第八章 立体几何初步 章末知识梳理与能力提升

《人教A版必修二知识点汇总》第8章《立体几何初步》知识点汇总8.1 基本立体图形1.空间几何体、多面体、旋转体的定义（1）空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.（2）多面体的概念像纸箱、金字塔这样，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.①面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.如图，有面ABE, 面BCE，面ABF等.②棱：两个面的公共边叫做多面体的棱；如图，有棱BE，棱CE，棱DE等.③顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.如图，有顶点A,顶点B,顶点C等.（3）旋转体的概念像奶粉罐、篮球和足球这样，一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴 .如图：圆柱体就是由矩形OAA1O1绕轴OO1旋转而成.（4）小结2.特殊的多面体（1）棱柱①棱柱的概念与结构特征如图，一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.Ⅰ.底面(底)：两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形.Ⅱ.侧面：其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形.Ⅲ.侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，它们都是相互平行且相等的线段.Ⅳ.顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.温馨提示A.两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图（a）所示;B.过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图(b)所示;C.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图(c)所示.②棱柱的表示与分类棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……例如，右图中的棱柱分别表示为三棱柱ABC−A1B1C1,四棱柱ABCD−A1B1C1D1,五棱柱ABCDE−A1B1C1D1E1.③几种特殊的棱柱Ⅰ.直棱柱：一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.如右图中直四棱柱ABCD−A1B1C1D1.Ⅱ.斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.如右图中斜三棱柱ABC−A1B1C1.Ⅲ.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.如右图中五棱柱ABCDE−A1B1C1D1E1.Ⅳ.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.如右图中平行六面体ABCD−A1B1C1D1.（2）棱锥①棱锥的概念与结构特征有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.Ⅰ.底面：这个多边形面叫做棱锥的底面；Ⅱ.侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；Ⅲ.侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；Ⅳ.顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.温馨提示：对于棱锥要注意，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图所示，必须强调其余各面是具有公共顶点的三角形.②棱锥的表示与分类棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……注：其中三棱锥又叫四面体.例如，右图中的棱锥分别表示为三棱锥(四面体)O−ABC,四棱锥O−ABCD,五棱锥O−ABCDE.③特殊的棱锥——正棱锥底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.（3）棱台①棱台的概念与结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台.Ⅰ.上（下）底面：在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，且上下底面是相似图形.Ⅱ.侧面：其余各个梯形面叫做棱台的侧面；Ⅲ.侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；Ⅳ.顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点.温馨提示：棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.②棱台的表示与分类棱台用表示底面各顶点的字母来表示，由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……例如，右图中的棱台分别表示为三棱台ABC−A1B1C1,四棱台ABCD−A1B1C1D1,五棱锥ABCDE−A1B1C1D1E1.3.特殊的旋转体（1）圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.①轴：旋转轴叫做圆柱的轴；②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；③侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；④母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱的母线.注：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O1O.（2）圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.①轴：旋转轴叫做圆锥的轴；②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；③侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；④母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线.注：圆锥用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO.（3）圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.①轴：旋转轴叫做圆台的轴；②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；③侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面；④母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台的母线.注：圆台用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O1O.（4）球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 .①球心：半圆的圆心叫做球的球心；②半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；③直径：连接球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径；注：球常用表示球心的字母表示，如图中的球记作球O.4.简单组合体（1）定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.（2）构成形式①一种是由简单几何体拼接而成的，如图1；②另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的，如图2.8.2 立体图形的直观图二.知识清单（导学、自学）1.直观图的概念像上面这样，把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使其既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.2.用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图（1）建系在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点 O′ ，且使∠x′O′ y′=45°或135°，它们确定的平面表示水平面.（2）划线（平行不变）已知图形中平行于 x 轴和 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴与y′轴的线段.3.取长度(与 x 轴平行长度不变，与y轴平行长度取半)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.温馨提示画平面图形的直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.2.用斜二测画法画空间几何体的直观图（1）探究用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，2 cm，2 cm的长方体ABCD－A′ B′ C′ D′的直观图.解画法步骤如下①画轴：如图（1）画 x 轴，y 轴， z 轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.②画底面:如图（2），在 x 轴正半轴上取线段AB，使AB=4cm；在y 轴正半轴上取线段AD，使AD=1cm；过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则平行四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.③画侧棱:在z轴正半轴上取线段AA′，使AA=2cm，过B，C，D各点分别作的z轴的平行线，在这些平行线上分别截取2 cm长的线段 BB′，CC′，DD′.④连线成图：顺次连接A′ ，B′ ，C′ ，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①画轴：画 x 轴，y 轴， z 轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°或135°，∠xOz＝90°.②画底面：按照平面图形的画法，，在平面xOy画底面的直观图.③画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.④连线成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.温馨提示画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感.4.用斜二测画法画圆锥、球的直观图（1）圆锥体的直观图对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线，如图所示.（2）球的直观图画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性，如图所示.8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.复习导入——正方体、长方体的体积公式及其表面积公式（1）正方体体积公式及其表面积公式设正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a(a>0),那么S正方体=6×一个面的面积=6a2.V正方体=底面积×高=棱长×棱长×棱长=a3.（2）长方体体积公式及其表面积公式设长方体ABCD－A′B′C′D′的长、宽、高分别为 a,b ,c(a,b,c>0),那么S长方体=(S底+S正+S右)×2=2(ab+ac+bc).V长方体=底面积×高=长×宽×高=abc.2.多面体的表面积由刷漆原理可知：(1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.3.棱柱、棱锥、棱台的体积（1）棱柱的体积由堆积原理可知：一般地，如果棱柱的底面积是S，高是ℎ，那么这个棱柱的体积为V棱柱=底面积×高=Sh简述为：“棱柱的体积等于它底面积与高的乘积 . ”注：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.（2）棱锥的体积由灌注原理可知：一般地，如果棱锥的底面积是S，高是ℎ，那么这个棱锥的体积为V棱锥=13V棱柱=13Sh简述为：“棱锥的体积等于与它等底等高棱柱体积的13”注：棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. （4）棱台的体积由截去原理可知：一般地，棱台的体积公式为V棱台=13h(S+√SS′+S′)其中S′与S分别为棱台的棱台的上、下底面面积，ℎ为棱台的高.简述为：“棱台的体积等于上下底面的面积与它们的几何平均数之和，再乘以棱台高的乘积的13.”注：棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.（4）棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系①当S′=S时，棱台变为棱柱，棱台的体积公式也就是棱柱的体积公式;②当 S′=0时，棱台变为棱锥，棱台的体积公式也就是棱锥的体积公式.4.实例运用例1 如图，四面体P－ABC的各棱长均为a，求它的表面积．解：由题意可知四面体P－ABC是由4个边长为a的正三角形面围成∵S正三角形PBC =12a2sin60°=12×√32∙a2=√34∙a2∴S四面体P－ABC =4S正三角形PBC=4×√34∙a2=√3a2答：四面体P－ABC的表面积为√3a2.例2 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m)解：由题意可得V长方体ABCD－A′B′C′D′=Sℎ=12×0.5=0.5(m3)V棱锥P−ABCD =13Sℎ=13×12×0.5=16(m3)∴V漏斗=V长方体ABCD－A′B′C′D′+ V棱锥P−ABCD=0.5+ 16=23≈0.67(m3)答：这个漏斗的容积约是0.67m3.8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的体积1.圆柱、圆锥、圆台的体积（互学）（1）圆柱的体积由堆积原理可知：一般地，如果圆柱的底面圆半径是r，高是ℎ，那么这个圆柱的体积为V圆柱=底面圆面积×高= Sh =π r2∙h.简述为：“圆柱的体积等于它底面圆面积与高的乘积”例如已知一圆柱的底面圆半径为2cm，高为3cm，则这个圆柱的体积为V圆柱=π r2∙ℎ=π× 22×3=12π(cm3)（2）圆锥的体积由灌注原理可知：一般地，如果圆锥的底面圆半径是r，高是ℎ，那么这个圆锥的体积为V圆锥=13V圆柱=13Sh=13π r2∙h简述为：“圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的13”(3)例如已知一圆锥的底面圆半径为2m，高为3m，则这个圆柱的体积为V圆锥=13Sℎ=13π r2∙ℎ=13π×22×3=4π(m3)3.圆台的体积由截去原理可知：一般地，圆台的体积公式为V圆台=13h(S＇+√S＇S+S)=13h(πr＇2+√πr＇2πr2+πr2)=13πh(r＇2+r＇r+r2) .其中S′与S分别为圆台的上、下底面圆面积，ℎ为圆台的高，r′与r分别为上、下底面圆半径.简述为：“圆台的体积等于上下底面圆的面积与它们的几何平均数之和，再乘以圆台高的乘积的13”(3)例如已知一圆台的上下底面圆半径分别为1dm、2dm, 高为3dm，则这个圆台的体积为V圆台=13πℎ(r＇2+r＇r+r2)=13π×3×(12+1×2+22)=7πdm3.（4）圆柱、圆锥、圆台的体积之间的关系①当 r′=r时，圆台变为圆柱，圆台的体积公式也就是圆柱的体积公式;②当 r′=0 时，圆台变为圆锥，圆台的体积公式也就是圆锥的体积公式.2.实例运用例1 已知某圆柱高为10，底面周长为8π，求圆柱的体积.解：设圆柱的底面圆半径为 r (r>0)∵已知C底=8π∴满足2πr=8π ,解得r=4又∵已知 ℎ=10∴V圆柱=π r2∙ℎ=π× 42×10=160π答：这个圆柱的体积为160π例2 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16√2π，求圆锥的体积.解：作圆锥的轴截面，如图所示∵已知轴截面是等腰直角三角形∴在∆SAB中，∠ASB=90°, 且SA=SB设圆锥的底面圆半径是r，高是 ℎ则 ℎ=r, SB=√2r又∵已知S侧=16√2π∴12×2πr∙SB=16√2π , 即πr×√2r=16√2π解得r=4，∴ℎ=r=4∴V圆锥=13Sℎ=13π r2∙ℎ=13π×42×4=64π3例3已知圆台的上、下底面半径分别为2和 3 ，它的高为 6 ，求圆台的体积. 解：设圆台的高为ℎ，上、下底面圆半径分别为r′与r，则V圆台=13ℎ(S＇+√S＇S+S)=13πℎ(r＇2+r＇r+r2)=13π×6×(22+2×3+32)=38π答：这个圆台的体积为38π8.4.1 平面1.平面的概念、画法及表示（1）面的概念几何里所说的“平面”，就是从生活中的平静的湖面、课桌面、美丽的草原抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的，没有厚薄、没有大小、没有形状.（2）平面的画法与表示①画法在立体几何中，平面通常画成一个含45°角的平行四边形.Ⅰ.当平面水平放置时，通常把平行四边形一组对边画成横向，如图（1）；Ⅱ.当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成竖向，如图Ⅲ.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.②表示Ⅰ.我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内;Ⅱ.也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图（1）中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面 AC 或者平面 BD.2.点、线、面之间的关系及符号表示∵直线上有无数个点，平面内有无数个点，∴直线、平面都可以看作以点为元素组成的集合，于是可将点、线、面之间的关系用符号表示如下所示：位置关系符号表示位置关系符号表示点P在直线l上P∈l点Q在直线l外Q∉l点P在平面α内P∈α点H在平面α外H∉α直线l在平面α内l⊂α直线m在平面α外m⊄α3.平面的基本事实及其推论（1）基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.简述为：“不共线的三点确定一个平面.”基本事实1用数学符号语言表示为：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使 A，B，C∈α（2）基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.注1(作用)：利用基本事实2，可以判断直线是否在平面内.基本事实2用数学符号语言表示为：A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α ⇒l⊂α（3）基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.注：如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.基本事实3用数学符号语言表示为：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l （4）平面基本事实的三个推论利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论:推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.平面基本事实的三个推论用数学符号语言表示为：推论1：点 A∉l⇒l与A共面于平面α，且平面唯一；推论2：a∩b＝P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一；推论3：直线a∥b⇒直线a，b共面于平面α，且平面唯一.3.实例运用例1下列命题正确的是( )A. 三点确定一个平面B. 一条直线和一个点确定一个平面C. 圆心和圆上两点可确定一个平面D. 梯形可确定一个平面解：对于A，空间不共线的三点可以确定一个平面，∴A错;对于B，在空间中，如果这个点在直线上，就不能确定一个平面，∴B错；对于C，圆心和圆上的两点如果在一条直线上，就不能确定一个平面，∴C错;对于D，梯形只有一组对边平行，所以梯形可以确定一个平面，∴D正确.故选D.例2用符号表示下列语句，并画出相应的图形；(1)点A在平面α内，点B在平面α外；(2)直线a既在平面α内，又在平面β内．解：（1）“点A在平面α内，点B在平面α外”表示为：A∈α，B∉α，如图（1）所示.例4解（2）“直线a既在平面α内，又在平面β内”表示为：a⊂α，a⊂β,且 α⋂β=a，如图（2）所示.8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系1.空间中两条直线的位置关系由图可知，（1）平行直线：直线AB与DC在同一个平面ABCD内，它们没有公共点，它们是平行直线;（2）相交直线：直线AB与BC在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点B，它们是相交直线;（3）异面直线①定义：如图（1），像直线AB与CC′这样，空间中不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.②画法：如图（2），如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.③判定方法：由异面直线的定义及画法可得如下异面直线的判定方法Ⅰ.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线；Ⅱ.反证法：既不平行，也不相交的两条直线是异面直线；Ⅲ.定理法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.(如右图一)定理法数学语言表示为：“AB∩α=B,A∉α,a⊂α,B∉a⇒直线AB与a是异面直线”（4）实例运用例1选择题(1)如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b( )A.共面B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线(2)设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b( )A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线解：（1）选D（2）选D例2 如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，判定直线AB与AC，直线AC与A′C′，直线A′B与AC，直线A′B与C′D的位置关系．解:如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中直线AB与AC为相交直线，直线AC与A′C′为平行直线，直线A′B与AC为异面直线，直线A′B与C′D为异面直线2.空间中直线与平面的位置关系由探究可知，直线与平面的位置关系有且只有如下三种：（1）关系1：直线a在平面α内——有无数个公共点，记作 a⊂α.（2）关系2：直线a与平面α相交——只有1个公共点，记作 a∩α=A.（3）关系3：直线a与平面α平行——没有公共点，记作 a∥α.温馨提示：直线a在平面α外包括两种情形——a∥α与a∩α＝A.3.空间中平面与平面的位置关系（1）空间中平面与平面的位置关系由探究可知，平面与平面的位置关系有且只有如下两种：①关系1：平面a与平面β平行——没有公共点，记作α∥β.②关系2：平面a与平面β相交——有一条公共直线，记作 α∩β=l.温馨提示：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.（2）实例运用例3如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．解：在图（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在图（2）中，α∩β=l,a⊂α, b⊂β a∩l=P,b∩l=P,a∩b=P.8.5.1 直线与直线平行1.基本事实4（平行线的传递性）（1）基本事实4（平行线的传递性）空间中平行于同一条直线的两条直线平行.基本事实4用数学符号表示为： a∥b,b∥c⇒a∥c温馨提示:基本事实4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法.（2）实例运用例1如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：如图，连接BD,∵已知E,H分别是边AB，DA的中点∴EH为∆ABD的中位线∴ EH∥BD,且EH=12BD同理可得FG∥BD,且FG=12BD∴EH ∥= FG∴四边形EFGH是平行四边形．2.等角互补定理（互学）（1）等角互补定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.等角互补定理用数学符号表示为：已知空间中两个角∠BAC与∠B′A′C′,且AB∥A′B′ ,AC∥A′C′⇒∠BAC=∠B′A′C′,或∠BAC+∠B′A′C′=180°（2）实例运用例2如图，在四面体A−BCD中，E,F,G分别为AB,AC,AD上的点，若EF∥BC,FG∥CD，则∆EFG和∆BCD有什么关系？为什么？解:∵EF∥BC，∴AEAB =AFAC=EFBC又∵FG∥CD，∴AFAC =AGAD=FGCD，∴AEAB =AGAD,∴EG∥BD∴由等角定理可知∠EFG=∠BCD，∠FGE=∠CDB,∠GEF=∠DBC∴△EFG∽△BCD(三角定理)8.5.2 直线与平面平行1.直线与平面平行的判定定理（1）直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.直线与平面平行的判定定理用数学符号表示为：a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α温馨提示:(1)定理中的三个条件“a⊄α，b⊂α，a∥b”缺一不可;(2)判定定理实质是——“ 线线平行⇒线面平行”.（2）实例运用例1 求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.（四）成果展示1(迁移变通、检测实践)例1 解：第1步：作图第2步：数学语言翻译已知：如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点.求证：EF∥平面BCD.第3步：证明证明：如图，连接BD,∵已知E,F分别是AB,AD的中点∴EF为∆ABD的中位线∴EF∥BD又∵ EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,∴EF∥平面BCD故原命题成立2.直线与平面平行的性质定理（1）直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.直线与平面平行的性质定理用数学符号表示为：a∥α,a⊂β,且α⋂β=b⇒a∥b温馨提示(1)定理中的三个条件“a∥α,a⊂β,且α⋂β=b”缺一不可.(2)性质定理实质是——“线面平行⇒线线平行”.（2）实例运用例2 已知α⋂β=a,b⊂α,c⊂β,b∥c求证：a∥b∥c解：∵已知 b∥c，b⊄α,且c⊂β∴ b∥β又∵已知 b⊂α，α⋂β=a,∴ b∥a∴a∥b∥c8.5.3平面与平面平行1.平面与平面平行的定义如图，空间中没有公共点的两个平面叫做平行平面.记作：α∥β .温馨提示:两个平面平行的充要条件为（1）如果两个平面平行，那么这个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.（2）如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.平面与平面平行的判定定理（1）平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.平面与平面平行的判定定理用数学符号表示为：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α温馨提示:(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的条件.(2)平面与平面判定定理实质是——“线面平行⇒面面平行”.（2）实例运用例1 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1,求证平面AB1D1∥平面BC1D.证明：∵已知ABCD−A1B1C1D1为正方体∴D1C1∥=A1B1, AB∥=A1B1∴D1C1∥= AB∴四边形D1C1BA为平行四边形∴D1A∥C1B又∵D1A⊄平面BC1D,C1B⊂平面B C1D,∴D1A∥平面B C1D, 同理可得D1B1∥平面B C1D又∵D1A⋂D1B1=D1且D1A，D1B1⊂平面AB1D1∴平面AB1D1∥平面BC1D.3.直线与平面平行的性质定理（1）平面与平面平行的性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.平面与平面平行的性质定理用数学符号表示为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b温馨提示(1)定理中的三个条件“ α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b”缺一不可.(2)性质定理实质是——“面面平行⇒线线平行”.（2）实例运用例2求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.第一步：作图；第二步：数学语言翻译；如图，已知α∥β，AB∥CD,且A∈α,C∈α,B∈β,C∈β求证：AB=CD.第三步：证明；证明：如图，过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别交于AC和BD∵已知 α∥β,α∩γ＝AC，β∩γ＝BD∴AC∥BD又∵已知AB∥CD∴四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD8.6.1 直线与直线垂直1.异面直线所成的角（1）平面内相交直线所成的角规定：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.特别地，当两条相交直线a与b所成角为90°时，就称这两条相交直线互相垂直, 记作a⊥b .提示：类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.。

《立体几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1．了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。

2.能画出简单空间图形的三视图，由三视图能够还原成空间立体图形，并会用斜二测法画出它们的直观图。

3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4.理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。

5.理解平面的基本性质及确定平面的条件。

6.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。

7.掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。

【知识络】【要点梳理】要点一：空间几何体的结构与特征本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：它能反映物体的长度和宽度．先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算．侧面展开图问题是经常出现的一个问题．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，基本概念和公式要熟练，计算要准确，重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化．要点二：平面基本性质刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．要点三：空间的平行与垂直关系理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙．归纳出以下判定定理：(1)空间中的平行关系如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．(2)空间中的垂直关系如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．【典型例题】类型一：空间几何体的三视图例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD 平面PEG【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，故其正视图与侧视图全等．（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果．【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：PEFGHABCDEFGH VVV??????2cm221406040203200032000640003????????（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO?平面EFGH , POHF??又EGHF?HF??平面PEG又BDHF P BD??平面PEG；【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．举一反三：【变式1】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.【答案】38【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为2(344131)211238????????????【总结升华】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面积.例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。

《立体几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1．了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。

2.能画出简单空间图形的三视图，由三视图能够还原成空间立体图形，并会用斜二测法画出它们的直观图。

3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4.理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。

5.理解平面的基本性质及确定平面的条件。

6.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。

7.掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。

【知识络】【要点梳理】要点一：空间几何体的结构与特征本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：它能反映物体的长度和宽度．先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算．侧面展开图问题是经常出现的一个问题．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，基本概念和公式要熟练，计算要准确，重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化．要点二：平面基本性质刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．要点三：空间的平行与垂直关系理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙．归纳出以下判定定理：(1)空间中的平行关系如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．(2)空间中的垂直关系如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．【典型例题】类型一：空间几何体的三视图例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD 平面PEG【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH ，下半部分是长方体ABCD-EFGH ，故其正视图与侧视图全等．（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm 的正方形，长方体的高为20cm ，棱锥高为60cm ，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果． 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：P EFGH ABCD EFGH V V V --=+ 221406040203200032000640003=⨯⨯+⨯=+= ()2cm （３）如图,连结EG ,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面EFGH , PO HF ∴⊥ 又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG又BD HF P BD ∴⊥平面PEG ；【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台． 举一反三：【变式1】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.【答案】38【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为2(344131)211238ππ⨯+⨯+⨯+⨯⨯-=【总结升华】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面积.例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。

第八章 8.2A级——基础过关练1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90°D．45°或135°,90°【答案】D【解析】根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2.(2021年绵阳模拟)(多选)如图,已知等腰三角形ABC,则如下所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是( )A B C D【答案】CD【解析】等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．3．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示),其中B′O′＝C′O′＝1,A′O′＝32,那么△ABC是一个( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形【答案】A【解析】根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形,如图所示,由图易得AB＝BC＝AC＝2,故△ABC为等边三角形,故选A.4．(2021年南宁模拟)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋ 2【答案】A【解析】画出其相应平面图易求S ＝12(1＋1＋2)×2＝2＋2,故选A.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】C【解析】将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形．故选C. 6．有一个长为4 cm,宽为3 cm 的矩形,则其直观图的面积为________cm 2. 【答案】3 2【解析】该矩形的面积为S ＝4×3＝12(cm 2),由平面图形的面积与直观图的面积间的关系,可得直观图的面积为S ′＝24S ＝32(cm 2)． 7．如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．【答案】36 2【解析】在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.8．在直观图中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状),面积为________cm2.【答案】矩形8【解析】由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA＝2 cm,OC＝4 cm,所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．9．画出一个上、下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图．解：(1)画轴．如图,画x轴、y轴、z轴相交于点O,使∠xOy＝45°,∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为线段中点,在x轴上取线段AB,使AB＝2,在y轴上取线段OC,使OC＝32.连接BC,CA,则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．(3)画上底面．在z轴上取OO′,使OO′＝2,过点O′作O′x′∥Ox,O′y′∥Oy,建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中,类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.(4)连线成图．连接AA′,BB′,CC′,去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．10．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形OABC的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y 轴上取OB ＝2O ′B ′＝2 2 cm ； 在过点B 的x 轴的平行线上取BC ＝B ′C ′＝1 cm.连接O ,A ,B ,C 各点,即得到了原图形．由作法可知OABC 为平行四边形,OC ＝OB 2＋BC 2＝8＋1＝3(cm),∴平行四边形OABC 的周长为(3＋1)×2＝8(cm),面积为S ＝1×22＝22(cm 2)．B 级——能力提升练11．下列选项中的△ABC 均是水平放置的边长为1的正三角形,在斜二测画法下,其直观图不是全等三角形的一组是( )A BC D【答案】C【解析】C 中,前者在斜二测画法下所得的直观图中,底边AB 不变,高变为原来的12,后者在斜二测画法下所得的直观图中,高OC 不变,底边AB 变为原来的12,故C 中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等．12．水平放置的△ABC 的直观图如图所示,已知B ′C ′＝4,A ′C ′＝3,B ′C ′∥y ′轴,则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )A ．732B ．73C ．5D ．52【答案】A【解析】由斜二测画法规则知AC ⊥BC ,即△ABC 为直角三角形,其中AC ＝3,BC ＝8,所以AB ＝73,AB 边上的中线长度为732.故选A. 13．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm【答案】D【解析】由题意可知其直观图如图,由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.14．(2021年河南模拟)已知用斜二测画法,画得的正方形的直观图面积为182,则原正方形的面积为______．【答案】72【解析】如图,作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′,作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA .所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′, 又在Rt △O ′D ′C ′中,O ′C ′＝2C ′D ′, 即C ′D ′＝22O ′C ′,结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′,OC ＝2O ′C ′, 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAOA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2.又S 直观图＝182,所以S 正方形＝22×182＝72.15．如图所示,△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图,点B ′在x ′轴上,A ′O ′与x ′轴垂直,且A ′O ′＝2,则△AOB 的边OB 上的高为________．【答案】4 2【解析】设△AOB 的边OB 上的高为h ,由直观图中边O ′B ′与原图形中边OB 的长度相等,及S原图＝22S直观图,得12OB ×h ＝22×12×A ′O ′×O ′B ′,则h ＝4 2.故△AOB 的边OB 上的高为4 2.16．如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′,已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的原图形并求出其面积．解：四边形ABCD 的真实图形如图所示,因为A ′C ′在水平位置,四边形A ′B ′C ′D ′为正方形,所以∠D ′A ′C ′＝∠A ′C ′B ′＝45°,所以在原四边形ABCD 中,AD ⊥AC ,AC ⊥BC .因为AD ＝2D ′A ′＝2,AC ＝A ′C ′＝2, 所以S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.C 级——探索创新练17．如图所示的是水平放置的正方形ABCO ,在平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为(4,4),则由斜二测画法画出该正方形的直观图中,顶点B ′到x ′轴的距离为________．【答案】 2【解析】水平放置的正方形ABCO ,在平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为(4,4),由斜二测画法画出的该正方形的直观图如下：由斜二测画法的规则,得O ′A ′＝12OA ＝2,O ′C ′＝OC ＝4,∠A ′O ′C ′＝45°,四边形A ′B ′C ′O ′是平行四边形,∴顶点B ′到x ′轴的距离与A ′到x 轴的距离相等．∴顶点B ′到x ′轴的距离d ＝|O ′A ′|sin 45°＝2×22＝ 2.18．一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为____________________．【答案】4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm【解析】由20 m ＝2 000 cm,2 000500＝4 cm,同理可得宽、高分别为1 cm 、2 cm,四棱锥的高为1.6 cm.在直观图中,宽变为一半,长、高不变．。

(名师选题)部编版高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理单选题1、如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，棱与直线BC1异面有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：C分析：根据异面直线的定义即可判断.在直三棱柱ABC−A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有A1B1,AC,AA1，共3条.故选: C.2、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，则直线A1D与直线B1M所成角大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A分析：如图，连接B1C，MC，MB，利用余弦定理可求∠CB1M的值，从而可得直线A1D与直线B1M所成角大小. 设正方体的棱长为2a，连接B1C，MC，MB，因为B1C//A1D，故∠CB1M或其补角为直线A1D与直线B1M所成角.而B1C=2√2a，MC=√2a，B1M=√B1B2+BM2=√4a2+2a2=√6a，故B1C2=B1M2+CM2，所以MB1⊥CM，所以cos∠CB1M=√6a2√2a =√32，因为∠CB1M为锐角，故∠CB1M=30°，故选：A.3、直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，若∠BAC =90°，AB =AA 1=1，AC =2，E 是棱A 1C 1上的中点，则点A 到平面BCE 的距离是（ ）A ．1B ．√23C ．√63D ．√33答案：C分析：作出草图，根据题意易证A 1C 1⊥平面AA 1BB 1，可得A 1C 1⊥BA 1，再根据勾股定理分别求出A 1B ，BE ，CE ，BC 的值，再根据V A−BCE =V E−ABC ，即可求出点A 到平面BCE 的距离.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，连接BA 1,CE,AE,BE ，由题知，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，AA 1⊥A 1C 1,AA 1⊥A 1B 1，又∠CAB =∠C 1A 1B 1=90°，∴B 1A 1⊥A 1C 1又AA 1∩B 1A 1=A 1，所以A 1C 1⊥平面AA 1BB 1，所以A1C1⊥BA1，由于AB=AA1=CC1=1,A1C1=AC=2，E点是棱AC上的中点，根据勾股定理，A1B=√AB2+AA12=√12+12=√2，BE=√A1B2+A1E2=√(√2)2+12=√3 CE=√(C1C)2+(C1E)2=√12+12=√2，BC=√AB2+AC2=√12+22=√5，所以BE2+CE2=BC2，即BE⊥CE.设E到平面ABC的距离为d，则d=1，设点A到平面BCE的距离为ℎ，在四面体A−BCE中，V A−BCE=V E−ABC，V E−ABC=13×S△ABC×d=13×(12×1×2)×1=13V A−BCE=13×S△BCE×ℎ=13×(12×√3×√2)×ℎ=√66ℎ则√66ℎ=13，解得ℎ=√63.故选：C.4、如图，在一个正方体中，E，G分别是棱AB，CC′的中点，F为棱CD靠近C的四等分点.平面EFG截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据条件可得平面EFG经过点B′，然后可得答案.连接EB′，GB′因为E，G分别是棱AB，CC′的中点，F为棱CD靠近C的四等分点所以EB′//FG，所以平面EFG经过点B′所以多面体A′D′DA−EFGC′B′的正视图为故选：D5、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）A．8(6+6√2+√3)B．6(8+8√2+√3)C．8(6+6√3+√2)D．6(8+8√3+√2)答案：A解析：该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2√2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为√2，则该几何体的表面积为S=6×[(2+2√2)2−4×12×√2×√2]+8×12×2×√3=8(6+6√2+√3).故选：A.小提示：本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.6、小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为V1和S1，斜棱柱的体积和侧面积分别为V2和S2，则（）.A．V1S1>V2S2B．V1S1<V2S2C．V1S1=V2S2D．V1S1与V2S2的大小关系无法确定答案：A分析：根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出V1S1和V2S2，分析即可得答案.设底面面积为S，底面周长为C，则V1=S⋅AA1，S1=C⋅AA1，所以V1S1=SC，设斜棱柱的高为ℎ，则V2=S⋅ℎ，S2=AB×ℎAB+BC×ℎBC+CD×ℎCD+DE×ℎDE+EF×ℎEF+FA×ℎFA >(AB+BC+CD+DE+EF+FA)×ℎ=Cℎ,所以V2S2<SℎCℎ=SC=V1S1.故选：A7、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（√7≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3答案：C分析：根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S′=180.0km2=180×106m2，∴V=13ℎ(S+S′+√SS′)=13×9×(140×106+180×106+√140×180×1012)=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．故选：C．8、若直线a //平面α，A ∉α，且直线a 与点A 位于α的两侧，B ，C ∈a ，AB ，AC 分别交平面α于点E ，F ，若BC =4，CF =5，AF =3，则EF 的长为（ ）A ．3B ．32C ．34D ．23 答案：B分析：根据线面平行可得线线平行，从而可求EF =32. ∵BC //α，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩α=EF ，∴EF //BC ，∴AF AC =EF BC ，即35+3=EF 4，∴EF =32. 故选：B.多选题9、如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF =12，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF//平面ABCDC ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D．三棱锥E−ABF的体积为定值答案：ABD分析：A选项中，证明线面垂直，可得线线垂直；B选项中，由直线与平面平行的判定定理即可证明；C选项中，由点A和点B到EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等；D选项中，连接BD，交AC 于O，则AO为三棱锥A−BEF的高，利用等体积法可证明三棱锥E−ABF的体积为定值.对于A，由正方体的结构特征可知，DD1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，则D1D⊥AC，连接BD，又ABCD 为正方形，∴AC⊥BD，∵D1D∩BD=D，且D1D、BD⊂平面DD1B1B，∴AC⊥平面DD1B1B，∵BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，故A正确；对于B，∵B1D1//BD，BD⊂平面ABCD，B1D1⊄平面ABCD，∴B1D1//平面ABCD，而EF在B1D1上，∴EF//平面ABCD，故B正确；对于C，点B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故C错误；对于D，如图所示，连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥A−BEF的高，S△BEF=12⋅EF⋅BB1=12×12×1=14，V A−BEF=13S△BEF⋅AO=13×14×√22=√224，则V E−ABF=V A−BEF=√224为定值，故D正确．故选:ABD．10、如图一张矩形白纸ABCD，AB=10，AD=10√2，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF 沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE的同侧，下列命题正确的是（）A．当平面ABE//平面CDF时，AE//CDB．当平面ABE//平面CDF时，AC//平面BFDEC．当A，C重合于点P时，PG⊥PDD．当A，C重合于点P时，三棱锥P−DEF外接球的表面积为150π.答案：BD分析：由题意分两类画出图形，利用线面平行的判定和性质判断A；利用反证法判断B；求出线段长度，根据不满足勾股定理判断C；求出三棱锥中的直角三角形，利用补形法求得外接球的表面积判断D.A：当平面ABD//平面CDF，如图1所示，假设AE//CD，则四边形AEDC为平面图形，由GH//AC，得GH//ED，所以四边形GHDE为平行四边形，所以GH=ED，这与GH≠ED矛盾，所以假设不成立，故A不正确；B：在矩形ABCD中，AB=10，AD=√2，E、F分别为AD、BC的中点，则AC⊥BE，AC⊥DF，，所以BE⊥平面AGH，DF⊥平面CHG.且AG=GH=CH=10√33由BE//DF，可得平面AGH与平面CHG重合，即四边形AGHC为平面四边形，又平面ABE//平面CDF，所以AG//CH，又AG=CH，故四边形AGHC为平行四边形，所以AC//GH，所以AC//平面BFDE，故B正确；，PD=GD=10，C：当A、C重合于点P时，如图2所示，PG=10√33不满足PG2+PD2=GD2，所以PG与PD不垂直，故C错误；D：在三棱锥P−DEF中，PE=PF=5√2，EF=10，所以△EPF为直角三角形，PE=ED=5√2，PD=10，所以△PED为直角三角形，又△FPD为直角三角形，由补形法可知，三棱锥P−DEF外接球的直径为√PF2+PE2+ED2=√150，)2=150π，故D正确.则三棱锥P−DEF外接球的表面积为4π×(√1502故选：BD11、(多选题)下列说法中，正确的结论有（）A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行答案：BD分析：由等角定理可判断A的真假；根据直线夹角的定义可判断B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；对于选项B：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B，C1D1⊥C1B，但是∠A1D1C1=π2，∠A1BC1=π3，二者不相等也不互补.故选项C错误；对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.故选：BD.填空题12、如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，若PA//平面EBF，则PFFC=_______答案：12##0.5分析：连接AC交BE于点M，连接FM，由线面平行的性质得线线平行，由平行线性得结论．连接AC交BE于点M，连接FM，∵PA//平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF=EM，∴PA//EM，又AE//BC，∴PFFC =AMMC=AEBC=12.所以答案是：12．。

第八章立体几何初步一、凸多面体的概念1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．1）分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；2）常见几何体平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；长方体：底面是矩形的直平行六面体；2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．2）常见几何体正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．二、简单旋转体概念（圆柱、圆锥、圆台、球）1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．三、常见几何体的表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体2直棱柱底=+S ch S2(斜棱柱底''=+S c l S c为直截面周长)2222()圆锥=+=+S r rl r r lπππ一、知识点明晰体积公式四、空间几何体的直观图1、斜二测画法（主要步骤如下）1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． 2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于'y轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x轴、'y轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．2、常用结论：1）直观图和平面图形的面积比为S=原直。

第八章 8.5 8.5.1 8.5.2A级——基础过关练1．若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( ) A．全等B．不可能全等C．仅有一个角相等D．全等或相似【答案】D【解析】由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等．2．(多选)下列命题中,错误的有( )A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行【答案】AC【解析】这两个角相等或互补,选项A错误；由等角定理知选项B正确；在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误；由基本事实4知选项D正确．3．如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则( )A．GH∥SA B．GH∥SDC．GH∥SC D．以上均有可能【答案】B【解析】因为GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD＝SD,所以GH∥SD,显然GH与SA,SC均不平行．故选B.4．直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有( )A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条【答案】C【解析】过直线a与n条直线的交点作平面β,设平面β与α交于直线b,则a∥b.若所给n条直线中有1条是与b重合的,则此直线与直线a平行,若没有与b重合的,则与直线a 平行的直线有0条．5．梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α的位置关系是________．【答案】平行【解析】因为AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,由线面平行的判定定理可得CD∥α.6．给出下列四个命题,其中正确命题的序号是________．①在空间,若两条直线不相交,则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交,那么它也和另一条相交；④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.【答案】②④【解析】①错,可以异面；②正确,基本事实4；③错误,和另一条可以异面；④正确,由平行直线的传递性可知．7．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1【解析】(1)因为B1D1∥BD,B1C1∥BC且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．(2)B1D1∥BD,D1A1∥BC且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．8．如图,已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图,连接AC.因为在△ACD中,M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是△ACD的中位线．所以MN ∥AC ,MN ＝12AC .由正方体的性质得AC ∥A 1C 1,AC ＝A 1C 1.所以MN ∥A 1C 1,且MN ＝12A 1C 1,即MN ≠A 1C 1.所以四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又因为ND ∥A 1D 1,所以∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角, 所以∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.9．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是棱BC ,C 1D 1的中点,求证：EF ∥平面BDD 1B 1.证明：如图,取D 1B 1的中点O ,连接OF ,OB .因为OF 綉12B 1C 1,BE 綉12B 1C 1,所以OF 綉BE .所以四边形OFEB 是平行四边形． 所以EF ∥BO .因为EF ⊄平面BDD 1B 1,BO ⊂平面BDD 1B 1,所以EF ∥平面BDD 1B 1.B 级——能力提升练10．如图所示,在空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 上的点,EH ∥FG ,则EH 与BD 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定【答案】A【解析】因为EH ∥FG ,FG ⊂平面BCD ,EH ⊄平面BCD ,所以EH ∥平面BCD .因为EH ⊂平面ABD ,平面ABD ∩平面BCD ＝BD ,所以EH ∥BD .11．(2021年武汉模拟)对于直线m ,n 和平面α,下面命题中的真命题是( ) A ．如果m ⊂α,n ⊄α,m ,n 是异面直线,那么n ∥α B ．如果m ⊂α,n 与α相交,那么m ,n 是异面直线 C ．如果m ⊂α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥n D ．如果m ∥α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥n 【答案】C【解析】对于A,如果m ⊂α,n ⊄α,m ,n 是异面直线,则n ∥α或n 与α相交,故A 错误；对于B,如果m ⊂α,n 与α相交,则m ,n 相交或是异面直线,故B 错误；对于C,如果m ⊂α,n ∥α,m ,n 共面,由线面平行的性质定理,可得m ∥n ,故C 正确；对于D,如果m ∥α,n ∥α,m ,n 共面,则m ∥n 或m ,n 相交,故D 错误．12.如图,四棱锥S －ABCD 的所有的棱长都等于2,E 是SA 的中点,过C ,D ,E 三点的平面与SB 交于点F ,则四边形DEFC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 3C ．3＋2 3D ．2＋2 3【答案】C【解析】由AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2,得AB ∥CD ,即AB ∥平面DCFE ,∵平面SAB ∩平面DCFE ＝EF ,∴AB ∥EF .∵E 是SA 的中点,∴EF ＝1,DE ＝CF ＝ 3.∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.13．(多选)如图所示,在四面体ABCD 中,M ,N ,P ,Q ,E 分别是AB ,BC ,CD ,AD ,AC 的中点,则下列说法正确的是( )A ．M ,N ,P ,Q 四点共面B ．∠QME ＝∠CBDC ．△BCD ∽△MEQ D ．四边形MNPQ 为矩形【答案】ABC【解析】由条件易得MQ ∥BD ,ME ∥BC ,QE ∥CD ,NP ∥BD ,所以MQ ∥NP .对于A,由MQ ∥NP ,得M ,N ,P ,Q 四点共面,故A 正确；对于B,根据等角定理,得∠QME ＝∠DBC ,故B 正确；对于C,由等角定理知∠QME ＝∠DBC ,∠MEQ ＝∠BCD ,则△BCD ∽△MEQ ,故C 正确；对于D,没有充分理由推证四边形MNPQ 为矩形,故D 不正确．14.(2021年安庆期末)如图,P 为□ABCD 所在平面外一点,E 为AD 的中点,F 为PC 上一点,当PA ∥平面EBF 时,PFFC＝________．【答案】12【解析】连接AC 交BE 于G ,连接FG ,因为PA ∥平面EBF ,PA ⊂平面PAC ,平面PAC ∩平面BEF ＝FG ,所以PA ∥FG ,所以PF FC ＝AG GC .又因为AD ∥BC ,E 为AD 的中点,所以AG GC ＝AE BC ＝12,所以PFFC＝12.15.(2021年哈尔滨月考)如图所示,ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,M ,N 分别是下底面的棱A 1B 1,B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点,AP ＝a3,过P ,M ,N 的平面交上底面于PQ ,Q在CD 上,则PQ ＝________．【答案】223a【解析】∵MN ∥平面AC ,平面PMN ∩平面AC ＝PQ ,∴MN ∥PQ .∵MN ∥A 1C 1∥AC ,∴PQ ∥AC .∵AP ＝a 3,∴DP ＝DQ ＝2a 3.∴PQ ＝2×2a 3＝223a .16．在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ACB ＝90°,EF ∥AB ,FG ∥BC ,EG ∥AC ,AB ＝2EF ,M 是线段AD 的中点,求证：GM ∥平面ABFE .证明：因为EF ∥AB ,FG ∥BC ,EG ∥AC ,∠ACB ＝90°, 所以△ABC ∽△EFG ,∠EGF ＝90°. 由于AB ＝2EF ,因此BC ＝2FG .如图,连接AF .由于FG ∥BC ,FG ＝12BC ,在□ABCD 中,M 是线段AD 的中点,则AM ∥BC ,且AM ＝12BC .因此FG ∥AM 且FG ＝AM .所以四边形AFGM 为平行四边形． 因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ,GM ⊄平面ABFE , 所以GM ∥平面ABFE .C 级——探索创新练17．如图,在四面体PABC 中,PC ⊥AB ,PA ⊥BC ,点D ,E ,F ,G 分别是棱AP ,AC ,BC ,PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ,到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由． (1)证明：∵D ,E 分别为AP ,AC 的中点,∴DE ∥PC . ∵DE ⊄平面BCP ,PC ⊂平面BCP , ∴DE ∥平面BCP .(2)解：∵D ,E ,F ,G 分别为AP ,AC ,BC ,PB 的中点, ∴DE ∥PC ∥FG ,DG ∥AB ∥EF . ∴四边形DEFG 为平行四边形．∵PC ⊥AB ,∴DE ⊥DG ,∴四边形DEFG 为矩形．(3)解：存在点Q 满足条件,理由如下：连接DF ,EG ,设Q 为EG 的中点,由(2)知DF ∩EG ＝Q ,且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ,AB 的中点M ,N ,连接ME ,EN ,NG ,MG ,MN ,与(2)同理,可证四边形MENG 为矩形,其对角线交点为EG 的中点Q ,且QM ＝QN ＝12EG ,∴Q 为满足条件的点．。

第八章立体几何初步8．1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征1．空间几何体的定义及分类(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．空间几何体记作棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′记作棱锥S­ABCD按底面多边形的边数分为三棱锥、记作棱台ABCD­A′B′C′D′得的棱台分别为三棱台、四棱台、(1)棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．(2)各种棱柱之间的关系①棱柱的分类棱柱⎩⎨⎧直棱柱⎩⎨⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系典型应用1棱柱的结构特征下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．典型应用2棱锥、棱台的结构特征下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④判断棱锥、棱台形状的两种方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点空间几何体的平面展开图(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9C．快D．乐(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【解】(1)选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱的结构特征(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．(2)圆锥的结构特征(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．(3)圆台的结构特征(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．(4)球的结构特征(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.2．简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．典型应用1圆柱、圆锥、圆台、球的概念(1)给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．(2)给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】(1)①②(2)①④(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．典型应用2简单组合体的结构特征如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．典型应用3旋转体中的计算问题如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．【解】设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.所以SA′SA＝O′A′OA，所以33＋l＝r4r＝14.解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．[注意]在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．8．2立体图形的直观图1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．2．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.■名师点拨(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．典型应用1画水平放置的平面图形的直观图画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．典型应用2画简单几何体的直观图已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．【解】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy ＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD 的直观图．(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．画空间图形的直观图的原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.典型应用3直观图的还原与计算如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．【解】 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 与y 轴平行的直线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 与x 轴平行的直线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，便得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2.所以面积为S ＝2＋32×2＝5.(1)直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S ，其直观图的面积为S ′，则有S ′＝24S 或S ＝22S ′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．柱、锥、台的表面积和体积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝13Sh；V棱台3S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积1．柱体、锥体、台体的体积(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13()S ′＋SS ′＋S h .2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh . 典型应用1柱、锥、台的表面积(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( ) A.2倍 B ．3 倍 C ．2 倍D ．5 倍(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A ．1∶ 2B ．1∶3C ．2∶ 2D ．3∶6(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3【解析】 (1)设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则由题意可知，l ＝2r ，于是 S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2，可知选 C.(2)棱锥 B ′­ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B ′C ＝2，S △B ′AC ＝32.三棱锥的表面积 S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶ 3.(3)设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.【答案】(1)C (2)B (3)A空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．典型应用2柱、锥、台的体积如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥A­A1BD的体积及高．【解】(1)V三棱锥A1­ABD＝13S△ABD·A1A＝13×12·AB·AD·A1A＝16a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1­ABD＝a3－16a3＝56a3.(2)V三棱锥A­A1BD＝V三棱锥A1­ABD＝1 6a 3.设三棱锥A­A1BD的高为h，则V三棱锥A­A1BD＝13·S△A1BD·h＝13×12×32(2a)2h＝36a2h，故36a2h＝16a3，解得h＝3 3a.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．典型应用3组合体的表面积和体积如图在底面半径为2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．【解】设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB∽△AOC，所以AEAO＝EBOC，即323＝r2，所以r＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以 S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π ＝(2＋23)π.1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比． 解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r ＝1，高 h ＝3，所以圆柱的体积 V 1＝πr 2h ＝π×12×3＝3π.圆锥的体积 V 2＝13π×22×23＝833π. 所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r ＝1，下底面半径 R ＝2，高 h ＝3，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S ＝π(r 2＋R 2＋r ·l ＋Rl )＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.圆台的体积 V ＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝13π(12＋2＋22)×3＝733π.3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h ”，试求圆柱侧面积的最大值．解：设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ， 则 R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ， 所以AE AO ＝EB OC ， 即23－h 23＝r2， 所以 h ＝23－3r ，S 圆柱侧＝2πrh ＝2πr (23－3r ) ＝－23πr 2＋43πr ，所以当 r ＝1，h ＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 23π.求组合体的表面积与体积的步骤(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．球的体积和表面积1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝43πR3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．典型应用1球的表面积与体积(1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.16π3 D.64π3(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28π【解析】(1)设球的半径为R，则由已知得V＝43πR3＝32π3，解得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.【答案】(1)B(2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．典型应用2球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)． 【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.典型应用3与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.【答案】14π角度三球的内接正四面体问题若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝2x，由题意2R＝3x＝3×2a2＝62a，所以S球＝4πR2＝32πa2.角度四球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－⎝⎛⎭⎪⎫r22＝3r2，高为3r 2.该圆锥的体积为13×π×⎝⎛⎭⎪⎫3r22×3r2＝38πr3，球体积为43πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.【答案】 932或332角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2.【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝6 2a.8．4.1平面1．平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．(2)平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．(3)平面的表示方法我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．■名师点拨(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．2．点、线、面之间的关系及符号表示A是点，l，m是直线，α，β是平面．从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．3．平面的性质在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：4．平面性质的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)．典型应用1图形、文字、符号语言的相互转化(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.【解】(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．。

(名师选题)全国通用版高中数学第八章立体几何初步知识点总结全面整理单选题1、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶3答案：A分析：按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积=2πr·2r=4πr2，球的表面积为4πr2，其比例为1:1，故选：A.2、下列说法中正确的是（）A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行B．平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行C．α//β，a//α，则a//βD．a//b，a//α，b⊄α，则b//α答案：D分析：根据线面关系，逐一判断每个选项即可.解：对于A选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的无数条直线平行，而不是任意的直线平行，故错误；对于B选项，如图1，D，E，F，G分别为正方体中所在棱的中点，平面DEFG设为平面β，易知正方体的三个顶点A，B，C到平面β的距离相等，但△ABC所在平面α与β相交，故错误；对于选项C，a可能在平面β内，故错误；对于选项D，正确.故选：D.3、在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）．①α、β都垂直于平面r，那么α∥β②α、β都平行于平面r，那么α∥β③α、β都垂直于直线l，那么α∥β④如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3答案：D分析：在正方体中观察可判断①；由平面平行的传递性可判断②；由线面垂直的性质可判断③；根据面面平行判定定理可判断④.如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；过直线l做平面γ与α、β分别交于l1,l2，过直线m做平面χ与α、β分别交于m1,m2，因为l∥α，l∥β，所以l∥l1,l∥l2，所以l1∥l2因为l 1⊄β，l 2⊂β，所以l 1∥β同理，m 1∥β又l 、m 是两条异面直线，所以l 1,l 2相交，且l 1⊂α，m 1⊂α所以α∥β，故④正确.故选：D4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB =2DC ，点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD 的中点，AE 与BF 交于点O ，且AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则x +y 的值为（ ）A ．1B ．57C ．1417D ．56 答案：C分析：由向量的线性运算法则化简得到AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ==(x −y 2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ 和BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +4y 3BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，结合B,O,F 三点共线和A,O,E 三点共线，得出2x +3y −2=0和3x −4y =0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得AO⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC⃑⃑⃑⃑⃑ ) =(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅(2AF ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ +12yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −y 2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ ，因为B,O,F 三点共线，可得x −y 2+2y =1，即2x +3y −2=0； 又由BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −xBA ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅43BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +4y 3BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 因为A,O,E 三点共线，可得1−x +4y 3=1，即3x −4y =0，联立方程组{2x +3y −2=03x −4y =0，解得x =817,y =617，所以x +y =1417. 故选：C.5、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的容积约为（ ）A ．100cm 3B ．200cm 3C ．300cm 3D ．400cm 3答案：B分析：根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，求出ℎ的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，解得：ℎ=10， 则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积V =13×π×52×10−13×π×32×6=1963π≈200cm 3.故选：B.6、已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48答案：D分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高ℎ′=√52−(62)2=4，所以正四棱锥的侧面积S =12×4×6×4=48故选：D7、在空间中，下列命题是真命题的是（ ）A ．经过三个点有且只有一个平面B ．平行于同一平面的两直线相互平行C ．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D ．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面答案：D分析：由三点共线判断A ；由线面、线线位置关系判断B ；根据等角定理判断C ；由线面平行和垂直的判定以及性质判断D.当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A 错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故B 错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；如果两个相交平面α,β垂直于同一个平面γ，且α∩β=l，则在平面α、β内分别存在直线m,n垂直于平面γ，由线面垂直的性质可知n//m，再由线面平行的判定定理得m//β，由线面平行的性质得出m//l，则l⊥γ，故D 正确；故选：D8、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）A．8(6+6√2+√3)B．6(8+8√2+√3)C．8(6+6√3+√2)D．6(8+8√3+√2)答案：A解析：该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2√2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为√2，则该几何体的表面积为S=6×[(2+2√2)2−4×12×√2×√2]+8×12×2×√3=8(6+6√2+√3).故选：A.小提示：本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.9、如图已知正方体ABCD−A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1答案：A分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证MN//AB,A1D⊥平面ABD1，即可得出结论.连AD1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1D的中点，所以M为AD1中点，又N是D1B的中点，所以MN//AB，MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD，所以MN//平面ABCD.因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD则MN不垂直平面BDD1B1，所以选项B,D不正确；在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，AD1∩AB=A，所以A1D⊥平面ABD1，D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，且直线A1D,D1B是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.10、下列命题中①空间中三个点可以确定一个平面.②直线和直线外的一点，可以确定一个平面.③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A分析：根据空间位置关系可直接判断各命题.命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误；命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误；命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误；命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误；11、如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤答案：D解析：根据平面的表示方法判断．③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.12、如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，BD=2，DE=1，点P在线段EF上.给出下列命题：①存在点P，使得直线DP//平面ACF；②存在点P，使得直线DP⊥平面ACF；,1]；③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是[√55④三棱锥A−CDE的外接球被平面ACF所截得的截面面积是9π.8其中所有真命题的序号（）A．①③B．①④C．①②④D．①③④分析：当点P是线段EF中点时判断①；假定存在点P，使得直线DP⊥平面ACF，推理导出矛盾判断②；利用线面角的定义转化列式计算判断③；求出△ACF外接圆面积判断④作答.取EF中点G，连DG，令AC∩BD=O，连FO，如图，在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则DO//GF且DO=GF，即四边形DGFO是平行四边形，即有DG//FO，而FO⊂平面ACF，DG⊄平面ACF，于是得DG//平面ACF，当点P与G重合时，直线DP//平面ACF，①正确；假定存在点P，使得直线DP⊥平面ACF，而FO⊂平面ACF，则DP⊥FO，又DG//FO，从而有DP⊥DG，在Rt△DEF中，∠DEF=90∘，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，因此，假设是错的，即②不正确；因平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，则线段EF上的动点P在平面ABCD上的射影在直线BD上，于是得∠PDB是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，∠PDB=∠DPE，sin∠PDB=sin∠DPE=DEDP =√DE2+EP2=√1+EP2，而0<EP≤2，则√55≤sin∠PDB<1，当P与E重合时，∠PDB=π2，sin∠PDB=1，因此，√55≤sin∠PDB≤1，③正确；因平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，BF⊥BD，BF⊂平面BDEF，则BF⊥平面ABCD，BC=√2，在△ACF中，AF=CF=√BC2+BF2=√3，显然有FO⊥AC，sin∠FAC=FOAF =√BO2+BF2AF=√2√3，由正弦定理得△ACF外接圆直径2R=CFsin∠FAC =√2，R=2√2，三棱锥A−CDE的外接球被平面ACF所截得的截面是△ACF的外接圆，其面积为πR2=9π8，④正确，所以所给命题中正确命题的序号是①③④.故选：D小提示：名师点评两个平面互相垂直，则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上.填空题13、如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP 与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是_________．答案：√612分析：作出图形，找出直线OP与平面OAB所成的角θ，证出PA⊥平面PBH，得出PA⊥PH，得出点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果.如图，过点B作BH⊥OA，交OA的延长线于点H，连接PH，OP，取AH的中点为E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，∵平面OAB⊥平面α，且平面OAB∩平面α=OA，BH⊂平面OAB，PF⊂α，∴BH⊥α，PF⊥平面OAB，∴OP在平面OAB上的射影就是直线OA，故∠AOP就是直线OP与平面OAB所成的角θ，即∠AOP=θ，∵AP⊂α，∴AP⊥BH，又∵PA⊥PB，PB∩BH=B，PB，BH⊂平面PBH，∴PA⊥平面PBH，∵PH⊂平面PBH，∴PA⊥PH，故点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，∵OA=AB，且∠OAB=120∘，∴∠BAH=60∘，设OA=a(a>0)，则AB=a，从而AH=AB⋅cos60∘=a2，∴PE=12AH=a4，如图，当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值，tanθ取得最大值为：PEOP =√OE2−PE2=a4√(a+a4)−(a4)=√612．所以答案是：√612.14、所有棱长均为2的正三棱锥的体积为______.答案：23√2##2√23分析：棱长均为2的正三棱锥，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案. 当三棱锥棱长均为2时，正三棱锥即为正四面体，如图，正四面体的底面积S=√34×22=√3，正四面体的高ℎ=PO=√PA2−AO2=√22−(23×√32×2)2=2√63，故正四面体的体积V=13⋅S⋅ℎ=2√23.所以答案是：2√2315、早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36°按35计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．答案：55√336π分析：可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为l，可得r=5l6，R=3√1111l，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案.由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为l，则l2r=sin36°=35，得r=5l6，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是ℎ=√l2−r2=√l2−(5l6)2=√116l，所以R2=r2+(R−ℎ)2，即R2=(5l6)2+(R−√116l)2，解得R=3√1111l．所以该正二十面体的外接球表面积为S球=4πR2=4π×(3√1111l)2=36π11l2，而该正二十面体的表面积是S正二十面体=20×12×l×l×sin60°=5√3l2，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于55√336π．所以答案是：55√336π.小提示：本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.16、在锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若b−a=2acosC，则ac的取值范围是______．答案：(√33,√2 2)分析：由正弦定理边角关系、和差角正弦公式可得sinA=sin(C−A)，结合△ABC为锐角三角形，可得2A=C及角A的范围，进而应用正弦定理边角关系即可求ac的范围.由题设，sinB−sinA=2sinAcosC，而B=π−(A+C)，所以sinA=cosAsinC−sinAcosC=sin(C−A)，又0<A,C<π2，所以2A=C，且△ABC为锐角三角形，则{0<2A<π20<π−3A<π2，可得π6<A<π4，而ac =sinAsinC=12cosA∈(√33,√22).所以答案是：(√33,√2 2)小提示：关键点点睛：应用正弦定理边角关系及锐角三角形性质，求角A、C的关系及A的范围，最后由边角关系求范围.17、如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形______（填上所有正确答案的序号）．答案：①③④分析：四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据．图①：证明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD；图③：证明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC；图④：证明GH∥EF，AC∥EF，BD∥GH，可得BD∥AC．图①：取GD的中点F，连结BF、EF，∵B、F均为相应边的中点，则：BF∥HG又∵HG∥AE，则BF∥AE即ABFE为平行四边形∴AB∥EF同理:CD∥EF则AB∥CD即A、B、C、D四点共面，图①正确；图②：显然AB与CD异面，图②不正确；图③：连结AC,BD,EF,∵BE∥DF即BDFE为平行四边形∴BD∥EF又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图③正确；图④：连结AC,BD,EF,GH,∵GE∥HF即GEFH为平行四边形，则GH∥EF又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF同理：BD∥GH∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图④正确．所以答案是：①③④．解答题，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接18、如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱BB1=1，∠ABC=2π3MN．(1)证明：MN//平面AB1C1；(2)若BA=BC=2，求二面角A−B1C1−B的平面角的大小．答案：(1)证明见解析(2)π3分析：（1）取AC1的中点P可得四边形B1MNP是平行四边形，再由线面平行的判断定理可得MN∥平面AB1C1；（2）做BE⊥BC，交AC于E，以点B为原点，BE为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系B−xyz，求出平面AB1C1、平面BB1C1的法向量由二面角的向量求法可答案.（1）如图，取AC1的中点P，连接B1P，PN，∵N为AC的中点，∴PN∥C1C，且PN=1C1C．2C1C，∴PN∥B1M,PN=B1M，又∵B1M∥C1C,B1M=12∴四边形B1MNP是平行四边形，∴MN∥B1P．又B1P⊂平面AB1C1，MN⊄平面AB1C1，∴MN∥平面AB1C1．（2）如图，做BE⊥BC，交AC于E，以点B为原点，BE为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系B−xyz，∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面△ABC 的边长BA =BC =2，侧棱BB 1=1,∠ABC =2π3，∴A(√3,−1,0),B(0,0,0),C(0,2,0),B 1(0,0,1),C 1(0,2,1)，∴AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√3,1,1),B 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,0)．设平面AB 1C 1的法向量为m⃑⃑ =(x,y,z)． 因为{AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥m ⃑⃑ B 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥m ⃑⃑，{−√3x +y +z =02y =0 ，所以令x =1，则z =√3，∴m ⃑⃑ =(1,0,√3)．∵平面BB 1C 1的一个法向量为n ⃑ =(1,0,0)，∴cos <m ⃑⃑ ,n ⃑ >=m⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |m ⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=12×1=12， ∵由图知二面角A −B 1C 1−B 的平面角为锐角，∴二面角A −B 1C 1−B 的平面角的大小为π3．19、在空间四边形ABCD 中，AD =BC =a ，与直线AD,BC 都平行的平面分别交AB,AC,CD,BD 于点E ，F ，G ，H ．(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2)求四边形EFGH 的周长． 答案：(1)证明见解析 (2)2a分析：（1）由线面平行的性质定理证明 （2）由平行关系得线段比例式后求解（1）证明：因为直线AD //平面EFGH,AD ⊂平面ABD ，平面ABD ∩平面EFGH =EH ，所以AD ∥EH ． 同理得AD ∥FG ，所以EH ∥FG ．同理得EF ∥HG ，所以四边形EFGH 是平行四边形，（2）由（1）可知EFa =AEAB,EHa=BEAB，两式相加得EF+EH=a，所以四边形EFGH的周长为2a．20、已知一长方体的底面是边长为3cm的正方形，高为4cm，试用斜二测画法画出此长方体的直观图．答案：作图见解析.分析：根据斜二测法的作图步骤即可得到此长方体的直观图.1 .画轴：画出x′轴，y′轴，z′轴，三轴相交于点O′，使得∠x′O′y′=45∘,∠x′O′z′=90∘；2 .画底面：以点O′为中点，在x′轴上画MN=3cm，在y′轴上画PQ=32cm，分别过点M,N作y′轴的平行线，过点P,Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A,B,C,D，则四边形ABCD即为该四棱柱的底面；3 .画侧棱：过点A,B,C,D分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′，如图（1）所示；4 .成图：连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图（2）所示.图（1）图（2）。