2012年山东省高考数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共四页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名 、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按上述要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．若事件,B A 互斥，则()()()P A B P A P B +=+；若事件,B A 独立，则()()()P AB P A P B =⋅．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．（1）若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --（2）已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则 U A B （）ð为（ ）（A ）{1,2,4} （B ）{2,3,4} （C ）{0,2,4} （D ）{0,2,3,4}（3）设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数2()(2)g x a x =-在R上是增函数”的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要 （4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，便后落入[451,750]做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）15（5）已知点(,)x y 满足约束条件{2441x y x y +≤-≥-，则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2--（C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-（6）执行右面的程序框图，若输入4a =，则输出的n 的值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（7）若[,],sin 22ππθθ∈=4sin θ=（ ）（A ）35 （B ）45 （C （D ）34（8）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，且当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)...(2012)f f f f ++++=（ ）（A ）335 （B ）338 （C ）1678 （D ）2012 （9）函数cos 622xxx y -=-的图像大致为（ ）（10）已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的离心率为221x y -=的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）（A ）22182y x += （B ）221126y x += （C ）221164y x += （D ）221205y x += （11）现有16张不同的卡片，其中红、黄、蓝、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） （A ）232 （B ）252 （C ）472 （D ）484（12）设函数1()f x x=，2()(,R ,0)g x ax bx a b a =+∈≠，若()y f x =的图像与()y g x =的图像有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是（ ） （A ）当0a <时，12120,0x x y y +<+>（B ）当0a <时，12120,0x x y y +>+< （C ）当0a >时，12120,0x x y y +<+< （D ）当0a >时，12120,0x x y y +>+>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（13）若不等式|4|2kx -≤的解集为{|13}x x ≤≤，则实数k =________． （14）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA BB 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为__________．（15）设0a >，若曲线y =,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =_____________．（16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为______________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．（17）（本小题满分12分）已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2A x x x A ==>m n ，函数()f x =⋅m n 的最大值为6． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在5[0,]24π上的值域．（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形A B C D 是等腰梯形， ,AB CD 60,DAB ∠= F C ⊥平面,ABCD AE BD ⊥， C B C D C F ==．（Ⅰ）求证B D ⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F B D C --的余弦值．（19）（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E X ．A BCDFE（20）（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为{}n b ，求数列{}n b的前m 项和m S ．（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x py =(0)p >的焦点，M 是抛物线C 上 位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线 的距离为34．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点?M 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M 1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122k ≤≤时，22||||AB DE +的最小值．（22）（本小题满分13分）已知函数ln ()x x k f x e+=（k 为常数， 2.71828...e =是自然对数的底数），曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行． （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+，其中'()f x 是()f x 的导函数．证明：对任意0x >，2()1g x e -<+．2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案一、选择题二、填空题（13）2 （14）16 （15）49（16）(2sin 2,1cos 2)--三、解答题（17）解：（Ⅰ）()=⋅f x m nsin cos cos 2212cos 2)2sin(2)A x x xA x x A x π=+=+=+6因为 0A >，由题意知 6A =．（Ⅱ）由（I ）()6sin(2)f x x π=+6将()y f x =的图象向左平移π12个单位后得到6s i n [2()]6s i n (2)y x x πππ=++=+1263的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到6s i n (4)y x π=+3的图象． 因此()6sin(4)g x x π=+3，因为5[0,]x π∈24，所以74[,]x πππ+∈336，所以1sin(4)[,1]2x π+∈-3，所以()g x 在5[0,]π24上的值域为[3,6]-．（18）（Ⅰ）证明：因为四边形A B C D 为等腰梯形，AB CD ，60DAB ∠= ， 所以 120ADC BCD ∠=∠= ． 又 C B C D =， 所以 30CDB ∠=因此 90ADB ∠= ，AD BD ⊥，又 AE BD ⊥，且AE AD A = ，,AE AD ⊂平面AED ， 所以 B D ⊥平面AED ． （Ⅱ）解法一：由（I ）知AD BD ⊥，所以A C B C ⊥，又F C ⊥平面A B C D ，因此 ,,CA CB CF 两两垂直．以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设1C B =，则，(0,0,0)C ，(0,1,0)B ，1(,,0)2D -，(0,0,1)F ，因此 3(,,0)2BD =- ，(0,1,1)BF =- ．设平面B D F 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则 0BD =⋅ m ，0BF =⋅m ， 所以x ==，取1z =， 则(,1,1)=m ．又平面B D C 的法向量可以取为(0,0,1)=n ，所以 cos ,||||<>===⋅m n m n m n ，所以二面角F B D C --．解法二：取B D 的中点G ，连结,CG FG ，由于C B C D =，所以C G B D ⊥．又F C ⊥平面A B C D ，BD ⊂平面A B C D ，所以FC BD ⊥．由于FC CG C = ，,FC CG ⊂平面F C G ，所以B D ⊥平面F C G ，故B D F G ⊥． 所以F G C ∠为二面角F B D C --的平面角．在等腰三角形BC D 中，由于120BCD ∠= ， 因此1CG CB =，又C B C F =，所以C F G ==，故 cos FGC ∠=因此 二面角F B D C --．（19）解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件A ；“该射手设计甲靶命中”为事件B ；“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ．由题意知，3()4P B =，2()()3P C P D ==，由于A BC D BC D BC D =++，根据事件的独立性与互斥性得 ()()()()()P A P B C D B C DB C DP B C D P B C D P B C D=++=++ 333222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)433433433=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯736=（Ⅱ）根据题意，X 的所以可能取值为0,1,2,3,4,5．根据事件的独立性和互斥性得3221(0)()(1)(1)(1)43336P X P BC D ===-⨯-⨯-=，3221(1)()(1)(1)43312P X P BC D ===⨯-⨯-=，3221(2)()()(1)(1)24339P X P BC D P BC D ==+=-⨯⨯-⨯=，3221(3)()()(1)24333P X P BC D P BC D ==+=⨯⨯-⨯=3221(4)()(1)4339P X P BCD ===-⨯⨯=3221(5)()4333P X P BCD ===⨯⨯=故X 的分布列为所以111111410123453612939312EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（20）解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个等差数列，所以3454384a a a a ++==，即428a =． 所以，数列{}n a 的公差9473289945a a d --===-， 所以，*4(4)289(4)98()n a a n d n n n =+-=+-=-∈N（Ⅱ）对*m ∈N ，若 299m m n a <<，则 298998m m n +<<+，因此 121919m m n --+≤≤， 故得 2199m m m b -=-于是 123...m m S b b b b =++++35212121(999...9)(199...9)9(181)19181199109180m m m m m m --+=++++-++++⨯--=----⨯+=（21）解：（Ⅰ）依题线段O F 为圆Q 的弦，由垂径定理知圆心Q 的纵坐标4Q py =， 又Q 到抛物线准线2p y =-的距离为32424Q p p py +=+=，所以1p =. 所以22x y =为所求.（Ⅱ）假设存在点0(M x ，20)2x ，又(0F ，1)2，设(Q Q x ，1)4.22x y =变形为22x y ='y x ⇒=因为直线MQ 为抛物线的切线，故02000124'|M Q x x Qx k y x x x =-===-，解得00124Q xx x =+，即001(24x Q x +，1)4. 又取FM 中点0(2x N ，201)4x +，由垂径定理知FM QN ⊥， 所以0(F M Q N x =⋅ ，201)2x -⋅01(4x -，20)4x 0=0x ⇒=，所以存在M 1).（Ⅲ）依题M 1)，圆心Q 1)4，圆Q的半径||r O Q ===，圆心Q 到直线14y kx =+的距离为||d ==， 所以，22222222725272||4()43232(1)8(1)k k D E r d k k ⎛⎫+=-=-= ⎪++⎝⎭. 又联立222120124x yx kx y kx =⎧⎪⇒--=⎨=+⎪⎩， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有，1212212x x kx x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩.所以，222221212||(1)[()4](1)(42)AB k x x x x k k =++-=++. 于是，22222422222792511||||(1)(42)46(2)4828(1)1k AB D E k k k k k k k ++=+++=+++≤≤++⋅记292511()46(4)4814f x x x x x =+++≤≤+⋅，225251'()866088(1)f x x x =+->->+⋅，所以()f x 在1[4，4]上单增， 所以当14x =，()f x 取得最小值min 131()()42f x f ==，所以当12k =时，22||||AB DE +取得最小值132.（22）解：（Ⅰ）1ln '()xx kx f x e--=，依题意，1'(1)01k f k e -==⇒=为所求. （Ⅱ）此时1ln 1'()xx x f x e --=(0)x >记1()ln 1h x x x=--，211'()0h x xx =--<，所以()h x 在(0，)+∞单减，又(1)0h =， 所以，当01x <<时，()0h x >，'()0f x >，()f x 单增； 当 1x >时，()0h x <，'()0f x <，()f x 单减. 所以，增区间为（0，1）；减区间为（1，)+∞.（Ⅲ）21()()'()(1ln )x x g x x x f x e x x x +=+=⋅--，先研究1ln x x x --，再研究1x x e +.① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时，'()0i x >，()i x 单增； 当2(x e -∈，)+∞时，'()0i x <，()i x 单减 .所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减，所以，()(0)1j x j <=，即11x x e+<综①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e --++=--≤+<+.另解依题意知关于x 的多项式32()1h x ax bx =+-有二重根，不妨设二重根为1x ，另一根为2x ， 则上述多项式可以分解为 212()()()h x a x x x x =--， 展开对比x 系数得 112(2)0a x x x +=， 由于0a <，且显然10x ≠，故必有 122x x =-， 又展开对比常数项得 2121ax x =，从而解得 122x x =-=又1y x =，易得 212yy =-=，从而 1212;0x x y y +=>+=<．2012山东卷理科16题（16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆 在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时， OP的坐标为 ．解答：标记字母如图，显然 2BP=，所以2rad PCB ∠=，所以2rad PCM π∠=-2又1PC =，在P C M ∆中，sin sin(2)cos 2PM PC PCM π=∠=-=-2；cos cos(2)sin 2CM PC PCM π=∠=-=2.于是，2sin 2OA OB AB OB CM =-=-=-. 1cos 2AP AM PM =+=-；即(2sin 2O P =-，1cos 2)-注意，直线OP 与圆C 并不相切.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【解析】i i i i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A.【答案】A (2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则B AC U ）（为(A){1,2,4}(B){2,3,4}(C){0,2,4}(D){0,2,3,4}【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C.【答案】C(3)函数1()ln(1)f x x =++(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]-(D)(1,2]-【解析】要使函数有意义则有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠+>+040)1ln(012x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≠->2201x x x ，即01<<-x 或20≤<x ，选B.【答案】B(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差【解析】设A 样本的数据为变量为X ，B 样本的数据为变量为Y ，则满足2+=X Y ，根据方差公式可得DX X D DY =+=)2(，所以方差相同，标准差也相同，选D.【答案】D(5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真(B)q ⌝为假(C)p q ∧为假(D)p q ∨为真【解析】函数x y 2sin =的周期为ππ=22，所以命题p 为假；函数x y cos =的对称轴为Z k k x ∈=,π,所以命题q 为假，所以q p ∧为假，选C.【答案】C(6)设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是(A)3[,6]2-(B)3[,1]2--(C)[1,6]-(D)3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)0,2(E 时，直线z x y -=3的截距最小，此时z 最大为63=-=y x z ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ，此时233233-=-=-=y x z ，所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-，选A.【答案】A(7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为(A)2(B)3(C)4(D)5【解析】当4=a 时，第一次1,3,140====n Q P ，第二次2,7,441====n Q P ，第三次3,15,1642====n Q P ，此时Q P <不满足，输出3=n ，选B.【答案】B(8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2-(B)0(C)－1(D)1--【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3sin(2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin 2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.【答案】A(9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，选B.【答案】B(10)函数cos622x xx y -=-的图象大致为【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令0=y 得06cos =x ，所以ππk x +=26，ππ612k x +=，函数零点有无穷多个，排除C,且y 轴右侧第一个零点为)0,12(π，又函数x x y --=22为增函数，当120π<<x 时，022>-=-x x y ，06cos >x ，所以函数0226cos >-=-x x x y ，排除B ，选D.【答案】D(11)已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A)23x y =(B)23x y =(C)28x y =(D)216x y=【解析】抛物线的焦点)2,0(p ，双曲线的渐近线为x a b y ±=，不妨取x a b y =，即0=-ay bx ，焦点到渐近线的距离为2222=+⨯b a p a ，即c b a ap 4422=+=，所以4p a c =双曲线的离心率为2=a c ，所以24==p a c ，所以8=p ，所以抛物线方程为y x 162=，选D.【答案】D(12)设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是(A)12120,0x x y y +>+>(B)12120,0x x y y +>+<(C)12120,0x x y y +<+>(D)12120,0x x y y +<+<【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，故答案选B.方法二：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b =.不妨设12x x <，则223x b ==.所以21()()(F x x x x =--，比较系数得1x -=，故1x =.120x x +=>，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B.【答案】B第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.【解析】以△1ADD 为底面，则易知三棱锥的高为1，故111111326V =⋅⋅⋅⋅=.【答案】61(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.【解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.【答案】9(15)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿.【解析】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意.【答案】14（16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为＿＿＿＿.【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角2=∠PCA,,则22π-=∠PCA ,所以2cos )22sin(-=-=πPB ，2sin 22cos(=-=πCB ，所以2sin 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2cos 1,2sin 2(--=OP .【答案】)2cos 1,2sin 2(--三、解答题：本大题共6小题，共74分.(17)(本小题满分12分)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.(Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .【答案】(17)(I)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，sin sin()sin sin B A C A C +=，2sin sin sin B A C =，再由正弦定理可得：2b ac =，所以,,a b c 成等比数列.(II)若1,2a c ==，则22b ac ==，∴2223cos 24a cb B ac +-==，sin C =∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯⨯.(18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310P =.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =.(19)(本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .【答案】(19)(I)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC CD =知，CO BD ⊥，又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线，所以BE DE =.(II)取AB 中点N ，连接,MN DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ，∵△ABD 是等边三角形，∴DN AB ⊥.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB ⊥，所以ND ∥BC ，所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC .(20)(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .【答案】(I)由已知得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得17,7a d ==,所以通项公式为7(1)77n a n n =+-⋅=.(II)由277m n a n =≤，得217m n -≤，即217m m b -=.∵211217497m k m k b b ++-==，∴{}m b 是公比为49的等比数列，∴7(149)7(491)14948m m m S -==--.(21)(本小题满分13分)如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ)设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.【答案】(21)(I)22234c a b e a a -===……①矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……②由①②解得：2,1a b ==，∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=.(II)222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m xx m x x -+=-=，由226420(44)0m m ∆=-->得m <<.||PQ=.当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.①当1m <<-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，||||PQ ST ==其中3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST.②由对称性，可知若1m <<53m =时，||||PQ ST.③当11m -≤≤时，||ST =||||PQ ST =，由此知，当0m =时，||||PQ ST.综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST.(22)(本小题满分13分)已知函数ln ()(e xx k f x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.【答案】(I)1ln ()e xx k x f x --'=，由已知，1(1)0e k f -'==，∴1k =.(II)由(I)知，1ln 1()e xx x f x --'=.设1()ln 1k x x x=--，则，即()k x 在(0,)+∞上是减函数，由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时()0k x <，从而()0f x '<.综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.(III)由(II)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >，∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--.设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+，当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<，所以当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上，对任意0x >，2()1e g x -<+.。

2012年山东省高考数学试题（附答案和解释）（理科Word版）2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：锥体的体积公式：V= Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）•P（B）。

第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析： .答案选A。

另解：设，则根据复数相等可知，解得，于是。

2 已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA） B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4} 解析：。

答案选C。

3 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= ax在R上是减函数”，是“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件解析：p：“函数f(x)= ax在R上是减函数”等价于；q：“函数g(x)=(2-a) 在R 上是增函数”等价于，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。

2012年山东高考数学试题解析及答案讲解详细分析Certainly! Here is the response in English:The 2012 Shandong College Entrance Examination Math Test is a comprehensive examination that evaluates students' understanding of mathematical concepts, problem-solving skills, and ability to apply mathematical principles toreal-world scenarios. The test consists of multiple-choice questions, short answer questions, and problem-solving questions.First, let's analyze the multiple-choice questions. One of the multiple-choice questions from the 2012 Shandong College Entrance Examination Math Test was related to the application of trigonometric functions. It required students to identify the appropriate trigonometric function given a certain angle. Another question tested students' knowledge of calculus, asking them to find the derivative of a given function. These questions assessed students' understanding of fundamental mathematical concepts.Moving on to the short answer questions, one question required students to solve a system of linear equations using the substitution method. Another question focused on geometric concepts, asking students to calculate the area of a given polygon. These questions aimed to evaluate students' ability to apply mathematical principles to solve practical problems.The problem-solving questions in the 2012 Shandong College Entrance Examination Math Test were particularly challenging. One of the questions involved a real-world scenario where students had to analyze and interpret data from a given graph and make predictions based on the trends. Another question required students to demonstrate their understanding of probability and statistical concepts by solving a complex probability problem.In summary, the 2012 Shandong College Entrance Examination Math Test covered a wide range of mathematical topics, including calculus, trigonometry, geometry, and statistics. The test aimed to assess students' comprehensive understanding of mathematical principles and their ability to apply theseprinciples to solve complex problems.现在，用中文回答：2012年山东高考数学试题有着较高难度，涵盖了广泛的数学知识点，包括微积分、三角函数、几何和概率统计等。