江苏省南京高考考前综合训练数学试题有答案

江苏省南京市（新版）2024高考数学苏教版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于A．B．或2C．2D．第(2)题若复数满足，则（）A．B．C．D．第(3)题已知圆，直线，方程，则“圆与直线相切”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题函数的图象大致是（）A．B．C．D．第(6)题如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．B．C．90D．81第(7)题已知满足：为平面内一点，两点在直线的不同侧，．若，则（）A．B．C．D．第(8)题设是虚数单位，复数=A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，在正方体中，点M是棱上的动点（不含端点），则（）A．过点M有且仅有一条直线与AB，都垂直B．有且仅有一个点M到AB，的距离相等C．过点M有且仅有一条直线与，都相交D．有且仅有一个点M满足平面平面第(2)题如图，已知正方体的棱长为为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则（）A．三点共线B．点到平面的距离为C．用过点的平面截该正方体所得的较小部分的体积为D．用过点且平行于平面的平面截该正方体，则截得的两个多面体的能容纳的最大球的半径均为第(3)题已知直线与函数的图象相交于两点，与函数的图象相交于两点，的横坐标分别为，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知直线l经过点，曲线：.①曲线经过原点且关于对称；②当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为；③当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个④存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2以上说法正确的是___________第(2)题在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为______．第(3)题已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为_____ .四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图：四棱锥中,(1)证明：⊥平面；(2)求点到平面的距离.第(2)题已知函数，．（1）求函数的单调区间及极值；（2）设，当时，存在，，使方程成立，求实数的最小值．第(3)题设函数，.（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）当时，记的极小值为H，求H的最大值.第(4)题数列的前项和满足．(1)令，求的通项公式；(2)令，设的前项和为，求证：．第(5)题某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.x123456y0.51 1.53612-0.700.4 1.1 1.8 2.5(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）(2)根据下表中数据，用相关指数（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？经验回归方程残差平方和18.290.65参考公式及数据：，，，，.。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，则（）A．有一个极值点B．有两个零点C．点（0，1）是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线第(2)题直线与圆相交于两点，则线段的长度可能为（）A．5B．7C．9D．14第(3)题已知复数z的共轭复数满足，则（）A．B．1C．2D．4第(4)题设F1，F2是双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝3|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．第(5)题随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私和秘密加以保护，又能获得所需要的真实信息．某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”．①：若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；②：若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”．当所有员工完成问卷调查后，统计画√，画×的比例为3∶2，用频率估计概率，则该公司员工对考勤管理方案的满意率为（）A．50%B．60%C．70%D．80%第(6)题若，，则（）A．1B．－1C．2D．－2第(7)题设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为（）A．1B．C．无穷多个D．前面的说法都有可能第(8)题已知集合，集合.则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知某厂生产一种产品的质量指标值X服从正态分布，则从该厂随机抽取的10000件产品中，质量指标值不低于81.91的产品约有（）参考数据：，，，，.A．1586件B．1588件C．156件D．158件第(2)题如图，长方体中，，，，点M是侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（）A．当PM长度最小时，三棱锥的体积为B．当PM长度最大时，三棱锥的体积为C．若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为D．若M在平面内运动，且，则点M的轨迹为圆弧第(3)题在矩形中，，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．三棱锥体积的最大值为B．点都在同一球面上C．点在某一位置，可使D．当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若函数与函数的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围为______．第(2)题已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是__________.第(3)题自年月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性，各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有名医生，现要求这名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有_________种.（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中,底面是矩形，,是棱的中点.求证：平面平面；设，求点到平面的距离.第(2)题已知数列满足：，(1)求得值；(2)设求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；(3)对任意的，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由.第(3)题新修订的《中华人民共和国体育法》于2023年1月1日起施行，对于引领我国体育事业高质量发展，推进体育强国和健康中国建设具有十分重要的意义．某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图：(1)根据等高堆积条形图，填写下列2×2列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联；性别是否喜欢排球运动是否男生女生(2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取50名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为X，求使得取得最大值时的k值．附：，其中，．第(4)题已知函数f(x)＝ax＋＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝.（1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明．第(5)题已知函数.（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；（2）若，证明：，总有.。

南京市2024届高三数学考前综合题目录三角函数与解三角形 (2)集合与常用逻辑用语 (5)复数 (6)不等式 (7)数列 (7)概率与统计 (11)立体几何 (18)平面向量 (23)解析几何 (25)函数与导数 (34)12三角函数与解三角形1．(单选)阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1所示．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y (m )和时间x (s )的函数关系为f (x )＝3sin ωx ＋5π6(ω>0)，该函数的部分图象如图2所示．若该图象上两相邻的最高点与最低点的距离为4，则f (－1)＝()A.－1B.1C.－32D.32【答案】D【解析】设f (x )的最小正周期为T ，则42＝(23)2＋T22，解得16＝12＋T 24，于是T ＝4．因为T ＝2πω，ω>0，所以ω＝2πT ＝π2，所以f (x )＝3sin π2x ＋5π6，所以f (－1)＝3sin －π2＋5π6＝3sin π3＝3×32＝32．故选D ．【说明】本题考查函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称性．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，当A ＝2C 时，△ABC 的周长为▲________．【答案】15【提示】根据正弦定理及4sin B ＝5sin C ，得4b ＝5c ，即b ＝5c4．图1图23由A ＝2C ，得B ＝π－3C ．又因为b sin B ＝c sin C ，所以5c 4sin(π－3C )＝c sin C ＝5c4sin C (4cos 2C －1)．由sin C ≠0，得4cos 2C －1＝54，解得cos C ＝34或－34(舍去)，于是sin C ＝1－cos 2C ＝74.因为A ＝2C ，所以sin A ＝sin2C ＝2sin C cos C ＝2×34×74＝378．又因为a sin A ＝csin C，所以6378＝c74，解得c ＝4，b ＝5，于是a ＋b ＋c ＝15．故△ABC 的周长为15．【说明】本题主要考查正弦定理及三角恒等变换．3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2＝bc sin A ，则c b ＋bc 的最大值为▲________．【答案】5【提示】由余弦定理，得bc (sin A ＋2cos A )＝b 2＋c 2，即b 2＋c 2bc＝sin A ＋2cos A ，于是c b ＋bc ＝5sin(A ＋φ)，其中tan φ＝2．当A ＋φ＝π2时，c b ＋bc取得最大值5．【说明】本题利用余弦定理及辅助角公式，得c b ＋bc ＝5sin(A ＋φ)，并结合三角函数的有界性可求其最大值，如何构造目标式是思路关键．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c sin B －b cos(C －π6)＝0．(1)求C ；(2)若AB 边上的高CD 为3，求AB 的最小值．【答案】(1)π3；(2)2．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理，易得b sin C ＝c si nB ．4又因为c sin B －b cos(C －π6)＝0，所以b sin C ＝b cos(C －π6)，所以sin C ＝32cos C ＋12sin C ，即sin C ＝3cos C ，因为C ∈(0，π)，sin C ≠0，所以cos C ≠0，故tan C ＝3，于是C ＝π3．(2)思路1：由(1)，得C ＝π3．设∠ACD ＝α(0＜α＜π3)，则∠BCD ＝π3－α.在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan α＝3tan α．在Rt △BCD 中，BD ＝CD tan(π3－α)＝3tan(π3－α)．于是AB ＝AD ＋BD ＝3tan α＋3tan(π3－α)＝3(1＋tan 2α)1＋3tan α.令t ＝1＋3tan α，则tan α＝3(t －1)3．因为0＜α＜π3，所以1＜t ＜4，所以AB ＝3(1＋[3(t －1)3]2)t ＝t ＋4t －2≥2t ·4t－2＝2(当且仅当t ＝2时，等号成立)，所以AB 的最小值为2．思路2：由(1)，得C ＝π3，根据余弦定理以及基本不等式，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝AC 2＋BC 2－AC ·BC ≥AC ·BC ．又因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AB ·CD ，且CD ＝3，所以AC ·BC ＝2AB ．所以AB 2≥2AB ，即AB ≥2．故AB 的最小值为2．【说明】本题考查解三角形、不等式等知识，利用转化与化归思想解决问题．5．(单选)古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线．其中余切函数cot θ＝1tan θ，正割函数sec θ＝1cos θ，余割函数csc θ＝1sin θ，正矢函数versin θ＝1－cos θ，余矢函数vercos θ＝1－sin θ．如图3所示，角θ始边为x 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P ．A ，B 分别是单位圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点．过点P 作PM 垂直x 轴，作PN 垂直y 轴，垂足分别为M ，N ，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线分别交角θ的终边于T ，S ，其中AM ，PS ，BS ，NB 为有图3向线段．下列表示正确的是()A．versinθ＝AM B．cscθ＝PSC．cotθ＝BS D．secθ＝NB集合与常用逻辑用语1．(单选)集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的子集个数为()A.2B.4C.8D.16【答案】D【提示】由题意，得A＝{0，1，2，3}，故集合A子集个数为16个．故选D．【说明】本题考查子集个数问题．2．(单选)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∪T＝() A． B．S C．T D．Z【答案】B【提示】在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∪T＝S.56故选B ．【说明】本题考查集合间的关系与运算．3．(单选)已知集合A ，B ，定义A *B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A #B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }，则对于集合M ，N ，下列结论一定正确的是()A ．M *(M *N )＝NB ．(M *N )#(N *M )＝∅C ．(M #N )*M ＝ND ．(M *N )∩(N *M )＝∅【答案】D【提示】根据题中的新定义，易得M *N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，N *M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }，则(M *N )∩(N *M )＝∅．故选D ．【说明】本题考查集合之间的关系与运算．复数1．(单选)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z －2z －|2＝z ＋z －，则复数z 在复平面内对应点的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B【提示】因为z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），所以z －＝x －y i(x ，y ∈R )．从而z ＋z －＝x ＋y i ＋x －y i ＝2x ，z －2z －＝(x ＋y i)－2(x －y i)＝－x ＋3y i ，故|z －2z －|2＝x 2＋9y 2，又因为|z －z －|2＝z ＋z －，所以x 2＋9y 2＝2x ，即(x －1)2＋9y 2＝1.所以复数z 在复平面内对应点的轨迹为椭圆.【说明】本题考查复数的加减运算，复数模，轨迹法研究曲线等相关知识.2.(多选)下列四个命题中的假命题为()A.已知z 1，z 2，z 3∈C ，若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3B.若z 1＝z 2－，则|z 1z 2|＝|z 1|2C ．若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0D ．(z 1＋z 2)2＝(z 1－＋z 2－)2【答案】ACD【提示】对于选项A 项，z 1＝0，z 2＝i ，z 3＝－i ，显然有z 1z 2＝z 1z 3＝0，但z 2＝z 3不成立，故选项A 错误．对于选项B 项，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，于是|z 1z 2|＝|(a ＋b i)(a －b i)|＝a 2＋b 2，|z 1|2＝a 2＋b 2，7故选项B 正确．对于选项C ，令z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则z 1＋z 2＝2，z 1－z 2＝2i ，于是|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，但是z 1z 2＝(1＋i)(1－i)＝2≠0，故选项C 错误．对于选项D ，令z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则(z 1＋z 2)2＝[(a ＋c )＋(b ＋d )i]2＝(a ＋c )2－(b ＋d )2＋2(a ＋c )(b ＋d )i ，(z 1－＋z 2－)2＝[(a ＋c )－(b ＋d )i]2＝(a ＋c )2－(b ＋d )2－2(a ＋c )(b ＋d )i ，两式不同，故D 不一定成立．故选ACD ．【说明】本题考查复数的概念和基本运算.不等式1．(单选)已知e a ＝lg3，b ＝lg(ln3)，c ＝ln 13，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a【答案】C【提示】由e a ＝lg3，得a ＝ln(lg3)．因为3lg3＝lg27＞1，所以lg3＞13，所以ln(lg3)＞ln 13，所以a ＞c ．又因为ln3＞1＞lg3＞0，所以lg(ln3)＞0＞ln(lg3)，所以b ＞a ．【说明】本题考查指对幂关系比较大小的基本方法(即化成同底，利用函数单调性比较)．数列2.数列{a n }满足a n ＋2＋(－1)n a n ＝3n －1，前16项和为532，则a 1＝▲________．【答案】68【提示】根据题意，当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝3n －1，当n 为偶数时，a n ＋2＋a n ＝3n －1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 16＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋···＋a 16＝a 1＋a 3＋a 5＋···＋a 15＋(a 2＋a 4)＋···＋(a 14＋a 16)＝a 1＋(a 1＋2)＋(a 1＋10)＋(a 1＋24)＋(a 1＋44)＋(a 1＋70)＋(a 1＋102)＋(a 1＋140)＋(5＋17＋29＋41)＝8a 1＋392＋92＝8a 1＋484＝532．所以a 1＝6．【说明】本题考查数列的奇偶项求和问题.4．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1n＋n ，n 是奇数，－2n ，n 是偶数，设{a n }的前n 项和为S n ，下列结论正确的是()A ．数列{a 2n －2}是等比数列B ．a 2n ＝2－(12)nC ．S 8＜－11D ．数列{S 2n －1}是单调递减数列95．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且n ，a n ，S n 成等差数列．已知数列{b n }首项b 1＝1，且b n ＋1＝2b n －2n ＋3．(1)求数列{a n }的通项公式，并求数列{a n ＋1a n a n ＋1}的前n 项和T n ；(2)若将数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原顺序组成数列{c n }，求c 1＋c 2＋…＋c 30的值．(3)是否存在不同的m ，n ∈N *，使得a m ，a 3，a n 成等差数列?如果存在，请求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)a n ＝2n －1，T n ＝1－12n ＋1－1；(2)1176；(3)不存在．解：(1)因为n ，a n ，S n 成等差数列，所以S n ＋n ＝2a n ①，所以S n －1＋n －1＝2a n －1(n ≥2)②．由①－②，得a n ＋1＝2a n －2a n －1，于是a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2).又因为S 1＋1＝2a 1，所以a 1＝1，所以a 1＋1＝2，因此，数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，即a n ＝2n －1．又因为a n ＋1a n a n ＋1＝2n (2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1，10所以T n ＝(1－13)+(13－17)+…+(12n －1－12n ＋1－1)＝1－12n ＋1－1．(2)因为b n ＋1＝2b n －2n ＋3，所以b n ＋1－(2n ＋1)＝2[b n －(2n －1)]＝…＝2n (b 1－1)＝0，所以数列{b n －（2n －1）}是各项均为0的常数数列，所以b n =2n －1．所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．又因为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31，a 6＝63，b 32＝63，b 36＝71所以c 1＋c 2＋…＋c 30＝(b 1＋b 2＋…＋b 36)－(a 1＋a 2＋…＋a 6)＝36×(1＋71)2－[(21＋22＋…＋26)－6]＝362－27＋8＝1176.(3)假设存在不同的m ，n ∈N *，不妨假设m ＜n 使得a m ，a 3，a n 成等差数列，则2m －1＋2n －1＝2(23－1)，即2m ＋2n ＝24，两边除以16得，2m －4＋2n －4＝1．因为m ＜n ，所以2m －4＜2n －4，所以2m－4＋1＜1，所以m ＜3．当m ＝1时，n ＝log 214；当m ＝2时，n ＝log 212，这与题设矛盾，所以不存在不同的m ，n ∈N *使得a m ，a 3，a n 成等差数列．【说明】考查a n 与S n 关系，以及数列递推，新数列求和，数列不定方程等．概率与统计C．展开式中所有二项式系数的和为4096D．展开式中第11项为24x－10【答案】AC【提示】对于选项A，因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以n＝12．故选项A正确．对于选项B，令x＝1，则展开式中所有项的系数和为(a－1)12＝1，解得a＝2或0(舍去)，故选项B错误．对于选项C，展开式中所有项的二项式系数和为212，故选项C正确．对于选项D，展开式的通项公式为T r＋1＝C r12(2x)12－r(－1x)r＝C r12·(－1)r·212－r x12－2r，r＝0，1，…，12，令r＝10，则展开式中第11项为C1012·(－1)10·22x－8＝264x－8，故选项D错误．故选AC．1112【说明】考查二项式定理及其二项式系数、项的系数、通项公式．2．(单选)下图4是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的75%分位数为()A ．85B ．86C ．87D ．88【答案】B【提示】前三组的频率之和为(0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.6，第四组的频率为0.025×10＝0.25，则75%分位数在第四组[80，90)内，故75%分位数为80＋10×0.75－0.60.25＝86．故选B ．【说明】考查频率分布直方图和百分位数概念的理解与计算．3．(单选)将7个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为()A ．3B ．6C ．12D ．24【答案】A【提示】根据题意，先在2号盒子里放入1个小球，3号盒子放入2个小球，原问题即可以转化为将剩下的4个小球放入3个小盒，每个小盒至少放一个的问题，即将剩下的4个小球排成一排，排好后有3个空位可选，在3个空位中选择两个空位，插入两个挡板即可，则有C 23＝3种不同的放法．故选A ．【说明】考查相同元素的排列问题，由于数字较小，也可以用枚举法求解．4．(多选)设M ，N 是两个随机事件，且P (M )＞0，P (N )＞0，则下列说法正确的是()图413A ．若P (￣M |N )＝P (N |￣M )，则P (M )＋P (N )＝1B ．若P (￣M |N )＝P (￣M |￣N )，则P (MN )＝P (M )P (N )C ．若M ，N 相互独立，且P (M )＝0.5，P (N )＝0.3，则P (M ∪￣N )＝0.85D ．若M ，N 为互斥事件，且P (M )＝0.5，P (N )＝0.3，则P (￣M ∪￣N )＝0.2【答案】BC【提示】对于选项A ，因为P (￣M |N )＝P (￣M N )P (N )，P (N |￣M )＝P (￣M N )P (￣M )P (￣M N )≠0时，因为P (￣M |N )＝P (N |￣M )，所以P (￣M )＝P (N )，又P (￣M )＋P (M )＝1，所以P (M )＋P (N )＝1；当P (￣M N )＝0时，P (M )＋P (N )＝1不成立．故选项A 错误．对于选项B ，P (￣M |N )＝P (￣M |￣N )⇔P (￣M N )P (N )＝P (￣M N )P (￣N )⇔P (￣M N )P (N )＝P (￣M )－P (￣M N )1－P (N )⇔P (￣M N )－P (￣M N )P (N )＝P (￣M )P (N )－P (￣M N )P (N )⇔P (￣M N )＝P (￣M )P (N )⇔P (N )－P (MN )=[1－P (M )]P (N )⇔P (MN )＝P (M )P (N )，故选项B 正确．对于选项C ，由M ，N 相互独立，则P (M ∪￣N )＝P (M )＋P (￣N )－P (M ￣N )＝P (M )＋P (￣N )－P (M )P (￣N )＝0.5＋0.7－0.5×0.7＝0.85．故选项C 正确．对于选项D ，由P (M )＝0.5，P (N )＝0.3，得P (￣M )＝0.5，P (￣N )＝0.7．因为M ，N 为互斥事件，所以P (MN )＝0，又因为P (￣M ∪￣N )＝P (M ∩N —)＝1－P (MN )＝1．故选项D 错误．故选BC ．【说明】本题考查条件概率公式，概率的性质，考查两个相互独立的事件，互斥事件的理解和运算.5．一组样本数据x 1，x 2，…，x 24的平均数为170.5，方差为12.96，另一组样本数据x 25，x 26，…，x 50的平均数为160.5，方差为36.96．两组数据合成一组新数据x 1，x 2，…，x 50，则新数据的方差为▲________．【答案】50.4【提示】令m －＝170.5，s 21＝12.96，n －＝160.5，s 22＝36.96，x －＝150(24×170.5＋26×160.5)＝165.3，则s 2＝150i ＝12∑n i [s 2i ＋(￣x i －￣x )2]＝150{24×[12.96＋(170.5－165.3)2]＋26×[36.96＋(160.5－165.3)2]}＝50.4．故新数据的方差的估计值为50.4.【说明】本题考查分层抽样数据的方差．6．为了了解高中学生课后自主学习数学时间(x 分钟/天)和他们的数学成绩(y 分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据(如下表所示)．编号12345学习时间x 3040506070数学成绩y6578859910814请根据所给数据，预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩为▲________分．(参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝22820，∑5i ＝1y i ＝435，x i (i ＝1，2，3，···，5)的方差为200)附：b ^＝∑ni ＝1(x i －x －)·(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －．【答案】140.5【提示】x －＝30＋40＋50＋60＋705＝50，y －＝4355＝87．又因为x i (i ＝1，2，3，4，5)的方差为15∑5i ＝1(x i －x －)2＝200，所以b ^＝∑5i ＝1(x i －x －)·(y i －y －)∑5i ＝1(x i －x －)2＝∑5i ＝1x i ·y i －5x －·y －5×200＝22820－5×50×871000＝1.07，所以a ^＝y －－b ^x －＝87－1.07×50＝33.5，所以y ^＝1.07x ＋33.5，当x ＝100时，y ＝140.5，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．【说明】本题考查一元线性回归模型以及公式变形，考查一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．7．手机用户可通过“微信”查自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较或点赞．现从小华的朋友圈内随机选取了100人，记录了他们某一天的行走步数，数据整理如下表：0～20002001～50005001～80008001～1000010001以上男58121213女10121369若某人一天的行走步数超过8000，则被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”．(1)根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关；积极型懈怠型总计男女总计附：P(χ2≥x0)0．1000．0500．0100．0050．001x02．7063．8416．6357．87910．828χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d；(3)100人中男生“积极型”有25人，女生“积极型”有15人，抽取比例为5∶3，抽取男生5人，女生3人，Y的所有可能取值为0，1，2，3，从而P(Y＝0)＝C35C38＝528；P(Y＝1)＝C 13·C25C38＝1528；1516P (Y ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556；P (Y ＝3)＝C 33C 38＝156．所以随机变量Y 的分布列如下表：Y 0123P52815281556156【说明】考查2×2列联表，χ2的运算，超几何分布与二项分布的辨别与应用．第(2)问也可以通过说明X ~B (3，12)，进而求解E (X )＝3×12＝32．8．甲乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得－1分；若两人都过关或都未过关则两人均得0分．甲、乙过关的概率分别为m 和n ，在一轮闯关中，甲的得分记为X ．(1)求X 的分布列；(2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束．P i (i ＝0，1，2，3，4，5，6)表示“甲的累积得分为i 时，最终认为甲获胜”的概率，则P 0＝0，P 6＝1，xP i －1－yP i ＋zP i ＋1＝0，其中x ＝P (X ＝－1)，y ＝P (X ＝0)，z ＝P (X ＝1)，令m ＝0．5，n ＝0．6．证明：点M (32P i －1，α)，N (P i ＋1，β)的中点横坐标为54P i ；(3)在第(2)问的条件下求P 2，并尝试解释游戏规则的公平性．【答案】(1)见解析;(2)证明见解析;(3)P 2＝16133≈0．12，此时得出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的．解：(1)X ＝－1，0，1．P (X ＝－1)＝(1－m )n ；P (X ＝0)＝mn ＋(1－m )(1－n )；P (X ＝1)＝m (1－n )．随机变量X 的概率分布列如下表所示．X －101P(1－m )nmn ＋(1－m )(1－n )m (1－n )(2)根据题设条件，得x ＝(1－0．5)×0．6＝0．3，y ＝0．5×0．6＋(1－0．5)(1－0．6)＝0．5，z ＝0．5×(1－0．6)＝0．2．于是有0．3P i －1－0．5P i ＋0．2P i ＋1＝0，即32P i －1＋P i ＋1＝52P i ．17根据中点坐标公式，得32P i －1＋P i ＋12＝54P i ，命题得证．(3)由(2)可知P i ＋1＝52P i －32P i －1，于是P 6＝52P 5－32P 4＝52(52P 4－32P 3)－32P 4＝194P 4－154P 3＝194(52P 3－32P 2)－154P 3＝658P 3－578P 2＝658(52P 2－32P 1)－578P 2＝21116P 2－19516P 1＝21116(52P 1－32P 0)19516P 1＝66532P 1－63332P 0．又P 0＝0，P 6＝1，所以P 1＝32665，P 2＝52P 1－32P 0＝16133．P 2表示甲累计得分为2分时，最终认为甲获胜概率，由计算结果可以看出，在甲过关的概率为0．5，乙过关的概率为0．6时，认为甲获胜的概率为P 2＝16133≈0．12，此时得出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的．【说明】考查了离散型随机变量的分布列，用概率说明游戏的公平性．考查了学生分析问题、解决问题的能力．9．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得－300分，设每次击鼓出现音乐的概率为p (0＜p ＜25)，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0；(2)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．设每盘游戏的得分为随机变量ξ，请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【答案】(1)p 0＝13；(2)若干盘游戏后，每盘游戏的平均得分是负分．由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．解：(1)由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f (p )＝C 13p (1－p )2＝3p 3－6p 2＋3p ，0＜p ＜25，则f '(p )＝3(3p －1)(p －1)．由f '(p )＝0得p ＝13，或p ＝1(舍)，当p ∈(0，13)时，f '(p )＞0；当p ∈(13，25)时，f '(p )＜0．所以f (p )在区间(0，13)上单调递增，在区间(13，25)上单调递减．18所以，当p ＝13时，f (p )有最大值，即f (p )的最大值点p 0＝13．(2)随机变量ξ的可能值为－300，50，100，150，从而P (ξ＝－300)＝(1－p )3；P (ξ＝50)＝C 13p (1－p )2；P (ξ＝100)＝C 23p 2(1－p )；P (ξ＝150)＝p 3．随机变量ξ的概率分布如下表所示．所以E (ξ)＝－300(1－p )3＋50C 13p (1－p )2＋100C 23p 2(1－p )＋150p 3＝300(p 3－3p 2＋72p －1)，令g (p )＝p 3－3p 2＋72p －1，则g'(p )＝3p 2－6p ＋72＝3(p －1)2＋12＞0，所以g (p )在区间(0，25)上单调递增，于是g (p )＜g (25)＝－2125＜0，故E (ξ)＜0．这说明每盘游戏的平均得分是负分．由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．【说明】考查独立重复试验概率计算以及概率中的函数思想．立体几何1．(单选)设α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是()A ．若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥α，m ∥β，α∩β＝n ，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β．D ．若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α【答案】B【提示】对于选项A ，易得α，β相交或平行，故选项A 错误．对于选项B ，由线面平行的判定定理和性质，得m ∥n ，故选项B 正确．对于选项C ，当m 与n 相交时，有α∥β，否则，α与β不一定平行，故选项C 错误．对于选项D ，由m ⊥n ，m ⊥α，得n ∥α或n ⊂α，故选项D 错误．故选B ．ξ-30050100150P(1－p )3C 13p (1－p )2C 23p 2(1－p )p 319【说明】本题考查空间中直线、平面之间的位置关系．2．(多选)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E ，O 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，P 在正方体内部且满足AP →＝34AB →＋12AD →＋23AA 1→，则下列说法正确的是()A ．异面直线AA 1到直线B 1D 1的距离是22B ．点O 到平面ABC 1D 1的距离为24C ．平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为32D ．点P 到直线AB 的距离为56【答案】A B D【提示】对于选项A ，只要找到公垂线段A 1O (其值为22)即可，也可以用向量法求解．对于选项B ，可以用等积法，也可以用向量法．如图5所示，建立空间直角坐标系，易得AD 1→＝(0，1，1)，C 1O →＝(－12，－12，0)．设平面ABC 1D 1的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，·AD 1→＝0·BA →＝01＋z 1＝0x 1＝0，取y 1＝1，则m ＝(0，1，－1)，故O 到平面ABC 1D 1的距离为|C 1O →·m |m ||＝122＝24，故选项B 正确．对于选项C ，易证BA 1//CD 1．因为BA 1⊄平面B 1CD 1，CD 1⊂平面B 1CD 1，所以BA 1//平面B 1CD 1，同理BD //平面B 1CD 1，且BD ∩BA 1＝B ，BD ，BA 1⊂平面DBA 1，所以平面DBA 1//平面B 1CD 1．(直接用结论距离占体对角线AC 1的13．也可以用向量，平面DBA 1与平面B 1CD 1的距离即为B 1到平面DBA 1的距离．)又BD →＝(－1，1，0)，B 1A 1→＝(－1，0，0)，设平面DBA 1的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)·BD →＝0·BA 1→＝0x 2＋y 2＝0x 2＋z 2＝0，取y 2＝1，则n ＝(1，1，1)，故B 1到平面DBA 1的距离为|n ·B 1A 1→||n |＝33，故选项C 错误．对于选项D ，因为AP →＝34AB →＋12AD →＋23AA 1→，所以P (34，12，23)．于是AP →＝(34，12，23)，AB →＝(1，0，0)，故点P 到直线AB 的距离为AP →2－(AP →·AB →|AB →|)2＝916＋14＋49－916＝56，故选项D 正确．故选ABD ．【说明】本题考查空间几种距离的求法．图5203．如图6所示，四边形ABCD 是长方形，AB ＝3，BC ＝4，半圆面APD ⊥平面ABCD ．点P 为半圆弧AD ︵上一动点（点P 不与点A ，D 重合），当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P －ABCD 外接球的截面面积为▲________．【答案】15π4【提示】过点P 作PF ⊥AD 于点F ．因为半圆面APD ⊥平面ABCD ，半圆面APD ∩平面ABCD ＝AD ，PF 平面APD ，所以PF ⊥平面ABCD ，所以∠PBF 为直线PB 与平面ABCD 所成角．设AF ＝x ，则DF ＝4－x ，PF ＝x (4－x )，BF ＝9＋x 2．易知BD ＝5，PB 2＝BF 2＋PF 2＝9＋4x ，所以sin 2∠PBF ＝PF 2PB 2＝4x －x 29＋4x．设f (x )＝4x －x 29＋4x (0＜x ＜4)，则f '(x )＝－4x 2－18x ＋36(9＋4x )2＝－2(x ＋6)(2x －3)(9＋4x )2．当x ∈(0，32)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(32，4)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减．因此，f (x )max ＝f (32)＝14，sin ∠PBF 的最大值为12，此时∠PBF 最大，PB ＝9＋4×32＝15．易知PB 为Rt △PAB 的斜边，又平面PAB 截四棱锥P －ABCD 的外接球的截面为△PAB 的外接圆，所以截面圆的直径为PB ，于是S ＝π×(152)2＝15π4．故平面PAB 截四棱锥P －ABCD 外接球的截面面积为15π4．【说明】此题考查函数方法求立体几何中的最值．4．如图8所示，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥AD ，AD ＝2，DC ＝4，SD ＝23，点M 在侧棱SC 上，BM ＝3，∠ABM ＝60º．(1)证明：M 是侧棱SC 的中点；(2)求平面SAM 与平面BAM 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)17336．解：(1)思路1：在平面SDC 中作MN ∥SD 交CD 于N ，在平面ABCD 中作NE ∥AD 交AB 于E ，连ME 、NB ．图6图7图821设MN ＝x ，由相似三角形，易得NC ＝EB ＝233x ．在RtΔMNE 中，由勾股定理，得ME ＝4＋x 2．在ΔMEB 中，由余弦定理，得(4＋x 2)2＝(233x )2＋32－2×3×233x cos60°，解得x ＝3或53(舍)，从而MN ＝12SD ．所以点M 为侧棱SC 的中点．思路2：在平面SDC 中作MF ∥CD 交SD 于点F ，则MF ∥AB ．设MF ＝x ，由相似三角形，求出DF ，由勾股定理，易得AF ．在梯形ABMF 中，作平行线ME ，由余弦定理，解得x ＝2，从而ME ＝12DC ，所以点M 为侧棱SC 的中点．(2)过D 作平面ABCD 的垂线DH ，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DH →方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系．设M (0，y ，z )，由BM ＝3和ME ＝7，列方程组解，解得M (0，52，112)，从而得S (0，1，11)．令平面SAM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )·n ＝0·n ＝0，求得n ＝(211，11，3)．设平面AMB 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )·AB →＝0·AM →＝0求得m ＝(11，0，4)，令二面角S －AM －B 的大小为θ，则|cos θ|＝|m ·n ||m |·|n |＝17336．故平面SAM 与平面BAM 夹角的余弦值为17336．【说明】此题考查添辅助线、解三角形等平面几何知识．列方程组求解坐标也是难点．5．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC，M 为BP 的中点，AM ∥平面CDP ．图9图1022(1)求证：BC ＝2AD ；(2)若PA ⊥AB ，AB ＝AP ＝AD ＝CD ＝1，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P －ABCD 存在且唯一确定．(i)求证：PA ⊥平面ABCD ；(ⅱ)设平面CDP ∩平面BAP ＝l ，求二面角C －l －B 的正弦值．条件①：AB ⊥PC ；条件②：BP ＝DP ；条件③：∠CBM ＝∠CPM ．注：如果选择的条件不能使得四棱锥存在且唯一确定，第(i)问得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析；(2)(i)证明见解析；(ⅱ)427．解：(1)如图12所示，取PC 的中点N ，连接MN ，ND ．因为M 为BP 的中点，所以MN ＝12BC ，MN //BC ．因为AD //BC ，所以AD //MN ，所以M ，N ，D ，A 四点共面，因为AM //平面CDP ，平面MNDA ∩平面CDP ＝DN ，AM ⊂平面MNDA ，所以AM //DN ，所以四边形AMND 为平行四边形，所以MN ＝AD ，所以BC ＝2AD ．(2)(i)在梯形ABCD 中，因为AB ＝AD ＝CD ＝1，由(1)知BC ＝2AD ＝2．如图13所示，取BC 的中点E ，连接AE ，AC ，所以EC ＝AD ＝1．因为EC //AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以AE ＝CD ＝1，故△ABE 是等边三角形，∠BAE ＝60°．在△AEC 中，AE ＝EC ＝1，∠AEC ＝120°，所以∠EAC ＝30°．所以∠BAC ＝∠BAE ＋∠EAC ＝90°，即AB ⊥A C ．(也可以通过计算边长利用勾股定理逆定理证明)若选条件②：BP ＝DP因为AB ＝AD ＝1，PA ＝PA ，所以△PAB 与△PAD 全等，所以∠PAB ＝∠PAD ．因为AB ⊥PA ，所以∠PAB ＝90°，所以∠PAD ＝90°，即AP ⊥AD ．又因为AB ∩AC ＝A ，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ．若选条件③：∠CBM ＝∠CPM 因为∠CBM ＝∠CPM ，所以CB ＝CP ．因为AB ＝AP ＝1，CA ＝CA ，所以△ABC 与△APC 全等，所以∠PAC ＝∠BAC ＝90°，即PA ⊥AC ．图11图12图13图1423因为PA ⊥AB ，又因为AB ∩AC ＝A ，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ．不可选条件①，理由如下：由(i)可得AB ⊥AC ，又PA ⊥AB ，PA ∩AC ＝A ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥PC ，即AB ⊥PC 是由已知条件可推出的条件．(ⅱ)由(i)知AP ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥AC ．因为PA ⊥AB ，AP ＝1，建立如图14所示空间直角坐标系A －xyz ，则P (0，0，1)，C (0，3，0)，D (－12，32，0)，于是CD →＝(－12，－32，0)，PD →＝(－12，32，－1)，AC →＝(0，3，0)．设平面PDC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )·CD →＝0，·PD →＝0，－12x －32y ＝0，－12x ＋32y －z ＝0.令x ＝3，则y ＝－1，z ＝－3，于是n ＝(3，－1，－3)．又因为AC →为平面PAB 的法向量，所以cos ＜AC →，n ＞＝AC －·n |AC |·|n |＝－33＋1＋3·3＝－77，故二面角C －l －B 的正弦值为1－(－77)2＝427．【说明】本题考查线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理．属于开放题，考查空间中逻辑推理能力．平面向量1．(单选)已知向量a 与b 的夹角为5π6，|a |＝3，|b |＝2，则a 在b 上的投影向量为()A ．－334bB ．－34b C ．34bD ．334b【答案】A【提示】a 在b 上的投影向量为|a |cos 5π6·b |b |＝3×(－32)b 2＝－334b ．【说明】本题考查投影向量的定义．2．(单选)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，若(OA →＋OC →)·AC →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0，AC ＝2，BC ＝9，则CO →·AB →＝()A ．－772B ．－72C ．72D ．772【答案】D24【提示】思路1：由(OA →＋OC →)·AC →＝0，得(OA →＋OC →)·(OC →－OA →)＝OC →2－OA →2＝0，故|OC →|＝|OA →|．同理|OC →|＝|OB →|，故O 为△ABC 的外心．所以CO →·AB →＝CO →·(CB →－CA →)＝12CB →2－12CA →2＝772．思路2：将△A B C 特殊化为直角三角形．【说明】本题考查向量的线性运算，三角形的外心，向量的数量积．3．(单选)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，＜b ，a ＋b ＞＝π6，则|a －b |的最大值为()A ．4B ．22＋2C ．23＋2D ．6【答案】C【提示】思路1：如图15所示，圆O 是△ABC 的外接圆，设a ＝AB →＝(2，0)，b ＝BC →，则AC →＝a ＋b ．所以∠C ＝＜b ，a ＋b ＞＝π6．由正弦定理，得2R ＝2sin C＝4，所以R ＝2．所以B (1，－3)，设C (2cos α，2sin α)，则b ＝BC →＝(2cos α－1，2sin α＋3)．故|a －b |＝23sin α－3cos α＋4＝223sin(α－π3)＋4≤23＋2．因此|a －b |最大值为23＋2．思路2：构造三角形及平行四边形，综合应用几何意义．【说明】本题考查向量加法的三角形法则、平行四边形法则、正弦定理，体现数形结合的数学思想．4．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，|c ＋3a |＋|c －3a |＝4，d 2－3b ·d ＋2＝0，则|c －d |的最大值为▲________．【答案】7＋12．【提示】如图16所示，建立平面直角坐标系，令a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，将c ，d 平移至坐标原点，记终点为C ，D ．由|c ＋3a |＋|c －3a |＝4，记F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则CF 1＋CF 2＝4＞23，所以C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，4为长轴长的椭圆，即x 24＋y 2＝1．由d 2－3b ·d ＋2＝0，得(d －b )(d －2b )＝0．图15图1625记B (0，1)，E (0，2)，则D 的轨迹是以BE 为直径的圆，即x 2＋(y －32)2＝14．记M (0，32)，则|c －d |＝CD ≤CM ＋ME ＝CM ＋12．设C (2cos θ，sin θ)，则CM ＝4cos 2θ＋(sin θ－32)2＝－3sin 2θ－3sin θ＋254．当sin θ＝－12时，CM 的最大值为7．所以则|c －d |的最大值为7＋12．【说明】本题以向量为载体，借助于坐标系，考查椭圆与圆上任意两点间距离的最大值．解析几何1．(单选)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q两点，若PF 1＝2PF 2，点M 满足F 1M →＝2MF 2→，且PM ⊥F 1Q ，则双曲线C 的离心率为()A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】B【提示】由PF 1＝2PF 2，F 1M →＝2MF 2→，得PM 为∠F 1PF 2的平分线．又因为PM ⊥F 1Q ，所以PF 1＝PQ ．设PF 2＝x ，则PF 1＝2x ，由双曲线定义，得2x －x ＝2a ．所以PF 2＝2a ，PF 1＝4a ，F 2Q ＝2a ，F 1Q ＝4a ，于是PQ ⊥x 轴．易求PF 2＝b 2a ，则b 2a ＝2a ，故b 2a 2＝2，因此e ＝1＋b 2a 2＝3．【说明】本题考查角平分线定理、双曲线的第一定义、三角形的三线合一、离心率等，体现了“多思少算”的思想．2．已知点A (－1，0)，B (3，0)，点P 为圆O ：x 2＋y 2＝45上的一个动点，则sin ∠APB 的最大值为___________．【答案】54【提示】思路1：代数法如图17所示，设△APB 的外接圆圆心M (1，t )，半径为r ．由正弦定理，2r ＝AB sin ∠APB ＝4sin ∠APB，所以要求sin ∠APB 的最大值，只要求r 的最小值．图1726当且仅当△ABP 的外接圆与圆O 内切于点P 时，r 最小．此时OM +MP =OP，即t 2＋1＋r ＝35，即t 2＋1＋4＋t 2＝35．解得t 2＝445．所以r min ＝855．所以sin ∠APB 的最大值为54．思路2：几何法如图18所示，设点P 1是圆O 上异于点P 的任意一点，连接AP 1交△ABP 的外接圆于点N ，连接BN ．由外角定理，∠ANB ＞∠AP 1B ．由圆周角定理，∠APB ＝∠AN B ．所以∠APB ＞∠AP 1B ．所以当且仅当△ABP 的外接圆与圆O 内切于点P 时，∠APB 最大．下同法一．【说明】本题以米勒最大视角问题为背景，考查圆的方程、圆与圆的位置关系、正弦定理．3．如图是数学家Ger min al Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图19中球O 1，球O 2的半径分别为2和1，球心距离|O 1O 2|＝6，截面分别与球O 1，球O 2相切于点E ，F （E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于▲________．【答案】310535．【提示】如图20所示，设O 1O 2∩EF ＝D ，由|O 2D ||O 1D |＝|O 2F ||O 1E |＝12|O 2D |＋|O 1D |＝6，解得|O 2D |＝2，|O 1D |＝4．所以|DE |＝23，|DF |＝3，所以2c ＝23＋3＝33．设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ，圆锥的母线与球相切于B ，C 两点，则|BC |＝2a过O 2作O 2G ⊥O 1B ，垂直为G ，所以2a ＝|BC |＝O 2G ＝35，所以椭圆的离心率为2c 2a ＝3335＝310535．【说明】本题考查丹德林双球模型和椭圆的第一定义，详见《苏教版教材必修二》“数学建模与数学探究活动”．4．已知O 为坐标原点，椭圆Ω:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左､右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为23，过F 1的直线m 与椭圆Ω交于C ，D 两点，△CDF 2的周长为8．(1)求Ω的方程；图18图19图2027(2)若直线l 与Ω交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝0，求|AB |的最小值；(3)已知点P 是椭圆Ω上的动点，是否存在定圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，使得当过点P 能作圆O 的两条切线PM ，PN 时(其中M ，N 分别是两切线与C 的另一交点)，总满足|PM |＝|PN |?若存在，求出圆O 的半径r ：若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24＋y 23＝1；(2)4217；(3)r ＝2217解：(1)设椭圆的半焦距为c (c ＞0)，由题意得，4a ＝8，2b ＝23．所以a ＝2，b ＝3．所以Ω的方程为x 24＋y 23＝1．(2)思路1：设一条线＋韦达定理整体代入＋弦长公式①若直线AB 斜率不存在，则设A (y 1，y 1)，所以y 124＋y 123＝1，所以|y 1|＝2217．所以AB ＝2|y 1|＝4217．②若直线AB 斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．＋y 23＝1，kx ＋m ，消去y 整理得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则△＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(4k 2－m 2＋3)．1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，于是OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－km 8km 3＋4k 2＋m 2＝0，即7m 2＝12k 2＋12．故AB ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋148(4k 2－m 2＋3)3＋4k 2＝4217(k 2＋1)(16k 2＋9)(3＋4k 2)2．令3＋4k 2＝t (t ≥3)，则k 2＋1＝t ＋14，16k 2＋9＝4t －3．所以AB ＝4217(t ＋1)(4t －3)4t 2＝22174＋1t －3t 2＝2217－3(1t －16)2＋4912．因为1t ∈(0，13]，所以当1t ＝13时，AB min ＝4217．综上，|AB |的最小值为4217．思路2：设两条线+解点+勾股定理①若OA 、OB 与坐标轴重合，不妨设A (2，0)，B (0，3)，所以AB =7．②若OA 、OB 斜率均存在且不为0．设直线OA 方程为y ＝kx ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．28＋y 23＝1＝kx ，所以x 12＝124k 2＋3，y 12＝12k 24k 2＋3．所以OA 2＝x 12＋y 12＝12k 2＋124k 2＋3．用''－1k ''代上式中所有的''k ''，则OB 2＝12k 2＋124＋3k 2．所以AB 2＝OA 2＋OB 2＝(12k 2＋12)(7k 2＋7)(4k 2＋3)(3k 2＋4)＝＝213(1－112k 2＋12k2＋25)≥487，当且仅当k 2＝1时取等号．所以AB min ＝4217．综上，|AB |的最小值为4217．思路3：设点+勾股定理+基本不等式设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)12＝3－34x 12，22＝3－34x 22，所以AB 2＝OA 2＋OB 2＝6＋14(x 12＋x 22)．又因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 12x 22＝y 12y 22＝9－94(x 12＋x 22)＋916x 12x 22．所以716x 12x 22＝9－94(x 12＋x 22)≤716(x 12＋x 222)2，解得x 12＋x 22≥247，当且仅当x 1＝±x 2时取等号．所以AB 2≥487．所以|AB |的最小值为4217．思路4：利用三角换元，本质同法三，略．思路5：设旋转角+勾股定理+基本不等式设∠AOx ＝θ，则∠BOx ＝θ±π2．设线段OA =m ，OB =n ，则A (mcosθ，msinθ)，B (－nsinθ，ncosθ)(或B (n sin θ，－n cos θ))．＋m 2sin 2θ3＝1＋n 2cos 2θ3＝1，所以1m 2＋1n 2＝14＋13＝712．所以AB 2＝OA 2＋OB 2＝m 2＋n 2＝127(m 2＋n 2)(1m 2＋1n 2)≥487．（当且仅当m ＝n 时取等号）所以|AB |的最小值为4217．(3)思路1：深挖几何性质，回归第二问如图21所示，设PM 、PN 与圆O 的切点分别为E 、F ，则PE ＝PF ．29又PM ＝PN ，则EM ＝FN ．所以Rt △OME ≌Rt △ONF ，所以OM =ON ．取MN 中点Q ，若O 和Q 不重合，则OQ ⊥MN ．所以k OQ ·k MN ＝－1．又因为M 、N 在椭圆Ω上，由点差法可得k OQ ·k MN ＝－34．矛盾．所以O 和Q 重合，即M 、N 关于原点对称．所以OP ⊥OM ．【下面回到第2问，四种方法均可迁移使用，此处仅呈现二种】途径1：点到直线距离公式r 为点O 到直线PM 的距离，所以r ＝|m |k 2＋1．由(2)可知，7m 2＝12k 2＋12，故r 2＝m 2k 2＋1＝127，即r ＝2217．又当MN 斜率不存在时，r ＝2217也成立．综上，r ＝2217．途径2：等积法求高r ＝OM ·OPOM 2＋OP 2＝11OP 2＋1OM 2＝2217．思路2：深挖几何性质，另起炉灶，设线同构由M 、N 关于原点对称，易证k PM ·k PN ＝－34．设过P (x 0，y 0)且斜率存在的直线为y ＝k (x －x 0)＋y 0，由相切，得|kx 0－y 0|k 2＋1＝r ，即(r 2－x 02)k 2＋2x 0y 0k ＋(r 2－y 02)＝0．所以k PM ·k PN ＝r 2－y 02r 2－x 02＝－34．所以7r 2＝3x 02＋4y 02＝12．所以r 2＝127，解得r ＝2217思路3：纯粹代数运算，过于繁琐，略．【说明】解析几何承载着考查数学运算核心素养的功能，“多想少算”绝非“空想不算”．用代数方法研究几何问题是解析几何的核心，适度地挖掘几何性质可减少一定的计算．此外，对于“长轴”、“短轴”、“焦距”、“实轴”、“虚轴”等几何量落实复习．图21305．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)一个顶点为A (－1，0)，直线l 过点B (2，0)且交双曲线右支于M ，N 两点，记△AMN ，△AOM ，△AON 的面积分别为S ，S 1，S 2．当l 与x 轴垂直时，S 1＝62．(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若l 交y 轴于点C ，CM →＝λMB →，CN →＝μNB →．①求证：λ＋μ为定值；②若29S ＝μS 1＋mS 2，当53＜λ≤3时，求实数m 的取值范围．【答案】(1)x 2－y 22＝1；(2)①λ＋μ＝23；②(23，53]解：(1)由题意，OA ＝a ＝1．当l 与x 轴垂直时，设M (2，y 1)，所以S 1＝12×1×|y 1|＝62，则|y 1|＝6．将(2，y 1)，代入x 2－y 2b 2＝1，解得b 2＝2．所以双曲线E 的标准方程为x 2－y 22＝1．(2)①思路1：设点同构设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，C (0，y 0)．由B (2，0)，CM →＝λMB →，得(x 1，y 1－y 0)＝λ(2－x 1，－y 1)，所以x 1＝2λ1＋λ，y 1＝y 01＋λ．将M (2λ1＋λ，y 01＋λ)代入双曲线E 的方程，得(2λ1＋λ)2－12×(y 01＋λ)2＝1，即3λ2－2λ－12y 02－1＝0．同理，由CN →＝μNB →，得3μ2－2μ－12y 02－1＝0．故λ和μ是方程3x 2－2x －12y 02－1＝0的两个不等实根．由韦达定理，得λ＋μ＝23．思路2：设线，韦达定理整体代入由题意，易知直线l 斜率必存在且不为0，则设l ：x ＝my ＋2．联立x 2－y 22＝1x ＝my ＋2，得(2m 2－1)y 2＋8my ＋6＝0．图22。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若圆，则直线与圆C的位置关系是（ ）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切第(2)题已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1第(3)题已知抛物线为轴负半轴上的动点，为抛物线的切线，分别为切点，则的最小值为A．B．C．D．第(4)题已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（）A．B．C．D．第(5)题已知，，P是曲线上一个动点，则的最大值是（）A．2B．C．D．第(6)题过原点且倾斜角为的直线与圆相切，则（）A．B．C．D．第(7)题2021年起，甘肃省普通高中开始实施新一轮课程改革并使用新版教材，某校数学组从人教A版，人教B版，苏教版，湘教版，北师大版，沪教版这6个版本的数学新教材中选出3个版本进行比较研究，要求人教社两个版本的教材不同时被选择，则选择的方法种数是（）A．20B．18C．16D．10第(8)题我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设抛物线，弦AB过焦点，过A，B分别作拋物线的切线交于点，则下列结论一定成立的是（）A．存在点，使得B．的最小值为2C．D．面积的最小值为4第(2)题关于函数，下列说法正确的是（）A．有两个极值点B．的图像关于原点对称C．有两个零点D．是的一个零点第(3)题函数，下列选项中说法正确的是（）A．B．的图象关于对称C ．若，则D．存在，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若随机变量，且，则____________．第(2)题已知三棱锥的顶点都在以为直径的球M的球面上，，球M的表面积为，当三棱锥的体积最大时，点A到平面的距离为___________.第(3)题在中，角，，的对边分别为，，，，点在平面内，，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8．(1)求抛物线的方程；(2)过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满足，，求证：线段的中点在直线上．第(2)题在中，已知，，.（1）求；（2）若点D在边上，且满足，求.第(3)题在数列{a n}（n∈N*）中，已知a1＝1，a2k＝－a k，a2k－1＝(－1)k+1a k，k∈N*. 记数列{a n}的前n项和为S n.（1）求S5，S7的值；（2）求证：对任意n∈N*，S n≥0.第(4)题设m∈R，关于x的不等式的解集为.（1）求m的取值范围；（2）求关于x的不等式的解集.第(5)题已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4．(1)求椭圆C和抛物线E的方程；(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．。

江苏省南京市（新版）2024高考数学苏教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数z满足：，则的虚部等于（）A．1B．C．D．第(2)题在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线、轴以及直线所围成的曲边区域面积的一种方法：把区间平均分成份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上（如图），则当时，这些小矩形面积之和的极限就是.已知.利用此方法计算出的由曲线、轴以及直线所围成的曲边区域的面积为（）A．B．C．D．第(3)题已知向量，，若与方向相反，则（）A．54B．48C．D．第(4)题《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列等式错误的是（）A．B．C．D．第(5)题已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（）A．B．C．D．第(6)题已知实数，任取一点，则该点满足的概率是（）A．B．C．D．第(7)题若数列满足，，且对任意的都有，则（）A．B．C．D．第(8)题若实数，满足约束条件，则的最大值为（）A．3B．7C．8D．10二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题给出下列说法，其中正确的是（）A．若数据的方差为0，则此组数据的众数唯一B．已知一组数据3，4，7，9，10，11，11，13，则该组数据的第40百分位数为8C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多D．经验回归直线恒过样本点的中心，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好第(2)题积性函数指对于所有互质的整数和有的数论函数．则以下数论函数是积性函数的有（）A．高斯函数表示不大于实数的最大整数B．最大公约数函数表示正整数与的最大公约数（是常数）C．幂次函数表示正整数质因数分解后含的幂次数（是常数）D．欧拉函数表示小于正整数的正整数中满足与互质的数的数目第(3)题如图，在正方体中，点M是棱上的动点（不含端点），则（）A．过点M有且仅有一条直线与AB，都垂直B．有且仅有一个点M到AB，的距离相等C．过点M有且仅有一条直线与，都相交D．有且仅有一个点M满足平面平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，关于的方程恰有三个不等实根，且函数的最小值是，则_______．第(2)题化简：__________．第(3)题已知向量满足，，的夹角为，则__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱台中，底面为平行四边形，，侧棱底面为棱上的点..(1)求证：；(2)若为的中点，为棱上的点，且，求平面与平面所成角的余弦值.第(2)题在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，线段上一点满足.记动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)设为原点，曲线与轴正半轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，若，求证：直线经过定点.第(3)题已知数列的前项和，，且.数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.第(4)题已知函数，．(1)若，直线l是的一条切线，求切线l的倾斜角的取值范围；(2)求证：对于恒成立．（参考数据：，，，，）第(5)题已知函数的一个极值点为.(1)求函数的极小值；(2)若函数，当时，，求实数的取值范围.。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）统编版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若正数a，b，c满足，则（）A．B．C．D．第(2)题设为等差数列，若，则公差（）A．－2B．－1C．1D．2第(3)题已知函数，则函数的大致图象为（）A．B．C．D．第(4)题若为函数（其中）的极小值点，则（）A．B．C．D．第(5)题丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（）A．B．C．D．第(6)题已知与都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，都不是常数函数，现有下列三个结论：①；②的图象关于直线对称；③与在上的单调性可能相同其中正确结论的个数为（）A．B．C．D．第(7)题设，已知集合，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为左顶点，B为短轴的一个端点，若，，构成等比数列，则圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，，则（）A．与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素B．在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反C．的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点D．函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值第(2)题若，且，则（）A．B．C．D．第(3)题已知点P为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（）A．为定值B．O、P、M、N四点一定共圆C．的最小值为D．存在点P满足P、M、三点共线时，P、N、三点也共线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则______．第(2)题已知x，y，z为正实数，且，则的最大值为______．第(3)题已知F是双曲线的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若，则双曲线C的渐近线的方程为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题对非空数集，，定义，记有限集的元素个数为.（1）若，，求，，；（2）若，，，当最大时，求中最大元素的最小值；（3）若，，求的最小值.第(2)题设双曲线，点，为双曲线的左､右顶点，点为双曲线上异于顶点的一点，设直线，的斜率分别为，.(1)证明：；(2)若过点作不与轴重合的直线与双曲线交于不同两点，，设直线，的斜率分别为，.是否存在常数使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.第(3)题已知函数.(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)若函数在定义域上无极值，求正整数的最大值.第(4)题已知抛物线与圆一个交点的横坐标，动直线与相切于点，与交于不同的两点，，为坐标原点.（1）求的方程；（2）若，求的值.第(5)题如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版真题(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有A．70种B．84种C．140种D．35种第(2)题函数在区间的大致图象如图，则函数的解析式可能为（）A．B．C．D．第(3)题在等差数列中，若，则（）A．21B．24C．27D．29第(4)题设，则（）A．B．C．D．第(5)题已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题已知函数是定义在R上的函数，，则“均为偶函数”是“为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件第(7)题下列说法错误的是（）A．命题“若则”的逆否命题是“若则”B．命题，使得则均有C．“”是“”的充分不必要条件D．若为假命题，则均为假命题第(8)题已知向量，若，则λ=（）A．-2或B．-2或C．-2D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知a，，，，则下列说法正确的是（）A．z的虚部是B．C．D．z对应的点在第二象限第(2)题已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论中成立的有（）A．的坐标可能为B．坐标原点在以为直径的圆内C．与的斜率之积为定值D．线段的最小值为4第(3)题下列说法正确的有（）A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，且，则总体方差B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1C．已知随机变量，若，则D．已知一组数据为，则这组数据的第40百分位数为39三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若从区间内，任意选取一个实数，则曲线在点处的切线的倾斜角大于45°的概率为______.第(2)题如图，已知球O的面上四点，DA⊥平面ABC．AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于________．第(3)题设随机变量，向量与向量的夹角为锐角的概率是0.5，则的值是________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题，，，四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，第1局由，对赛，接下来按照，的顺序上场第2局、第3局（来替换负的那个人），每次负的人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后（即排到最后一个），需要再等2局（即下场后的第3局）才能参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.(1)求前4局都不下场的概率；(2)用表示前局中获胜的次数，求的分布列和数学期望.第(2)题小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字．(1)求五张卡片上的数字都不相同的概率；(2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5．第(3)题已知椭圆的上顶点为，右焦点为，点满足．(1)判断点是否在椭圆上，并给出理由；(2)已知与线段相交的直线交椭圆于，（不同于点，）两点，求四边形面积的最大值．第(4)题已知椭圆E：过点，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．第(5)题如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，分别为的中点．(1)判断与平面的位置关系，并给予证明；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．。

江苏省南京市（新版）2024高考数学部编版测试(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数，，且为纯虚数，则（ ）A ．B．2C ．D ．第(2)题已知函数若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）A．B ．C．D ．第(3)题在平面直角坐标系中，向量，，，若A ，B ，C 三点共线，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．第(4)题已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．第(5)题抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（ ）A．B ．C ．D ．0第(6)题已知，且满足，如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（ ）A．B ．C ．D ．第(7)题已知，则（ ）A．B ．C ．D ．第(8)题人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作.截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（ ）A ．城镇人口数逐次增加B．历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C．城镇人口比重逐次增加D．乡村人口数逐次增加二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若非负实数，，满足，则下列说法中一定正确的有（）A．的最小值为B．的最大值为C．的最大值为D．的最大值为第(2)题在四棱锥中，底面是正方形，平面，点是棱的中点，，则（）A．B．直线与平面所成角的正弦值是C．异面直线与所成的角是D．四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是第(3)题中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则以下说法正确的是（）A．B．的周长的最大值为6C．若，则为正三角形D．若边上的中线长等于，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题动点的棱长为1的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为______第(2)题如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在上，，则的离心率为____________.第(3)题已知曲线，点为曲线上任意一点，若点，，则面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列满足，且．(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；(2)求数列的前项和．第(2)题设等差数列的前项和为，，(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足，，记的前项和为，求第(3)题在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数）；曲线的极坐标方程为；曲线的参数方程为（为参数）.(1)求直线的直角坐标方程、曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；(2)若直线与曲线曲线在第一象限的交点分别为,求之间的距离.第(4)题已知数列的前项和，数列为等比数列，且（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求的前项和.第(5)题已知函数（1）求函数的极值.（2）当时，证明。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题双曲线的离心率e的可能取值为（）A．B．C．D．3第(2)题如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（）A．平面B．平面平面C．平面D．平面内存在与平行的直线第(3)题甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（）种不同的情况.A．18B．24C．36D．48第(4)题如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中环的概率为（）A．B．C．D．第(5)题设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A．B．C．D．第(6)题在中，，，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（）A．B．C．D．1第(8)题已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（）A．是奇函数B．为增函数C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为D．第(2)题已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（）A．数列有最小项，且有最大项B．使的项共有项C．满足的的值共有个D．使取得最小值的为4第(3)题某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（）A．该圆台轴截面ABCD的面积为B．该圆台的表面积为C．该圆台的体积为D．该圆台有内切球，且半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.第(2)题已知复数满足，则______第(3)题在锐角△ABC中，，D点在线段BC上，且BD=2DC，，则△ABC的面积为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题由于X病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共100名学生中随机抽取20人，并对这20人进行逐个抽血化验，化验结果如下：.已知指数不超过8表示血液中不含病毒；指数超过8表示血液中含病毒且该生已感染病毒.(1)从已获取的20份血样中任取2份血样混合，求该混合血样含病毒的概率；(2)已知该校共有1020人，现在学校想从还未抽血化验的1000人中，把已感染病毒的学生全找出.方案A：逐个抽血化验；方案B：按40人分组，并把同组的40人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含病毒，再分别对该组的40人的另一份血样逐份化验；方案C：将方案中的40人一组改为4人一组，其他步骤与方案相同.如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用.试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可供参考数据：）第(2)题如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．(1)证明：平面；(2)若，，且，，求二面角的余弦值．第(3)题已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.(1)求证：；(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.第(4)题某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布不低于85的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱100件包装出厂.某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的为“一等品”，其余的为“二等品”(1)从一箱产品中任取1件，求该产品是“一等品”的概率；(2)从一箱产品中任取3件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望.第(5)题种子发芽率与昼夜温差有关.某研究性学习小组对此进行研究，他们分别记录了3月12日至3月16日的昼夜温差与每天颗某种种子浸泡后的发芽数，如下表：日期3月12日3月13日3月14日3月15日3月16日昼夜温差（）发芽数（颗）(1)从3月12日至3月16日中任选天，记发芽的种子数分别为，，求事件“,均不小于”的概率；(2)请根据3月13日至3月15日的三组数据，求出关于的线性回归方程；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据误差均不超过颗，则认为回归方程是可靠的，试用3月12日与16日的两组数据检验，（2）中的回归方程是否可靠？。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知全集，集合，则集合（）A．B．C．D．第(2)题在室温下，某型号硅二极管的伏安特性曲线可用公式来表示，其中I是导通电流，规定时视为二极管关断，否则视为二极管开通，U是加在二极管两端的电压．若在室温下，分别在该型号二级管两端加正向电压（即）和反向电压（即），则此时二极管的状态分别为（）A．开通、开通B．关断、关断C．开通、关断D．关断、开通第(3)题已知向量，，若在方向上的投影向量为，则实数m的值为（）A．B．1C．D．2第(4)题设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“l m且l n”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：）A．20B．27C．32D．40第(6)题已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（）A．B．C．D．第(7)题若二面角为，直线，则所在平面内的直线与m所成角的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列满足，且，等差数列的前n项和为，且，，若恒成立，则实数λ的值可以为（）A．－36B．－54C．－81D．－108第(2)题在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（）A．若，则的外接圆的面积为B ．若，且有两解，则b的取值范围为C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D．若，且，O为的内心，则的面积为第(3)题若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，1680年卡西尼发现了斐波那契数列的一个重要性质：（）．若斐波那契数列满足，则下列结论正确的是（）A．k可以是任意正奇数B．k可以是任意正偶数C．若k是奇数，则k的最大值是999D．若k是偶数，则k的最大值是500三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若双曲线的渐近线与圆相切，则_______．第(2)题已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为______．第(3)题命题“，”的否定为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题记函数的导函数为，已知，.(1)求实数的值；(2)求在的值域.第(2)题已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，所有球的大小、形状完全相同.(1)从1号箱中不放回地依次取2个球，每次取一个，求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率；(2)若从1号箱中任取2个球放入2号箱中，再从2号箱中任取1个球，求取出的这个球是红球的概率.第(3)题某高科技研发公司生产某种过滤材料，该过滤材料主要质量指标是对直径为的漂浮固体颗粒的过滤效率达到0.95以上．当前市场供应紧缺．该公司要扩大产能，在原来A生产线的基础上，增设B生产线，为了监控该过滤材料生产线的生产过程，检验员每天需要从两条生产线上分别随机抽取该过滤材料检测过滤效率公司规定过滤效率大于0.970的产品为一等品，并根据检验员抽测产品中一等品的数量对两条生产线进行评价，下面是检验员某一天抽取的20个该过滤材料的过滤效率值：生产线过滤效率序号12345678910过滤效率生产线过滤效率序号12345678910过滤效率（1）根据检验员抽测的数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为生产线与所生产的产品为一等品有关？生产线产品是一等品产品不是一等品总计总计（2）在这20件产品中，从两条生产线生产的产品中各随机抽取1件，求恰有一件为一等品的概率．附，其中第(4)题《黄帝内经》中十二时辰养生法认为，子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，往往沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比10.1%9.2%211.1%47.4%334.6%31.6%448.6%11.8%5 5.6%0.0%注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．(1)根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数中位数与晚睡人群睡眠指数中位数分别在第几组，并说明理由；(2)据统计，睡眠指数在区间内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数在区间内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．第(5)题已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和．。