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24.5 相似三角形的性质【学习目标】1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.【主要概念】1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。
3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。
【典型例题】【例1】 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．【例2】 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．【例3】如图，已知ABD∆∽ADE∆．∆，求证：ABC∆∽ACE【例4】下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．【例5】如图，D点是ABC∆的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E 在ABC∆相∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆的边上，并且点D、点E和ABC似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．【例6】如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．【例7】如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为 1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．【例8】 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．【例9】 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC ABcm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．【例10】 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．【例11】 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．【例12】 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．【例13】 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．【例14】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使BCEC⊥，确定AB⊥，然后再选点E，使BCBC与AE的交点为D，测得120=EC米，你能求出两DC米，50=BD米，60=岸之间AB的大致距离吗？【例15】如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC 和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF 在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）2，AC＝2，BC边上的高AD＝3．【例16】如图，已知△ABC的边AB＝3（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．【例17】已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别为60cm 和72cm ，且AB=15cm,B ′C ′=24cm,求BC,AC, A ′B ′, A ′C ′ 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴AB:A ′B ′=AC:A ′C ′=60:72(相似三角形周长的比等于相似比) 把AB=15cm, B ′C ′=24cm 代入上式，解得 A ′B ′=18cm ，BC=20cm ∴AC=60-15-20=25(cm) A ′C ′=72-18-24=30(cm)【例18】如图，CD 是Rt △ABC 的斜边上的高。
图形的相似7.相似三角形的性质（一）一、学生知识状况分析学生在之前七年级已经学习了全等图形判定和性质，对全等三角形的对应边的比已有所了解。
在本章又学习了相似图形的判定条件，对相似图形，特别是相似三角形已有一定的认识。
通过前面的学习学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究。
例如，利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题，感受到了数学的实际价值，利用相似三角形的性质的解决问题的活动经验。
本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质，九年级学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，具有了一定的学习经验，学生间相互评价、相互提问的积极性高，因此，参与有关性质的实践探究活动的热情应该是比较高的。
二、教学任务分析教材基于学生对相似三角形的性质的基础上，提出了本课的学习任务：理解相似三角形的性质，让学生经历探索相似三角形性质的过程，并在探索过程中，发展学生积极的情感、态度、价值观、体现解决问题策略的多样性，同时也力图在学习过程中，逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此本节课的教学目标是：（一）知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.（三）情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：探究相似三角形对应高的比.；第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比；第三环节：学以致用（相似三角形性质的应用）；第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）；第五环节：布置作业。
第一环节：探究相似三角形对应高的比.引入语：在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
相似三角形的性质教学目标（知识与能力；过程与方法；情感态度与价值观）(一)知识与技能1、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
2、探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
(二)过程与方法经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比”、“面积比等于相似比的平方”的过程。
(三)情感态度与价值观在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决实际问题策略的多样性。
教材分析重点理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
难点探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
教学方法教具准备学法指导教学过程导入1．回顾相似三角形的概念及判定方法。
2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。
提出问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）新授∆ABC∽∆A1B1C1，相似比为k⇒111111AB BC CAkA B B C C A===⇒AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1⇒111111111111111111AB BC CA kA B kB C kC AkA B B C C A A B B C C A++++==++++进而得到结论：相似三角形周长的比等于相似比延伸问题：探究：如图27．2-11（1），∆ABC∽∆A1B1C1，相似比为k1，它们的面积比是多少？AB CDABCDA1B1C1D1（1）（2）图27．2-11分析：如图27．2-11（1），分别作出∆ABC和∆A1B1C1的高AD和A1D1。
∠ADB=∠A1D1B1=900又∠B=∠B1⇒∆ABD∽∆A1B1D1⇒11111AD ABkA D A B==⇒111ABCA B CSS=1111111111111111221122BC AD K B C K A DB C A D B C A D==k12进而得到结论：相似三角形面积比等于相似比的平方（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1，相似比为k2，它们的面积比是多少？分析：111ABCA B CSS=111ACDA C DSS= k22⇒1111ABCDA B C DSS=四边形四边形111111ABC ACDA B C A C D++S SS S= k22⇒相似多边形面积比等于相似比的平方应用新知：例6：如图27．2-12，在∆ABC和∆DEF中，A B=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，∆ABC的周长是24，面积是48，求∆DEF的周长和面积。
沪教版数学九年级上册24.5《相似形的性质》（第1课时）教学设计一. 教材分析教材是沪教版数学九年级上册第24.5节《相似形的性质》。
本节课主要学习相似形的定义、性质及其应用。
通过本节课的学习，学生能够理解相似形的概念，掌握相似形的性质，并能够运用相似形解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于相似形的定义和性质，学生可能初次接触，需要通过实例和操作来理解和掌握。
此外，学生可能对于一些抽象的概念和证明过程感到困难，需要教师通过具体例子和引导来进行教学。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解相似形的定义，掌握相似形的性质，并能够运用相似形解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生能够通过观察、操作、推理等方法，探索相似形的性质，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，克服困难，自主学习，增强对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：相似形的定义和性质。
2.难点：相似形的性质的证明和运用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考和探索相似形的性质。
2.实例教学法：教师通过展示实例，让学生观察和操作，加深对相似形性质的理解。
3.合作学习法：学生分组合作，共同探讨相似形的性质，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：几何画板、剪刀、胶水、卡片。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实例，如相似的图形、物体的大小变化等，引导学生思考：什么是相似形？相似形有哪些性质？2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，给出相似形的定义和性质，并用几何画板进行演示，让学生直观地理解相似形的概念和性质。
3.操练（10分钟）学生分组合作，利用剪刀、胶水、卡片等工具，制作一些相似形的图形，并观察和讨论相似形的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师提出一些练习题，让学生独立完成，巩固对相似形性质的理解。
24.3相似三角形的性质1.学习了相似三角形的性质后，对于涉及到相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高、周长的问题，应立即联想到相似三角形对应线段的比等于相似比，等于周长的比的性质.举例如下.［例1］如图1，已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，点D 、D ′分别是BC 、B ′C ′的中点，AE⊥BC 于E ，A ′E ′⊥B ′C ′于E ′.求证：∠DAE ＝∠D ′A ′E ′.分析：欲证∠DAE ＝∠D ′A ′E ′，只需证Rt △ADE ∽Rt △A ′D ′E.证明：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD ＝CD ，B ′D ′＝C ′D ′， AE ⊥BC ，A ′E ′⊥B ′C ′.图1∴B A ABE A AE D A AD ''=''='' (相似三角形对应高的比、对应中线的比等于相似比). ∴Rt △ADE ∽Rt △A ′D ′E ′ ∴∠DAE ＝∠D ′A ′E ′.［例2］已知如图2，△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′，BC ＝6，AC ＝8，△A ′B ′C ′的周长为72.求△A ′B ′C ′各边的长.图2解：在Rt △ABC 中，AB ＝22268+=+2BC AC ＝10.∴△ABC 的周长＝6＋8＋10＝24.∵∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C∴7224=''=''=''A C CA C B BC B A AB即.318610=''=''=''A C C B B A ∴A ′B ′＝30， B ′C ′＝18，C ′A ′＝24. 说明：由已知条件知△ABC ∽△A ′B ′C ′，已知△ABC 各边的长，要求△A ′B ′C ′各边的长，只要求出相似比即可.［例3］如图3，四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，且AB ＝18，AC ＝12，AD ＝8，CE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E 、F .(1)求DFCE(2)求证：CE ＝C D.分析：由题设可知，DF 、CE 分别为△ACD 和△ABC 的高，因此只要证得△A CD ∽△ABC ，根据相似三角形的性质即可求得DFCE.(1) 解：∵AB ＝18，AC ＝12，AD ＝8， ∴.23812,231218====AD AC AC AB∴ADACAC AB =.∵∠AEC ＝∠AFD ＝90°，∴Rt △ABC ∽Rt △ACD∵CE ⊥AB ，DF ⊥A C.∴23==AC AB DF CE . (2)证明：∵Rt △ABC ∽Rt △ACD ，∴∠BAC ＝∠CA D. 图3∵CE ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴CE ＝C D.［例4］已知，如图4，△ABC 中，OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ∥AB 交BC 于D ，OE∥AC 交BC 于E .求证：BC 2=DE (AB +BC +AC )分析：由OD ∥AB ，OE ∥AC 知△ODE ∽△ABC ，要证结论中有△ABC 的周长，从而想到了利用相似三角形的周长比等于相似比证题.证明：∵OD ∥AB∴∠4=∠ABC ，∠1=∠3又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BD =OD同理可证：OE =CE∵OE ∥AC ，∴∠5=∠ACB ，∴△ODE ∽△ABC 图4∴,,BCDEAC BC AB CE DE BD BC DE AC BC AB OE DE OD =++++∴=++++即BCDEAC BC AB BC =++∴BC 2=DE (AB +BC +AC )说明：相似三角形的性质较多，究竟选择哪个性质，需要根据结论的特征灵活选择. ［例5］求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知：如图5，△ABC ∽△A ′B ′C ，′△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k . 求证：C B A ABC S S '''∆∆=k2图5分析：根据三角形的面积公式“三角形面积等于三角形的一边乘以这边上的高的一半”可先作出BC 和B ′C ′边上的高，再根据相似三角形对应高的比，对应边的比都等于相似比即可证出.证明：分别过A 、A ′作BC 、B ′C ′的垂线，垂足分别为D 、D ′. ∵△ABC ∽△A ′B ′C∴D A ADC B BC ''=''=k (相似三角形对应边的比、对应高的比等于相似比) ∴22121k D A C B ADBC S S C B A ABC =''⋅''⋅='''∆∆ 说明：此结论在原教材中是定理，现已删去，对此结论在解决填空题和选择题中可直接应用.但在求解题中要写出推导过程.［例6］如图6，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CD 延长线上一点，且∠F EC =∠FCE ，EF 交AD 于F .求证：S △AEP =4S △PDF .分析：△AEP ∽△PDF 易证，要证出S △AEP =4S △PDF ，关键证其相似比为2∶ 1. 图6证明：过F 作FG ⊥CE 与G ，则CG =21CE∵四边形ABCD∴AB ∥CD ，AB =BC =CD ，∠B =90°∴∠BEC =∠FCE ，∠B =∠FGC=90∴△BCE ∽△GFC ∴FCECCG BE = 设AE =BE =x ，则BC =CD =AB =2xCE =x x x BE BC 5)2(2222=+=+∴2,2525xDF DF x x x x =+=∴DF =,21AE ∵AB ∥CD ，∴△AEP ∽△DFP ，∴2==PDAP DF AE ∴DP DF APAE S S DFP AEP ⋅⋅=∆∆2121=4，∴S △AEP =4S △DFP 说明：有等腰三角形时，常作底边上的高构造三线合一的基本图形，另外该题还可延长AB 至N ，使BN =BE ，边结CN ，再证△CEN ∽△FEC ，请读者自己完成.2.利用相似三角形的性质还可解决许多实际问题，举例如下.［例7］如图7，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C ＝90°，AC ＝12 cm ，BC ＝5 cm ，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种不锈钢片的边长.分析：要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在△ABC 的边上，那么顶点落在边上时有如图8、9两种情况.图7 图 8 图9解：如图8，设正方形EFGH 的边长为x cm ，过C 作CD ⊥AB 于D ，交EH 于点M . ∵∠ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，∴AB ＝135122222=+=+BC AC∵AB ·CD ＝AC ·BC ，∴CD ＝136013512=⨯=⋅AB BC AC .∵EH ∥AB ，∴△CEH ∽△CA B.∴CDCMAB EH =. 即229780.1313601360=∴=-x x x(cm). 如图9，设正方形CFGH 的边长为y cm. ∵GH ∥AC ，∴1760.5512,=∴-=∴=y y y BC BH AC GH (cm) ∵x ＜y ，∴应按图9裁剪，这时正方形面积最大，它的边长为1760cm.。
