新人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 测试》课件_20

当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
当堂练习
1.下列说法中,正确的是（ C ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
内容
在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b为 直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
勾股定理 注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角 已知两边没有指来自是直角边 还是斜边时一定要分类讨论
THANKS！
新课导入
其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点， 世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上 人类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾 股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么 他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文 化的民族和国家都对勾股定理有所了解.
1×3×4＝6.
2
本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面
积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，
面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股
定理．
总结：
以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、 等边三角形，等腰直角三角形等，都具有相同的结论：S1+S2=S3 , 即两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,BC=8.求CD的长.

13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了

8. (2019·邵阳)公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》 时，创造了“赵爽弦图”. 如图，设勾 a＝6，弦 c＝10，则小正 方形 ABCD 的面积是___4_____.
9. 如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°，AE＝6， BE＝8，则阴影部分的面积是( C )
13. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m， BC＝15 m，CD＝7 m，求四边形 ABCD 的面积.
【点拨】将不规则四边形分割成特殊的三角形，再 利用特殊的三角形性质求面积．
解：如图，连接AC. 因为∠B＝∠D＝90°， 所以△ABC与△ACD都是直角三角形．
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， 得 AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，则 AC＝25 m. 在 Rt△ACD 中， 根据勾股定理，得 AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，则 AD＝24 m. 故 S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12AB·BC＋12AD·CD＝12×20×15＋12 ×24×7＝234(m2)．
解：(1)因为 DB⊥BC，BC＝4，CD＝5， 所以在 Rt△BCD 中，根据勾股定理得 DB＝3.
15. (中考·柳州)如图，在△ABC 中，D 为 AC 边的中点，且 DB ⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求 DB 的长； (2)在△ABC 中，求 BC 边上的高的长.
解：(2)如图，延长 BD 至 E，使 DE＝DB，连接 AE. 因为 D 是 AC 边的中点， 所以 AD＝CD.
【点拨】设直角三角形较短的一条直角边长为 x，由 S1＝S2 可得
2x2＝12m2，解得 x＝12m(负值舍去)．由勾股定理得12m2＋n＋12m

这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为

((BD(C))a)设2设 根a=∠据3Abk三，=21角Cb2=形k4,(∠内k3B，角k=c)1和=A235定kk,∠,理(C4，=k1得B5)K：2, 25k 2
c (5k ) 25k 2∠A+∠CB+∠C=B2180°, A 2
∴12k+1A3k+15KB=180°C, 180
a b c ∴2k=4.A5° 2 A 1820
C 如图,在△ADC中,AD=24,AC=25，DC=7
D 7
24 20
15
A 25 B AD2 BD2 72 202 449
（D）
AB2 252 625
D 7
20
AD2 BD2 AB2
A 25
B
∴根据勾股定理 的逆定理得： △ADC不是直角三角形。
∴（D）不正确。
6.如图,正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，
a b, c2 m
a2 a2 m
a2 m 2
(3)若c=61,a=60,则b= 11 。
如图,在Rt△ABC
a b c 中,∠BAC=90°,
2
2
2
根据勾股定理，得：
602 1(负值舍去)
12,如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点 C偏离欲到达地点B200m，结果他在水中实际游了520m，
∴根据勾股定理 的逆定理得： 这个三角形是直角三角形，且c是斜边。
10.已知一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向 航行，另一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向
航行，离开港口2小时后，则两船相距( D )
(A).25海里, (B).30海里, (C).35海里, (D).40海里.

(2)据勾股定理得
bA
b c2 a2 22 12 3.
巩固练习
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
解：由勾股定理得62+b2=102, b=8;
a
（2）已知a=5，b=12，求c；
解：由勾股定理得52+122=c2 , c=13;
（3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得a2+152=252 , a=20.
x=10;
x
13
（2）由勾股定理得： ∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 =169-25 =144 x=12.
连接中考
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，
那么正方形ABCD的面积为（ B ）
1.求出下列直角三角形中未知的边.
B
B
AC=8 6
C
10
8
15
A
C
A
AB=17
C B
2
C
30° A
B
45° A 2
BC 1，AC 3
BC 2，AC 2
课堂检测
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8， 则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0) 和B(0，4)，求这两点间的距离.
想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离
是（ C ）
A．3 1π
B．3
2
C．3
4 π2 2

巩固练习
1.如图，一个圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B点，请你算一算梯子最短需多少米？ （ 已知油罐 的底面周长是12米，高是5米）.
解：如图，将油罐侧面展开，
此时AB= 122 52 =13(m).
2.如图，已知在△ABC中，AB=17 ， AC=10 ， BC边上的高AD=8， 求：(1)BC边的长；(2)△ABC的面积.
A
思考：如何判定一个三角形是直角三角形呢？
1.有一个内角为直角的三角形是直角三角形.
2.两个内角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形.
A
勾股定理的逆定理
c
几何语言：∵a2+b2=c2， b
∴△ABC是直角三角形.
C
a
B
典型例题
S阴影=S△CAD-S△ABC
=
1 2
AC·AD-
1 2
AB·BC
=24
互逆命题
勾股定理
题设：一个三角形 是直角三角形.
勾股定理 的逆定理
题设：一个三角形 的三边长a，b，c
满足a2+b2=c2.
结论：两条直角边的平 方和等于斜边的平方.
(a2+b2=c2)
结论：这个三角形 是直角三角形.
若两个命题的题设、结论正好相反，则这两个命题叫 做互逆命题.
知识框图 勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角形的判定
复习回顾
回顾思考：
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系? 2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法? 3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三 角形? 你作判断的依据是什么? 4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法? 5.一个命题成立，它的逆命题未必成立. 请举例说明.

第十七章 勾股定理
数学活动
活动一
❖ 学校需要测量旗杆的高度,同学们发现系在旗 杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这 条绳子的长度未知.请你应用勾股定理提出一 个解决这个问题的方案，并与同伴交流.
活动二
❖ 用四张全等的直角三角形纸片拼含有正方形
的图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互
相重叠.
c a
D ac Ab
c
Ea
[来源:Z|xx|]
1
C ∵ S 梯形ABCD
= a+b 2 2
1 = ( a 2 +2ab+
2 b 又∵ S 梯形ABCD
b 2) ,
= S AED + S EBC + S CED
11 = ab+ ba+
11 c 2 = (2ab+
c2) ,
B2 2 2 2
比较上面二式得
c a
c a
b c a
b
b
b
证明1：
该图为2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会徽示 意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》.
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为
(ba)2
41ab 2
.
c a
c
a
bb
bb
Hale Waihona Puke aca c
∵ c2= (b a)2 4 1 ab 2
=b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2，
c2= a2+ b 2 .
几何拼图的又一方法
a2 b2
反思勾股定理的证明
对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？

A
bc
C
aB
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° A ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC²- BC²
= 5²-2²
C
=21
∴ AB= 21 （米） (舍去负值）
B
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
这是2002年国际数学家大会会标
cb a
赵爽弦图
∵1
2
ab×4+(b-a)²=c²
2ab+（b²-2ab+a²）=c²
∴a²+b²=c²
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和，等
于斜边的平方.
B
在Rt△ABC中，∠C=900 ，
边BC、AC、AB所对应的边 勾 a
分别为a、b、c则存在下列
弦
c
关系， a2+b2=c2
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多.年前
Cb
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

。2021年1月11日星期一2021/1/112021/1/112021/1/11
❖ 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021
❖ 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/112021/1/11January 11, 2021
c2= a2+ b 2 .
几何拼图的又一方法
a2 b2
反思勾股定理的证明
对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？
a2
a2 c2
b2
a2 + b2 = c2
活动 四
小结：
勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一 个特征．
人类对勾股定理的研究已有近3 000年的历史， 在西方，勾股定理又被称为“毕达哥拉斯定理” “百牛定理” “驴桥定理”等等 ．
❖ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
❖ 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021 5:56:44 PM ❖ 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/112021/1/112021/1/11Jan-2111-Jan-21 ❖ 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/112021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 ❖ 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021