【红对勾】人教A版高中数学必修4课时作业18向量数乘运算及其几何意义 Word版含答案[ 高考]

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义，会作向量m a＋n b.2．熟练掌握和运用向量数乘的运算律，会化简向量关系式，并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线．1．向量的数乘①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数；但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是错误的．②对任意非零向量a，则向量a|a|是与向量a同向的单位向量．③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．【做一做1】已知非零向量a，b满足a＝4b，则()A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝________；(2)(λ＋μ)a＝________；(3)λ(a＋b)＝________(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝______＝______，λ(a－b)＝______.在△ABC中，D是BC的中点，则有AD→＝12(AB→＋AC→)．【做一做2】3(2a－4b)等于()A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．6a－12b 3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______．(1)向量共线的条件：当向量a＝0时，a与任一向量b共线；当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．反之，已知向量b与a(a≠0)共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍，即|b|＝λ|a|，那么当b 与a 同方向时b ＝λa ，当b 与a 反方向时b ＝－λa .(2)如果向量a 与b 不共线，且λa ＝μb ，那么λ＝μ＝0.已知三点A ，B ，C 共线，O 是平面内任意一点，则有OC →＝λOA →＋mOB →，其中λ＋m ＝1. 【做一做3】 已知P 是线段MN 的中点，则有( ) A.MN →＝2NP → B.MP →＝12MN →C.PN →＝12NM → D.MP →＝NP →4．向量的线性运算向量的____、____、______运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝________.向量λ(μ1a ＋μ2b )可以用平行四边形法则作出，如图所示，OE →＝λ(μ1a ＋μ2b )．【做一做4】 在ABCD 中，AB →＝2a ，AD →＝3b ，则AC →等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2a ＋3b D ．2a －3b答案：1．向量 相同 0 相反【做一做1】 C ∵a ＝4b,4＞0，∴|a |＝4|b |. ∵4b 与b 的方向相同，∴a 与b 的方向相同．2．(1)(λμ)a (2)λa ＋μa (3)λa ＋λb －(λa ) λ(－a ) λa －λb 【做一做2】 D 原式＝3×2a －3×4b ＝6a －12b . 3．b ＝λa【做一做3】 B 如图所示，MN →＝－2NP →，PN →＝12MN →，MP →＝PN →，则选项A ，C ，D 不正确，很明显MP →＝12MN →，则选项B 正确．4．加 减 数乘 λμ1a ±λμ2b【做一做4】 C AC →＝AB →＋AD →＝2a ＋3b .共线向量定理的应用剖析：共线向量定理可以分为两个定理：判定定理：如果存在一个实数λ满足b ＝λa (λ∈R )，那么a ∥b . 性质定理：如果a ∥b ，a ≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .(1)判定定理的结论是a ∥b ，那么用共线向量定理可以证明两向量共线．即证明向量a ∥b ，只需找到满足a ＝λb 或b ＝λa 的实数λ的值即可．(2)判定定理的结论是a ∥b ，则有当OA →＝a ，OB →＝b 时，有O ，A ，B 三点共线，即用共线向量定理可以证明三点共线．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．(3)判定定理的结论是a ∥b ，当a 和b 所在的直线分别是直线m 和n 时，则有直线m ，n 平行或重合．即用共线向量定理可以证明两直线平行．例如：如图，已知△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，并且AD=xAB ，AE=xAC ，0＜x ＜1.求证：DE ∥BC ，且DE=xBC. 证明：∵AD=xAB ，AE=xAC ， ∴AD →=x AB →，AE →=x AC →. ∴DE →=AE →－AD →=x(AC →－AB →)=x BC →. ∴DE ∥BC 且DE=xBC.(4)性质定理的结论是b =λa ，则有|b |=|λ|·|a |，当OA →=a ，OB →=b 时，|OB →|=|λ|·|OA →|，从而OB=|λ|OA.即用共线向量定理可以证明两平行线段间的长度关系．例如：平行四边形OACB 中，BD=13BC ，OD 与BA 相交于E.求证：BE=14BA.证明：如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′=14BA.设OA →=a ，OB →=b ，则BD →=13a ，OD →=b +13a .∵BE →=OE ′→－b ，=a －OE ′→,3BE ′→=，∴3(OE ′→－b )=a －OE ′→.∴OE ′→=14(a +3b )=34(b +13a )，∴OE ′→=34OD →.∴O ，E ′，D 三点共线，即E ，E ′重合．∴BE=14BA.由此可见，证明两平行线段的长度关系可转化为证明这两条线段构成的向量共线．题型一 化简向量关系式【例1】 计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . 分析：综合运用实数与向量的运算律解题．反思：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．题型二 用已知向量表示未知向量【例2】 已知ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点．若AM →＝e 1，AN →＝e 2，试用e 1，e 2表示DB →，AO →.分析：由于DB →∥MN →，则用e 1与e 2表示MN →可得DB →；在△AMN 中，AO 是MN 边上的中线，则可用AM →，AN →表示AO →.反思：用已知向量表示未知向量时，通常要结合图形的特点，把未知向量放到三角形或平行四边形中，适当选择向量的加法、减法和数乘运算来求解．有时，可借助于共线向量来解决(如本题求DB →)．题型三 已知向量a ，b ，求作向量m a ＋n b【例3】 已知向量a ，b ，如图所示，求作向量2a －3b .分析：分别作出有相同起点的向量2a 与3b ，利用三角形法则作出向量2a －3b . 反思：已知a ，b ，求作向量m a ＋n b 时，先作出向量m a 与n b ，借助三角形法则或平行四边形法则作出m a ＋n b .题型四 共线问题【例4】 已知向量a ，b 不共线，OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b . (1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．分析：(1)由于AC →与AB →有公共点，则转化为证明AC →∥AB →，根据共线向量定理，只需找到满足AC →＝λAB →的实数λ即可；(2)由于k a ＋b 与a ＋k b 共线，根据共线向量定理，存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，借助于等式两边a 与b 的系数，列方程组解得k 的值．反思：(1)证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所表示的向量共线，如本题(1)．(2)已知向量m a ＋n b 与k a ＋p b (a 与b 不共线)共线求参数的值的步骤： ①设m a ＋n b ＝λ(k a ＋p b )；②整理得m a ＋n b ＝λk a ＋λp b ，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λk ，n ＝λp ；③解方程组得参数的值．如本题(2)．答案：【例1】 解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c . 【例2】 解：∵M ，N 分别是DC 和BC 的中点， ∴MN12BD . ∵MN →＝e 2－e 1，∴DB →＝2MN →＝2e 2－2e 1. 又AO 是△AMN 的中线， ∴AO →＝12(AN →＋AM →)＝12e 2＋12e 1.【例3】 解：步骤如下；(1)作向量OA →＝2a ，OB →＝3b .如图所示．(2)连接BA ，则BA →就是所求作的向量．【例4】 解：(1)证明：∵OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b ， ∴AC →＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， AB →＝OB →－OA →＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ，∴AC →＝2AB →，∴AC →∥AB →.又AC 与AB 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)∵(k a ＋b )∥(a ＋k b )，∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋kλb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝kλ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，∴k ＝±1.1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．aC ．a －6bD ．a －8b2．已知向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 3．已知两个非零向量e 1和e 2不共线，且k e 1＋2e 2和3e 1＋k e 2共线，则实数k ＝__________.4．已知向量a ，b 如图所示，求作向量12a ＋2b . 5．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE ，BF 的交点，若AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示DE ，BF ，CG .答案：1．D 原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b . 2．A AD ＝AC ＋CD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b ＝3AB ， ∴A ，B ，D 三点共线．3． ∵k e 1＋2e 2和3e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使得k e 1＋2e 2＝λ(3e 1＋k e 2)．∴k e 1＋2e 2＝3λe 1＋kλe 2，∴3,2,k k λλ=⎧⎨=⎩解得k ＝±6.4．解：步骤如下： (1)作向量OA ＝12a ，OB ＝2b ，如图所示．(2)以OA ，OB 为邻边作OACB ，则向量OC 就是所求作的向量． 5．解：DE ＝DC ＋CE ＝AB ＋12CB ＝AB －12AD ＝a －12b ； BF ＝BC ＋CF ＝AD ＋12CD ＝AD －12AB ＝12-a ＋b .如图所示，连接BD ，则G 是△BCD 的重心，连接AC 交BD 于点O ，则O 是BD 的中点，点G 在AC 上． ∴CG ＝23CO ＝2132CA ⨯＝13AC -＝1()3AB AD -+＝1()3-+a b ．。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义问题导学一、向量数乘的基本运算活动与探究1计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a ．迁移与应用化简：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )；(2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]．向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．二、向量的共线问题活动与探究2已知向量e 1和e 2不共线．(1)若AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1＋8e 2，CD ＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．迁移与应用1．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2．若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．2．如图，已知AD ＝3AB ，DE ＝3BC ，试判断AC 与AE 是否共线．共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据，即对于非零向量a ，b ，a ∥b 是否成立，关键是能否确定唯一的实数λ，使b ＝λa ．而对于三点共线问题可转化为两个向量共线问题，再依据定理进行解决：要证A ，B ，C 三点共线，只需证AB ＝λAC (λ∈R )或AB ＝λBC (λ∈R )；要证AB ∥CD ，只需证AB ＝λCD (λ∈R )．三、向量的线性运算活动与探究3如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使DB =13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA =a ，OB =b ，用a ，b 表示向量OC ，DC ．迁移与应用在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF 等于( )A ．14a ＋12bB ．23a ＋13b C ．12a ＋14b D ．13a ＋23b用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解．当堂检测1．下列计算正确的有( )①(－7)×6a ＝－42a ；②a －2b ＋(2a ＋2b )＝3a ；③a ＋b －(a ＋b )＝0．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知λ，μ∈R ，则下面关系正确的是( )A ．λa 与a 同向B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μ aD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |3．已知向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D4．已知e 是任一向量，a ＝－2e ，b ＝5e ，用a 表示b ，其结果是__________．5．点C 在直线AB 上，且AC ＝3AB ，则BC ＝__________AB ．答案：课前预习导学【预习导引】1．向量 向量的数乘 λa (1)|λ||a | (2)相同 相反 0预习交流1 提示：1．从代数角度来看，(1)λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量；(2)λa ＝0的条件是a ＝0或λ＝0．2．从几何的角度来看，对于向量的长度而言，(1)当|λ|＞1时，有|λa |＞|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|λ|倍；(2)当0＜|λ|＜1时，有|λa |＜|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|λ|倍．2．(1)(λμ)a (2)λa ＋μa (3)λa ＋λb3．唯一一个 b ＝λa预习交流2 提示：定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa ．4．(1)加、减、数乘运算 (2)λμ1a ±λμ2b课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：可综合运用向量数乘的运算律求解．解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a ；(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0； (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c ．迁移与应用 解：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ；(2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b ． 活动与探究2 思路分析：对于(1)，欲证明A ，B ，D 三点共线，只需证明存在λ，使BD ＝λAB 即可．对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．解：(1)∵AB ＝e 1＋e 2，BD ＝BC ＋CD ＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB ， ∴AB ，BD 共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2．由于e 1与e 2不共线，只能有0,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩则k ＝±1． 迁移与应用 1．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴2,1,k λλ=⎧⎨=-⎩∴k ＝－2． 2．解：∵AE ＝AD ＋DE ＝3AB ＋3BC＝3(AB ＋BC )＝3AC ，∴AC 与AE 共线．活动与探究3 思路分析：解题的关键是建立OC ，DC 与a ，b 的联系，为此需要利用向量加、减、数乘运算．解：∵AC ＝BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA ＝12(OB ＋OC )，∴OC ＝2OA －OB ＝2a －b ． ∴DC ＝OC －OD ＝OC －23OB ＝2a －b －23b ＝2a －53b ． 迁移与应用 B解析：易知△DFE ∽△BAE ，又∵E 是OD 中点，∴DF ＝13DC ，AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13DC ＝(AO ＋OD )＋13(OC －OD ) ＝12AC ＋12BD ＋131122AC BD ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝23AC ＋13BD ＝23a ＋13b ． 【当堂检测】1．C 解析：a ＋b －(a ＋b )＝0，故③错误，①②正确． 2．C 解析：当a ≠0，λ＜0时，λa 与a 反向，且λ|a |＜0，则A ，D 错误．又∵0·a 的结果为0，则B 错误．由运算律知C 正确．3．A 解析：∵BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋4b ＝2AB ，且有一个公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．b ＝－52a 解析：由a ＝－2e ，得e ＝－12a ，代入b ＝5e ，可得b ＝－52a ． 5．2 解析：BC ＝AC －AB ＝3AB －AB ＝2AB ．。

第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课后篇巩固探究基础巩固1.下列说法正确的个数为( )①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0. A.1B.2C.3D.4,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B.2.13[12(2a +8b )-(4a -2b )]等于( )A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b=16(2a+8b)-13(4a-2b)=13a+43b-43a+23b=-a+2b=2b-a.3.在△ABC 中,D 是线段BC 的中点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EA⃗⃗⃗⃗⃗AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ .4.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+5b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2a+8b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),则 ( )A.A,C,D 三点共线B.B,C,D 三点共线C.A,B,C 三点共线D.A,B,D 三点共线BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B, 所以A,B,D 三点共线.5.已知向量a 与b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+mb,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =na+b(m,n ∈R),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的条件是( ) A.m+n=0 B.m-n=0 C.mn+1=0D.mn-1=0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+mb,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =na+b(m,n ∈R)共线,得a+mb=λ(na+b)=λna+λb,∵向量a 与b 不共线,∴{1=λn ,m =λ,即mn-1=0,故选D.6.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-7e,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 的形状是 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-57CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,又知|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 是等腰梯形.7.在四边形ABCD 中,AB ∥CD,AB=3DC,E 为BC 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .128.在△ABC 中,点M 为边AB 的中点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ==12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴存在实数λ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x=y=λ2,∴yx=1.9.如图,已知D,E 分别为△ABC 的边AB,AC 的中点,延长CD 到M 使DM=CD,延长BE 至N 使BE=EN,求证:M,A,N 三点共线.D 为MC 的中点,且D 为AB 的中点,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理可证明AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AN ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A. ∴M,A,N 三点共线.10.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求(13a -b)−(a -23b)+(2b-a);(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.原式=13a-b-a+23b+2b-a=(13-1-1)a+(-1+23+2)b=-53a+53b.∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=(-5+103)i+(-103-53)j=-53i-5j.(2)将3x-y=b 两边同乘2,得6x-2y=2b. 与5x+2y=a 相加,得11x=a+2b, ∴x=111a+211b.∴y=3x-b=3(111a +211b)-b=311a-511b.能力提升1.如图,AB 是☉O 的直径,点C,D 是半圆弧AB 的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+bAODC 为菱形,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b.2.已知点P 是△ABC 内的一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),则△ABC 的面积与△PBC 的面积之比为( ) A.2B.3C.32D.6BC 的中点为D,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图,过点A 作AE ⊥BC,交BC 于点E,过点P 作PF ⊥BC,交BC 于点F,则|PF ||AE |=|PD ||AD |=13.∴S △ABC S △PBC=12|BC |·|AE |12|BC |·|PF |=3.3.已知OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以23OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是23OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,故λ=13.4.在平行四边形ABCD 中,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗ ,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .,有AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ )=λ(AD⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即{λ3+μ=1,λ+μ2=1,解得{λ=35,μ=45,故λ+μ=75.5.在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M,且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求t 的值.CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴3CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴2AP⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即P 为AB 的一个三等分点(靠近点A),如图所示.∵A,M,Q 三点共线,∴设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2CB⃗⃗⃗⃗⃗ +(x-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x 2-1)AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x2-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴{x 2=t3,x2-1=-t ,解得t=34.6.已知△OBC 中,点A 是线段BC 的中点,点D 是线段OB 的一个三等分点(靠近点B),设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b. (1)用向量a 与b 表示向量OC⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,判断C,D,E 是否共线,并说明理由.∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,点A 是BC 的中点,∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a. ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a-b. (2)假设存在实数λ,使CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b+35(-b)=a+25b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BO⃗⃗⃗⃗⃗=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2a+13(-a+b)=53a+13b,∴a+25b=λ(53a +13b), ∴{53λ=1,13λ=25,此方程组无解, ∴不存在实数λ,满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴C,D,E 三点不共线.。

第18课时向量加法运算及其几何意义一、选择题1．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则( )A.PA→＋PB→＝0B.PC→＋PA→＝0C.PB→＋PC→＝0D.PA→＋PB→＋PC→＝0答案：B解析：因为BC→＋BA→＝2BP→，所以点P为线段AC的中点，则PC→＋PA→＝0.2．在四边形ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，则( )A．四边形ABCD一定是矩形B．四边形ABCD一定是菱形C．四边形ABCD一定是正方形D．四边形ABCD一定是平行四边形答案：D解析：由向量加法的平行四边形法则可知，四边形ABCD必为平行四边形．3．如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝( )A．0 B.BE→C.AD→D.CF→答案：D解析：BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝BF→＋CB→＝CF→，所以选D.4．在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，则AC→＋BA→等于( )A．a B．bC．0 D．a＋b答案：B5．已知平行四边形ABCD，设AB→＋CD→＋BC→＋DA→＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正确的是( ) A．①③B．②③C．②④D．①②答案：A解析：∵在平行四边形ABCD中，AB→＋CD→＝0，BC→＋DA→＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．6．若向量a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，( )A．a∥b且a与b方向相同B．a，b是共线向量，且方向相反C．a＋b＝0D．无论什么关系都可以答案：A解析：因为|a＋b|＝|a|＋|b|，所以由向量加法的三角形法则知，a∥b且a与b方向相同．二、填空题7．已知|OA→|＝3，|OB→|＝3，∠AOB＝90°，则|OA→＋OB→|＝________.答案：3 2解析：∵|OA→|＝|OB→|，且∠AOB＝90°，∴|OA→＋OB→|是以OA→，OB→为两邻边的正方形的对角线长，∴|OA→＋OB→|＝3 2.8．若a＝“向东走8公里”，b＝“向北走8公里”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．答案：8 2 北偏东45°(或东北方向)解析：由题意知，|a|＝|b|＝8，且a⊥b，所以|a＋b|是以a，b为邻边的正方形的对角线长，所以|a＋b|＝82，a＋b与b的夹角为45°，所以a＋b的方向是北偏东45°.9．若G为△ABC的重心，则GA→＋GB→＋GC→＝________.答案：0解析：延长AG至E交BC于D使得AG＝GE，则由重心性质知D为GE中点，又为BC中点，故四边形BGCE为平行四边形．∴GE→＝GB→＋GC→.又GA→＝－GE→，∴GA→＋GB→＋GC→＝0.三、解答题10.已知图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12N，求F1和F2的合力．解：如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝OC→.在△OCA中，|F1|＝24，|AC→|＝12，∠OAC＝60°，∴∠OCA＝90°.∴|OC→|＝12 3.∴F 1与F 2的合力为123N ，与F 2成90°角竖直向上．11. 如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明：AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.因为PB →和QC →大小相等、方向相反，所以PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.12．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.CB →B.AB →C.AC →D.AM →答案：C解析：(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BO →)＋OM →＋MB →＋BC →＝AO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AM →＋MB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.故选C.13．一条渔船距对岸4 km ，以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km ，求河水的流速．解：设AB →表示垂直于对岸的速度，BC →表示水流速度，则AC →为实际速度．航行时间为4 km ÷2 km/h ＝2 h.在△ABC 中，|AB →|＝2，|AC →|＝4，|BC →|＝2 3，因此河水的速度为2 3 km/h.。

课时跟踪训练(十八)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 向量的线性运算1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b[解析] 原式＝13[](a ＋4b )－4a ＋2b ＝13(－3a ＋6b ) ＝－a ＋2b [答案] B2．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝( ) A ．5e B ．－5e C ．23eD ．－23e[解析] ∵2a －3b ＋c ＝2·5e －3·(－3e )＋4e ＝10e ＋9e ＋4e ＝23e . ∴选C. [答案] C3．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝__________. [解析] 原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫615a －1015a ＋415a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2615b －615b －2015b ＝0＋0＝0 [答案] 0题组二 用已知向量表示未知向量4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b[解析] 如下图，∵E 是OD 的中点，∴OE →＝14BD →＝14b .又∵△ABE ∽△FDE ，∴AE EF ＝BE DE ＝31. ∴AE →＝3EF →，∴AE →＝34AF →.在△AOE 中，AE →＝AO →＋OE →＝12a ＋14b ，∴AF →＝43AE →＝23a ＋13b .故选B. [答案] B5．已知AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，则DE →＝__________BC →. [解析] DE →＝DA →＋AE →＝－AD →＋AE →＝－23AB →＋23AC →＝23(AC →－AB →)＝23BC →.[答案] 236．若AP →＝t AB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝__________(用OA →，OB →表示)．[解析] ∵AP →＝tAB →，∴OP →－OA →＝t (OB →－OA →) ∴OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. [答案] (1－t )OA →＋tOB →题组三 共线向量定理的应用7．已知e 1，e 2是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有( )①a ＝5e 1，b ＝7e 1；②a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2； ③a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－3e 2. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③[解析] ①中a 与b 显然共线；②中，因为b ＝3e 1－2e 2＝6⎝⎛⎭⎪⎫12e 1－13e 2＝6a ，故a 与b 共线；③中，设b ＝3e 1－3e 2＝k (e 1＋e 2)，无解，故a 与b 不共线．故选A.[答案] A8．已知实数x ，y ，向量a ，b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝__________，y ＝__________.[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.[答案] 12 129．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是__________．[解析] ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． [答案] A ，B ，D综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →[解析] AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A. [答案] A2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.13 B .23 C.12 D .34[解析] ∵A ，B ，D 三点共线，∴13＋λ＝1，λ＝23. [答案] B3．设a ，b 不共线，AB →＝a ＋k b ，AC →＝m a ＋b (k ，m ∈R )，则A ，B ，C 三点共线时有( )A ．k ＝mB ．km －1＝0C ．km ＋1＝0D ．k ＋m ＝0[解析] 若A ，B ，C 三点共线，则AB →与AC →共线，∴存在唯一实数λ，使AB →＝λAC →，即a ＋k b ＝λ(m a ＋b )，即a ＋k b ＝λm a ＋λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λm ＝1，λ＝k ， ∴km ＝1，即km －1＝0. [答案] B 二、填空题4．设点O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－3OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为__________．[解析] 如下图，以OA →，OC →为邻边作平行四边形OAEC ，则OE 与AC 交于AC 的中点D ，OA →＋OC →＝OE →＝2OD →，∴2OD →＝－3OB →，∴|OB →||OD →|＝23，显然S △AOB S △AOD ＝23，易知S △AOD ＝12S △AOC ，∴S △AOB S △AOC ＝13. [答案] 1∶35．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝__________.[解析] ∵AD →＝AC →＋CD →，BD →＝2DC →， ∴CD →＝13CB →＝13(－AC →＋AB →)， ∴AD →＝AC →－13AC →＋13AB → ＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . [答案] 23b ＋13c 三、解答题 6.如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，CD DA ＝AEEB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b .试用向量a ，b 表示DE →.[解] 因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →)＝13(－a －b )， AD →＝23AC →＝－23b ，所以DE →＝AE →－AD →＝13(－a －b )－⎝⎛⎭⎪⎫－23b＝13(b －a )．7．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论．[解] b 与a ＋c 共线．证明如下： ∵a ＋b 与c 共线，∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①∵b＋c与a共线，∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.②由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.故a＋c与b共线．由Ruize收集整理。

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课时提升作业(十八)向量数乘运算及其几何意义(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.若||=2||且=λ，则λ=( )A.2B.-2C.2或-2D.无法确定【解析】选C.当点C在线段AB上时，如图，则=2，即λ=2.当点C在线段AB的延长线上时，与的方向相反，故λ=-2.2.四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，其中向量a，b不共线，则四边形ABCD为( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形【解析】选A.因为=++=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2，故AD∥BC且|AD|=2|BC|，故四边形ABCD为梯形.3.(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，=3，则( )A.=-+B.=-C.=+D.=-【解析】选A.由题知=+=+=+(-)=-+.【补偿训练】已知O，A，B是平面上不共线的三点，若点C满足=，则向量=( )A.-B.+C.(-)D.(+)【解题指南】由于O，A，B是平面上不共线的三点，若点C满足=，可得C是AB的中点.【解析】选D.由已知=+，又=，所以=+=+-，故2=+，=.二、填空题(每小题4分，共8分)4.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量=______(填正确的序号).①-+；②--；③-；④+.【解析】=-=-.答案：①5.(2015·烟台高一检测)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=+λ，则λ的值为________.【解析】由=2得-=2(-)，即=+，所以λ=.答案：【一题多解】本题还可以采用以下方法因为=+=+=+(-)=+，所以λ=.答案：【补偿训练】在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD和BC的中点，且=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=________.【解析】=+，=+，故=-+，=-，故=+=+AF，故λ+μ=.答案：三、解答题6.(10分)(2015·萍乡高一检测)如图，平行四边形ABCD中，=b，=a，M 为AB中点，点N在BD上，且=，求证：M，N，C三点共线.【证明】在△ABD中，=-，因为=a，=b，所以=b-a.因为N点是BD的三等分点，所以==(b-a).因为=b，所以=-=(b-a)-b=-a-b.①因为M为AB中点，所以=a，所以=-=-(+)=-a-b.②由①②可得：=.由共线向量定理知：∥，又因为与有公共点C，所以C，M，N三点共线.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知向量a，b不共线，c=k a+b(k∈R)，d=a-b，如果c∥d，那么( )A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】选D，因为c∥d，所以存在实数λ，使c=λd，所以k a+b=λ(a-b)，所以所以k=λ=-1，所以k=λ=-1且c与d反向.2.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O.E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=a，=b，则=( )A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解题指南】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，作FG 平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果.【解析】选D.由题意可得△DEF与△BEA相似，所以==，再由AB=CD 可得=，所以=.作FG平行BD交AC于点G.所以==，所以===b，因为=+=+=+==a，所以=+=a+b.二、填空题(每小题5分，共10分)3.若其中a，c，b为已知量，则未知量y=________.【解析】由得2y-a-c-b+y+b=0，即y-a-c+b=0，所以y=a-b+c.答案：a-b+c4.已知在△ABC中，点M满足++=0，若存在实数m使得+=m成立，则m=________.【解析】由点M满足++=0，知点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点.则==××(+)=(+)，所以m=3.答案：3三、解答题5.(10分)(2015·宿州高一检测)已知非零向量e1，e2不共线，(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线.(2)欲使k e1+e2和e1+k e2共线，试确定实数k的值.【解题指南】对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使=λ即可；对于(2)，若k e1+e2与e1+k e2共线，则一定存在λ，使k e1+e2=λ(e1+k e2). 【解析】(1)因为=e1+e2，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5.所以与共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线.(2)因为k e1+e2与e1+k e2共线，所以存在λ，使k e1+e2=λ(e1+k e2)，则(k-λ)e1=(λk-1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k=±1.【补偿训练】设两个非零向量e1，e2不共线，已知=2e1+k e2，=e1+3e2，=2e1-e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？【解析】设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，因为=-=(e1+3e2)-(2e1-e2) =-e1+4e2，=2e1+k e2，又因为A，B，D三点共线，所以=λ，所以2e1+k e2=λ(-e1+4e2)，所以，所以k=-8，所以存在k=-8，使得A，B，D三点共线.关闭Word文档返回原板块。

备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a 、b 为任意向量,λ、μ为任意实数,则有(1)λ(μa )=(λμ)a ; ①(2)(λ+μ)a =λa +μa ; ②(3)λ(a +b )=λa +λb . ③证明：(1)如果λ=0或μ=0或a =0,则①式显然成立.如果λ≠0,μ≠0,且a ≠0,则根据向量数乘的定义,有|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a |,|(λμ)a |=|λμ||a |=|λ||μ||a |.所以|λ(μa )|=|(λμ)a |.如果λ、μ同号,则①式两边向量的方向都与a 同向;如果λ、μ异号,则①式两边向量的方向都与a 反向.因此,向量λ(μa )与(λμ)a 有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等.(2)如果λ=0或μ=0或a =0,则②显然成立.如果λ≠0,μ≠0且a ≠0,可分如下两种情况:当λ、μ同号时,则λa 和μa 同向,所以|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |,|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |,即有|(λ+μ)a |=|λa +μa |.由λ、μ同号,知②式两边向量的方向或都与a 同向,或都与a 反向,即②式两边向量的方向相同.综上所述,②式成立.如果λ、μ异号,当λ>μ时,②式两边向量的方向都与λa 的方向相同;当λ<μ时,②式两边向量的方向都与μa 的方向相同.还可证|(λ+μ)a |=|λa +μa |.因此②式也成立.(3)当a =0,b =0中至少有一个成立,或λ=0,λ=1时,③式显然成立.图13当a ≠0,b ≠0且λ≠0,λ≠1时,可分如下两种情况:当λ>0且λ≠1时如图13,在平面内任取一点O 作=a ,=b ,1OA =λa ,11B A =λb ,则OB =a +b ,1OB =λa +λb .由作法知∥11B A ,有∠OAB=∠OA 1B 1,|11B A |=λ||.所以|||1OA ||1111B A 所以△AOB ∽△A 1OB 1.所以||||1OB OB =λ,∠AOB=∠A 1OB 1.图14因此O 、B 、B 1在同一条直线上,|1OB |=|λ|,1OB 与λ的方向也相同.所以λ(a +b )=λa +λb .当λ<0时,由图14可类似证明λ(a +b )=λa +λb .所以③式也成立.二、备用习题1.31[21(2a +8b )-(4a -2b )]等于（ ） A.2a -b B.2b -a C.b -a D.a -b2.设两非零向量e 1、e 2不共线,且k e 1+e 2与e 1+k e 2共线,则k 的值为（ ）A.1B.-1C.±1D.03.若向量方2x-3(x-2a)=0,则向量x 等于（ ）A.56a B.-6a C.6a D.56- a 4.在△ABC =51,EF ∥BC,EF 交AC 于F,设=a ,=b ,则用a 、b 表示的形式是=_________.5.在△ABC,M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点,O 是△ABC 平面上的任意一点,若++=31e 1-21e 2,则OM ++=________.6.已知△ABC 的重心为G,O 为坐标原点,=a ,=b ,=c ,求证:=31(a +b +c ). 7.对判断向量a =-2e 与b =2e 是否共线?有如下解法:解:∵a =-2e ,b =-2e ,∴b =-a .∴a 与b 共线.请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误,请给出正确解法.参考答案:1.B2.C3.C4.-a +51b 5. 31e 1-21e 2. 6.连接AG 并延长,设AG 交BC 于M.∵=b -a ,=c -a ,=c -b , ∴AM =AB +21=(b -a )+21(c -b )=21(c +b -2a ). ∴=32=31(c +b -2a ). ∴=+=a +31(c +b -2a )=31(a +b +c ). 7.评析:乍看上述解答,真是简单明快.然而,仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题,这是因为,原题已知中,对向量e 并无任何限制,那么就应允许e =0,而当e =0时,显然,a =0,b =0,此时,a 不符合定理中的条件,且使b =λa 成立的λ值也不唯一(如λ=-1,λ=1,λ=2等均可使b =λa 成立),故不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对e =0的情况应另法判断才妥.综上分析,此题应解答如下:解:(1)当e =0时,则a =-2e =0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以此时a 与b 共线.(2)当e ≠0时,则a =-2e ≠0,b =2e ≠0,∴b =-a 〔这时满足定理中的a ≠0,及有且只有一个实数λ(λ=-1),使得b =λa 成立〕.∴a 与b 共线.综合(1)(2),可知a 与b 共线.(设计者：沈献宏)。

2020年高中数学 人教A 版 必修4 同步作业本《向量数乘运算及其几何意义》一、选择题1.下列说法正确的是( )A ．平行于同一向量的两个向量是共线向量B ．单位向量都相等C ．a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a =λbD ．与非零向量a 相等的向量有无数个2.已知e 1，e 2是平面内不共线的两个向量，a =2e 1－3e 2，b =λe 1＋6e 2，若a ，b 共线，则λ等于( )A ．－9B ．－4C ．4D ．93.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2＋＋=0，则( )OA → OB → OC → A.=2 B.= C.=3 D ．2=AO → OD → AO → OD → AO → OD → AO → OD →4.在四边形ABCD 中，若=3a ，=－5a ，且||=||，则四边形ABCD 是( )AB → CD → AD → BC → A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形5.已知向量a 与b 不共线，且=λa ＋b (λ∈R )，=a ＋μb (μ∈R )，则点A ，B ，C 三点共线AB → AC → 应满足( )A ．λ＋μ=2B ．λ－μ=1C ．λμ=－1D ．λμ=16.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，=x ＋y ，且=2，则( )OP → OA → OB → BP → PA →A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y=2313132314343414二、填空题7.若向量a =3i －4j ，b =5i ＋4j ，则(a －b )－3(a ＋b )＋(2b －a )=________.13238.若|a |=5，b 与a 的方向相反，且|b |=7，则a =________b .9.设a ，b 是两个不共线的非零向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k=________.10.点C 在线段AB 上，且=，则=________.AC CB 12AC → AB → 11.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD=2DC ，若=m ＋n (m ，n ∈R )，AC → AB → AD → 则m －n=________.三、解答题12.已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果=2e 1＋3e 2，=6e 1＋23e 2，=4e 1－8e 2，求证：AB → BC → CD → A ，B ，D 三点共线．13.已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且=λ＋(1－λ)(λ∈R ，λ≠1，λ≠0)．OM → OB → OA → (1)求证：A ，B ，M 三点共线．(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的范围．14.已知非零向量e 1，e 2，a ，b 满足a =2e 1－e 2，b =k e 1＋e 2.(1)若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线？若存在，求出k 的值，否则说明理由．15.在△ABC 中，点D 和E 分别在BC ，AC 上，且=，=，AD 与BE 交于R ，证明：=BD → 13BC → CE → 13CA → RD → 17.AD →答案解析1.答案为：D.解析：若两个向量都与零向量平行，它们可能不共线，所以选项A 不正确；单位向量只是长度相等，方向不确定，故选项B 不正确；“a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a =λb ”需在b ≠0的前提下才成立，故选项C 不正确；平移非零向量a ，所得向量都与a 相等，故与非零向量a 相等的向量有无数个．故选D.2.答案为：B.解析：由a ，b 共线知a =m b ，m ∈R ，于是2e 1－3e 2=m(λe 1＋6e 2)，即(2－mλ)e 1=(6m ＋3)e 2.由于e 1，e 2不共线，所以Error!∴λ=－4.故选B.3.答案为：B.解析：∵D 为BC 的中点，∴＋=2，∴2＋2=0，∴=－，∴=.OB → OC → OD → OA → OD → OA → OD → AO → OD → 4.答案为：C.解析：由∥且||≠||知，四边形ABCD 是梯形．又||=||，知梯形ABCD 是等AB → DC → AB → DC → AD → BC → 腰梯形．5.答案为：D.解析：若A ，B ，C 三点共线，则=k (k ∈R )，即λa ＋b =k(a ＋μb )，∴λa ＋b =k a ＋AB → AC → μk b ，∴Error!消去k 得，λμ=1，故选D.6.答案为：A.解析：由题意可知=＋，OP → OB → BP → 又=2，所以=＋=＋(－)=＋，所以x=，y=，故选A.BP → PA → OP → OB → 23BA → OB → 23OA → OB → 23OA → 13OB → 23137.答案为：－16i ＋j ；323解析：(a －b )－3(a ＋b )＋(2b －a )1323=a －b －3a －2b ＋2b －a =－a －b 13113=－(3i －4j )－(5i ＋4j )113=－11i ＋j －5i －4j 443=－16i ＋j .3238.答案为：－；57解析：因为|a |=5，|b |=7，所以=，又方向相反，所以a =－b .|a ||b |57579.答案为：－4；解析：∵向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，∴k a ＋2b =λ(8a ＋k b )⇒k=8λ，2=λk ⇒k=－4(∵方向相反，∴λ＜0⇒k ＜0)．10.答案为：；13解析：如图，因为=，且点C 在线段AB 上，AC CB 12则与同向，且||=||，故=.AC → CB → AC → 12CB → AC → 13AB → 11.答案为：－2；解析：直接利用共线定理，得=3，BC → DC → 则=＋=＋3=＋3(－)=＋3－3，=－＋，AC → AB → BC → AB → DC → AB → AC → AD → AB → AC → AD → AC → 12AB → 32AD → 则m=－，n=，那么m －n=－－=－2.1232123212.证明：∵=6e 1＋23e 2，=4e 1－8e 2，BC → CD → ∴=＋=(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2)=10e 1＋15e 2.BD → BC → CD → 又∵=2e 1＋3e 2，∴=5，AB → BD → AB → ∴，共线，且有公共点B.AB → BD → ∴A ，B ，D 三点共线．13.解：(1)证明：因为=λ＋(1－λ)，OM → OB → OA → 所以=λ＋－λ，－=λ－λ，OM → OB → OA → OA → OM → OA → OB → OA → 即=λ，AM → AB → 又λ∈R ，λ≠1，λ≠0且，有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．AM → AB → (2)由(1)知=λ，若点B 在线段AM 上，AM → AB → 则，同向且||＞||(如图所示)．AM → AB → AM → AB →所以λ＞1.14.解：(1)由a =λb ，得2e 1－e 2=λk e 1＋λe 2，而e 1与e 2不共线，所以Error!⇒k=－2.(2)不存在．若e 1与e 2共线，则e 2=λe 1，有Error!因为e 1，e 2，a ，b 为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k ，所以a =b ，即a =b ，这时a 与b 共线，所以不存在实数k 满足题意．12－λ1k ＋λ2－λk ＋λ15.证明：连接CR(图略)．由A ，D ，R 三点共线，可得=λ＋(1－λ)=λ＋(1－λ).CR → CD → CA → 23CB → CA → 由B ，E ，R 三点共线，可得=μ＋(1－μ)=μ＋(1－μ).CR → CB → CE → CB → 13CA → 所以Error!解得Error!所以=＋.CR → 47CB → 17CA → 所以=－=－，AD → CD → CA → 23CB → CA → =－=－(＋)=－=(－)=.RD → CD → CR → 23CB → 47CB → 17CA → 221CB → 17CA → 1723CB → CA → 17AD →。

§2.2.3向量的数乘运算及其几何意义（新教改A版教材）教学目标：（1）掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；（2）让学生能山实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；（3）初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。

教学重点、难点：重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。

难点：正确运用法则解决几何问题。

教学过程:ctcici问定理形成运算率的形成及证明反叩可。

若原向量已有非零实系数，那么实系数相乘再作系数。

并且：特殊地，当实数o和一•个向量相乘时，得到的仍为一个向量，旦模为0, 即“零向量”。

（因为冬向量的方向不固定旦模为0,所以我们不能以一个固定方向的箭头或一个点来表示它，所以“零向代数形式为6。

）1.计算下列各式：应用举例（1）（—2） x —U ;（2）20+。

）一3（0-力）；（3）（人 +一万）一（人一"）0+万）.解：（1）（-2）2=（-2 X ^）a；=（-\）a = -a（2）2（0+力）一3（0一万）= 2a + 2b-3a + 3b• 9= （2«—M） + （2 方+ 3 方）= -a+5b例3作图是学生需要锻炼的能力之-，督促学生画好，其次是注意同顾和正确使用向景加法法则，亦可以使用相似先得到线段长度的关系，判断方向，从而得到结论对于数乘向量的计算法则，证明要求不是很高，学生们只需要理解、掌握、并旦能够灵活运用该法则解答、证明题就可以了通过分段设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立思考分析、解决问题的能力%1.教学资源建议：可以参阅之前.向量这一•部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。

%1.教学方法与学习指导策略建议：本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定义、性质以及运算法则，对于这一部分的内容我觉得关键是在于让学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表示。

高中数学课时跟踪检测十八向量数乘运算及其几何意义新人教A版必修4层级一学业水平达标1．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝( )A．bB．－bD．－bC．b解析：选B b与a反向，故a＝λb(λ＜0)，|a|＝－λ|b|，则5＝－λ×7，所以λ＝－，∴a＝b.2．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝( )B．－5eA．5eD．－23eC．23e 解析：选C 2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e. 3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )AB BC CDB．A，B，D三点共线A．A，B，C三点共线D．B，C，D三点共线C．A，C，D三点共线解析：选B ＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，BD BC CD AB又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．BD AB 4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为( )CP CA CB AP ABA．B．23C．D．53解析：选 A 由题意可得＝－＝＋－＝(－)＝，又＝t，∴t＝.AP CP CA CA CB CA CB CA AB AP AB 5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝( )AB AD AFA．a＋bB．a＋bD．a＋bC．a＋b解析：选A 由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.AF AD DF AD AB 6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝______.解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.答案：4b－3a7．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.故填①②③.答案：①②③8．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m －λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因为a与b不共线，所以解得m＝－1。