江西省八所重点中学联考试高三理科数学试题

江西省八所重点中学盟校2016届高三联考试卷理科数学一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．若集合{}x y x A ln ==，{}02>-=x x x B ，则=⋂B AA ．[0,1]B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞- 2.“1m =”是“复数21z m mi =+-为纯虚数”的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为A ．8B ．9C ．10D ．114.已知向量)2,3(),3,2(=-=b a ，则a 与bA ．平行且同向B ．垂直C ．不垂直也不平行D ．平行且反向5．若θ∈42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是 A ．415 B. 415- C. 41 D. 41- 6．若n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 A ．180 B ．120 C ．90 D ．457．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为A.9B.11C.13D.158．如图为某几何体的三视图，则该几何体的的表面积为A ．28B ．30C ．2418+D ．2618+9．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≥+-01,3,012y x x y x 表示的平面区域为D ，若函数m x y +-=2的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是A ．]1,3[-B ．]23,3[-C ．]23,1[-D ．]1,1[-10．已知定义域为R 的函数)(x f 在),2(+∞上单调递减，且)2(+=x f y 为偶函数，则关于x 的不等式0)1()12(>+--x f x f 的解集为 A.),2()34,(+∞⋃--∞ B.)2,34(- C.),2()34,(+∞⋃-∞ D.)2,34( 11．以双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上一点M 为圆心的圆与x 轴恰相切于双曲线的一个焦点F ，且与y 轴交于P Q 、两点．若MPQ ∆为锐角．．三角形，则该双曲线的离心率e 的范围是 A. ),226(+∞+ B ． )226,1(+ C ．),26(+∞+ D ．)26,1(+ 12.设定义在),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意的),0(+∞∈x 都有6]log )([2=-x x f f ．若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且)N )(1,(0*∈+∈a a a x ，则=a （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).13．摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整．．．，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答)14.双曲线14222=-by x 的右焦点与抛物线x y 282=的焦点重合，则该双曲线的渐近线的方程是________． 15.已知三棱锥BCD A -中，AD AC AB 、、两两垂直且长度均为10，定长为)6(<m m 的线段MN 的一个端点M 在棱AB 上运动，另一个端点N 在ACD ∆内运动（含边界），线段MN 的中点P 的轨迹的面积为π2，则m 的值等于________．16.已知数列{}n a 满足),2,(2,1111≥∈=--=--n N n a a a n n n 且21{}n a -是递减数列，2{}n a 是递增数列，则=2016a ________．三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).17．（本小题满分12分）已知锐角．．ABC ∆中内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，满足C ab b a cos 622=+，且B A C sin sin 32sin 2=．（Ⅰ）求角C 的值； （Ⅱ）设函数)0(cos )6sin()(>++=ωωπωx x x f ,()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π,求()f A 的取值范围．18.(本小题满分12分)2016年年初为迎接习总书记并向其报告工作，省有关部门从南昌大学校企业的ＬＥＤ产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这1000件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求)4.2246.175(<<Z P ；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间)4.224,6.175(的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.19．（本题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =． （Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =11C AB A --的正弦值．20．（本小题满分12分）已知圆25)1(:221=++y x C ，圆1)1(:222=+-y x C ，动圆C 与圆1C 和圆2C 均内切．（Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）点),1(t P 为轨迹E 上点，且点P 为第一象限点，过点P 作两条直线与轨迹E 交于B A ,两点，直线PB PA ,斜率互为相反数，则直线AB 斜率是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21.(本小题满分12分)已知)()1ln()()(23R m m x mx x x f ∈-+-=，方程0)(=x f 有3个不同的根．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x 且满足212x x =，若存在，求实数m 的值；若不存在，说明理由．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D ．（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1，3BC =，延长CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径．23.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是为参数）ϕϕϕ(sin 2,cos 2⎩⎨⎧==y x ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标系方程是θρ2sin 546+=，正方形ABCD 的顶点都在1C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)6,2(π．（Ⅰ）求点,,,A B C D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为2C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的最大值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲关于x 的不等式lg(|3||7|)x x m +--<．（Ⅰ）当1m =时，解此不等式；（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(--+=x x x f ，当m 为何值时，m x f <)(恒成立？江西省八所重点中学盟校2016届高三联考理科数学答案 一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1--5．CACBB 6--10AADBD 11--12BD二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分)13. 20 14. x y ±= 15. 4 16.3122016-三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（Ⅰ）因为C ab b a cos 622=+,由余弦定理知 所以ab c C 4cos 2= ............. .......2分又因为B A C sin sin 32sin 2=,则由正弦定理得:ab c 322=，.........4分所以234324cos 2===ab ab ab c C ，所以6π=C .............6分 （Ⅱ）)3sin(3cos )6sin()(πωωπω+=++=x x x x f 由已知2,2==ωπωπ，则)32sin(3)(π+=x x f .............9分因为6π=C ，A B -=65π，由于0,022A B ππ<<<<，所以23ππ<<A ． 所以3432πππ<+<A ，所以0)(23<<-A f ......12分18.解：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.33x =⨯+⨯+⨯+⨯2100.242200.082300.02+⨯+⨯+⨯200=. ……3分2222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s =-⨯+-⨯+-⨯22200.33100.24200.08300.02150.+⨯+⨯+⨯+⨯= ……6分 （II ）（i ）由（I ）知，~(200,150)Z N ，从而=<<)4.2246.175(Z P 9544.0)2.1222002.122200(=⨯+<<⨯-Z P ……9分C ab c b a cos 2222+=+（ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间)4.224,6.175(的概率为9544.0，依题意知X ～)9544.0,100(B ，所以44.959544.0100=⨯=EX ……12分 19. 解：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1．……… 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1AB 1，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则C （0，－1，0），B 10，0），A （0，0，…… 6分设平面CAB 1的法向量为m ＝（x 1，y 1，z 1）， 因为1(3,0,AB =，(0,1,AC =-，所以11111100010x y z x y z +⨯=⨯-⨯=⎪⎩，取m ＝（11）． ……… 8分设平面A 1AB 1的法向量为n ＝（x 2，y 2，z 2）， 因为1(3,0,AB =，1(0,2,0)AA =，所以222111000200x y z x y z +⨯=⨯+⨯+⨯=⎪⎩，取n ＝（1，0，1）． ……… 10分则cos ,||||5m n m n m n ⋅<>===⨯， 所以二面角C-AB 1-A 1的正弦值为515． …… 12分 20.（1）设C 点坐标为),(y x ，圆C 的半径为R ．则1,521-=-=R CC R CC从而421=+CC CC ，所以圆心C 的轨迹E 是以21,C C 为焦点，以4为长轴长的椭圆．所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为：13422=+y x ．……4分 （2）由(1)轨迹E 的方程为：13422=+y x ，代入得点)23,1(P ， 设),(),,(2211y x B y x A ，设直线)1(23:-=-x k y PA ，联立椭圆方程，得012)23(4)23(8)43(222=--+-++k x k k x k ，则221221433124,433124k k k x k k k x x p +--=+--=故，同理：222433124k k k x +-+=， ……8分212)(23)1(23)1(121212121212=-++-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=--=x x k x x k x x x k x k x x y y k AB故直线AB 斜率为定值21. ……12分21.（1）解：由0)(=x f 得：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=-01,023m x mx x 或0)1ln(2=-+m x可得⎩⎨⎧>-=01,0m x 或⎩⎨⎧>=0,2m m x 方程0)(=x f 有3个不同的根, 从而10<<m .……4分（2）m x m x x m x m x x f -+-+-+-=1)(2)1ln()3()(22222'令2x t =，设m t m t t m t m t t g -+-+-+-=1)(2)1ln()3()(∴0)1ln()0(>--=m m g)(,0)1(12,102)1(2)2ln()3()1(=>∴>-∴<<--+--=m g g m m m m m m gm m m m m mm m m m g ---=--⋅+-=2)21ln(221)2()21ln(2)2(20)2(02,1212110<∴>-<-<∴<<mg m m m ∴存在)2,0(1mt ∈，使得1()0g t =，另外有)1,2(mm ∈，使得0)(=m g . ……8分假设存在实数m ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =假设不成立．这与前面矛盾．即另外有使得则必有∴∉=∴===∈)2,0(2,0)(,0)(),2,0(12'1'1mmx m x m f x f mx 即不存在实数m ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =．……12分22.（1）连接DE ，交BC 于点G ，由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又DB BE ⊥，所以DE 为直径，则90DCE ∠=︒，由勾股定理可得DB DC =． ……5分（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC 的中垂线，所以BG =．设DE 的中点为O ，连接BO ，则60BOG ∠=︒，从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆． ……10分23.（1）曲线1C 的普通方程是422=+y x ，极坐标方程是2=ρ．∴点,,,A B C D 的极坐标为),35,2(),67,2(),32,2(),6,2(ππππ 从而点,,,A B C D 的直角坐标为)3,1(),1,3(),3,1(),1,3(----. ……5分（2））曲线2C 的普通方程是14922=+y x ，参数方程是)(2sin y cos 3x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==故可设)sin 2,cos 3(ϕϕP 其中ϕ为参数．2222PD PC PB PA t +++=ϕϕϕ222cos 203216sin 16cos 36+=++= 2222PD PC PB PA +++的最大值为52. ……10分24.解:（Ⅰ）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<，可得其解集为{|27}.x x << ………………… 4分（Ⅱ）设|3||7|t x x =+--，则由对数定义及绝对值的几何意义知100≤<t ， …………… 7分因x y lg =在),0(∞+上为增函数，则1lg ≤t ，当7,10≥=x t 时，1lg =t ， ………………… 9分故只需1>m 即可，即1m >时，m x f <)(恒成立． ………………… 10分。

2022年江西省八所重点中学高考数学联考试卷（理科）（4月份）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.棣莫弗公式其中i为虚数单位是由法国数学家棣莫弗年发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.北京时间2月20日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以9枚金牌4枚银牌2枚铜共15枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史．据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志原者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为( )A. 300B. 320C. 340D. 3604.魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值为( )A. B. C. 8 D.5.设，，，则( )A. B. C. D.6.若正实数x，y满足，则的值可能为( )A. 1B. 2C. 3D. 47.已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为( )A. 5B. 6C. 7D. 88.“”是“方程表示椭圆”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，若函数的图象向左平移A个单位长度后的图象于y轴对称，则在的值域为( )A. B. C. D.10.已知，为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的公共点，且，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 411.如图，正方体的棱长为，点P是内部不包括边界的动点．若，则线段AP长度的取值不可能为( )A.B.C.D.12.已知函数是偶函数，函数，若恒成立，则实数k的取值范围是( )A. B. C. D.13.已知，试写出一个满足条件的______.14.如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3：现用24米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为2米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为______参考据：，15.下列命题中，真命题的序号是______.①已知函数满足，则函数：②从分别标有1，2，3，…，9的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，则摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率是；③用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是；④的二项展开式中，共有3个有理项．16.已知正数x，y满足，，则z的取值范围是__________.17.2022年是中国共产主义青年团建团100周年年栉风沐雨，共青团始终坚定不移跟党走，团结带领共青团员和广大青年前赴后继、勇当先锋，书写了中国青年运动的华章．实践证明，共青团不愧为党和人民事业的生力军和突击队，不愧为党的得力助手和可靠后备军．为庆祝共青团建团100周年，我校举行团史知识竞赛活动，比赛共20道题，答对一题得5分，答错一题扣2分，学生李华参加了这次活动，假设每道题李华能答对的概率都是，且每道题答对与否相互独立．求李华开始答题后直到第3题才答对的概率：求李华得分的期望值．18.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列求数列的通项公式；设，数列的前n项和为，求证：19.已知过点的动直线与抛物线C：交于点A，B，抛物线C的焦点为F，当点A横坐标为时，求抛物线C的方程；当直线AB变动时，x轴上是否存在点Q，使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由．20.阅读以下材料：球的体积公式的推导球面可以看作一个半圆绕着其直径所在直线旋转一周所得，已知半圆方程为，由得，则根据以上材料，解答下列问题：椭球面可以看成半个椭圆绕着其长轴所在直线旋转一周所形成的旋转体，定义椭球的扁率为对应椭圆的长、短半轴之差与长半轴之比，通常用扁率来表示椭球的扁平程度，椭球的扁率越大，椭球愈扁．若椭圆方程为，试推导椭球的体积公式；如图所示的椭球是由水平放置的椭圆绕其长轴AB所在直线旋转所得，其中旋转90度得到椭圆，椭圆上的点刚好对应椭圆上的点，椭圆的中心为O，以OB为x轴建立空间直角坐标系椭圆在平面xOy内，点关于z轴对称的点为，已知椭球体积为，椭球扁率值为，横坐标为1，纵坐标为负数，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21.已知函数试讨论函数的单调性；设，m，n分别是的极大值和极小值，且，求S的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线l与曲线C交于不同的两点M，求直线l的普通方程的一般形式和曲线C的直角坐标方程；设，求的值．23.设函数求不等式的解集；若的最小值是m，且，求的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，则故选：分别求解一元二次不等式与对数不等式化简A与B，再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由己知得，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可．本题考查棣莫弗公式及诱导公式，考查学生的运算能力，属于中档题．3.【答案】D【解析】解：根据题意知分层抽样比例为，所以该高校抽取的志愿者总人数为人故选：求出抽样比例，再计算样本容量．本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：，，故选：根据同角关系式，以及倍角公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用同角关系式以及倍角公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】A【解析】解：根据，，可知；由得，由上可知故选：根据，，可知；由得，然后可判断正确选项．本题考查指对函数单调性应用，考查数学运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，，由，得，由图可知，当直线过A时，z有最大值2，而可行域中不含，则，结合选项可得，的值可能为故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可求得z的范围，结合选项得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．7.【答案】C【解析】解：圆和的圆心，半径为4，圆心C到的距离为3，圆C上的点到点O的距离的最大值为7，最小值为1，再由，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得，故有，实数m的取值范围是故选：根据圆心C到原点O的距离，可得圆C上的点到点O的距离最大、最小值，再由，可得的取值范围．本题考查了实数值的取值范围以及圆的性质，是中档题．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义和性质，命题的充分性与必要性的判定等知识，属于基础题．根据椭圆方程的形式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．【解答】解：由，可得，当时，方程可化为，此时方程表示圆，所以充分性不成立；反之：方程表示椭圆，则满足，即且，所以不成立，即必要性不成立，所以是方程表示椭圆的既不充分也不必要条件．故选：9.【答案】B【解析】解：因为，故可得，即，又，故，联立，可得，解得舍去或，又，则，将向左平移个单位长度后得到，又因为其为偶函数，故，故，又，故当时，满足题意，则，当时，，故故选：利用正弦定理将目标式进行化简，求得A，再根据函数图象的平移以及三角函数的奇偶性求得，再求的值域即可．本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，，，又，，在中由余弦定理得，，化简得，该式可变成：，，故选：先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，，并且，，在中根据余弦定理可得到：，所以，从而可求得结论．本题考查椭圆及双曲线的综合，考查椭圆与双曲线的定义及性质，余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：在正方体中，连接AC，，，如图，，，则平面，因，所以平面，又点P是内部不包括边界的动点，连接CO，平面平面，所以点P在线段CO上不含点C，，连接AO，在等腰中，，而底边AC上的高为，腰OC上的高，从而有，B、C、D选项都符合，A选项的不符合．故选：由所给条件探求出动点P的轨迹，然后在三角形中求出点A与动点P的距离范围得解．本题主要考查立体几何中的最值问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．12.【答案】B【解析】解：因为为偶函数，所以恒成立，所以，所以恒成立，易知，若，函数在定义域上单调递减，且时，，不满足；当时，记，，，由，得，即，令，得，易知时，有最大值0，故，所以，要使时恒成立，则，即，所以恒成立时k的范围为，则排除故选：由为偶函数可得m，然后利用，，对函数放缩，使用排除法可得．本题考查了恒成立问题，多次构造函数、求导，根据导数的正负确定原函数的单调性，还考查了利用放缩法求最值，从而增加了难度，属于难题．13.【答案】【解析】解：设，，，解得故答案为：根据已知条件，结合向量的数量积公式，即可求解．本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】5【解析】解：设外层的正方形边长为a，则其内接正方形的边长为，设方格蜘蛛网对应正方形边长对应数列，由题意可知，，，故，设正方形周长对应数列，则，所以的前n项和，令，则，两边取对数可得，，故，故完整的正方形的个数最多为5个．故答案为：5根据已知条件，构造正方形周长满足的等比数列，再结合等比数列的前n项和公式，以及对数运算公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查对数函数的公式，属于基础题．15.【答案】②③【解析】解：对于①，令，故，即，，故①不是真命题；对于②，从分别标有1，2，3，…，9的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，球上数字共有种可能，其中两个球上数字奇偶性相同的可能为种，故所求概率为，故②正确，是真命题；对于③，用数学归纳法证明“”，当时，不等式左边为，当时，不等式左边式子应为，故应添加的项是，故③是真命题；对于④，二项式展开式的通项公式为：，当，6，12，18时，为有理项，共有四项，故④错误；故答案为：②③．利用换元法求得函数的解析式，要注意定义域，由此判断①；根据古典概型的计算公式求得摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率，判断②；写出和时不等式左边的式子，比较可判断③；利用二项式展开式的通项公式，根据x的指数是否为整数可判断出有理项，判断④．本题考查数学归纳法，及命题的判定，考查学生的综合能力，属于中档题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于较难题．根据已知条件求得xy的取值范围，将z平方后，得到关于xy的二次函数，根据二次函数的单调性，即可求得其值域，再求得z的取值范围．【解答】解：由，可得，因为，，以及，则，当且仅当时，故，令，则又在上单调递增，故可得，于是，故答案为17.【答案】解：李华开始答题后直到第3题才答对的概率李华开始答题后直到第3题才答对的概率为设李华答对题的个数为X，则，，李华得分的期望值李华得分的期望值是【解析】李华开始答题后直到第3题才答对，说明前2道题答错了，第3题才答对，利用相互独立概率计算公式即可得出结论．设李华答对题的个数为X，可得，李华得分的期望值本题考查了“二项分布列”的概率计算公式、分布列及其数学期望、相互独立概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：，令，则，，所以，，故数列是首项为，公差为的等差数列，所以数列的通项公式为证明：，所以…，得证．【解析】化简可得，结合正切函数的图象与性质，推出数列是首项为，公差为的等差数列，得解；裂项可得，再求和，即可得证．本题考查数列与三角函数的综合，熟练掌握三角恒等变换公式，等差数列的通项公式，以及裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：因为抛物线C：的焦点为F，当点A横坐标为时，，由抛物线的定义，可得，解得，所以抛物线的方程为解：当直线AB变动时，x轴上假设存在点使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，由角平分线的判定定理可得QP为的角平分线，即有，设过点的动直线为，联立方程组，整理得，设，，则，，则，化为，即为，化简可得，所以x轴上存在点，使得点P到直线AQ，BQ的距离相等．【解析】由抛物线的定义得到，求得p的值，即可求得抛物线的方程；假设存在点使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，由题意得到，设直线为，联立方程组求得，，化简，求得t的值，即可得到答案．本题考查直线与抛物线的方程，考查学生的综合能力，属于中档题．20.【答案】解：由半椭圆，得，则，所以椭球的体积公式为；由，得，则方程为，由椭圆绕其长轴AB所在直线旋转所得，其中旋转得到椭圆，则方程为，因为椭圆的中心为O，以OB为x轴建立空间直角坐标系，如图所示因为横坐标为1，纵坐标为负数，所以，，设平面的一个法向量为，由，即，令，解得，，所以，设平面的一个法向量为，由，即，令，解得，所以，设平面与平面所成的角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为【解析】根据已知条件类比半圆推导球的体积公式的方法，可利用半椭圆推出椭球的体积公式，利用微积分的基本定理即可求解；根据已知条件得出椭圆中得a，b，利用已知条件及空间直角坐标系，写出，，，A，B的坐标，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．本题考查了微积分定理和二面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：由函数的定义域为，，因为，当时，，在上单调递增，当时，，令，可得，，且，所以，时，，单调递增，时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增；综上可知，当时，在上单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；由可知，欲使在有极大值和极小值，必须，又，所以，令的两根分别为，，即的两根分别为，，于是，不妨设，由可得，，所以，令，于是，因为则，解得，因为，所以，在上为减函数，所以，所以S的取值范围【解析】求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可判断函数的单调性；根据题意，的两根分别为，，利用一元二次方程根与系数的关系，，可得可得，，即可表示出S，换元，利用函数的单调性，即可求得S的取值范围．本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性，极值与最值的关系，考查函数思想，考查计算能力，属于难题．22.【答案】解：直线l的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为；曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；直线的参数方程转换为为参数代入，得到；故，；所以【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：由不等式，即为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得综上，不等式的解集为或由可知当时，，即，所以，因为，所以，即当且仅当时等号成立，故的最小值为【解析】由题意得到不等式，分、和，三种情况讨论，即可求解；由求得，得到，结合柯西不等式，即可求解．本题考查了绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

新版数学高考复习资料一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1．若集合{}3,2,1,0=A ，集合{}A x A x xB Ï-Î-=1,，则集合B 的元素的个数为的元素的个数为 （ ）A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 2．设i 为虚数单位，则ii3223-+=（ ） A.1 B.1- C.i D.i -3．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不．是（ ）4．已知)3,1,2(-=a ，)2,4,1(--=b ，),5,7(λc =，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于（等于（ ）A.762 B.763C.764 D.765 5．已知数列{}n a是等比数列，且dxx aaò-=+22201520134，则)2(2016201420122014aa aa ++的值的值为（为（ ）A . 2p B . p 2 C . p D . 24p6．从编号为001,002,……,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为（，则样本中最大的编号应该为（ ） A. 480 B. 481 C. 482 D. 483 7．下图是一个算法的流程图，最后输出的=x ( ) x)x=x-3是开始开始S =0 x =2 输出x 结束结束S =S +x20-£S 否E FODBAa))),b),]，,E)]1-数列（2）如图以AE 中点为原点，AE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(0,0,3)D ，(1,2,0)B --，(1,0,0)E所以DE 的中点坐标为13(,0,)22因为12CF DE =，所以13(,2,)22C -易知BA 是平面ADE 的一个法向量，1(0,2,0)BA n == 设平面BCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =由223333(,,)(,0,)02222(,,)(1,2,3)230n BC x y z x z n BD x y z x y z ì×=×=+=ïíï×=×=++=î 令2,x =则2y =，23z =-，2(2,2,23)n \=-ABEFCDxyzH1=λx2代入得代入得ì222400k1)222]21121241)(2121----+++k k k k k k x x x x x x。

一、单选题1. 设X ～N (1,σ2),其正态分布密度曲线如图所示,且P (X ≥3)＝0.0228,那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )(附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A ．6038B ．6587C ．7028D ．75392. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3123. 某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除个体，那么样本容量 的最小值为A ．6B ．12C ．18D ．244.函数的零点个数为（ ）A．B．C．D．5. 已知，，，若，则（ ）A ．9B．C．D．6. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 若函数在内单调递增，则实数的取值范围是A．B．C．D．9. 若全集U 和集合A ，B 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．10. 某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，发现这100名同学的得分都在内，按得分分成，，，，这5组，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学得分的中位数为（ ）江西省新八校2023届高三第二次联考数学（理）试题二、多选题A ．72.5B ．73.75C ．74.5D ．7511. 已知tan a =2，则= （ ）A ．2B．C ．-2D．12. 已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（ ）A ．1B．C．D ．213. 已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．14. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．15. 已知，则（ ）A．B．C．D．16. 已知，，若，则实数的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－117. 椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线：，下列结论正确的是（ ）A．曲线关于点对称B．曲线关于直线对称C ．当时，曲线上点的横坐标的取值范围为D ．若曲线上存在位于y轴左侧的点，则18. 已知首项为，公比为的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列，记，，则（ ）A．公比B ．若是递减数列，则C ．若不单调，则的最大项为D ．若不单调，则的最小项为19. 2017年1月，《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%、49.0%、34.6%和 3.8%，则适合表示上述调查结果的是（ ）A ．柱形图B ．折线图C ．扇形图D ．频率分布直方图三、填空题20.对，表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）A．B．C ．函数的值域为D ．若，使得同时成立，则正整数的最大值是521. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B ．函数的图象关于点对称C ．对任意，都有D ．函数的最小值为-322.已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于的任意一点，过作直线的垂线，垂足为，直线交于点，交椭圆于两点，△的面积最大值为12，则（ ）A．B．若，则的最大值为C ．在圆上运动D．23. 新冠疫情严重，全国多地暂停了线下教学，实行了线上教学，经过了一段时间的学习，为了提高学生的学习积极性和检测教学成果，某校计划对疫情期间学成绩优秀的同学进行大力表彰．对本校100名学生的成绩（满分：100分）按分成6组，得到如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，用样本估计总体，则下列结论正确的是（）A ．若本次测试成绩不低于80分为优秀，则这100人中成绩为优秀的学生人数为10B ．该校疫情期间学习成绩在70分到80分的人数最多C ．该校疫情期间学生成绩的平均得分超过70分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）D．该校疫情期间约有的人得分低于60分或不低于90分24. 下列结论正确的有（ ）A ．若随机变量满足，则B．若随机变量，且，则C ．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点D ．根据分类变量X 与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.0525. 在矩形ABCD 中，，，沿AC 将折起，得到的四面体的体积的最大值为______．26. 已知，则______．四、解答题27. 若为椭圆的左、右焦点，点P 为C上一点，若对任意的，均存在四个不同的点P 满足，则C 的离心率e 的取值范围为_______．28.已知数列满足，令，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为______.29. 若命题p ：，，则是______．30. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有______个.31. 在四面体ABCD 中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面BC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．32. 写出一个满足的等比数列的通项公式______.33. 已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题.(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值.34.已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)已知，求的值.35. 已知向量，（，），令（）.（1）化简，并求当时方程的解集；（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.36.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；(2)在数列中，，求数列的前项和.37. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.五、解答题38. 已知函数.(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；(2)当，探究在上的极值点个数.39. 已知A ､B两所大学联合开展大学生青年志愿者培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核，考核成绩在的为合格等级，成绩在的为优秀等级.为了解本次培训活动的效果，A ､B 两所大学从参加活动的学生中各随机抽取了10名学生的考核成绩，并作出茎叶图如下图所示.考核成绩考核等级合格优秀(1)分别计算A ､B 两所大学被抽取的学生考核成绩的平均值；(2)由茎叶图直接判断A ､B 两所大学参加活动的学生考核成绩的稳定性；（不需写过程）(3)现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率.40. 如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（1）求成绩在80~90这一组的频数；（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；（3）从成绩是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率.41. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如图的频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试成绩的众数；（2）估计这次考试成绩的及格率（分及以上及格）.42. 我国是全球最早进行航天育种研究的国家，航天育种在我国粮食安全和生态环境建设等诸多领域作出了重要贡献，培育的小麦、水稻、玉米、大豆、棉花和番茄、辣椒等园艺作物新品种，累计种植推广面积超过万公顷，增产粮食约亿公斤.经过多年科研和地面选育后，通过国审和省审的航天育种新品种超过个，创造直接经济规模超过亿元.某地面工作站有甲，乙两个专门从事种子培育小组，为了六、解答题比较他们的培育水平，现随机抽取了这两个小组在过去一年里其中经过次各自培育的种子结果如下：、、、、、、、、、、、、、、，其中、分别表示甲组培育种子发芽与不发芽：、分别表示乙组培育种子发芽与不发芽．(1)根据上面这组数据，计算至少有一组种子发芽的条件下，甲、乙两组同时都发芽的概率；(2)若某组成功培育一种新品种种子，则该组可直接为本次培育实验创造经济效益为万元，否则就亏损万元，试分别计算甲、乙两组种子培育的经济效益的平均数；(3)若某组成功培育一种新品种种子，单位奖励给该组千元，否则奖励元，分别计算甲、乙两组的奖金的方差，并且根据以上数据比较甲、乙两组的种子培育水平．43.画出函数的图象，并写出该函数的单调区间与值域44. 中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量x （单位：克）与药物功效（单位：药物功效单位）之间具有关系.(1)估计该味中药的最佳用量与功效；(2)对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准差为2，估计这批合成药的药物功效的平均值.45. 在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA=2AB=2．（1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积V ；（2）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ．46. 如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；七、解答题（Ⅲ）求三棱锥的体积.47. 如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中．（1）求证：AC ⊥平面B 1BDD 1；（2）求三棱锥B ﹣ACB 1体积．48. 已知函数在点处的切线方程是.(1)记的导函数为，求的最大值；(2)如果，且，求证.49.如图，在三棱柱中，平面，(1)求证：平面；(2)若，求①与平面所成角的正弦值；②直线与平面的距离.50. 数列满足,．（1）求证数列是等比数列；（2）证明：对一切正整数，有．51. 为丰富学生在校的课余生活，某校高三年级倡导学生积极参加踢毽子、投篮、射门等体育活动．各班拟推选“运动健将”组建班级代表队参与年级组织的体育比赛，年级依据各班团体和个人项目成绩的总积分排名给予表彰．(1)踢毽子是团体项目之一．班级人均一分钟踢毽子数不低于37个就认定为优秀．A 班利用体育课进行一分钟踢毽子练习，体育委员统计出同学们的成绩（全介于10到70之间）并作出频率分布直方图如图所示（原始成绩单丢失）．已知该频率分布直方图后四组“柱高”依次成等比数列，假若以这次练习的成绩做评价，该班是否能达到优秀标准？请你说明你的判断理由．(2)年级组织的竞技比赛中设有定点投篮和射门两个个人项目，竞赛规则如下：参赛选手从甲、乙两种方式中任选一种进行比赛，若投中或射中就称之为成功．甲方式：从投篮、射门两项中通过抽签选择其中一个项目连续测试两次；乙方式：从投篮、射门两项中通过抽签选择其中一个项目进行测试，若该项目成功则换另一个项目接着进行测试，否则重复测试该项目，此方式也只测试两次．积分规则：无论选甲、乙哪种方式，若某项目首次测试成功就记5分，失败则记0分；再次测试该项目时，成功只记4分，失败仍记0分．A 班推选a 同学代表班级从甲、乙两方式中选择一种参加个人项目比赛．已知a同学投篮和射门的命中率分别为，，且前后两项测试不会相互影响．以参加比赛的得分期望为标准，请问a 同学该选择哪种方式？等可能地等可能地52. 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：摄氏温度热饮杯数（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里．因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少．统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为，对于变量、，如果，那么负相关很强；如果，那么正相关很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱．请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱.（2）（i ）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；（ii）记为不超过的最大整数，如，.对于（i ）中求出的线性回归方程，将视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系.已知气温与当天热饮每杯的销售利润的关系是（单位：元），请问当气温为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？【参考公式】，，【参考数据】，，.，，，.53. 某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品八、解答题的概率；(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.54. 在甲校与乙校的某次授课比赛中，甲校有8位老师参加，其中数学老师有5人；乙校有8位老师参加，其中数学老师有4人．(1)现从甲校老师中随机选取4名老师，求至多有3名是数学老师的概率；(2)在甲校和乙校的老师中各随机选取2人，X 为数学老师的人数，求X 的分布列及数学期望．55. 盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球．不放回．(1)若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．记摸出的红球个数为．求随机变量的分布列和数学期望．(2)若盒中有4个红球和4个白球，盒中在2个红球和2个白球．现甲、乙、丙三人依次从号盒中摸出一个球并放入号盒，然后丁从号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．56. 某厂每日生产一种大型产品1件，每件产品的投入成本为2000元.产品质量为一等品的概率为，二等品的概率为，每件一等品的出厂价为10000元，每件二等品的出厂价为8000元.若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，没生产一件产品还会带来1000元的损失.（1）求在连续生产3天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品的的概率；（2）已知该厂某日生产的2件产品中有一件为一等品，求另一件也为一等品的概率；（3）求该厂每日生产该种产品所获得的利润（元）的分布列及数学期望.57. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若，证明：当时，．58. 已知椭圆的左右焦点分别为.点在椭圆上；直线交轴于点.且.其中为坐标原点.（1）求椭圆的方程;（2）直线斜率存在，与椭圆交于两点，且与椭圆有公共点，求面积的最大值.59.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点，(1)求椭圆的方程；(2)设不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，，记直线在轴上的截距为，求的最大值.60. 某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示．积极参加班级工作不积极参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性不高61925合计242650(1)如果随机调查这个班的一名学生，求事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率；(2)若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有2名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，请用字母代表不同的学生，写出样本空间；(3)在（2）的条件下求事件B：2名学生中恰有1名男生的概率．61. 如图，已知是正三棱柱，D是AC中点.(1)证明:∥平面；(2)假设，，求线段在侧面上的射影长.62. 如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．(1)求；(2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．。

江西省重点中学学校高三数学理科第二次联考试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合A={0，2，2}，集合B={αβγ、、 }，映射f ：A →B ，则满足2的象是 α 的不同映射有 （ ）A 、3个B 、6个C 、8个D 、9个 2、复数(1+i)3的虚部是 （ ）A 、2B 、－2C 、2iD 、－2i3、已知向量AB ,,,a BC b CA c ===u u u r r u u u r r u u u r r则A 、B 、C 三点构成三角形是a b ++r r 0c =r r 的 ( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、已知(cos )cos 2,(sin15)f x x f =o 则的值等于 ( )A 、12 B 、12- C 、3 D 、- 35、已知数列}{n a 的通项公式为)(21log 2+∈++=N n n n a n ，设其前n 项和为n s ，则使n s <-5成立的自然数n （ ）A 、有最小值63B 、有最大值63C 、有最小值31D 、有最大值316、α、β为两个确定的相交平面，a 、b 为一对异面直线，下列条件中能使a 、b 所成的角为定值的有 （ ）（1）a ∥α，b ⊂β （2）a ⊥α，b ∥β （3）a ⊥α，b ⊥β （4）a ∥α，b ∥β，且a 与α的距离等于b 与β的距离A 、0个B 、1个C 、2个D 、4个7、如图,函数)(x f y =的图象是中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆的两段弧,则不等式x x f x f +-<)()(的解集为 （ ）A 、{}|2022x x x -<<<≤或B 、{}|2222x x x -≤<-<≤或C 、22|2222x x x ⎧⎫⎪⎪-≤<-<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭或 D 、{}|220x x x -<<≠且8、如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有 （ ）A 、240个B 、285个C 、231个D 、204个9、一机器狗每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进3步，再后退2步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以一步的距离为一个单位长，令P(n)表示第n 秒时机器狗所在位置的坐标，且P(0)=0，那么下列结论中错误的是 （ ）A 、 P (3)=3B 、 P (5)=1C 、 P (101)=21D 、P (103)<P(104) 10、当n ∈N 且n ≥2时，1+2+22+…+24n-1=5p+q ，其中p,q 为非负整数，且0≤q ＜5，则q 的值为( ) A 、0 B 、2 C 、４ D 、与n 有关 11、双曲线222006x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且21214A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于 （ ） A 、 无法确定 B 、36πC 、18π D 、12π12、正实数x 1、x 2及函数f (x)满足4x=)(1)(1x f x f -+且f (x 1) + f (x 2) = 1，则f (x 1 + x 2)的最小值为 （ ） A 、4B 、2C 、54D 、41二、填空题：（本大题共4小题，共16分）13、在8312⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项是________14、对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a * b = a a bb a b ≤⎧⎨>⎩若若，则函数f (x) = log 21(3x – 2) * log 2x 的值域为________15、已知函数f(x)=Acos 2(ωx+ϕ)+1（A>0，ω>0，02πϕ<<）的最大值为3，f(x)的图象在 y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=____________16、直三棱柱ABC – A 1B 1C 1的每一个顶点都在同一球面上，若AC =2，BC = CC 1 = 1，∠ACB =2π，则A 、C 两点之间的球面距离为___________．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54πB ．34π C ．2π D ．3π 2．已知函数()3sin cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3cos2g x m x =+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 3．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=4．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）5．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．4711B ．4712C ．4713D ．47157．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤000震 001 1坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ） A ．18 B ．17C ．16D ．158．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+B ．1C ．5D 59．下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =10．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．625-B ．627-C ．63-D ．962-11．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形12．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516-B ．18932-C ．2164-D ．28358二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 已知，则的大小关系是（ ）A．B．C．D．2. 已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（）A．B．C．D．3. 已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）A．B．C．D．5. 若复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则（ ）A．B．C．D．6. 已知函数，则函数的图象在处的切线方程为A．B．C．D．7. 从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球，假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为，则A．B．C．D．8. 已知，则（ ）．A．B．C．D．9. 设a ，b 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10. 已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（ ）A．B．C ．D．11. 已知定义域为的函数，满足，且，，则（ ）A．B ．是偶函数C．D．12. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半粗圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（ ）江西省八所重点中学2022届高三4月联考数学（理）试题(1)江西省八所重点中学2022届高三4月联考数学（理）试题(1)三、填空题四、解答题A．椭圆的长轴长为B．线段长度的取值范围是C ．面积的最小值是4D ．的周长为13. 已知为钝角，且，则______．14. 已知等比数列，其前项和为，若，，则________.15.奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则_____．16. 已知函数．（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）讨论函数在上的单调性．17. 已知数的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.18. 已知分别为三个内角的对边，且满足，.（1）求；（2）若是中点，，求面积.19. 白玉蜗牛营养价值、药用价值以及美容价值都极高，目前既是“世界四大名菜之一”，也是降血脂药物和珍贵的高级化妆品原料．此外，白玉蜗牛的外壳还可以用来制作手工艺品和加工成动物高蛋白补钙饲料．某白玉蜗牛养殖户统计了养殖以来7个季度的销售情况，如下表所示，若y 与x 线性相关．季度x1234567销售额y （单位：万元）2.73.13.94.65.15.76.4(1)根据前7个季度的统计数据，求出y 关于x 的经验回归方程；(2)预测该养殖户在第9个季度的销售额；(3)若该养殖户每季度的利润W 与x ，y 的关系为，试估计该养殖户在第几季度所获利润最大．附：经验回归方程中的系数，．20. 在中，内角的对边分别为，，，．(1)证明：；(2)若，当A取最大值时，求的面积．21. 某早餐店每天制作甲、乙两种口味的糕点共份,每份糕点的成本1元,售价2元,如果当天卖不完,剩下的糕点作废品处理.该早餐店发现这两种糕点每天都有剩余,为此整理了过往100天这两种糕点的日销量(单位:份),得到如下的统计数据：甲口味糕点日销量4849551天数2422乙口味糕点日销量4849551天数4321以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率,假设这两种糕点的日销量相互独立.(1)记该店这两种糕点每日的总销量为X份,求X的分布列(2)早餐店为了减少浪费,提升利润,决定调整每天制作糕点的份数①若产生浪费的概率不超过0.6,求n的最大值;②以销售这两种糕点的日总利润的期望值为决策依据,在每天所制糕点能全部卖完与之中选其一,应选哪个？。

一、单选题1.已知向量，，则“”是为钝角的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.设是双曲线的左、右两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且，则的面积为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．123. 关于命题，下列判断正确的是（ ）A ．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B ．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C ．命题“”的否定为“”D ．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”4. 若两个等差数列，的前项和分别为和，且，则（ ）A．B．C．D．5. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．“十二平均律”是将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比均为常数，且最后一个单音的频率为第一个单音频率的2倍．如图，在钢琴的部分键盘中，，，…，这十三个键构成的一个纯八度音程，若其中的（根音），（三音），（五音）三个单音构成了一个原位大三和弦，则该和弦中五音与根音的频率的比值为（）A．B．C．D．6. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为（）A．B．C．D．7. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的值范围为（ ）A．B．C．D．8. 已知函数部分图像如下，将的图像向右平移个单位得到的图像，则下列关于的成立的是（）A ．图像关于轴对称B ．图像关于中心对称C．在上单调递增D ．在上最小值为江西省八所重点中学2022届高三4月联考数学（理）试题江西省八所重点中学2022届高三4月联考数学（理）试题二、多选题三、填空题9. 某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格.成绩60657075808590人数2335421下列结论正确的是（ ）A ．这20人成绩的众数为75B ．这20人成绩的极差为30C ．这20人成绩的分位数为65D ．这20人成绩的平均数为7510. 已知，，，则下列不等式一定成立的是（ ）A．B．C．D．11.已知函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A ．为奇函数B ．为周期函数C ．为奇函数D ．为偶函数12. 为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有（）附：，其中.A ．被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多B ．被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C．若被调查的男女生均为人，则有的把握认为喜欢登山和性别有关D ．无论被调查的男女生人数为多少，都有的把握认为喜欢登山和性别有关13.已知正实数满足，则的最小值为________________.14. 绵阳中学食堂，以其花样繁多的饭菜种类和令人难忘的色香味使大批学子醉倒在它的餐盘之下，学子们不约而同地将其命名为“远航大酒楼”．“远航大酒楼”共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三组去往不同的楼层．其中甲同学不去二楼，则一共有______种不同的分配方式．15. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则双曲线的四、解答题方程为__________.16.已知，其中向量,（1）求的最小正周期和最小值；（2）在△中，角A 、B 、C 的对边分别为、、，若，，，求边长的值.17. 如图，已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上位于第一象限的点，M ，N 是轴上的两个动点(点位于轴上方)，满足且，线段PN 交轴于点.(1)若，求点的坐标；(2)若四边形为矩形，求点的坐标；(3)求证:为定值.18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.（1）求证：平面；（2）设点在上，且，证明：平面；（3）在（2）的条件下，判断直线是否在平面内，并说明理由.19. 记的内角的对边分别为，设的外接圆半径为，且.(1)求；(2)若，求的面积.20. 某企业有生产能力相同的甲、乙两条生产线，生产成本相同的同一种产品.为保障产品质量，质检部门分别从这两条生产线上各随机抽取100件产品，并检测其某项质量指标值.根据该质量指标值对应的产品等级，统计得到甲、乙生产线的样本频数分布表如下：质量指标值等级次品二等品一等品二等品三等品次品甲生产线（件）2194024141乙生产线（件）2165012191(1)根据样本频数分布表，估计乙生产线的该质量指标值的中位数；(2)该企业为了守法经营，将所有次品销毁，每销毁一件次品的费用为10元.已知一、二、三等品的售价分别为120元/件、90元/件、60元/件.为响应政府拉闸限电的号召，企业计划关停一条生产线.视频率为概率，若您是企业的决策者，根据生产线效益的差异情况，您应关停哪条生产线，并说明理由.21. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.。

八校联考数学（理）试卷 第1页 共14页 八校联考数学（理）试卷 第2页 共14页2012年江西省 联 合 考 试高三数学（理）试卷命题人：赣州一中 郭诗恒 九江一中 李光华一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数131iZ i-=+的实部是 （ ）A ． 2B ． 1C ．1-D ．4-2．设集合A =｛4，5，7，9｝，B =｛3，4，7，8，9｝，全集U = A ⋃B ，则集合)(B A C U ⋂ 的真子集共有（ ） A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个3．要得到函数sin(2)4y x π=+的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移4π单位B ．向右平移4π单位C ．向右平移8π单位D ．向左平移8π单位4．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（ ）A. B . 3 C .D . 45．已知数据123 n x x x x ，，，，是江西普通职工n *(3 )n n N ≥∈，个人的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。

6．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，2475314))((a a a a a =++，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列}{n a 是递增数列； B ．数列}{n a 是递减数列；C ．数列}{n a 是常数列；D ．数列}{n a 有可能是递增数列也有可能是递减数列．7．在△ABC 中，P 是B C 边中点，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若0c A C a P A b P B ++=，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形但不是等边三角形.8．甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）A ．4435B ．4425 C ．4437 D ．445 9．设1e 、2e 为焦点在x 轴且具有公共焦点1F 、2F 的标准椭圆和标准双曲线的的离心率，O 为坐标原点， P 是两曲线的一个公共点，且满足,的值为（ ）A ．2B ．CD ．110．已知函数31,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，则函数a x x f y -+=)2(2（2a >）的零点个数不可能 （ ）A ．3B ．4C 5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．2-=⎰________； 12．阅读右侧程序框图，输出的结果S 的值为________；13．若不等式组02(1)1y y x y a x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .抚州一中 赣州一中 吉安一中 九江一中 萍乡中学 新余一中 宜春中学 上饶县中八校联考数学（理）试卷 第3页 共14页 八校联考数学（理）试卷 第4页 共14页图1图214．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过*()k k N ∈个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数，下列函数：①0.5()log f x x =②xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=51)(；③；2363)(2++-=πππx x x f④，x x x f 24cos sin )(+=其中是一阶格点函数的有 。

江西八所重点中学2024届高三联考考后提升卷数 学本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知抛物线28x y =上一点P 的横坐标为4，则点P 到焦点的距离为（ ）A. 4B. 2C. 6D. 82. 集合3π3π22A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，ππ,2B x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，C A B = ，则集合C 中的元素个数为（ ） A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知正项等比数列{}n a 中，11a =，n S 为n a 前n 项和，5354S S =-，则4S =（ ） A. 7B. 9C. 15D. 204. 棣莫弗公式(cos i sin )cos()i sin()n x x nx nx +⋅=+⋅（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数2ππcos i sin 33⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 若函数()f x 的导数()()sin ,f x x x f x =-'的最小值为0，则函数()cos y f x x =-的零点为（ ） A. 0B.C. 2±D. ()2πZ k k ∈6. 如图，节日花坛中有5个区域，现有四种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，的则符合条件的种植方案有（ ）种．A. 36B. 48C. 54D. 727.若)sin s ()2in x x x f x =-，且()()123f x f x =-，则12x x -的最小值为（ ）A. πB.π2C. 2πD.π48. 如图，60POQ ∠=︒，等边ABC 边长为2，M 为BC 中点，G 为ABC 的重心，B ，C 分别在射线OP ，OQ 上运动，记M 的轨迹为1C ，G 的轨迹为2C ，则（ ）A. 1C 为部分圆，2C 为部分椭圆B. 1C 为部分圆，2C 为线段C. 1C 为部分椭圆，2C 为线段D. 1C 为部分椭圆，2C 也为部分椭圆二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设离散型随机变量X 的分布列为：X1 2 3的P a0.4 0.3 0.2若离散型随机变量Y 满足31Y X =+，则（ ） A. 1.6EX = B. 5.8EY = C. 1.84DX =D. 7.56DY =10. 如图，函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图象与x 轴的其中两个交点为A，B ，与y 轴交于点C ，D 为线段BC 的中点，OB =，2OA =，AD ）A. ()f x 的最小正周期为12πB. ()f x 的图象关于直线8x =对称C. ()f x 在[]5,7单调递减D. ()2f x -+奇函数11. 已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1M ，是AA '中点，P 是AB 的中点，点N 满足[]()0,1D N D C λλ'''=∈，平面MPN 截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为12V V ，，则下列判断正确的是（） A.12λ= B.12λ=时，12V V =C. 12V V -随着λ的增大先减小后增大D. 12V V -的最大值为512三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知5112a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为80，则=a ______. 13. 在ABC 中，3AB AC =，AD 是A ∠平分线，且AD tAC =，则实数t 的取值范围_____. 14. 已知,a b 为实数，若不等式()224421ax a b x a b x ++++≤+对任意1,14x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则3a b +的最大值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．为的15. 已知n S 为公差不为0等差数列{}n a 的前n 项和，且()*21,n n a a n λλ=+∈∈R N ．（1）求λ的值； （2）若424S S =，求证：1223111112n n a a a a a a ++++< ． 16. 如图1，已知四边形QBCD 为直角梯形，其中//CD QB ，BC CD ⊥，4BC CD ==，DA QB ⊥，A 为垂足，将QAD 沿AD 折起，使点Q 移至点P 的位置，得到四棱锥P ABCD -如图2，侧棱PA ⊥底ABCD ，点E ，F 分别为PB ，PD 的中点.（1）若PC ⊥平面AEF ，求PA 的长；（2）若8PA =，求直线PC 与平面AEF 所成角的正弦值.17. 抽屉里装有5双型号相同的手套，其中2双是非一次性手套，3双是一次性手套，每次使用手套时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性手套或都为非一次性手套），若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性手套，则使用后经过清洗再次放入抽屉中.（1）求在第2次取出的是非一次性手套的条件下，第1次取出的是一次性手套的概率; （2）记取了3次后，取出的一次性手套的双数为X ，求X 的分布列及数学期望. 18. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，3,2M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且32MF =. （1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 且斜率存在的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点Q .（i ）求点Q 的坐标；的（ii ）求OAQ 与OAB 的面积之和的最小值. 19. 已知函数()()ln e txf x x t =-∈R ，且()f x 在点()()1,1f 处的切线的斜率为1e -．设函数()f x 的最大值为k ． （1）求t 的值； （2）求证：2k <-； （3）若不等式()2eln 22x kx m +-+≥，求实数m 的最大值．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知抛物线28x y =上一点P 的横坐标为4，则点P 到焦点的距离为（ ）A. 4B. 2C. 6D. 8【答案】A 【解析】【分析】由题意求得抛物线准线方程以及点P 纵坐标，再结合抛物线定义即可求解.【详解】由题意抛物线28x y =准线为=2y -，点P 的纵坐标为224288PP x y ===，所以点P 到焦点的距离即点P 到抛物线准线的距离为24P y +=. 故选：A. 2. 集合3π3π22A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，ππ,2B x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，C A B = ，则集合C 中的元素个数为（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】解不等式()3ππ3ππ222k k -≤+<∈Z ，得出整数k 的取值，即可得解. 【详解】解不等式()3ππ3ππ222k k -≤+<∈Z ，可得21k -≤<， 所以，整数k 的取值有2-、1-、0，的又因为集合3π3π22A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，ππ,2B x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ， 则3πππ,,222C A B ⎧⎫==--⎨⎬⎩⎭ ，即集合C 中的元素个数为3. 故选：B.3. 已知正项等比数列{}n a 中，11a =，n S 为n a 的前n 项和，5354S S =-，则4S =（ ） A. 7 B. 9C. 15D. 20【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的求和公式可得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意有0q >，又11a =， 当1q =时，5355411S S =≠-=，故舍去， 当1q ≠时，因为5354S S =-，则()()5311115411a q a q qq--=⨯---，化简得42540q q -+=，即()()22410q q--=且0n a >，2q ∴=，故()414111615112a q S q--===--，故选：C.4. 棣莫弗公式(cos i sin )cos()i sin()n x x nx nx +⋅=+⋅（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数2ππcos i sin 33⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.【详解】2ππ2π2π1cos i sin cos i sin 33332⎛⎫+⋅=+⋅=- ⎪⎝⎭，在复平面内所对应的点为12⎛- ⎝，在第二象限.故选：B5. 若函数()f x 的导数()()sin ,f x x x f x =-'的最小值为0，则函数()cos y f x x =-的零点为（ ） A. 0B.C. 2±D. ()2πZ k k ∈【答案】B 【解析】【分析】由()sin f x x x =-'，确定()f x ，由()f x 的最小值为0，得出()f x 的解析式，进一步求出函数()cos y f x x =-的零点.【详解】因为函数()f x 的导数()sin f x x x =-'，所以()21+cos 2f x x x c =+，c 为常数， 设()()sin g x f x x x -'==，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，()g x 在R 上单调递增， 又()00g =，所以当(),0∞-时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x (),0∞-单调递减， 当()0,∞+时()0g x >，即()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+单调递增， 所以()f x 在0x =处取得最小值，即()()min 010f x f c ==+=，故1c =-， 所以()21+cos 12f x x x =-，故()21cos 12y f x x x =-=-， 令21102x -=，解得x =()cos y f x x =-的零点为. 故选：B.6. 如图，节日花坛中有5个区域，现有四种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有（ ）种．A. 36B. 48C. 54D. 72【答案】D.在【解析】【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案．【详解】解：由题意，如图，假设5个区域为分别为1、2、3、4、5，分2种情况讨论：①当选用3种颜色花卉的时，2、4同色且3、5同色，共有涂色方法3343C A 24⋅=种， ②当4种不同颜色的花卉全选时，即2、4或3、5用同一种颜色，共有1424C A 48⋅=种，则不同的种植方法共有244872+=种； 故选：D.7.若)sin s ()2in x x x f x =-，且()()123f x f x =-，则12x x -的最小值为（ ）A πB.π2C. 2πD.π4【答案】B 【解析】【分析】化简()f x 解析式，得函数最大最小值与周期，利用()()123f x f x =-条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.【详解】)si o (n )2s sin xx x f x =-222sin x x =-2cos 21x x =+-2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()f x 的周期为πT =，且令sin 26t x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则[]1,1t ∈-， 则()()21f x g t t ==-，由()g t 的值域为[]3,1-， 故max min ()1,()3f x f x ==-，.则123()13()1f x f x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，故()()1239f x f x -≤≤， 由()()123f x f x =-知，12()1()3f x f x =⎧⎨=-⎩，或21()1()3f x f x =⎧⎨=-⎩. 即12(),()f x f x 为函数的最大与最小值，或最小与最大值， 当12,x x 对应()f x 图象上相邻两最值点时，12x x -的值最小， 故12minπ22T x x -==. 故选：B.8. 如图，60POQ ∠=︒，等边ABC 的边长为2，M 为BC 中点，G 为ABC 的重心，B ，C 分别在射线OP ，OQ 上运动，记M 的轨迹为1C ，G 的轨迹为2C ，则（ ）A. 1C 为部分圆，2C 为部分椭圆B. 1C 为部分圆，2C 为线段C. 1C 为部分椭圆，2C 为线段D. 1C 为部分椭圆，2C 也为部分椭圆 【答案】C 【解析】【分析】建系如图，由两点间距离公式结合中点坐标公式可得点M 的轨迹方程，由此得1C 为部分椭圆；过点A 作与y 轴垂直的直线分别交OP 于点E ，交OQ 于点F ，得等边OEF ，由平面几何可得G 是等边OEF 的外心，由此可得点G 的轨迹2C 为y 轴在曲线1C 内的一段线段.【详解】以O 为原点，以POQ ∠的角平分线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示. 依题意得直线OQ的方程为y =，直线OP的方程为y =.设点(),B b，()C c ，由2BC =得()()2234b c b c -++=（*），设点(),M x y ，因为M 是BC的中点，所以)2b c x y b c +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即2b c x b c +=⎧⎪⎨-=⎪⎩将其代入（*）得2241243y x +=，即221313y x +=，故M 的轨迹1C 为椭圆在POQ ∠内部的部分. 过点A 作与y 轴垂直的直线分别交OP 于点E ，交OQ 于点F ，则OEF 显然也是等边三角形. 下面证明等边ABC 的重心G 即等边OEF 的外心.设OCB θ∠=，则120OBC ACF θ∠=-=∠ ，又60BOC CFA ∠=∠= ，且BC AC =，所以OBC FCA ≅ ，因此OC AF =.在OGC 和FGA 中，30OCG FAG θ∠=+=∠ ，又GA GC =，所以OGC FGA ≅ ，则OG FG =，同理可证OG EG =，即点G 是等边OEF 的外心，所以，点G 在y 轴上移动，故点G 的轨迹2C 为y 轴在曲线1C 内的一段线段. 故选：C.【点睛】关键点点睛：建立适当的坐标系是解决本题的关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设离散型随机变量X 的分布列为：X0 1 2 3 P a0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量Y 满足31Y X =+，则（ ）A. 1.6EX =B. 5.8EY =C. 1.84DX =D. 7.56DY =【答案】ABD【解析】【分析】利用分布列的性质求得a ，从而利用期望与方差公式与性质即可得解.【详解】由分布列的性质知0.40.30.21a +++=，则0.1a =，故00.110.420.330.2 1.6EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，故A 正确； 22220.1 1.60.40.60.30.40.2 1.40.84DX =⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 错误；则(31)313 1.61 5.8EY E X EX =+=+=⨯+=，故B 正确；所以(31)990.847.56DY D X DX =+==⨯=，故D 正确．故选：ABD ．10. 如图，函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象与x 轴的其中两个交点为A ，B ，与y轴交于点C ，D 为线段BC 的中点，OB =，2OA =，AD ）A. ()f x 的最小正周期为12πB. ()f x 的图象关于直线8x =对称C. ()f x 在[]5,7单调递减D. ()2f x -+为奇函数【答案】CD【解析】【分析】结合题意计算可得()16ππsin 363f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的性质逐项判断即可得. 【详解】由题可()2,0A ，π2,0B ω⎛⎫+⎪⎝⎭，()0,sin C A ϕ，则πsin 1,22A D ϕω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，π2ϕω=+，()sin 20ωϕ+=，AD = ，222πsin 281243A ϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把πsin 2A ϕω⎫=+⎪⎭代入上式，得2ππ2240ωω⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，解得π6ω= (负值舍去)， π6ω∴=，πsin 03ϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，由π2ϕ≤，解得π3ϕ=-，π83⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 解得163A =，()16ππsin 363f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 对A ，()f x 的最小正周期为2π12π6=，故A 错误；对B ：()16ππ8sin 80363f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故B 错误； 对C ：当57x ≤≤时，πππ5π2636x ≤-≤，()f x ∴在[]5,7单调递减，故C 正确； 对D ：()()16ππ16π2sin 2sin 36336f x x x ⎡⎤⎛⎫-+=-+-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，为奇函数，故D 正确. 故选：CD. 11. 已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1M ，是AA '中点，P 是AB 的中点，点N 满足[]()0,1D N D C λλ'''=∈ ，平面MPN 截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为12V V ，，则下列判断正确的是（ ） A. 12λ=B. 12λ=时，12V V =C. 12V V -随着λ的增大先减小后增大D. 12V V -的最大值为512 【答案】BCD【解析】【分析】对于A ，易于判断截面形状，计算即得其面积；对于B ，可由A 项图形进行对称性判断得到；对于C ，要结合A 项中点N 从点D ¢运动到点C '的过程中，截面形状的变化，以及B 项中的结论合并进行判断；对于D ，要在选项C 的基础上判断12V V -取最大值时，对应于0λ=或1λ=时的情形，故只需要求出这两种情形下的12V V -的值即得.【详解】如图1，当12λ=时，点N 是D C ''=面积为26⨯=故A 项错误； 由对称性可知．当12λ=时．平面分两部分是全等的，故体积相等，故B 项正确；如图2．当λ从0变化到1时．截面从四边形MD CP '变化至五边形MPJC Q '（其中J 为BC 靠近B 点的三等分点）．结合B 项可知，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，故C 项正确；12V V -取最大值时对应为0λ=，或1λ=时情形．当0λ=时，不妨记1V 为截面MD CP '左上角的部分几何体，则1111117(1)13423224P AMD D P DD C V V V ''--=+=-⨯+⨯⨯=,则271712424V =-=,此时121775242412V V -=-=； 当1λ=时，不妨记1V 为截面MPJC Q '左上角的部分几何体，则1P DAMQD P DCC D Q PCJ Q JC C V V V V V ''''----=+++1111111147(1)111131223363372=-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 则2472517272V =-=，此时12472511727236V V -=-=. 12V V ∴-的最大值为512，故D 项正确． 故选：BCD ．【点睛】思路点睛：本题重点考查正方体的截面面积和分割成的几何体的体积问题，属于难题.解题思路在于要有从特殊到一般的思想，先考虑点N 为D C ''的中点时的截面和分割成的几何体体积的关系，再考虑点N 分别与点D ¢，点C '重合时的截面形状以及分割成的两部分的体积，总结出体积变化规律即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知5112a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为80，则=a ______. 【答案】12-##0.5- 【解析】 【分析】计算512x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式，计算通项公式中含1,x x 的项，结合1a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，可求出常数项，代入计算即可求出a 的值. 【详解】解：由512x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()55521551C 22C r r r r r r r T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令520r -=，无整数解；令521r -=-，解得3r =，440T x=； 令521r -=，解得2r =，380T x =； ∴5112a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的常数项为408080a -=，解得12a =-. 故答案为：12-.13. 在ABC 中，3AB AC =，AD 是A ∠的平分线，且AD tAC =，则实数t 的取值范围_____. 【答案】30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】在ABD △和ACD 中，利用正弦定理可求得3BD CD =；利用余弦定理可构造方程组，得到3cos 22A t =，结合A 的范围和余弦函数的值域可求得t 的取值范围. 【详解】ADB ADC π∠=-∠ ，sin sin ADB ADC ∴∠=∠，在ABD △和ACD 中，由正弦定理得：sin sin 2AB BD A ADB =∠，sin sin 2AC CD A ADC =∠， sin2sin 3sin 2sin AAB BD AB ADB A CD AC AC ADC ∠∴===∠，即3BD CD =； 设1AC =，则3AB =，AD t =，在ABD △和ACD 中，由余弦定理得：2222cos 2A BD AB AD AB AD =+-⋅，2222cos 2A CD AC AD AC AD =+-⋅， 即2222996cos 212cos 2A CD t t ACD t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，2296cos 9918cos 22A A t t t t ∴+-=+-，3cos 22A t ∴=； ()0,A π∈ ，0,22A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()cos 0,12A ∴∈，30,2t ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.14. 已知,a b 为实数，若不等式()224421ax a b x a b x ++++≤+对任意1,14x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则3a b +的最大值是______.【答案】6【解析】 【分析】先对不等式等价变换为()22121a a x b x +++≤+，令1t x =+得222a at b t++≤，构造函数()22a f t at b t =++，从而242252a b a b -≤+≤⎧⎨-≤+≤⎩，又()()3245a b a b a b +=+-+，利用不等式性质即可求解范围. 【详解】因为1,14x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以31,24x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则不等式()224421ax a b x a b x ++++≤+等价于()()2211221a x b x a x ++++≤+， 等价于()22121a a x b x +++≤+，令1t x =+，则3,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 从而222a at b t ++≤，令()22a f t at b t =++，由对勾函数的性质知152,2t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因为()2f t ≤，即()22f t -≤≤，所以242252a b a b -≤+≤⎧⎨-≤+≤⎩， 令()()345a b m a b n a b +=+++，则3451m n m n =+⎧⎨=+⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩， 所以()()()32452226a b a b a b +=+-+≤⨯--=，当且仅当4252a b a b +=⎧⎨+=-⎩即418a b =-⎧⎨=⎩时取等号， 故3a b +的最大值是6.故答案为：6【点睛】关键点点睛：本题考查了复合函数的值域及不等式的性质，解题的关键是对不等式等价变形，利用换元法结合对勾函数性质求解函数范围，最后利用不等式性质求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知n S 为公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且()*21,n n a a n λλ=+∈∈R N ．（1）求λ的值；（2）若424S S =，求证：1223111112n n a a a a a a ++++< ． 【答案】（1）2（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）解法一：设{}n a 的公差为()0d d ≠，利用等差数列的定义可得答案；解法二：设{}n a 的公差为()0d d ≠，转化为()()()12110dn a d λλ-+--+=对*n ∀∈N 恒成立，可得答案.（2）求出n a ，利用裂项相消求和可得答案.【小问1详解】解法一：设{}n a 的公差为()0d d ≠，由21n n a a λ=+①，得2211n n a a λ++=+②，则②-①得()2221n n n n a a a a λ++-=-，即2d d λ=，又0d ≠，则2λ=；解法二：设{}n a 的公差为()0d d ≠，因为21n n a a λ=+，所以()()112111a n d a n d λ⎡⎤+-=+-+⎣⎦对*n ∀∈N 恒成立，即()()()12110dn a d λλ-+--+=对*n ∀∈N 恒成立，所以()()()120110d a d λλ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩，又0d ≠，则2λ=；【小问2详解】由424S S =得()114642a d a d +=+，即12a d =，所以()11112n a a n d a n a =+-=-，又221n n a a =+即()11114221a n a a n a -=-+，则11a =，因此21n a n =-，则()()1223111111113352121n n a a a a a a n n ++++=+++⨯⨯-+ 11111111111233521212212n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭ ． 16. 如图1，已知四边形QBCD 为直角梯形，其中//CD QB ，BC CD ⊥，4BC CD ==，DA QB ⊥，A 为垂足，将QAD 沿AD 折起，使点Q 移至点P 的位置，得到四棱锥P ABCD -如图2，侧棱PA ⊥底ABCD ，点E ，F 分别为PB ，PD 的中点.（1）若PC ⊥平面AEF ，求PA 的长；（2）若8PA =，求直线PC 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】（1）4（2【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，进而利用线面垂直的判定定理证明AF ⊥平面PCD ，利用线面垂直的性质得到AF PD ⊥，即可得到PA 的长.（2）建立空间直角坐标系并求出相关点及向量的坐标，求出平面AEF 的法向量，由空间向量坐标公式直接计算直线PC 与平面AEF 所成角的正弦值.【小问1详解】由题易知四边形ABCD 是边长为4的正方形，所以CD AD ⊥.由PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，得CD PA ⊥，又PA AD A ⋂=，PA ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.由PC ⊥平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，得PC AF ⊥，而PC CD C ⋂=，PC ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以AF PD ⊥，又F 为PD 的中点，所以4PA AD ==.【小问2详解】由题易知,,AB AD AP 两两垂直，则以点A 坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由8PA =，4AB BC CD ===，得()0,0,0A ，()4,4,0C ，()0,0,8P ，()2,0,4E ，()0,2,4F ，则()4,4,8PC =- ，()2,0,4AE = ，()0,2,4AF = .设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =， 则240240n AE x z n AF y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ， 令1z =-，得2x y ==，所以()2,2,1n =- .设直线PC 与平面AEF 所成角为θ，则sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅====⋅ 即直线PC 与平面AEF.为【点睛】思路点睛：空间中求解线面角的方法主要有两种：（1）几何法，根据定义转化为直线与直线在平面内的射影所成的角，通过解三角形求解；（2）向量法，若直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin cos ,m n m n m nθ⋅== . 17. 抽屉里装有5双型号相同的手套，其中2双是非一次性手套，3双是一次性手套，每次使用手套时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性手套或都为非一次性手套），若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性手套，则使用后经过清洗再次放入抽屉中.（1）求在第2次取出的是非一次性手套的条件下，第1次取出的是一次性手套的概率;（2）记取了3次后，取出的一次性手套的双数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）1523（2）分布列见解析，1.606【解析】【分析】（1）根据条件概率的计算公式，分别求出对应事件的概率，代入计算即可；（2）根据题意，计算离散型随机变量的概率，得出分布列，计算期望即可.【小问1详解】设“第1次取出的是一次性手套”为事件A ，“第2次取出的是非一次性手套”为事件B ，则()312223525550P B =⨯+⨯=，313()()(|)5210P AB P A P B A ==⨯=， 所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下，第1次取出的是一次性手套的概率为()()()15|23P AB P A B P B ==. 【小问2详解】记取出的一次性手套的双数为X ，则0,1,2,3X =，()3200.0645P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312312310.3665255255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()32130.1543P X ==⨯⨯= 则(2)10.0640.3660.10.47P X ==---=，则X 的分布列为： X0 1 2 3 P 0.064 0.366 0.47 0.1数学期望0.36620.4730.1 1.606()E X =+=⨯+⨯18. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，3,2M m ⎛⎫-⎪⎝⎭为C 上一点，且32MF =. （1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 且斜率存在的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点Q .（i ）求点Q 的坐标；（ii ）求OAQ 与OAB的面积之和的最小值.【答案】（1）23y x =（2）（i ）(4,0)Q -；（ii ）【解析】【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求,p m ，由此可得抛物线方程；（2）（i ）设l 的方程为4x my =+，联立方程组并化简，设112222(,),(,),(,)A x y B x y D x y -，应用韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AD 方程，求出它与x 轴的交点坐标即得；（ii ）由（i ）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值．【小问1详解】由题意可得322924p m pm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得32p =， 所以C 的方程为：23y x =；【小问2详解】（i ）由已知可得直线l 的斜率不为0，且过点()4,0，故可设的直线l 的方程为4x my =+，代入抛物线23y x =的方程，可得23120y my --=，方程23120y my --=的判别式2Δ9480m =+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y -不妨设10y >，则12123,12y y m y y +==-,所以直线AD 的方程为：121112()y y y y x x x x +-=--，即121112()()y y y y x x m y y +-=-- 即()11123y y x x y y -=--，令0y =，可得()()212113y y y x y -⋅-=-， 所以()()2121112312x y y y y y y =-⋅-+==-，所以4x =-所以(4,0)Q -；（ii ）如图所示，可得111114222OAQ S OQ y y y =⋅⋅=⨯⨯= ， 121211442222OAB S y y y y =⨯⨯+⨯⨯=+ ， 所以OAQ 与OAB 的面积之和1121222242OAQ OAB S S S y y y y y =+=++=+11111224424y y y y -=+=+≥=当且仅当11244y y =时，即1y =时，等号成立， 所以OAQ 与OAB的面积之和的最小值为.【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。

江西省八所重点中学2015届高三联考数学（理科）试卷一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1. 已知集合{-=2x x A }02≤-x ，{==y x B })1ln(x -，则=⋂B A （ ）A ．)21(， B ．]21(， C ．)11[，- D ．)11(，- 2. 如果iaiz +-=11为纯虚数，则实数a 等于（ ） A.0 B. -1或1 C. -1 D. 13. 在△ABC 中, AB AC BA BC ⋅=⋅“” 是 AC BC =“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.数列{n a }的前n 项和)(322+∈-=N n n n S n ，若p-q=5,则q p a a -= （ ）A. 10B. 15C. -5D.20 5.对任意非零实数a 、b ,若a b ⊗的运算原理如图所示，则12)31(4log -⊗的值为（ ）A.31 B.1 C.34D.26.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()2100,,0σσ>，若ξ在()80,120内的概率为0.8，则落在()0,80内的概率为（ ）A. 0.05B. 0.1C. 0.15D.0.27.函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示， 则`)1(f +)2(f +)3(f ++)2015(f 的值为（ ）8.若)1(x +8822107)21(x a x a x a a x ++++=- ，则721a a a +++ 的值是（ ） A ．-2 B.-3 C.125 D.-1319.已知圆1C ：0222=++y cx x ，圆2C ：0222=+-y cx x ，椭圆C ：22221x y a b+=，若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A. )1,21[B.]21,0(C. )1,22[D. ]22,0( 10.定义在R 上的函数)(x f 对任意1x 、)(212x x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f ，且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--．则当14s ≤≤时，t s st +-2的取值范围是（ ） A ．21,3[-- B ．]21,3[-- C ．)21,5[-- D ．]21,5[--11.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 面体ABCD 外接球表面积为（ ） A ．π7 B ．π19 C ．π767 D ．π1961912.在平面直角坐标系中，点P 是直线21:-=x l 上一动点，定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,点Q 为PF 的中点，动点M 满足0=⋅PF MQ ,OF MP λ=)(R ∈λ,过点M 作圆2)3(22=+-y x 的切线，切点分别为T S ,,则MT MS ⋅的最小值是（ ） A ．53 B ． 935 C ．310 D ．31-二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.计算：⎰-333)cos (dx x x = .14.已知点(,)(0,4)(2,0)P x y A B -到和的距离相等，则24x y+的最小值为 .15.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（135,1312-），A O C α∠=．若1BC =2sin cos 222ααα-的值为 .16.用)(n g 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,(9)9g =，10的因数有1,2,5,10,(10)5g =,那么)12()3()2()1(2015-++++g g g g = .三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．)17.（本小题12分）已知x x f 2sin2)(π=，集合M =(){}2,0x f x x =>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}n a ，*∈N n . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211+=n n a b ，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证41<n T .18. (本题12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，2DA AB ==， 12BC AD =，E 是线段AB 的中点．（1）求证：PE CD ⊥；（2）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．19. (本题12分)已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(. 设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表.（1）求满足条件的不同的数表的张数;(2)若i a i =(4,3,2,1=i )，从所有数表中任意抽取一张，记ξ为表中)(i f a i >的个数，求ξ的分布列及期望.20．(本题12分)已知椭圆C:12222=+by a x （0>>b a ）的离心率e =21，且过点M （1，23）（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 长轴两端点分别为A 、B,点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，定直线4=x 与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点，又E(7，0)，过 E 、M 、N 三点的圆是否过x 轴上不同于点E 的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.21. (本题12分)已知x ax x x f 2sin)(2π++= )1,0(∈x（1）若)(x f 在定义域内单调递增，求a 的取值范围;（2）当a =-2时，记)(x f 得极小值为)(0x f 。

江西省八所重点中学2020-2021学年高三5月联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若251i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．2-B ．3iC ．3D ．2i2．已知集合{}2|,20A x x Z x x =∈-++>，则集合A 的子集个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．83．函数()136,02,0xx x f x x +<⎧=⎨≥⎩若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过()5,12P -，则()cos f α=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．函数()1cos 1xxe f x x e+=⋅-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．非零向量,a b 满足7a b a +=且0a b a -⋅=（）,,a b 的夹角为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒6．执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A ．若输入a ，b ，c 的值依次为1，2，4，则输出的值为5B ．若输入a ，b ，c 的值依次为2，3，5，则输出的值为7C ．若输入a ，b ，c 的值依次为3，4，5，则输出的值为15D ．若输入a ，b ，c 的值依次为2，3，4，则输出的值为10 7．已知命题p ：[0,]x π∀∈，使得sin x a <，命题q ：01,32x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，011a x +>，若p q ∧为真命题，则a 的取值范围是（ ）A ．4(0,)3B ．()0,3C ．(1,3)D ．4(1,)38．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则21p p =（ ） A ．4ln 2B ．()11ln 22+ C ．1D ．()41ln 2+9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项n a ，m a ，使得64n m a a ⋅=，则116m n+的最小值为（ ） A ．215B ．256C ．92D ．17310．已知A BCD -是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且4AC =，2BD =，3ACD ACB π∠=∠=，则点A 到平面BCD 的距离为（ ） A．3B．3C．3D．311．如图，()1,0F c -，()2,0F c 分别为双曲线Γ：22221x ya b-=（a ，0b >）的左､右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆()222x c y r -+=相切于点P ，设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A ､B 两点（A ､B 位于线段1F P 上），若132F A AB =且12BP AB =，则双曲线Γ的离心率为（ ）ABCD ．412．已知0x =是函数()()tan f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．(],1-∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．已知直线1l ：30kx y ++=，2l ：30x ky ++=，且12l l //，则k 的值______. 14．在61()x x-的展开式中的常数项为_______.15．定义新运算：a b ad bc c d=-，已知数列{}n a 满足11a =，且111nn n n a a ++=，若对任意的正整数n ，不等式121n a m n +≥+总成立，则实数m 的取值范围为______.三、双空题16．三棱锥P ABC -中，90ABC ∠=︒，120APB ∠=︒，AB =4BC =则三棱锥体积最大值为______.PC 取值范围为______.四、解答题17．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，()2cos 2sin 12A C B π⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，延长BC 至D 使3BD =.（1）求B 的大小； （2）求AC CD ⋅的取值范围.18．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，CF =EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.19．年前某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图.（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a （精确到0.01）（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[]92,100的企业数为X ，求X 的分布列与数学期望（3）若该市食品生产企业的考核成绩X 服从正态分布()2,N μσ其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得227.68s =，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家?（结果保留整数）. 附参考数据与公式：5.26≈()2,X N μσ-则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈.()330.9973P X μσμσ-<≤+≈20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，过右焦点且垂直于长轴的直线与椭圆C 交于P ，Q两点，且PQ =（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为12-（以O 为坐标原点），M 是OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求BNBM的值. 21．设函数()22ln f x a x x ax =-+-（a R ∈）.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设()()22ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若函数()y h x =与函数y m =有两个不同交点()1,C x m ，()2,D x m ，设线段的中点为(),E s m ，试问s 是否为()0h s '=的根?说明理由.22．在直角坐标系中，曲线C 的参数方程是2211x k k y k k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（k 为参数），将曲线C 的图像按22x x y y='-='⎧⎨⎩换得到曲线E .（1）求曲线E 的普通方程；（2）直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线与曲线E 相交于点A ､B ，点()1,0P ，求11PA PB+值. 23．（1）已知a ，b ，c 都是非负实数，证明：2b a ca b c b++≥+； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c x y z++++的值.参考答案1．C 【分析】根据复数的除法运算计算出复数23z i =+，再根据复数的概念可得复数的虚部. 【详解】因为251511i i i z i i+-+==++(1)(15)(1)(1)i i i i --+=+-46232ii +==+， 所以z 的虚部为3. 故选：C 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数的概念，属于基础题. 2．A 【分析】通过解一元二次不等式以及x ∈Z ，可得集合A ，根据集合A 中元素的个数可得子集个数. 【详解】由220-++>x x ，得220x x --<， 得(2)(1)0x x -+<， 所以12x -<<，因为x ∈Z ，所以0x =或1x =，所以{0,1}A =，所以集合A 的子集个数为224=. 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了根据集合中元素个数计算子集个数，属于基础题. 3．A 【分析】根据三角函数的定义求出5cos 13α=-后，根据分段函数的解析式可求得(cos )f α的值. 【详解】由题意可得55cos 1313α-==-，所以5(cos )()13f f α=-513()6113=⨯-+=. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了根据分段函数的解析式求函数值，属于基础题. 4．B 【分析】结合函数的定义域，利用函数的性质，特殊值法求解. 【详解】()f x 的定义域是{}|0x R x ∈≠，排除D ，因为()()()11cos cos 11--++-=⋅-=-⋅=---x xx xe ef x x x f x e e ，所以()f x 是奇函数，排除C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，11,0,cos 01x xxe e x e +><>-，则()0f x <，排除A ，故选：B 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 5．C 【解析】 【分析】运用向量的平方即为模的平方，求得2b a =，由向量数量积的夹角公式，计算可得所求值． 【详解】由7a b a +=得，22227a b ab a ++= ① 又由0a b a -⋅=（）得，2a ab =⋅ ② 将②代入①式，整理得：224b a =，即2b a =又因为21cos ,22a a b a b a a a b⋅===⋅⋅，即,60a b ︒的夹角为故选C . 【点睛】本题考查向量数列的定义和夹角的求法，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题． 6．C 【分析】模拟程序的运行过程知该程序的功能是利用选择结构找出,a b 的最小值并输给变量c ，再交换变量a b =，b c =，计算并输出ac b +的值，由此得出结论． 【详解】解：模拟程序的运行过程可知，该程序的功能是利用选择结构找出,a b 的最小值并输给变量c ，再交换变量a b =，b c =，计算并输出ac b +的值；当输入的,,a b c 的值依次为1,2,4时，交换变量得1,2,1c a b ===，输出结果是2113⨯+=，所以A 错误；当输入的,,a b c 的值依次为2,3,5时，交换变量得2,3,2c a b ===，输出结果是3228⨯+=，所以B 错误；当输入的,,a b c 的值依次为3,4,5时，交换变量得3,4,3c a b ===，输出结果是43315⨯+=，所以C 正确；当输入的,,a b c 的值依次为234，，时，交换变量得2,3,2c a b ===，输出结果是3228⨯+=，所以A 错误；故选：C ． 【点睛】本题主要考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序运行过程，属于基础题． 7．C 【分析】由p q ∧为真命题，得,p q 均为真命题，分别求出,p q 为真命题的a 的范围，取交集得答案． 【详解】因为p q ∧为真命题，所以命题,p q 均为真命题，命题p ：[0,]x π∀∈，使得sin x a <， 所以p 为真时1a >； 命题q ：01,32x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，011a x +>，而0113x +<， 所以命题q 为真时，3a <，所以(1,3)a ∈． 故选：C ． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，是基础题． 8．D 【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出面积，利用几何概型的概率公式求解. 【详解】 事件1p “12x y +≤”，如图所示阴影部分：所以1111122218p ⨯⨯==， 事件2p “12xy ≤” 如图所示阴影部分：所以11112221111111ln |1ln 221122222ln 211122x dx xp +⨯+-====+⎰， 所以21p p =()41ln 2+ 故选：D 【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 9．A 【分析】根据递推关系可得n a 的通项公式，再由条件64n m a a ⋅=可得,n m 的所有取值情况，进而一一代入式子求值，即可得答案； 【详解】22n n S a =-，∴1122n n S a --=-，两式相减得：11222(2)nn n n n a a a a n a --=-⇒=≥，111222a a a =-⇒=， ∴2n n a =，64n m a a ⋅=，∴2264n m ⋅=6n m ⇒+=，*,n m N ∈且n m ≠，∴1,5,m n =⎧⎨=⎩或2,4,m n =⎧⎨=⎩或4,2,m n =⎧⎨=⎩或5,1,m n =⎧⎨=⎩∴当1,5,m n =⎧⎨=⎩时，116215m n +=，当2,4,m n =⎧⎨=⎩时，11618942m n +==， 当4,2,m n =⎧⎨=⎩时，116334m n +=，当5,1,m n =⎧⎨=⎩时，116815m n +=， ∴116m n+的最小值为215，故选：A. 【点睛】本题考查数列的基本量运算与多项式求最值，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意不能误用基本不等式，导致出错. 10．B 【分析】由题意可得AC 为直径，则AC 中点即为球心O ，可得2ADC ABC π∠=∠=.由3ACD ACB π∠=∠=，可得BCD 为正三角形. 取BCD 中心H ，则OH HC ⊥.在Rt OCH 中求出OH ，即可求点A 到平面BCD 的距离.【详解】由题意知A B C D ，，，四点都在球面上，且AC 为直径，AC ∴中点即为球心O ，如图所示2ADC ABC π∴∠=∠=，4AC =，3ACD ACB π∠=∠=，2BC CD ∴==，又2BD =，BCD ∴△为正三角形. 取BCD 中心H ，连接,OH HC . 则OH ⊥面BCD ，OH HC ∴⊥.可求得CH =，2OC =，OH ∴=又因为AC 中点为O ，所以点A 到面BCD 的距离为点O 到面BCD 的距离的2倍，即距离为3. 故选：B . 【点睛】本题考查点面距，属于中档题. 11．C 【分析】 由132F A AB =且12BP AB =，得到1::3:2:1F A AB BP =，设PB x =，可得1,F A AB ，由双曲线的定义求得22,AF BF 的值，在直角21PF F ∆，2PF B ∆，2PF A ∆中可得r 的表达式，得出,a c 的关系式，即可求得离心率. 【详解】连接22,AF BF ，因为132F A AB =且12BP AB =，所以1::3:2:1F A AB BP =， 设PB x =，则2AB x =，13AF x =，由双曲线的定义知：15BF x =，232AF x a =+，252BF x a =-， 在直角21PF F ∆中有：()()2222226436r c x c x =-=-，（1）在直角2PF B ∆中有：()222225224204r x a x x ax a =--=-+，（2） 在直角2PF A ∆中有：()()2222323412r x a x a ax =+-=+，（3）由（2）（3），可得43x a =， 由（1）（2）可得2221550x ax a c -+-=，（4）将43x a =代入（4）可得2221a c =，所以双曲线的离心率为ce a==故选：C . 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及标准方程，以及直角三角形的性质的综合应用，其中解答中合理利用双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 12．B 【分析】令()tan g x ax x =-，则()()f x x g x =⋅，分类讨论当1a ≤时，利用导数与函数单调性的关系可得当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，根据极大值的定义可知1a ≤满足题意；当1a >时，利用导数可得存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得0cos x =数可得()()00g x g >=，从而可得()()0f x x g x =⋅>，与已知矛盾，进而得出结果. 【详解】令()tan g x ax x =-，则()()f x x g x =⋅，()21cos g x a x'=-， 当1a ≤时，,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '≤，()g x 单调递减，而()00g =， ,02x π⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()()00g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()0f x x g x g x ''=⋅+>，()0f x '>， 即()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()0f x x g x g x ''=⋅+<，()0f x '<，即()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 0x ∴=是函数()f x 的极大值点，1a ∴≤满足题意.当1a >时，存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得0cos x =，即，()00g x '=， 又()0201cos g x a x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()00,x x ∴∈时，()()00g x g >=，()()0f x x g x ∴=⋅>，这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾，综上所述a 的取值范围是(],1-∞. 故选：B 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论的思想，属于中档题. 13．1- 【分析】根据两直线平行列关于k 的方程，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足12l l //，即可得出实数k 的值. 【详解】直线1l ：30kx y ++=，2l ：30x ky ++=，且12l l //， 则11k k ⨯=⨯，解得1k =-或1.当1k =时，1:30l x y ++=，2:30l x y ++=，两直线重合，不合乎题意；当1k =-时，1:30l x y -++=，即30x y --=，2:30l x y -+=，两直线平行，满足题意.因此，1k =-. 故答案为：1- 【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的值代入两直线方程，验证两直线是否平行，考查运算求解能力，属于基础题.14．20- 【分析】写出通项公式，给r 赋值即可得出． 【详解】61()x x-的通项公式为：T r +1661()r r r x x-=-=（-1）r6r x 6﹣2r ．令6﹣2r ＝0 解得r ＝3， ∴（-1）336=-20，所以常数项为-20．故答案为-20． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题． 15．(],3-∞ 【分析】 由111nn n n a a ++=，得()111n n na n a +-+=，得()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，利用累加法、裂项相消法求得111n a n n =-+，由此得21n a n =-，从而求得数列121n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列，由此即可求出答案． 【详解】 解：由111nn n n a a ++=，得()111n n na n a +-+=，得()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++， 11221111221n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111212n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭12111n n n -=-+=，则21n a n =-，n *∈N ， ∵124224111n a n n n n ++==-+++，∴数列121n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列，∴12243111n a n +≥-=++， ∴1max231n a m n +⎛⎫≤=⎪+⎝⎭，故答案为：(],3-∞． 【点睛】本题主要考查数列的递推公式的应用，考查累加法求通项公式，考查裂项相消法求和，考查不等式恒成立问题，考查行列式的计算，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 16．3()2 【分析】PAB △中，设PA x =，PB y =，AB 边上的高为h ，解得411h xy =≤，由此能求出三棱锥体积最大值；沿AB 旋转PAB △与ABC 共面，120APB ∠=︒，P 在半径为r 一圆弧上运动，以AB中点为原点，建立直角坐标系，(C ，()11,0O ，()21,0O -，2r ，由此能求出PC 取值范围. 【详解】（1）PAB △中，设PA x =，PB y =，AB 边上的高为h ，则111sin120224xy h xy =︒⇒= 又2222122cos1203x y xy x y xy xy =+-︒=++≥，4xy ∴≤，1h ∴≤ 当且仅当x y =时等号成立，max 1141323V =⨯⨯⨯=（2）沿AB 旋转PAB △与ABC 共面，120APB ∠=︒，P 在半径为r 一圆弧上运动，以AB 中点为原点，建立直角坐标系，(C ，()11,0O ，2r，1max2CP CO r =+=， (C ，()21,0O -，2r ，2min2CP CQ r =-=，()2PC ∴∈故答案为：3，()2. 【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值、线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.17．（1）3π；（2）90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）先根据()2cos 2sin 12A C B π⎛⎫-⎝+⎪⎭-＝，得到1cos cos 4A C =；①再结合,,a b c 成等比数列得到sin 2sin sin B A C =；②二者联立即可求出B 的大小；（2）上面的二者联立求得A C =，得到其为正三角形，再结合二次函数的性质即可求得结论． 【详解】（1）依题可得：()1cos cos 2A C B --=，()()1cos cos 2A C A C ∴-++=， 1cos cos 4A C ∴=① 又因为长a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，由正弦定理得：2sin sin sin B A C =② ①-②得：21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=-，化简得：24cos 4cos 30B B +-=，解得：1cos 2B =，又0B π<<，所以3B π=，（2）①+②得：()cos 1A C -=，即0A C -=，即A C =，即三角形ABC 为正三角形， 设ABC 的边长为x ，由已知可得03x <<， 则()()()1cos 3cos332AC CD AC CD ACD x x x x ππ⋅=⋅-∠=-=- 2199930,2448x x ⎛⎫⎛⎤=--+-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦（当且仅当32x =时取等号）.AC CD ⋅的取值范围90,8⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了数量积运算性质、三角函数以及二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（1）见解析；（2）存在，2BP = 【分析】（1）证明DE ⊥平面ABCD ，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，过D 作平行与AB 的直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，平面ABE 的法向量()3,0,1n =，计算0DF n ⋅=得到证明.（2）设(DP DF λλ==-，()1,2BP λλ=---，故3sin cos ,4BP n α==，代入计算得到答案. 【详解】（1）∵四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥，因为平面EDCF ⊥平面ABCD ，DE ∴⊥平面ABCD ，由题意，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，过D 作平行与AB 的直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,2,0B ，(E ，(F -，(1,BE =--，()0,2,0AB =，(AE =-，设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，则20n AB y n AE x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =可求得平面ABE 的法向量()3,0,1n=，又(1,DF =-，300n DF ∴⋅=-+=，所以//DF 平面ABE ；（2）设()3DP DF λλ==-，则(),23P λλλ-，()1,2BP λλ=---， 设直线BP 与平面ABE 所成角为α，3sin cos ,BP nα∴===， 化简得28610λλ-+=，解得12λ=，或14λ=， 当12λ=时，3,1,22BP ⎛=-- ⎝⎭，2BP ∴=； 当14λ=时，53,,424BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2BP ∴=， 综上：2BP =.【点睛】本题考查了线面平行，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19．（1）84.80x =，84.67a ≈；（2）分布列见解析，()2E X =；（3）79家 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这50家食品生产企业考核成绩的平均数和中位数； （2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有10家，其中考核成绩在[]92,100内的企业有5家，得出随机变量X 的可能取值，分别求出相应的概率，得出分布列，求得数学期望； （3）根据题意得()84.80,27.68XN ，由此能求出估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家. 【详解】（1）由题意，这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：740.04780.12820.28860.36900.10940.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯980.0484.90+⨯=（分）,由频率分布图可知[]84,88a ∈内，所以()0.040.120.280.09840.5a +++⨯-=， 解得84.67a ≈分.（2）根据题意，这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有:()500.10.060.0410⨯++=（家），其中考核成绩在[]92,100内的企业有()500.060.045⨯+=（家）， 所以X 可能取值有0，1，2，3，4则()454101042C P X C ===，()13554105121C C P X C ===，()225541010221C C P X C ===，()31554105321C C P X C ===，()454101442C P X C ===，所以X 的分布列为所以()1510510123424221212142E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）由题意得()84.80,27.68XN ，所以84.80 5.2690.06μσ+≈+=，所以()10.68270.158722P X μσ>+≈-≈，所以5000.158779⨯≈（家）， 所以500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有79家. 【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，以及正态分布等知识的综合应用，注重考查了分析问题和解答问题的能力，以及运算、求解能力.20．（1）2212x y +=；（2）85【分析】（1）将x c =代入椭圆方程，可得22b PQ a ==再由2c e a ==，结合222a b c =+，解出a b c ，，，得到椭圆方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，BNBMλ=，()33,N x y ,则BN BM λ=得到()()3123121212x x x y y y λλλλ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，由,,A B N 在椭圆上，将坐标代入椭圆方程，得到关于λ的方程，从而解出λ的值，得到答案. 【详解】（1）联立22221x c x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2b y a =±，故22b PQ a ==c e a ==， 222a b c =+，联立三式，解得a =1b =，1c =.故椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，BNBMλ=，()33,N x y ， ∵M 是OA 的中点，11,22x y M ⎛⎫∴⎪⎝⎭，1122,22x y BM x y ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()3232,BN x x y y =--.又BN BM λ=，()11323222,,22x y x x y y x y λ⎛⎫∴--=-- ⎪⎝⎭，即()()3123121212x x x y y y λλλλ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩， ∵点()33,N x y 在椭圆C 上，()()221212121122x x y y λλλλ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭∴++-= ⎪⎝⎭， 即()()222222121212121114222x x x x y y y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（*） ∵()11,A x y ，()22,B x y 在椭圆C 上，221112x y ∴+=，①222212x y +=②又直线OA ，OB 斜率之积为12-，121212y y x x ∴=-，即121202x x y y +=，③将①②③代入（*）得()22114λλ+-=，解得85λ=所以85BN BM = 【点睛】本题考查椭圆椭圆方程与集合性质，直线与椭圆的位置关系，利用点在椭圆上进行消元，属于中档题.21．（1）见解析；（2）s 不是()0h s '=的根，理由见解析 【分析】(1)求解函数的导函数,分类讨论可得:①若0a >时,当()0,x a ∈时,函数()f x 单调递减,当(),x a ∈+∞时,函数()f x 单调递增; ②若0a =时，函数()f x 单调递增; ③若0a <时，当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,函数()f x 单调递减,当,2ax ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭时,函数()f x 单调递增. (2)构造新函数()()()()22ln h x f x x x a x a x ϕ=+=+--,()0x >求解导函数可得02a h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,欲证()0h s '=，故只需证明.1222x x a s +==, 由于1x ,2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根,不妨设为120x x <<,代入方程化简可得221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-,故只需证明()2212121212122222ln ln x x x x x x x x x x +-+-=-+-,化简为11212222ln 1x x x x x x -=+,构造()22ln 1t R t t t -=-+，()0,1t ∈，通过求导可知()R t 在()0,1单调递增.又()10R =,因此()0R t <即可证明()0h s '=不成立.【详解】（1）由()22ln f x a x x ax =-+-，可知()()()222222x a x a a x ax a f x x a x x x+---'=-+-==. 因为函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以，①若0a >时，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当()20f x x '=>在()0,x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；③若0a <时，当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()()22ln h x f x x x a x a x ϕ=+=+--（0x >），所以()()()()()2222122x a x a x a x a h x x a x x x+---+'=+--== 所以当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当,+2a x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当2a x =时，02a h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭欲证()0h s '=，故只需证明.1222x x as +==设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则()()211122222ln 2ln x a x a x m x a x a x m⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩ 两式相减并整理得()2212121212ln ln 22a x x x x x x x x -+-=-+-，从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-，故只需证明()2212121212122222ln ln x x x x x x x x x x +-+-=-+-（*） 即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-.所以（*）式可化为12121222ln ln x x x x x x --=+，即11212222ln 1x x x x x x -=+因为120x x <<，所以1201x x <<，不妨令12x t x =，即证22ln 1t t t -=+，()0,1t ∈成立. 记()22ln 1t R t t t -=-+，()0,1t ∈，所以()()()()222114011t R t t t t t -'=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在()0,1单调递增.又()10R =，因此()0R t <，()0,1t ∈，故22ln 1t t t -<+，()0,1t ∈，即()0h s '=不成立.故s 不是()0h s '=的根得证. 【点睛】本题考查导数在研究函数单调性中的应用,考查利用导数解决方程的根的问题,考查分类讨论的思想,考查分析法在证明中的应用,属于难题.22．（1）24y x =；（2）1【分析】(1)首先将曲线C 参数方程通过变换22x x y y ='-='⎧⎨⎩得到221212x k k y k k ⎧=+-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎝'⎭⎩'⎪消去参数即可化为普通方程;(2)将直线的参数方程和曲线E 的方程联立,根据直线参数方程的几何意义,借助韦达定理即可得出结果. 【详解】（1）曲线C 的参数方程是2211x k ky k k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩经过变换22x x y y ='-='⎧⎨⎩得到221212x k k y k k ⎧=+-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎝'⎭⎩'⎪,消去参数得:24y x ''=,即曲线E 的普通方程为24y x =；（2）将1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =得238160t t --=，1283t t +=，12163t t 所以12121216111131163t t PA PB t t t t -+=-===,即11=1PA PB +. 【点睛】本题考查参数方程和普通方程的互化,考查图象的变换,考查直线参数方程的几何意义,属于中档题.23．（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）构造三元基本不等式, 即可证明不等式成立.（2）根据三元柯西不等式,可得使等号成立的条件.利用等式成立,结合方程思想,即可求得a b cx y z++++的值.【详解】（1）由三元基本不等式知1b a c b a b c a b c b a b c b +++=++-++12≥=, 当且仅当b a b ca b c b+==+，即a b =且0c 时取等号； （2）由三元柯西不等式知()()()2222222a b cx y z ax by cz ++++≥++,结合方程组可知不等式当a b cx y z==时取等号,所以设(0)a b ck k x y z===>, 即a kx =,b ky =,c kz =, 所以()2222222a b c k xy z ++=++,即249k =,解得23k =, 从而23a b c k x y z ++==++【点睛】本题考查了利用三元基本不等式证明不等式成立,三元柯西不等式的综合应用,属于中档题.。