，6能被2整除，675不是“好数”，因为6+7＝13，13不能被5整除；（2）611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），∴a+a+5＝2a+5，当a＝1时，2a+5＝7，∴7能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617，当a＝2时，2a+5＝9，∴9能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有721，723，729，当a＝3时，2a+5＝11，∴11能被1整除，∴满足条件的三位数有831，当a＝4时，2a+5＝13，∴13能被1整除，∴满足条件的三位数有941，即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．23.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣的图象并探究该函数的性质．x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…﹣a﹣2﹣4b﹣4﹣2﹣﹣…（1）列表，写出表中a，b的值：a＝﹣，b＝﹣6；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数y＝﹣的图象关于y轴对称；②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数y＝﹣x﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣x﹣的解集．【考点】F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；FD：一次函数与一元一次不等式；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】533：一次函数及其应用；64：几何直观．【分析】（1）将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求得即可．【解答】解：（1）x＝﹣3、0分别代入y＝﹣，得a＝﹣＝﹣，b＝﹣＝﹣6，故答案为﹣，﹣6；画出函数的图象如图：，故答案为﹣，﹣6；（2）根据函数图象：①函数y＝﹣的图象关于y轴对称，说法正确；②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6，说法正确；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误．（3）由图象可知：不等式﹣＜﹣x﹣的解集为x＜﹣4或﹣2＜x＜1．24.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加a%．求a的值．【考点】9A：二元一次方程组的应用；AD：一元二次方程的应用．【专题】523：一元二次方程及应用；69：应用意识．【分析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得到结论；（2）根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意得，，解得：，答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+a%），解得：a＝10，答：a的值为10．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；32：分类讨论；65：数据分析观念．【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，则y＝ax2+bx+2＝a（x+）（x﹣3）＝ax2﹣2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a＝，即可求解；（2）四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD＝×EF×OB+×（x D﹣x C）×BH，即可求解；（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+2，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝2，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，2）；则y＝ax2+bx+2＝a（x+）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣6）＝ax2﹣2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；。

重庆市2021年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1.2的相反数是A.﹣2B.2C.D. 1212-2.计算的结果是63a a ÷A.B.C.D. 63a 52a 62a 53a 3.不等式在数轴上表示正确的是2x ≤A B C D4.如图，△ABC 与△BEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OE=2OB ，则△ABC 与△DEF 的周长之比是A.1：2B.1:4C.1:3D.1:95.如图，四边形ABCD 内接于☉O ，若∠A=80°，则∠C 的度数是A.80° B.100° C.110° D.120°6.-A.7B.C. D. 7.如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B=∠E ，BF=EC ，添加一个条件，不等判断△ABC ≌△DEF 的是A.AB=DEB.∠A=∠DC.AC=DFD.AC ∥FD8.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s 。

甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y （单位：m ）与无人机上升的时间x （单位：s ）之间的关系如图所示.下列说法正确的是A.5s 时，两架无人机都上升了40mB.10s 时，两架无人机的高度差为20mC.乙无人机上升的速度为8m/sD.10s 时，甲无人机距离地面的高度是60m9.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，多点O 做ON ⊥OM ，交CD 于点N.若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为A.1 C.2 D. 10.如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和ND.甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i=1：1.25.若，58ND DE =点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（参考数据：）1.73≈≈A.9.0m B.12.8m C.13.1m D.22.7m11.若关于x 的一元一次不等式组的解集为，且关于y 的分式方程()322225x x a x -≥+⎧⎪⎨-<-⎪⎩6x ≥的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是238211y a y y y+-+=--A.5 B.8 C.12 D.1512.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO=AD.过点A 作AE ⊥CD,垂足为E ，DE=4CE.反比例函数的()0ky x x=>图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF.若，则k 的值为118EOF S = A. B. C.7 D. 73214212二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13.计算：。

重庆市2021年初中毕业暨高中招生考试 题号一 二 三 四 五 总分 总分人 得分参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为〔—b 2a ，4ac —b 4a 〕，对称轴公式为x ＝—b 2a .一、选择题：〔本大题共10个小题，每题4分，共40分〕在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案中，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填表在题后的括号中.1．3的倒数是〔〕A ．13B ．— 13C ．3D ．—32．计算2x 3·x 2的结果是〔〕A ．2xB ．2x 5C ．2x 6D ．x 53．不等式组⎩⎨⎧>≤-62,31x x 的解集为〔〕A ．x ＞3B ．x ≤4C ．3＜x ＜4D ．3＜x ≤44．如图，点B 是△ADC 的边AD 的延长线上一点，DE ∥BC ，假设∠C ＝50°，∠BDE ＝60°，那么∠CDB 的度数等于〔〕A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°5．以下调查中，适宜采用全面调查〔普查〕方式的是〔〕A ．对全国中学生心理健康现状的调查B ．对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查C ．对我市市民实施低碳生活情况的调查D ．以我国首架大型民用直升机各零部件的检查6．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，假设∠ABC ＝70°，那么∠AOC 的度数等于〔〕A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°7．由四个大小相同的正方体组成的几何体如下图，那么它的俯视图是〔〕8．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，那么第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是〔〕A ．图①B ．图②C ．图③D ．图④9．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家。

重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．因式分解的应用（共1小题）1．（2021•重庆）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609是“合和数”．又如∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）＝，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）2．（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．三．二次函数综合题（共3小题）3．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．4．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．5．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A （0，﹣4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．Ⅷ四．作图—复杂作图（共1小题）6．（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD 边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴ ①∵AD∥BC，∴ ②又 ③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得 ④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．五．几何变换综合题（共2小题）7．（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK 所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值．8．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．六．相似形综合题（共1小题）9．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023•重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E 在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？八．频数（率）分布直方图（共1小题）11．（2023•重庆）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？九．整数问题的综合运用（共1小题）12．（2022•重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为数时，求出所有满足条件的M．重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．因式分解的应用（共1小题）1．（2021•重庆）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609是“合和数”．又如∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）＝，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．【答案】（1）168不是“合和数”，621是“合和数”．（2）1224，1221，5624，5616．【解答】解：（1）∵168＝12×14，∵12和14十位数字相同，但个位数字2+4≠10，∴168不是“合和数”．∵621＝23×27，23和27十位数字相同，且个位数字3+7＝10，∴621是“合和数”．（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，∵M的个位数字不为0，且M是一个四位“和合数”，∴3≤m≤9，1≤n≤9，则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，∴P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|．∴G（M）＝＝＝＝4k（k是整数）．∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14，∵k是整数，∴m+5＝8或m+5＝12，①当m+5＝8时，或，∴当m＝3时，n＝6或4，当m＝3时，n＝7或3，∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝36×34＝1224或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝37×33＝1221，②当m+5＝12时，或，∴当m＝7时，n＝6或4，当m＝7时，n＝8或2，∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝76×74＝5624或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝78×72＝5616．综上，满足条件的M有：1224，1221，5624，5616．二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）2．（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．【答案】（1）y＝2x+2，作图见解答过程；（2）﹣2＜x＜0或x＞1；（3）12．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（1，m），B（n，﹣2），∴，n＝，解得m＝4，n＝﹣2，∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，∴，解得，∴一次函数的表达式为y＝2x+2，描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式kx+b＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1；（3）由题意作图如下：由图知△ABC中BC边上的高为6，BC＝4，∴S△ABC＝＝12．三．二次函数综合题（共3小题）3．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；（2）点P的坐标为（2，﹣4），△PDE周长最大值为+8．（3）点M的坐标为（2，﹣4）或（﹣2，12）或（6，12）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1），∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣1；（2）如图1，设直线AB的函数表达式为y＝kx+n，∵A（0，﹣1），B（4，1），∴，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣1，令y＝0，得x﹣1＝0，解得：x＝2，∴C（2，0），设P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，∵点E在直线y＝x﹣1上，PE∥x轴，∴t2﹣t﹣1＝x﹣1，∴x＝2t2﹣7t，∴E（2t2﹣7t，t2﹣t﹣1），∴PE＝t﹣（2t2﹣7t）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，∵PD⊥AB，∴∠AOC＝∠PDE＝90°，又∵PE∥x轴，∴∠OCA＝∠PED，∴△PDE∽△AOC，∵AO＝1，OC＝2，∴AC＝，∴△AOC的周长为3+，令△PDE的周长为l，则＝，∴l＝•[﹣2（t﹣2）2+8]＝﹣（t﹣2）2++8，∴当t＝2时，△PDE周长取得最大值，最大值为+8．此时，点P的坐标为（2，﹣4）．（3）如图2，满足条件的点M坐标为（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x，对称轴为直线x＝2，①若AB是平行四边形的对角线，当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，即MN经过AB的中点C（2，0），∵点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2，∴点M的坐标为（2，﹣4），②若AB是平行四边形的边，Ⅰ．当MN∥AB且MN＝AB时，四边形ABNM是平行四边形，∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2﹣4＝﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，12）；Ⅱ．当NM∥AB且NM＝AB时，四边形ABMN是平行四边形，∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2+4＝6，∴点M的坐标为（6，12）；综上所述，点M的坐标为（2，﹣4）或（﹣2，12）或（6，12）．4．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；（3）点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝﹣x2+x+2＝0，解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED＝，cos∠PED＝，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，则PE＝﹣x2+x+2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2≤2，即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1++）PE＝，即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，则平移后抛物线的对称轴为x＝，设点M（，m），点N（s，t），由点A、P的坐标得，AP2＝18，当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：，解得：，即点N的坐标为：（﹣，）；当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得：或，解得：（不合题意的值已舍去），即点N的坐标为：（，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．5．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．Ⅷ【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；（3）N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得：，∴直线AB解析式为y＝x﹣4，设P（m，m2﹣m﹣4），则PD＝﹣m2+m+4，在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣m﹣4得x＝m2﹣m，∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），∴PC＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，∴PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，PC+PD取最大值，此时m2﹣m﹣4＝×（）2﹣﹣4＝﹣，∴P（，﹣）；答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；（3）∵将抛物线y＝x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝（x+5）2﹣（x+5）﹣4＝x2+4x+，∴新抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣4，在y＝x2+4x+中，令x＝0得y＝，∴F（0，），将P（，﹣）向左平移5个单位得E（﹣，﹣），设M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，∴，∴r2+4r+＝×（）2+4×+＝，∴N（，）；②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，∴，解得r＝﹣，∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，∴N（﹣，）；③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，∴，解得r＝﹣，∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，∴N（﹣，）；综上所述，N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．四．作图—复杂作图（共1小题）6．（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD 边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴　∠A＝∠EFB，　①∵AD∥BC，∴　∠AEB＝∠FBE，　②又　BE＝EB，　③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得　△EDC≌△CFE（AAS），　④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．【答案】①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．【解答】解：根据题意作图如下：由题知，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD，故答案为：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE （AAS）．五．几何变换综合题（共2小题）7．（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK 所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值．【答案】（1）60°；（2）结论：BF+CF＝2CN．（3）．【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，在△BCE和△CBK中，，∴△BCE≌△CBK（SAS），∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，∵CE＝BD，∴BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，∵∠BEC+∠AEF＝180°，∴∠ADF+∠AEF＝180°，∴∠A+∠EFD＝180°，∵∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；（2）结论：BF+CF＝2CN．理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，∵AE＝BD，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BCF＝∠ABE，∴∠FBC+∠BCF＝60°，∴∠BFC＝120°，如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，∴△CNM≌△QNF（SAS），∴FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，∵PB＝PF，∴△PFQ≌△PBC（SAS），∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．证法二：延长MC到P，使得CP＝CM，连接PB，PF，延长FC到Q，使得CQ＝BF．∵FN＝MN，CP＝CM，∴PF＝2CN，∵CB＝CM＝CP，∠BCP＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BCP是等边三角形，∴∠BPC+∠BFC＝180°，∴∠PBF+∠PCF＝180°，∵∠PCQ+∠PCF＝180°，∴∠PBF＝∠PCQ，∴PB＝PC，BF＝CQ，∴△PBF≌△PCQ（SAS），∴PF＝PQ，∠BPF＝∠QPC，∴∠QPF＝∠BPC＝60°，∴△PQF是等边三角形，∴FQ＝CF+CQ＝CF+BF＝2CN；（3）由（2）可知∠BFC＝120°，∴点F的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中），∴P，F，O三点共线时，PF的值最小，此时tan∠APK＝＝，∴∠HPK＞45°，∵QK⊥PF，∴∠PKH＝∠QKH＝45°，如图3﹣2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL＝LK＝2，PL＝，PH＝，KH＝2，∵S△PHK＝•PK•HL＝•KH•PJ，∴PQ＝2PJ＝2×＝2+∴＝＝．8．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．【答案】（1）；（2）AG＝CD，证明过程见解答部分；（3）．【解答】解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，∴FA＝FQ，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴FQ＝CF，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，由旋转知，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝90°，∴∠CBF+∠BEC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF+∠BEC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BEC，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BEC＝∠CFE，∴CF＝CE＝2，∴AF＝FQ＝CF＝；（2）AG＝CD，理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，∵G是BE的中点，∴AG＝ME，∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠DAE＝∠CAM，∴∠DAC＝∠EAM，∵AB＝AM，AB＝AC，∴AC＝AM，∵AD＝AE，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴CD＝EM，∴AG＝CD；（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，∴∠DAE＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，∵∠AEC＝150°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∵∠AEC＝150°，∴∠ABC+∠AEC＝180°，∴点A，B，C，E四点共圆，∴∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，∵AE＝DE，∴AN＝DN，∴BE是AD的垂直平分线，∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，∴∠ACE＝∠ABE＝15°，∴∠DCE＝45°，∵∠DEC＝90°，∴∠EDC＝45°＝∠DCE，∴DE＝CE，∴AD＝DE，设AG＝a，则DG＝a，由（2）知，AG＝CD，∴CD＝2AG＝2a，∴CE＝DE＝CD＝a，∴AD＝a，∴DN＝AD＝a，过点D作DH⊥AC于H，在Rt△DHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a，∴DH＝a，根据勾股定理得，CH＝a，在Rt△AHD中，根据勾股定理得，AH＝＝a，∴AC＝AH+CH＝a+a，∴BD＝a+a，∴＝＝．六．相似形综合题（共1小题）9．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．【答案】（1）AD＝5；（2）证明见解答过程；（3）．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝9，∴BC＝＝3，AB＝2BC＝6∵BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝5；（2）证明：取AB的中点O，连接OC，如图：在Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点，∴OC＝OB，∵∠ABC＝60°，∴△BOC为等边三角形，∴CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，∴∠DOC＝120°，∵△CDE为等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠DCE＝∠OCB＝60°，即∠OCD+∠OCE＝∠OCE+∠BCE，∴∠OCD＝∠BCE，在△OCD和△BCE中，，∴△OCD≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠DOC＝120°，∴∠OCB+∠EBC＝180°，∴OC∥BE，在GF上截取HF＝BF，连接DH，∵点F是DE的中点，∴FE＝FD．在△BEF和△HDF中，，∴△BEF≌△HDF（SAS），∴BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，∴DH∥BE，∴DH∥OC，∴∠HDG＝∠OCD，又∠G＝∠BCE，∴∠G＝∠HDG，∴HG＝HD，∴HG＝BE，∴GF＝HG+FH＝BE+BF；（3）解：取AB的中点S，连接PS，如图：在CD取得最小值时，CD⊥AB，设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a，∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝a，BD＝BC＝a，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝60°﹣30°＝30°＝∠DCB，∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCE（SAS），∴BD＝BE＝a，∵将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，∴BE＝BN＝a，∴N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，∵点P为AN的中点，S为AB的中点，∴PS＝BN＝a，∴P的运动轨迹是以S为圆心，a为半径的圆，当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，如图：∵S是AB中点，∴BS＝AS＝CS＝AB＝2a，∵∠ABC＝60°，∴△BSC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a，∴∠PCA＝30°，∵CP＝CS+PS＝2a+a＝a，∴PT＝CP＝a，CT＝PT＝a，∴AT＝AC﹣CT＝a，连接PQ交NR于W，如图：∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，∴PQ⊥BC，∵AC⊥BC，∴PQ∥AC，即PW∥AR，∵P为AN中点，∴PW是△ANR的中位线，∴NW＝RW＝NR，同理可得PT是△ANR的中位线，∴PT＝NR，∴PT＝NW＝RW＝a，PW＝AR＝AT＝a，∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，∴∠QCB＝∠PCB＝60°，CP＝CQ，∴∠QCP＝120°，∴PQ＝CP＝a，∴WQ＝PQ﹣PW＝a﹣a＝a，∴NQ＝＝＝a，∴＝＝．七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023•重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【答案】（1）AD的长度约为14千米；（2）小明应该选择线路①，理由见解析．【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得：四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝＝＝10≈10×1.41≈14（千米）．∴AD的长度约为14千米；（2）小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，AB＝DF+CD＝24千米，∴AE＝AB•tan30°＝24×＝8（千米），EB＝2AE＝16千米，按路线①A﹣D﹣C﹣B走的路程为AD+DC+CB＝14+14+10＝38（千米）按路线②A﹣E﹣B走的路程为AE+EB＝8+16≈24×1.73＝41.52（千米）∵38千米＜41.52千米，∴小明应该选择线路①．八．频数（率）分布直方图（共1小题）11．（2023•重庆）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝　72　，b＝　70.5　，m＝　10　；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【答案】（1）72，70.5，10；（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由见解答（答案不唯一）；（3）192架．【解答】解：（1）A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a＝72，把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b＝＝70.5，m%＝1﹣50%﹣40%＝10%，即m＝10．故答案为：72，70.5，10；（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；（3）200×+120×（1﹣40%）＝120+72＝192（架），答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．九．整数问题的综合运用（共1小题）12．（2022•重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G（M）＝，P（M）＝．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有满足条件的M．【答案】（1）2022 不是“勾股和数”，5055 是“勾股和数”；（2）8109或8190或4536或4563．【解答】解：（1）∵22+22＝8，8≠20，∴2022 不是“勾股和数”，∵52+52＝50，∴5055 是“勾股和数”；（2）∵M为“勾股和数”，∴10a+b＝c2+d2，∴0＜c2+d2＜100，∵G（M）为整数，为整数，∴c+d＝9，∴P（M）＝＝为整数，∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，∴cd为3的倍数．∴①c＝0，d＝9或c＝9，d＝0，此时M＝8109或8190；②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．。

重庆市2020 年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）注意事项：（全卷共四个大题，满分150 分，考试时间120 分钟）1．试题的答案书写在答．题．卡．上，不得在试卷上直接作答；2．作答前认真阅读答．题．卡．上的注意事项；3．作图（包括辅助线）请一律用黑．色．2．B．铅笔完成；4．考试结束，由监考人员将试题卷和答．题．卡．一并收回．2 ⎛ b 4ac -b2 ⎫ b参考公式：抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的顶点坐标为 -,⎪，对称轴为x =-．⎝2a 4a ⎭2a一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答．题．卡．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．下列各数中，最小的数是A．-3【答案】A．B．0 C．1 D．2【解析】-3 < 0 < 1 < 2 ，故选A．2．下列图形是轴对称图形的是A． B． C．D．【答案】A．【解析】答案BCD 不是轴对称图形，故选A．3．在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”，其中数据26000用科学记数法表示为A．26 ⨯103【答案】C．B．2.6 ⨯103C．2.6 ⨯104D．0.26 ⨯105【解析】26000 = 2.6 ⨯104 ，故选C．4．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1 个黑色三角形，第②个图案中有3 个黑色三角形，第③个图案中有6 个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为A．10 B．15 C．18 D．21【答案】B．【解析】第①个图案有1个黑色三角形；第②个图案有1 + 2 = 3 个黑色三角形；第③个图案有51 +2 +3 = 6 黑色三角形；故第⑤个图案有1 + 2 + 3 +4 +5 = 15 个黑色三角形，故选 B ．5．如图， AB 是 O 的切线， A 为切点，连接OA 、OB ，若∠B = 20︒ ，则∠AOB 的度数为A ． 40︒B ． 50︒C ． 60︒D ． 70︒【答案】D ．【解析】由题， AB 是 O 的切线， A 为切点，故OA ⊥ AB ，在Rt △AOB 中，因为∠B = 20︒ ， 所以 ∠AOB = 70︒ ，故选 D ． 6．下列计算中，正确的是A ． 2 + 3 = 5B ． 2 + 2 = 2 2C ． 2 ⨯ 3 = 【答案】C ． 【解析】略．6 D ． 2 3 - 2 = 37．解一元一次方程 1 (x + 1) = 1 - 1x 时，去分母正确的是2 3A ． 3(x + 1) = 1 - 2x C ． 2 (x + 1) = 6 - 3x 【答案】D ． 【解析】略．B ． 2 (x + 1) = 1 - 3x D ．3(x + 1) = 6 - 2x 8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是 A (1, 2)， B (1,1)，C (3,1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为 2 :1 ，则线段 DF 的长度为A ．B ． 2C ． 4D ． 2【答案】D ．55 ⎨ ⎩ 【解析】在△ABC 中，由 A (1, 2)，B (1,1)，C (3,1)，则 AB = 1 ，BC = 2 ，由勾股定理得 AC = ，又因为△DEF 与△ABC 相似比为 2 :1 ，则 DF = 2AC = 2 ，故选 D ．9．如图，在距某居民楼 AB 楼底 B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个ft 坡，ft 坡CD 的坡度（或坡比） i = 1: 0.75 ，ft 坡坡底C 点到坡顶 D 点的距离CD = 45m ，在坡顶 D 点处测得居民楼楼顶 A 点的仰角为 28︒，居民楼 AB 与ft 坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼 AB 的高度约为 （参考数据： sin 28︒ ≈ 0.47 ， cos 28︒ ≈ 0.88 ， tan 28︒ ≈ 0.53 ） A ． 76.9m B ． 82.1m C ． 94.8m D ．112.6m【答案】B ．【解析】如图，故点 D 作 DP ⊥ BC 交 BC 延长线与点 P ， 过点 D 作 DQ ⊥ AB 交 AB 于点 Q ， 因为ft 坡 CD 的坡度 i = 1: 0.75 ，且 CD = 45m ，故在 Rt △PCD 中， CP = 27 ， QB = DP = 36 ，则 DQ = PB = PC + CB = 87 ；又在 Rt △ADQ中 ， ∠ADQ = 28︒ ， 故 tan 28︒ =AQ= 0.53 DQ， 所 以AQ ≈ 0.53DQ = 46.11 ，故 AB = AQ + QB = 82.11，故选 B ．⎧3x -1≤ x + 310 ． 若 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 组 ⎪2的 解 集 为 x ≤ a ； 且 关 于 y 的 分 式 方 程⎩⎪x ≤ ay - a + 3y - 4= 1有正整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之积是 y - 2 y - 2A ． 7B ． -14【答案】A ．C ． 28D ． -56【解析】解不等式组得 ⎧x ≤ 7 ，因为不等式组的解集为 x ≤ a ，所以 a ≤ 7 ；解分式方程得 y = 2 + a，⎨x ≤ a3因为 y ≠ 2 ，故 a ≠ 4 ，又分式方程有正整数解，故满足条件的整数 a 有7 ，1，因此所有满足条件的整数 a 的值之积是7 ⨯1 = 7 ，故选 A ．11．如图，三角形纸片 ABC ，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD ，把△ABD 沿着 AD 翻折，得到△AED ，DE 与 AC 交于点G ，连接 BE 交 AD 于点 F ，若 DG = GE ， AF = 3 ， BF = 2 ，△ADG 的面积 为 2，则点 F 到 BC 的距离为 A ． 55 【答案】B ．B ． 2 55C ． 4 55D ． 4 33【解析】如图，过点 F 作 FH ⊥ BC 于点 H ，由翻折对称性可知 AD ⊥ BE ，且 AD 平分 BE ，因 此 EF = BF = 2 ，又因为 DG = GE ，△ADG 的面积为2，所以△ADE 的面积为 4 ，即 1AD ⋅ EF = 4 ，2552 55⎝⎭所以AD = 4 ，由AF = 3 ，则DF =1，所以BD =，故S△BDF=1BF ⋅DF =1BD ⋅FH2 2，解得FH =，故选B．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE ，若AD 平分∠OAE ，反比例函数y =k (k > 0, x > 0)的图象经过AE 上的两点A 、xF ，且AF =EF ，△ABE 的面积是18，则k 的值为A．6 B．12 C．18 ．24【答案】B．【解析】如图，连接BD ，过点A 作AM ⊥x 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于点N ，由AD 平分∠OAE ，则BD∥AE ，故S△AOE=S△ABE= 18 ，1 ⎛k ⎫因为AF =EF ，则SAMNF=S△AOF=2S△AOE= 9 ，不妨设点A a,a ⎪⎛k ⎫ 1 ⎛k k ⎫则A 2a,2a ⎪，故SAMNF=2 2a+a ⎪(2a -a )= 9 ，解得k = 12 ，⎝⎭⎝⎭故选B．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．13．计算(π-1)0 +-2=．【答案】3．【解析】原式= 1 + 2 = 3 ，14．一个多边形的内角和等于它的外角和的2 倍，则这个多边形的边数是．【答案】6 ．【解析】外角和为360︒，所以内角和为(n - 2) ⨯180︒= 720︒，故n = 6 ．15．现有四张正面分别标有数字-1，1，2，3 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m ，n ，则点P (m, n)在第二象限的概率为．【答案】3．16【解析】共有(-1, -1) ，(-1,1) ，(-1, 2) ，(-1, 3) ，(1, -1) ，(1,1) ，(1, 2) ，(1, 3) ，(2, -1) ，(2,1) ，(2, 2) ，(2, 3) ，(3, -1) ，(3,1) ，(3, 2) ，(3, 3) 共16 种情况．其中在二象限的有(-1,1) ，(-1, 2) ，(-1, 3)共3种情况。

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中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点:一、实数的分类:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp 的形式,其中p 、q 是互质的整数,这是有理数的重要特征. 2、无理数：初中遇到的无理数有三种:开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1。

101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类一．规律型：图形的变化类（共2小题）1．（2023•重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）A．39B．44C．49D．54 2．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）A．32B．34C．37D．41二．整式的加减（共2小题）3．（2023•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．34．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号（x，y，z，m，n均不为零），加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x ﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3三．分式方程的解（共2小题）5．（2022•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程＝﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．﹣26B．﹣24C．﹣15D．﹣13 6．（2021•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．5B．8C．12D．15四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）7．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若S△EOF＝，则k的值为（ ）A ．B ．C ．7D ．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）8．（2023•重庆）反比例函数y ＝﹣的图象一定经过的点是（ ）A ．（1，4）B ．（﹣1，﹣4）C ．（﹣2，2）D ．（2，2）六．正方形的性质（共3小题）9．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，∠EAF ＝45°．若∠BAE ＝α，则∠FEC 一定等于（ ）A ．2αB ．90°﹣2αC ．45°﹣αD ．90°﹣α10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD 中，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，点F 是边AB 上一点，连接DF ，若BE ＝AF ，则∠CDF 的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．67.5°D ．77.5°11．（2021•重庆）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 作ON ⊥OM ，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为（ ）A ．1B ．C ．2D ．2七．圆内接四边形的性质（共1小题）12．（2021•重庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）A．80°B．100°C．110°D．120°八．切线的性质（共1小题）13．（2022•重庆）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是（ ）A．3B．4C．3D．4重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．规律型：图形的变化类（共2小题）1．（2023•重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）A．39B．44C．49D．54【答案】B【解答】解：由图可得，图案①有：4+5＝9根小木棒，图案②有：4+5×2＝14根小木棒，图案③有：4+5×3＝19根小木棒，…，∴第n个图案有：（4+5n）根小木棒，∴第⑧个图案有：4+5×8＝44根小木棒，故选：B．2．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）A．32B．34C．37D．41【答案】C【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，…，第n个图案中有（4n+1）个正方形，∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，故选：C．二．整式的加减（共2小题）3．（2023•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．4．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号（x，y，z，m，n均不为零），加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x ﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，故①正确；②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，∴2×2×2＝8种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D．三．分式方程的解（共2小题）5．（2022•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程＝﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．﹣26B．﹣24C．﹣15D．﹣13【答案】D【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x≤﹣2，∴＞﹣2，∴a＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y是负整数且y≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D．6．（2021•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．5B．8C．12D．15【答案】B【解答】解：，解不等式①得：x≥6，解不等式②得：x＞，∵不等式组的解集为x≥6，∴6，∴a＜7；分式方程两边都乘（y﹣1）得：y+2a﹣3y+8＝2（y﹣1），解得：y＝，∵方程的解是正整数，∴＞0，∴a＞﹣5；∵y﹣1≠0，∴1，∴a≠﹣3，∴﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，∴能使是正整数的a是：﹣1，1，3，5，∴和为8，故选：B．四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）7．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若S△EOF＝，则k的值为（ ）A．B．C．7D．【答案】A【解答】解：延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，如图，∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，∴AG⊥x轴．∵AO⊥AD，∴∠DAE+∠OAG＝90°．∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠D＝90°．∴∠D＝∠OAG．在△DAE和△AOG中，．∴△DAE≌△AOG（AAS）．∴DE＝AG，AE＝OG．∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，∴AD＝CD＝DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a．∴OG＝AE＝．∴EG＝AE+AG＝7a．∴E（3a，7a）．∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，∴k＝21a2．∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG，∴四边形AGHF为矩形．∴HF＝AG＝4a．∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴x＝．∴F（）．∴OH＝a，FH＝4a．∴GH＝OH﹣OG＝．∵S△OEF＝S△OEG+S梯形EGHF﹣S△OFH，S△EOF＝，∴．××﹣＝．解得：a2＝．∴k＝21a2＝21×＝．故选：A．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）8．（2023•重庆）反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（ ）A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）【答案】C【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，∴k＝﹣4，A、∵1×4＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；B、∵﹣1×（﹣4）＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵﹣2×2＝﹣4，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；D、∵2×2＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．故选：C．六．正方形的性质（共3小题）9．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（ ）A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣αD．90°﹣α【答案】A【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，如图所示：则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，故选：A．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB 上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ ）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．11．（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）A．1B．C．2D．2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，∴△DOC的面积是1，∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故选：C．七．圆内接四边形的性质（共1小题）12．（2021•重庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）A．80°B．100°C．110°D．120°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝80°，∴∠C＝100°，故选：B．八．切线的性质（共1小题）13．（2022•重庆）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是（ ）A．3B．4C．3D．4【答案】C【解答】解：如图，连接OB，∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，∴AB2＝OA2﹣OB2，∵OB和OD是半径，∴∠D＝∠OBD，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB＝BD，∴OD：BD＝BD：AD，∴BD2＝OD•AD，即OA2﹣OB2＝OD•AD，设OD＝x，∵AC＝3，∴AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，∴（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），解得x＝3（负值舍去），∴OA＝6，OB＝3，∴AB2＝OA2﹣OB2＝27，∴AB＝3，故选：C．。

重庆市中考数学试题（一）（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,)24b ac b a a --（，对称轴为2b x a=-.一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，期中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。

1．在—4，0，—1，3这四个数中，最大的数是（ ） A. —4 B. 0 C. —1 D. 3 2．下列图形是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D 3．化简12的结果是（ ）A. 43B. 23C. 32D. 26 4．计算()32a b 的结果是（ ）A. 63a bB. 23a bC. 53a bD. 6a b5．下列调查中，最适合用普查方式的是（ ） A. 调查一批电视机的使用寿命情况B. 调查某中学九年级一班学生视力情况C. 调查重庆市初中学生锻炼所用的时间情况D. 调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况 6．如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别与直线AB,CD 相交于点G ，H 。

若∠1=135°，则∠2的度数为（ ） A. 65° B. 55° C. 45° D. 35°7．在某校九年级二班组织的跳绳比赛中，第一小组五位同学跳绳的个数分别为198,230,220,216,209，则这五个数据的中位数为（ ）A.220B. 218C. 216D. 209 8．一元二次方程220x x -=的根是（ ） A.120,2x x ==- B. 121,2x x == C. 121,2x x ==- D. 120,2x x == 9．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，AE 是O 的切线，A 为切点，连接BC 并延长交AE 于点D ，若∠AOC=80°，则∠ADB 的度数为（ ）6题图9题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 20°10．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中， 中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为ｔ（分钟）， 所走的路程为ｓ（米），ｓ与ｔ之间的函数关系如图所示， 下列说法错误的是（ ） A ．小明中途休息用了20分钟B ．小明休息前爬上的速度为每分钟70米C ．小明在上述过程中所走的路程为6600米D ．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度11．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，．．．，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）① ② ③ A. 21 B. 24 C. 27 D. 3012．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A,B 两点的纵坐标分别为3,1，反比例函数3y x=的图像经过A,B 两点，则菱形对ABCD 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 22 D. 42二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 13．我国“南仓”级远洋综合补给舰满载排水量为37000吨，把数37000用科学记数法表示为 。

2024年重庆市中考数学真题试卷(A 卷)(全卷共三个大题,满分150分,考试时间120分钟)一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出代号为A,B,C,D 的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑．1.下列四个数中,最小的数是()A.2- B.0C.3D.12-2.下列四种化学仪器的示意图中,是轴对称图形的是()A. B.C. D.3.已知点()3,2-在反比例函数()0ky k x=≠的图象上,则k 的值为()A.3- B.3C.6-D.64.如图,AB CD ∥,165∠=︒,则2∠的度数是()5.若两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是()A.1:3B.1:4C.1:6D.1:96.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质,下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子,第2种如图②有6个氢原子,第3种如图③有8个氢原子,……按照这一规律,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是()A.20B.22C.24D.267.已知m =,则实数m 的范围是()A.23m <<B.34m <<C.45m << D.56m <<8.如图,在矩形ABCD 中,分别以点A 和C 为圆心,AD 长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点．若4=AD ,则图中阴影部分的面积为()A.328π-B.4πC.324π- D.8π9.如图,在正方形ABCD 的边CD 上有一点E ,连接AE ,把AE 绕点E 逆时针旋转90︒,得到FE ,连接CF 并延长与AB 的延长线交于点G ．则FG CE的值为()C.322D.33210.已知整式1110:nn n n M a x a x a x a --++++ ,其中10,,,n n a a - 为自然数,n a 为正整数,且1105n n n a a a a -+++++= ．下列说法①满足条件的整式M 中有5个单项式②不存在任何一个n ,使得满足条件的整式M 有且只有3个③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3二、填空题:(本大题8个小题,每小题4分,共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.计算:011(3)()2π--+＝_____．12.如果一个多边形的每一个外角都是40︒,那么这个多边形的边数为______．13.重庆是一座魔幻都市,有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游,两人分别从A ,B ,C 三个景点中随机选择一个景点游览,甲、乙两人同时选择景点B 的概率为_____．14.随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元,2023年缴税48.4万元,该公司这两年缴税的年平均增长率是______．15.如图,在ABC ∆中,延长AC 至点D ,使CD CA =,过点D 作DE CB ∥,且DE DC =,连接AE 交BC 于点F ．若CAB CFA ∠=∠,1CF =,则BF =______．16.若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解,且关于y 的分式方程13211a y y-=---的解为非负整数,则所有满足条件的整数a 的值之和为______．17.如图,以AB 为直径的O 与AC 相切于点A ,以AC 为边作平行四边形ACDE ,点D ,E 均在O 上,DE 与AB 交于点F ,连接CE ,与O 交于点G ,连接DG ．若10,8AB DE ==,则AF =______．DG =______．18.我们规定:若一个正整数A 能写成2m n -,其中m 与n 都是两位数,且m 与n 的十位数字相同,个位数字之和为8,则称A 为“方减数”,并把A 分解成2m n -的过程,称为“方减分解”．例如:因为26022523=-,25与23的十位数字相同,个位数字5与3的和为8,所以602是“方减数”,602分解成26022523=-的过程就是“方减分解”．按照这个规定,最小的“方减数”是______．把一个“方减数”A 进行“方减分解”,即2A m n =-,将m 放在n 的左边组成一个新的四位数B ,若B 除以19余数为1,且22m n k +=(k 为整数),则满足条件的正整数A 为______．三、解答题:(本大题8个小题,第19题8分,其余每小题10分,共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算(1)()()22x x y x y -++(2)22111a a a a-⎛⎫+÷ ⎪+⎝⎭．20.为了解学生的安全知识掌握情况,某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分(成绩得分用x表示,共分成四组:A ．6070x <≤;B ．7080x <≤;C ．8090x <≤;D ．90100x <≤),下面给出了部分信息七年级20名学生的竞赛成绩为66,67,68,68,75,83,84,86,86,8686,87,87,89,95,95,96,98,98,100.八年级20名学生的竞赛成绩在C 组的数据是:81,82,84,87,88,89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8585中位数86b众数a79根据以上信息,解答下列问题(1)上述图表中=a ______,b =______,m =______(2)根据以上数据分析,你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)(3)该校七年级有400名学生,八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛,估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数是多少？21.在学习了矩形与菱形的相关知识后,小明同学进行了更深入的研究,他发现,过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路,完成以下作图与填空(1)如图,在矩形ABCD 中,点O 是对角线AC 的中点．用尺规过点O 作AC 的垂线,分别交AB ,CD 于点E ,F ,连接AF ,CE ．(不写作法,保留作图痕迹)(2)已知:矩形ABCD ,点E ,F 分别在AB ,CD 上,EF 经过对角线AC 的中点O ,且EF AC ⊥．求证:四边形AECF 是菱形．证明:∵四边形ABCD 是矩形∴AB CD ．∴①,OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点∴②．∴CFO AEO ≅△△(AAS )．∴③．又∵OA OC=∴四边形AECF 是平行四边形．∵EFAC⊥∴四边形AECF 是菱形．进一步思考,如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述,写出你猜想的结论:④．22.为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算,购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元,用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备？23.如图,在ABC 中,6AB =,8BC =,点P 为AB 上一点,过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ,点P ,Q 的距离为1y ,ABC 的周长与APQ △的周长之比为2y ．(1)请直接写出1y ,2y 分别关于x 的函数表达式,并注明自变量x 的取值范围(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ,2y 的图象;请分别写出函数1y ,2y 的一条性质(3)结合函数图象,直接写出12y y >时x 的取值范围．(近似值保留一位小数,误差不超过0.2)24.如图,甲、乙两艘货轮同时从A 港出发,分别向B ,D 两港运送物资,最后到达A 港正东方向的C 港装运新的物资．甲货轮沿A 港的东南方向航行40海里后到达B 港,再沿北偏东60︒方向航行一定距离到达C 港．乙货轮沿A 港的北偏东60︒方向航行一定距离到达D 港,再沿南偏东30︒方向航行一定距离到达C 港．(参考数1.41≈ 1.73≈2.45≈)(1)求A ,C 两港之间的距离(结果保留小数点后一位)(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B 、D 两港的时间相同),哪艘货轮先到达C 港？请通过计算说明．25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-,与y 轴交于点C ,与x 轴交于A B ，两点(A 在B 的左侧),连接tan 4AC BC CBA ∠=，，．(1)求抛物线的表达式(2)点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点,过点P 作PE x ⊥轴,垂足为E ,交AC 于点D ．点M 是线段DE 上一动点,MN y ⊥轴,垂足为N ,点F 为线段BC 的中点,连接AM NF ，．当线段PD 长度取得最大值时,求AM MN NF ++的最小值(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移,使得新抛物线经过(2)中线段PD 长度取得最大值时的点D ,且与直线AC 相交于另一点K ．点Q 为新抛物线上的一个动点,当QDK ACB ∠∠=时,直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．26.在ABC 中,AB AC =,点D 是BC 边上一点(点D 不与端点重合)．点D 关于直线AB 的对称点为点E ,连接,AD DE ．在直线AD 上取一点F ,使EFD BAC ∠∠=,直线EF 与直线AC 交于点G ．(1)如图1,若60,,BAC BD CD BAD α∠=︒<∠=,求AGE ∠的度数(用含α的代数式表示)(2)如图1,若60,BAC BD CD ∠=︒<,用等式表示线段CG 与DE 之间的数量关系,并证明(3)如图2,若90BAC ∠=︒,点D 从点B 移动到点C 的过程中,连接AE ,当AEG △为等腰三角形时,请直接写出此时CG AG的值．2024年重庆市中考数学真题试卷(A 卷)答案解析一、选择题．1.A2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 【解析】解:∵2733332312m =-=-==∵3124<<∴34m <<故选:B ．8.D 【解析】解:连接AC根据题意可得28AC AD ==∵矩形ABCD ,∴4AD BC ==,90ABC ∠=︒在Rt ABC △中,2243AB AC BC =-=∴图中阴影部分的面积2904443238360ππ⨯=⨯⨯=．故选:D ．9.A【解析】解:过点F 作DC 延长线的垂线,垂足为点H ,则90H ∠=︒由旋转得,90EA EF AEF =∠=︒∵四边形ABCD 是正方形∴90D Ð=°,DC AB ∥,DA DC BC ==,设1DA DC BC ===∴D H∠=∠∵12AEH AEF D∠=∠+∠=∠+∠∴12∠=∠∴ADE EHF≌∴DE HF =,1AD EH ==,设DE HF x==则1CE DC DE x=-=-∴()11CH EH EC x x=-=--=∴HF CH x ==,而90H ∠=︒∴45HCF ∠=︒∴2sin 45HF CF ==︒∵DC AB∥∴45HCF G ∠=∠=︒同理可求22CG BC ==∴)2221FG CG CF x x =-==-∴)2121x FG CE x-==-故选:A ．10.D【解析】解:∵10,,,n n a a - 为自然数,n a 为正整数,且1105n n n a a a a -+++++= ∴04n ≤≤当4n =时,则2104345a a a a a +++++=∴41a =,23100a a a a ====满足条件的整式有4x 当3n =时,则210335a a a a ++++=∴()()3210,,,2,0,0,0a a a a =,()1,1,0,0,()1,0,1,0,()1,0,0,1满足条件的整式有:32x ,32x x +,3x x +,31x +当2n =时,则21025a a a +++=∴()()210,,3,0,0a a a =,()2,1,0,()2,0,1,()1,2,0,()1,0,2,()1,1,1满足条件的整式有:23x ,22x x +,221x +,22x x +,22x +,21x x ++当1n =时,则1015a a ++=∴()()10,4,0a a =,()3,1,()1,3,()2,2满足条件的整式有:4x ,31x +,3x +,22x +当0n =时,005a +=满足条件的整式有:5∴满足条件的单项式有:4x ,32x ,23x ,4x ,5,故①符合题意不存在任何一个n ,使得满足条件的整式M 有且只有3个;故②符合题意满足条件的整式M 共有1464116++++=个．故③符合题意故选D二、填空题．11.312.913.19【解析】解:画树状图如下由图可知,共有9种等可能的情况,其中甲、乙两人同时选择景点B 的情况有1种∴甲、乙两人同时选择景点B 的的概率为19故答案为:19．14.10%【解析】解:设平均增长率为x ,由题意得()240148.4x +=解得:10.110%x ==,2 2.1x =-(不符合题意,舍去)故答案为:10%．15.3【解析】解:∵CD CA =,过点D 作DE CB ∥,CD CA =,DE DC =∴1FA CA FE CD ==,CD CA DE ==∴AF EF=∴22DE CD AC CF ====∴4AD AC CD =+=∵DE CB∥∴CFA E ∠∠=,ACB D∠∠=∵CAB CFA∠=∠∴CAB E∠∠=∵CD CA =,DE CD=∴CA DE=∴CAB DEA≌∴4BC AD ==∴3BF BC CF =-=故答案为:316.16【解析】解:()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩①②,解①得:4x <解②得:23a x -≥ 关于x 的一元一次不等式组至少有两个整数解∴223a -≤解得8a ≤解方程13211a y y -=---,得22a y -= 关于y 的分式方程的解为非负整数∴202a -≥且212a -≠,2a -是偶数解得2a ≥且4a ≠,a 是偶数∴28a ≤≤且4a ≠,a 是偶数则所有满足条件的整数a 的值之和是26816++=故答案为:16．17.①.8②.13【解析】解:连接DO 并延长,交O 于点H ,连接GH ,设CE ,AB 交于点M,如图所示∵以AB 为直径的O 与AC 相切于点A∴AB AC⊥∴90CAB ∠=︒∵四边形ACDE 为平行四边形∴∥DE AC ,8AC DE ==∴90BFD CAB ==︒∠∠∴AB DE⊥∴142DF EF DE ===∵10AB =∴152DO BO AO AB ====∴3OF ==∴538AF OA OF =+=+=∵∥DE AC∴EFM CAM∽∴EF FM AC AM=∴48FM AF FM=-即488FM FM=-解得:83FM =∴4133EM ===∵DH 为直径∴90DGH ∠=︒∴DGH EFM∠=∠∵ DGDG =∴DEG DHG=∠∠∴EFM HGD∽∴FM EM DG DH=即84133310DG =解得:201313DG =．故答案为:8;201313．18.①.82②.4564【解析】①设10m a b =+,则108n a b =+-(19a ≤≤,08b ≤≤)由题意得:()()2210108m n a b a b -=+-+-∵19a ≤≤,“方减数”最小∴1a =则10mb =+,18n b=-∴()()2222101810020188221m n b b b b b b b-=+--=++-+=++则当0b =时,2m n -最小,为82故答案为:82②设10m a b =+,则108n a b =+-(19a ≤≤,08b ≤≤)∴10001001081010998B a b a b a b =+++-=++∵B 除以19余数为1∴1010997a b ++能被19整除∴134********B a b a b -++=++为整数又22m n k +=(k 为整数)∴()210108308a b a b a b +++-=++是完全平方数∵19a ≤≤,08b ≤≤∴308a b ++最小为49,最大为256即716k ≤≤设34719a b t ++=,t 为正整数则13t ≤≤当1t =时,3412a b +=,则334b a =-,则330830384a b a a ++=+-+是完全平方数,又19a ≤≤,08b ≤≤,无整数解当2t =时,3431a b +=,则3134a b -=,则3133083084a a b a -++=++是完全平方数,又19a ≤≤,08b ≤≤,无整数解当3t =时,3450a b +=,则5034a b -=,则5033083084a ab a -++=++是完全平方数经检验,当6,8a b ==时,3473648757193a b ++=⨯+⨯+==⨯,23068819614⨯++==,3,14t k ==∴68,60m n ==∴268604564A =-=故答案为:82,4564．三、解答题．19.(1)222x y +(2)11a a +-．20.(1)86，87.5，40；(2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；(3)该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人．21.(1)见解析(2)①OFC OEA ∠=∠;②OA OC =;③OF OE =;④四边形AECF 是菱形【小问1详解】解:如图所示,即为所求【小问2详解】证明:∵四边形ABCD 是矩形∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠,OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC=∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC⊥∴四边形AECF 是菱形．猜想:过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形证明:∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠,OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC=∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC⊥∴四边形AECF 是菱形．故答案为:①OFC OEA ∠=∠;②OA OC =;③OF OE =;④四边形AECF 是菱形．22.(1)该企业甲类生产线有10条,则乙类生产线各有20条(2)需要更新设备费用为1330万元【小问1详解】解:设该企业甲类生产线有x 条,则乙类生产线各有()30x -条,则()323070x x +-=解得:10x =则3020x -=答:该企业甲类生产线有10条,则乙类生产线各有20条【小问2详解】解:设购买更新1条甲类生产线的设备为m 万元,则购买更新1条乙类生产线的设备为()5m -万元,则2001805m m =-解得:50m =经检验:50m =是原方程的根,且符合题意则545m -=则还需要更新设备费用为10502045701330⨯+⨯-=(万元)23.(1)()()124606063y x x y x x=<≤=<≤，(2)函数图象见解析,1y 随x 增大而增大,2y 随x 增大而减小(3)2.26x <≤【小问1详解】解:∵PQ BC∥∴APQ ABC∽∴APQABC C PQ AP C BC AB==△△∴12686y x AB y AP x ===∴()()124606063y x x y x x =<≤=<≤，【小问2详解】解:如图所示,即为所求由函数图象可知,1y 随x 增大而增大,2y 随x 增大而减小【小问3详解】解:由函数图象可知,当12y y >时x 的取值范围2.26x <≤．24.(1)A ,C 两港之间的距离77.2海里(2)甲货轮先到达C 港．【小问1详解】如图,过B 作BE AC ⊥于点E∴90AEB CEB ∠=∠=︒由题意可知:45GAB ∠=︒,60EBC ∠=︒∴45BAE ∠=︒∴cos 40cos 45202AE AB BAE =∠=⨯︒=∴tan 260236CE BE EBC =∠=︒=⨯∴2026201.4120 2.4577.2AC AE CE =+=⨯+⨯≈(海里)∴A ,C 两港之间的距离77.2海里【小问2详解】由(1)得:45BAE ∠=︒,60EBC ∠=︒,77.2AC =∴sin 40sin 45202BE AB BAE =∠=⨯︒=∴20220256.41cos cos 602BE BC EBC ====≈∠︒由题意得:60ADF ∠=︒,30CDF ∠=︒∴90ADC ∠=︒∴1177.238.622CD AC ==⨯=, 1.73cos3077.266.82AD AC =︒=⨯≈(海里)∴甲行驶路程为:4056.496.4AB BC +=+=(海里),乙行驶路程为:66.838.6105.4AD CD +=+=(海里)∵96.4105.4<,且甲、乙速度相同∴甲货轮先到达C 港．25.(1)234y x x =--+(2)AM MN NF ++的最小值为4122+(3)符合条件的点Q 的坐标为()1,2--或1943,416⎛⎫-⎪⎝⎭．【小问1详解】解:令0x =,则4y =∴()0,4C ∴4OC =∵tan 4CBA ∠=∴4OC OB=∴1OB =∴()1,0B 将()1,0B 和()1,6-代入24y ax bx =++得6404a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得13a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的表达式为234y x x =--+【小问2详解】解:令0y =,则2034x x =--+解得4x =-或1x =∴()4,0A -设直线AC 的解析式为4y mx =+代入()4,0A -,得044m =-+解得1m =∴直线AC 的解析式为4y x =+设()2,34P p p p --+(40p -<<),则(),4D p p +∴()()2234424PD p p p p =--+-+=-++∵10-<∴当2p =-时,PD 最大,此时()2,6P -∴2AE =,2MN OE ==,()2,0E -∴AE MN =,AE MN∥连接EN∴四边形AMNE 是平行四边形∴AM EN=∴AM MN NF EN MN NF MN EF++=++≥+∴当E N F 、、共线时,EF 取最小值,即AM MN NF ++取最小值∵点F 为线段BC 的中点∴1,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴2EF ==∴AM MN NF ++的最小值为4122+【小问3详解】解:由(2)得点D 的横坐标为2-,代入4y x =+,得2y =∴()2,2D -∴新抛物线由234y x x =--+向左平移2个单位,向下平移2个单位得到∴()()222324278y x x x x =-+-++-=---'过点D 作1DQ BC ∥交抛物线y '于点1Q ∴1Q DK BCA∠=∠同理求得直线BC 的解析式为44y x =-+∵1DQ BC∥∴直线1DQ 的解析式为46y x =--联立得28476x x x =-----解得11x =-,22x =-当=1x -时,=2y -∴()11,2Q --作1DQ 关于直线AC 的对称线得2DQ 交抛物线y '于点2Q ∴21Q DK Q DK BCA∠=∠=∠设1DQ 交x 轴于点G由旋转的性质得到DG DG '=过点D 作DR x ∥轴,作DH x ⊥轴于点H ,作G H DR ''⊥于点H '当0y =时,046x =--解得32x =-∴3,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵()4,0A -,()0,4C ∴OA OC=∴45OAC OCA ∠=∠=︒∵DR x ∥轴∴45RDA DAH ADH ∠=∠=∠=︒∴G DH GDH''∠=∠∵90G H D GHD ∠=∠=''︒,DG DG '=∴GD H GDH''≌△△∴31222G H GH ''==-=,2DH DH '==∴54,2G ⎛⎫- ⎪⎝⎭'同理直线2DQ 的解析式为4213=-+y x 联立2134278x x x =--+--解得2x =-或194x =-当194x =-时,11934344216y ⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭∴21943,416Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上,符合条件的点Q 的坐标为()1,2--或1943,416⎛⎫-⎪⎝⎭．26.(1)60α︒+(2)CG =(3)12或352+【小问1详解】解:如图∵EFD BAC ∠∠=,60BAC ∠=︒∴60EFD ∠=︒∵11EFD BAD α∠=∠+∠=∠+∴160α∠=︒-∵1180AGE BAC ∠+∠+∠=︒∴1806011201AGE ∠=︒-︒-∠=︒-∠∴()1206060AGE αα∠=︒-︒-=︒+【小问2详解】解:CG =在CG 上截取CM BD =,连接,,BM BE AE ,BM 交AD 于点H ,∵,60AB AC BAC =∠=︒∴BCA V 为等边三角形∴60,ABC C BC AB ∠=∠=︒=∴ABD BCM△≌△∴3=4∠∠∵35AHM ∠=∠+∠∴4560AHM ∠=∠+∠=︒∵60EFD BAC ∠=∠=︒∴AHM EFD∠=∠∴EG BM∥∵点D 关于直线AB 的对称点为点E ∴,,60AE AD BE BD ABE ABC ==∠=∠=︒∴120EBC ∠=︒∴180EBC C ∠+∠=︒∴EB AC∥∴四边形EBMG 是平行四边形∴BE GM=∴BE GM BD CM ===∴2CG BD=记AB 与DE 的交点为点N 则由轴对称可知:DE AB ⊥,NE ND=∴Rt DNB 中,sin 2DN BD ABC =⋅∠=∴2DE DN ==∴CG DE ==∴CG =【小问3详解】解:连接BE ,记AB 与DE 的交点为点N∵,90AB AC EFD BAC =∠=∠=︒∴=45ABC ∠︒由轴对称知,45,,EAB DAB EBA DBA DE AB NE ND ∠=∠∠=∠=︒⊥=当点G 在边AC 上时,由于90EAG ∠>︒∴当AEG △为等腰三角形时,只能是AE AG =同(1)方法得BAD ∠=α,AGE α∠=∴EAB α∠=∴2∠=EAD α∵,AE AG EG AD=⊥∴2FAG EAD α∠=∠=∴Rt AFG △中,290αα+=︒,解得30α=︒∴60EAD ∠=︒,而AE AD =∴AED △为等边三角形∴AE ED=设AF x=∵60EAD ∠=︒∴2cos 60AF AG AE ED x ====︒∴DN x =∴在Rt DAN △中,tan DN AN DAB ===∠∵,45DE AB ABC ⊥∠=︒∴tan 45DN BN DN x ===︒∴AC AB x ==+∴)21CG AC AG x x x =-=+-=∴12CG AG -=当点G 在CA 延长线上时,只能是GE GA =,如图设BAD BAE β∠=∠=∴90DAC GAF β∠=∠=︒-,1802EAF β∠=︒-∴90GAE EAF GAF β∠=∠-∠=︒-∵GE GA=∴90GAE GEA β∠=∠=︒-∵90EFD BAC ∠=∠=︒∴在Rt AFE 中,90180290ββ︒-+︒-=︒解得60β=︒∴906030DAC GAF ∠=︒-︒=︒=∠设GF x =,则2AG GE x ==,AF =在Rt EFA △中,23EF x x x =+=,由勾股定理求得AE =在Rt EAN △中,cos60AN AE =⋅︒=,sin 603EN DN BN AE x ===⋅︒=∴3AB AC x ==∴(5CG AG AC x =+=+∴352CG AG +=综上所述:352CG AG +=或12．。

重庆市2021年初中毕业暨高中招生考试数学试题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡（卷）上，不得在试卷上直接作答．2．作答前认真阅读答题卡（卷）上的注意事项．3．考试结束，由监考人员将试题和答题卡（卷）一并收回．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑（或将正确答案的代号填人答题卷中对应的表格内）。

1．在一3，一1，0，2这四个数中，最小的数是（ ）A ．一3B ．一1C 。

0D 。

22．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）3．计算()2ab 的结果是（ ） A 。

2ab B 。

b a 2 C 。

22b a D 。

2ab 4．4。

已知：如图，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 在⊙O 上则∠ACB 的度数为（） A 。

45° B 。

35° C 。

25° D 。

20°5．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）A 调查市场上老酸奶的质量情况B ．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命C ．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品D ．调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率6．已知：如图，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 上，EF//AB ．若∠CEF=100°，则∠ABD 的度数为（） A 。

60°B 。

50°C 。

40°D 。

30°7．已知关于x 的方程2x+a 一9=0的解是x=2，则a 的值为（ ）A 。

2B 。

3C 。

4D 。

58。

2021年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t ，小丽与比赛现场的距离为S ．下面能反映S 与t 的函数关系的大致图象是（）9下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）10．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。