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阶段复习检测(九) 复数、算法初步、统计与统计案例
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A ．抽签法
B ．系统抽样法
C ．分层抽样法
D ．随机数法
C [因为要了解三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以采用分层抽样的方法最合理．]
2．复数z ＝i －2－i
2
(i 为虚数单位)，z 在复平面内所对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
A [因为z ＝i
－2－i 2＝i
4＋4i －1＝i
3＋4i ＝i 3－4i 25＝425＋3
25
i ，所以z 在复平面
内所对应的点? ??
??425， 325在第一象限．] 3．以下四个命题，其中正确的是( )
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③在回归直线方程y ^
＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 平均增加0.2个单位；
第 2 页 共 12 页 ④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．
A ．①④
B ．②④
C ．①③
D ．②③
D [由系统抽样知识知①是系统抽样，故①错误；由线性相关知识知②③正确；由独立性检验知k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故④错误．]
4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B ． 2
C ．
3
D ．2
B [由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ?????? x ＝1，x ＝y ??????
x ＝1，y ＝1.
所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2
＝
2.]
5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率为( )
A ．0.09
B ．0.20
C ．0.25
D ．0.45
D[由频率分布直方图的知识得一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×
5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45. ]
6．(2018·广东肇庆三模)一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是( )
A．63 B．64
C．65 D．66
A[由题设知，若m＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63. ] 7．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的S＝( )
A．7 B．12
C．17 D．34
C[由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，S＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，S＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，S＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出S＝17.]
8．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为
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91.现场作的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：
89|7 7 4 0 1 0 x 9 1 则7个剩余分数的方差为( ) A ．1169
B ．367
C ．36
D ．
677
B [由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为：87,94,90,91,90,90＋x,91，∴这组数据的平均数是90＋－3＋4＋0＋1＋0＋x ＋17＝91，得x ＝4.由方差公式得s 2＝1
7[(－
4)2＋32＋(－1)2＋02＋(－1)2＋32＋02]＝36
7
.]
9．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：
优秀 非优秀 总计 A 班 14 6 20 B 班
7 13 20 总计
21
19
40
(1)统计量：K 2＝
n ad －bc
2
a ＋b
c ＋d
a ＋c
b ＋d
(n ＝a ＋b ＋c ＋d )．
(2)独立性检验的临界值表：
P (K 2≥k 0) 0.050 0.010 k 0
3.841
6.635
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则下列说法正确的是( )
A ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
B ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
C ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
D ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 C [因为K 2＝
40×14×13－7×62
20×20×21×19≈4.912,3.841 为环保知识测试成绩与专业有关．] 10．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( ) A ．y ＝2x B ．y ＝3x C ．y ＝4x D ．y ＝5x C [输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，则x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36，故n ＝2； 则x ＝1 2，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36，故n ＝3； 则x ＝3 2 ，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，所以y ＝4x .] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝__________． 第 6 页 共 12 页 －1 [(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋a i ＋i 2＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由复数对应点在实轴上得a ＋1＝0，解得a ＝－1.] 12．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据： 种子处理 种子未处理 合计 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 合计 93 314 407 根据以上数据，则种子经过处理与是否生病__________(填“有”或“无”)关． 无 [在假设无关的情况下，根据题意 K 2＝ n ad －bc 2 a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d ≈0.16， 可以得到无关的概率大于50%，所以种子经过处理跟是否生病有关的概率小于50%，所以可以认为种子经过处理与是否生病无关．] 13．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是__________． s ≤ 1112 [由程序框图，k 的值依次为0,2,4,6,8，因此s ＝12＋14＋16＝11 12 (此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填s ≤11 12 .] 第 7 页 共 12 页 14．某企业为了增强自身竞争力，计划对职工进行技术培训，以提高产品的质量．为了解某车间对技术培训的态度与性别的关系，对该车间所有职工进行了问卷调查，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.由此，三位领导得出以下判断： p ：有95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”； q ：没有95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”； r ：有5%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”． 则下列结论中，正确结论的序号是__________.(把你认为正确的命题序号都填上) ①p ∧(綈q )；②(綈p )∨q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨r ． ①④ [由题意，得K 2≈3.918，P (K 2≥3.841)≈0.05，所以只有p 的判断正确，即有95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”．由真值表知①④为真命题．] 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(12分) 某中学为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟法庭”“街舞”“动漫”“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表： (1)求a ，b ，c (2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率． 解 (1)由分层抽样知识和表可知抽取比例为5 30＝1 6 ， 故a＝4，b＝24，c＝2． (2)(枚举法)设“动漫”社团的4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”社团的2人分别为：B1，B2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15个． 其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8个． 由古典概型得，这2人分别来自这两个社团的概率P＝8 15 ． 16．(12分)(2019·湖南衡阳期末)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行，会议期间，达成了多项国际合作协议．假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示，已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为． (1)求a的值； (2)； 第8 页共12 页 第 9 页 共 12 页 (3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率． 解 (1)由直方图可知，乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为30＋a ，故频率为30＋a 300 ， 由意可得30＋a 300＝3 10 ，解得a ＝60． (2)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为20＋60300＝4 15，用频率估计概率， ∴甲品牌产品寿命小于200小时的概率为4 15 ． (3)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有220＋210＝430个，其中乙品牌产品是210个， ∴在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为210430＝2143，用频率估计概率21 43， ∴已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为21 43 ． 17．(12分)(2019·山西太原模拟)篮球运动员甲在最近6场NBA 比赛中所得分数的茎叶图如图所示，由于疏忽，茎叶图中的两个数据上出现了污渍，导致这两个数字无法辨认，但统计员记得除掉污渍2处的数字不影响整体中位数，且这六个数据的平均值为17． (1)求污渍1,2处的数字； (2)篮球运动员乙在最近6场NBA 的比赛中所得分数为8,12,16,18,20,28.试分别以各自6场比赛得分的平均数与方差来分析这两名篮球运动员的发挥水平． 解 (1)设污渍1,2处的数字分别为x ，y ， 第 10 页 共 12 页 由于除掉2处的数字后剩余5个数据的中位数为10＋x 或15，故污渍1处的数字为5， 所以x －甲＝8＋13＋30＋24＋20＋y 6＝17， 则污渍2处的数字为7． (2)甲的得分的平均数为x － 甲＝17， 甲的得分的方差为s 2甲 ＝[(8－17)2＋(13－17)2＋(15－17)2＋(15－17)2＋(24－17)2＋(27－17)2]＝254， 乙的得分的平均数为x － 乙＝8＋12＋16＋18＋20＋286 ＝17． 乙的得分的方差为s 2乙 ＝[(8－17)2＋(12－17)2＋(16－17)2＋(18－17)2＋(20－17)2＋(28－17)2]＝245， 由于x －甲＝x －x 乙，s 2甲＞s 2乙 ， 所以两人的平均水平相当，但是乙的得分波动更小，发挥更稳定，故乙发挥水平更好． 18. (14分)(2018·山东德州模拟)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)． (1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率． (3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 第 11 页 共 12 页 k 0 2.706 3.841 6.635 7.879 附：K 2＝ n ad －bc 2 a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d ． 解 (1)300×4 500 15 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据． (2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75， 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75． (3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225 总计 210 90 300 K 2＝ 30045×60－165×30 2 210×90×75×225 ＝10021 ≈4.762＞3.841，所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 第12 页共12 页
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