第一章 计数原理单元测试(原卷版)

计数原理单元测试卷一同学们，今天我们进行的是计数原理单元的测试，请大家认真审题，仔细作答。

现在，让我们开始今天的测试。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校运会，有多少种不同的选法？A. 3000B. 300C. 150D. 1002. 如果一个事件可以由n个步骤组成，每个步骤有两种选择，那么完成这个事件共有多少种不同的方法？A. 2^nB. n^2C. 2nD. n!3. 某图书馆有100本书，需要选出10本进行展示，如果不考虑书籍的排列顺序，共有多少种不同的选法？A. 100B. 10C. 10^100D. 100!/(10!*90!)...（此处省略其他选择题）二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果一个事件有5种可能的结果，每种结果发生的概率相等，那么这个事件的期望值是______。

2. 从5个不同的数字中选出3个数字进行排列，不考虑排列顺序，共有______种不同的组合。

...（此处省略其他填空题）三、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是排列和组合，并给出一个例子说明它们的区别。

2. 请解释什么是二项式定理，并给出一个应用二项式定理的例子。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 某学校有5个班级，每个班级有50名学生。

现在需要从这5个班级中随机选出10名学生组成一个学习小组。

如果不考虑班级之间的差异，计算出有多少种不同的组合方式。

2. 假设有5个不同的球和5个不同的盒子，每个盒子只能放一个球。

计算出有多少种不同的放球方法。

五、论述题（共10分）请论述计数原理在日常生活中的应用，并给出至少两个具体的例子。

同学们，测试结束。

请检查自己的答案，确保没有遗漏。

希望你们都能取得好成绩。

如果有任何疑问，可以在课后与我讨论。

谢谢大家的努力和参与。

高2021届?计数原理?单元测试题班级 学号 姓名一、选择题〔每一小题5分，一共75分〕1．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区效劳，假如要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为〔 〕 A.14B.242．n xx )3(3+展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，那么n 等于〔 〕 Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．73．假设b a b a ,(2)21(4+=+为有理数〕，那么=+b a 〔 〕A ．33B ． 29C ．23D ．194．nxx )1(2-的展开式中，常数项为15，那么=n 〔 〕 A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，那么不同分法的种数为( ) Ａ．18Ｂ．24Ｃ．30Ｄ．366．3名医生和6名护士被分配到3所为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。

不同的分配方法一共有〔 〕种 Ａ．90Ｂ．180Ｃ．270Ｄ．5407．2位男生和3位女生一共5位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是〔 〕A. 60B. 48C. 42D. 368．假设对于任意实数x ，有3322103)2()2()2(-+-+-+=x a x a x a a x ，那么2a 的值是〔 〕A ．3B ．6C ．9D ．129．集合}4,3,2,1{=A ，集合}7,6,5{=B ，那么以A 为定义域，B 为值域的函数有〔 〕个 Ａ．24Ｂ．36Ｃ．48Ｄ．8110．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城游览，要求每个城有一人游览，每人只游览一个城，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，那么不同的选择方案 ( ) A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种11．如图，一环形花坛分成D C B A ,,,四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，那么不同的种法总数为〔 〕 A ．96B ．84C ．60D ．4812．在5)11(-+xx 的展开式中，常数项为〔 〕 A ．51 B ．51- C ．11- D ．11 13．假如n xx )23(32-的展开式中含有非零常数项，那么正整数n 的最小值为〔 〕Ａ．3Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．1014．在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是〔 〕Ａ．15-Ｂ．85Ｃ．120-Ｄ．27415．2名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，假设其别人的相对顺序不变，那么不同调整方法的总数是( )A ．2328A CB ．6628A CC ．2628A CD ．2528A C 16．在n by ax )1(++的展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，那么n b a ,,的值可能为〔 〕A ．5,1,2=-==n b aB ．6,1,2=-=-=n b aC ．6,2,1==-=n b aD ．5,2,1===n b a 选择题 答题卡二、填空题〔每一小题5分，一共35分〕17．假设41313--+=n n n C C C , 那么n 的值是 ； 18．324735---=x x x A C ,那么=x _______________；19．假设62)1(axx +的二项展开式中3x 的系数为25,那么=a .(用数字答题)20．等式141422104232)21()1(x a x a x a a x x x ++++=--+ 成立，那么 1413321a a a a a +++++ 的值等于 .21．正六边形的中心和顶点一共7个点，以其中3个点为顶点的三角形一共有 个〔用数字答题〕。

2017年高中数学第一章计数原理单元测评1（含解析）新人教A版选修2-3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高中数学第一章计数原理单元测评1（含解析）新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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计数原理(时间：90分钟满分:120分)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种B．112种C．140种D．168种解析：方法一（直接法）：分类完成：第1类，甲参加或乙参加,有C错误!C错误!种挑选方法；第2类，甲、乙都参加，有C错误!C错误!种挑选方法．所以不同的挑选方法共有C错误!C错误!＋C错误!C错误!＝140种．方法二(间接法）:从甲、乙等10人中挑选4人共有C错误!种挑选方法，甲、乙两人都不参加挑选方法有C错误!种，所以甲、乙两人中至少有1人参加的不同的挑选方法有C错误!－C错误!＝140种．答案:C2．五本不同的书在书架上排成一排，其中甲，乙两本必须连排，而丙,丁两本不能连排，则不同的排法共有（)A．12种B．20种C．24种D．48种解析：甲，乙看作一本，除去丙,丁后排列，再将丙，丁插入,共有A22A错误!A错误!＝2×3×2×2＝24种．答案：C3．在二项式错误!5的展开式中，含x4的项的系数是（）A．－5 B．5C．－10 D．10解析：T k＋1＝C错误!·（x2)5－k·错误!k＝C错误!·x10－2k·错误!k·（－1）k＝C错误!·x10－3k·(－1)k。

高二数学(shùxué) 排列、组合、二项式定理测试题一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．)1、两位到旅游的外国游客要与2021奥运会的桔祥物福娃〔5个〕合影纪念，要求排成一排，两位游客相邻且不排在两端，那么不同的排法一共有〔〕A．1440 B．960 C．720 D．4802、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，那么不同的选排方法一共有〔〕A．96种 B．180种 C．240种 D．280种3、5个人分4张无座足球票，每人至多分一张，而且必须分完，不同的分发种数有〔〕A．种 B．种 C．种 D．种4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是〔〕A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种5、且，问一一共可以组成多少个不同对数的值？〔〕A . 30个 B. 21个 C. 17个 D . 18个6、在一次羽毛球预选赛中，某小组一共有5个球队进展(jìnzhǎn)双循环赛(每两队之间赛两场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等那么要比净胜球数或者进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为〔〕A．22种B．23种 C．24种 D．25种7、令的展开式中含项的系数，那么数列的前n项和为〔〕A．B．C．D．8、假设，那么= 〔〕A．32 B．1 C．-1 D．-329、二项式展开式中含有常数项，那么常数项是第〔〕项A 5B 6C 7D 810、四面体的顶点和各棱中点一共10个点，在其中取4个不一共面的点，那么不同的取法一共有〔〕A．150种B．147种 C．144种D．141种11、假设(jiǎshè)x∈A那么∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为〔〕A．15 B．16 C．28 D．2512、设a、b、m为整数〔m>0),假设a和b被m除得的余数一样，那么称a和b 对模ma≡b(mod m)。

一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448B ．448-C ．672D ．672-3．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．254．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12965．已知（x a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．26．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则0CC mn m k n k n k --==∑（ ）A ．2m n +B ．C 2n mmC ．2C nmnD ．2C m mn7．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．18．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种B ．38种C ．105种D ．630种9．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n +B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C10．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．9611．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -12．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．二项式261(2)x x -的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．()3621()x x x-的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）15．在()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.16．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)17．若二项式nx x ⎛⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.18．622x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）19．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）20．已知关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数为n ，若1101(1)(1)(3)n x x a a x +++=++2101121011(3)(3)(3)a x a x a x +++++++，则1a 的值为______.三、解答题21．已知二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？ 22．设函数(,)(1)(0,0)x f x y my m y =+>>.（1）当3m =时，求()9,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知(2,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和大4032，若01(,)nn f n y a a y a y =++⋅⋅⋅+，且2135a =，求1i ni a =∑23．计算：（1）2490n n A A =；（2）383321nn nn C C -++.24．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.25．已知二项式10x⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x 项的系数；(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值．26．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知()123012321nn n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n *∈N ），若()21nx -的展开式中，______. （1）求n 的值；（2）求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2rr rr r r r rx T C x C x---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.3．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.4．B解析：B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数5．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．D解析：D 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和. 【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n knm kn mn k n n C Cn m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()012mmn m k m k m m m m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑故选：D 【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.7．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有23C 种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有2337105C C ⨯=种； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．9．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立.令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.10．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.11．D解析：D 【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案. 详解：()()()()()()829999!181920...9917!k k k k k k A k ------==-.故选：D.点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解.有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．180【分析】根据二项式定理结合展开式通项即可确定的指数形式将多项式展开即可确定常数项【详解】的展开式中的通项公式而分别令解得或∴的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展解析：180 【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式 363216622kkkk k k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 分别令3332k -=-，3302k -=，解得4k =，或2k =．∴()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.15．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项解析：84 【分析】通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数为：2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++399878432C ⨯⨯===⨯， 故答案是：84. 【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.16．【解析】分析：根据排列定义求结果详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置从中任选3个位置给3名大学毕业生则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60( 解析：60【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.17．15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64令得的通项为令常数项为故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项系数及各项系数和的求法属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项解析：15【解析】二项式nx ⎛+ ⎝展开式中各项系数的和为64，∴令1x =，得6264,8,n n x ⎛== ⎝的通项为36622166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=，令360,42r r -==，常数项为4615C =，故答案为15.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】62x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()366621661222xrr x r r r r T C x C x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6019．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8 【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.20．【分析】利用图象法判断出关于的方程的实数根的个数由此求得利用结合二项式展开式求得【详解】当时画出和的图象如下图所示由图可知两个函数图象有个交点所以关于的方程的实数根个数为1所以所以所以故答案为：【点 解析：11265【分析】利用图象法判断出关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数，由此求得n ，利用132x x +=+-，结合二项式展开式求得1a . 【详解】当01a <<时，画出x y a =和log ay x =的图象如下图所示，由图可知两个函数图象有1个交点，所以关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根个数为1，所以1n =.所以()()()()11111113232n x x x x +++=+-++-，所以10101111(2)11265a C =+-=.故答案为：11265【点睛】本小题主要考查方程的根的个数判断，考查二项式展开式，属于中档题.三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥， 可得021212123111,,222nn n nn n T C x T C x T C x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）4511206T y =，5633618T y =；（2）4095. 【分析】（1）根据二项式的性质知二项式系数最大项为第5、第6项，代入通项计算；（2）利用展开式中各项的二项式系数和公式列出等式求解n ，代入(,)f n y 由2135a =列等式求解m ，即可利用赋值法求1i ni a =∑.【详解】（1）9(9,)(13)f y y =+，二项式系数最大项为第5、第6项，44459(3)11206T C y y ==，55569(3)33618T C y y ==.（2）由题意：2224032n n -=，即()()2642630nn-+=，解得6n =，6260126(6,)(1)f y my a a y a y a y =+=+++⋅⋅⋅+，则2226135a C m ==，29m =，解得3m =或3-（舍去），则6(6,)(13)f y y =+，令1y =可得601264a a a a =+++⋅⋅⋅，所以661260126011414095n i ii i a aa a a a a a a a ====++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅-=-=∑∑.【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数最大项、展开式中二项式系数和、赋值法求展开式中项的系数和，属于中档题. 23．（1）12；（2）466. 【分析】（1）由排列数公式化简后再解方程可得；（2）由组合数性质求得n 的范围，求得n ，再利用组合性质变形后计算． 【详解】（1）由2490n n A A =，得90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，且4n ≥，解得12n =；（2）由题意383321n nn n -≤⎧⎨≤+⎩，*n N ∈，解得10n =．∴383321n n n n C C -++283021303130313029314662C C C C ⨯=+=+=+=. 【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标． 24．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10iii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即10024*******a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 25．（1）3360；（2）1 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-.(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，∵＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1. 26．（1）10；（2）1031- 【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出； （2）令0x =和1x =-可求出. 【详解】（1）选择条件①，若()21nx -的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则52n=， 10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则37n n C C =，10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中所有二项式系数的和为102，则1022n，10n ∴=；（2）由（1）知10n =，则()101231001231021x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+， 令0x =，得01a =，令1x =-，则100123101012331a a a a a a a a a +=-+-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++=+，101231031a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-.【点睛】本题考查二项展开式系数关系，属于基础题.。

高中数学修2-3 第一章单元测试题《计数原理》(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．C910＋C810等于()A．45B．55C．65 D．以上都不对2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140 B．240C．360 D．8004．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种B．36种C．42种D．60种5．5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有()A．18种B．24种C．36种D．48种6．关于(a－b)10的说法，错误的是()A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小7.图1如图1，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．1 240种B．360种C．1 920种D．264种8．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有()A．1 050种B．700种C．350种D．200种9．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为()A．29B．49C．39D．5910．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48C．36 D．2411．某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为()A．96 B．180C．360 D．72012．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋a n x n，若a1＋a2＋…＋a n＝63，则展开式中系数最大项是()A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．14．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________． 15．观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________.16．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图2所示，则a ＝________.图2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⎩⎪⎨⎪⎧C x n ＝C 2xn ，C x ＋1n＝113C x －1n ，试求x ，n 的值.18．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n ＋16n －1(n ∈N *)能被16整除．19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球， (1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？20．(本小题满分12分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.21．(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必须站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻．22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？高中数学修2-3 第一章单元测试题《计数原理》参考答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·银川一中检测)C910＋C810等于()A．45B．55C．65 D．以上都不对【解析】C910＋C810＝C110＋C210＝55，故选B.【答案】 B2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种，故选D.【答案】 D3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140 B．240C．360 D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x 的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】 B4．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种B．36种C．42种D．60种【解析】分两类．第一类：同一城市只有一个项目的有A34＝24种；第二类：一个城市2个项目，另一个城市1个项目，有C23·C24·A22＝36种，则共有36＋24＝60种．【答案】 D5．(2016·广州高二检测)5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有() A．18种B．24种C．36种D．48种【解析】首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有2种可能，最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是A33＝6，所以3×2×6＝36(种)，故答案为C.【答案】 C6．关于(a－b)10的说法，错误的是()A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小【解析】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．【答案】 C7.图1(2016·潍坊高二检测)如图1，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．1 240种B．360种C．1 920种D．264种【解析】由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C13C12A55种；当五种颜色选择四种时，选法有C45C13×3×A44种；当五种颜色选择三种时，选法有C35×2×A33种，所以不同的涂色方法共C13C12A55＋C45C13×3×A44＋C35×2×A33＝1 920.故选C.【答案】 C8．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有() 【导学号：97270029】A．1 050种B．700种C．350种D．200种【解析】分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．所以不同的选购方法有C36C25＋C26C35＝350种．【答案】 C9．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为()A．29B．49C．39D．59【解析】由于a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选B.【答案】 B10．(2016·山西大学附中月考)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48C．36 D．24【解析】在长方体中，对每一条棱都有两个面(侧面或底面)和一个对角面(对不在同一个面上的一对互相平行的棱的截面)与它平行，可构成3×12＝36个“平行线面组”，对每一条面对角线，都有一个面与它平行，可组成12个“平行线面组”，所以“平行线面组”的个数为36＋12＝48，故选B.【答案】 B11．(2016·吉林一中高二期末)某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为() A．96 B．180C．360 D．720【解析】由这6个数字组成的六位数个数为A66A22A22＝180，即最多尝试次数为180.故选B.【答案】 B12．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋a n x n，若a1＋a2＋…＋a n＝63，则展开式中系数最大项是()A．15x3B．20x3C．21x3D．35x3【解析】令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得2n＝64，所以n＝6，故展开式中系数最大项是T4＝C36x3＝20x3.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】 由题意得C 12·C 2x ＝20，解得x ＝5. 【答案】 514．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________．【解析】 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.【答案】 1.3415．(2015·山东高考)观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________.【解析】 观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1. 【答案】 4n －116．(2014·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图2所示，则a ＝________.图2【解析】 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r (r ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3.【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⎩⎪⎨⎪⎧ C x n ＝C 2x n ，C x ＋1n ＝113C x －1n ，试求x ，n 的值. 【导学号：97270030】【解】 ∵C x n ＝C n －x n ＝C 2x n ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n，得 n ！(x ＋1)！(n －x －1)！＝113·n ！(x －1)！(n －x ＋1)！， 整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n ＋16n －1(n ∈N *)能被16整除．【证明】 49n ＋16n －1＝(48＋1)n ＋16n －1＝C 0n ·48n ＋C 1n ·48n －1＋…＋C n －1n ·48＋C n n＋16n －1 ＝16(C 0n ·3×48n －1＋C 1n ·3×48n －2＋…＋C n －1n ·3＋n )． 所以49n ＋16n －1能被16整除．19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解】 (1)将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，有C 44种；②取3个红球1个白球，有C 34C 16种；③取2个红球2个白球，有C 24C 26种，故有C 44＋C 34C 16＋C 24C 26＝115种．(2)设取x 个红球，y 个白球，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，0≤x ≤4，2x ＋y ≥7，0≤y ≤6，故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.因此，符合题意的取法共有C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝186种． 20．(本小题满分12分)设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)a 6.【解】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10＝1.(2)a6即为含x6项的系数，T r＋1＝C r10(2x)10－r·(－1)r＝C r10(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝C410(－1)426x6＝13 440x6，即a6＝13 440.21．(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必须站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻．【解】(1)共有A77＝5 040种方法．(2)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3 600种方法．(3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，有A44种方法，故共有A44×A44＝576种方法．(4)(插空法)男生不相邻，而女生不做要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1 440种方法．22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？【解】由1<log2x<3，得2<x<8，又x∈N*，所以x为3,4,5,6,7，即A＝{3,4,5,6,7}，所以A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成A36＝120个三位数．(2)若从集合A中取元素3，则3不能作千位上的数字，有C35·C13·A33＝180个满足题意的自然数；若不从集合A中取元素3，则有C14C34A44＝384个满足题意的自然数．所以，满足题意的自然数的个数共有180＋384＝564.。

一、选择题1．关于6212xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式，下列说法中正确的是（）A．展开式中二项式系数之和为32 B．展开式中各项系数之和为1C．展开式中二项式系数最大的项为第3项D．展开式中系数最大的项为第4项2．二项式2()nxx-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（）A．160-B．80-C．80D．1603．已知231(1)nx xx⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中没有2x项，*n N∈，则n的值可以是（）A．5 B．6 C．7 D．84．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）A．180 B．192 C．420 D．4805．若0k m n≤≤≤，且,,m n k N∈，则mn m kn k nkC C--==∑（）A．2m n+B．2mnmCC．2n m n C D．2m m n C6．已知()()()()1521501215111x a a a x a x a x+=+-+-+⋅⋅⋅+-中0a>，若13945a=-，则a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．若4()(1)a x x++的展开式关于x的系数和为64，则展开式中含3x项的系数为（）A．26 B．18 C．12 D．98．在二项式(2nxx的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是A．第6项B．第5项C．第4项D．第3项9．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种10．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A ．-5B ．7C ．-11D ．1311．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种12．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是________（用数字作答） 14．化简：()()()1231223312131n n n n nn n n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++=______.15．某老师安排甲、乙、丙、丁4名同学从周一至周五值班，每天安排1人，每人至少1天，若甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为______.（请用数字作答） 16．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________. 17．621(2)x x-的展开式中的常数项为______． 18．已知集合S={﹣1，0，1}，P={1，2，3，4}，从集合S ，P 中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点共有_____个．19．已知()n x y +的展开式中，只有第七项的系数最大，则n =___________ 20．()()42x y x y ++的展开式中32x y 的系数为______________.三、解答题21．已知二项式*1)(,2)2nn N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？ 22．已知i ，m ，n 是正整数，且1i m n <≤<． （1）证明：i i i im n n A m A <；（2）证明：(1)(1)m nn m +<+．23．已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256. （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项.24．在二项2nx ⎫⎪⎭的展开式中，前三项的系数和为73． （1）求正整数n 的值；（2）求出展开式中所有x 的有理项．25．设(nx 的展开式中，第二项与第四项的系数比为1:2，试求2x 项的系数.26．已知)22nx的展开式的系数和比()31nx -的展开式的二项式系数和大992，求212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中： （1）二项式中的常数项； （2）系数小于1025的项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】直接利用二项式展开式的应用求出结果． 【详解】 解：关于621(2)x x-的展开式，根据二项式的展开式的应用：61621(2)()r rr r T C x x -+=-， 对于选项A ：展开式中二项式系数之和6264=，故错误．对于选项B ：利用赋值法的应用，当1x =时，各项的系数的和为6(21)1-=，故正确．对于选项C ：展开式中二项式系数最大的项为第4项3620C =，故错误． 对于选项D ：展开式中系数最大的项为第2项，系数为2462240C ⨯=．故错误．故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：二项展开式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．2．A【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n ，结合通项即可得到常数项. 【详解】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =，二项式62()x x-的展开式中，通项6162()r r rr T C x x-+=-，当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x+=-=-. 故选：A 【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式系数关系求解参数，根据通项求展开式中的指定项.3．C解析：C 【分析】将条件转化为31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，所以31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,rr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解检验可得7n = 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.4．C【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有35C ，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为335360C A =（种）.若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有45C ，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为414524240C C A =（种）.若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为55120A =（种）.综上，共有不同的涂色方案数为420（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.5．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn mk n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.6．A解析：A 【分析】根据()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及13945a =-，即可求得a 的值，得到答案． 【详解】由题意，二项式()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-， 又由()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-，所以()()()2151501215[(1)(1)]111a x a a x a x a x --++-=+-+-+⋅⋅⋅+-， 其中0a >，由13945a =-，可得：1321315[(1)]945a C a =-⋅-+=-，即2105(1)945a -+=-，即2(1)9a +=，解得2a =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．7．B解析：B 【分析】取1x =解得3a =，展开式中含3x 项有两种情况，相加得到答案. 【详解】令1x =得4(1)264a +⋅=，所以3a =．所以4(3)(1)x x ++展开式中含3x 项为33223443C C 18x x x x ⋅+⋅=，所以展开式中含3x 项的系数为18， 故选B ． 【点睛】本题考查了二项式定理，把握展开式中含3x 项的两种情况是解题的关键.8．C解析：C 【分析】由已知条件先计算出n 的值，然后计算出系数最小的项 【详解】由题意二项式n的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大， 故8n =二项式展开式的通项为8821881122rrrrrr r r T C C ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要系数最小，则r 为奇数当1r =时，18142C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当3r =时，338172C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当5r =时，5581724C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当7r =时，77811216C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭故当当3r =时系数最小 则系数最小的项是第4项 故选C 【点睛】本题主要考查了二项式展开式的应用，结合其通项即可计算出系数最小的项，较为基础9．D解析：D 【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A =种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A =种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种. 故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.10．C解析：C 【解析】611x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式是61,rr C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 其中含1x 的项是1161,C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 常数项为0611,C x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是116121112111.x C x ⎡⎤⎛⎫⨯-+⨯=-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选C.11．D解析：D 【详解】最前排甲，共有55A 120=种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有种，故选D ．考点：排列及计数原理的应用．12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解. 【详解】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．3【解析】的通项公式为令得；令得∴常数项为故答案为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系解析：3 【解析】5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为521015521()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=-=-.令2102r -=-，得4r =；令2100r -=，得=5r .∴常数项为445555(1)2(1)523C C -+-=-=故答案为3.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14．【分析】由将原式转化为再由二项式定理可得答案【详解】∴故答案为：【点睛】本题考查组合数公式和二项式定理的应用考查转化思想属于中档题 解析：np【分析】由11=kk n n kC nC --将原式转化为()()()1232311110121111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++，再由二项式定理可得答案. 【详解】()()()()111!1!!=!()!1!()!1!()!kk n n nk n n n kn kC nC k n k k k n k k n k ----===-----，∴()()()1231223312131n n n n nn n n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++()()()123212311111=111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++()()11211111=11n n n n n n n np C p C p C p p -------+⎦+⎡⎤-+-⎣1[(1)]n np p p -=-+ 11n np -=⋅np =故答案为：np 【点睛】本题考查组合数公式和二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题.15．24【分析】首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班即有种方式其它三天安排乙丙丁值班有种方式由分步计数原理即有总方法有种即可求得所有安排方法数【详解】从周一至周五值班甲连续两天值班乙丙丁每人值班一天解析：24 【分析】首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班，即有14C 种方式，其它三天安排乙、丙、丁值班，有33A 种方式，由分步计数原理，即有总方法有14C 33A 种，即可求得所有安排方法数【详解】从周一至周五值班，甲连续两天值班，乙、丙、丁每人值班一天，可知 周一到周五任选连续的两天安排给甲值班，则有：14C 种安排方法 甲值班两天除外，其它三天安排乙、丙、丁值班，则有：33A 种安排方法以上两步是分步计数方法：故总的不同的安排方法为14C 33A = 24种故答案为：24 【点睛】本题考查了排列组合，应用分步计数原理求总计数，注意其中“对甲连续两天的值班安排”应用了捆绑法16．40【分析】先求出的展开式的通项再求出即得解【详解】设的展开式的通项为令r=3则令r=2则所以展开式中含x3y3的项为所以x3y3的系数为40故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系解析：40 【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．240【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数再代入得结果【详解】令得所以的展开式中的常数项为【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项考查基本分析求解能力属基础题解析：240 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果 【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2r r r r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦， 令3120r -=得，4r =，所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.18．23【解析】试题分析：由题意知本题是一个分步计数问题S 集合中选出一个数字共有3种选法P 集合中选出一个数字共有4种结果取出的两个数字可以作为横标和纵标因此要乘以2去掉重复的数字得到结果解：由题意知本题解析：23 【解析】试题分析：由题意知本题是一个分步计数问题，S 集合中选出一个数字共有3种选法，P 集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标和纵标，因此要乘以2，去掉重复的数字，得到结果．解：由题意知本题是一个分步计数问题， 首先从S 集合中选出一个数字共有3种选法， 再从P 集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标，也可以作为纵标，共还有一个排列， ∴共有C 31C 41A 22=24，其中（1，1）重复了一次．去掉重复的数字有24﹣1=23种结果， 故答案为23考点：计数原理的应用．19．12【分析】根据题意利用二项式定理二项式系数的性质得出结论【详解】的展开式中只有第七项的系数最大故展开式中有13项则故答案为：12【点睛】结论点睛：本题考查二项式定理如果二项式的幂指数n 是偶数中间一解析：12 【分析】根据题意，利用二项式定理，二项式系数的性质得出结论. 【详解】()+n x y 的展开式中，只有第七项的系数最大，故展开式中有13项，则12n =故答案为：12 【点睛】结论点睛：本题考查二项式定理，如果二项式的幂指数n 是偶数，中间一项12nT +项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，中间两项12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．20．14【分析】针对部分由二项式定理知通项为结合整个代数式有的项组成为即可求其系数【详解】对于由二项式通项知：∴含项的组成为：∴的系数为14故答案为：14【点睛】本题考查二项式定理根据已知代数式形式求指解析：14 【分析】针对4()x y +部分由二项式定理知通项为414r rr r T C xy -+=，结合整个代数式有32x y 的项组成为22213442x C x y y C x y ⋅+⋅即可求其系数. 【详解】对于4()x y +，由二项式通项知：414r rr r T C xy -+=，∴含32x y 项的组成为：22213213244442(2)x C x y y C x y C C x y ⋅+⋅=+，∴32x y 的系数为14. 故答案为：14. 【点睛】本题考查二项式定理，根据已知代数式形式求指定项的系数，属于基础题.三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1)(,2)2nn N n x∈≥，可得0212012123111,,222nn n nn n T CT C T C x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项rn rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析. 【分析】（1）根据排列数的公式，结合不等式的性质进行证明即可；（2）根据二项式定理，结合（1）中的结论、排列数、组合数的公式进行证明即可. 【详解】（1）由排列数的公式得：(1)(2)(1)121i m i A m m m m i m m m m i m mmm m m m m m---+---+==⋅⋅， (1)(2)(1)121i n i A n n n n i n n n n i n nnn n n n n n---+---+==⋅⋅， 当1i m n <≤<，1,2,31k i =-时，()()()=0m k n k n m k m n k k m n m k n km n mn mn m n ---------=<⇒<， 由不等式的性质可知： 121m m m m i m m mm ---+⋅⋅<121n n n n i n n nn---+⋅⋅， 即i m i A m <i i i m ni i n i n A nm A A <⇒； （2）由二项式定理可知：0(1),(1)mnmi i ni imn i i n n Cm m C ==+=⋅+=⋅∑∑，因为,!!i iiim n mn A A C C i i ==，由（1）知：i i i i m n n A m A <， 所以有i i i im n n C m C <,又因为000011111,,0i in m n m n m C n C m C n C nm m C ====>(1)i m n <≤<，所以(1)(1)n mii ii n m nm i i m C n Cm n ==⋅>⋅⇒+>+∑∑.【点睛】本题考查了排列数、组全数公式的应用，考查了二项式定理，考查了不等式的性质，考查推理论证能力和数学运算能力. 23．（1）3；（2）70x 或1220412x - 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为256，可得2256n =，解出8n =，再由通项公式163418k k k k Ta C x-+=，0,1,2,,8k=，分析即得；（2）根据各项系数的和均为256，可得()81256a +=，解出3a =-或1a =，再由通项公式分情况进行计算即得. 先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256求出n . 【详解】（1）n的二项展开式的各二项式系数的和为2n，各项系数的和为()1n a +，由已知得2256n =，故8.n =此时n展开式的通项为：163418k k k k T a C x -+=，0,1,2,,8k =，当0,4,8k =时，该项为有理项，故有理项的个数为3. （2）由()81256a +=，得3a =-或 1.a = 当1a =时，展开式通项为163418k kk TC x-+=，0,1,2,,8k =，故二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==；当3a =-时，163418(3)k kk k TC x-+=-，0,1,2,,8k =，展开式系数最大的项是奇数项，其中41T x =，523252T x =，55670T x =，12720412T x-=，296561T x -=，故展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为12720412T x-=.综上，展开式中系数最大的项为70x 或1220412x -. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题. 24．（1）6；（2）33624064,60,,x x x【分析】（1）根据二项式定理通项公式列式解得n 的值； （2）根据二项式定理通项公式确定有理项，即可得结果. 【详解】（1）3212()2n rr n rr r rr nn T C C x x --+==⋅ 所以前三项的系数和为0011222(1)222124217362n n n n n C C C n n n -⋅+⋅+⋅=++⨯=+=∴=； （2）632162,0,1,2,3,4,5,6rr rr T C xr -+=⋅=所以展开式中所有x 的有理项为0033220443666666636240642,260,2,2C x x C x C x C x x x--⋅=⋅=⋅=⋅= 【点睛】本题考查二项式定理及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 25．12 【分析】分别写出(nx -的展开式的第二项与第四项，由展开式中第二项与第四项的系数比为1:2，可求出n ，进而可得出展开式中2x 项的系数.【详解】(nx -展开式的第二项与第四项分别为：1112(n n n T C x --==，333334(n n n n T C x x --==-.12=，即2340n n --=， 解得4n =或1n =-， 显然只有4n =符合题意，设(4x 展开式中2x 项为第1r +项，则441(rr r r T C x -+=⋅，令42-=r ，得2r，即(4x 展开式中2x项为222234(12T C x x ==.故2x 项的系数为12. 【点睛】本题考查二项式的系数，要熟练掌握二项式定理，属于中档题. 26．（1）8064；（2）101024x 、4960x 、6180x 、820x 、101x . 【分析】（1）根据题意可得出关于n 的等式，即可解出正整数n 的值，进而写出212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项公式即可得出展开式中的常数项； （2）利用二项展开式通项写出展开式中的每一项，进而可得出结果. 【详解】 （1）)22nx的展开式的系数和为22n ，()31nx -的展开式的二项式系数和为2n ，由题意可得222992n n -=，可得232n =或231n =-（舍），所以，5n =.1012x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()101010211010122rr r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1020r -=，可得=5r ，因此，展开式中的常数项为5561028064T C =⋅=；（2）1012x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项分别为：1011024T x =，825120T x =，6311520T x =，4415360T x =，2513440T x =，68064T =，723360T x =，84960T x =，96180T x =。

第1章 计数原理本章练测建议用时 实际用时满分 实际得分 120分钟160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.某校高三年级举行一次演讲比赛，共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为_________.2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目.如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同排法的种数为_________. 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是_________.4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是_________. 5．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法_________种. 6．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1 双的取法种数为_________. 7．832x x ⎛⎝的展开式中的常数项是_________. 8．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是_________.9．22nx x ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是_________.10．把103i )x -根据二项式定理展开，展开式的第8项的系数是_________.11．212nx ⎛⎫+ ⎪的展开式中，2x 的系数是224，则21x的系数是_________. 12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有_________种．（以13．在50件产品中有件是次品，从中任意抽了5 件，至少有3件是次品的抽法共有__________种（用数字作答）.14.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_________个． 二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（14分）要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ 16．（14分）6个人坐在一排10个座位上,问: (1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种? 17．（14分）有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？18．（16分）已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数的和比7(32)a b +展开式中的二项式系数的和大128,求21n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和19.（16分）求证：15151-能被7整除.20.（16分）5025001250(23),x a a x a x a x -=++++L其中01250,,,，a a a a L 是常数,计算22024*******()()a a a a a a a a ++++-++++L L第1章 计数原理本章练测答题纸得分： 一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题 15.16.17.18.19.20.第1章 计数原理本章练测答案一、填空题1. 解析：求符合要求的基本事件（排法）：第一步，将一班的3位同学“捆绑”成一个大元素；第二步，这个大元素与其他班的5位同学共6个元素全排列；第三步，在这个大元素与其他班的5位同学共6个元素全排列排好后产生的7个空中排列二班的2位同学；第四步，“释放”一班的3位同学“捆绑”成的大元素.故共有623673A A A 个符合要求的基本事件.而基本事件总数为1010A 个，所以符合条件的基本事件的概率为6236731010A A A =A P =120．2.42 解析：分两类：增加的2个新节目不相邻或相邻，2个新节目不相邻采用“插空法”，在5个节目产生的6个空中任选2个排列，共有26A =30（种）排法，将2个新节目“捆绑”作为一个元素插入5个节目产生的6个空中的任意一个位置，再“释放”2个新节目“捆绑”成的大元素，共有1262A A =12（种）排法.将两类相加得42种排法．3．16 解析：不考虑限制条件有25A 种选法，若a 当副组长有14A 种选法，故2154A A 16-=为所求.4．3,5 解析：设男学生有x 人，则女学生有（8x -）人，则21383C C A 90,x x -=即(1)(8)30235,3所以x x x x --==⨯⨯=，.5．36 解析：从,,,c d e f 中选2个，有24C 种方法，把,a b 看成一个整体，3个元素全排列，有33A种方法，共计2343C A 36=种排法.6．120 解析：先从5双鞋中任取1双，有15C 种方法，再从8只鞋中任取2只，有28C 种取法，但需要排除4种成双的情况，所以有28C 4-种取法，则共计1258C (C 4)120-=种取法. 7．7 解析：1488888331888311C ()()(1)()C (1)()C 222r r r r r r r r r r r r r x T x x x------+=-=-=-.令6866784180,6,(1)()C 732r r T --===-=. 8．解析：555332255(12)(2)2(12)(12)2C (2)C (2)x x x x x x x x -+=-+-=+-+-+L L233355(4C 16C )120x x =+-+=-+L L L L. 9．180 解析：只有第六项的二项式系数最大，则10n =， 551021101022C ()()2C r rrr r r r T x x x --+==，令2310550,2,4C 1802r r T -====. 10．3603i 解析：7377810C 3i)()3603i T x =-=，系数为3603i .11．14 解析：222221C (2)()2C r n r r n r r n r T x x---==，令222,1n r r n -==-,则211222C 224,C 56,4n n nn n --===，再令52862C 14822,5,4得r r T x x--=-===. 12.42 解析：分别用,,a b c 代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设种a ，再安排第二块田，种b 或c ，有2种方法，不妨设种b ，第三块田也有2种方法，种a 或c ． （1）若第三块田种c ，则第四、五块田分别有2种方法，共有2×2种方法．abc（2）若第三块田种aaba①若第四块田种c ，则第五块田仍有abac②若第四块田种b c a b a b综上，共有32(223)42⨯⨯⨯+=13.4 186 解析：至少有3件次品包括有3件次品或有4件次品，故抽法共有3241446446C C C C +=4 186（种）.14.300 解析：符合条件的四位数的个位必须是0或5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排，按照0排在个位，0排在十位、百位和不含0的标准分为三类：(1)0排在个位，能被5整除的四位数有11231443A (C C )A =144（个）； (2)0排在十位、百位，但5必须排在个位的四位数有1111221432A A (C C )A =48（个）； (3)不含0，但5必须排在个位的四位数有11231343A C C A =108（个）． 由分类加法计数原理得所求四位数共有300个． 二、解答题15.解法一：对元素（数学和体育）进行分类解决.（1）体育、数学均不排在第一节和第六节，有24A 种排法，其他有44A 种排法，共有2444A A =288（种）排法； （2）数学排在第一节、体育排在第六节有一种排法，其他有44A 种排法，共有44A =24（种）排法；（3）数学排在第一节、体育不在第六节有14A 种排法，其他有44A 种排法，共有1444A A =96（种）排法；（4）数学不排在第一节、体育排在第六节有14A 种排法，其他有44A 种排法，共有1444A A =96（种）排法.所以符合条件的排法共有214444A 2A 1A （）++=504（种）. 解法二：本题也可采用排除法解决. 不考虑任何限制条件共有66A 种排法，不符合题目要求的排法有：（1）数学排在第六节，有55A 种；（2）体育排在第一节，有55A 种.考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在第一节的情况44A 种，所以符合条件的排法共有66A －255A 44A =504（种）． 16．解：6个人排有66A 种坐法,6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有47C 35=种插法，故空位不相邻的坐法有6467A C 25200=种.(2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插，有27A 种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有6267A A 30240=种.(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类： ①4个空位各不相邻有47C 种坐法;②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有1276C C 种坐法; ③4个空位分两组,每组都有2个相邻,有27C 种坐法综上所述,应有6412267767A (C C C C )115920++=种坐法.17．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，有44A 24=种排法；若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有2234C A 36=种排法；若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有1134C A 12=种排法；所以有24361272++=种排法.18．解：由722128,8得n n -==，821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项281631881C ()()(1)C r r r r r r r T x x x--+=-=-.当4r =时，项的系数最大，即4570T x =为展开式中的系数最大的项；当35或r =时，项中的系数最小，即74656,56T x T x =-=-为展开式中的系数最小的项.19.证明：51511-Q =51(492)1+-=5150492505112505151515151514949249249221C C C C C ••••••••-+++++L=49P +5121-（P *∈N ）,又Θ5131721(2)1-=-=（7+1）171-=0121617171615171717171777771C C C C C ••••+++++-L =7Q （Q *∈N ）,515117777(7)P Q P Q ∴-=⨯+=+.51511∴-能被7整除.20．解：设50()(23)f x x =，令1x =，得5001250(23)a a a a ++++=L .令1x =-，得5001250(23)a a a a -+-+=L .024*********()()a a a a a a a a ++++-++++=L L50500125001250()()(23)(23) 1.a a a a a a a a ++++-+-+==L L。

第一章 计数原理（时间：120分钟 满分：150分）学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ） A ．10种 B ．32种 C ．25种 D ．16种2. 9(2)a b +中第9的二项式系数是 （ ）A ．99CB ．9992C C ．89CD ．8892C3. 在9(1)x -的展开式中系数最大的项是 （ ） A ．5 B ．6 C ．5和6 D ．74. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形,,,A B C D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ）A ．72种B ．48种C ．24种D ．12种5. 若nx )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116. 将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为(126)i a i = ，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法种数为（ ）A ．18B ．30C ．36D ．487. 若29230123(1)(3)(2)(2)(2)x x a a x a x a x +-=+-+-+-1111(2)a x +⋅⋅⋅+-，则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为 （ ）A.0B.5-C.5D.2558. 下列问题中，答案为6666A A ·的种数是（ ） A ．6男6女排成一行，同性都不相邻的排法数B ．6男6女排成一行，女性都不相邻的排法数C ．6男6女分六个兴趣不同的小组，每组一男一女的分组种数D ．6男6女排成前后两排的排法数 9. ()()533121x x-⋅+ 的展开式中x 的系数是（ ）A ．4- B.2- C.2 D.410. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A ．36种B ．42种C ．48种D ．54种11．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为A ．2000B ．4096C ．5904D ．832012. 6名同学报考,,A B C 三所院校，如果每一所院校至少有1人报考，则不同的报考方法共有（ ）． A ．216种 B ．540种 C ．729种 D ．3240种 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________． 14. 有3张都标着字母A ，6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于 ．（用数字作答）15. 有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲乙两人不住同一房间，且每个房间最多住二人，则不同的住宿安排有 种（用数字作答）16. 若1()2nx x+的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为 。

(数学选修2--3)第一章计数原理测试题(数学选修2--3) 第一章 计数原理姓名_________学号____(时间：120分钟，满分150分)一、选择题 （每小题5分，共40分，请将准确答案填在答题卡内）1．将4个不同的小球放入3个盒子中，则不同放法种数有（ ）A ．81B ．64C ．12D ．14 2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ） A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．2311323233A AA A A +4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（ ）A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生6人，女生2人 B ．男生5人，女生3人C ．男生4人，女生4人D ．男生3人，女生5人. 6．在82x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是（ ）A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ）A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 822nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）A ．45B ．90C ．180D ．360 一、选择题答题卡2．6个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（必须写出简要的解答过程，并写计算结果，每题5分，共30分）（1）甲排排头；（2）甲不排排头，也不排排尾；（3）甲、乙、丙三人必须在一起；（4）甲、乙之间有且只有两人；（5）甲、乙、丙三人两两不相邻；（6）甲不排排头，乙不排排尾。