(完整word版)相交线与平行线一对一拔高

相交线与平行线经典拔高题专项练习题目1已知线段AB与线段CD相交于点E，且AE:EB = 2:3，CE:ED = 4:1。

求证：线段AB与线段CD平行。

解答由已知条件可得：1.AE/EB = 2/3，即AE = 2/5AB，EB = 3/5AB。

2.CE/ED = 4/1，即CE = 4/5CD，ED = 1/5CD。

要证明AB与CD平行，我们可以使用相似三角形的性质。

由AE/EB = 2/3，我们可以得出以下相似比例关系：AE/AB = CE/CD = 2/5EB/AB = ED/CD = 3/5根据相似三角形的性质，我们可以得出：1.三角形AEB与三角形CED相似。

2.三角形AEB与三角形CED的对应边长比例相等。

我们已知AE/AB = CE/CD = 2/5，因此可以得出AB与CD平行的。

因此，我们证明了线段AB与线段CD平行。

题目2已知直线l与线段AB相交于点C，且AC:CB = 3:2。

连接BC并延长BC到点D，使得BC = CD。

证明：AD平分∠CAD。

解答由题目已知条件可得：1.AC:CB = 3:2，即AC = 3/5AB，CB = 2/5AB。

2.BC = CD。

要证明AD平分∠CAD，我们可以使用角平分线的性质。

由AC:CB = 3:2，我们可以得出以下相似比例关系：AC/AB = BC/AB = 3/5CB/AB = CD/AB = 2/5根据相似三角形的性质，我们可以得出：1.三角形ACB与三角形CBD相似。

2.∠CDB = ∠CBA。

由BC = CD，我们可以得出：∠CDB = ∠CBA = ∠ACB。

要证明AD平分∠CAD，我们需要证明∠CAD = ∠DAB。

由于∠ACB = ∠CDB = ∠CBA = ∠CAD，我们可以得出∠CAD = ∠DAB。

因此，我们证明了AD平分∠CAD。

题目3已知直线l与线段AB相交于点C，且∠ACB = 90°。

点D为AB上一点，且BD = 2DC。

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相交线与平行线基础知识盘点1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_____________。

2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角,互为__________.对顶角的性质：______ _________。

3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______。

垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________.4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________.5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角,在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________。

6.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________。

相交线与平行线一、【基础知识精讲】一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用，主要体现在以下两个方面：1. 由角定角2. 由线定线二、探索几何问题的解决方法，主要从以下两个方面去分析：1. 由因导果（综合法）：即——从已知条件出发，推出相应的结论。

2. 执果溯因（分析法）：即——要得到结论需要具备什么条件。

平移角 1．如图9, AB∥ED，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，∠A=110°，则∠AEC 为多少度。

2．如图10,AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有_____个，若∠1=40°，则∠AHG=_________。

转折角处巧添辅助线1.如图AB//CD,︒=∠︒=∠721,120A 则D ∠的度数为F A B CD E HG 1 图10 图9 A B ECD2.如图，己知AB//DE,︒=∠︒=∠140,80CDE ABC ,则=∠BCD __3.如图，AB//CD,若︒=∠︒=∠35,120DCE ABE ,则=∠BEC 度.4.如图试探索C E A ∠∠∠,,之间具备什么关系时，AB//CD,并说明理由。

相交线与平行线考点透析本章内容为中考必考内容，其中垂直及其垂直性质、平行线的判定和性质是中考考的重点内容，平移知识为新教材新加的知识，也是以后中考的热点问题真题剖析：考点一：平行线的性质1. 如图，已知AB CD BE ∥，平分ABC ∠，150CDE ∠=︒，则C ∠=2. 如图，直线a b ∥，则A ∠的度数为（）EDCBA考点二：垂直的性质1. 如图，直线AB CD ∥,EF CD F ⊥，为垂足，如果20GEF ∠=︒，那么1∠的度数考点三：平移的特征1. 如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形ABC 沿BC 方向平移得到三角形DEF ，如果8cm 4cm 3cm AB BE DH ===，，，则图中阴影部分的面积为考点四：平行线的性质的应用2. 如图所示，已知DE BC ∥，12∠=∠，试说明CD 是ECB ∠的平分线．考点五：平行线的判定 3. 如图，已知12∠=∠，34∠=∠，5C ∠=∠，求证：AB DE ∥．70︒31︒DCB Aba1G FE DCBAF21E DB A解答和证明1、 如图10，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，你能发现BE 和CF 有怎样的位置关系么？并证明你的结论。

第5章 相交线与平行线
思维导图
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关键词：相交线 平行线 知识点 整理相交线与平行线知识点整理摘要：注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果αβ∠∠与是对顶角，那么一定有αβ∠=∠；反之如果αβ∠=∠，那么αβ∠∠与不一定是对顶角，⑶如果αβ∠∠与互为邻补角，则一定有180αβ∠+∠=︒；反之如果180αβ∠+∠=︒，则αβ∠∠与不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

5.1相交线1、邻补角与对顶角⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最A B C DO短。

3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。

如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。

初中精品数学精选精讲学科:数学任课教师: 授课时间: 年月日姓名年级课时教学课题相交线与平行线教学目标(知识点、考点、能力、方法)知识点:两条直线相交,两条直线被第三条直线所截,平行线的判断及性质,命题定理证明,平移、考点:平行线的判断,平行线的性质能力:灵活运用角的关系,应用平行线的判断,平行线的性质解题方法:掌握角的计算,灵活运用角的关系难点重点平行线的判断,平行线的性质课堂教学过程课前检查作业完成情况:优□良□中□差□建议＿_＿_______＿__＿_＿___＿_______＿＿__＿＿_＿_____＿＿__＿_一、知识点大集锦相交线与平行线1、相交线假如两条直线只有一个公共点时,我们称这两条直线相交。

相对的,我们称这两条直线为相交线。

2、邻补角,对顶角ﻩ对顶角与邻补角是依照它们的位置命名的,因此它们各有不同的特点。

对顶角的特点:有公共顶点,角的两边互为反向延长线、图1中的∠1与∠２、∠3与∠4都是对顶角。

对顶角是两个角的位置关系,不是数量关系、图１邻补角的特点:有公共顶点和一条公共边,另一边互为反向延长线。

图1中的∠1与∠3、∠3与∠2、∠２与∠４、∠4与∠１都互为邻补角、邻补角即是两个角的位置关系,也是数量关系、对顶角与邻补角都是成对出现的,单独一个角不能称为对顶角或邻补角,这一点大伙儿要注意、例如我们不能说图１中的∠1是对顶角(或邻补角),能够说∠1与∠2是对顶角,∠1是∠３或∠的邻补角、注意:对顶角的性质:对顶角相等。

邻补角的性质:一个角与它的邻补角的和为18０°、A 。

一个角的补角一定是钝角 Ｂ、互补的两个角不估计相等C 、若∠A+∠B+∠Ｃ＝900,则∠Ａ+∠Ｂ是∠Ｃ的余角 D 。

∠A 的补角与∠A 的余角的差一定等于直角 (二)平行线1、如图,下列判断正确的是:( )A 、若∠1＝∠2,则AD ∥BCB 、若∠1=∠2,则ＡB ∥CDC 、若∠A ＝∠３,则ＡD ∥BC D 、若∠３+∠AD Ｃ＝18０° ,则A Ｂ∥CD2、下列说法正确的有〔 〕①不相交的两条直线是平行线; ②在同一平面内,不相交的两条线段平行③过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ④若ａ∥b,ｂ∥ｃ,则a 与c 不相交、 Ａ、１个 B 、２个 Ｃ、3 Ｄ、４个 ３、在同一平面内,两条不重合直线的位置关系估计是〔 〕A 。

七年级下册数学同步拔高（综合+强化）北师版相交线与平行线一、单选题(共8道，每道15分)1.如图1，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，则∠C=（）A.15°B.20°C.35°D.55°答案：D解题思路：由AB∥CD，得∠C=∠EFB，又因为∠EFB=∠A＋∠E=20°＋35°，所以∠C=55°试题难度：三颗星知识点：平行线的判定与性质2.如图，AB//CD，∠1=50°，∠2=110°，则∠3=（）A.50°B.60°C.70°D.80°答案：B解题思路：如图，作AB的平行线EF，由AB∥CD，可以得到EF∥CD.则∠1=∠4=50°，∠2＋∠5=180°，因为∠2=110°，所以∠5=70°，所以∠3=180°－∠4－∠5=180°－50°－70°=60°试题难度：二颗星知识点：平行线的判定与性质3.如图，若AB∥EF，∠C=60°，则∠1、∠2、∠3的关系是（）A.∠2=∠1+∠3B.∠1+∠2+∠3=180°C.∠1+∠2-∠3=60°D.∠2+∠3-∠1=60°答案：C解题思路：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，则CG∥HD，由AB∥CG，可以得到∠1=∠BCG，由HD∥EF，得到∠3=∠HDE，由CG∥HD，得到∠GCD=∠CDH，即60°－∠1=∠2－∠3，即∠1＋∠2－∠3=60°试题难度：三颗星知识点：平行线的判定与性质4.如图，AB∥CD，∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，则∠E：∠F等于（）A.2：1B.3：1C.3：2D.4：3答案：C解题思路：由平行线加折线模型的结论，可以得到∠E=∠ABE＋∠CDE，∠F=∠ABF＋∠CDF，因为∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，所以∠F=∠E，即∠E：∠F=3:2试题难度：三颗星知识点：平行线的判定与性质5.如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1＝∠3．下列正确的结论有（）个．①DE//BF；②AB//CD；③∠1=∠2；④∠A=∠C.A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：由∠1＝∠3，得到DE//BF；因为∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，所以∠1=∠ABC，∠2=∠ADC，所以∠1=∠2；由∠1=∠3，得∠2=∠3，即AB∥CD；由DE//BF，AB∥CD，得∠A＋∠ABC=180°，∠C＋∠ABC=180°，所以∠A=∠C试题难度：四颗星知识点：平行线的判定与性质6.如图，已知，则的度数是（）A.B.C.D.答案：D解题思路：如图，因为∠2=∠5，，所以∠1=∠5，所以直线a∥直线b，所以∠3=∠6=55°，所以∠4=125°试题难度：二颗星知识点：平行线的判定与性质7.如右图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点E、F，EG是∠FED的平分线，交AB于点G，若∠QED=40°，那么∠EGB等于（）A.80°B.100°C.110°D.120°答案：C解题思路：因为∠QED=40°，所以∠FED=140°，因为EG是∠FED的平分线，所以∠GED=70°，因为AB∥CD，所以∠EGB＋∠GED=180°，∠EGB=110°试题难度：二颗星知识点：相交线与平行线8.下列说法错误的是()A.内错角相等，两直线平行B.两直线平行，同旁内角互补C.相等的角是对顶角D.等角的补角相等答案：C解题思路：对于选项C，课本的准确描述是“对顶角相等”，但是反过来就不一定正确，相等的角还有可能是其他的位置角，比如平行线下的同位角，比如两个直角等。

如下图所示，∠1和∠2有一条公共边OB ，它们的另一边互为反向延长线（∠1与∠2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角.（1）定义：如上图所示，∠1和∠3有一个公共顶点O ，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.（2）性质：对顶角相等.提示：对顶角的特征：①对顶角由两条直线相交形成，同时形成两对对顶角；②成对顶角的两个角有公共顶点；③一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线.相交线 与 平行线一两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足其中AB 与CD 相交于点O ，当∠BOC ＝90°时，AB ⊥CD在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短提示：垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量，而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 提示：距离是一个数量，而不是一条线段，所以点到直线的距离强调的是垂线段的长度.区分两点间的距离与点到直线的距离，如下表：连接两点的线段的长度从直线外一点到这条直线的垂线段的长度二 垂线三 点到直线的距离两点之间，线段最短垂线段最短如图所示，直线AB ，CD 被第三条直线EF 所截，构成八个角，简称“三线八角”.（1）同位角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8. （2）内错角：∠3与∠5，∠4与∠6. （3）同旁内角：∠4与∠5，∠3与∠6.四 同位角、内错角、同旁内角同位角 在两条被截直线同侧，在截线同旁 形如字母“F”（或倒置、反置、旋转）两角中 共线的 边所在 的直线 是截线， 不共线 的边所在的直 线是被 截线内错角 在两条被截直线之间，在截线两旁（交错）形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转） 同旁 内角 在两条被截直线之间，在截线同旁形如字母“U”（或倒置、反置、旋转）在同一平面内，直线a 与b 不相交时，我们说直线a 与b 互相平行，记作a ∥b.提示：(1)平行线无论怎样延伸也不相交.(2)今后遇到线段、射线平行时，指线段、射线所在的直线平行. (3)在同一平面内两条直线的位置关系只有两种：相交和平行.五 平行线的概念及基本事实平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.提示：(1)平行线的基本事实说的是经过“直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了.(2)“有且只有”指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性”.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c（如图所示）.六平行线的判定与性质（1）两直线平行；（2）两直线平行；（3）同旁内角互补两直线平行.提示：不能见到同位角、内错角就认为相等，见到同旁内角就认为互补，一定注意，只有两条直线平行时，才有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离都相等.这个距离叫做这两条平行线之间的距离.提示：(1)对于平面内的两条直线，只有平行线才有距离，两条相交直线不存在距离.(2)求两条平行线之间距离的方法：在两条平行线中的任意一条上取任意一点作另一条直线的垂线段，垂线段的长度就是这两条平行线之间的距离，实际上是把求两条平行线间的距离转化为求一点到一条直线的距离.(3)区分“垂线段”与“距离”，前者是图形，后者是数量，垂线段的长度才是距离.七平行线间的距离。

订交线与平行线【A 卷】1. 如图， BC AC, CB 8cm, AC 6cm, AB 10cm, 那么点A到BC的距离是_____，点B 到 AC的距离是_______，点 A、 B两点的距离是_____，点 C到 AB的距离是________．2. 设 a 、b、c为平面上三条不一样直线，若 a // b,b // c ，则a与c的地点关系是_________；若 a b,b c ，则a 与 c 的地点关系是_________；若a // b，b c，则a与c的地点关系是________．3.如图，已知 AB、CD、EF订交于点 O，AB⊥ CD， OG均分∠ AOE，∠ FOD＝28°，求∠COE、∠ AOE、∠ AOG的度数．4.如图，AOC 与BOC 是邻补角，OD、OE分别是AOC 与BOC 的均分线，试判断 OD与 OE的地点关系，并说明原因．5.已知 DB∥ FG∥ EC， A 是 FG上一点，∠ ABD＝60°，∠ ACE＝36°， AP均分∠BAC，求：⑴∠ BAC的大小；⑵∠ PAG的大小.6. 如图，已知ABC ， AD BC于D， E为 AB上一点， EF BC 于F， DG // BA 交CA于G. 求证12 .7.已知：如图∠ 1=∠ 2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗？试说明原因．8、如图 1－ 26 所示． AE∥ BD，∠ 1=3∠2，∠ 2=25°，求∠ C【B 卷】1、如图，∠１＋∠２＝∠BCD ，求证 AB ∥ DE 。

2、已知：∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠Ｆ＝360o.求证： AB ∥ EF。

3、如图把长方形纸片沿EF 折叠，使 D ，C分别落在 D ，C的地点，若∠EFB 65o，则∠ AED 等于（）Ａ． 50o Ｂ． 55o Ｃ． 60o Ｄ． 65o4、如图， AB ∥ CD ，那么∠ A ，∠ P，∠ C 的数目关系是 ()A. ∠ A+ ∠P+∠ C=90°B.∠ A+ ∠ P+∠C=180 °C.∠A+ ∠P+∠ C=360°D. ∠P+∠ C=∠ A5、已知：如图， AB//CD ，则图中、、三个角之间的数目关系为（） .A 、 + + =360 B、++ =180C、 + - =180D、--=906、如图，把三角形纸片沿DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 内部时，则∠ A 与∠ 1+∠2 之间有一种数目关系一直保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )．(A) ∠ A ＝∠ 1+∠ 2 (B)2 ∠ A＝∠ 1+∠2 (C)3∠A ＝ 2∠ 1+∠ 2 (D)3 ∠ A=2( ∠ 1 十∠ 2)7、如图：已知ABC与 DEF 是一副三角板的拼图，A,E,C, D在同一条线上.A（ 1）、求证EF // BC ；（ 2）、求1与 2 的度数E P F1 O28、如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，∠AEF+∠ CFE=180 °，∠1=∠ 2，则图中的∠ H C 与Q BD1E∠ G 相等吗？说明你的原因。

北师大数学七年级下第二章拔高题一．选择题（共7小题）1．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（）A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90°C．∠ABE+3∠D＝180°D．∠ABE＝2∠D2．如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°3．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°5．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短6．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝150°，则∠BCD＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（）A．120°B．108°C．126°D．114°二．填空题（共8小题）8．将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，移动三角板DEF使两条直角边DE、DF恰分别经过B、C两点，若EF∥BC，则∠ABD＝°．9．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为．10．如图，已知DE∥BC，2∠D＝3∠DBC，∠1＝∠2．则∠DEB＝度．11．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝28°，则∠C的度数为．12．如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝度．第9题第10题第11题第12题13．如图，若OP∥QR∥ST，则∠1，∠2，∠3的数量关系是：．14．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是．15．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是．第13题第14题第15题三．解答题（共11小题）16．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD交于点G，H，GM⊥GE，∠BGM＝20°，HN 平分∠CHE，求∠NHD的度数．17．如图，直线AB∥CD，并且被直线MN所截，MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM 上，且∠AEP＝∠CFQ．求证：∠EPM＝∠FQM．18．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE、CF 分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．（1）求∠ECF的度数；（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．19．【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝度，∠FOH＝度．（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含a的代数式表示）20．如图，AB∥CD，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F．（1）求证：∠1+∠2＝90°；（2）如果∠EDF＝36°，那么∠BFC等于多少度？21．如图，AB∥CD，点E在线段AB上，连接EC、ED、AD，且ED平分∠CEB，AD⊥EF，若∠ADC＝42°，∠A﹣∠B＝8°，求∠BDE的度数．22．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．23．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF＝∠ABE；（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD 于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度数．24．（1）如图①，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1的度数？（2）如图②，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2的度数？（3）如图③，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3的度数？（4）如图④，若AB∥CD，猜想∠B+∠D+∠E1+∠E2+⋯+∠E n的度数？25．如图，已知直线l1∥l2，点A、B分别在l1与l2上．直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P．（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？26．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC ＝∠F，求证：EC∥DF．一．选择题（共7小题）1．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（）A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90°C．∠ABE+3∠D＝180°D．∠ABE＝2∠D【解答】证明：如图，延长DE交AB的延长线于G，∵AB∥CD，∴∠D＝∠G，∵BF∥DE，∴∠G＝∠ABF，∴∠D＝∠ABF，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF＝2∠D，即∠ABE＝2∠D．故选：D．2．如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵EF∥MN，∠1＝40°，∴∠1＝∠3＝40°，∵∠A＝30°，∴∠2＝∠A+∠3＝70°，故选：D．3．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠AEF＝2x＝72°，故选：C．4．在下列图形中，由∠1＝∠2一定能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．【解答】解：如下图，∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故选：A．5．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．故选：A．6．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝150°，则∠BCD＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：反向延长DE交BC于M，∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝80°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣100°＝50°．故选：C．7．如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（）A．120°B．108°C．126°D．114°【解答】解：如图，设∠B′FE＝x，∵纸条沿EF折叠，∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣18°，∵纸条沿BF折叠，∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣18°，而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°，∴x+x+x﹣18°＝180°，解得x＝66°，∵A′D′∥B′C′，∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣66°＝114°，∴∠AEF＝114°．故选：D．二．填空题（共8小题）8．将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，移动三角板DEF使两条直角边DE、DF恰分别经过B、C两点，若EF∥BC，则∠ABD＝15°．【解答】解：∵将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，∴∠E＝30°，∠ABC＝45°，∵EF∥BC，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴∠ABD＝45°﹣30°＝15°，故答案为：159．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为56°．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠1＝∠FEC＝62°，由翻折可得：∠FEG＝∠FEC＝62°，∴∠BEG＝180°﹣62°﹣62°＝56°，故答案为：56°10．如图，已知DE∥BC，2∠D＝3∠DBC，∠1＝∠2．则∠DEB＝36度．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠E＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠B，设∠1＝∠2＝∠B＝x，∵2∠D＝3∠DBC，∴∠D＝3x，∴5x＝180°，∴x＝36°故答案为36．11．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝28°，则∠C的度数为22°．【解答】解：∵AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝28°，∴∠CBD＝∠1＝130°，∠CDB＝∠2＝28°，∴∠C＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB＝180°﹣130°﹣28°＝22°．故答案为：22°12．如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝180度．【解答】解：如图所示，由图知∠A+∠B＝∠BPD，∵BE∥CF，∴∠CQD＝∠BPD＝∠A+∠B，又∵∠CQD+∠C+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，故答案为：180．13．如图，若OP∥QR∥ST，则∠1，∠2，∠3的数量关系是：∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：如图，延长TS，∵OP∥QR∥ST，∴∠2＝∠4，∵∠3与∠ESR互补，∴∠ESR＝180°﹣∠3，∵∠4是△FSR的外角，∴∠FSR+∠1＝∠4，即180°﹣∠3+∠1＝∠2，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故答案为：∠2+∠3﹣∠1＝180°．14．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是∠α﹣∠β＝90°．【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故答案为∠α﹣∠β＝90°．15．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是74°．【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．∵入射角等于反射角，∴∠1＝∠3，∵CD∥OB，∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2＝∠3（等量代换）；在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝37°，∴∠2＝90°﹣37°＝53°；∴在△DEF中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝74°．故答案为：74°．三．解答题（共11小题）16．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD交于点G，H，GM⊥GE，∠BGM＝20°，HN平分∠CHE，求∠NHD的度数．【解答】解：∵GM⊥GE∴∠EGM＝90°∵∠BGM＝20°∴∠EGB＝∠EGM﹣∠BGM＝70°∴∠AGH＝∠EGB＝70°∵AB∥CD∴∠AGH+∠CHG＝180°∴∠CHG＝110°∵HN平分∠CHE∴∠NHC＝∠CHG＝×110°＝55°∴∠NHD＝180°﹣∠CHN＝180°﹣55°＝125°17．如图，直线AB∥CD，并且被直线MN所截，MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM上，且∠AEP＝∠CFQ．求证：∠EPM＝∠FQM．【解答】解：∵AB∥CD∴∠AEM＝∠CFM，∵∠AEP＝∠CFQ，∴∠MEP＝∠MFQ，∴EP∥FQ，∴∠EPM＝∠FQM．18．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．（1）求∠ECF的度数；（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，∴∠ACP＝2∠ECP，∠DCP＝2∠PCF，∴∠ECF＝∠ACD＝70°；（2）不变．数量关系为：∠APC＝2∠AFC．∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠DCF，∠APC＝∠DCP，∵CF平分∠DCP，∴∠DCP＝2∠DCF，∴∠APC＝2∠AFC；（3）∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，当∠AEC＝∠ACF时，则有∠ECD＝∠ACF，∴∠ACE＝∠DCF，∴∠PCD＝∠ACD＝70°，∴∠APC＝∠PCD＝70°．19．【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝30度，∠FOH＝125度．（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含a的代数式表示）【解答】解：【探究】（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，∴∠OFH＝30°，又∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH＝30°；∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，∴∠FHO＝25°，∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝125°；故答案为：30，125；（2）∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，∴∠OFH＝∠AFH，∠OHF＝∠CHF．∵∠AFH+∠CHF＝100°，∴∠OFH+∠OHF＝（∠AFH+∠CHF）＝×100°＝50°．∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF．∴∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°．∵∠EOF+∠GOH+∠FOH＝180°，∴∠FOH＝180°﹣（∠EOF+∠GOH）＝180°﹣50°＝130°．【拓展】∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，∴∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI，∴∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH＝（∠CHI﹣∠AFH）＝（180°﹣∠CHF﹣∠AFH）＝（180°﹣α）＝90°﹣α．20．如图，AB∥CD，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F．（1）求证：∠1+∠2＝90°；（2）如果∠EDF＝36°，那么∠BFC等于多少度？【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC，∴∠1+∠2＝（∠ABD+∠BDC）＝90°，（2）∵DE平分∠BDC，∴∠2＝∠EDF＝36°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠1＝54°，又∵AB∥CD，∴∠BFC＝180°﹣∠1＝180°﹣54°＝126°．21．如图，AB∥CD，点E在线段AB上，连接EC、ED、AD，且ED平分∠CEB，AD⊥EF，若∠ADC＝42°，∠A﹣∠B＝8°，求∠BDE的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠A＝42°，∵∠A﹣∠B＝8°，∴∠B＝34°，∵AD⊥EF，∴∠AFE＝90°，∴∠AEF＝48°，∴∠BEC＝132°，∵DE平分∠BEC，∴∠BED＝∠BEC＝66°，∴∠BDE＝180°﹣66°﹣34°＝80°．22．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．【解答】解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∴∠3+∠4＝∠1+∠2，即∠BED＝∠1+∠2；（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，理由如下：如图，分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥CD，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．23．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF＝∠ABE；（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD 于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度数．【解答】解：（1）结论：∠ECD＝90°+∠ABE．理由：如图1中，从BE交DC的延长线于H．∵AB∥CH，∴∠ABE＝∠H，∵BE⊥CE，∴∠CEH＝90°，∴∠ECD＝∠H+∠CEH＝90°+∠H，∴∠ECD＝90°+∠ABE．（2）如图2中，作EM∥CD，∵EM∥CD，CD∥AB，∴AB∥CD∥EM，∴∠BEM＝∠ABE，∠F+∠FEM＝180°，∵EF⊥CD，∴∠F＝90°，∴∠FEM＝90°，∴∠CEF与∠CEM互余，∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，∴∠BEM与∠CEM互余，∴∠CEF＝∠BEM，∴∠CEF＝∠ABE．（3）如图3中，设∠GEF＝α，∠EDF＝β．∴∠BDE＝3∠GEF＝3α，∵EG平分∠CEF，∴∠CEF＝2∠FEG＝2α，∴∠ABE＝∠CEF＝2α，∵AB∥CD∥EM，∴∠MED＝∠EDF＝β，∠KBD＝∠BDF＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180°，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，∵ED平分∠BEF，∴∠BED＝∠FED＝2α+β，∴∠DEC＝β，∵∠BEC＝90°，∴2α+2β＝90°，∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD+∠BDF＝180°，∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝3α+β，∵∠ABK＝180°，∴∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD＝180°，即2α+（3α+β）+（3α+β）＝180°，∴6α+（2α+2β）＝180°，∴α＝15°，∴∠BEG＝∠BEC+∠CEG＝90°+15°＝105°．24．（1）如图①，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1的度数？（2）如图②，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2的度数？（3）如图③，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3的度数？（4）如图④，若AB∥CD，猜想∠B+∠D+∠E1+∠E2+⋯+∠E n的度数？①，过E1作E1F∥AB，则E1F∥CD，【解答】解：（1）如图∴∠B+∠1＝180°①，∠D+∠1＝180°②，①+②得∠B+∠1+∠D+∠2＝360°，即∠B+∠D+∠E1＝360°；过E1，E2作E1F∥AB，E2G∥AB，则E1F∥E2G∥CD，（2）如图②，分别∴∠1+∠B＝∠2+∠3＝∠4+∠D＝180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2＝∠1+∠B+∠2+∠3+∠4+∠D＝540°＝3×180°；过E1，E2，E3作E1F1∥E2F2∥E3F3∥AB，则E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，（3）如图③，分别∴∠B+∠BE1E2＝180°，∠E2E1F1+∠E1E2F2＝180°，∠E3E2F2+∠E2E3F3＝180°，∠DE3F3+∠D＝180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3＝720°；（4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）?180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+⋯+∠E n＝（n+1）?180°．25．如图，已知直线l1∥l2，点A、B分别在l1与l2上．直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P．（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD．理由如下：【解答】解：（1）如图，当过点P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2，∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD；（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：①如图，当点P在在l2下方时，有结论：∠APB＝∠PAC﹣∠PBD．理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠BPE＝∠PBD，∵∠APE＝∠APB+∠BPE，∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD；②如图，当点P在l1上方时，有结论：∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，又∵l1∥l2，∴PE∥l1，∴∠APE＝∠PAC，∵∠BPE＝∠APE+∠APB，∴∠PBD＝∠PAC+∠APB，∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．26．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC ＝∠F，求证：EC∥DF．【解答】证明：∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB．∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF．。