2021年高考数学一轮复习强化训练题汇总9(含解析)

析姓名，年级：时间：析第三讲 椭 圆1。

[2020湖南岳阳入学调研考试］已知定点M (1,0)和椭圆x 29+y 23=1上两个动点P ，Q 满足MP ⊥MQ ，则MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时点P 的横坐标为 （ )A 。

12B 。

1 C.32 D.522。

［2020安徽省示范高中名校联考]已知椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1（a 〉b >0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点,｜F 1F 2｜=2√2，B 为短轴的一个端点,三角形BF 1O (O 为坐标原点）的面积为√7,则椭圆的长轴长为( ）A 。

4B 。

8C 。

1+√332D 。

1+√333。

［2020陕西省部分学校摸底检测]已知F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a 〉b >0）的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限的点,延长PF 2交椭圆于点Q ，若PF 1⊥PQ ,且|PF 1｜=|PQ |，则椭圆的离心率为( ）A.2—√2B.√3-√2C.√2-1D.√6−√34.［2020福建省三明市模拟］已知P 是椭圆x 225+y 29=1上一点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2面积为（ )A 。

3√3 B.2√3 C.√3 D.√335.［2019唐山市高三摸底考试］已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a 〉b >0)和双曲线E :x 2-y 2=1有相同的焦点F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线E 的离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2为 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形 C 。

钝角三角形 D 。

不能确定6.［2020洛阳市第一次联考]已知椭圆C 1：x 2a 12+y 2b12=1(a 1>b 1〉0）与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1（a 2>0,b 2>0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是曲线C 1与C 2的一个公共点,e 1，e 2分别是C 1和C 2的离心率,若PF 1⊥PF 2,则4e 12+e 22的最小值为 .7。

一 选择题（每题5分，共计50分）1、集合{}2,4,6M =的真子集的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 2、“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( )。

A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．.必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知10<<a ，3log 21log ,5log 21,3log 2log a a a a a z y x -==+=，则（ ）A. x>y>z B z>y>x C y>x>z D z>x>y4、下列函数图象中，正确的是（ ）．5、已知=+-=+ni m i n m ni i m是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C) 2+i(D)2－i6、设函数)(x f 定义如下表，数列}{n x 满足50=x ，且对任意自然数nD 7N ③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交． ④若m αβ=，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β． 其中正确命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．18、设椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P A 必在圆222=+y x 内 B 必在圆222=+y x 上C 必在圆222=+y x 外D 以上都有可能9、在电脑游戏中，“主角”的生命机会往往被预先设定。

如某枪战，“主角”被设置生命6次，每次生命承受射击8次（即被击中8次就失去一次生命机会），假设射击为单发射击，如图是为“主角”耗用生命机会的过程设计的一个程序框图，请问判断框内应该填（ ）A i<6B i<8C i>48D i<4810、一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下定义域为R 的函数：x x f =)(1，22)(x x f =，33)(x x f =， x x f sin )(4=，x x f cos )(5=2)(6=x f 。

2021年高三理科数学一轮复习题组层级快练91含答案1．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t sin70°，y ＝2＋t cos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°答案 B解析 将直线参数方程化为标准形式：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos20°，y ＝2＋t sin20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 D3．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t |(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－cos2t 1＋cos2t ，y ＝tan t (t 为参数) 答案 D解析 考查四个选项：对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ； 对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ；对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，但要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ； 对于D ，x ＝1－cos2t 1＋cos2t ＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2即符合y 2＝x . 因此D 是正确的，故选D.4．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1) C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2) D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2) 答案 D 解析x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而t ≥0,0≤1－t ≤1，得0≤y ≤2. 5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cos θ所表示的图形分别是( )A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆答案 D解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的普通方程为x 24＋y 2＝1，表示椭圆．极坐标方程ρ＝－6cos θ的直角坐标方程为(x ＋3)2＋y 2＝9，表示圆．6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，这是圆心为(－3,4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.7．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，圆C ：ρ＝2cos θ，则圆心C 到直线l 的距离是( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1答案 C解析 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C ：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心C (1,0)到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝ 2.8．(xx·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2答案 D解析 由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2r 2－d 2＝2 2.9．圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)的半径为______，若圆C 与直线x －y ＋m ＝0相切，则m ＝______.答案2，－1或3解析 由题意知，圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，其半径r ＝ 2.若圆C 与直线x －y ＋m ＝0相切，则|1－2＋m |1＋1＝2，得|m －1|＝2，故m ＝－1或3.10．(xx·重庆理)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.答案5解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，联立两方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以公共点为(1,2)． 所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5.11．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________． 答案 2解析 方法一：由直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的参数方程，得(2＋t )2＋(－1－t )2＝9，整理，得t 2＋3t －2＝0，方程有两个不相等的实数根，所以直线与曲线的交点个数有2个．方法二：将直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的参数方程分别化为直角坐标方程，得x ＋y －1＝0，x 2＋y 2＝9.原点(圆心)到直线的距离为d ＝12<r ＝3， 所以直线与圆相交，交点个数为2.12．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则曲线C 上的点到直线2x －y＋2＝0的距离的最大值为________．答案45＋55解析 将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为直角坐标方程，得(x －1)2＋y 2＝1，这是圆心为(1,0)，半径为1的圆．圆心到直线2x －y ＋2＝0的距离为d ＝|2×1＋2|22＋(－1)2＝455>r ＝1，故直线与圆相离，所以圆C 上的点到直线的距离的最大值为d ＋r ＝455＋1＝45＋55.13．(xx·安徽合肥二检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t(t为参数)．以O 为极点，射线Ox 为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝4sin θ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，则线段MN 的长度为________．答案 2解析 由题意，C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t 转化为直角坐标方程为x ＋3y －43＝0，C 2的极坐标方程ρ＝4sin θ转化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝22，圆心(0,2)到直线x ＋3y －43＝0的距离为d ＝|0＋23－43|12＋(3)2＝3，所以|MN |＝222－(3)2＝2.14．(xx·福建理)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 答案 (1)l ：2x －y －2a ＝0，C ：x 2＋y 2＝16 (2)[－25，25]思路 (1)通过消参，直线是代入消去法，圆是利用平方关系便可求得直线和圆的普通方程．在(2)中，利用直线和圆的位置关系，得d ≤r ，从而求得a 的范围．解析 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.15．(xx·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．答案 8 2解析 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得(2＋22t )2＝4(1－22t )．解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.16．在极坐标系中，已知点A (2，0)到直线l ：ρsin(θ－π4)＝m (m >0)的距离为3.(1)求实数m 值；(2)设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足|OP ||OQ |＝1，求点Q 轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．答案 (1)m ＝2 (2)(x ＋28)2＋(y －28)2＝116，轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆 解析 (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系．则点A 的直角坐标为(2，0)，直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2m ＝0.由点A 到直线l 的距离为d ＝|2＋2m |2＝1＋m ＝3，∴m ＝2.(2)由(1)得直线l 的方程为ρsin(θ－π4)＝2，设P (ρ0，θ0)，Q (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝1，θ＝θ0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝1ρ，θ0＝θ.①因为点P (ρ0，θ0)在直线l 上，所以ρ0sin(θ0－π4)＝2.②将①代入②得1ρsin(θ－π4)＝2，则点Q 轨迹方程为ρ＝12sin(θ－π4)．化为直角坐标方程为(x＋28)2＋(y －28)2＝116. 则点Q 的轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆．17．(xx·衡水调研卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.(1)求曲线C 的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．答案 (1)C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)(2)(2，π2)，(2，π)解析 (1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ， 标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)．(2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0. 所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π)．18．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，射线θ＝π4与曲线C 2交于点D (2，π4)．(1)求曲线C 1，C 2的普通方程；(2)已知A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)是曲线C 1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值．答案 (1)C 1：x 216＋y 24＝1，C 2：(x －1)2＋y 2＝1(2)516解析 (1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎨⎧2＝a cos π3，3＝b sin π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.∴曲线C 1的方程为x 216＋y 24＝1.设圆C 2的半径为r ，则圆C 2的方程为ρ＝2r cos θ， 将点D (2，π4)代入得2＝2r ·22，∴r ＝1.∴圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 1：x 216＋y 24＝1得极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)代入，得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1， ∴1ρ21＋1ρ22＝(cos 2θ16＋sin 2θ4)＋(sin 2θ16＋cos 2θ4)＝516.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案 3解析 由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.40670 9EDE 點ct35758 8BAE 议 ?34950 8886 袆Q30485 7715 眕36120 8D18 贘b38799978F 鞏35843 8C03 调27190 6A36 樶30316 766C 癬。

单元质检卷九 解析几何(时间:100分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2019山西芮城模拟,6)点P (2,3)到直线l :ax+y-2a=0的距离为d ,则d 的最大值为( )A.3B.4C.5D.72.(2019云南师范大学附中模拟,8)直线l 与双曲线x 2-y 22=1交于A ,B 两点,以AB 为直径的圆C 的方程为x 2+y 2+2x+4y+m=0,则m=( ) A.-3B.3C.5-2√2D.2√23.(2019湖南湖北八市十二校一调联考,8)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,过点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,且直线l 与圆x 2-px+y 2-34p 2=0交于C 、D 两点.若|AB|=2|CD|,则直线l 的斜率为( )A.±√22 B.±√32C.±1D.±√24.(2019江西名校(临川一中、南昌二中)2019联考,7)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k (k>0,k ≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P 满足|PA ||PB |=√2,当P 、A 、B 不共线时,三角形PAB 面积的最大值是( ) A.2√2B.√2C.2√23 D.√235.设F 1、F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为左顶点,点P 为双曲线C 右支上一点,|F 1F 2|=10,PF 2⊥F 1F 2,|PF 2|=163,O 为坐标原点,则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-293B.163C.15D.-156.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.114B.5√54C.4120D.57.(2019山东青岛调研,11)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|等于()A.12B.1C.2D.48.(2019福建宁德质检,8)如图,点F是抛物线C:x2=4y的焦点,点A,B分别在抛物线C和圆x2+(y-1)2=4的实线部分上运动,且AB总是平行于y轴,则△AFB周长的取值范围是()A.(3,6)B.(4,6)C.(4,8)D.(6,8)9.(2019黑龙江齐齐哈尔市二模,9)已知椭圆E:x 22+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直x轴的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方.若|AB|=3,△ABF2的内切圆的面积为9π,则直线AF2的方程是()A.3x+2y-3=0B.2x+3y-2=0C.4x+3y-4=0D.3x+4y-3=010.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.√2+12B.√2+1 C.√5-12D.√5-111.(2019四川南充三模,8)已知直线x+y=1与椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)交于P ,Q 两点,且OP ⊥OQ (其中O 为坐标原点),若椭圆的离心率e 满足√33≤e ≤√22,则椭圆长轴的取值范围是( )A.[√5,√6]B.√52,√62C.54,32D.52,312.在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ) A.3B.2√2C.√5D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知直线l 过点P (3,2),且与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,当△AOB 的面积取最小值时,直线l 的方程为 .14.(2019河北唐山摸底)已知直线l :kx-y-k+2=0与圆C :x 2+y 2-2y-7=0相交于A ,B 两点,则|AB|的最小值为 .15.已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线为l ,过点F 斜率为√3的直线l'与抛物线C 交于点M (M 在x 轴的上方),过M 作MN ⊥l 于点N ,连接NF 交抛物线C 于点Q ,则|NQ ||QF |= .16.(2019四川成都棠湖中学开学考试,16)已知F 是椭圆C :x 225+y 216=1的右焦点,P 是椭圆上一点,A 0,365,当△APF 周长最大时,该三角形的面积为 .三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019安徽滁州模拟,18)已知圆O :x 2+y 2=r 2(r>0)与直线3x-4y+15=0相切. (1)若直线l :y=-2x+5与圆O 交于M ,N 两点,求|MN|;(2)已知A (-9,0),B (-1,0),设P 为圆O 上任意一点,证明:|PA ||PB |为定值.18.(14分)(2019河南洛阳模拟,20)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√33,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.19.(14分)(2019湖南益阳,20)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m>0)在抛物线上,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P(x0,y0)为抛物线上任意一点,过该点的切线为l0,过点F作切线l0的垂线,垂足为Q,则点Q是否在定直线上,若是,求定直线的方程;若不是,说明理由.20.(14分)(2019江西宜春模拟,20)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,点-√3,12在椭圆上,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,点M(t,2)(t≠0).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线MA,MB与椭圆C的另一交点分别为P,Q,证明:直线PQ过定点.21.(14分)(2019河北衡水模拟,20)已知椭圆C:x 22+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为1,点P在椭圆C上,且△PF1F2的面积的最大值为2√2.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在x轴上存在点G,使得|GM|=|GN|,求点G的横坐标的取值范围.参考答案单元质检卷九解析几何1.A直线方程即y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),当直线l⊥PM时,d有最大值,结合两点之间距离公式可得d的最大值为√(2-2)2+(3-0)2=3.故选A.2.A 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),根据圆的方程可知C (-1,-2),C 为AB 的中点,根据双曲线中点差法的结论k AB =b 2a 2×x 0y 0=21×-1-2=1,由点斜式可得直线AB 的方程为y=x-1,将直线AB 方程与双曲线方程联立{x 2-y22=1,y =x -1,解得{x =-3,y =-4,或{x =1,y =0,所以|AB|=4√2,由圆的直径|AB|=√D 2+E 2-4F =√22+42-4m =4√2,可解得m=-3,故选A .3.C 由题设可得x-p22+y 2=p 2,故圆心在焦点上,故CD=2p ,AB=4p ,设直线l 的方程为x=ty+p2,设A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)代入y 2=2px (p>0)得y 2-2pty-p 2=0,所以y 1+y 2=2pt ,y 1y 2=-p 2,则AB=√(1+t 2)(4p 2t 2+4p 2)=2p (1+t 2)=4p ,即1+t 2=2,解得t=±1.故选C.4.A 以经过A ,B 的直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A (-1,0),B (1,0),设P (x ,y ),∵|PA ||PB |=√2,∴√(x+1)2+y 2√(x -1)+y 2=√2,两边平方并整理得x 2+y 2-6x+1=0,即(x-3)2+y 2=8,当点P 到AB (x 轴)的距离最大时,三角形PAB 的面积最大,此时面积为12×2×2√2=2√2,故选A .5.D 由题得{a 2+b 2=25,b2a=163,∴a=3,b=4.所以双曲线的方程为x 29−y 216=1,所以点P 的坐标为5,163或5,-163,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0)·5,±163=-15.故选D.6.C 圆的内接四边形对角互补,因为x 轴与y 轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x-2y-3=0与坐标轴的交点为0,-32,(3,0),两直线的交点纵坐标为-25.所以四边形的面积为12×3×32−12×1×25=4120,故选C.7.C ∵M ,N 分别是PQ ,PF 的中点,∴MN ∥FQ ,且PQ ∥x 轴,∵∠NRF=60°,∴∠FQP=60°,由抛物线定义知,|PQ|=|PF|,∴△FQP 为正三角形,则FM ⊥PQ ⇒QM=p=2,正三角形边长为4,PQ=4,FN=12PF=2,又可得△FRN 为正三角形,∴FR=2,故选C.8.B 抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1),准线方程为y=-1,圆(y-1)2+x 2=4的圆心为(0,1),与抛物线的焦点重合,且半径r=2,∴|FB|=2,|AF|=y A +1,|AB|=y B -y A ,∴三角形ABF 的周长=2+y A +1+y B -y A =y B +3,∵1<y B <3,∴三角形ABF 的周长的取值范围是(4,6).故选B . 9.D 设内切圆半径为r ,则πr 2=9π16,∴r=34,∵F 1(-c ,0),∴内切圆圆心为-c+34,0,由|AB|=3知A -c ,32,又F 2(c ,0),所以AF 2方程为3x+4cy-3c=0,由内切圆圆心到直线AF 2距离为r ,即|3(-c+34)-3c|√3+(4c )=34,得c=1,所以AF 2方程为3x+4y-3=0,故选D .10.B 过点P 作准线的垂线,垂足为N ,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|.∵|PA|=m|PB|, ∴|PA|=m|PN|.∴1m =|PN ||PA |. 设直线PA 的倾斜角为α,则sin α=1m .当m 取得最大值时,sin α最小,此时直线PA 与抛物线相切.设直线PA 的方程为y=kx-1,代入x 2=4y ,可得x 2=4(kx-1),即x 2-4kx+4=0,∴Δ=16k 2-16=0,∴k=±1, ∴P (2,1)或P (-2,1).∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(√2-1), ∴双曲线的离心率为√2-1=√2+1. 故选B .11.A 联立{x +y =1,x 2a 2+y 2b2=1,得(a 2+b 2)x 2-2a 2x+a 2-a 2b 2=0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),∴Δ=4a 4-4(a 2+b 2)(a 2-a 2b 2)>0,化为a 2+b 2>1. 则x 1+x 2=2a 2a 2+b2,x 1x 2=a 2-a 2b 2a 2+b2.∵OP ⊥OQ ,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1-1)(x 2-1)=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=0, ∴2×a 2-a 2b 2a 2+b2−2a 2a 2+b2+1=0.化简得a 2+b 2=2a 2b 2.∴b2=a 22a 2-1.∵椭圆的离心率e 满足√33≤e ≤√22,∴13≤e 2≤12, ∴13≤a 2-b 2a 2≤12,13≤1-12a 2-1≤12,化为5≤4a 2≤6,解得√5≤2a ≤√6.满足Δ>0.∴椭圆长轴的取值范围是[√5,√6].故选A .12.A 建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,1),B (0,0),D (2,1).设P (x ,y ),圆C 的半径为r ,由|BC|·|CD|=|BD|·r ,得r=|BC |·|CD ||BD |=√5=2√55,即圆的方程是(x-2)2+y 2=45.易知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0). 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得{x =2μ,y -1=-λ,所以μ=x2,λ=1-y ,所以λ+μ=12x-y+1. 设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0. 因为点P (x ,y )在圆(x-2)2+y 2=45上,所以圆心C 到直线12x-y+1-z=0的距离d ≤r , 即√14+1≤2√55,解得1≤z ≤3,所以z 的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A .13.2x+3y-12=0 方法1:易知直线l 的斜率k 存在且k<0,则直线l 的方程为y-2=k (x-3)(k<0),则A 3-2k ,0,B (0,2-3k ),所以S △AOB =12(2-3k )3-2k =1212+(-9k )+4-k ≥1212+2√(-9k )·4-k =12×(12+2×6)=12,当且仅当-9k=4-k ,即k=-23时等号成立.所以当k=-23时,△AOB 的面积最小,此时直线l 的方程为y-2=-23(x-3),即2x+3y-12=0.方法2:设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),将点P(3,2)代入得3a+2b=1≥2√6ab,即ab≥24,当且仅当3a =2b,即a=6,b=4时等号成立,又S△AOB=12ab,所以当a=6,b=4时△AOB的面积最小,此时直线l的方程为x6+y4=1,即2x+3y-12=0.14.2√6kx-y-k+2=0,化为y-2=k(x-1),直线过定点E(1,2),E(1,2)在圆x2+y2-2y-7=0内,当E 是AB中点时,|AB|最小,由x2+y2-2y-7=0得x2+(y-1)2=8,圆心C(0,1),半径2√2,|AB|=2√8-|EC|2=2√8-2=2√6,故答案为2√6.15.2由抛物线定义可得MF=MN,又斜率为√3的直线l'倾斜角为π3,MN⊥l,所以∠NMF=π3,即三角形MNF为正三角形,因此NF倾斜角为2π3,由{y2=2px,y=-√3(x-p2),解得x=p6或x=3p2(舍),即x Q=p6,|NQ||QF|=p6-(-p2)p2-p6=2.16.1445由x225+y216=1得右焦点F(3,0),左焦点F'(-3,0),△APF周长|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF'|≤10+(|AF|+|AF'|),当A,P,F'共线时△APF周长最大,此时直线AF'方程为x-3+y365=1,与x225+y216=1联立,解得y P=-125,可得S△APF=12|FF'|(y A-y P)=12×6×365+125=1445,故答案为1445.17.(1)解由题意知,圆心O到直线3x-4y+15=0的距离d=√9+16=3, ∵圆O与直线相切,∴r=d=3,∴圆O方程为x2+y2=9.圆心O到直线l:y=-2x+5的距离d1=√4+1=√5,∴|MN|=2√9-d12=4.(2)证明 设P (x 0,y 0),则x 02+y 02=9,∴|PA |=√(x +9)2+y 2√(x 0+1)+y 0=√x 2+18x 0+81+y 2√x 0+2x 0+1+y 0=√18x 0+902x 0+10=3,即|PA ||PB |为定值3.18.解 (1)抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0),所以c=1,又因为e=c a=1a=√33,所以a=√3,所以b2=2,所以椭圆的标准方程为x 23+y 22=1.(2)(i)当直线BD 的斜率k 存在且k ≠0时, 直线BD 的方程为y=k (x+1),代入椭圆方程x 23+y 22=1,并化简得(3k 2+2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0. 设B (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=-6k23k 2+2,x 1x 2=3k 2-63k 2+2,|BD|=2·|x 1-x 2|=√(1+k 2)·[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=4√3(k 2+1)3k 2+2.易知AC 的斜率为-1k ,所以|AC|=4√3(1k 2+1)3×1k2+2=4√3(k 2+1)2k 2+3.所以|AC|+|BD|=4√3(k 2+1)13k 2+2+12k 2+3=20√3(k 2+1)2(3k 2+2)(2k 2+3)≥20√3(k 2+1)2[(3k 2+2)+(2k 2+3)2]2 =20√3(k 2+1)225(k 2+1)24=16√35.当k 2=1,即k=±1时,上式取等号,故|AC|+|BD|的最小值为16√35. (ii)当直线BD 的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=10√3>16√3. 综上,|AC|+|BD|的最小值为16√35.19.解 (1)由抛物线的定义可知,|MF|=m+p2=2,①又M (2,m )在抛物线上,所以2pm=4,② 由①②联立解得p=2,m=1, 所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)①当x 0=0,即点P 为原点时,易知点Q 在直线y=0上;②当x 0≠0,即点P 不在原点时, 由(1)得,x 2=4y ,则y'=12x ,所以在点P 处的切线的斜率为12x 0,所以在点P 处的切线l 0的方程为y-y 0=12x 0(x-x 0),又x 02=4y 0,所以y=12x 0x-y 0.又过点F 与切线l 0垂直的方程为y-1=-2x 0x ,联立方程{y =12x 0x -y 0,y -1=-2x 0x ,消去x ,得y=-14(y-1)x 02-y 0.(*)因为x 02=4y 0,所以(*)可化为y=-yy 0,即(y 0+1)y=0, 由y 0>0,可知y=0,即垂足Q 必在x 轴上. 所以点Q 必在直线y=0上, 综上,点Q 必在直线y=0上.20.(1)解 由题意知{ ca =√32,32+14b 2=1,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =1,c =√3,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. (2)证明 易知A (0,1),B (0,-1),则直线MA 的方程为y=1x+1,直线MB 的方程为y=3x-1.联立{y =1t x +1,x 24+y 2=1,得4t 2+1x 2+8t x=0,于是x P =-8t t 2+4,y P =t 2-4t 2+4, 同理可得x Q =24t t 2+36,y Q =36-t 2t 2+36,又由点M (t ,2)(t ≠0)及椭圆的对称性可知定点在y 轴上,设为N (0,n ),则直线PN 的斜率k 1=t 2-4t 2+4-n -8t t 2+4,直线QN 的斜率k 2=36-t 2t 2+36-n 24t t 2+36,令k 1=k 2,则t 2-4t 2+4-n -8tt 2+4=36-t 2t 2+36-n 24t t 2+36,化简得t 2-4-n (t 2+4)-8t=36-t 2-n (t 2+36)24t,解得n=12,所以直线PQ 过定点0,12.21.解 (1)由已知得{ c a =13,12×2c×b =2√2,c 2=a 2-b 2,解得a 2=9,b 2=8,c 2=1,∴椭圆C 的方程为x 29+y 28=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),MN 的中点为E (x 0,y 0),点G (m ,0),使得|GM|=|GN|, 则GE ⊥MN. 由{y =kx +2,x 29+y 28=1,消y 得(8+9k 2)x 2+36kx-36=0,由Δ>0,得k ∈R .∴x 1+x 2=-36k 9k 2+8,∴x 0=-18k9k 2+8,y 0=kx 0+2=169k 2+8.∵GE ⊥MN ,∴k GE =-1k ,即169k 2+8-0-18k 9k 2+8-m =-1k , ∴m=-2k 9k 2+8=-29k+8k. 当k>0时,9k+8k ≥2√9×8=12√2当且仅当9k=8k ,即k=2√23时,取等号,∴-√212≤m<0;当k<0时,9k+8k ≤-12√2当且仅当9k=8k ,即k=-2√23时,取等号,∴0<m ≤√212,∴点G 的横坐标的取值范围为-√212,0∪0,√212.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2021届高考一轮复习综合检测一(全国卷)数 学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2－xx >0，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}2．(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)复平面内表示复数z ＝6＋2i2－i 的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．(2019·四川省成都市外国语学校期中)函数f (x )＝log121x ＋1的图象大致是( )4.如图，在△OAB 中， P 为线段AB 上的一点， OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝145．若m ＝log 312，n ＝7－0.1，p ＝log 425，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．m >p >nB ．p >n >mC ．p >m >nD ．n >p >m6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为( )A ．15B ．37C ．83D ．1777．在公比为q 的正项等比数列{a n }中，a 4＝1，则当2a 2＋a 6取得最小值时，log 2q 等于( ) A.14 B ．－14 C.18 D ．－188.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为( )A.332πB.33π2C.322πD.3π29.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠DAD 1＝45°，∠CDC 1＝30°，那么异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值是( )A.28B.38C.24D.3410．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且a sin 2B ＋b sin A ＝0，若a ＋c ＝2，则边b 的最小值为( ) A. 2 B ．3 3 C ．2 3 D.311．已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两支分别交于M ，N 两点，且MF 1，NF 2都垂直于x 轴(其中F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 5 C.5－1 D.5＋1212．(2020·四川省遂宁市射洪县射洪中学月考)已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ＋3，g (x )＝x 3－x 2，若∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤13，2，f (x 1)－g (x 2)≥0，则实数a 的取值范围为( ) A ．[4，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则使f (a )＝－1成立的a 的值是________．14．(2x ＋x )4的展开式中x 3的系数是________．15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为________． 16．已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且对x ∈R ，f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，若函数y ＝f (x )在[0，a ]上单调递减，则a 的最大值是________．三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }前2 020项的和．18．(12分)如图，在五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，△SBC为边长为2的正三角形，将△SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．(1)当AB＝2时，证明：平面SAB⊥平面SCD；(2)若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．19.(12分)某工厂欲购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．(1)设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．20．(12分)(2019·甘青宁联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，焦距为2 3.(1)求C 的方程；(2)若斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，O 为坐标原点．证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．21.(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －1.(1)当k 为何值时，直线y ＝g (x )是曲线y ＝kf (x )的切线； (2)若不等式g (x )≥af (x )在[1，e]上恒成立，求a 的取值范围．请在第22～23题中任选一题作答．22．(10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6cos θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(2,1)，求|P A |＋|PB |的最小值．23．(10分)设函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋a |(a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若关于x 的不等式f (x )<5x ＋a 在x ∈[1,2]上有解，求实数a 的取值范围．解析附后答案精析1．C [由集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2－xx >0，可知A ＝{x |0<x <2}，因为B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩B ＝{}x |1≤x <2，故选C.] 2．A [∵z ＝6＋2i 2－i ＝(6＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝10＋10i5＝2＋2i ，∴z 在复平面内对应的点(2,2)在第一象限．]3．D [函数定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1x ＋1>0，即{x |x >－1}，所以排除A ，B 选项；因为f (x )＝log 12x为单调递减函数，f (x )＝1x ＋1在[－1，＋∞)时为单调递减函数，由复合函数单调性可知f (x )＝log 121x ＋1为单调递增函数，所以排除C 选项．综上可知，D 为正确选项．]4．A [由题可知OP →＝OB →＋BP →， 又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23B A →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23O A →＋13 OB →，所以x ＝23，y ＝13，故选A.]5．B [log 312∈(－1,0)，7－0.1∈(0,1)，log 425＝log 25∈(2,3)，故p >n >m .]6．B [执行程序，可得S ＝0，i ＝1，不符合，返回循环；S ＝2×0＋1＝1，i ＝3，不符合，返回循环； S ＝2×1＋3＝5，i ＝5，不符合，返回循环； S ＝2×5＋5＝15，i ＝7，不符合，返回循环； S ＝2×15＋7＝37，i ＝9，符合，输出S ＝37. 故选B.]7．A [2a 2＋a 6≥22a 2a 6＝22a 24＝22，当且仅当q 4＝2时取等号，所以log 2q ＝log 2214＝14，故选A.]8．A [设圆的半径为r ，则圆的面积S 圆＝πr 2，正六边形的面积S正六边形＝6×12×r 2×sin60°＝332r 2，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率P ＝S 正六边形S 圆＝332r 2πr 2＝332π，故选A.]9．C [由长方体∠DAD 1＝45°，∠CDC 1＝30°， 设AD ＝DD 1＝1，CD ＝ 3.连接BC 1，BD .由AD 1∥BC 1，所以异面直线AD 1与DC 1所成的角等于∠BC 1D . 在△BDC 1中，BC 1＝2，BD ＝2，C 1D ＝2， 由余弦定理可得cos ∠BC 1D ＝C 1D 2＋BC 21－BD22C 1D ·BC 1＝22＋2－222×2×2＝24，所以异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值是24.] 10．D [根据a sin 2B ＋b sin A ＝0，由正弦定理可得sin A sin 2B ＋sin B sin A ＝0⇒cos B ＝－12，∵0<B <π，∴B ＝2π3， A ＋C ＝π3.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ＝4－ac . ∵a ＋c ＝2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝1时取等号， ∴ac ≤1 .∴b 2＝4－ac ≥3, 即b ≥ 3. 故边b 的最小值为 3.]11．D [∵直线l 与双曲线的左、右两支分别交于M ，N 两点，且MF 1，NF 2都垂直于x 轴， ∴根据双曲线的对称性，设点M (－c ，－y )，N (c ，y )(y >0)，则c 2a 2－y 2b 2＝1，即|y |＝c 2－a 2a ，且|MF 1|＝|NF 2|＝|y |， 又∵直线l 的倾斜角为45°， ∴直线l 过坐标原点，|y |＝c ， ∴ c 2－a 2a ＝c ，整理得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解方程得e ＝5＋12，e ＝1－52(舍)．] 12．D [由题意知，对于∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤13，2，f (x 1)－g (x 2)≥0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤13，2上的最小值不小于g (x )在⎣⎡⎦⎤13，2上的最大值， 由g (x )＝x 3－x 2，则g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝⎛⎭⎫x －23， 可得当x ∈⎣⎡⎭⎫13，23时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎦⎤23，2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，又由g ⎝⎛⎭⎫13＝－227，g (2)＝4， 即g (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上的最大值为4， 所以f (x )＝x ln x ＋ax ＋3≥4在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 即a ≥x －x 2ln x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 令h (x )＝x －x 2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤13，2， 则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令p (x )＝1－2x ln x －x ，则p ′(x )＝－3－2ln x ， 当x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时，p ′(x )<0，函数p (x )单调递减， 即h ′(x )在⎣⎡⎦⎤13，2上单调递减，又由h ′(1)＝0，所以h ′(x )在⎣⎡⎭⎫13，1上大于0，在(1,2]上小于0， 所以h (x )在⎣⎡⎭⎫13，1上单调递增，在(1,2]上单调递减， 所以h (x )在⎣⎡⎦⎤13，2上的最大值为h (1)＝1，所以a ≥1.] 13．－4或2解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0， f (a )＝－1，当a ≤0时，f (a )＝12a ＋1＝－1，解得a ＝－4,当a ＞0 时，f (a )＝－(a －1)2＝－1，解得a ＝2. 14．24解析 (2x ＋x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 4(2x )4－k (x )k ＝C k 424－k x 4－k 2，令4－k 2＝3，解得k ＝2，故x 3的系数为C 2422＝24.15．8π解析 作出圆柱与其外接球的轴截面如图，设圆柱的底面圆半径为r ，则BC ＝2r ，所以轴截面的面积为S 正方形ABCD ＝(2r )2＝4，解得r ＝1，因此，该圆柱的外接球的半径 R ＝BD2＝22＋222＝2，所以球的表面积为S ＝4π(2)2＝8π. 16.π3解析 因为函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为π， 所以ω＝2ππ＝2，又对任意的x ，都使得f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π3，所以2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤π＋2k π，k ∈Z ，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，则函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递减， 故a 的最大值是π3.17．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，a 211＝a 1·a 13，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，d ＝－2，∴{a n }的通项公式为a n ＝27－2n (n ∈N *)． (2){b n }的前2 020项的和S 2 020＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2 019＋b 2 020＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2 018－a 2 017)＋ (a 2 020－a 2 019)＝(－2)×2 0202＝－2 020.18．(1)证明 作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ， ∴SO ⊥AB ，SO ⊥CD ，又AB ⊥AD ，SO ∩AD ＝O ，SO ，AD ⊂平面SAD ， ∴AB ⊥平面SAD ，∴AB ⊥SA ，AB ⊥SD .利用勾股定理得SA ＝SB 2－AB 2＝4－2＝2， 同理可得SD ＝ 2.在△SAD 中，AD ＝2，SA ＝SD ＝2，SA 2＋SD 2＝AD 2， ∴SA ⊥SD ，又SA ∩AB ＝A ，SA ，AB ⊂平面SAB ，∴SD ⊥平面SAB ， 又SD ⊂平面SCD ，∴平面SAB ⊥平面SCD .(2)解 连接BO ，CO ，∵SB ＝SC ，∴Rt △SOB ≌Rt △SOC ， ∴BO ＝CO ，又四边形ABCD 为长方形， ∴Rt △AOB ≌Rt △DOC ，∴OA ＝OD .取BC 中点为E ，连接OE ，得OE ∥AB ，连接SE ， ∴SE ＝3，其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS ＝3－12＝2，由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以直线OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∴O (0,0,0)，D (－1,0,0)，C (－1,1,0)，S (0,0，2)，B (1,1,0)， ∴DC →＝(0,1,0)，SC →＝(－1,1，－2)， BC →＝(－2,0,0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面SCD 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝0，m ·SC →＝0，即⎩⎨⎧y 1＝0，－x 1＋y 1－2z 1＝0，令z 1＝1得m ＝(－2，0,1)，设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面SBC 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·SC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 2＝0，－x 2＋y 2－2z 2＝0，令z 1＝1得n ＝(0，2，1)． 则|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝13×3＝13， 所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13.19．解 (1)由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为 y ＝10x ＋60，x ∈N ，方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧200，x ≤15，x ∈N ，20x －100，x >15，x ∈N . (2)设方案一中的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为所以E (X )＝190×0.1＋200×0.4＋210×0.1＋220×0.2＋230×0.2＝210. 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为E (Y )＝200×0.6＋220×0.2＋240×0.2＝212. 所以从节约成本的角度考虑，选择方案一．20．(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2c ＝23，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线l 的方程为y ＝－12x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2(m 2－1)＝0，则Δ＝4m 2－8(m 2－1)＝4(2－m 2)>0， 且x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝2(m 2－1)>0， 故y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋m ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋m ＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－12，k OP k OQ ＝y 1y 2x 1x 2＝m 2－122(m 2－1)＝14＝k 2PQ，即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．21．解 (1)令n (x )＝kf (x )＝k ln x ，n ′(x )＝kx ，设切点为(x 0，y 0)，则kx 0＝1，x 0－1＝k ln x 0，则ln k ＋1k＝1.令F (x )＝ln x ＋1x ，F ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，则函数y ＝F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且F (1)＝1，所以k ＝1. (2)令h (x )＝af (x )－g (x )＝a ln x －x ＋1， 则h ′(x )＝a x －12x ＝2a －x 2x ，①当a ≤0时，h ′(x )<0，所以函数h (x )在[1，e]上单调递减， 所以h (x )≤h (1)＝0，所以a ≤0满足题意． ②当a >0时，令h ′(x )＝0，得x ＝4a 2， 所以当x ∈(0,4a 2)时，h ′(x )>0， 当x ∈(4a 2，＋∞)时，h ′(x )<0.所以函数h (x )在(0,4a 2)上单调递增，在(4a 2，＋∞)上单调递减． (ⅰ)当4a 2≥e ，即a ≥e2时，h (x )在[1，e]上单调递增， 所以h (x )≤h (e)＝a －e ＋1≤0， 所以a ≤e －1，此时无解．(ⅱ)当1<4a 2<e ，即12<a <e2时，函数h (x )在(1,4a 2)上单调递增，在(4a 2，e)上单调递减．所以h (x )≤h (4a 2)＝a ln(4a 2)－2a ＋1＝2a ln(2a )－2a ＋1≤0. 设m (x )＝2x ln(2x )－2x ＋1⎝⎛⎭⎫12<x <e2，则m ′(x )＝2ln(2x )>0，所以m (x )在⎝⎛⎭⎫12，e2上单调递增，m (x )>m ⎝⎛⎭⎫12＝0，不满足题意．(ⅲ)当0<4a 2≤1，即0<a ≤12时，h (x )在[1，e]上单调递减，所以h (x )≤h (1)＝0，所以0<a ≤12满足题意．综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12.22．解 (1)由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9. (2)将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得t 2＋2(sin α－cos α)t －7＝0. 由Δ＝4(sin α－cos α)2＋4×7＞0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两根， 所以t 1＋t 2＝2(cos α－sin α)，t 1t 2＝－7， 又由直线过点(2,1)，故结合参数的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝4(sin α－cos α)2＋28＝32－4sin 2α≥27，当sin 2α＝1时取等号．所以|P A |＋|PB |的最小值为27.23．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋1|≥0＋⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12－(x ＋1)＝32， 当且仅当x ＝12时取等号．故f (x )的最小值为12.(2)当x ∈[1,2]时，f (x )<5x＋a ，则|2x －a |＋x ＋a <5x ＋a ，即|a －2x |<5x －x ，即3x －5x <a <x ＋5x，因为x ∈[1,2]时，3x －5x 的最小值为－2，x ＋5x 的最大值为6，所以－2<a <6，又因为a >0，所以0<a <6. 所以a 的取值范围为(0,6)．。

2021年高考数学一轮复习 题组层级快练9（含解析）1．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1－xC ．y ＝12x－1D ．y ＝3|x |答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝(13)x的值域是正实数，∴y ＝(13)1－x的值域是正实数．2．已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11答案 B解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a＝3. ∴f (2a )＝22a＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.3．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<1 C ．|a |> 2 D ．|a |< 2答案 C4．(xx·成都二诊)若函数f (x )＝(a ＋1e x－1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.12答案 D5．(xx·唐山一中模拟)函数y ＝(12)x＋1的图像关于直线y ＝x 对称的图像大致是( )答案 A解析 函数y ＝(12)x＋1的图像如图所示，关于y ＝x 对称的图像大致为A 选项对应图像．6．若函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定答案 A解析 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)． 7．函数f (x )＝3·4x －2x在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( ) A ．－112B ．0C ．2D ．10答案 C解析 设t ＝2x，∵x ∈[0，＋∞)，∴t ≥1. ∵y ＝3t 2－t (t ≥1)的最小值为2， ∴函数f (x )的最小值为2.8．(xx·山东师大附中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R答案 B9．在同一个坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝sin ax 的部分图像，其中a >0且a ≠1，则下列所给图像中可能正确的是( )答案 D解析 若a >1，则y ＝a x 是增函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa<2π；若0<a <1，则y ＝a x是减函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa>2π.10．(xx·四川绵阳一诊)计算：23×31.5×612＝________. 答案 6解析 原式＝2×312×(32)13×1216＝2×312×313×2－13×316×213＝2×312＋13＋16×2－13＋13＝6.11．若指数函数f (x )＝a x在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a ＝________.答案 12或32解析 当a >1时，y ＝a x 是增函数，∴a 2－a ＝a 2，∴a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 是减函数，∴a －a 2＝a 2，∴a ＝12.12．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 答案 m <n解析 由于0<a <1，所以f (x )是减函数，再由f (m )>f (n )知m <n . 13．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．答案 m ≤－214．若0<a <1,0<b <1，且a log b (x －3)<1，则实数x 的取值范围是________． 答案 (3,4)解析 ∵log b (x －3)>0，∴0<x －3<1，∴3<x <4. 15．(xx·沧州七校联考)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．答案 [2，＋∞)解析 f (1)＝a 2＝19，a ＝13，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧132x －4， x ≥2，134－2x， x <2.∴单调递减区间为[2，＋∞)．16．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值是14? 答案 a ＝3或a ＝13解析 令t ＝a x，则y ＝t 2＋2t －1. (1)当a >1时，∵x ∈[－1,1]， ∴a x∈[1a ，a ]，即t ∈[1a，a ]．∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在[1a ，a ]上是增函数(对称轴t ＝－1<1a)．∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝3. (2)当0<a <1时，t ∈[a ，1a]．∵y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上是增函数，∴y max ＝(1a＋1)2－2＝14.∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a <1，∴a ＝13.综上，a ＝3或a ＝13.17．(xx·山东济南期末)已知函数f (x )＝4x＋m2x 是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．答案 (1)m ＝－1 (2)[2，＋∞)解析 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.(2)函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x>0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．18．(xx·烟台上学期期末)已知函数f (x )＝2x ＋k ·2－x，k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f (x )>2－x成立，求实数k 的取值范围． 答案 (1)k ＝－1 (2)(0，＋∞)解析 (1)∵f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x)．∴(1＋k )＋(k ＋1)·22x＝0对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－1.(2)∵x ∈[0，＋∞)，均有f (x )>2－x，即2x ＋k ·2－x >2－x 成立，∴1－k <22x 对x ≥0恒成立，∴1－k <(22x)min .∵y ＝22x在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x )min ＝1，∴k >0.∴实数k 的取值范围是(0，＋∞)．1．在如图中曲线是指数函数y ＝a x，已知a 的取值为2，43，310，15，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 依次为( )A.43，2，15，310 B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43， 2 答案 A2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－|x |＋1，x ≤0.若关于x 的方程f (x )＋2x －k ＝0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为( )A ．(－1,2]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)答案 A解析 在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝－2x ＋k 的图像，数形结合即可．37960 9448 鑈36259 8DA3 趣w28753 7051 灑}N358128BE4 诤33580 832C 茬\25012 61B4 憴34026 84EA 蓪38407 9607 阇40277 9D55 鵕。

2021年高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练62直线与圆圆与圆的位置关系理1．(xx·江西南昌市一模)对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 C解析 圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0，配方，得(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1，0)，直线y ＝kx －1恒过M(0，－1)，而(0－1)2＋(－1)2<3，即M 点在圆内，所以直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ＝2.所以直线与圆相切． 3．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离答案 A解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．4．(xx·安徽屯溪一中月考)若曲线x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)与直线y ＝k(x ＋2)有公共点，则k的取值范围是( ) A ．[－34，0)B ．(0，34)C ．(0，34]D ．[－34，34]答案 C解析 ∵x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)可化为(x －3)2＋y 2＝9(y>0)，∴曲线表示圆心为(3，0)，半径为3的上半圆，它与直线y ＝k(x ＋2)有公共点的充要条件是：圆心(3，0)到直线y ＝k(x ＋2)的距离d≤3，且k>0，∴|3k －0＋2k|k 2＋1≤3，且k>0，解得0<k≤34.故选C. 5．(xx·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d ＝|2|12＋（3）2＝1，∴sin ∠AOC ＝d |OC|＝12，∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π3. 6．(xx·福建福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －3）2＝4，x －y ＋2＝0，消去y ，得x 2－4x ＋3＝0.解得x 1＝1，x 2＝3.∴A(1，3)，B(3，5)．又C(3，3)，∴CA →＝(－2，0)，CB →＝(0，2)． ∴CA →·CB →＝－2×0＋0×2＝0. 7．(xx·保定模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A．(3，2) B．(3，3)C．(33，233) D．(1，233)答案 D解析当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝|m|1＋（33）2＝1，解得m＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要1<m<233.8．圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c 的值是( )A．－3 B．3C．2 2 D．8答案 A解析由题知圆心为(2，－1)，半径为r＝5－c.令x＝0得y1＋y2＝－2，y1y2＝c，∴|AB|＝|y1－y2|＝21－c.又|AB|＝2r，∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c＝－3.9．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析把x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2.10．(xx·黄冈一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x－2)＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B.11．(xx·重庆一中期末)已知P是直线kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为22，则k 的值为( ) A ．3 B ．2 C.13 D.152答案 A解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，则圆心为C(1，－2)，半径为1.由题意知直线与圆相离，如图所示，S 四边形PACB ＝S △PAC ＋S △PBC ，而S △PAC ＝12|PA|·|CA|＝12|PA|，S △PBC ＝12|PB|·|CB|＝12|PB|，又|PA|＝|PB|＝|PC|2－1，∴|PC|取最小值时，S △PAC ＝S △PBC 取最小值，此时，CP 垂直于直线，四边形PACB 面积的最小值为22，S △PAC ＝S △PBC ＝2，∴|PA|＝22，|CP|＝3，∴|k －8－10|k 2＋16＝3，又k>0，∴k ＝3.故选A.12．(1)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． (2)以C(1，3)为圆心，并且与直线3x －4y －6＝0相切的圆的方程为________． 答案 (1)x ＋2y －5＝0 (2)(x －1)2＋(y －3)2＝9 解析 (1)由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.(2)r ＝|3×1－4×3－6|5＝3，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.13．已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________． 答案 25π解析 因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.14．已知点P(2，2)和圆C ：x 2＋y 2＝1，设k 1，k 2分别是过点P 的圆C 两条切线的斜率，则k 1·k 2的值为________． 答案 1解析 设过点P 的切线斜率为k ，方程为y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0. 其与圆相切则|2k －2|k 2＋1＝1，化简得3k 2－8k ＋3＝0.所以k 1·k 2＝ 1.15．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________． 答案 (2，2)解析 ∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有|OP|＝2|OM|＝2.由两点间的距离公式得，|OP|＝x 02＋（－x 0＋22）2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 16．(xx·大纲全国)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________． 答案 43解析 利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB 各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值． 如图，|OA|＝12＋32＝10.∵半径为2，∴|AB|＝|OA|2－|OB|2＝10－2＝2 2. ∴tan ∠OAB ＝|OB||AB|＝222＝12.∴所求夹角的正切值为tan ∠CAB ＝2tan ∠OAB1－tan 2∠OAB ＝2×121－14＝43. 17．(xx·天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a)，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.18．(xx·杭州学军中学月考)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称． (1)求实数m 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程． 答案 (1)m ＝1 (2)x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 (1)圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C. ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0，x ＋y ＋1＝0，消去y ，得2x 2＋4x ＋a ＋1＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1.由x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋12，得y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋12－1.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.1．(xx·安徽，文)若过点P(－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．(0，π3]C ．[0，π6]D ．[0，π3]答案 D解析 设直线l 的方程为y ＋1＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0. 由d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，得0≤k≤ 3. ∴0≤tan α≤3，∴α∈[0，π3]，选D. 2．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.另解：易知PACB 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0.又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0， ∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.3．(xx·山东，文)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0的圆心M(0，a)，半径为a ， 所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离为|a|2.由直线x ＋y ＝0被圆M 截得的弦长为22，知a 2－a22＝2，故a ＝2，即M(0，2)且圆M 的半径为2. 又圆N 的圆心N(1，1)，且半径为1， 根据1<|MN|＝2<3，知两圆相交．故选B.4．(xx·课标全国Ⅱ，理)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10答案 C解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M(0，y 1)，N(0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN|＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝46，故选C.5．已知点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B两点，则|AB|的最小值是( ) A ．2 6B ．4C. 6 D ．2答案 B解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长等价于求到圆心距离d 最大的点，即图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB|min ＝214－10＝4，故选B.6．(xx·唐山一中模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1 D.17答案 B解析 ⊙C 1关于x 轴对称的⊙C 1′的圆心C 1′(2，－3)，半径仍为1，⊙C 2的圆心为(3，4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为⊙C 1′和⊙C 2的圆心距离减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为52－4.7．(xx·衡水调研卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值． 答案 (1)(x －3)2＋(y －1)2＝9 (2)a ＝－1解析 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，（x －3）2＋（y －1）2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.因此x 1＝（8－2a ）＋56－16a －4a 24，x 2＝（8－2a ）－56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA⊥OB，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.8．(xx·课标全国Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 答案 (1)(4－73，4＋73) (2)2解析 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为(4－73，4＋73)．(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆C 的圆心(2，3)在l 上，所以|MN|＝2.。

2021年高考数学一轮总复习能力提升练解析几何理苏教版一、填空题1．(xx·山东省实验中学诊断)已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于________．解析因为直线y＝ax－2的斜率存在且为a，所以－(a＋2)≠0，所以3x－(a＋2)y＋1＝0的斜截式方程为y＝3a＋2x＋1a＋2，由两直线平行，得3a＋2＝a且1a＋2≠－2，解得a＝1或a＝－3.答案1或－32．(xx·洛阳模拟)椭圆x216＋y29＝1的焦距为________．解析由题意知a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2－b2＝16－9＝7，所以c＝7，即焦距为2c＝27.答案273．(xx·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于________．解析圆心到直线的距离d＝|－5|32＋42＝1，弦AB的长l＝2r2－d2＝24－1＝2 3.答案2 34．(xx·武汉一模)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是________________．解析设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|＝|BC|，即a－52＋22＝a＋12＋42，解得a＝1，所以半径r＝1＋12＋42＝20＝25，所以圆C的方程是(x－1)2＋y2＝20.答案 (x －1)2＋y 2＝205．(xx·湖州模拟)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析 因为双曲线的焦点为(5,0)，所以c ＝5，又a 2＋9＝c 2＝25，所以a 2＝16，a ＝4，所以离心率为e ＝c a ＝54.答案546．(xx·济南一模)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点在直线x －2y －2＝0上，则该抛物线的准线方程为________．解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，代入直线x －2y －2＝0方程，得p2－2＝0，即p ＝4，所以抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－42＝－2.答案 x ＝－27．(xx·郑州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是______________．解析 双曲线的右焦点为(3,0)，双曲线的渐近线为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，即2x －2y ＝0，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即r ＝|32|22＋22＝326＝33＝ 3.所以圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3.答案 (x －3)2＋y 2＝38．(xx·汕头一模)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，所以由p2＝2，得p ＝4.答案 49．(xx·杭州模拟)已知两点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“R 型直线”．给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x＋1，其中为“R 型直线”的是________．解析 由题意可知，点P 的轨迹是在双曲线的右支上，其中2a ＝6，a ＝3，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝16.所以双曲线方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)．显然当直线y ＝x ＋1与y ＝2和双曲线的右支有交点，所以为“R 型直线”的是①②. 答案 ①②10．(xx·湖州一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．解析 依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1.答案2＋111．(xx·兰州一模)已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是________．解析 由抛物线定义知，y P ＋1＝5，即y P ＝4，所以有x 2P ＝16，解得x P ＝±4. 答案 ±412．(xx·上海卷)设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4.若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为________．解析 设D 在AB 上，且CD ⊥AB ，AB ＝4，BC ＝2，∠CBA ＝45°，所以有CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3，所以有C (1，1)，把C (1,1)代入椭圆的标准方程得1a 2＋1b2＝1，a 2＝b 2＋c 2且2a＝4，解得，b 2＝43，c 2＝83，则2c ＝43 6.答案436 13．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则M 到x 轴的距离为________．解析 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |＝2，m 2＋n 2＝12，可得mn ＝4.由△MF 1F 2的面积可得M 到x 轴的距离为423＝233.答案23314．(xx·淄博二模)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________． 解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，由题意知b2－－cc －b2＝53，c ＝2b ，所以c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，即4a 2＝3c 2，所以2a ＝3c ，所以e ＝c a＝23＝233. 答案233二、解答题15．(xx·广东卷改编)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程． 解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ， 则|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ， 即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.16．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1) 设圆P 的半径为r ，则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ，∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)由(1)知2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的倾斜角为90°，方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②当l 的倾斜角不为90°， 设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，⎩⎪⎨⎪⎧|－k ＋b |1＋k 2＝1，|2k ＋b |1＋k 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝24，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24，b ＝－ 2.∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝24x ＋2，化简得7x 2＋8x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187. 17．(xx·东北三校联考)如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解 (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·2k 212＋－2k 12＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4. (2)设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －m ，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2， ∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(xx·重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程． 解 (1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则－c2a2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b2＝1.由e ＝22，得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP ′→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0， 即(x 1－x 0)2－y 21＝0. 由椭圆方程及x 1＝2x 0， 得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0， 解得x 1＝±463，x 0＝x 12＝±263. 从而|QP |2＝8－x 20＝163. 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2632＋y 2＝163.]122203 56BB 嚻34259 85D3 藓28454 6F26 漦+Y &\K.24882 6132 愲\=。