中考数学考前冲刺几何总复习系列训练(知识点总结、典型例题、强化训练、答案) 第7讲 矩形、菱形

一、选择题1．（2019·长沙）如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +5的最小值是【 】A．．．D ．10【答案】B二、填空题1．（2019·黄冈）如图，AC ，BD 在AB 的同侧，AC ＝2，BD ＝8，AB ＝8.点M 为AB 的中点.若∠CMD ＝120°，则CD 的最大值是（）【解析】将△CAM 沿CM 翻折到△CA ′M ，将△DBM 沿DM 翻折至△DB ′M ， 则A ′M ＝B ′M ，∠AMC ＝∠A ′MC ，∠DMB ＝∠DMB ′， ∵∠CMD ＝120°，∴∠AMC +∠DMB ＝∠A ′MC +∠DMB ′＝60°，∴∠A ′MB ′＝180°-（∠AMC +∠DMB +∠A ′MC +∠DMB ′）＝60°， ∴△A ′MB ′是等边三角形，又∵AC ＝2，BD ＝8，AB ＝8.点M 为AB 的中点，知识点47——几何最值∴A ′B ′＝A ′M ＝B ′M ＝AM ＝12AB ＝4，CA ′＝AC ＝2，DB ′＝DB ＝8，又CD ≤CA ′+A ′B ′+DB ′＝2+4+8＝14.三、解答题1．（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝10cm ，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ，CE ，过E 点作EF ⊥AE ，交直线BC 于点F ．E 点从B 点出发，沿着BD 方向以每秒2cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止，设△BEF 的面积为ycm 2，E 点的运动时间为x 秒．（1）求证：CE ＝EF ；（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （3）求△BEF 面积的最大值．【解析】（1）证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 于M ，交BC 于N ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC ，∴∠AME ＝∠FNE ＝90°＝∠NFE ＋∠FEN ， ∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠AEM ＋∠FEN ＝90°，∴∠AEM ＝∠NFE ， ∵∠DBC ＝45°，∠BNE ＝90°，∴BN ＝EN ＝AM .， ∴△AEM ≌△EFN （AAS ），∴AE ＝EF .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDE ， ∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CE ＝EF .（2）在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD， ∴0≤x ≤.由题意，得BE ＝2x ，∴BN ＝EN x .由（1）知：△AEM≌△EFN，∴ME＝FN，∵AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10x，如图（1），当0≤x∴BF＝FN－BN＝10x x＝10－x. ∴y＝12BF·EN＝1(102−＝－2x2＋（0≤x；如图（2）x≤∴BF＝BN－FN x－（10x）＝x－10，∴y＝12BF·EN＝12−＝2x2－x≤.∴222(02x xyx x−+≤≤=−<≤（1）（2）（3）y＝－2x2＋5x＝－2（x2＋254，∵－2＜0，∴当x y有最大值是；即△BEF面积的最大值是；x≤y＝2x2－＝22(x－254，此时2＞0，开口向上，对称轴为直线x∵对称轴右侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x＝y 最大值＝50.∴当x＝BEF 面积的最大值是50.25．（2019山东省威海市，题号25，分值12） （1）方法选择如图①，四边形ABCD 是OO 的内接四边形，连接AC ，BD .AB ＝BC ＝AC ，求证：BD ＝AD ＋CD . 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ..…… 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN ＝AD …… 请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC .试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论.【探究2】如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.图①图②B图③B图④B（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是O 0的直径，BC ：AC ：AB ＝a ：b ：c ，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，由旋转全等得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴ND，由旋转全等得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形， 由旋转相似得BP，∴BD ＝PD ＋BP ＝2ADCD （3）拓展猜想数量关系为：BD ＝abAD ＋c b CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，由旋转相似得=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝cb CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝abAD ＋c b CD【解析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，可得△AMD 为等边三角形，可证△BAM ≌△CAD （SAS ）得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，∠BAN ＝答案图①答案图②B∠CAD ，可证△BAN ≌△CAD （SAS ）得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形，∴=tan 30AP ABAD AC=°，∠BAP ＝∠CAD ，可证△BAP ∽△CAD 得BPCD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝2AD（3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a b AD ＋c bCD 如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，可得∠BAQ ＝∠CAD ，∠ABQ ＝∠ACD ，∠ADQ ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠QAD ∴△BAP ∽△CAD ，△ADQ ∽△ACB ∴=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝cb CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a b AD ＋c bCD 2．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系x O y 中，矩形ABCD 的边AB =4，BC =6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动.(1)当∠O AD =30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接O M 、MC ，当四边形 O MCD 的面积为221时，求O A 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时c os ∠O AD 的值.答案图③B答案图④B第2题图 第2题备用图第2题答图1 第2题答图2【解析】（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E .∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，∴∠CDE +∠AD O=90°，又∵∠O AD +∠AD O=90°，∴∠CDE =∠O AD =30°.在R t △CED 中，CE =21CD =2，∴DE =32242222=−=−CE CD ; 在R t △O AD 中，∠O AD =30°，∴O D =21AD =3.∴点C 的坐标为(2，323+).(2)∵M 为AD 的中点，∴DM =3，6=DCM S △. 又∵221=OMCD S 四边形，∴29=ODM S △，∴9=OAD S △.设O A =x ，O D =y ，则 ==+9213622xy y x ，∴xy y x 222=+，即0)(2=−y x ，∴x =y .将x =y 代入3622=+y x 得182=x ，解得23=x (23−不合题意，舍去)，∴O A 的长为23.（3）O C 的最大值为8.理由如下：如图2，∵M 为AD 的中点，∴O M =3，522=+=DMCD CM .∴O C ≤O M +CM =8,当O 、M 、C 三点在同一直线时，O C 有最大值8. 连接O C ，则此时O C 与AD 的交点为M ，过点O 作O N ⊥AD ，垂足为N . ∵∠CDM =∠O NM =90°，∠CMD =∠O MN ，∴△CMD ∽△O MN ，∴OMCMMN DM ON CD ==，即3534==MN ON ， 解得59=MN ，512=ON ，∴56=−=MN AM AN . 在R t △O AN 中，∵55622=+=AN ON OA ，∴55cos ==∠OA OAD AN .3．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以cm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ．（1）当t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE 的长；（4）取线段BC 的中点M ，连接PM ，将△BPM 沿直线PM 翻折，得△B ′PM ，连接AB ′当t 为何值时，AB ′的值最小？并求出最小值．【解析】：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∵BP ⊥PQ ，∴2BP ＝BQ 即2（6－t ）＝6＋t ，解得t ＝2．∴当t 为2时，△BPQ 为直角三角形；（2）存在．作射线BF ，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝0.5t ．∵四边形CQFE 是平行四边形，∴FQ ＝EC ＝6－0.5t ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠FBQ ＋∠BQF ＝90°．∵BQ ＝2FQ ，BQ ＝6＋t ，∴6＋t ＝2（6－0.5t ），解得t ＝3．（3）过点P 作PG ∥CQ 交AC 于点G ，则△APG 是等边三角形．∵BP ⊥PQ ，∴EG ＝12AG ．∵PG ∥CQ ，∴∠PGD ＝∠QCD ，∵∠PDG ＝∠QDC ，PG ＝PA ＝CG ＝t ，∴△PGD ≌△QCD ．∴GD ＝12GC ．∴DE＝12AC＝3．（4）连接AM，∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝．由折叠，得BM′＝3．当A 、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′＝3.过点B′作B′H⊥AP于点H，则c os30°＝AHAB′,，解得t＝9－．∴t为9－时，AB′的值最小，最小值为－3．4.（2019·重庆A卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交与点A，B（点A 在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF＋FP＋13PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF＋FP＋13PC取得小值时，把点P单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△A OQ′′，其中边A Q′′交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得OGQQ''∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，D(1，－4)，直线BD：y＝2x－6．如答图1，连接DN、BN，则S△BDN＝12BD•MN，而BD为定值，故当MN最大时，S△BDN取最大值．此Q时由S △BDN ＝S △DFN ＋S △BFN ＝12EH •FN ＋12BH •FN ＝12BE •FN ＝FN ，从而S △BDN 取最大值时，即为FN 有最大值．令N (m ，m 2－2m －3)，则F (m ，2m －6)，从而FN ＝(2m －6)－(m 2－2m －3)＝－m 2＋4m －3＝－(m －2)2＋1，此时，当且仅当m ＝2，FN 有最大值为1，于是N (2，－3)，F (2，－2)，H (2，0)．在直角三角形中，设最小的直角边为a ，斜边为3a ，较长直角边为3，即可求出a x 轴上取点K (，0)，连接KC ，易求直线KC ：y ＝－x －3．如答图1，过点F 作FR ⊥CK 于点R ，交OC 于点P ，作FT ⊥OC ，交CK 于点T ，则∠OCK ＝∠TFR ，于是，由△PCR ∽△ACO ∽△TFR ，得133PR OK a PC KC a ===，从而PR ＝13PC ，因此由FH 为定值，再由定点F 到直线的垂直线最短，可知MN 取得最大值时，HF ＋FP ＋13PC 最小值＝HF ＋FR ．在y ＝－x －3中，当y ＝－2，x ，于是FT ＝2．在R t △FTR 中，由FR FT =，得FR FT (2)＝13，故HF ＋FP ＋13PC 最小值＝2＋13．（2）(，(，，．5.（2019·重庆B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线242y ++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q .（1）如图1，连接AC ，BC ．若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK ．当△PEF 的周长最大时，求PH +HK 的最小值及点H 的坐标． （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记作D ’，N 为直线DQ 上一点，连接点D ’，C ，N ，△D’CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．【解析】（1）∵2y x ++与x 轴交于A ，B 两点，∴当y =0时，即20+，∴122,4x x =−=，即A （－2，0），B （4，0）， 设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∵C （0，），B （4，0），∴40b k b =+=，∴b k = = ，∴直线BC的解析式为y +设点2(,4),P m m ++<< ∵PE ∥y 轴且点E 在直线BC上，∴(,E m +∠PEF =∠OCE ，∴2(04),PE m +<< ∵PF ⊥BC ，∴∠PFE =∠COB =90°，∴△PEF ∽△BCO ， 设△PEF 的周长为1l ，△BCO 的周长为2l ， 则12l PEl BC=，∵B （4，0），C （0，），∴BC=24l =+，∴21)(04),l m +<< ∴当m=2时，1l此时点P 的坐标为（2，）， ∵A （－2，0），C （0，），∴∠ACO =30°，∠CAO =60°， 备用图图1图2∵BG∥AC，∴.∠BGD=30°，∠OBG=60°，∴G（0，−，直线B G解析式为y=−PM解析式为y=，过点G作GN⊥BG，过点P作PM⊥GN于点M，如图1，此时，点H为PM与对称轴的交点，K为PM与y轴的交点，点K与点O重合，则KM=OMKG，PH+HKKG的最小值为线段PM的长.（此问题是胡不归问题）.解法一：（作一线三直角利用相似求解）如图2，过点P作PQ∥x轴交对称轴于点T，过点M作MQ⊥y轴交PT于点Q，过点G作GJ⊥MQ交MQ于点J.设点Q（n，），∴J（n，−，∴PQ=2－n，M2－n），∵GJ=－n，∴MJ=，∴MQ+MJ=CG=(−−，2－n）+()=，∴n=-3，∴Q（－3，），∴PQ=5，∴PM=2PQ=10，∴PH+HKKG的最小值为10，∵∠OGM=60°，∠PHT=30°，∠HPT=60°，∴PT=1，∴HTH（1.图1 N解法二：由上面的解法可知MG ⊥BG ，直线MG的解析式为：y x −如图3，过点P 作PR ⊥x 轴交MG 于点R ，∴R （2，）， 由第一种解法可知∠PRG =60°，∴PMPR（）=10， ∴PH +HKKG 的最小值为10，同理可求H （1.（2）这样的N 点存在.当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N有：1N,2N，3N,4N,5N .【提示】由（1）可知∠AC O=30°，∠O AC =60°,图2NN又∵221)y x x ++−+D （1，∵抛物线按射线AC 的方向平移，设平移后顶点'(D a ++，平移后的抛物线解析式为21)y x a =−−++该抛物线经过原点，则201)a =−−+∴2280a a −−=，∴a =4或a =－2（舍去），即D .设点N （1，b ）'CD ==CN =，'ND 如图4，当△'CD N 为等腰三角形时，分三种情况：①当'CD CN =，可得1N ,2N ；②当''CD D N =3N ,4N ,③当'CN D N =可得5N ,∴当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N 有：1N ,2N ，3N ,4N ,5N .6.（2019·天津）已知抛物线y =x 2-bx +c (b ,c 为常数，b >0)经过点A （-1,0），点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，（1）当b =2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D (b ,y D )在抛物线上，当AM =AD ,m =5时，求b 的值；（3）点Q(1,2b +y Q)2QM +b 的值. 【解析】(1)∵抛物线y =x 2-bx +c 经过点A （-1,0），∴1+b +c =0，∴c =-1-b 当b =2时，c =-3，∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，∴顶点坐标为（1，-4） （2）由(1)知，c =-1-b ，∵点D (b ,y D )在抛物线上，∴y D =-b -1， ∵b >0,∴b 02b >>，-b -1<0,∴D (b ,-b -1)在第四象限，且在抛物线对称轴2bx =的右侧.如图，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则E （b ，0），∴AE =b +1=DE ,所以AD 1)b +，∵m =5，∴AM =5-（-1）=6，∴1)b +，∴b =（3）∵点Q(1b ,2+y Q )在抛物线上，∴y Q=2113)()12224b b b b b +−+−−=−−（， ∴点Q （1b ,2+3-24b −）在第四象限，且在直线x =b 的右侧，2QM +，A (-1，0)，∴取点N (0，1)，如图， 过点Q 作Q H ⊥x 轴于H ，作QG ⊥AN 于G,QG 与x 轴交于点M ，则H （1b ,2+0），∠G AM =45°，∴G M AM ， ∵M （m ,0),∴AM =m +1,MH =1b 2m +−,Q H =324b +,∵MH =Q H ,∴1b 2m +−=324b +，∴m =1-24b ，∴AM =13-12424b b +=+，Q M 3)24b +（2QM +33)))24244（b ++b +b =4.7.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y =ax 2+2x +c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点.（1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）将A（-1，0）和B（2，3）代入抛物线解析式得�aa−2+cc=04aa+4+cc=3解得，�aa=−1cc=3∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.（2）过M作MH∥y轴，交AB于H，设直线AB为y=kx+b，将A，B坐标代入得，�−kk+bb=02kk+bb=3解得，�kk=1bb=1.∴直线AB的解析式为y=x+1.设M为（m，-m2+2m+3）,则H（m，m+1）∴MH=y M-Y H=(-m2+2m+3)-( m+1)=-m2+m+2.∴S△ABM=S△AMH+S△BMH=12·MH·（x B-x A）=12·(-m2+m+2)·(2+1)=-32(m2-m)+3=-32(m-12)2+278. ∵四边形MANB是以MA、MB为相邻的两边的平行四边形，∴△ABM≌△BAN.∴S四边形MANB=2 S△ABM=-3(m-12)2+274，∵a=-3＜0且开口向下，∴当m=12时，S四边形MANB的最大值为274.此时，M坐标为（12，154）. （3）存在，理由如下：过P作直线y=174的垂线，垂足为T，∵抛物线为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1,4）.当P为顶点，即P（1.4）时，设F点坐标为（1，t），此时PF=4-t，PT=174-4=14.∵P到F的距离等于到直线y=174的距离，∴4-t=14，即t=154.∴F为（1，154）设P点为（a，-a2+2a+3）,由勾股定理，PF2=(a-1)2+(-a2+2a+3-154)2=a4-4a3+132a2-5a+2516.又∵PT2=[174-(-a2+2a+3)]2= a4-4a3+132a2-5a+2516.∴PF2=PT2，即PF=PT.∴当F为（1，154）时，抛物线C上任意一点P到F的距离等于到直线y=174的距离. 8．（2019·淮安）如图①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E在直线AD上时，如图②所示.①∠BEP= ；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是.(2)请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由.(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.【解析】（1）①由题意得，PE =PB ，∠BPE =80°，∴∠BEP =°=°−°50280180； ②如图所示，∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∠BAC =100°，∴∠ABC =°=°−°402100180，∵∠BEP =50°，∴∠BCE =∠CBE =40°，∴∠ABC =∠BCE ，∴CE ∥AB . 答案：①50°；②平行（2）在DA 延长线上取点F ，使∠BF A =∠CF A =40°，总有△BPE ∽△BFC . 又∵△BPF ∽△BEC ，∴∠BCE =∠BFP =40°，∴∠BCE =∠ABC =40°，∴CE ∥AB .当点P 在线段AD 上运动时，由题意得PB =PE =PC ， ∴点B 、E 、C 在以P 为圆心、PB 为半径的圆上， 如图所示：∴AE 的最小值为AC =3.9.（2019·凉山州）如图，抛物线y = ax 2+bx +c 的图象过点A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △P AM =S △P AC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题知 ==++=+−30390c c b a c b a ，解得==−=321c b a ，∴抛物线的解析式为y = -x 2+2x +3；（2）存在.连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时△P AC 的周长最小.设BC :y =kx +3，则3k +3=0，解得k =-1，∴BC :y =-x +3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x =1，当x =1时，y =-x +3=2，∴P （1,2）.在Rt △OAC 中，AC =2231+=10；在Rt △OBC 中，BC =2233+=32.∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴P A =PB ，∴△P AC 的周长=AC +PC +P A = AC +PC +PB =AC +BC =10+32.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为（1,2），此时△P AC 的周长为10+32；（3）存在.由题知AB =4，∴S △P AC =S △ABC -S △P AB =21×4×3-21×4×2=2.设：AP :y =mx +n ，则=+=+−20n m n m ，解得==11n m ，∴AP :y =x +1.①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，易得CM :y =x +3，由++−=+=3232x x y x y 解得 ==3011y x ，==4122y x ，∴M （1,4）； ②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △P AC =21×2×2=2=S △P AC .过点E 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，设EM :y =x +t ，则1+t =0,∴t =-1，∴EM :y =x -1. 由 ++−=−=3212x x y x y 解得−−=−=2171217111y x （舍），+−=+=2171217122y x ，∴M （2171+,2171+−）. 综上，存在符合条件的点M ，其坐标为（1,4）或（2171+,2171+−）. 10．（2019·苏州，26，10）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝cm ．如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A →B →C 的方向匀速运动（不包含点C ）．设动点M 的运动时间为t （s ），△APM 的面积为S （cm 2），S 与t 的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M 的运动速度为cm /s ，BC 的长度为cm；（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D →C →B 的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为v （cm /s ）．已知两动点M ，N 经过时间x （s ）在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M ，N 相遇后立即同时停止运动，记此时△APM 与△DPN 的面积分别为S 1（cm 2），S 2（cm 2） ①求动点N 运动速度v （cm /s ）的取值范围； ②试探究S 1•S 2是否存在最大值，若存在，求出S 1•S 2的最大值并确定运动时间x 的值；若不存在，请说明理由．图① 图② 图③ 第27题答图 【解析】（1）∵t ＝2.5s 时，函数图象发生改变，∴t ＝2.5s 时，M 运动到点B 处，∴动点M 的运动速度为52.5=2cm /s ，∵t ＝7.5s 时，S ＝0，∴t ＝7.5s 时，M 运动到点C 处，∴BC ＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm ）， 故答案为2，10；（2）①∵两动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），∴当在点C 相遇时，v527.53=（cm /s ），当在点B 相遇时，v 5102.5+=6（cm /s ），∴动点N 运动速度v （cm /s ）的取值范围为23cm /s ＜v ≤6cm /s ； AB ，交CD EF ∥BC ，EF ＝BC ＝10，∴AF APAB AC=，∵AC∴5AF =解得AF ＝2，∴DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，PF 4，∴EP ＝EF ﹣PF ＝6，∴S 1＝S △APM ＝S △APF +S 梯形PFBM ﹣S △ABM 12=×4×212+（4+2x ﹣5）×312−×5×（2x ﹣5）＝﹣2x +15，S 2＝S △DPM ＝S △DEP +S 梯形EPMC ﹣S △DCM 12=×2×612+（6+15﹣2x ）×312−×5×（15﹣2x ）＝2x ，∴S 1•S 2＝（﹣2x +15）×2x ＝﹣4x 2+30x ＝﹣4（x 154−）22254+，∵2.5154＜＜7.5，在BC 边上可取，∴当x 154=时，S 1•S 2的最大值为2254．11.(2019·巴中)如图,抛物线y ＝ax 2+bx －5(a ≠0)经过x 轴上的点A (1,0)和点B 及y 轴上的点C ,经过B ,C 两点的直线为y ＝x +n .①求抛物线的解析式;②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 描,求t 为何值时,△PBE 的面积最大,并求出最大值.③过点A 作AM ⊥BC 与点M ,过抛物线上一动点N (不与点B ,C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q,若点A ,M ,N ,Q 为顶点的四边形是平行四边形.求点N 的横坐标.分析:①由点A 和直线y ＝x +n 可得方程组,解出系数,求得二次函数的解析式;②根据题意表示出三角形面积,利用二次函数最值进行求解;③分析得到AM 平行且等于N Q,设出坐标,利用坐标关系列方程进行求解,并检验.【解析】①因为点B ,C 在y ＝x +n 上,所以B (－n ,0),C (0,n ),因为点A (1,0)在抛物线上,所以250505a b an bn n ì+-=ïï--=íï=-ïî,解得,a ＝－1,b ＝6,所以抛物线的解析式为:y ＝－x 2+6x －5.②由题意得:PB ＝4－t ,，BE ＝2t ，由①可知:∠O BC ＝45°,点P 到BC 上的高h ＝BP s in 45(4－t),所以S △PBE ＝12BE h 鬃＝)22t --+当t ＝2时,S 取得最大值为③因为l BC :y ＝x －5,所以B (5,0), 因为A (1,0),所以AB ＝4,在R t △ABM 中,∠ABM ＝45°,AM AB ＝M (3,－3)， 过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P 交x 轴于点H , 设N (m ,－m 2+6m －5),则H (m ,0),P (m ,m －5),易证△P Q N 为等腰直角三角形,即N Q ＝P Q ＝所以PN ＝4.当NH +HP ＝4时,即－m 2+6m －5－(m －5)＝4,解之得,m 1＝1,m 2＝4. 当m 1＝1时,点N 与点A 重合,故舍去;当NH +HP ＝4时,即m －5－(－m 2+6m －5)＝4,解得,m 1,m 2因为m >5,所以m当NH －HP ＝4,即－(－m 2+6m －5)－[－(m －5)]＝4,解得,m 1,m 2因为m <0,所以m综上所述,要使点A ,M ,N ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,点N 的横坐标为:412.（2019·淄博）顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA ＝OA ，过D 作DG ⊥x 轴于点G ，设△ADG 的内心为I ，试求CI 的最小值．【解析】(1)将A、B两点坐标代入抛物线表达式,得933030a ba b++=−+=,解得12ab=−=.∴y＝－x2＋2x＋3.(2)假设存在点P，使△P AM是直角三角形.当点M为直角顶点，过M作CD⊥y轴，过A作AD⊥x轴，交CD于D，CD交y轴于C，∵∠AMP＝90°，∴∠CMP＋∠AMD＝90，∴∠CMP＝∠MAD，又∵∠DM＝∠PCM，∴△CPM∽△DMA,∴CMAD＝PCMD，∴14＝2PC，∴PC＝12，∴P1(0,72);当点A为直角顶点，过A作CD⊥x轴，过M作MD⊥y轴交AD于D，过P作PC⊥y轴交CD于C，同上△CP A∽△DAM，∴PCAD＝ACMD，∴34＝2AC，∴AC＝32，∴P2(0,－32);当点P为直角顶点，过M作CM⊥y轴于C，∴△CPM∽△OAP，∴PCAO＝CMPO，∴3PC＝14-PC，∴PC＝1或3，∴P3(0,3)，P4(0,1).综上所述，使△P AM是直角三角形的点P的是P1(0,72)，P2(0,－32)，P3(0,3)，P4(0,1).（方法1）由(1)得DA ＝OA ＝3，设D (x ,y )，△ADG 的内切圆半径为r ，则△ADG 的内心I 为(x ＋r ,r ), ∴DG ＝y ,AG ＝3－x由两点距离公式可得()2222339DA x y =−+==①由等面积法得r ＝()33+22y x DG AG DA +−−−==2y x−② ∴()()2223CI x r r =++−③由①②③得222312CI x y =−+−+2CI在312x y =−−最小，此时CI 也最小，min 32CI =（方法2）简解：如图，由内心易知：∠DIA ＝135°，∠DAI ＝∠OAI ，△DAI ≌△OAI （SAS ），∴∠DIA ＝∠OIA ＝135°，则I 在圆周角∠OIA ＝135°⊙T的圆周上运动，且半径R T 为(32,32)，∴CI 在△CIA 中，CI ≥CT－IT＝32，当C 、I 、T三点一线时，min 3=2CI .13.(2019·枣庄)已知抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；(2)如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点(不与B 、C 重合)，是否存在点P ，使四边形DIGxy O1241234PB O C 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PB O C 面积的最大值；若不存在，请说明理由. (3)如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标.解：(1)抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴为:x ＝332224b a a a−=−=−＝3,∴a ＝14−,∴抛物线的解析式为:y ＝14−x 2+32x +4,令y ＝0,得14−x 2+32x +4＝0,解之,得,x 1＝－2,x 2＝8,∵点B 在点A 的右侧,∴A (－2,0),B (8,0);(2)连接BC ,在抛物线y ＝14−x 2+32x +4中,令x ＝0,得y ＝4,∴C (0,4),∴O C ＝4,O B ＝8,∴S △O BC ＝16,∵B (8,0),C (0,4),设l BC ：y ＝kx +b ，得0＝8k +b ，4＝b ，∴k ＝12−,b ＝4,l BC ：y ＝12−x +4,∴过点P 作PD ∥y轴交BC 于点D ,过点C 作CE 垂直PD 于点E ,过点B 作BF ⊥PD 于点F ,则S △PBC ＝S △PCD +S △PBD ＝12PD×CE +12PD ×BF ＝12PD ×(CE +BF )＝12PD ×(x B －x C )＝12PD ×8＝4PD ,∵点P 在抛物线上,设点P (x ,14−x 2+32x +4),∵PD ∥y 轴,点D 在直线BC 上,∴D (x ,12−x +4),∵点P 在B ,C 间的抛物线上运动,∴PD ＝y P－y D ＝14−x 2+32x +4－(12−x +4)＝14−x 2+2x ,S △PBC ＝4PD ＝4(14−x 2+2x )＝－x 2+8x ＝－(x －4)2+16，当x ＝4时，S △PBC 最大16，∴S 四边形O BPC ＝S △O BC +S △PBC ＝32;∵MN ∥y 轴,∴设M ,N 的横坐标为m ,∵点M 在抛物线上,设点M (m ,n ),其中n ＝14−m 2+32m +4,点N 在直线BC 上,∴N (m ,12−m +4),∵点M 是抛物线上任意一点,∴点M 和点N 的上下位置关系不确定,∴MN ＝|14−m 2+32m +4－(12−m +4)|＝|14−x 2+2x |,∵MN ＝3,∴|14−x 2+2x |＝3,即14−x 2+2x ＝3或14−x 2+2x ＝－3,解这两个方程,得m 1＝2, m 2＝6, m 3＝4+m 4＝4－∴n 1＝6, n 2＝4, n 31, n 41,∴M 1(2,6), M 2(6,4), M 3(4+1), M 4(4－－1).14.(2019·聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (－2,0),点B (4,0),与y 轴交于点C (0,8),连接BC ,又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ,沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点),且分别交抛物线,线段BC 以及x 轴于点P ,D ,E .(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC ,AP ,当直线l 运动时,求使得△PEA 和△A O C 相似的点P 的坐标;(3)作PF ⊥BC ,垂足为F ,当直线l 运动时,求R t △PFD 面积的最大值.解：(1)由已知,将C (0,8)代入y ＝ax 2+bx +c ,∴c ＝8,将点A (－2,0)和B (4,0)代人y ＝ax 2+bx +8,得428016480a b a b −+= ++= ,解得12a b =−= ,∴抛物线的表达式为y ＝－x 2+2x +8; (2)∵A (－2,0),C (0,8),∴O A ＝2,O C ＝8,∵l ⊥x 轴,∠PEA ＝∠A O C ＝90°,∵∠P AE ≠∠CA O,只有当∠P AE ＝∠AC O 时,△PEA ∽△A O C .此时AE PECO AO=,∴AE ＝4PE .设点P 的纵坐标为k ,则PE ＝k ,AE ＝4k ,∴O E ＝4k －2,P 点的坐标为(4k －2,k ),将P (4k －2,k )代入y ＝－x 2+2x +8,得－(4k －2)2+2(4k －2)+8＝k ,解得k 1＝0(舍去),k 2＝2316,当k ＝2316时,4k －2＝154,∴P 点的坐标为(154,2316). (3)在R t △PFD 中,∠PFD ＝∠C O B ＝90°,∵l ∥y 轴,∴∠PDF ＝∠O CB ,∴R t △PFD ∽R t △B O C ,∴2PFD=S PDS BC△△BOC,∴S △PFD ＝2PD S BC ⋅△BOC ,由B (4,0)知O B ＝4,又∵O C ＝8,∴BC ＝又S △B O C ＝12OB OC ⋅＝16,∴S △PFD ＝215PD ,∴当PD 最大时,S △PFD 最大.由B (4,0),C (0,8)可解得BC 所在直线的表达式为y ＝－2x +8,设P (m ,－m 2+2m +8),则D (m ,－2m +8),∴PD ＝－(m －2)2+4,当m ＝2时,PD 取得最大值4,∴当PD ＝4时,S △PFD ＝165,为最大值.15.（2019·滨州）如图①，抛物线y ＝－x 2+x +4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ．（1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 的距离为时，求s in ∠P AD 的值．解：（1）当x ＝0时，y ＝4，则点A 的坐标为（0，4）， 当y ＝0时，0＝－x 2+x +4，解得x 1＝－4，x 2＝8， 则点B 的坐标为（－4，0），点C 的坐标为（8，0）， ∴OA ＝OB ＝4，∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°． ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°得到直线AD ，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0）．设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝－x+4（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，－t2+t+4），则点N的坐标为（t，－t+4），∴PN＝（－t2+t+4）－（－t+4）＝－t2+t∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°．作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（－t2+t）＝t＝－（t－6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，）即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，－）．当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴s in∠P1AD＝＝当P2的坐标为（10，－），则P2A＝＝，∴s in∠P2AD＝＝；由上可得，s in∠P AD的值是或。

内容考点强化练16等腰三角形考点强化练17直角三角形与锐角三角函数考点强化练18多边形与平行四边形考点强化练19矩形、菱形、正方形考点强化练20圆的有关概念及性质考点强化练16等腰三角形夯实基础一、选择题1.若等腰三角形的顶角为80°,则它的底角度数为( )A.80°B.50°C.40°D.20°2.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则△ABC的周长为( )A.10B.14C.10或14D.8或103.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC的度数为( )A.15°B.20°C.25°D.30°4.等腰三角形补充下列条件后,仍不一定成为等边三角形的是( )A.有一个内角是60°B.有一个外角是120°C.有两个角相等D.腰与底边相等二、填空题5.边长为2的正三角形的面积是.6.如图,一张三角形纸片ABC,AB=AC=5,折叠该纸片使点A落在边BC的中点上,折痕经过AC上的点E,则线段AE的长为.三、解答题7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.8.如图,在等边△ABC中,AC=8,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.当点D恰好落在BC上时,AP的长是多少?综合提高一、选择题1.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是( )A.(4,0)B.(1,0)C.(-2,0)D.(2,0)2.已知:如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,∠CDE=150°,则∠C= ( )A.120°B.60°C.150°D.30°3.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为( )A.6B.7C.8D.94.(预测题)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,则图中全等三角形的对数是( )A.1对B.2对C.3对D.4对第1题第2题第3题第4题二、填空题5.如图,正△ABC的边长为2,以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1,△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1;再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2,△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2;…,以此类推,则S n=.(用含n的式子表示)6.下面给出几种三角形,其中是等边三角形的有.(填写序号)①有两个内角为60°的三角形;②外角都相等的三角形;③一边上的高也是这边上中线的三角形;④有一个角是60°的三角形.三、解答题7.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.(1)写出点O到△ABC的三个顶点A,B,C距离之间的关系;(2)如果点M,N分别在线段AB,AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.8.已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.(1)如图①,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC,DF,CF,判断△CDF的形状并证明;(2)如图②,E是直线BC上的一点,且CE=BD,直线AE,CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数,若不是,请说明理由.图①图②考点强化练17直角三角形与锐角三角函数夯实基础一、选择题1.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为( )A.140°B.160°C.170°D.150°2.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为( )A.6米B.9米C.12米D.15米3.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠BAC的正弦值是( )A. B. C. D.4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是( )A.∠CAD=30°B.AD=BDC.BD=2CDD.CD=ED第1题第2题第3题第4题二、填空题5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC=.6.一个正方体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,坡角∠A=30°,∠B=90°,BC=6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE=米时,有DC2=AE2+BC2.第5题第6题三、解答题7.“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60千米/时,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此车超速了吗?请说明理由.(参考数据:≈1.41,≈1.73)综合提高一、选择题1.如图,在△ABC中,∠A=60°,BE⊥AC,垂足为E,CF⊥AB,垂足为F,BE,CF交于点M.如果CM=4,FM=5,则BE等于( )A.9B.12C.13D.142.如图,在△ABC中,∠C=45°,点D在AB上,点E在BC上.若AD=DB=DE,AE=1,则AC的长为( )A. B.2 C. D.3.如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A恰好落在边BC的点F处.若AE=5,BF=3,则CD的长是( )A.7B.8C.9D.10第1题第2题第3题二、填空题4.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=9 cm,D为BC上一点,DE⊥AB于E,DF⊥CA交CA的延长线于F,则DE+DF=.三、解答题5.如图,一扇窗户垂直打开,即OM⊥OP,AC是长度不变的滑动支架,其中一端固定在窗户的点A处,另一端在OP上滑动,将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置,此时,点A,C的对应位置分别是点B,D.测量出∠ODB为25°,点D到点O的距离为30 cm.(1)求B点到OP的距离;(2)求滑动支架的长.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 25°≈0.42,cos 25°≈0.91,tan25°≈0.47,sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)考点强化练18多边形与平行四边形夯实基础一、选择题1.如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定．．．成立的是( )A.BO=DOB.CD=ABC.∠BAD=∠BCDD.AC=BD2.已知▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是( )A.100°B.160°C.80°D.60°3.当多边形每增加一条边时,它的( )A.外角和与内角和都增加180°B.外角和与内角和都增加360°C.外角和增大180°,内角和不变D.外角和不变,内角和增大180°4.如图,在▱ABCD中,BE⊥AB,且交对角线AC于点E,若∠1=20°,则∠2的度数是( )A.90°B.100°C.110°D.160°5.如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10 m后左转24°,再沿直线前进10 m,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是( )A.140 mB.150 mC.160 mD.240 m第1题第4题第5题二、填空题6.下面是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=.7.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线长度的和是.第6题第4题三、解答题8.如图,C为AB的中点,四边形ACDE为平行四边形,BE与CD相交于点F.求证:EF=BF.9.如图,在▱ABCD中,BD是一条对角线,过A,C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,延长AE,CF分别交CD,AB于点M,N.(1)求证:四边形CMAN是平行四边形.(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.综合提高一、选择题1.顺次连接任意一个四边形的四边中点所得的四边形一定是( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形2.如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处.若∠1=∠2=44°,则∠B为( )A.66°B.104°C.114°D.124°3.一个多边形截取一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为( )A.5B.5或6C.5或7D.5或6或74.如图,过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是( )A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.2S1=S25.如图,在▱ABCD中,AB>AD,按以下步骤作图:以点A为圆心,小于AD的长为半径画弧,分别交AB,AD于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点G;作射线AG交CD于点H,则下列结论中不能由条件推理得出的是( )A.AG平分∠DABB.AD=DHC.DH=BCD.CH=DH第2题第4题第5题二、填空题6.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过O作OE⊥BD交BC于点E,若△CDE的周长为10,则平行四边形ABCD的周长为.7.在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,则▱ABCD的周长等于.三、解答题8.如图,AC是▱ABCD的对角线,∠BAC=∠DAC.(1)求证:AB=BC;(2)若AB=2,AC=2,求▱ABCD的面积.9.如图1,▱ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD 分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH.(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;(2)如图2,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外).考点强化练19矩形、菱形、正方形夯实基础一、选择题1.下列命题中是真命题的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形D中的条件只能推出四边形是菱形,因此也是假命题.2.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是( )A.25B.20C.15D.103.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC=( )A.73°B.56°C.68°D.146°4.如图,矩形ABCD的顶点A,C分别在直线a,b上,且a∥b,∠1=60°,则∠2的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°5.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是( )A.2.5B.C.D.2第2题第3题第4题第5题二、填空题6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE=度.第6题第7题7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为E,则OE=.三、解答题8.如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1)求证:D是BC的中点;(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.9.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?综合提高一、选择题1.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为( )A.1B.2C.3D.42.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6 cm,点P从点A出发,沿AB方向以每秒 cm的速度向终点B 运动;同时,动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动,将△PQC沿BC翻折,点P的对应点为点P'.设Q点运动的时间为t秒,若四边形QPCP'为菱形,则t的值为( )A. B.2 C.2 D.33.如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是( )A.4B.3C.2D.第1题第2题第3题第4题4.如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:①四边形CFHE是菱形;②EC平分∠DCH;③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;④当点H与点A重合时,EF=2.以上结论中,你认为正确的有( )个.A.1B.2C.3D.45.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形,甲、乙两人的作法如下:甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.乙:分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断( )A.甲正确,乙错误B.乙正确,甲错误C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误二、填空题6.如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC,BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE=.7.(预测题)在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形.若线段EF的中点为点M,则线段AM的长为.答案5.5或0.5三、解答题8.如图,AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上,连接EF,∠AEF,∠CFE的平分线交于点G,∠BEF,∠DFE的平分线交于点H.(1)求证:四边形EGFH是矩形;(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索,过G作MN∥EF,分别交AB,CD于点M,N,过H作PQ∥EF,分别交AB,CD于点P,Q,得到四边形MNQP,此时,他猜想四边形MNQP是菱形,请补全他的证明思路.9.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,AB上的点,且CE=BF.连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE.连接FG,FC.(1)请判断:FG与CE的数量关系是,位置关系是;(2)如图2,若点E,F分别是CB,BA延长线上的点,其他条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请判断并予以证明;(3)如图3,若点E,F分别是BC,AB延长线上的点,其他条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.考点强化练20圆的有关概念及性质夯实基础一、选择题1.如图,☉O是△ABC的外接圆,已知∠ABO=50°,则∠ACB的大小为( )A.40°B.30°C.45°D.50°2.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD的度数为( )A.70°B.60°C.50°D.40°第1题第2题第3题第4题3.如图,已知BD是☉O的直径,☉O的弦AC⊥BD于点E,若∠AOD=60°,则∠DBC的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°4.如图,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB等于( )A.30°B.45°C.55°D.60°5.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB=10,截面圆圆心O到水面的距离OC是6,则水面宽AB是( )A.16B.10C.8D.66.如图,已知圆心角∠BOC=78°,则圆周角∠BAC的度数是( )A.39°B.49°C.59°D.78°7.有下列四个命题:①直径是弦;②圆上任意两点间的部分叫弦;③直径都等于半径的2倍;④半径相等的两个圆是等圆.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个第5题第6题第8题第9题8.如图,圆O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∠A=25°,过点C作圆O的切线,交AB的延长线于点D,则∠D的度数是( )A.25°B.40°C.50°D.65°9.如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A.点PB.点QC.点RD.点M二、填空题10.如图,☉O的直径AB过弦CD的中点E,若∠C=25°,则∠D=.11.如图,A,D是☉O上的两个点,BC是直径.若∠D=32°,则∠OAC=.12.如图,在半径为1的☉O中,∠AOB=45°,则sin C的值为.第10题第11题第12题三、解答题13.“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深1寸,锯道长一尺,问径几何?”这是《九章算术》中的问题,用现在的数学语言可以表述为:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.14.如图,已知☉O的半径为12 cm,弦AB=16 cm.(1)求圆心到弦AB的距离;(2)若弦AB的两个端点在圆周上滑动,那么,弦AB的中点形成什么样的图形?综合提高一、选择题1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”( )A.3步B.5步C.6步D.8步2.如图,AB为☉O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切☉O于点B,∠A=30°,连接AD,OC,BC,下列结论不正确的是( )A.EF∥CDB.△COB是等边三角形C.CG=BGD.的长为π第1题第2题第3题二、填空题3.如图,点A,B,C,D为☉O上的四个点,AC平分∠BAD,AC交BD于点E,CE=4,CD=6,则AE的长为.三、解答题4.如图,有一座拱桥是圆弧形的,它的跨度为60 m,拱高18 m,当洪水泛滥到跨度只有30 m时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4 m,即PN=4 m时是否要采取紧急措施?5.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在☉O上,∠1=∠C.(1)求证:CB∥PD;(2)若BC=3,sin∠P=,求☉O的直径.答案及解析考点强化练16等腰三角形夯实基础一、选择题1.答案B解析底角度数为(180°-80°)=50°.2.答案B解析将x=2代入方程x2-2mx+3m=0,得4-4m+3m=0,即m=4.将m=4代入原方程,得x2-8x+12=0,解得x1=2,x2=6.∵6+6>2,∴等腰三角形ABC的三边长可以是2,6,6,此时△ABC的周长为2+6+6=14;∵2+2<6,∴等腰三角形ABC的三边长不可以是2,2,6.故选B.3.答案A解析∵DE垂直平分AB,∴∠AED=90°,且AD=DB.∵∠AED=90°,∴∠A=90°-∠ADE=50°.∵AB=AC,∴∠ABC=°-°=65°.∵AD=DB,∴∠DBA=∠A=50°.∴∠DBC=15°.4.答案C解析由定义判定,三条边都相等的三角形是等边三角形.判定定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.判定定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.二、填空题5.答案解析如图,过点A作AD⊥BC,∵AB=AC=BC=2,∴BD=CD=BC=1.在Rt△ACD中,根据勾股定理得AD=--,则S△ABC=BC·AD=.6.答案2.5解析如图所示,∵D为BC的中点,AB=AC,∴AD⊥BC.∵折叠该纸片使点A落在边BC的中点D上,∴折痕EF垂直平分AD,∴E是AC的中点.∵AC=5,∴AE=2.5.三、解答题7.证明方法一:∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∴∠CAD+∠C=90°,∵BE⊥AC, ∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠CAD,∴∠CBE=∠BAD.方法二:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°,∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠BAD.8.解根据题意,得OP=OD,∠POD=60°,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.又∵∠AOP+∠APO=120°,∠AOP+∠COD=120°,∴∠APO=∠COD.在△APO和△COD中,,, ,∴△APO≌△COD,∴AP=CO.又∵AO=3,AC=8,∴CO=5,∴AP=5.综合提高一、选择题1.答案B2.答案A解析先根据平行线及角平分线的性质求出∠CDB=∠CBD,再根据平角的性质求出∠CDB的度数,再根据平行线的性质求出∠C的度数.3.答案D解析由∠ABC,∠ACB的平分线相交于点E,得∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,利用两直线平行,内错角相等,等量代换可得∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,∴BM=ME,EN=CN.∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.4.答案D解析根据AD垂直平分线段BC,可得三对全等三角形,根据OE垂直平分线段AC,可得一对全等三角形,所以共有四对全等三角形.故选D.二、填空题5.答案解析∵等边三角形ABC 的边长为2,AB 1⊥BC,∴BB 1=1,AB=2,根据勾股定理得AB 1= . ∴S 1=×( )2=. ∵等边三角形AB 1C 1的边长为 2⊥B 1C 1,∴B 1B 2=.根据勾股定理得AB 2=,∴S 2=; 依此类推,S n =. 6.答案①②解析①一个三角形有两个角为60°,利用三角形内角和定理得到第三个角也为60°,可得出此三角形三内角相等,利用等角对等边得到三条边相等,故此三角形为等边三角形;②外角都相等,利用外角与相邻的内角互补,得到三内角相等,进而确定出三角形为等边三角形;③等腰三角形底边上的高为这边的中线,但不一定为等边三角形;④有一个角为60°的三角形不一定为等边三角形,比如Rt △ABC 中,∠A=90°,∠B=60°,∠C=30°. 三、解答题7.解(1)∵在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,O 为BC 的中点,∴OA=BC=OB=OC,即OA=OB=OC. (2)△OMN 是等腰直角三角形.理由如下: 如图,连接AO, ∵AC=AB,OC=OB,∴OA=OB,∠NAO=∠B=45°.在△AON 与△BOM 中, ,, ,∴△AON ≌△BOM. ∴ON=OM,∠NOA=∠MOB. ∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM. ∴∠NOM=∠AOB=90°. ∴△OMN 是等腰直角三角形.8.解(1)△CDF是等腰直角三角形.证明:∵∠ABC=90°,AF⊥AB,∴∠FAD=∠DBC.∵AD=BC,AF=BD,∴△FAD≌△DBC.∴FD=DC,∠1=∠2.∵∠1+∠3=90°,∴∠2+∠3=90°,即∠CDF=90°.∴△CDF是等腰直角三角形.(2)过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DF,CF.∵∠ABC=90°,AF⊥AB,∴AF∥CE.又∵BD=CE,AF=BD,∴AF=CE.∴四边形AFCE是平行四边形.∴FC∥AE,∴∠APD=∠FCD,由(1)知,∠APD=45°.考点强化练17直角三角形与锐角三角函数夯实基础一、选择题1.答案B解析∵将一副直角三角尺如图放置,∠AOD=20°,∴∠COA=90°-20°=70°,∴∠BOC=90°+70°=160°.此题主要考查了直角三角形的性质,得出∠COA的度数是解题关键.故选B.答案B解析根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出折断部分的长度,再加上离地面的距离就是折断前树的高度.3.答案A解析延长AC交格点于E,连接BE,由勾股定理得AE=2,BE=,AB=5,所以AE2+BE2=AB2,△ABE为直角三角形.故sin∠BAC=sin∠BAE=.4.答案D解析∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°.∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD=30°,∴∠CAD=∠BAD=∠B,∴AD=BD,AD=2CD,∴BD=2CD,根据已知不能推出CD=DE.二、填空题5.答案+1解析∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠B=∠BAD,∴DB=DA=.在Rt△ADC中,DC=-(-=1,∴BC=+1.6.答案解析在Rt△ABC中,∵BC=6米,∠A=30°,∴AC=2BC=12米.过点E作EG⊥AB于G,设EG=x米,则AE=2x米,EC=12-2x(米).连接DC,在Rt△DEC中,由勾股定理,得DC2=DE2+EC2=22+(12-2x)2.又∵DC2=AE2+BC2,∴22+(12-2x)2=(2x)2+62.解得x=.∴AE=2x=.三、解答题7.解此车没有超速.理由:如图,过C作CH⊥MN,∵∠CBN=60°,BC=200米,∴CH=BC·sin60°=200×=100米),BH=BC·cos60°=100(米),∵∠CAN=45°,∴AH=CH=100(米),∴AB=100-100≈73(米).∵60千米/时=米/秒,∴=14.6(米/秒)<≈16.7(米/秒),∴此车没有超速.综合提高一、选择题1.答案B解析∠EBA=∠FCA=30°,BM=2FM=10,EM=CM=2,EB=BM+EM=12.2.答案D解析利用AD=DB=DE,求出∠AEB=∠AEC=90°,在等腰直角三角形AEC中求出AC的长.3.答案C解析∵△DEF由△DEA翻折而成,∴EF=AE=5.在Rt△BEF中,∵EF=5,BF=3,∴BE=--=4.∴AB=AE+BE=5+4=9.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=9.故选C.二、填空题4.答案4.5 cm解析根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°.在Rt△BED和Rt△CFD中,利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”分别求得ED=BD,DF=DC,所以DE+DF=BC=4.5cm.三、解答题5. 25°≈0.47,sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43),解(1)在Rt△BOE中,OE=°在Rt△BDE中,DE=,°=30,解得BE≈11. 则°°故点B到OP的距离大约为11cm.≈25cm.(2)在Rt△BDE中,BD=°答:滑动支架的长为25cm.考点强化练18多边形与平行四边形夯实基础一、选择题1.答案D解析根据平行四边形的对角线互相平分,知BO=DO,选项A正确;根据平行四边形的对边相等,AB=CD,选项B正确;根据平行四边形的对角相等,∠BAD=∠BCD,选项C正确;而选项D中“AC=BD”说明对角线相等,平行四边形没有这一性质,因此选项D错误,故选D.2.答案C解析∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°,又∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=80°,故选C.3.答案D解析根据多边形内角和公式可以得到多边形每增加一条边,其内角和增加[(n+1)-2]·180°-(n-2)·180°=180°,而其外角和均为360°,故选D.4答案C解析由平行四边形的性质可得AB∥CD,所以∠1=∠3=20°.根据三角形外角的性质可得∠2=∠3+∠ABE=20°+90°=110°.5.答案B解析∵多边形的外角和为360°,而每一个外角为24°,∴多边形的边数为360°÷24°=15.∴小华一共走了15×10=150m.故选B.二、填空题6.答案360°7.答案36解析平行四边形ABCD中,CD=AB=5,因为△OCD的周长为23,所以OC+OD=18,而平行四边形的对角线互相平分,所以AC+BD=36.三、解答题8.证法一在▱ACDE中,∵AC DE,∴∠D=∠BCF,∠B=∠DEF.∵AC=BC,∴ED=BC,∴△FED≌△FBC(ASA),∴EF=BF.证法二连接EC,DB,在▱ACDE中,∵AC DE,AC=BC,∴DE BC,∴四边形BDEC是平行四边形,∴EF=BF.9.(1)证明∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF.又四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴四边形CMAN是平行四边形.(2)解由(1)知四边形CMAN是平行四边形,∴CM=AN.又四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠MDE=∠NBF.∴AB-AN=CD-CM,即DM=BN.在△MDE和△NBF中,∠MDE=∠NBF,∠DEM=∠BFN=90°,DM=BN,∴△MDE≌△NBF.∴DE=BF=4.由勾股定理得BN==5.故BN的长为5.综合提高一、选择题1.答案A解析如右图所示,EF,GH分别为△ABD,△BCD的中位线,所以EF∥BD,GH∥BD,且EF=GH=BD,则四边形EFGH为平行四边形,故选A.2.答案C解析因为AB∥CD,所以∠1=∠B'AB.结合折叠的性质可知∠BAC=∠B'AC=22°,在△ABC中,∠B=180°-∠ACB-∠CAB=114°.3.答案D解析根据多边形的内角和公式可得(n-2)·180°=720°,于是n=6,可知后来的多边形是六边形.原来的多边形是多少边形呢?因为截取方式有三种可能性,分别如下图中的图1、图2、图3,若截法如图1,则原来是五边形,若截法如图2,则原来是六边形,若截法如图3,则原来是七边形.4.答案C解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=CB,∴△ABD≌△CDB,∴S△ABD=S△CDB.又∵EF,GH分别平行两边,∴四边形EBHM,GMFD均为平行四边形,∴S△EBM=S△BHM,S△GMD=S△MFD,∴S△ABD-S△BEM-S△GMD=S△CDB-S△BHM-S△DMF,即S1=S2.故选C.5.答案D解析由角平分线的作法及题意可知AG平分∠DAB,A正确;∠DAH=∠BAH,又AB∥DC,所以∠BAH=∠AHD,所以∠DAH=∠AHD.所以AD=DH.又AD=BC,所以DH=BC,B,C正确.故选D.二、填空题6.答案20解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点,∵OE⊥BD,∴DE=BE.∵△CDE的周长为10,∴CD+DE+CE=10,即CD+CE+BE=CD+BC=10,∴四边形ABCD的周长=2(CD+BC)=2×10=20.7答案12或20解析如图1所示,∵在▱ABCD中,BC边上的高AE=4,AB=5,AC=2,∴EC=-=2,AB=CD=5,BE=-=3,∴AD=BC=5,∴▱ABCD的周长为20.如图2所示,∵在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,∴EC=-=2,AB=CD=5,BE=-=3,∴BC=3-2=1,∴▱ABCD的周长等于1+1+5+5=12.综上所述,▱ABCD的周长等于12或20.三、解答题8.(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.∵∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠BCA.∴AB=BC.(2)解连接BD交AC于点O,如图所示:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD,OA=OC=AC=,OB=OD=BD.∴OB=--()=1.∴BD=2OB=2.∴▱ABCD的面积=AC·BD=×2×2=2.9.(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠EAO=∠FCO.在△OAE与△OCF中,,, ,∴△OAE≌△OCF.∴OE=OF.同理OG=OH.∴四边形EGFH是平行四边形.(2)解与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有▱GBCH,▱ABFE,▱EFCD,▱EGFH;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.∵EF∥AB,GH∥BC,∴四边形GBCH,ABFE,EFCD,EGFH为平行四边形.∵EF过点O,GH过点O,∵OE=OF,OG=OH,∴▱GBCH,▱ABFE,▱EFCD,▱EGFH,▱AGHD的面积均等于▱ABCD的面积.∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有▱GBCH,▱ABFE,▱EFCD,▱EGFH.考点强化练19矩形、菱形、正方形夯实基础一、选择题1.答案C解析满足选项A或选项B中的条件时,不能推出四边形是平行四边形,因此它们都是假命题.由选项D中的条件只能推出四边形是菱形,因此也是假命题.只有选项C中的命题是真命题.故选C.2.B.20 C.15 D.10答案B解析∵AC是菱形ABCD的对角线,∠BAD=120°,∴∠BAC=60°.∵AB=BC,∴△ABC是等边三角形.∵△ABC的周长是15,∴边长AB=5.∴菱形ABCD的周长为5×4=20.故选B.3.答案A解析如图所示,折叠后,∠1=∠2=(180°-34°)÷2=73°,故选A.4.答案C解析过点D作DE∥a,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ADC=90°.∴∠3=90°-∠1=90°-60°=30°.∵a∥b,∴DE∥a∥b.∴∠4=∠3=30°,∠2=∠5,∴∠2=90°-30°=60°.故选C.5.答案B解析如图,连接AC,CF,∵正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,∴AC=,CF=3,∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°.由勾股定理得AF==(()=2.∵H是AF的中点,∴CH=AF=×2.故选B.二、填空题6.答案22.5解析∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC,OB=OD.∴OA=OB=OC.∴∠OAD=∠ODA,∠OAB=∠OBA.∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD.∵∠EAC=2∠CAD,∴∠EAO=∠AOE.∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°.∴∠AOE=45°.∴∠OAB=∠OBA=°-°=67.5°.∴∠BAE=∠OAB-∠OAE=22.5°.7.答案解析∵菱形的对角线互相垂直平分,∴OB=3,OC=4,∠BOC=90°.∴BC==5.∵S△OBC=OB·OC,又S△OBC=BC·OE,∴OB·OC=BC·OE,即3×4=5OE.∴OE=.三、解答题8.(1)证明∵点E是AD的中点,∴AE=DE.∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.∴△EAF≌△EDC.∴AF=DC.∵AF=BD,∴BD=DC,即D是BC的中点.(2)解四边形AFBD是矩形.证明如下:∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形.∵AB=AC,又由(1)可知D是BC的中点,∴AD⊥BC.∴▱AFBD是矩形.9.(1)证明在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,∴△CBE≌△CDF.∴CE=CF.(2)解GE=BE+GD成立.理由是:∵由(1)得△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF,∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,又∵∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.综合提高一、选择题1.答案C解析作点F关于BD的对称点F',则PF=PF',连接EF'交BD于点P.则EP+FP=EP+F'P.由两点之间线段最短可知:当E,P,F'三点在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F'P=EF'.∵四边形ABCD为菱形,且其周长为12,∴AB=BC=CD=DA=3,AB∥CD,∵AF=2,AE=1,∴DF=AE=1.∴四边形AEF'D是平行四边形.∴EF'=AD=3.∴EP+FP的最小值为3.2.答案B解析连接PP',交BC于N点,过P作PM⊥AC,垂足为M,若运动t秒时四边形QPCP'为菱形,则PQ=PC,PN⊥BC,四边形PMCN为矩形,BQ=t,AP=t,PM=NC=t,∴QC=2t,∴BC=BQ+QC=t+2t=3t=6cm,∴t=2,故选B.3.答案B解析∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD,∠B=∠D=60°.∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴BC×AE=CD×AF,∠BAE=∠DAF=30°.∴AE=AF.∵∠B=60°,∴∠BAD=120°.∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.∴△AEF是等边三角形.∴AE=EF,∠AEF=60°.∵AB=4,∴AE=2,∴EF=AE=2.过A作AM⊥EF,∴AM=AE·sin60°=3.∴△AEF的面积是EF·AM=×2×3=3.故选B.4.答案C解析∵FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD的对边AD,BC的一部分,∴FH∥CG,EH∥CF,∴四边形CFHE是平行四边形.由翻折的性质,得CF=FH,∴四边形CFHE是菱形,故①正确;∴∠BCH=∠ECH,∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH,故②错误;点H与点A重合时,设BF=x,则AF=FC=8-x,在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,点G与点D重合时,CF=CD=4,∴BF=4,∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4,故③正确;过点F作FM⊥AD于M,则ME=(8-3)-3=2,由勾股定理,得EF==2,故④正确.综上所述,结论正确的有①③④共3个.故选C.5.答案C解析甲的作法:∵MN是AC的垂直平分线,∴AM=CM,OA=OC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AM∥CN,∴∠MAO=∠NCO,∠AMO=∠CNO,∴△AMO≌△CNO,∴AM=CN,∴四边形ANCM是平行四边形,∴▱ANCM是菱形.乙的作法:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AF∥BE,∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA,∵∠ABF=∠EBF,∠BAE=∠FAE,∴∠ABF=∠AFB,∠BAE=∠BEA,∴AB=AF,AB=EB,∴AF=BE,∴四边形ABEF是平行四边形,∴▱ABEF是菱形.故选C.二、填空题6.答案-1解析过点E作EF⊥CD于点F,设对角线交点为O, ∵四边形ABCD是正方形,且边长为1,∴OD=BD=,OD⊥OC,∠ODC=45°.∵EF⊥CD,CE平分∠ACD,∴∠DEF=45°,EF=EO,∴EO=EF=FD.设OE=x,则DE=-x,EF=DF=x,∴x2+x2=-,解得x=1-,∴DE=-x=--1.7.答案5.5或0.5解析分两种情况:①如图1所示:∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=4,BC=AD=5,∠ADC=∠CDF=90°.∵四边形BCFE为菱形,∴CF=EF=BE=BC=5.∴DF=--=3.∴AF=AD+DF=8,∵M是EF的中点,∴MF=EF=2.5.∴AM=AF-MF=8-2.5=5.5.②如图2所示:同①得:AE=3,∵M是EF的中点,∴ME=2.5,∴AM=AE-ME=0.5.综上所述:线段AM的长为5.5或0.5.三、解答题8.(1)证明∵EH平分∠BEF,FH平分∠DFE,∴∠FEH=∠BEF,∠EFH=∠DFE.∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°.∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°.同理可得:∠EGF=90°.∵EG平分∠AEF,EH平分∠BEF,∴∠GEF=∠AEF,∠FEH=∠BEF.∵点A,E,B在同一条直线上,∴∠AEB=180°,即∠AEF+∠BEF=180°.∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×180°=90°,即∠GEH=90°.∴四边形EGFH是矩形.(2)解答案不唯一:由AB∥CD,MN∥EF,PQ∥EF,易证四边形MNQP是平行四边形,要证平行四边形MNQP是菱形,只要证MN=NQ,由已知条件FG平分∠CFE,MN∥EF,故只要证GM=FQ,即证△MGE≌△QFH,易证GE=FH,∠GME=∠FQH.故只要证∠MGE=∠QFH,易证∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,∠GEF=∠EFH,即可得证.9.解(1)FG=CE(相等),FG∥CE(平行).(2)仍然成立.证明:设CF与DE相交于点M,∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°.∵BF=CE,∴△BCF≌△CDE.∴FC=ED,∠DEC=∠BFC.∵∠BFC+∠FCE=90°,∴∠DEC+∠FCE=90°.∴∠EMC=90°,即FC⊥DE.∵GE⊥DE,∴GE∥FC.∵EG=DE,∴EG=FC,∴四边形GECF是平行四边形.∴FG=CE,FG∥CE.(3)成立.。

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于E．（1）如图1，猜想∠QEP＝；（2）如图2，若当∠DAC是锐角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明；（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．2．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为中线，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接BE交直线AD于点F，连接CF．（1）若∠BAC＝30°，则∠FBC＝°；（2）若∠BAC是钝角时，①请在图2中依题意补全图形，并标出对应字母；②探究图2中△BCF的形状，并说明理由；③若AB＝5，BC＝8，则EF＝．3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（不与点B、点C重合），将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，作射线BA与射线CE，两射线交于点F．（1）若点D在线段BC上，如图1，请直接写出CD与EF的关系．（2）若点D在线段BC的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接DE，G为DE的中点，连接GF，若tan∠AEC＝，AB＝，求GF的长．4．已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．（1）如图1，当∠BAC＜45°时，①求证：DF⊥AC；②求∠DFB的度数；（2）如图2，当∠BAC＞45°时，①请依意补全图2；②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明．5．实验探究：如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD、CE延长线交于点P．【问题发现】（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是（“相等”或“不相等”），请直接写出答案；【类比探究】（2）若AB＝3，AD＝5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时PD的长；【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PD的最小值为．6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．7．[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连接AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连接EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．8．如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点，连EB、EC，将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上．（1）在图1中画出图形：①求∠CEF的度数；②探究线段AB，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若AB＝4，点G为AC的中点，连DG，将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，直线BM、AN交于点P，连CP，在△CDG旋转一周过程中，请直接写出△BCP 的面积最大值为．9．在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM＝PE；（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP＝7，BM＝1，CN＝3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G，试探究线段PG、BM和CN的数量关系．10．在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，将Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连接BD，AE，点F，G分别是BD，AE的中点，连接CF，CG．（1）观察猜想如图1，当点D与点A重合时，CF与CG的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究当点D与点A不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）问题解决在Rt△DCE旋转过程中，请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值．11．如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED ⊥AC于点D．（1）当sin B＝时，①求证：BE＝2CD；②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（2）当sin B＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，请直接写出线段CD的长．12．如图，已知点A（0，8），B（16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连接AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连接PC，BC，设P（t，0）．（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连接AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．13．如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形．连接AB，DF，延长DF交AB于点E．（1）如图1，若AD＝BD，DE是△ABD的平分线，BC＝1，求CD的长度；（2）如图2，连接CE，求证：DE＝CE+AE；（3）如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上（点F与点A，C不重合）．将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP．取AD的中点O，连接OP．当AC＝2时，直接写出OP长度的最大值．14．综合与实践问题情境从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，AD的延长线交线段BF于点P．探究线段EP，FP，BP之间的数量关系．数学思考（1）请你在图1中证明AP⊥BF；特例探究（2）如图2，当CE垂直于AD时，求证：EP+FP＝2BP；类比再探（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．15．在Rt△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，∠A＝90°，∠MON＝α，分别交直线AB、AC于点M、N．（1）如图1，当α＝90°时，求证：AM＝CN；（2）如图2，当α＝45°时，求证：BM＝AN+MN；（3）当α＝45°时，旋转∠MON至图3位置，请你直接写出线段BM、MN、AN之间的数量关系．16．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接P A、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现P A与PB完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：P A＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得P A ＝PB．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）证明：设直线l，m相交于点O．（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（x，y）中的横坐标x与纵坐标y 满足+|y﹣8|＝0，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且满足AD﹣OD＝OE，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC．（1）直接写出点A和点E的坐标；（2）在线段BC上有一点G，连接DF，FG，DG，若点G的纵坐标为m，三角形DFG 的面积为S，请用含m的式子表示S（不要求写m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S＝26时，动点P从D出发，以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动，动点Q从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线AB→BC向终点C运动，P，Q两点同时出发，当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求出P点坐标18．如图1，在Rt△ACB中，AC＝BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．（1）如图1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的长；（2）如图2，若CE＝2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF＝DF，在FD上取一点G，使∠EGF＝∠CFG，求证：AF＝EG；（3）如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC＝90°，AC＝6，连接AD，将AD绕A 点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH的面积．19．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为°；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．20．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝α，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ．O 为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM＝OP，连接CM．探究在△APQ的旋转过程中，线段CM，CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题．特例探究：（1）填空：如图3，当α＝30°时，＝，直线CQ与CM所夹锐角的度数为；如图4，当α＝45°时，＝，直线CQ与CM所夹锐角的度数为；一般结论：（2）将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ，CM之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由；问题解决（3）如图4，在Rt△ABC中，若AB＝4，α＝45°，AP＝3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°＜β＜180°），当点Q到直线AC的距离为2时，请直接写出线段CM的值．参考答案1．解：（1）∠QEP＝60°；证明：如图1，QE与CP的交点记为M，∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝∠ACP，则△CQB和△CP A中，，∴△CQB≌△CP A（SAS），∴∠CQB＝∠CP A，在△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，∴∠QEP＝∠QCP＝60°．故答案为：60°；（2）∠QEP＝60°．理由如下：如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，∴∠ACB+∠BCP＝∠BCP+∠PCQ，即∠ACP＝∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠APC＝∠Q，∵∠BOP＝∠COQ，∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；（3）作CH⊥AD于H，如图3，与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，∴AP＝BQ，∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，∴∠HAC＝45°，∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH＝CH＝AC＝3，在Rt△PHC中，PH＝CH＝3，∴P A＝PH﹣AH＝3﹣3，∴BQ＝3﹣3．2．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°，∴∠BAE＝30°+90°＝120°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝75°﹣30°＝45°．故答案为：45．（2）①图形如图2所示．②结论：△BCF是等腰直角三角形理由如下：如图2中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，又AB＝AC，AF＝AF，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠1＝∠2，由旋转可知AE＝AC，又AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3．又∠4＝∠5，∴∠CFE＝∠CAE＝90°即∠CFB＝90°，又FB＝FC，∴△BCF为等腰直角三角形．③如图3中，作EH⊥DF交DF的延长线于H．∵AB＝AC＝5，BD＝CD＝4，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝3，∵∠ADC＝∠EAC＝∠H＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠DAC+∠HAE＝90°，∴∠ACD＝∠HAE，∵AE＝AC，∴△ADC≌△EHA（AAS），∴EH＝AD＝3，∵△BDF是等腰直角三角形，FD⊥BC，∴∠DFB＝∠BFC＝45°，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∵∠H＝90°，∴∠EHF＝∠HFE＝45°，∴EH＝FH＝3，∴EF＝EH＝，故答案为：3．3．解：（1）CD＝EF，CD⊥EF，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（2）结论仍然成立，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（3）如图，过点A作AN⊥CE于点N，过点G作GH⊥CE于H，∵AB＝AC＝，∴BC＝CF＝2，∵AN⊥CE，∠ACF＝45°，∴AN＝CN＝1，∵tan∠AEC＝＝，∴EN＝2，∴EC＝CN+EN＝3，∴EF＝EC﹣CF＝1＝CD，∵GH⊥CE，∠ECD＝90°，∴HG∥CD，∴＝＝，且EG＝DG，∴HG＝，EH＝，∴FH＝EH﹣EF＝∴GF＝＝＝4．解（1）①由旋转知，∠ABD＝∠ABC＝90°，∠D＝∠A，∴∠D+∠BED＝90°，∴∠A+∠BED＝90°，∵∠BED＝∠AEF，∴∠A+∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AC；②如图1，过点B作BG⊥BF交DF于G，∴∠FBG＝90°，由旋转知，∠D＝∠A，BD＝AB，∠ABD＝90°，∴∠FBG＝∠ABD，∴∠DBG＝∠ABF，∴△BDG≌△BAF（ASA），∴BG＝BF，∵∠FBG＝90°，∴∠BFD＝45°；（2）①如图2所示，②CF﹣EF＝BF．过点B作BG⊥BF交AC于G，∴∠FBG＝90°，由旋转知，∠C＝∠E，BC＝BE，∵∠ABC＝90°，∴∠FBG＝∠ABC，∴∠CBG＝∠EBF，∴△BCG≌△BEF（ASA），∴CG＝EF，BG＝BF，∵∠FBG＝90°，∴∠BFD＝45°，∴FG＝BF，∵CF＝FG+CG，∴FG＝CF﹣CG＝CF﹣EF＝BF，即：CF﹣EF＝BF．5．解：（1）BD、CE的关系是相等．理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，DA＝EA，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE．故答案为：相等．（2）如图2，3即为旋转后的图形．①如图2，当C在AD上时，由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC又∵∠PCD＝∠ACE，∴△PCD∽△ACE，∴又∵CE＝＝＝CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2∴，解得；如图3，当C在AD反向延长线上时，同理△PEB∽△ABD＝∵BD＝BE＝AE﹣AB＝5﹣3＝2∴＝解得PB＝∴PD＝DB+PB＝+＝．答：此时PD的长为或．（3）如图4所示，以点A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在圆A下方与圆A相切时，PD的值最小．在Rt△ACE中，CE＝＝＝4在Rt△ADE中，DE＝＝＝5∵四边形ABPC是正方形，∴PC＝AB＝3∴PE＝PC+CE＝3+4＝7在Rt△DEP中，PD＝＝＝1∴线段PD的最小值为1．故答案为：1．6．解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD（AAS），∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．7．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．8．解：（1）如图1所示：延长BE，①∵等边△ABC中，点D为BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，∴BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠CEF＝∠FEH+∠HEC＝∠EBF+∠BFE+∠EBC+∠ECB＝2∠ABE+2∠EBC，∴∠CEF＝2∠ABC＝120°；②AB＝AF+AE，理由如下：如图1﹣1，在AB上截取BM＝AF，连接ME，过点E作EN⊥AB于N，∵BM＝AF，∠AFE＝∠EBM，BE＝EF，∴△BME≌△F AE（SAS），∴AE＝EM，又∵EN⊥AB，∴AN＝MN＝AM，∵∠BAD＝30°，∴AE＝2NE，AN＝NE，∴AN＝AE，∴AM＝AE，∴AB＝BM+AM＝AF+AE；（3）如图2，∵△ABC是等边三角形，AB＝4，点G为AC的中点，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，CG＝CD＝2，∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，∴CM＝CN＝CG＝CD＝2，∠MCN＝∠ACB＝60°，∴∠ACN＝∠BCM，∴△BCM≌△ACN（SAS），∴∠CAN＝∠CBM，∴点A，点B，点C，点P四点共圆，∴∠BPC＝∠BAC＝60°，∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，∴点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，∴当BM与⊙C相切于点M时，△BCP的面积有最大值，如图所示，过点P作PH⊥BC 于H，∵BM是⊙C的切线，∴∠BMC＝90°＝∠PMC，又∵∠BPC＝60°，∴∠PCM＝30°，∴CM＝PM＝2，∴MP＝，∵BM＝＝＝2，∴BP＝BM+MP＝，∵sin∠PBC＝，∴PH＝＝，∴△BCP的面积最大值＝×4×＝，故答案为．9．（1）证明：如图1中，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC边中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE（2）解：延长MP与NC的延长线相交于点E．∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE，S△PBM＝S△PCE，∴AE＝CN+CE＝4，∵S△BMP+S△CNP＝7，∴S△PNE＝7，∴S△MNE＝2S△PNE＝14，∴×MN×4＝14，∴MN＝7．（3）解：如图1﹣1中，当点B，P在直线a的异侧时，∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵PM＝PE，∴MG＝GN，∴PG＝EN＝（CN﹣EC），∵EC＝BM，∴PG＝（CN﹣BM）．如图2﹣2中，当点B，P在直线a的同侧时，延长MP交NC的延长线于Q．∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵BM∥CQ，∴∠BMP＝∠Q，∵∠BPM＝∠CPQ，BP＝CP，∴△PMB≌△PQC（AAS），∴PM＝PQ，BM＝CQ，∴MG＝GN，∴PG＝AQ＝（CN+BM）．综上所述，PG＝（CN﹣BM）或PG＝（CN+BM）．10．解：（1）观察猜想∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC ＝DC＝，∴AE＝2DC＝2，AC＝BC＝，AB＝2BC，∠CDE＝60°，∴BC＝1，AB＝2，∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴CG＝AE＝，CG＝AG，CF＝AB＝1，CF＝AF，∴CG＝CF，∠GDC＝∠GCD＝60°，∠ACF＝∠F AC＝30°，∴∠FCG＝90°，∴CF⊥CG，故答案为：CG＝CF，CF⊥CG；（2）类比探究仍然成立，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，∴∠BCD＝∠ACE，AC＝BC，CE＝CD，∴＝，∴△BCD∽△ACE，∴，∠CAE＝∠CBD，∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴BF＝BD，AG＝AE，∴∴△ACG∽△BCF，∴，∠BCF＝∠ACG，∴CG＝CF，∠ACB＝∠FCG＝90°，∴CF⊥CG；（3）问题解决如图，延长BC至H，使BC＝CH＝1，连接DH，∵点F是BD中点，BC＝CH＝1，∴CF＝DH，由（2）可知，CF⊥CG，∴△CFG的面积＝×CF×CG＝CF2，∴△CFG的面积＝DH2，∴当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值，∵CD＝，∴点D在以点C为圆心，为半径的圆上，∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为+1，∴△CFG的面积最大值＝（+1）2＝，当点D在射线CH的延长线上时，DH有最小值为﹣1，∴△CFG的面积最小值＝（﹣1）2＝．11．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，①如图1，过点E作EH⊥BC于点H，∵ED⊥AC∴∠ADE＝∠C＝90°，∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，∴BE＝2EH∴BE＝2CD；②BE＝2CD成立，理由：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠CAD＝∠BAE，又∵，，∴，∴△ACD∽△ABE，∴，又∵Rt△ABC中，＝2，∴＝2，即BE＝2CD；（2）∵sin B＝，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，∵ED⊥AD，∴∠AED＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE，AC＝BC，将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：①如图3所示，过A作AF⊥BE交BE的延长线于F，则∠F＝90°，当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF＝EF＝2，∵AC＝10＝BC，根据勾股定理得，AB＝10，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF﹣EF＝4，又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAE，∵，，∴，∴△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝2；②如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，当∠DEB＝90°时，∠DEB＝∠ADE＝90°，又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝EF＝AF＝2，又∵AC＝10＝BC，∴AB＝10，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF+EF＝8，又∵△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝4，综上所述，线段CD的长为2或4．12．解：（1）等腰直角三角形，理由如下：∵AP∥BC，∴∠APC＝∠BCP，∠APO＝∠CBP，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠APO＝∠APC，OP＝PC，∴∠PCB＝∠PBC，∴PC＝PB＝OP＝8，∴△BCP是等腰三角形，∵OA＝OP＝8，∴∠OP A＝∠APC＝45°，∴∠OPC＝90°，∴△BCP是等腰直角三角形；（2）当t＞0时，如图，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，∴∠ACP+∠BCP＝180°，∴点A，点C，点B三点共线，∵点A（0，8），B（16，0），∴OA＝8，OB＝16，∴AB＝＝＝8，∵tan∠ABO＝，∴，∴t＝4﹣4；当t＜0时，如图，同理可求：t＝﹣4﹣4；（3）∵△OAP沿着AP折叠，∴AC＝AO＝8，∠ACP＝∠AOP＝90°，∵BH⊥CP，∴∠ACP＝∠BHC＝90°，∵AH＝BC，CH＝CH，∴Rt△ACH≌Rt△BHC（HL）∴AC＝BH，∴四边形AHBC是平行四边形，如图2，当0≤t≤16时，点H在PC上时，连接AB交CH于G，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝8；如图3，当0≤t≤16时，点H在PC的延长线上时，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝；如图4，当t＜0时，同理可证：四边形ABHC是平行四边形，又∵AH＝BC，∴四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝16﹣8；当t＞16时，如图5，∵四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8，CP＝OP＝t，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（t﹣16）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝16+8．综上所述：当t＝8或或16﹣8或16+8时，存在AH＝BC．13．（1）解：∵△BCF和△ACD都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，FC＝BC＝1，FB＝，∵AD＝BD，DE是△ABD的平分线，∴DE垂直平分AB，∴F A＝FB＝，∴AC＝F A+FC＝，∴CD＝；（2）证明：如图2，过点C作CH⊥CE交ED于点H，∵△BCF和△ACD都是等腰直角三角形，∴AC＝DC，FC＝BC，∠ACB＝∠DCF＝90°；∴△ABC≌△DFC（SAS），∴∠BAC＝∠CDF，∵∠ECH＝90°，∴∠ACE+∠ACH＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCH+∠ACH＝90°，∴∠ACE＝∠DCH．在△ACE和△DCH中，，∴△ACE≌△DCH（ASA），∴AE＝DH，CE＝CH，∴EH＝CE．∵DE＝EH+DH＝CE+AE；（3）解：如图3，连接OE，将OE绕点E顺时针旋转90°得到EQ，连接OQ，PQ，则OQ＝OE．由（2）知，∠AED＝∠ABC+∠CDF＝∠ABC+∠BAC＝90°，在Rt△AED中，点O是斜边AD的中点，∴OE＝OD＝AD＝AC＝，∴OQ＝OE＝，在△OED和△QEP中，，∴△OED≌△QEP（SAS），∴PQ＝OD＝．∵OP≤OQ+PQ＝，当且仅当O、P、Q三点共线时，取“＝”号，∴OP的最大值是．14．证明：（1）如图1，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴△AEC≌△BFC，∴∠CAE＝∠CBF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠CBF+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BF；（2）如图2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°＝∠CEP，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴△AEC≌△BFC，∠ECF＝90°，∴∠AEC＝∠BFC＝90°，CE＝CF，∴四边形CEPF是正方形，∴EP＝PF＝CE＝CF，∠EPF＝90°，∵AD为BC边上的中线，∴CD＝BD，又∵∠CDE＝∠BDP，∠CED＝∠BPD＝90°，∴△CDE≌△BDP（AAS），∴CE＝BP，∴EP＝PF＝BP，∴EP+FP＝2BP；（3）结论仍然成立，理由如下：如图1，过点C作CN⊥AD于N，作CM⊥BF，交BF的延长线于M，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴∠CAE＝∠CBF，CE＝CF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠CBF+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠APB＝90°，又∵CN⊥AD，CM⊥BM，∴四边形CNPM是矩形，∵∠CAE＝∠CBF，∠ANC＝∠BMC＝90°，AC＝BC，∴△ACN≌△BCM（AAS），∴CM＝CN，∴四边形CNPM是正方形，∴CN＝CM＝NP＝MP，∵AD为BC边上的中线，∴CD＝BD，又∵∠CDN＝∠BDP，∠CND＝∠BPD＝90°，∴△CDN≌△BDP（AAS），∴CN＝BP，∴CN＝BP＝NP＝MP，∴EP+FP＝EN+NP+FP＝NP+MF+PF＝NP+MP＝2BP．15．证明：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠MON＝∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠CON，且AO＝CO，∠BAO＝∠ACO＝45°，∴△AOM≌△CON（ASA）∴AM＝CN；（2）证明：如图2，在BA上截取BG＝AN，连接GO，AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∵BG＝AN，∠ABO＝∠NAO＝45°，AO＝BO，∴△BGO≌△AON（SAS），∴OG＝ON，∠BOG＝∠AON，∵∠MON＝45°＝∠AOM+∠AON，∴∠AOM+∠BOG＝45°，∵∠AOB＝90°，∴∠MOG＝∠MON＝45°，∵MO＝MO，GO＝NO，∴△GMO≌△NMO（SAS），∴GM＝MN，∴BM＝BG+GM＝AN+MN；（3）MN＝AN+BM，理由如下：如图3，过点O作OG⊥ON，连接AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠GBO＝∠NAO＝135°，∵MO⊥GO，∴∠NOG＝90°＝∠AOB，∴∠BOG＝∠AON，且AO＝BO，∠NAO＝∠GBO，∴△NAO≌△GBO（ASA），∴AN＝GB，GO＝ON，∵MO＝MO，∠MON＝∠GOM＝45°，GO＝NO，∴△MON≌△MOG（SAS），∴MN＝MG，∵MG＝MB+BG，∴MN＝AN+BM．16．证明：（1）如图①中，∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．在△P AC和△PBC中，，∴△P AC≌△PBC（SAS），∴P A＝PB．（2）如图②中，设直线l、m交于点O，连接AO、BO、CO．∵直线l是边AB的垂直平分线，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（3）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15，∴DE＝AC＝5．故答案为5．17．解：（1）∵+|y﹣8|＝0，又∵≥0，|y﹣8|≥0，∴x＝2，y＝8，∴A（2，8），∵AD⊥x轴，∴OD＝2，AD＝8，∵AD﹣OD＝OE，∴E（﹣6，0）．（2）如图1中，连接OG．由题意G（10，m）．∵AD＝DE＝8，∠ADE＝90°，∴∠AED＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴OE＝OF＝6，∴F（0，6），∴S＝S△ODG+S△OFG﹣S△OFD＝×2×m+×6×10﹣×2×6＝m+24（0≤m≤8）．（3）如图2中，设FG交AD于J，P（2，t），当点P在DJ上，点Q在AB上时，当S＝26时，m＝2，∴G（10，2），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+6，∴J（2，），由题意，•（﹣t）×10＝2××2t×6，解得t＝，∴P（2，），当点P在AJ上，点Q在BG上时，同法可得，•（t﹣）×10＝2××（14﹣2t）×8，解得t＝，∴P（2，）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，）或（2，）．18．解：（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．∵BD⊥CD，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠DBC＝90°，∴∠ACD＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tan∠ACD＝2，∴＝2，∵AC＝BC＝6，∴BD＝，CD＝，∵EH⊥BC，∠EBH＝45°，∴∠EHB＝90°，∠EHB＝∠HBE＝45°，∴EH＝BH，设EH＝BH＝m，则HC＝2EH＝2m，∴3m＝6，∴m＝2，∴EH＝2，CH＝4，∴EC＝＝＝2，∴DE＝CD﹣CE＝﹣2＝．（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．∵EJ＝EG，∴∠EJG＝∠EGJ，∵∠CFG＝EGJ，∴∠CFG＝∠EJG，∴∠AFC＝∠AJE，∵∠ATC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠DCB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°，∴∠ACT＝∠CBD，∵AC＝BC，∴△ATC≌△CDB（AAS），∴CT＝BD，∵EC＝2BD，∴CT＝ET，∵AT⊥EC，∴AC＝AE，∴∠ACT＝∠AEC，∴∠ACF+∠FCD＝∠EAJ+∠FDC，∵FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∴∠ACF＝∠EAJ，∴△ACF≌△EAJ（AAS），∴AF＝EJ＝EG．（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．∵AC＝BC＝6，∠ACT＝90°，CT＝TB＝3，∴AT＝＝＝3，∵CD⊥BD，∴∠CDB＝90°，∴DT＝BC＝3，∴AD≥AT﹣DT，∴AD≥3﹣3，∴AD的最小值为3﹣3，∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，∴DH＝EH，∴AH＝DE＝AD，∴AH的最小值为﹣，此时，A，D，T共线，如图3﹣1中，过点D作DQ⊥AC于Q，过点E作EP⊥CA交CA 的延长线于P，过点H作HJ⊥AC于J．∵DQ∥CT，∴＝＝，∴＝＝，∴DQ＝，AQ＝，由△AQD≌△EPQ，可得PE＝AQ＝，∵EP∥HJ∥DQ，EH＝HD，∴PJ＝JQ，∴JH＝（PE+DQ）＝∴△ACH的面积＝×6×＝．19．解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，故答案为：60；②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，∴AD2+AE2＝AB2，∵AD＝a，AE＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2；（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CAB＝∠CBA＝60°，∴∠OAB+∠OBA＝120°，∴∠AOE＝180°﹣120°＝60°，如图4，同理求得∠AOB＝60°，∴∠AOE＝120°，∴∠AOE的度数是60°或120°．20．解：（1）如图3中，连接PB，延长BP交CQ的延长线于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．∵∠P AQ＝∠BAC，∴∠CAQ＝∠BAP，∵＝＝cos30°＝，∴△QAC∽△P AB，。

抢分秘籍08反比例函数和几何图形综合问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）反比例函数和几何图形综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，反比例函数中的K 值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。

2．从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！题型一反比例函数与三角形的综合问题【例1】（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，OAB 是边长为4的等边三角形，反比例函数(0)k y k x=>的图象经过边OA 的中点C ．（1）k =．（2）若反比例函数k y x=的图象与边AB 交于点D ，则tan DOB ∠=．∵OAB 是边长为4的等边三角形，∴4AO BO AB ===，A ∠=∠∵C 为AO 中点，CE x ⊥轴，∴在Rt COE △中，30OCE ∠=∴1OE =，∴22CE OC OE =-=同理可求点()2,23A ，而(4,0B 设():0AB l y kx b k =+≠，代入22340k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，3k ⎧=-⎪本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数交点的求解，以及锐角三角函数的应用，正确添加辅助线是解题的关键．【例2】（2024·河南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()6,0A ，()2,2B ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点B ．(1)求反比例函数的表达式．(2)将OAB 绕点B 逆时针旋转得到O A B ''△，点O '恰好落在OA 上，请求出图中阴影部分的面积．∵()2,2B ∴2CO BC ==∵将OAB 绕点B 逆时针旋转得到∴90OBO ABA ''∠=∠=︒222222OB O B '==+=1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky x x=>的图象和ABC 都在第一象限内，5,AB AC BC x ==∥轴，且8BC =，点A 的坐标为()6,10．(1)若反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点B ，求此反比例函数的解析式；(2)若将ABC 向下平移(0)m m >个单位长度，,A C 两点的对应点恰好同时落在反比例函数(0)k y x x =>图象上，求m 的值．5AB AC == ，8BC =，点142BD CD BC ∴===，ADB ∠3AD ∴=，∵BC x ∥，∴AD x⊥于点D ，反比例函数()0k y x x =>，的图象经过点A ．(1)若14BD AB =，求直线AB 和反比例函数的表达式；(2)若8k =，将AB 边沿AC 边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E ，交x 轴于点F ，求点E 的坐标．【详解】（1）Rt ABC 中，AC AC OD ∴ ，14BD BO AB BC ==，144BO ∴=，1BO ∴=，题型二反比例函数与平行四边形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2023·江西萍乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在y 轴上，AC x ∥轴，点C 的坐标为()4,6,3AB =，将ABC 向下方平移，得到DEF ，且点A 的对应点D 落在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点B 的对应点E 落在x 轴上，连接,OD ∥OD BC ．(1)求证：四边形ODFE 为平行四边形；(2)求反比例函数(0)k y x x=>的表达式；(3)求ABC 平移的距离及线段BC 扫过的面积．（2）连接CD ，易证四边形BCDO 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出CD AB ∥，结合DE AB ∥，可得出C D E ，，三点共线，易证四边形ACEO 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出OE 的长，结合3DE AB ==，可得出点D 的坐标，再利用反比例函数系数k 的几何意义，可求出k 的值，进而可得出反比例函数的表达式；（3）连接BE CF ，，在Rt BOE 中，利用勾股定理，可求出BE 的长，由此可得出ABC 平移的距离为5，由,BC EF BC EF =∥，可得出四边形BCFE 是平行四边形，再利用平行四边形的性质及三角形的面积公式，即可求出线段BC 扫过的面积．【详解】（1）证明：由平移的性质，得：,,BC EF AC DF AB DE ∥∥∥，AC x ∥轴，且OE 在x 轴上，AC OE ∴∥，DF OE ∴∥．,OD BC BC EF ∥∥ ，OD EF ∴∥，∴四边形ODFE 为平行四边形；（2）解：连接CD ，如图1所示．四边形ODFE 为平行四边形，OD EF BC ∴==，又OD BC ∥，∴四边形BCDO 是平行四边形，,CD OB CD AB ∴=∥，DE AB ∥，C D E ∴，，三点共线．AC x ∥轴，OE 在x 轴上，CE AO ，∴四边形ACEO 是平行四边形，OE AC ∴=．点C 的坐标为()4,6,3AB =，在Rt BOE △中，OB OA AB =-=2222345BE OB OE ∴=+=+=ABC ∴ 平移的距离为5．,BC EF BC EF =∥ ，∴四边形BCFE 是平行四边形，1222BCFE BCE S S CE OE ∴==⨯⋅= 本题是反比例函数的综合题，考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、反比例函数系数k 的几何意义、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：1（）由平移的性质及平行线的性质，找出DF OE ∥及OD EF ∥；（2）利用平移的性质及平行四边形的性质，找出点D 的坐标；（3）利用勾股定理及平行四边形的性质，求出BE 的长及平行四边形BCFE 的面积．【例2】（2024·山东济南·一模）如图，一次函数112y x =-+的图象与反比例函数()0k y x x=<的图象交于点(),2P a ，与y 轴交于点Q ．(1)求a、k的值；(2)直线AB过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，AP PB=，连接AQ．△的面积；①求APQ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标．∵AP PB =，()22P -，，∴4h =，把()4A t ，代入y =∴点()14A -，，∵一次函数112y x =-+的图象与∴Q 的坐标为()0,1，过点A 作AH y ∥轴，交PQ ∴52AH =，∴12APQ APH AHQ S S S =+=△△△②设点4,M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,0N n ∵()2,2P -，()0,1Q ，点M 当MN 和PQ 为对角线时，如下图：Q点可看做是将N点先向右平移故M点也是相应关系，即P故M点的纵坐标为P点纵坐标加即43m-=，43m=-M的坐标为4,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；当MQ和NP为对角线时，N点可看做是将Q点先再向下平移故M点也是相应关系，即M故M 点的纵坐标为211-=，4m =-，故此时M 点坐标为：(4,1)-综上，M 点的坐标为：⎛- ⎝【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A 和BC 的中点D ，6AB =，四边形OABC 的面积是48．(1)求点A ，D 的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点M 是四边形OABC 内部反比例函数()0k y x x =>图象上一动点(不含边界)，当直线y x m =+经过点M 时，请直接写出m 的取值范围．【分析】本题考查求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数交点问题：（1）根据6AB =得到点(6,0)C ，平行四边形面积48得到高，表示出A 点，从而得到B 点，得到中点D 代入解析式即可得到答案；（2）求出点M 在A ，D 两点得到m 的值即可得到答案；【详解】（1）解：∵6AB =，∴(6,0)C ，设点(,k A a a ，则(6,)k B a a+，2．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线y x =与直线2y x =交于点A 、点B ，点C 为双曲线上点A 右侧的一点，过点B 作BD AC ∥，交y 轴于点D ，连接BC CD 、．(1)如图1，求点A、B的坐标；(2)如图2，若四边形ABDC是平行四边形，求BD长；(3)如图1，当四边形ABDC的面积为4时，求直线AC的解析式．则运用中点法列式，则x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∵点C为双曲线上点A右侧的一点，∴2 CC yx=∵BD AC∥1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数2kyx=交于两点(6)E m，和F．且点()3C n，在反比例函数图象上．(1)求反比例函数的解析式以及点F的坐标；(2)点P在反比例函数第一象限的图象上，连接CE，CF和CP，若415ECP ECFS S=V V，求点P的横坐标；(3)点M在x轴上运动，点N在反比例函数2kyx=的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．则四边形HIFG 为矩形，∴EFC EIF HIFG S S S =-- 矩形∴272545422EFC S =---=∵(16)E ，，)(23F --，，EFM 又∵点M 在x 轴上，∴点F 向上平移3个单位，∴点E 向上平移3个单位，∴点N 纵坐标为9，把y =∴12,93N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴点E 向上平移3个单位，向左平移把3y =代入6y x =，得2x =，∴()32,3N ∵33122M N x x +=-，∴32122M x +=-∴33M x =-∴()33,0M -综上，点E ，F ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为0 73M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或703 M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(30)M -，．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型．题型三反比例函数与矩形的综合问题【例1】（2024·贵州·一模）如图，在矩形ABOC 中，46AB AC ==，，D 是边AB 的中点，反比例函数()10k y x x=<的图象经过点D ，交边AC 于点E ，直线DE 的表达式为：()20y mx n m =+≠(1)求反比例函数的表达式和直线DE 的表达式；(2)根据图象直接写出当12y y >时，x 的取值范围．【答案】(1)反比例函数解析式为112y x =-，2263y x =+(2)6x <-或30x -<<【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：（1）先由矩形的性质得到6OB AC AB OB ==，⊥，进而求出()62D -，，利用待定系数法求出反比例函数解本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：先由矩形的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．【例2】（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，反比例函数()0k y x x=>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，且点D 为AB 的中点．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数()0k y x x=>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），直接写出m 的取值范围．部分时（点M 可与点,D E 重合），∴30m -≤≤．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．1．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数()0y kx k =>与反比例函数3y x=的图象分别交于A 、C 两点，已知点B 与点D 关于坐标原点O 成中心对称，且点B 的坐标为()0m ，．其中0m >．(1)四边形ABCD 是____．(填写四边形ABCD 的形状)(2)当点A 的坐标为()3n ，时，四边形ABCD 是矩形，求mn 的值．(3)试探究：随着k 与m 的变化，四边形ABCD 能不能成为菱形？若能，请直接写出k 的值；若不能，请说明理由．2．如图1，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，反比例函数y x=（0,0k x ≠>）在第一象限内的图象经过点D 、E ，(1)点F 为对角线OB 上一点，满足2OF BF =，点()6,E m 在边BC 上，且1tan 2BOC ∠=，求反比例函数解析式；(2)在（1）的条件下，反比例函数上是否存在点Q ，满足:2:1OBC OBQ S S = ，若存在，求点Q 的横坐标；(3)我们把有一个内角为45︒的三角形称为“美好三角形”，这个45︒的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图2，若点B 的坐标为()2,1，则当ODE 为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中k 的值．∵四边形OABC 是矩形，∴90BCO FHO ∠=∠=︒，∴FH BC ∥，∴OHF OCB ∽，∴OF OH OB OC=，由（1）得：()4,2F ，∴直线OB 解析式为：12y x =，∵()6,B m ，∴()6,0C ，则点()3,0P ，同（1）理：直线OB 解析式为：y =∵()6,B m ，∴3m =，∴点()0,3A ，∴OEM △是等腰直角三角形，∴=OE EM ，∵90OEC EOC ∠+∠=︒，OEC ∠+∠∴EOC MEN ∠=∠，同理①可证：GHO OCE ≌，∴OH EC =，GH OC =，∴,22k G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线DE 的解析式为y sx t =+，k ⎧题型四反比例函数与菱形的综合问题【例1】（2024·河南信阳·一模）如图，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，且()2,0A ，(B ，点C 在反比例函数k y x =的图象上．(1)求反比例函数k y x =的表达式；(2)当菱形OABC 绕点O 逆时针旋转150︒时，判断点C 的对应点C '是否在k y x =的图象上；并直接写出CC '所在的直线解析式．在Rt OCM ∆中，1,OM CM ==∴2OC =，∴tan 3COM ∠=，∴60COM ∠=︒，∵菱形OABC 绕点O 逆时针旋转∴2OC OC '==，150AOA '∠=︒题目主要考查反比例函数与特殊四边形的性质，解三角形的应用，旋转的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.【例2】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为(6,，点C在反比例函数的图象上，以点O为圆心，OC长为半径画 AC．(1)求反比例函数的表达式；(2)阴影部分的面积为______．（用含π的式子表示）∵菱形OABC 的边OA 在∴23CD =，OC BC =在Rt CDO △中，由勾股定理，得：∴()(22236DO OD +=-1．（2024·河南开封·一模）如图，ABC 的顶点坐标分别为(A ，()1,0B ，(C ，反比例函数()0k y x x =>的图象经过点C ．(1)求k 的值．(2)点D 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，且BD AC ⊥于点E ，DE BE =，请说明四边形ABCD 是菱形．(3)是否存在除点D 外可与A ，B ，C 三点共同组成菱形的点P ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．∵点P 与A ，B ，C 三点共同组成菱形，点A 和点C 纵坐标相等，∴可设点(),0P x ，当菱形ABPC 以AB 为对角线，则12x =+，解得=1x -，当菱形ABCP 以CB 为对角线，则012x +=+，解得3x =，则()11,0P -，()23,0P ．2．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，扇形AOB 上的点()1,3A 在反比例函数k y x =的图象上，点()3,1B -在第四象限，菱形OCDE 的顶点D 在x 轴的负半轴上，顶点E 在反比例函数k y x =的图象上．(1)k 的值为；(2)求AOB ∠的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．AOF OBG ∠=∠，根据90BOG OBG ∠+∠=︒即可求解；（3）根据扇形面积的计算，几何图形面积与反比例函数系数的关系即可求解．【详解】（1）解：已知扇形AOB 上的点()1,3A 在反比例函数k y x=的图象上，∴13k =，则3k =，故答案为：3；（2）解：如图,分别过点,A B 作AF x ⊥轴于点F ，BG x ⊥轴于点G ，∵()(1,3)3,1A B -，，∴13OF BG AF OG ====，，∵OA OB =,∴()SSS OAF BOG ≌，∴AOF OBG ∠=∠，∵90BOG OBG ∠+∠=︒，∴90BOG AOF ∠+∠=︒，∴90AOB ∠=︒；（3）解：由（2）可知，13OF AF ==，，∴OA OB ===90AOB ∠=︒，∴22115442OAB S OA πππ=⨯=⨯=扇形，11522AOB S OA OB === △，由（1）可知反比例函数解析式为3y x=，∵点E 在反比例函数图象上，且OCDE 是菱形，如图所示，连接CE 交x 轴于点H ，∴1322OEH S k == ，∴23ODE OEH S S ==△△，∴阴影部分的面积为：5553222OAB ODE OAB S S S S ππ=-+=-+=- 阴影扇形，∴阴影部分的面积和为：522π-．3．（2023·河南新乡·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为反比例函数k y x =图象上一点，AB y ⊥轴于点B ，且8AOB S =△，点M 为反比例函数k y x=图象上第四象限内一动点，过点M 作MC x ⊥轴于点C ，取x 轴上一点D ，使得OD OC =，连接DM 交y 轴于点E ，点F 是点E 关于直线MC 的对称点．(1)求反比例函数的表达式；(2)试判断点F 是否在反比例函数k y x =的图象上，并说明四边形EMFC 的形状．题型五反比例函数与正方形形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点B 与原点重合，点A ，C 分别在y 轴正半轴和x 轴正半轴上，将正方形ABCD 沿x 轴正方向平移4个单位长度后得到正方形A B C D ''''，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为A B ''的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象恰好经过点E ．(1)求反比例函数的表达式．(2)若反比例函数()0k y x x =>的图象与正方形A B C D ''''的边C D ''交于点F ，连接D E '，EF ，求D EF ' 的面积．(3)连接C D '，判断点E 是否在线段C D '上，并说明理由．本题考查了正方形的性质，平移的性质，反比例函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数表达式及一次函数表达式．【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个22⨯的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x 轴、y 轴平行，每个小正方形的边长为1．点N 的坐标为(3,3)．（1）点M 的坐标为．（2）若双曲线:(0)k L y x x =>与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k 的值有个．∴符合题意的正数k 有6，2，∵经过点E 、F 时，6k =；经过点N 时，9k =，∴在这两个临界状态之间，还有两个符合题意的正数7,8k k ==，∴共有4个，故答案为：4．1．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A -，(0,2)B -，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．解：(1,0)A - ，(0,2)B -，E 为AD 中点，1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴-，24t t ∴=-，4t ∴=，4k ∴=；（2）则102x -+=，解得1x =，则122x -=，解得=1x -，此时2(1,4)P --，2(0,Q ②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥∴122x -=，解得=1x -，3(1,4)P ∴--，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(P （3）解：结论：MN HT的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=，三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.。

考前冲刺数学几何题型解题技巧总结数学几何作为高中数学的重要组成部分，在考试中占据着较大的比重。

考前冲刺阶段，学生们应该对数学几何的各种题型进行总结和复习，提高解题的技巧和效率。

本文将总结一些数学几何题型解题的有效方法，帮助考生在考试中取得更好的成绩。

一、平面几何题型解题技巧1. 直线与角度关系直线与角度的关系是数学几何中的基本概念，也是解题的重要出发点。

当遇到直线与角度相关的问题时，可以根据以下技巧进行解题：a) 垂直角与邻补角：垂直角的度数相等，邻补角的度数之和为90度。

利用这一性质，可以快速推导出一些新的等式，简化解题过程。

b) 同旁内角与对顶角：同旁内角的度数之和等于180度，对顶角的度数相等。

通过利用这些角度关系，可以迅速得出一些重要的定理，进一步解决问题。

2. 三角形的性质和关系三角形作为几何中最基本的图形之一，有着许多重要的性质和关系。

解决三角形相关问题时，可以运用以下技巧：a) 三角形的内角和：任意三角形的内角和为180度。

当已知部分角度或边长时，可以通过计算和已知条件的差值来求解未知角度或边长。

b) 三角形的等腰性质：等腰三角形的底边两边相等，顶角相等。

当遇到等腰三角形的问题时，可以利用这一性质快速得出结论。

c) 三角形的相似性质：两个三角形如果对应角度相等，则它们是相似三角形。

相似三角形有着一些特殊的比例关系，可以通过利用这些比例关系解决问题。

3. 圆的性质和关系圆是数学几何中的一个重要概念，解决与圆相关的问题时，可以运用以下技巧：a) 圆的周长和面积：圆的周长可以通过公式C=2πr来计算，其中r 为半径。

圆的面积可以通过公式S=πr^2来计算。

b) 切线和切点：切线与圆相切于切点，切线在切点处垂直于半径。

利用这一性质，可以解决一些与切线和切点有关的几何问题。

c) 弧长和扇形面积：弧长可以通过圆心角和半径计算，扇形面积可以通过圆心角和半径计算。

根据已知条件，可以通过这些公式求解问题。

2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《几何相似综合压轴》（二）1．如图在锐角△ABC中，BC＝6，高AD＝4，两动点M、N分别在AB、AC上滑动（不包含端点），且MN∥BC，以MN为边长向下作正方形MPQN，设MN＝x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y．（1）如图（1），当正方形MPQN的边P恰好落在BC边上时，求x的值；（2）如图（2），当PQ落△ABC外部时，求出y与x的函数关系式（写出x的取值范围）并求出x为何值时y最大，最大是多少？2．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE 于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．3．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是AB上一点，且AO＝2．（1）求点O到直线AC的距离OH的长；（2）若P是边AC上一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合），设AP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使△OPQ与△CPQ相似．4．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．5．在△ABC中，∠ABC＝90°，（1）如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM～△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，PM⊥PA交AC于点M，＝，求的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，AD：BC：AC＝2：3：5，求的长．6．已知△ABC，过△ABC的顶点B作直线MN∥AC，D为BC边上一点，连结AD，作∠ADE＝∠BAC交直线MN于点E，DE交AB于点F．（1）如图1，请找出图中与∠BED相等的角（直接写出，不必证明）；（2）如图2，当△ABC是等边三角形时，请探究出线段AD，DE之间的数量关系，并证明；（3）如图3，当AB＝AC＞BC时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（4）当AB＝kAC时，请直接写出此时AD，DE之间的数量关系．（用含k的式子表示）7．在△ABC中，∠ABC＝90°，如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，则△ABM～△BCN；（1）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tan C的值；（2）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．8．某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值．（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形对折，使得B、D重叠，折痕为EF，求EF的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．9．如图1，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）若AM＝2，AF＝3，求BG的长；（3）如图2，连接FG，在（2）条件下，若α＝45°，求△EFG的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；（3）在运动过程中，当t取何值时，△EPQ与△ADC相似．参考答案1．解：（1）当PQ恰好落在边BC上时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴＝，即＝，∴x＝．（2）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．设ME＝NF＝h，AD交MN于G（如图2）GD＝NF＝h，AG＝4﹣h．∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴＝，即＝，∴h＝﹣x+4．∴y＝MN•NF＝x（﹣x+4）＝﹣x2+4x（2.4＜x＜6），配方得：y＝﹣（x﹣3）2+6．∴当x＝3时，y有最大值，最大值是6．2．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠ACB，∴△BAD∽△DCE．（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∵△CDE∽△ABD，∴△ABD∽△CBA，∴＝，即＝，解得，BD＝，∵DE∥AB，∴＝，即＝，解得，AE＝；（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由如下：如图3，作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝8，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝6，∴tan B＝＝，∵∠ADE＝∠B，∴tan∠ADE＝＝，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴═＝，即＝，解得，AN＝，∴MH＝AN＝，∴CH＝CM﹣MH＝，∵FD＝FC，FH⊥CD，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝9．3．解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AHO＝90°，∴△AOH∽△ABC，∴，即，∴OH＝；（2）如图2，过点O作OD⊥AC，由（1）可得OD＝，∵∠BCA＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，∴，∴，∴AD＝，∴PD＝x﹣，∵PQ⊥OP，∴∠OPD+∠CPQ＝90°，又∵∠PQC+∠CPQ＝90°，∴∠OPD＝∠PQC，且∠ACB＝∠PDO＝90°，∴△POD∽△QPC，∴，∴∴y＝﹣x2+x﹣（＜x＜4）（3）如图3，当OQ∥AC时，△OPQ∽△CPQ，∵OQ∥AC，∴△QOB∽△CAB，∴，∴＝，∴CQ＝，∴＝﹣x2+x﹣，∴x＝，∴AP＝；如图4，作PE⊥OQ于点E，当PQ平分∠CQO时，△OPQ∽△CPQ，∵∠CQP＝∠PQE，PC⊥BC，PE⊥OQ，∴PC＝PE，∵∠POQ＝∠CPQ，∠DOP＝∠CPQ，∴∠POQ＝∠DOP，又∵PD⊥OD，PE⊥OE，∴PD＝PE，∴PC＝PD，即点P为CD的中点，由AP﹣AD＝AC﹣AP，∴2AP＝AC+AD＝4+，∴AP＝，综上所述：当△OPQ与△CPQ相似时，AP为．4．（1）解：如图1所示：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴＝＝，或＝＝2，∴CD＝10，或CD＝2.5②当∠CAD＝90°时，同理：AD＝2.5或AD＝10；（2）证明：∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝35°，∴∠A+∠ADB＝145°∵∠ADC＝145°，∴∠BDC+∠ADB＝145°，∴∠A＝∠BDC，∴△ABD∽△DBC，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）解：∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFH与△HFG相似，∵∠EFH＝∠HFG，∴△FEH∽△FHG，∴＝，∴FH2＝FE•FG，过点E作EQ⊥FG于Q，如图3所示：∴EQ＝FE•sin60°＝FE，∵FG×EQ＝2，∴FG×FE＝2，∴FG•FE＝8，∴FH2＝FE•FG＝8，∴FH＝2．5．（1）证明：∵AM⊥MN，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBN+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，又∠AMB＝∠BNC＝90°，∴△ABM～△BCN；（2）解：过点P作PD⊥AM于D．∴∠BAP+∠APB＝∠CPM+∠APB＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC，∵PM⊥PA，PD⊥AM，∴△PDM∽△APM，∵＝＝＝，设DM＝2a，则DP＝a，由勾股定理得，PM＝＝3a，∴CD＝DM+CM＝DM+PM＝5a，则＝，∵∠CDP＝∠CBA＝90°，∠C＝∠C，∴△CDP∽△CBA，∴＝＝；（3）解：过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴＝＝，∵BC：AC＝3：5，∴BC：AB＝3：4，由（1）可知，△ABG∽△BCH，∴＝＝＝，设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∵＝，∴＝，解得，n＝2m，AG＝4n＝8m，BH＝3n＝6m，由勾股定理得，BC＝＝3m，BE＝2BG＝8m，∴＝．6．解：（1）∠BAD＝∠BED，理由为：如图1，记DE与AB的交点为F，证明：∵MN∥AC，∴∠EBA＝∠BAC，∵∠BAC＝∠ADE，∴∠EBA＝∠ADE，又∵∠AFD＝∠EFB，∴△EBF∽△ADF，∴∠BED＝∠BAD；（2）AD＝DE，理由：如图2，在BA上取一点Q，使DB＝DQ，∴∠ABC＝∠DQB，∴∠BDQ＝180°﹣2∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∴∠BDQ＝∠BAC，∵∠ADE＝∠BAC，∴∠BDQ＝∠ADE，∴∠BDE＝∠QDA，在△BED和△QAD中，，∴△BED≌△QAD（AAS），∴AD＝DE；（3）（2）中的结论仍然成立，即：AD＝DE，理由：如图3，在BA上取一点Q，使DB＝DQ，∴∠ABC＝∠DQB，∴∠BDQ＝180°﹣2∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∴∠BDQ＝∠BAC，∵∠ADE＝∠BAC，∴∠BDQ＝∠ADE，∴∠BDE＝∠QDA，在△BED和△QAD中，，∴△BED≌△QAD（AAS），∴AD＝DE；（4）作∠BDQ＝∠ADE，交AB于点Q，如图4所示，∴∠BDQ﹣∠EDQ＝∠ADE﹣∠EDQ，即∠BDE＝∠ADQ，∵∠BED＝∠BAD，∴△BED∽△QAD，∴＝，∵∠ABC＝∠QBD，∠BDQ＝∠ADE＝∠BAC，∴△BDQ∽△BAC，∴＝＝k，∴＝k，即DE＝kAD．7．解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠AMB＝∠NBC，∴△ABM∽△BCN；（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC∵tan∠PAC＝＝＝＝，设MN＝2m，PN＝m，根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，∴tan C＝＝；（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴＝同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴＝＝＝，设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∴＝，∴n＝2m，∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC＝＝．8．解：（1）如图1，过点G作GM⊥CB于M，过点E作EN⊥CD于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，且GM⊥BC，EN⊥CD，∴四边形DCMG是矩形，四边形ABMG是矩形，四边形AEND是矩形，四边形BCNE是矩形，∴GM＝CD＝AB，EN＝AD＝BC，∵EF⊥GH，∠BCD＝90°，∴∠EFC+∠GHC＝180°，且∠DFE+∠EFC＝180°，∴∠EFN＝∠GHC，且∠ENF＝∠GMH＝90°，∴△EFN∽△GHM，∴；（2）如图2，连接BD交EF于点O，DE，BF，∵将矩形对折，使得B、D重叠，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DF＝DE，且BE＝DE，∴BE＝DF，且AB∥CD，∴四边形DFBE是平行四边形，且DF＝DE，∴四边形DFBE是菱形，∴BO＝DO，EO＝FO，BD⊥EF，∵DE2＝AE2+AD2，∴DE2＝9+（4﹣DE）2，∴DE＝，∵BD＝＝＝5，∴DO＝BO＝，∴OE＝＝＝，∴EF＝2OE＝；（3）如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8，∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，∴，∴AE＝2DF，DE＝2CF，∵DC2＝CF2+DF2，∴16＝CF2+（8﹣2CF）2，∴CF＝4（不合题意舍去），CF＝，∴BF＝BC+CF＝＝AE，由（1）可知：＝＝．9．证明：（1）∵∠AMD＝∠B+∠D，∠BGM＝∠DMG+∠D，又∠B＝∠A＝∠DME＝α，∴∠AMF＝∠BGM，∴△AMF∽△BGM；（2）解：∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2，∵△AMF∽△BGM，∴＝，∴BG＝＝＝；（3）如图2，过点M作MH⊥AE于H，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2AM＝4，∴AC＝BC＝4，且AF＝3，BG＝，∴CF＝1，CG＝，∵∠A＝45°，MH⊥AC，AM＝2，∴AH＝HM＝2，∴CH＝2，∵∠ACB＝∠AHM＝90°，∴HM∥CB，∴△ECG∽△EHM，∴，∴＝∴CE＝4，∴EF＝CE+CF＝5，∴S＝EF×CG＝×5×＝．△EFG10．（1）证明：若运动时间t＝秒，则BE＝2×＝（cm），DF＝（cm），∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝8（cm），AB＝DC＝6（cm），∠D＝∠BCD＝90°∵∠D＝∠FQC＝∠QCD＝90°，∴四边形CDFQ也是矩形，∴CQ＝DF，CD＝QF＝6（cm），∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝8﹣﹣＝6（cm），∴EQ＝QF＝6（cm），又∵FQ⊥BC，∴△EQF是等腰直角三角形；（2）解：由（1）知，CE＝8﹣2t，CQ＝t，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，在Rt△CPQ中，tan∠ACB＝＝＝，∴PQ＝t，∵△EPC的面积为3cm2，＝CE×PQ＝×（8﹣2t）×t＝3，∴S△EPC∴t＝2秒，即：t的值为2秒；（3）解：分两种情况：Ⅰ．如图1中，点E在Q的左侧．①∠PEQ＝∠CAD时，△EQP∽△ADC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∵△EQP∽△ADC，∴∠CAD＝∠QEP，∴∠ACB＝∠QEP，∴EQ＝CQ，∴CE＝2CQ，由（1）知，CQ＝t，CE＝8﹣2t，∴8﹣2t＝2t，∴t＝2秒；②∠PEQ＝∠ACD时，△EPQ∽△CAD，∴＝，∵FQ⊥BC，∴FQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝，即＝，解得：PQ＝t，∴＝，解得：t＝；Ⅱ．如图2中，点E在Q的右侧．∵0＜t＜4，∴点E不能与点C重合，∴只存在△EPQ∽△CAD可得＝，即＝，解得t＝，综上所述，t的值为2秒或秒或秒时，△EPQ与△ADC相似．。

证明（一）1、本套教材采用以下命题作为公义：（1）、两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行。

（2）、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

（3）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

（4）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

（5）、三边对应相等的两个三角形全等。

（6）、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

别的，等式的有关性质和不等式的有关性质都能够看做公义。

2、平行线的判断定理公义两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：同位角相等，两直线平行。

定理两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

定理两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：内错角相等，两直线平行。

3、平行线的性质定理公义两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

定理两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

定理两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。

4、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 。

5、三角形内角和定理的推论三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

证明（二）一、公义（ 1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（ 2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。

（ 3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。

（ 4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

AAS ”）。

推论：两角及此中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（ 1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边平等角）（ 2）等腰三角形顶角的均分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。

数学冲刺班中考试题及答案中考临近，许多学生都在寻找有效的复习方法和资料。

数学冲刺班就是其中一种帮助学生快速提高成绩的方式。

以下是一份数学冲刺班中考试题及答案，供同学们参考和练习。

一、选择题1. 下列哪个数是无理数？A. 2.5B. 3.14C. πD. √2答案：C2. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边夹角为90°，那么第三边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题1. 已知一个圆的半径为5，那么这个圆的面积是_________（答案：25π）。

2. 如果一个多项式f(x) = x^2 - 5x + 6，那么f(2)的值是_________（答案：0）。

三、解答题1. 解不等式：2x + 5 > 3x - 2。

首先，将不等式中的项进行整理，得到2x - 3x > -2 - 5，即-x > -7。

解得x < 7。

2. 已知一个直角三角形的两个直角边分别为6和8，求斜边的长度。

根据勾股定理，斜边的长度为√(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) =√100 = 10。

四、证明题1. 证明：对于任意一个直角三角形，其斜边的平方等于两个直角边的平方和。

设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。

根据勾股定理，我们有c^2 = a^2 + b^2。

这就是需要证明的结论。

五、应用题1. 一个农场主想要围成一个矩形的鸡舍，他有120米的围栏。

如果鸡舍的长是宽的两倍，那么鸡舍的长和宽各是多少？设鸡舍的宽为x米，那么长为2x米。

根据题意，我们有2(x + 2x) = 120，解得x = 15，所以宽为15米，长为30米。

结束语通过以上的数学冲刺班中考试题及答案，同学们可以检验自己的数学知识掌握情况，同时也能够对中考的题型有一个大致的了解。

希望同学们能够通过不断的练习，提高自己的数学解题能力，为中考做好充分的准备。

祝所有考生中考顺利，取得优异的成绩！。

北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．（2016•太原校级自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【思路点拨】（1）结论：FG=CE，FG∥CE．如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（2）结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（3）结论仍然成立．如图3中，设DE与FC的延长线交于点M，证明方法类似．【答案与解析】解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE．理由：如图1中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（2）结论仍然成立．理由：如图2中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（3）结论仍然成立．理由：如图3中，设DE与FC的延长线交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，∴∠CBF=∠DCE=90°在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．【总结升华】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，注意这类题目的解题规律，图形变了，条件不变，证明的方法思路完全一样，属于中考常考题型．举一反三：AM射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN 【变式】已知：如图（1），射线//上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合）， 在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+．（1）求证：ADE ∆∽BEC ∆；（2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示 BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．【答案】（1）证明：∵EC DE ⊥，∴︒=∠90DEC ．∴︒=∠+∠90BEC AED ． 又∵︒=∠=∠90B A ，∴︒=∠+∠90EDA AED ．∴EDA BEC ∠=∠．∴ADE ∆∽BEC ∆．（2）证明：如图，过点E 作EF BC //，交CD 于点F ，∵E 是AB 的中点，容易证明)(21BC AD EF +=． 在DEC Rt ∆中，∵ CF DF =，∴ CD EF 21=． ∴ )(21BC AD +CD 21=． ∴ CD BC AD =+．（3）解：AED ∆的周长DE AD AE ++=m a +=，m a BE -=．设x AD =，则x a DE -=．∵ ︒=∠90A ，∴ 222AD AE DE +=．即22222x m x ax a +=+-．∴ am a x 222-=． 由（1）知ADE ∆∽BEC ∆，∴ 的周长的周长BEC ∆∆ADE BE AD =m a a m a --=222am a 2+=． ∴ BEC ∆的周长⋅+=ma a 2ADE ∆的周长a 2=． ∴ BEC ∆的周长与m 值无关．2．在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.(3)D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【答案与解析】（1）结论：CF ⊥BD ；证明如下： AB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论仍成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ= ，∴44CP x x =-， 24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x ．过A 作AQ ⊥BC ，24x CP x ∴=+． 【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．3．（2015•河南模拟）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 坐在点B ′处．自主探究：（1）当=1时，如图1，延长AB ′，交CD 于点M ．①CF 的长为 ；②判断AM与FM的数量关系，并证明你的结论．（2）当点B′恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为，=．拓展运用：（3）当=2时，求sin∠DAB′的值．【思路点拨】（1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案；②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM；（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；（3）根据①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，②如图3，当点E在线段BC 的延长线上时，延长AD交B′E于点N，分别利用勾股定理求出即可．【答案与解析】解：（1）①当=1时，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴==1，∴FC=AB=6，②AM=FM，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴∠BAF=∠AFC，∵△ABE沿直线AE翻折得到△AB′E，∴∠BAF=∠MAF，∴∠MAF=∠AFC，∴AM=FM；（2）如图2，∵当点B′恰好落在对角线AC上时，∴∠1=∠2，∵AB∥FC，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AC=FC，∵AB=BC=6，∴AC=FC=6，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴===，（3）①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴==2，∵AB=6，∴CF=3，∴DF=CD+CF=9，由（1）知：AM=FM，∴AM=FM=9﹣DM，在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM′2=（9﹣DM）2﹣62，解得：DM=，则MA=，∴sin ∠DAB ′==， ②如图3，当点E 在线段BC 的延长线上时，延长AD 交B ′E 于点N ，由（1）知：AN=EN ，又BE=B ′E=12，∴NA=NE=12﹣B ′N ，在Rt △AB ′N 中，由勾股定理得：B ′N 2=（12﹣B ′N ）2﹣62，解得：B ′N=， AN=，∴sin ∠DAB ′==．故答案为：6；6，． 【总结升华】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键．类型二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，， 求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x 取对称轴的值时y 有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与解析】（1）证明：∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠∵M 是AD 中点∴AM MD =∵AD BC ∥∴60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠∴AMB DMC △≌△∴AB DC =∴梯形ABCD 是等腰梯形．（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠ ∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠ ∴BMP QPC =∠∠∴BMP CQP △∽△ ∴PC CQ BM BP= ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， ∴444x y x -=- ∴2144y x x =-+（3）解：PQC △为直角三角形， ∵()21234y x =-+ ∴当y 取最小值时，2x PC ==∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =︒∠，∴30CPQ =︒∠，∴90PQC =︒∠∴PQC △为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解.如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的.举一反三：【变式】已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是MN上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO 的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值.【答案】（1）是．证明：连接OB，如图①，∵BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB=OC，∵E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE=GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）解：如图②，5．在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转90°的条件.旋转90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了.(2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.【答案与解析】（1）①直线1FG 与直线CD 的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．∵线段1EC EP 、分别绕点E 逆时针旋转90°依次得到线段1EF EG 、，∴111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，．∵1190G EF PEF ∠=-∠°，1190PEC PEF ∠=-∠°， ∴11G EF PEC ∠=∠． ∴11G EF PEC △≌△． ∴11G FE PCE ∠=∠． ∵EC CD ⊥，∴190PCE ∠=°， ∴190G FE ∠=°．∴90EFH ∠=°．∴90FHC ∠=°． FDC BAE 图1 G 2 G 1P 1 H P 2∴1FG CD ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B ADC ∠=∠． ∵461tan 3AD AE B ===，，， ∴45tan tan 3DE EBC B =∠==，． 可得4CE =．由（1）可得四边形EFCH 为正方形．∴4CH CE ==． ①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯⨯=△． ∴212(4)2y x x x =->． ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C H 、两点重合）时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯=△．∴212(04)2y x x x =-+<<． ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG △不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2y x x x =->或212(04)2y x x x =-+<<． 【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 举一反三： 【变式】已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB =3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且∠PBD=∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 的长．【答案】（1）作PE ⊥OM ，PF ⊥ON ，垂足为E 、F∵四边形OEPF 中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB ，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB ，∴∠EPA=∠FPB ，由角平分线的性质，得PE=PF ，∴△EPA ≌△FPB ，即PA=PB ；。

2022年数学中考冲刺知识2022年数学中考冲刺知识(一)1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。

2.性质：(1)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

(2)角平分线上的点到角两边距离相等。

(3)线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

(4)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

(5)轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角)4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。

5.等腰三角形的判定：等角对等边。

6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，7.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。

8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2022年数学中考冲刺知识(三)反比例函数的定义定义：形如函数y=k/某(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，某是自变量，y是自变量某的函数，某的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的性质函数y=k/某称为反比例函数，其中k≠0，其中某是自变量。

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随某的增大而减小;当k0时，函数在某0上同为减函数;k<0时，函数在某0上同为增函数。

3.某的取值范围是：某≠0;y的取值范围是：y≠0.4……因为在y=k/某(k≠0)中，某不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与某轴相交，也不可能与y轴相交。

但随着某无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于某轴5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=某y=-某(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。