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线性规划是运筹学的一个最基本的分支，它已成为线性规划是数学规划问题中的一种，以后我们还会看到所谓实际的线性规划问题一般都很复杂，为了便于第二章线性规划的图解法在管理中一些典型的线性规划应用第二章线性规划的图解法总结:以上这些实例共同特点§1 问题的提出1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产§1 问题的提出建模过程线性规划的例题:§1 问题的提出例1.目标函数：Max z = 50 x 1 + 100 x 2 约束条件：s.t.x 1 + x 2 ≤300 (A)2 x 1 + x 2 ≤400 (B)x 2 ≤250 (C)x 1 ≥0 (D)x 2 ≥0 (E)得到最优解：x 1 = 50，x 2 = 250最优目标值z = 27500§2 图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
下面通过例1详细讲解其方法：§2 图解法(1)分别取决策变量§2 图解法2）对每个不等式§2 图解法§2 图解法（4）目标函数z=50x+100x，当z取某一固定值时得到一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称之为§2 图解法线性规划的标准化内容之一：§2 图解法重要结论：进一步讨论例2进一步讨论解：目标函数：Min f = 2x+ 3 x约束条件：§3 图解法的灵敏度分析线性规划的标准化§3 图解法的灵敏度分析可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特§3 图解法的灵敏度分析极小化目标函数的问题：§3 图解法的灵敏度分析2、约束条件不是等式的问题§3 图解法的灵敏度分析当约束条件为§3 图解法的灵敏度分析线性模型的标准化§3 图解法的灵敏度分析例：将以下线性规划问题转化为标准形式§3 图解法的灵敏度分析通过以上变换，可以得到以下标准形式的线性规划问题：§3 图解法的灵敏度分析§3 图解法的灵敏度分析假设产品Ⅱ的利润§3 图解法的灵敏度分析3.2 约束条件中右边系数b§3 图解法的灵敏度分析假设原料b。
引 言朴素的运筹学思想可追溯到公元前400年至第二次世界大战前夕[]1.然而图解法是运筹学的形思维的启蒙,也是打开运筹学基本原理的一把钥匙,该方法简单、直观、具体.数学规划作为运筹学的重要分支,可想而知图解法在数学规划中的作用也是不可替代的.我们从几何图形上了解数学规划问题的一些基本概念、理论、及解的原理,并使我们能得心应手地解决数学规划问题.本文就图解法的基本理论和基本解题方法及其应用展开思考.一、 数学规划图解法理论说明（一）几个概念定义1 对数学规划问题：min1nj j j z c x ==∑..s t1ni jj i j ax b ==∑ ()1,2,...,i m =0j x ≥ ()1,2,...,j n =价值向量 12(,,...,)n C c c c =系数矩阵 1111n mn m aa A a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= 资源向量 12...n b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 决策向量 12...n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称{}/,D x Ax b o x ==≤为数学规划（LP ）的可行域.若x D ∈,则称x 为（LP ）的可行解.若*x D ∈且对任意x D ∈有*cx cx ≤,则称*x 为（LP ）的最优解,*cx 为最优值.定义2 对上述数学规划问题,设A 为约束方程组的m n ⨯阶系数矩阵,（设n m >）,秩为,m B 是矩阵A 中一个m m ⨯阶的满秩子矩阵,称B 是数学规划问题的一个基阵或简称基.不是一般性,设 ()111121,,...,m m m mn a a B A A A a a ⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭B 是每一 个列向量(1,2,...,)j A j m =称为基向量,与基向量j A 对应的变量i x 成为基变量. 数学规划中基变量以外的变量成为非基变量.在约束方程中,令所有非基变量12...0m m n x x x ++====,因为不是满秩矩阵,有Cramer 法则,可以从方程组Ax b =得到基变量的唯一解112(,,...,)T B m x x x x B b -==,称12(,,...,,0,...0)T m x x x x =为数学规划问题的基解.显然,基解的总数不超过m n C 个.当基解x 满足0x ≥时称为基可行解[]2.定义3 如果集合C 中任意两个点12,x x ,其连线上的所有点也都是集合C 中的点,称C 为凸集.在多维空间中,用数学解析式课表示为：对任何12,x C x C ∈∈有12(1)(01)x x C α-α∈≤α≤,则称C 为凸集.称为凸集C 的极点.（二）数学规划图解法的适用范围、解题步骤1、适应范围数学规划图解法主要是通过等值线在极点的值,平移到另一个极点的等值线的值进行比较,然后求出最优解.即先画出有约束条件决定的区域,然后作目标函数的平行直线（或平面）族（目标函数视为参数）,让直线族在区域上移动,移动至区域顶点停止或不能在顶点停止而决定最优解在顶点确定或最优解不存在.其主要适用于有两个变量的线性规划问题,一个二维的线性规划,可以在平面图上求解,三维的则要在立体图形上求解,维数再高的就不能图试了.但对于多个变量的来说,只要在标准型中有m 个独立方程, n 个未知数,且n -m =2.即仅有两个独立变量也可以用图解法解决问题.2、解题步骤数学规划问题图解法的基本步骤大体上可分为两步,第一是可行域的确定,即在坐标系下用图形表示约束条件不等式（也就是约束条件的解域）;第二是最优解的确定,即画目标函数图,由零等值线逐步得到最优解.但在处理实际问题时,得到解的结果会是怎样,我们可以从下图清楚地看到：例 求123,,x x x 满足 1231231312321142321,,0x x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-=-⎪⎪≥⎩123min 3Z x x x =-++解 化为标准型求12345,,,x x x x x 满足12341235131234521142321,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x -++≤⎧⎪-++-≥⎪⎨-=-⎪⎪≥⎩12345min 300Z x x x x x =-++++由上式中方程组增广矩阵的秩确定独立方程的个数1222101211000101131A --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 100274163142010114723⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 10021410310201011123⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭10021010310201411127⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭()()3R A R A ==说明标准型中有3个独立方程,5个未知数,有两个独立变量,可以取12,x x 为独立里变量.因此可以化为求12345,,,x x x x x满足123112520012041032010x x x x x x x x x ≥⎧⎪≥⎪⎪=+≥⎨⎪=-+≥⎪⎪=-+≥⎩ （1）12min Z x x =-+（1）式中每一个不等式在平面直角坐标系下表示半个平面,如图中无界区域,,,A B C D ．下面找使目标函数达到最小的方案:目标函数在图中一个相应直线族,且过原点的直线为z =1, 12x x =又在点()0,1B 处21z =>,()4,1C 处21z =-<,所以等值线z =1在解域ABCD 内向右下方平移Z 值渐小,到点C 为最小,即124,1x x ==代入（1）得3459,0,0x x x ===（三）数学规划图解法理论依据1、基本理论依据定理1 若线性规划问题存在可行域,则可行域一定是凸集.证 设E ''12(,)x x ,F ""12(,)x x 是可行域内任意的两点,连接E 、F ,如'"11x x ≠则EF 所在的直线方程是()"'''222211"'11(),0,1x x x x x x x x λ--=-∀∈-,对应线段,E F 上的任意一点G 的坐标为()()()'"'"11221,1x x x x λλλλ+-+-,不是一般性,设E ,F 两点的坐标满足约束条件12ax bx c +≤则''""1212,ax bx c ax bx c +≤+≤()()()()()()'"'"''""112212121111a x x b x x ax bx ax bx c c c λλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤∴+-++-=++-+≤+-=⎣⎦⎣⎦即点G 的坐标也满足约束条件12ax bx c +≤,同样也可以证明,点G 的坐标也满足其它约束条件,因点G 也是可行域的点.如'"11x x =则EF 上任意一点H ()()''"122,1x x x λλ+-,同样也可以证明点H 也是可行域的点.即线段EF 上的任意一点都属于可行域,∴可行域是凸集.定理2 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点. 定理3 若线性规划问题有可行解,则至少有一个可行解.证 设'x = ''1,(...,)Tn x x 是线行规划问题的任一可行解,则有'',0Ax b x =≤.不妨设'x 的非零分量为前k 个,即有'0,1,...,j x j k >=; '0,1,...,l x l k n ==+.R 如果约束矩阵A 的前k 个列向量1,...,K A A 线性无关,则可知'x 是基本可行解;否则存在着不全为零的数j λ,1,...,j k =,使得 10kl j j A λ==∑，令l λ=0,1,...,l k n =+,得到n 维向量()11,...,,...,Tk k n λλλλλ+=,有110knj j l lj l k A A A λλλ==+=+=∑∑，由于'0,1,...,jx j k >=,我们可取适当小的正数ε,使得'0j j x ελ≤±,1,...,,1,...,j k k n =+易知()''A x Ax A b ελελ±=±=.所以'x ελ+,'x ελ-均是问题的可行解.在满足不等式'0j j x ελ≤+ '0j j x ελ≤-,1,...,j k =的同时,可以选择0ε>,是上述诸式中至少有一个取等号.这样就得到一个可行解'x ελ+或'x ελ-,它的非零分量至少比'x 少一个.如果这个解还不是基本可行解,那么上述过程还可继续下去,由于当可行解只有一个非零分量时,该非零分量所对应的列向量一定是线性无关的,所以原线性规划问题必存在基本可行解.定理4[]3若线性规划问题有有限个最优值,则一定存在一个基本可行解是最优解.2、图解法与单纯性法等价的证明我们知道,线性规划的可行解集是一个凸多面体,若非空,在有界的情况下,它一定有最优解,单纯形法是仅涉及可行解集极点的方法 ,迭代法的极点,沿着凸多面体的一条棱走到相邻的一个极点,然后求得最优解或判断无最优解.图解法是通过等值线在极点的值,平移到另一个圾点的等值线的值进行比较,然后求出最优解,这两种方法的连续求解过程,其实是等价的,这样我们就搭起了这两种解法的桥梁,圆满地解释了这两种解法的共同本质.定义1若又连续映射,f g :X →S ;其中f 为单纯形法, g 为图解法; X 为原问题可行解集,S 为其标准型可行解集.定义2若,f g : X →S 连续,存在H ：X ×I →Y 连续,使得(),0H x =()f x ,(),1H x =()g x ,称f 同伦于g ,记为Hf g =定理[]4 单纯形法与图解法是同伦的.我们要想证明图解法与单纯性法等价关系,只要在上述定理的基础上证明在某个集合上,同伦就是等价关系,这样我们就可证得了.下面我们来证明图解法与单纯性法等价的：在集合XS 中,同伦Hf g =是个等价关系.证明（1）反身性 设f :X →S 是映射,则由(),H x t = ()f x , ,x X t I ∈∈,定义的同伦是从f 到f 得同伦.（2）对称性 若Hf g =：X →S ,则可定义同伦X ×I →S 为：H (),x t =(),1H x t -, ,x X t I ∈∈,则H 是从g 到f 的同伦.（3）传递性 若Hf g =,Hg h =,定义H ：X ×I →S 为：(,21),1/21(,)(,2),01/2G x t t H x t x X F x t t -≤≤=∈≤≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭如图所示：则H 连续,且(),0H x =()f x ,(),1H x =()h x ,x X ∈,故得Hf h =.证毕单纯形法与图解法的传递性,对称性,使我们可将单纯形的理论用图解法直观地表述出来,图解法过极点的等值线对应单纯形法过极点的一条棱,其平移过程对应迭代过程.必然得到图解法的最优解对应单纯形法的最优解.（四）数学规划图解问题解决方法对可行域(可行解集)的确定和对目标函数等值线平移方向的确定方法不一,掌握不当易出差错.下就介绍几种常见的方法：1、判定可行域的方法 ①直接判定法对于0ax by c ++≥ 或0ax by c ++≤ 所表示的区域的情况有如下结论, 详见表1与表 2.必须注意不等式中的符号 “≤” 、 “≥” 或 “<” 、 “>” , 它们的唯一的区别就是前者表示的区域包括边界, 后者表示的区域不包括边界.②点判定法二元一次不等式0ax by c ++≥ 或0ax by c ++≤ 表示在直角坐标系中直线0ax by c ++=某一侧的平面区域的所有点(),x y .那么,任取区域中一点, 若该点的坐标满足约束条件0ax by c ++≥或0ax by c ++≤,则该约束条件表示的区域就是以直线0ax by c ++=分隔且包含该点的一侧半平面,否则就表示另一侧半平面.为了方便,一般来说都是取原点来判定0ax by c ++≥或0ax by c ++≤所表示在直线0ax by c ++=某一侧的平面区域的.当0c =时,因原点已在直线0ax by c ++= 上,故不能通过原点来判定.例1根据表1、表 2 我们可以直接判定：约束条件260x y +-≤表示直线260x y +-=下方区域;约束条件320x y --≤表示直线320x y --=上方区域; 约束条件230x -≥表示直线230x -=右方320x --=左方区域，如图.例2 判定不等式260x y +-<解 先画直线260x y +-= （画虚线） 取原点()0,0 ,代入26x y +-,∴260x y +-<∴原点在不等式260x y +-<表示的平面区域内, 不等式260x y +-< 表示的平面区域如图阴影部分.2、确定最优点的方法 ①顶点比较法由于简单线性规划的可行域的边界类似于多边形的边界或部分边界,我们类似于多边形那样给可行域边界予边或顶点等概念.顶点比较法就是先求出可行域边界的所有顶点,再分别计算目标函数在各个顶点的值进行比较确定最优解的方法.②斜率比较法由于目标函数z Ax By C =+-(,A B 不同时为0) 可变形为A C z y xB B B =--+(不妨设B ≠0),故将z 视作常数时,表示斜率为AB-(称为目标斜率) 的直线.斜率比较法是指当直线A x +B y =0平移后难以判定最优解为,A B 等顶点时,将与,A B 等顶点相连的可行域的边的斜率求出来,并从小到大排列,观察目标斜率AB-于哪两个斜率之间,求出和这两个斜率表示的边都相连的顶点确定最优解.例 正数x ,y 满足 4.8310304520x y x y x y +<⎧⎪+<⎨⎪+<⎩求目标函数z =10x +12y 的最大值.解 作出如图的可行域,作直线10x +12y并平移后可知只有当直线z =10x +12y 的右上边界时才可能取最大值;斜率由小到大排列为-1<-4/5<-3/10,率为-5/6位于区间(-1,-4/5)之间, 故直线x +y =4.8与4x +5y =20的交点, 即B (4,0.8)为最优解,此时z 的值为③目标参与法目标参与法是指在目标函数z Ax By =+入约束条件, 再作出关于z ,y 型或z ,x 型可行域,确定的最值点后求出对应的关于x ,y 的最优解.例 要将两种大小不同的钢板截成,,A B C 3种规格的小钢板, 每张钢板可同问各截这两种钢板多少张可得到所需三种规格成品, 且使所用钢板面积最小.解 设分别截第一种,第二种钢板各为x ,y 张, 所用钢板面积为z ,则z =x +2y ,且x ,y 为非负整数,同时满足12215327x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩由z =x +2y 得x =z -2y 代入约束条件得: 1223152720z y z y z y z y y -≥⎧⎪-≥⎪⎪+≥⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩作出关于z ,y 型可行域如图, 故在点M 处z (即纵坐标)取最小值,由z -y =12 和z +y =27联立方程组得z =19.5,y =7.5 即点M 不是最优整数解,此时z =19.5, 将直线z =19.5平移,在可行域内发现 当z =20时,7≤y ≤8;所以当x =6,y =7或x =4,y =8时取得最小值z =20, 这样当第一种钢板、第二种钢板分别截取6 张、7 张或4 张、8 张时,可得所需3 3、确定等值线增减方向的方法命题 设直线z =ax by + (z b a ,,是常数),矢量r ai bj =+是使z 增大的平移方向.证明 设平面数量场u =u (,a b )在点M （,a b ）处的梯度为：u u gradu i j ai bj a b∂∂=-+=+∂∂ 由梯度定义,gradu 的方向是点M 出u 值变化最大方向,而gradu >0, u 值的变化时增加的.ai bj +是常矢量,与点M 无关,所以ai bj +是场中任意处u 值增大最快的方向.为使用方便,根据适量的平移性,记矢量r OM ai bj ==+,再令u (,a b )=z ,得z =ax by +,是场中等值线.所以r =ax by +是等值线z =ax by +的z 增大最快的平移方向,也就是z 增大的平移方向.注1：r 的方向取决于等值线z =ax by +的常数,a b ,容易有图决定.注2：该定理除了确定等值线z =ax by +的增大减小方向,另外一个应用就是可以确定ax by +<(>)c 表示的平面区域.因为直线: z =ax by +把平面分为两部分,一部分是ax by +>c 的区域,另一部分是ax by +<c 的区域,而矢量r =ax by +的方向是ax by +增大的方向,反之,r 的负向是ax by +减小的方向,由r 的方向就可定出区域.方法是作直线ax by +=c 定出点0(,)M a b 引矢量0OM ,以直线ax by +=c 为界,0OM 方向就是ax by +>c 表示的区域.OM 的负向是ax by +<c 的区域.例 12min s x x =-+12121212122222510,0x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪⎪≥≥⎩解 如图0102由应用一方法确定目标函数等值线:12s x x =-+:减小的平移方向r i j =-+的反向,即r -方向.03由图知等直线平移在B 点达最小值故问题最优解为14x =,21x = 最优值min 3s =-注:对三变量的线性规划问题,其约束条件及目标函数式的图形与等值面有关,也可用上述方法进行图解,但空间图形不易画也不直观,求解不易、意义不大.二、数学规划图解法几种模型数学规划的一般模型具备以下三个要素 ： 1、决策变量决策问题待定的量值称为决策变量； 决策变量的取值要求非负.2、约束条件 任何问题都是限定在一定的条件下求解,把各种限制条件表示为一组等式或不等式,称之为约束条件； 约束条件是决策方案可行的保障； LP 的约束条件,都是决策变量的线性函数.3、目标函数 衡量决策方案优劣的准则,如时间最省、利润最大、成本最低；目标函数是决策变量的线性函数； 有的目标要实现极大,有的则要求极小.D E r-r(一) 两个变量线性规划图解法模型1、基本步骤（1）可行域的确定满足所有约束条件的解的集合,称之为可行域.即所有约束条件共同围城的区域.例 m a x Z = 1235x x +121212821234360,0x x x x x x ≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩五边形OABCD 内(含边界)的任意一点 (12,x x ) 都是满足所有约束条件的一个解,称之可行解（2）最优解的确定目标函数Z =1235x x + 代表以Z 为参数的一族平行线.等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同.x 1x 2x 1x 2最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解.2、几点说明由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定义是：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合).可行域有有限个顶点.设规划问题有n 个变量,m 个约束,则顶点的个数不多于m n C 个[]5.目标函数最优值一定在可行域的边界达到,而不可能在其内部. 3、解的可能性唯一最优解：只有一个最优点.多重最优解：无穷多个最优解.若在两个顶点同时得到最优解,则它们连线上的每一点都是最优解.例 12max 34Z x x =+121212821234360,0x x x x x x ≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩无界解：线性规划问题的可行域无界,使目标函数无限增大而无界.（缺乏必要的约束条件）（二）多个变量线性规划图解法模型图解法在一般情况下只适用于二维的线性规划问题求解,有一定的局限性.但利用对偶线性规划及其最优解互补松弛条件来解决含有两个约束的多个变量的线性规划的求解问题,突破图解法只能用于二维线性规划求解的框框.对于多变量的线性规划问题,利用图解法求解思路是：应用线性规划的对偶规划原理,先用图解法解含有两个约束的多变量线性规=361划的对偶线性规划 — — — 含有两个变量多个约束的线性规划问题.再根据图中哪个约束条件起作用 ,哪个不起作用 ,由对偶线性规划的最优解互补松弛条件确定对偶规划中不起作用的约束所对应的原规划中的相应变量为零. 这样就将原线性规划变成了含有两个变量的线性规划问题.从而可以再用一次图解法确定最优解及目标函数的最优值[]6．例 用图解法解含有五个变量的线性规划1 2 345Min Z = 8y + 4y + 8y + y + 5y1 2 351 24512345y + y + 4y + y 2s . t . 2y + 3y + y + y 4y , y , y , y , y 0 .≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩解 进行对偶变换12max F = 2 + 4x x1212121212 + 28+ 3448s . t . 1 + 5 , 0 .x x x x x x x x x x ≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≤⎪≥⎪⎩用图解法,如图所示,直线F =122 + 4x x =0沿梯度方向平移时,F =122 + 4x x 在 (2,2/3)点时取得最大值.max *F =20/3, 最优解*1x =2,*2x =2/3.因为(2,2/3)是直线148x =和12 + 34x x =的交点,也就是说在上面个约束中只有12 + 34x x ≤和21x ≤这两个约束起作用,而第一,第四和第五个约束12 + 28x x ≤,21x ≤和12 + 5x x ≤不起作用,所以.0,0,0541===y y y 于是原问题可简化为2 3Min Z = 4y + 8y 2 3223 y + 4y 2s . t . 3y 4y 0 , y 0≥⎧⎪≥⎨⎪≥≥⎩用图解法,见右图 直线 2 34y + 8y =0 沿 梯度方向平移,在点 (4/3,1/6) ,Z = 2 4y 取得最小值*Z =20/3,最优解*2 y =4/3,*2 y =1/6 .于是原问题的最优解为*y =( 0,4/3,1/6,0,0) ,最优值为*Z =2 1320/3 .验证 *Z = 2 3 4y + 8y =20/3=*F .图解法成功.对于多变量的线性规划问题的图解法除了应上述对偶方法外,三个决策变量的还可以在立体图形中画出可行域,进而应图解法解决线性规划问题.其图解问题一般要在三维空间中讨论,在问题中一个约束条件决定了一个平面及其切出的半个空间 ,这n 个半空间的交就是线性规划问题的可行域.可行域一般是一个凸多面体.设有三个决策变量的线性规划问题11223m a x Z C x C x C x=++ 11112213312112222332112233123.....,,0n n n n a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x ++≤⎧⎪++≤⎪⎪⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩ 特殊情况下,可行域无界则可能导致线性规划问题无最优解,或n 个半空间的交为空集 ,则线性规划问题无解.另一种特殊情况是约束条件中有一等式,这时问题可转化为二维问题.事实上,不妨设第i 个约束条件为等式 ,则123i i i i a a a b ++=,其中1i a ,2i a ,3i a 不全为零,不妨设3i a 0≠,则3112231()i i i i x b a x a x a =--把该式代入目标函数和约束条件中的其余不等式中去,则问题变为一个只有两个决策变量12,x x 的线性规划问题.全部约束条件都是不等式的时候,在平面112233C x C x C x C ++=上,目标函数 的值恒等于常数C ,故称这样的平面为等值平面.线性规划问题在空间的可行域与等值平面的交便是使目标函数的值C 的可行解.平移该等值平面,使常数项C 的值逐渐变大并且保持与可行域的交不空,则C 值达到最大的那个等值平面与可行域的交便是线性规划问题的最优解 ,这时等值平面的C 值便是目标函数的最大值,最优解还可以从另一个角度去理解,作一个特殊的等值平面1122330C x C x C x ++=,该平面过原点,而最优解可以理解为在可行域上到等值平面距离最远的点.例123123123123231111333147.3333,,0MaxZ x x x x x x s t x x x x x x =++⎧++≥⎪⎪⎪++≤⎨⎪≥⎪⎪⎩解 首先建立空间直角坐标系,如下图. 再在坐标系中画出可行域则如图可行域为凸五面体OABCDE ,粗虚线所围平面为目标函数等值面,平移目标函数等值面得最优点为B 点.B 点对应着该线性规划的最优解*x =(1,2,0)T 即1x =1 2x =2 3x =0 此时有Max Z=8对于三个决策变量的线性规划问题还可以用画迹线的方法解决,这里就不做介绍了.从上面用图解法求解例子过程中明显感觉到对具有三个决策变量的线性规划进行图解就麻烦得多了.因此,尽管图解法具有简单、直观的优点,但它的使用是有局限性的,对仅含有两个至多不超过三个决策变量的线性规划才适于使用图解法,大多数情况下仅对含有两个决策变量的线性规划才使用图解法求[]6.（三）非线性规划图解法模型非线性规划的理论是在线性规划的基础上发展起来的.1951年,库恩（H.W.Kuhn ）和塔克（A.W.Tucker ）等人提出了非线性规划的最优性条件,为它的发展奠定了基础.[]7以后随着电子计算机的普遍使用,非线性规划的理论和方法有了很大的发展,其应用的领域也越来越广泛,特别是在军事,经济,管理,生产过程自动化,工程设计和产品优化设计等方面都有着重要的应用.一般来说,解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多,而且也不像线性规划那样有统一的数学模型及如单纯形法这一通用解法.非线性规划的各种算法大都有自己特定的适用范围.都有一定的局限性,如线性规划的最优解存在,其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）;而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到.到目前为止还没有适合于各种非线性规划问题的一般算法.这正是需要人们进一步研究的课题. 一般非线性规划的数学模型可表示为：()123min f x x x x ;..s t ()0i g X ≥ ()1,2,,i m =, ()0j h X =,()1,2,,j l =式中()12,,,Tn n X x x x R =∈是n 维向量,,i f g ()1,2,,i m =,j h ()1,2,,j l =都是1n R R →的映射（即自变量是n 维向量,因变量是实数的函数关系）,且其中至少存在一个非线性映射.与线性规划类似,把满足约束条件的解称为可行解.若记()(){}0,1,2,,,0,1,2,,i j X g X i m h X j l χ=≥===则称χ为可行域.因此上述模型可简记为()min f X ..s t X χ∈当只有两个自变量时,非线性规划也可象线性规划那样,具有鲜明的几何解释,并且可象征地把这种解释推广到多维中去. 对非线性规划问题2212min((2)(1))x x -+-2122121250..50,0x x x s t x x x x ⎧+-=⎪+-≥⎨⎪>⎩首先画出目标函数*22()(32)(21)f x =-+-的等值线然后画出等式约束212250x x x +-=的图形 它是一条抛物线最后画出不等式约束所代表的区域（带斜线区域）．由图看出,可行解集是抛物线212250x x x +-=上的曲线段ABCD ,即抛物线被限制在带斜线区域中的部分.不难分析,当动点从A 出发沿抛物线ABCD 移动时,在AB 段目标函数值下降;过了B 点,在BC 段上升,过了C 点,在CD 段下降.D 点是可行解集上使目标函数值获得最小值的点,因此是最优点,其坐标不难由下面方程组得出： 1221225050x x x x x +-=⎧⎨+-=⎩ 最后的()*4,1T x =,()*4f x =.三、数学规划图解法的应用线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,线性规划实质上是“ 数形结合 ” 思想的一种体现,即将最值问题直观、 简便地寻找出来,是一种较为简捷的求最值的方法 — — —图解法.[]8（一）数学规划图解法的理论应用用二元一次不等式表示平面区域,是简单的线性规划问题的基础.下面就介绍几种利用线性规划图解法来解决数学问题的方法：1、在方程中的应用例 1 已知实系数一元二次方程()2110x a x a b +++++=的两个实根为1x ,2x ,并且1202,2x x <<>,求斜率的取值范围.解 已知1202,2x x <<>,由一元二次方程根的分布图知, ()()0000f f >⎧⎪⎨<⎪⎩即10370a b a b ++>⎧⎨++<⎩ 由所求的1b a -结构式联想到是求斜率011b b k a a -==--的取值范围,即可看成是由点(),a b 与点()1,0 所确定的直线的斜率的取值范围.可用线性规划的方法来解决.如图,点(),a b 在右图的阴影部分内.直线370a b ++=与直线10a b ++=的交点()3,2A -与点()1,0所定直线的斜率为12k =-;当过点()1,0的直线与370a b ++=平行时,点(),a b 不在阴影部分,而此时3k =-,故13,2k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ .注意:式组,再将其转换成线性规划问题. 2、求斜率范围的应用例 2 已知A (1,2) ,B (4,-2),若过点P (0,3)的直线与线段AB 相交,求其斜率的取值范围.分析: ①常规方法:数形结合,先特殊后一般,最后定范围. ②新方法:学习线性规划后,知在平面内,一直线将平面划分为三部分:0Ax Bx C ++>,0Ax Bx C ++<, 0Ax Bx C ++=,故直线 与l 线段AB 要相交,注定点A 、点B 在直线l 的两侧或在直线l 上,即满足不等式1122()()0Ax Bx C Ax Bx C ++++≤,解之得直线l 的斜率的取值范围.解 设过P (0,3) 的直线方程l 为3y kx =+,若l 与线段AB 相交,则满足()()24230k k ---+≤⎡⎤⎣⎦ 解之得 415k -≤≤- 3、在概率中的应用例 3 甲乙两人因工作需要每天都要上网查找资料.已知他们每天上网的时间都不超过2h, 则在某一天内, 则甲上网的时间不足乙上网时间的一半的概率.解 设甲上网时间为x ,乙上网的时间为y由题意知: 020212x y x y ⎧⎪≤≤⎪≤≤⎨⎪⎪<⎩满足线性条件的(),x y 落在图中 的阴影区域内.故甲上网的时间 不足乙上网时间的一半的概率为12112S 224S p ⨯⨯===⨯影原（二）数学规划图解法的实际应用解线性规划应用问题的基本步骤(1)转化 — — —设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(2)求解 — — —解这个纯数学的线性规划问题.线性规划在解决实际问题中的应用,常通过二元一次不等式表示的平面区域来确定实际问题的解,应用极为广泛.1、商品规划问题例1下岗职工要开一个卖T 恤和运动鞋的小商店,由于资金和店面有限,在他经营时受到如下条件限制 ( 1)他最多能进50T 恤 ( 2)他最多能进30动鞋( 3)他至少需要进T 恤和运动鞋共40能维持经营( 4)已知进货价为T 恤每件36运动鞋每双48,现在他有2400.假设每件T 恤的利润是18,每双运动鞋的利润是20,问如何进货可使他取得最大利润?解 设需进T 恤x 件,运动鞋y 双,1820z x y =+4036482400050030x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩由图知,l 过点M ,故解方程组5034200x x y =⎧⎨+=⎩⎝⎭但M 点坐标不是整数解,故不能作最优解.这时,在可行区域内,点M 近旁取到点(50,12)和点(49,13) ,经比较z 值知,点(49,13)为最优解 .max Z =18⨯49+20⨯13=1142答:需进T 恤49件,运动鞋13 双,最大利润为1142 元 .2、合理下料问题例2 工人师傅要将甲、 乙两种长度不同的条钢截成,,A B C 三种规格,每种条钢可同时截得三种规格的小条钢的条数如下表:现需要,,A B C 三种规模成品分别为16、20、24 条,问各截这两种条钢多少条可得所需三种规格成品,且使所用条钢条数最少?解 设需截甲种条钢x 条,乙种条钢y 条,所使用的条数为z ,则z x y =+32162320424,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩ 由图知,l 过点M ,故解方程组2320424x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得 ()5.2,3.2M 因为点M 不是整数解,故需调整, 因为z x y =+=5.2+3.2=8.4. 令z x y =+=9 ,则y =9-x 代入 条件组得:5≤x ≤7.因为x N ∈, 所以54x y =⎧⎨=⎩63x y =⎧⎨=⎩ 72x y =⎧⎨=⎩们都是最优解 .答:要截得所需三种规格的条钢,且使所截两种条钢的条数最少的方法有三种:第一种截法是甲种条钢5条、乙种条钢4条;第二种截法是甲6条、乙3条;第三种截法是甲7条、乙2条.结 论本文前两章介绍了与数学规划图解法有关的概念和理论,为理解论文各种模型部分做好了必要的铺垫．第三章着重介绍了四种图解法的模型,着重线性规划的模型突出图解法不仅适应两个变量的线性规划问题,第四章给出了数学规划的应用,体现了数形结合在数学和实际中的应用.。
