中职数学等差数列通项公式导学案

等差数列通项公式教案一教学类型新知课二教学目标1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能解决一些简单的问题；2.利用通项公式求等差数列的各项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；3. 培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.三教学重点，难点教学重点是1.等差数列的概念的理解与掌握.2通项公式的理解与掌握；教学难点是掌握公式的推导过程以及对公式灵活运用．四教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑.五教学方法：讲解法，启发引导法六教学过程1[创设情景]上节课我们学习了数列。

在日常生活中，人口增长、教育贷款等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。

今天我们先学习一类特殊的数列。

由学生观察分析并总结下列数列的特点：(1)2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。

该项目共设置了7个级别。

其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63…(2)数列2，4,6,8,10…；(3)数列2，2，2，2，2，…(4)数列3,6,9,12…2 引导讲解概念思考：同学们观察一下上面的这三个数列：48,53,58,63…①2，4,6,8,10…②2，2，2，2，2，③3,6,9,12…④看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系,可得到数列一是每后一项都比前一项多五，单调递增；数列二每后一项都比前一项多二，是一列偶数；数列三是一列常数，每后一项比前一项多零；数列四是一列三的倍数，每后一项比前一项多三；综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

《等差数列的通项公式》教案与说课稿等差数列的通项公式教案一、教学目标1. 了解等差数列的定义及基本性质；2. 掌握求等差数列第n项通项公式的方法；3. 学会应用等差数列的通项公式解决实际问题。

二、教学重点和难点教学重点1. 求等差数列第n项通项公式的方法；2. 应用等差数列的通项公式解决实际问题。

教学难点1. 通项公式的推导过程；2. 实际问题的转化和解决。

三、教学内容和方法1. 教学内容1. 等差数列的定义及基本性质；2. 求等差数列第n项通项公式的方法；3. 应用等差数列的通项公式解决实际问题。

2. 教学方法1. 归纳法；2. 演示法；3. 讲解法；4. 提问法；5. 实践法。

四、教学过程设计1. 导入环节引出等差数列的概念，通过实例引发学生的思考，激发学生的研究热情。

2. 基础知识讲解详细讲解等差数列的定义、通项公式及基本性质。

3. 求通项公式的方法通过几个典型的例子，让学生领会归纳法所要达到的目的、学会运用归纳法求通项公式。

4. 应用等差数列的通项公式解决实际问题通过一些实际问题的例子，让学生学会如何根据题目所给出的条件化成等差数列，并运用等差数列求解问题的能力。

五、课堂讲评1. 错误讲解针对学生易犯的错误进行详细的讲解，排除学生的误区。

2. 课堂练针对性地设计课堂练，巩固学生的研究效果。

六、作业布置1. 课后作业一：完成课堂上未完成的练题。

2. 课后作业二：通过课程资料，自学一些扩展知识，写一篇小结并提交。

七、板书设计等差数列：<br>首项$a_1$，公差$d$<br>通项公式$a_n$：<br>- 方法1：<br>$a_n=a_1+(n-1)d$<br>- 方法2：<br>$a_n=a_{n-1}+d$八、教学反思本节课通过讲解和练习的方式，帮助学生掌握了等差数列的基本概念和求解方法，并能够将所学知识应用到实际问题中去解决问题。

等 差 数 列教学目的：1.要求学生掌握等差数列的概念2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。

教学重点：1.要证明数列{a n }为等差数列，2.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d (n ≥1,且n ∈N *). 教学难点：等差数列“等差”的特点。

公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

教学过程：一、引导观察数列：（1）1，3，5，7，9，11， …… （2）3，6，9，12，15，18，…… （3）1，1，1，1，1，1，1，…… （4）3，0，－3，－6，－9，－12，……特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”二、得出等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。

注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．．。

定义另叙述：在数列{n a }中，1+n a －n a =d （n ∈+N ), d 为常数， 则{a n }是等差数列，常数d 称为等差数列的公差。

评注：1、一个数列，不从第2项起，而是从第3 项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，此数列不是等差数列.如：（1）1，3，4，5，6，……（2）－1，0，12，14，16，18，20，……2、公差d ∈R ，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列。

三、等差数列的通项公式：a n =a 1＋（n －1）d问题1：已知等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d ，求da d d a d a a d a d d a d a a da a 3221134112312+=++=+=+=++=+=+=)()( …… 由此归纳为 d n a a n )(11-+= 当1=n 时 11a a = （成立）d n a a n )(11-+= 等差数列的通项公式四、应用例1 （1）求等差数列8，5，2，……的第20项（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，……的项， 如果是，是第几项？ 解：（1）由a 1=8,d=5－8=－3,n=20,得: a 20=8＋（20－1）×（－3）=－49（2）由a 1=－5,d=－9－（－5）=－4,得: a n =－5＋（n －1）×（－4）即=－4n －1 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得 若 －401=－4 n －1成立 解这个关于n 的方程，得n=100 即－401是这个数列的第100项例2 在等差数列｛｝中，已知a 5=10，a 12=31，求首项a 1与公差d 。

等差数列的通项公式教案教案标题：等差数列的通项公式教案教案目标：1. 学生能够理解等差数列的概念和特点。

2. 学生能够推导等差数列的通项公式。

3. 学生能够应用通项公式解决等差数列相关问题。

教案步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾等差数列的定义和特点，例如：相邻两项之差相等。

2. 提出问题：如果已知一个等差数列的首项和公差，我们能否找到任意一项的值？探究（15分钟）：1. 分组讨论：将学生分成小组，每个小组探究一个等差数列的通项公式的推导过程。

2. 指导学生通过观察等差数列的前几项，找到其中的规律。

3. 引导学生思考如何利用已知的首项和公差来表示任意一项的值。

4. 指导学生通过列式推导的方法，逐步推导出等差数列的通项公式。

总结（10分钟）：1. 让学生分享各自小组的推导过程和结果。

2. 引导学生总结等差数列的通项公式。

3. 强调通项公式的重要性和应用价值。

练习（20分钟）：1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 监督学生的练习过程，及时给予指导和解答疑惑。

3. 鼓励学生互相合作，共同解决难题。

拓展（10分钟）：1. 引导学生思考等差数列的应用领域，例如数学、物理、经济等。

2. 提供一些拓展问题，让学生进一步应用等差数列的通项公式解决问题。

总结（5分钟）：1. 回顾本节课的学习内容和重点。

2. 确保学生对等差数列的通项公式有清晰的理解。

3. 鼓励学生在课后继续巩固和拓展相关知识。

教学资源：1. 等差数列的示例题和练习题。

2. 小组讨论和分享的板书或PPT。

3. 相关教学视频或在线资源。

教学评估：1. 观察学生在课堂上的参与和回答问题的能力。

2. 检查学生在练习题上的表现和理解程度。

3. 收集学生对本节课的反馈和问题，及时调整教学策略。

（ 6.2.2 等差数列的通项公式 ）导学案学习目标（1）知识目标：理解等差数列的及通项公式；（2）能力目标：会利用定义求等差数列的任意项（3）情感目标：通过等差数列的运算，培养学生的数学思维能力与运算能力．重点难点：等差数列的通项公式应用．学法指导：自主探究——合作交流任务一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 ,11a a = ．．．．．．依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式(6.2)知道了等差数列{}n a 中的1a 和d ，利用公式（6.2），可以直接计算出数列的任意一项.【想一想】：等差数列的通项公式中,共有四个量：n a 、1a 、n 和d ，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？任务二：1求等差数列−1，5，11，17，…的第50项．(),21123d a d d a d a a +=++=+=,12d a a +=(),321134d a d d a d a a +=++=+=2. 在等差数列中， 求首项3. 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.作业：1.求等差数列 的通项公式与第15项2. 已知﹛a n ﹜为等差数列，求a 1与公差d ． 4. 在等差数列﹛a n ﹜ 中， 判断－48是否为数列中项，如果是,请指出是第几项？我的疑惑：教师寄语：废铁之所以能成为有用的钢材，是因为它经得起痛苦的磨练。

50a =，1010a =，2855,１，，{}n a 10048,a =1,3d = 1.a 53a =-，915a =-，。

等差数列的通项与求和公式教案一、引言等差数列是数学中常见而重要的数列之一。

在学习等差数列时，了解其通项与求和公式是十分关键的。

本教案旨在帮助学生全面理解等差数列的通项与求和公式，并能够熟练运用于实际问题中。

二、基本概念1. 等差数列：数列中任意两个连续的项之差都相等，这个公差称为等差数列的公差，通常用d表示。

2. 通项：等差数列中第n项的公式，我们称其为通项，通常用an 表示。

3. 求和：等差数列前n项和的公式，我们称其为求和公式，通常用Sn表示。

三、等差数列的通项公式要找到等差数列的通项公式，我们首先要知道数列的首项和公差。

我们可以通过观察数列中的规律或者已知的条件来确定首项和公差。

1. 已知首项和公差的情况下：设首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d2. 已知任意两项的情况下：设第m项为am，第n项为an，等差数列的通项公式为：an = am+ (n - m)d四、等差数列的求和公式针对等差数列的前n项和，我们可以通过求和公式进行计算，而无需逐项相加。

1. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则有：Sn = (n/2) * (a1 + an)= (n/2) * (2a1 + (n - 1)d)= (n/2) * (a1 + a1 + (n - 1)d)= (n/2) * (2a1 + (n - 1)d)2. 根据求和公式，我们可以计算等差数列的前n项和。

五、案例分析下面通过一个具体的案例来帮助学生理解等差数列的通项与求和公式的应用。

案例：某商场每天销售的商品数量呈等差数列，第一天销售10件，公差为5，求第30天的销售数量以及前30天的销售总量。

解析：根据已知条件，可得首项a1为10，公差d为5。

根据通项公式，我们可以计算得到第30天的销售数量为：a30 = a1 + (n-1)d= 10 + (30-1) * 5= 155根据求和公式，我们可以计算出前30天的销售总量：S30 = (n/2) * (a1 + an)= (30/2) * (10 + 155)= 30 * 165= 4950六、总结等差数列的通项与求和公式在数学中有着广泛的应用。

等差数列的定义与通项公式教案一、教学目标：1. 了解等差数列的定义，掌握等差数列的性质。

2. 掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 等差数列的定义2. 等差数列的性质3. 等差数列的通项公式4. 等差数列的求和公式5. 应用举例三、教学重点与难点：1. 教学重点：等差数列的定义、性质、通项公式及应用。

2. 教学难点：等差数列通项公式的理解和运用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解等差数列的定义、性质、通项公式及应用。

2. 利用实例进行分析，帮助学生理解和掌握等差数列的性质和通项公式。

3. 运用练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。

五、教学过程：1. 引入：通过列举一些实际问题，引导学生思考等差数列的定义和性质。

2. 等差数列的定义：讲解等差数列的定义，引导学生理解等差数列的特点。

3. 等差数列的性质：讲解等差数列的性质，如相邻两项的差是常数等。

4. 等差数列的通项公式：推导等差数列的通项公式，并解释其含义。

5. 等差数列的求和公式：讲解等差数列的求和公式，并给出应用实例。

6. 练习题：布置一些有关等差数列的练习题，让学生巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调等差数列的定义、性质和通项公式的重点。

8. 作业：布置一些有关等差数列的应用题，让学生进一步理解和掌握所学知识。

六、教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了等差数列的定义、性质和通项公式。

针对存在的问题，调整教学方法，为下一节课做好准备。

七、教学评价：通过课堂讲解、练习题和课后作业，评价学生对等差数列的定义、性质和通项公式的掌握程度。

对学生的学习情况进行全面评价，鼓励优秀学生，帮助后进生。

八、课时安排：2课时九、教学资源：教材、教案、PPT、练习题等。

十、教学拓展：1. 等差数列在实际应用中的例子：如人口增长、工资增长等。

使用板书（写出等差数列通项公式的推导过程）
2
4、接着大家一起来求解上面提出的例题：例：求12、8、4、0…的第20项解：因为这个数列的首项为12，公差为-4，项数为20；所以应用等差数列的通项公式的公式得第20项a20=a1+(20-1)*(-4)=12+19*(-4)=-64
讲解技能（分析性讲解，让学生熟练求等差数列第n项的过程）
提问技能
让学生试着跟老师一起探究等差数列的通项公式的求法
使用板书列出例题
2
3、等差数列的通项公式：
（为了探究更简便的求等差数列的第n项的方法，我们做如下探究）
如果数列{an}首项是a1，公差是d,那么根据等差数列的定义可得：
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
……
an-an-1=d
将这（n-1）个等式左右两边分别相加，可得：
学生认真听课并跟着老师的节奏试着和老师一起解决所给的问题
使用板书列出例题和解答过程
1
4、总结：这节课我们复习了上节课学习的等差数列的概念，并学习了求等差数列的通项公式的方法，推导了等差数列的通项公式，强调学生要熟记这个公式，并会应用这个公式求等差数列的通项
总结
学生和老师一起总结本节课所学知识
an- a1=（n-1）d
即an=a1+（n-1）d（*）
指出这里n≧2，发现当n=1时，（*）也成立，所以对一切正整数N,上面的公式（*）都成立，因此它就是等差数列{an}的通项公式，这种求等差数列的通项公式的方法叫做迭代法。
讲解技能（分析性讲解，使学生理解这种求等差数列的通项公式的过程）
学生认真听讲，并跟着老师分析的过程试着回答老师所列的步骤
教学重点、难点

等差数列的通项公式教案一、引言等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是数学中的重要概念之一，也是初高中数学课程的基础内容。

在学习等差数列时，学生需要掌握等差数列的定义、性质以及其通项公式的推导与应用。

本教案旨在通过清晰简洁的讲解和示例，帮助学生全面理解等差数列的通项公式。

二、等差数列的定义和性质1. 定义等差数列是指一个数列中的任意两个相邻项之差都相等的数列。

常用字母表示等差数列的一般项，一般记为an。

2. 性质（1）等差数列的通项公式是数列中任意一项与首项之间的差等于公差的n-1倍，即an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

（2）等差数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。

三、等差数列通项公式的推导过程为了帮助学生理解等差数列通项公式的推导过程，我们以等差数列的首项a1和公差d为已知条件，通过数学推理的方式得出通项公式an = a1 + (n-1)d。

策略一：利用等差数列性质推导根据等差数列的性质，我们知道an与a1之间的差值是公差d的n-1倍。

即an - a1 = d * (n-1)。

移项得到an = a1 + (n-1)d，这就是等差数列的通项公式。

策略二：利用等差数列的递推关系推导根据等差数列的定义，我们知道an是一个数列中与a1的差等于d 的第n项。

因此，我们可以通过递推的方式来推导通项公式。

首先列举几个已知的等差数列项：a1、a2、a3，其中a2 = a1 + d，a3 = a2 + d。

可以发现，a2 - a1 = (a1 + d) - a1 = d，同理a3 - a2 = d。

可以推断，任意两项之间的差值都等于公差d。

我们可以使用递推关系来表示等差数列的各项，即an = a(n-1) + d。

通过不断逆推，可以将an表示为a(n-k) + kd。

而a(n-k)又可以用a(n-k-1) + d表示，以此类推，最终可以将an表达为a1 + (n-1)d。

课时教学设计首页（试用）授课时间：年月日课题 6.2.1 等差数列的概念课型新授第几课时1课时教学目标（三维）1.明确一个数列是等差数列的条件，会根据定义判断一个已知数列是否为等差数列，了解公差的概念; 能够灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、及指定的某项；理解并会求等差中项。

2.带领学生经历简单等差数列的产生过程及应用等差数列的基本知识解决问题的过程3. 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力以及积极思考，追求新知的创新意识。

教学重点与难点教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的通项公式的应用教学方法与手段本课时采用自主探究式教学方法，在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既得知识又发展智能的目的．使用教材的构想根据本节课的教学目标及对重点难点的分析，结合实际学情，我对教学内容和过程做如下处理：1、增加一些教学情境、实例，让学生体验等差数列知识在生活中的应用，激发学生学习兴趣；2、概念讲解穿插渗透在实例分析中，降低理解难度；3、对教材中的例题进行一些删减，同时增加一些同步练习和测试。

☆补充设计☆教师行为学生行为设计意图复习数列、通项公式及递推公式的概念。

导入问题某工厂的仓库里堆放一批钢管（参见教材图6-1），共堆放了7层，试从上到下列出每层钢管的数量．教师出示引例，并提出问题．学生探究、解答．希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程．新课从上例中，我们得到一个数列，每层钢管数为4，5，6，7，8，9，10. ---①又如：请从小到大依次写出自然数中50以内5的整数倍0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50 …………………………….②21世纪中所有蛇年的年份：2001，2013，2025，2037，2049，2061，2073，2085，2097……………….③1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）．(2,1n d a a nn)练习一抢答：下列数列是否为等差数列？1，2，4，8，16，32，64，…；0，1，2，3，4，5，6，…；－8，－6，－4，0，2，4，…；3，0，－3，－6，－9，…．3，3，3，3，3，3，3，…；注意：求公差d 一定要用后项减前项，而不能用前项减后项．提问：请同学们仔细观察，看看这个数列有什么共同的特点？学生观察、回答．师生共同总结特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）．我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列．教师板书本节标题及定义．师：等差数列的例子，在生活中有很多，谁能再举几个？教师出示题目．学生思考、抢答．师：你能说出练习一中，各等差数列的公差吗？学生说出各题的公差d ．教师订正并强调求公差应注意的问题．由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力．在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运用．2．常数列特别地，数列3，3，3，3，3，3，3，…也是等差数列，它的公差为0．公差为0的数列叫做常数列．3．等差数列的通项公式首项是a1，公差是d的等差数列{a n}的通项公式可以表示为a n＝a1＋(n－1)d．强调：通项公式是用含有n的式子表示a n4．通项公式的应用根据这个通项公式，只要已知首项a1和公差d，便可求得等差数列的任意项a n．事实上，等差数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个．例1 求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项．解因为a1= 8，d = 5－8=－3，所以这个数列的通项公式是a n = 8+(n-1)×(-3)，即a n = －3n + 11．所以a20= －3×20+ 11 = -49.试求出数列②的通项公式:a n =5（n-1）师：已知一个等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项a n呢？学生分组探究，填空，归纳总结通项公式a2＝a1 + d，a3= + d = + d= a1 + d，a4= + d = + d= a1 + d，，……a n = a1 + d．师：一个等差数列的各项，已知和就可以确定下来？师：等差数列的通项公式中共有几个变量？教师引导学生分析本题，已知什么？求什么？怎么求？学生思考、说出已知、所求，代入通项公式．．学生尝试解答后，师生共同板书解题过程．仿照例1，教师引导、点拨．学生解答．引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．鼓励学生自主解答，培养学生运算能力．例2 等差数列－5，－9，－13，…的第多少项是－401？解因为a1= －5，而且d = －9－(－5)=－4，a n = －401，所以－401= －5+ (n－1)×(－4)．解得n=100．即这个数列的第100项是－401．练习二P13（1）求等差数列3，7，11，…的第7，项．（2）求等差数列10，8，6，…的第20项．练习三在等差数列{a n}中：a1= 12，a6= 27，求d．例3 在3与7之间插入一个数A，使3，A，7成等差数列，求A．解因为3，A，7成等差数列，所以A－3 = 7－A，2A = 3 + 7．解得A=5．5．等差中项的定义一般地，如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．6．等差中项公式如果A是a与b的等差中项，则A = a + b2．出示解题过程．学生核对、订正．教师强调解题过程要规范、严谨．学生练习．请学生在黑板上做题．教师巡视指导．师生共同订正．教师出示例题．学生同桌之间合作探究．学生分析解题思路．教师出示答案，订正．师：在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列．你能用a，b来表示A吗？学生探究、回答．教师订正学生的回答，给出等差中项的定义和公式．师：你能用文字描述一下这个式子的含义吗？师：在等差数列1，3，5，7，9，11，13，…中，每相邻的三项，满足等差中项的关系吗？通过例题，强化学生对等差数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识．由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力．在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运用．这就表明，两个数的等差中项就是它们的算术平均数．7．一个结论在等差数列a1，a2，a3，…，a n，…中，a2 = a1 + a32，a3 = a2 + a42，……a n = a n－1 + a n+12，……这就是说，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．练习四求下列各组数的等差中项：（1）732与－136；（2）492与42．练习五（1）已知等差数列{a n }中，a1= 3，a n = 21，d = 2，求n．（2）已知等差数列{a n }中，a4= 10，a5= 6，求a8和d．例4 梯子的最高一级是33 cm，最低一级是89 cm，中间还有7级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度．解用{a n}表示题中的等差数列．已知a1= 33，a n = 89，n = 9，则a9= 33+(9－1)d，即学生分组合作探究，得出结论．师：能将这个结论推广到一般的等差数列中吗？学生继续分组合作探究．教师总结学生的回答，给出结论．学生做练习．学生回答各题结果，统一订正答案．教师出示例题．学生分组合作探究．教师点拨、引导：（1）例题给出了哪些量？如何用数列符号表示？（2）例题中的所求量是什么？需要知道哪些条件？教师总结学生思路，给出解题过程．引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．通过两道直接套用公式的练习题，强化学生对中项公式的掌握．学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．89 = 33 + 8d，解得d = 7．于是a2= 33 + 7 = 40，a3= 40 + 7 = 47，a4= 47 + 7 = 54，a5= 54 + 7 = 61，a6= 61 + 7 = 68，a7= 68 + 7 = 75，a8= 75 + 7 = 82．即梯子中间各级的宽从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm．学生自主练习．教师巡视指导．请个别学生在黑板上做题后，师生共同订正．教师引导学生订正解题过程，规范解题步骤．鼓励学生自主解答，培养学生运算能力．通过例题，强化学生对等差数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识．课时教学设计尾页（试用）☆补充设计☆板书设计6.2.1 等差数列的概念1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式．3．等差数列通项公式和中项公式的应用．4. 等差中项的定义和公式．作业设计教材P17，习题第1，2题教学后记。

技能基础
具有一定的理性分析能力和概括能力，对数学公式的运用已具备一定的技能，对方程思想的体会逐渐深刻。
学习特点
思维正处于从经验性的逻辑思维向抽象思维发展的过程，但仍需依赖具体的经验才来理解抽象的逻辑关系。
教学目标
知识目标
了解等差数列、等差中项的概念，
掌握等差数列的通项公式以及性质。
熟练运用等差数列的通项公式与性质进行解题；
完成预习任务并巩固数列的表示方法。
通过素材的寻找，结合学情分析，设计最优情境导入。
自主任务
预习等差数列的
概念与通项公式
二、课堂教学及优化
环节一：情境导入阶段12min
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
问题情境一：
往届的奥运会都是在何时何地举行的呢？请看视频并记录。
分享奥运会相关视频；根据视频提问每届奥运会召开的时间；
本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
三、教学过程
一、课前测评及任务
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
测评分析
数列的初步认识，
符号表达基本掌握
布置课前预习，准备各个情境的素材资料以及活动道具。
2用数学建模解决实际问题时绝不是单纯的几个计算而已，一定要强调格式，解应用题，数学模型一定要交代，而且要交代清楚，平时的训练中不能忽略这个问题，在对答案时要把,文字部分反复几遍要学生用笔记在解答过程中，这样他们才能引起重视，以后学习解概率题时不会丢掉必要的文字叙述。
观看视频；
记录每届奥运会的时间；

课题：等差数列（一）班级： 学生姓名 组别: 评价：【学习目标】1．理解等差数列的概念； 2．掌握等差数列的通项公式．3．能在具体问题中发现数列的等差关系，并能用相关知识解决相应问题。

重点：等差数列的定义；难点：等差数列的通项公式的推导。

【预习案】【使用说明与学法指导】1.用20分钟左右的时间，阅读探究课本的内容，熟记基础知识。

自主高效预习，提升自己的阅读理解能力.2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题.3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.一、 相关知识1、 等差数列的定义；2、 等差数列的通项公式推导。

二、 教材助读1．等差数列的定义是什么？用什么字母来表示各部分？2．等差数列的递推公式与通项公式递推公式_________________,通项公式_________________(推导过程中蕴含什么数学方法？还有其他方法吗？)3．等差中项若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ，即=A 2 或=A 。

4．等差数列q pn a n +=与一次函数q pn y +=的关系是_____________________；等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是三、我的疑惑【探究案】探究点一：等差数列的概念 例1．（等差数列概念）给出下列命题：①1，2，3，4，5是等差数列；②1，1，2，3，4，5是等差数列； ③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； ④数列3,2,1,---a a a a 是公差为1-a 的等差数列； ⑤数列{}12+n 是等差数列； ⑥若c b b a -=-，则c b a ,,成等差数列；⑦若()*1N n n a a n n ∈=--，则数列{}n a 成等差数列； ⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列； ⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。

“6．2 等差数列及其通项公式”教案教材：中等职业教育国家规划教材《数学（基础版）第一册（修订版）》或《数学（基础版）第一册》（高等教育出版社出版）6．2等差数列及其通项公式 教材：使用中等职业教育国学规划教材《数学》（基础版）第一册一、教学目标1、知识目标：（1）、理解等差数列的概念；（2）、掌握等差数列的通项公式，并会根据它进行有关计算。

2、能力目标（1）、观察数列、得出首项、公差，快速写出通项公式；（2）、已知n a n d a ,,,1 中的3个量，用通项公式求出未知量，提高运算能力。

3、德育目标通过1900年至1912年4届奥运会的撑杆跳世界纪录组成的数列实例，引导学生感悟，学习的理论知识要联系实际，养成实事求是的作风。

二、教学重点、难点重点：等差数列的概念以及通项公式；难点：已知n a n d a ,,,1 中的3个量，用通项公式求出未知量。

三、教法、学法1、教法启发式：引导学生运用等差数列中d a a d a a d a a n n =-=-=--12312,.......,，这（n-1）个左右两边相加，得出等差数列的通项公式，并学会运用。

2、学法以“尝试——总结——实践”的方法进行学习，体现以教师为主导，以学生为主体地位的双主性原则。

培养学生动口、动脑、动手及观察能力。

四、课时安排本课题安排2课时。

五、教学过程事实上，1988年奥运会的撑杆跳世界纪录为6.06米，由此看出，对于一个有穷数列，求出的通项公式，不能把n的取值范围扩大，否则，会与实际情况不符。

等差数列的作业P291 练习 A组 1，2，3。

B组1。

尊敬的各位评委，大家好，今天我为大家带来的是第六章节数列的第四课时等差数列的通项公式中例题学习和巩固练习的片段，现在开始上课。

同学们，通过前面的学习，我们得到了数等差数列的通项公式为d 1n a a 1n ）（++=，并且知道了在四个未知量中知道3个，就可以求出另外1个。

现在让我们一起来看例1，给大家一分钟的时间，独立思考。

时间到，举手回答你从题中得出哪些信息，这位男生，嗯，他说因为100a =48，所以n 等于100，又告诉d=31，知道了这三个，就可以求出首项。

说的很好，掌声送给他。

看来这位同学对公式理解很不错，不过要注意书写的过程，让我们看看有了思路之后，要怎么规范作答。

现在让我们继续来看例2，首先，齐读题目，小明起，好的，这是一道应用题，关键是设合适的未知数x ，列出方程，现在请小组内讨论，完成的小组举手。

第2小组反应很快，请你们代表说一下你们的思路。

嗯，很好，大家听明白了吗？看来这道题是有点难度。

现在，老师再为大家理一理思路，因为三人年龄成等差数列，所以可设小明年龄为x，公差为d，则爸爸年龄为x+d，爷爷年龄x+2d，又三人年龄和为120岁，所以x+(x+d)+(x+2d)=120又因为爷爷年龄比小明的4倍多5岁，所以x+2d=4x+5，得到关于x和d的二元一次方程组，从而求解。

那位举手的男生，还有问题吗？哦，你有其他思路，请你说一下，嗯，这位同学只设了一个未知数，很不错，掌声送给他，现在请这两位同学在黑板上进行规范的作答，应用题注意最后要对问题进行回答。

通过两道例题的学习，我感觉大家跃跃欲试，那现在打开你们的云班课，独立完成练习。

时间10分钟。

时间到，我们一起来订正，注意，在求解等差数列的通项公式时，只需要求出首项与公差。

解决：通过观察、分析发现共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数（二）动手动脑，探究新知一（5分钟）动手动脑，探究新知定义1.等差数列的定义:如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

等差数列数学表达式：daann=-+1两个变形公式：daann+=+1.1daann-.21+=注意：1.公差d：（1）从第2项起，一定要用后项减去前项，不能颠倒（2）从第2项起，任意的后项减去前项均可求d等差数列：-2.1，-0.9，0.3，1.5,2.7......公差d= 2.7-1.5=1.22.从第2项起，每一项与前一项的差都等于0，则该数列也是等差数列（常数列）。

例如：数列 2，2，2，2……也是等差数列，d=0例１已知等差数列的首项为12，公差为− 5，试写出这个数列的第2项到第5项．先由学生写出第2项到第5项，然后老师提问：你能很快写出第101项吗？动脑思考明确新知2.等差数列的通项公式的推导：齐声朗读等差数列的定义理解等差数列的定义明确求公差的方法根据等差数列的定义，求数列前5项，思考第101项怎么求？观察3a、4a、如加深对等差数列的理解指导学生归纳等差数列的定义注意公差的求法加深对等差数列的理解，，的通项公式与第,0105a a 中，=二、教案6．2 等差数列（1）【教学目标】知识目标：理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式能力目标：利用等差数列通项公式的推导，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。

情感目标：通过对等差数列的探究，培养学生主动探索，勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

【教学重点】等差数列的定义及其通项公式．【教学难点】等差数列通项公式的推导和灵活运用.【教学设计】⑴以实例引入知识，激发学生的学习兴趣；⑵利用观察、猜想、归纳、总结得出等差数列的通项公式；⑶知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；（4）课后小组合作、拓展延伸的形式进行讨论、探究、交流，培养团队精神，拓展学生思维；（5）分层教学：提问分层、评价分层、作业分层，注意面向全体学生，充分调动不同层次学生的积极性。

《等差数列的概念与通项公式》导学案Q 情景引入ing jing yin ru汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载，大意如下：在平地上立八尺高的土圭，日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3尺5寸，以后每一节气影长递减9寸916分；夏至影最短，仅长1尺6寸，以后每一节气影长递增9寸916分．如果把这些影长记录下来，会构成一个什么样的数列呢？X 新知导学in zhi dao xue1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的差等于__同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__公差__，公差通常用字母d 表示．若公差d ＝0，则这个数列为__常数列__.2．等差数列的递推公式与通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有：3.等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的__等差中项__.即A ＝__a ＋b2__.Y 预习自测u xi zi ce1．下列数列是等差数列的是( D ) A ．13，15，17，19 B ．1，3，5，7 C ．1，－1,1，－1D ．0,0,0,0[解析] ∵15－13≠17－15，故排除A ；∵3－1≠5－3，故排除B ；∵－1－1≠1－(－1)，故排除C ，∴选D ． 2.2＋1与2－1的等差中项是( C ) A ．1B ．－1C ． 2D ．±1[解析] 设等差中项为x ，由等差中项的定义知x ＝2＋1＋2－12＝ 2.3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为( C ) A ．92 B ．47 C ．46D ．45[解析] a 1＝1，d ＝－1－1＝－2，∴a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋3， 由－89＝－2n ＋3，得n ＝46.4．已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图象与x 轴的交点有__1或2__个．[解析] ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， 又Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.5．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求通项公式a n . [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 5＝10，a 12＝31，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝3.因此这个等差数列的首项是－2，公差是3. ∴a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨等差数列的判断与证明 例题1 判断下列数列是否为等差数列．(1)a n ＝3－2n ； (2)a n ＝n 2－n .[分析] 本题考察判断数列是否是等差数列，即判断a n ＋1－a n (n ∈N *)是否为同一个常数． [解析] (1)∵a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n )＝－2，是常数， ∴数列{a n }是等差数列．(2)∵a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2－(n ＋1)]－(n 2－n )＝2n ，不是常数， ∴数列{a n }不是等差数列．『规律总结』 定义法是判定数列{a n }是等差数列的基本方法，其步骤为： (1)作差a n ＋1－a n ； (2)对差式进行变形；(3)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．〔跟踪练习1〕已知数列的通项公式为a n ＝6n －1，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？[解析] ∵a n ＋1－a n ＝[6(n ＋1)－1]－(6n －1)＝6(常数)， ∴{a n }是等差数列，其首项a 1＝6×1－1＝5，公差为6. 命题方向2 ⇨等差数列的证明例题2 已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，c ＋a b ，a ＋bc也成等差数列．[分析] 由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明． [证明] ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c，则b (a ＋c )＝2ac ，∴ac ＝b a ＋c2.∴b ＋c a ＋a ＋b c ＝b ＋c c ＋a ＋b a ac ＝b a ＋c ＋a 2＋c 2ac ＝2ac ＋a 2＋c 212b a ＋c＝2a ＋c b，即b ＋c a ，c ＋a b ，a ＋bc也成等差数列． 『规律总结』 证明一个数列是等差数列常用的方法有：①利用定义法，即证a n ＋1－a n＝常数；②利用等差中项的概念来进行判定，即证2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．〔跟踪练习2〕 若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b成等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列． [证明] 由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c， 即2b ＋a ＋c b ＋c a ＋b ＝2c ＋a.即(2b ＋a ＋c )(c ＋a )＝2(b ＋c )(a ＋b )． ∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列． 命题方向3 ⇨等差数列的通项公式 例题3 在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.[分析] 根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，由条件可建立关于a 1、d 的二元一次方程组解出a 1、d .[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5－1d ＝－1a 1＋8－1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝1.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋6－1d ＝12a 1＋4－1d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2.∴a 9＝a 1＋(9－1)d ＝1＋8×2＝17.『规律总结』 1.构成等差数列的基本量是a 1和d ，根据已知条件列出关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d ，进而求出通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，应用a n ＝a m ＋(n －m )d 较简便．〔跟踪练习3〕100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． [解析] ∵a 1＝2，d ＝9－2＝7， ∴a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15. ∴100是这个数列的第15项．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi 对等差数列的定义理解不透致错例题4 若数列{a n } 的通项公式为a n ＝10＋lg2n (n ∈N *)，求证：数列{a n }为等差数列． [错解] 因为a n ＝10＋lg2n＝10＋n lg2，所以a 1＝10＋lg2，a 2＝10＋2lg2，a 3＝10＋3lg2，所以a 2－a 1＝lg2，a 3－a 2＝lg2，则a 2－a 1＝a 3－a 2，故数列{a n }为等差数列． [辨析] 错解中仅利用a 2－a 1＝a 3－a 2来证明数列{a n }是等差数列导致错误． [正解] 因为a n ＝10＋lg2n＝10＋n lg2，所以a n ＋1＝10＋(n ＋1)lg2. 所以a n ＋1－a n ＝[10＋(n ＋1)lg2]－(10＋n lg2) ＝lg2(n ∈N *)．所以数列{a n }为等差数列．X 学科核心素养ue ke he xin su yang 构造法 对形如a n ＋1＝ka n ma n ＋k的数列可转化为等差数列求解例题5 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝3a n3－a n ，试探究{a n }的通项公式．[分析] 可用列举观察法求解；也可用变形构造法求解． [解析] 将a n ＋1＝3a n 3－a n 变形为1a n ＋1－1a n ＝－13，令b n ＝1a n ，则b n ＋1－b n ＝－13，∴数列{b n }构成等差数列，首项b 1＝1a 1＝2，公差d ＝－13，∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2－13(n －1)＝7－n3，∴a n ＝37－n. K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( A ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列[解析] ∵a n ＝2n ＋5，∴a n －1＝2n ＋3(n ≥2)， ∴a n －a n －1＝2n ＋5－2n －3＝2(n ≥2)， ∴数列{a n }是公差为2的等差数列．2．(2018－2019学年度吉林汪清六中高二月考)等差数列－3,1,5，…的第15项的值是( B )A ．40B ．53C ．63D ．76[解析] 设这个等差数列为{a n }，其中a 1＝－3，d ＝4，∴a 15＝a 1＋14d ＝－3＋4×14＝53.3．{a n }是等差数列，a 1与a 2的等差中项为1，a 2与a 3的等差中项为2，则公差d ＝( C ) A ．2 B ．32 C ．1D ．12 [解析] ∵{a n }是等差数列，a 1与a 2的等差中项为1，a 2，a 3的等差中项为2， ∴a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝4，两式相减得a 3－a 1＝2d ＝4－2，解得d ＝1. 4．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝__72__.[解析] 设公差为d ，则9＝2＋4d ， ∴d ＝74.∴c －a ＝2d ＝72.A 级 基础巩固一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6[解析] 根据题意知：a 4＝a 2＋(4－2)d ，易知d ＝－1，所以a 6＝a 4＋(6－4)d ＝0. 2．等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第( )项( B ) A ．60 B ．61 C ．62D ．63[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝33a 1＋44d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝21d ＝3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝21＋3(n －1)＝3n ＋18. 令201＝3n ＋18，∴n ＝61. 3．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( A ) A ． 3 B ． 2 C ．13D ．12[解析] 设等差中项为x ，由等差中项的定义知，2x ＝a ＋b ＝13＋2＋13－2＝(3－2)＋(3＋2)＝23，∴x ＝3，故选A ．4．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝( C ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7a 1＋d ＋6＝a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2.∴a 6＝a 1＋5d ＝3＋10＝13.5．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 5＝10，则数列{a n }的公差为( B ) A ．1 B ．2 C ．12D ．32[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4a 1＋4d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝2.6．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( B ) A ．40B ．42C ．43D ．45[解析] 设公差为d ，则a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 1＋2d ＝2a 1＋3d ＝4＋3d ＝13，解得d ＝3，所以a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋5d )＝3a 1＋12d ＝42.二、填空题7．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3，则a n ＝__－2n ＋3__. [解析] 设公差为d ，由题意，得a 3＝a 1＋2d ，∴－3＝1＋2d ，∴d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1－2(n －1)＝－2n ＋3.8．一个直角三角形三边长a 、b 、c 成等差数列，面积为12，则它的周长为[解析] 由条件知b 一定不是斜边，设c 为斜边， 则⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c 12ab ＝12a 2＋b 2＝c2，解得b ＝42，a ＝32，c ＝52，∴a ＋b ＋c ＝12 2. 三、解答题9．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． [解析] 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则3a ＝9，∴a ＝3.∴这三个数分别为3－d,3,3＋d . 由题意，得3(3－d )＝6(3＋d )， ∴d ＝－1.∴这三个数分别为4,3,2.10．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，求b n 及b 15. [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝6a 5＝a 1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝3.∴a n ＝3＋3(n －1)＝3n . ∴b n ＝a 2n ＝3×2n ＝6n . ∴b 15＝6×15＝90.B 级 素养提升一、选择题1．在数列{a n }中，已知a 2＝2，a 6＝0，且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 4等于( A ) A ．12 B ．13 C ．14D ．16[解析] 解法一：设数列{1a n ＋1}的公差为d ，则1a 6＋1－1a 2＋1＝4d ，代入数据可得d ＝16. 因此1a 4＋1＝1a 2＋1＋2d ＝23.故a 4＝12，选A ． 解法二：由等差中项的性质可知，2·1a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 2＝12.故选A ． 2．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2等于( C )A ．32 B ．23 C ．43D ．34[解析] 由题意，得b ＝a ＋3d 1＝a ＋4d 2， ∴d 1＝b －a3，d 2＝b －a4，∴d 1d 2＝b －a 3·4b －a ＝43.3．设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( C )A ．48B ．49C ．50D ．51[解析] a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝23＋5d ＝4，∴d ＝23，又a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23(n －1)＝33，∴n ＝50.4．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( D )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d >1125＋8d ≤1，∴875<d ≤325. 二、填空题5．一个等差数列的前4项分别是a ，x ，b,2x ，则a b ＝__13__.[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b2b ＝3x ，∴a ＝x 2，b ＝32x ，∴a b ＝13.6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为__6766__升．[解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322d ＝766.∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.三、解答题7．设{a n }是等差数列，若a m ＝n ，a n ＝m ，(m ≠n )，求a m ＋n . [解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1d ＝n a 1＋n －1d ＝m，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝m ＋n －1d ＝－1 ，∴a m ＋n ＝a 1＋(m ＋n －1)d ＝(m ＋n －1)－(m ＋n －1)＝0.C 级 能力拔高1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列，判断△ABC 的形状．[解析] 由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b .① 由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b .②②2－①得2ac ＝2b ，即b 2＝ac .将①平方得a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2③， 将b 2＝ac 代入③得a 2＋2ac ＋c 2＝4ac ，即(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵a ＋c ＝2b ，∴2a ＝2b ，∴a ＝b ，∴a ＝b ＝c .∴△ABC 是等边三角形． 2．已知f (x )＝2x x ＋2，在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝f (a n －1)，n ≥2，n ∈N *. (1)证明：{1a n}是等差数列；(2)求a 95的值．[解析] (1)证明：因为a n ＝f (a n －1)， 所以a n ＝2a n －1a n －1＋2，即a n a n －1＋2a n ＝2a n －1.所以2a n －1－2a n a n a n －1＝1，即1a n －1a n －1＝12.所以{1a n }是首项为1a 1＝3，公差为12的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝3＋(n －1)×12＝n ＋52，∴a n ＝2n ＋5， ∴a 95＝295＋5＝150.。