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立体图形复习课教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）能够识别和命名常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥等。
（2）理解立体图形的特征和性质，如表面积、体积的计算方法。
（3）掌握立体图形的分类和转换方法。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、比较等方法，提高学生对立体图形的认识和理解。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
（3）学会运用立体图形的知识和方法解决实际问题。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对立体图形的兴趣，培养学生的创新意识。
（2）培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
二、教学内容：1. 复习正方体、长方体的特征和性质。
2. 复习圆柱、圆锥的特征和性质。
3. 立体图形的分类和转换方法。
4. 立体图形的实际应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）正方体、长方体、圆柱、圆锥的特征和性质。
（2）立体图形的分类和转换方法。
（3）立体图形的实际应用。
2. 教学难点：（1）立体图形的分类和转换方法。
（2）立体图形的实际应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究立体图形的特征和性质。
2. 运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
3. 利用多媒体辅助教学，提高学生的空间想象能力。
4. 结合实际例子，让学生感受立体图形在生活中的应用。
五、教学过程：1. 导入新课：（1）引导学生回顾已学过的立体图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥等。
（2）提问：这些立体图形有什么特征和性质？它们之间有什么联系和区别？2. 自主学习：3. 课堂讲解：（1）讲解立体图形的分类和转换方法。
（2）举例说明立体图形在实际生活中的应用。
4. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生巩固所学知识。
（2）教师批改练习题，及时反馈学生学习情况。
（1）让学生谈谈对本节课的学习收获。
6. 课后作业：（1）请学生绘制一个自己喜欢的立体图形，并简要介绍其特征和性质。
（2）寻找生活中的立体图形，拍照或绘画，并描述其应用场景。
立体几何复习教案立体几何复习教案本文将介绍立体几何的基础知识和核心要点，帮助读者进行复习和巩固。
立体几何是几何学的一个重要分支，研究的是三维空间中的几何形体和其性质。
通过理解和掌握立体几何的基本概念和方法，我们可以更好地应用于实际问题的解决。
一、立体几何基本概念1. 点、线、面和体：在立体几何中，点是没有大小和形状的，仅表示位置；线由一系列的点构成，我们用直线和曲线来表示；面是由线围成的平面；而体则是由面围成的物体。
2. 多面体：多面体是一种有多个平面的立体图形，包括三角形柱体、正方体、棱柱、棱台、四面体、六面体等。
每个多面体都有特定的边和顶点数量。
3. 线面角：立体几何中的线面角是指一条线与一个平面之间的夹角，其中线即为直线或线段，平面则是由其中的一条边和平行于它的一个平面组成。
二、立体几何的常用公式和定理1. 体积和表面积：计算多面体的体积和表面积是立体几何的基本问题之一。
例如，计算正方体的表面积可使用公式6a²，其中a为正方体的边长。
而计算棱柱的体积可使用公式Bh，其中B为底面的面积，h为高度。
2. 相似多面体和正交投影：相似多面体是指形状和大小相似的多面体，它们的对应线段的比值称为相似比。
而正交投影是指从一个三维图形到一个二维平面的投影过程，常用于展示和分析立体图形。
3. 垂直线面和角平分线：垂直线面是指两个平面相互垂直，在立体几何中很常见。
而角平分线则是将一个角平分为两个相等的角的线段。
4. 垂心、重心和外心：垂心是指一个三角形的三条高的交点，重心是指一个三角形三条中线的交点，而外心是指一个三角形三条垂直平分线的交点。
三、立体几何的解题方法1. 求体积和表面积：计算多面体的体积和表面积时，要根据实际形状和给定条件选择合适的公式进行计算。
可以通过了解各个多面体的特点和性质，来灵活使用公式进行计算。
2. 使用正交投影：在分析和展示立体图形时，可以使用正交投影将三维图形投射到二维平面上。
立体图形复习课教案第一章：课程导入1.1 教学目标：让学生回顾和巩固已学过的立体图形知识。
激发学生对立体图形的兴趣，提高他们的观察和思考能力。
1.2 教学内容：回顾立体图形的定义和特点。
通过实物展示和图片，引导学生观察和识别不同的立体图形。
1.3 教学方法：采用问题引导法，激发学生的思考和讨论。
通过实物展示和图片，帮助学生直观地理解立体图形的特点。
1.4 教学步骤：1.4.1 引入：向学生提出问题，让他们回顾已学的立体图形知识，例如：“你们还记得立体图形的定义吗？”1.4.2 展示实物或图片：展示不同立体图形的实物或图片，让学生观察和识别。
1.4.3 分组讨论：将学生分成小组，让他们相互交流和讨论，分享自己对立体图形的理解和认识。
第二章：正方体的性质2.1 教学目标：让学生掌握正方体的性质和特点。
培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
2.2 教学内容：正方体的定义和特点。
正方体的性质，如六个面都是正方形，十二条边长度相等等。
2.3 教学方法：采用问题引导法，引导学生探索和发现正方体的性质。
通过实物展示和图片，帮助学生直观地理解正方体的特点。
2.4 教学步骤：2.4.1 引入：向学生提出问题，让他们回顾已学的正方体知识，例如：“你们还记得正方体的定义吗？”2.4.2 展示实物或图片：展示正方体的实物或图片，让学生观察和识别。
2.4.3 分组讨论：将学生分成小组，让他们相互交流和讨论，分享自己对正方体的理解和认识。
第三章：圆柱的性质3.1 教学目标：让学生掌握圆柱的性质和特点。
培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.2 教学内容：圆柱的定义和特点。
圆柱的性质，如两个底面都是圆形，侧面是矩形等。
3.3 教学方法：采用问题引导法，引导学生探索和发现圆柱的性质。
通过实物展示和图片，帮助学生直观地理解圆柱的特点。
3.4 教学步骤：3.4.1 引入：向学生提出问题，让他们回顾已学的圆柱知识，例如：“你们还记得圆柱的定义吗？”3.4.2 展示实物或图片：展示圆柱的实物或图片，让学生观察和识别。
立体几何复习课的教学设计下面我从十个方面来谈谈我对立体几何复习课的教学设计。
1 教材分析：这章是研究、理解空间图形的形状、大小与位置关系，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，理解空间图形；再以长方体为载体，直观理解和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述相关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论实行论证。
学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
本章的基本要求是培养和发展学生的空间想像水平、推理论证水平、使用图形语言实行交流的水平以及几何直观水平。
2学前分析。
作为复习课，学生对这章的知识已经有了一定的积累，逻辑思维水平和空间想象水平,也有了一定的提升，那么，结合课标的理解，结合学情，3教学目标：（1）知识与技能：引导学生构建本章的知识网络，体会知识之间的内在联系。
（2）过程与方法：培养学生的分析、观察、想象水平，进一步应用这些知识发现问题﹑分析问题﹑解决问题的水平为教学的最终目的。
（3）情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索的精神，在合作中探究，在竞争中得以提升。
4教学重点：本章的重点是，对空间的点、线、面之间的位置关系的理解，会利用相关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理对一些问题加以证明。
增强几何直观、合情推理教学，从几何直观、合情推理、逻辑推理等多角度培养学生空间想象水平。
5教学方法：（1）牢固掌握立体几何中的基础知识，点线面之间的关系；（2）掌握必要的逻辑知识和逻辑思维，提升学生应用定理分析问题和解决问题的水平。
那么通过学生课前自学探究，课堂上展示交流，以问题串的形式设问，以题组的形式巩固深化，通过不同形式的探究，让学生积极思考，并参与到教学活动中来。
6学法指导：（1）通过自学探究与合作学习，进而推动整个教学程序的展开。
（2）通过在学生最近发展趋势的问题，提升学生的观察、分析、解决问题的水平。
7教学过程：教师在教学过程中给学生充分展开探索与研究的时间与空间，应相信学生有水平通过合作与交流有效完成相对应的研究任务。
《立体几何复习》教学设计1. 直观认识简单组合体的结构特征；2. 运用空间点、线、面的位置关系及简单推理论证解决立体几何证明问题； 3．体会“转化”思想，将空间问题转化为平面问题．教学重点：线线、线面、面面关系的转化． 教学难点：线线、线面、面面关系的转化．PPT 课件．一、知识回顾问题1：空间几何体的表面积与体积（1）圆柱侧面积 ；圆锥侧面积 ； 圆台侧面积 ； （2）柱体的体积 ；锥体的体积 ；台体的的体积 ； （3）球的表面积 ；体积 ． 师生活动：学生回忆、总结．预设的答案：⑴ l r S ⋅⋅=π2侧面 ；l r S ⋅⋅=π侧面；l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面； （2）h S V ⋅=柱体h S V ⋅=31锥体()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上（3）32344R V R S ππ==球球，.设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 问题2：平面基本性质及推论 师生活动：学生回忆、总结． 预设的答案：平面基本性质 公理1公理2公理3图形语言◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标文字语言 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B C A B C α⇒不共线确定平面,lP P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩作用 判断线在面内 确定一个平面 证明多点共线公理2的三条推论：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 问题3：直线和平面平行的判定与性质 师生活动：学生回忆、总结． 预设的答案：直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 简记为：线线平行，则线面平行． 符号： ////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行，则线线平行.符号： ////a a a b b αβαβ⊂⇒=⎫⎪⎬⎪⎭设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：直线和平面垂直的判定与性质师生活动：学生回忆、总结． 预设的答案：直线与平面垂直⑴ 定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直．⑵ 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．简记为：线线垂直，则线面垂直. 符号：,,m n m n A l l m l n αα⊂⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭直线与平面垂直性质性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行． 符号： a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行 符号：l l ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．符号语言：a ∥b ， a ⊥α，⇒b ⊥α 设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 问题5：平面与平面平行的判定与性质 师生活动：学生回忆、总结． 预设的答案：平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．简记为：线面平行，则面面平行. 符号：,,a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭2平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．简记为：面面平行，则线线平行.符号：a a b b αβαγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭补充：平行于同一平面的两平面平行；夹在两平行平面间的平行线段相等；两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 问题6：平面和平面垂直的判定与性质 师生活动：学生回忆、总结． 预设的答案：平面与平面垂直的判定（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号：l l βαβα⊥⇒⊥⊂⎫⎬⎭推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直． 4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．简记为：面面垂直，则线面垂直. 设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 问题7：三种成角师生活动：学生回忆、总结． 预设的答案：1.异面直线成角步骤：平移，转化为相交直线所成角；找锐角（或直角）作为夹角；求解．注意：取值范围：(0,]2π.2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围(0,]2π.如图：P A 是平面α的一条斜线，A 为斜足，o 为垂足，OA 叫斜线P A 在平面α上射影，PAO ∠为线面角．3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形设计意图：培养学生分析和归纳的能力.--,,--l OA OB OA l OB l AOB l αβαβαβ⊂⊂⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，，且则为二面角的平面角。
专题9 立体几何复习（二）教案第课时教案序号 1一、知识梳理1. 异面直线所成的角：m、n是两条异面直线，经过空间任一点O，作直线m，∥m ,n，∥n ,我们把直线m，和n，所成的锐角（或直角）叫做异面直线m,n所成的角.当两条异面直线所成的角为直角时称这两条异面直线垂直，记作m⊥n .2. 直线与平面所成角（1）斜线及其在平面内的射影:一条直线和一个平面相交，但不和它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足.过斜线上一点（除斜足外）向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.（2）直线与平面所成的角：平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与这个平面所成的角.（3）特殊情况：一条直线垂直于平面，则线面所成角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，则线面所成的角是0°角.（4）直线与平面所成角的取值范围是3.二面角（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.（2）二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面.（3）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小可用它的平面角来度量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.4.各类几何体及其面积、体积二、考点解析例1：例1变式训练：例2:将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积例2变式训练：例3：三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两球体积和的 （ ） 例3变式训练： 若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的（ ） 例4：DO CBA P例4变式训练：在正四面体ABCD中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的余弦值大小。
三、错题分析纠正下题解法中的错误：。
立体图形的整理和复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）能够识别和命名常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥等。
（2）了解立体图形的基本特征，如面、边、顶点等。
（3）学会使用简单的几何语言描述立体图形的大小、位置和形状。
2. 过程与方法：（1）通过观察、比较和操作立体模型，培养学生的空间想象能力。
（3）培养学生运用立体图形的知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对立体图形的兴趣，培养学生的探索精神和创新意识。
（2）培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
二、教学内容1. 回顾平面图形的分类和特征，如三角形、四边形、五边形等。
2. 引入立体图形的概念，认识正方体、长方体、圆柱、圆锥等常见立体图形。
3. 学习立体图形的基本特征，如面、边、顶点等。
4. 学习如何用简单的几何语言描述立体图形的大小、位置和形状。
三、教学重点与难点1. 重点：（1）立体图形的分类和特征。
（2）立体图形的基本概念和术语。
（3）用几何语言描述立体图形的方法。
2. 难点：（1）立体图形空间想象能力的培养。
（2）解决实际问题能力的提升。
四、教学方法1. 采用直观演示法，通过展示立体模型，帮助学生建立空间想象力。
2. 运用比较法，引导学生发现立体图形之间的相同点和不同点。
4. 采用案例教学法，培养学生运用立体图形的知识解决实际问题的能力。
五、教学准备1. 教具：正方体、长方体、圆柱、圆锥等立体模型。
2. 学具：学生用书、练习册等。
3. 课件：立体图形的图片、动画等。
六、教学步骤1. 导入新课：通过展示各种立体模型，引导学生回顾平面图形的分类和特征，为新课的学习做好铺垫。
2. 探究立体图形：让学生观察和操作立体模型，引导学生发现立体图形的特征，如面、边、顶点等。
3. 学习立体图形的命名：教授学生如何正确命名常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥等。
4. 描述立体图形：引导学生用简单的几何语言描述立体图形的大小、位置和形状。
立体几何复习教案教案：立体几何复习教学内容：立体几何的基本概念和性质复习教学目标：1.复习立体几何的基本概念，如立体图形、多面体等。
2.复习立体几何的性质，如表面积、体积等。
3.强化学生对立体几何的理解和应用能力。
教学重点：1.立体几何的基本概念的复习。
2.立体几何的性质的复习。
教学难点：对立体几何的应用能力的强化。
教学准备：教学用具：课件、多面体模型等。
教学过程：Step 1：引入立体几何的复习通过引导学生回忆立体几何的基本概念，如点、线、面、体等，并简要介绍立体几何的应用领域和重要性。
Step 2：复习立体几何的基本概念1.复习点、线、面的概念。
2.复习立体图形的概念及种类，如球体、圆柱体、锥体、棱柱体等。
3.复习多面体的概念及种类，如四面体、六面体等。
Step 3：复习立体几何的性质1.复习表面积的计算方法，并通过实例进行计算练习。
2.复习体积的计算方法，并通过实例进行计算练习。
3.复习立体几何图形的旋转、翻转和镜像等性质。
Step 4：巩固立体几何的知识进行一些小组讨论和练习题，强化学生对立体几何的理解和应用能力。
Step 5：拓展应用通过引导学生思考，在实际生活、工程等领域中应用立体几何的情况，拓展学生的思维和应用能力。
Step 6：复习总结对本堂课所学内容进行总结和复习，帮助学生巩固所学知识。
Step 7：作业布置布置一些与立体几何相关的作业，以进一步巩固学生的学习成果。
教学评价：在整个教学过程中，通过学生回答问题、小组讨论和练习题等方式进行评价，以了解学生对立体几何知识的掌握程度和应用能力的发展情况。
教学反思：通过本堂课的复习教学，学生对立体几何的基本概念和性质有了较好的理解和掌握，学生对立体几何的应用能力也有了一定的提高。
在教学过程中，可以适当引入更多的生活实例，并加强练习的设置，以进一步巩固学生的学习成果。
学习必备欢迎下载2．平面与空间直线一.知识回顾 :(一)平面：1、平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面3、平面的表示：（1）用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；（2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC(二 )三公理三推论 :公理 1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.A l ,B l ,A,B l公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
公理 3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论一 :经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 .推论二 :经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论三 :经过两条平行直线,有且只有一个平面.( 三) 空间直线 :1.空间两条直线的位置关系：（1）相交直线——有且仅有一个公共点；（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线．异面直线的画法常用的有下列三种：b bba aa2.平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。
即公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3.等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式： A,B, a,B a AB 与 a 是异面直线二基本训练：1 ．A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是（）( A) A l , A, B l , B l(B) A, A， B, B AB 直线(C ) l, A l A(D) A, B,C， A,B,C且 A,B,C 不共线与重合选 C2．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若a与 b 是异面直线， b 与c是异面直线，则a与c也异面其中真命题个数为（）3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45 ，腰和上底边均为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）(A)12(B) 12(C)12(D)22222选 D4．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个选 B5．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定个平面．学习必备欢迎下载 答案： 7 个． 三．例题分析：例 1．如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥CD ，直线 AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点 E ，G ，H ， F ．求证： E ，F ，G ，H 四点必定共线． A解：∵ AB ∥CD ，BD∴AB ，CD 确定一个平面 β．CHE G又∵ AB α＝E ，AB β，∴E ∈α，E ∈β， Fα即 E 为平面 α与β的一个公共点．同理可证F， ， H 均为平面 α与β的公共点．G∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E ，F ， G ， H 四点必定共线．说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例 2．已知： a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证： a ， b ， c ， d 共面．证明1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点 A ，但 A d ，如图 1．Aα∴直线 d 和 A 确定一个平面 α．daE Fb Gc又设直线 d 与 a ，b ，c 分别相交于 E ，F ，G ，图 1则 A ，E ，F ，G ∈α．HKα∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴ a α．dabc同理可证 b α，c α．图 2∴a ，b ，c ，d 在同一平面 α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图 2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线 a ，b 确定一个平面 α．设直线 c 与 a ， b 分别交于点 H ，K ，则 H ，K ∈α．又 H ，K ∈ c ，∴c α．同理可证 d α．∴a ，b ， c ，d 四条直线在同一平面 α内．说明：证明若干条线 (或若干个点 )共面的一般步骤是：首先根据公理3 或推论，由题给条件中的部分线 (或点 )确定一个平面，然后再根据公理 1 证明其余的线 (或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例 3．已知不共面的三条直线 a 、 b 、 c 相交于点 P ， A a ， B a ， C b ， D c ，求证： AD 与 BC 是异面直线．证一：（反证法）假设 AD 和 BC 共面，所确定的平面为 α ，那么点 P 、 A 、B 、C 、D 都在平面 α 内，∴直线 a 、b 、c 都在平面 α 内，与已知条件 a 、 b 、c 不共面矛盾，假设不成立， ∴AD 和 BC 是异面直线。
