第22章 一元二次方程单元培优试卷A3打印版

九年级数学上第22章一元二次方程全章质量检测试卷3（时间90分钟，满分100分）一、选择题 (每题3分,共30分)：1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a-3)x 2=8 (a ≠3)B.ax 2+bx+c=0232057x +-= 2下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 3.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 4.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、125.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.196.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）AB 、3C 、6D 、97.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( )A.6B.-1或6C.-1D.-68.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>-74 B.k ≥-74 且k ≠0 C.k ≥-74 D.k>74且k ≠0 9.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ） （A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积比两根和大210.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题:(每小题3分,共30分)11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________. 13.22____)(_____3-=+-x x x14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.15.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______.16.一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____. 17.已知是方程x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.19.已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.20.关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = . 三、用适当方法解方程：（每小题4分，共8分）21.22(3)5x x -+=22.230x ++=四、解答题（共4题，满分32分）23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

第22章学情评估一、选择题(每题3分，共24分)题序12345678答案1.下列方程是一元二次方程的是( )A ．－6x ＋2＝0B ．2x 2－y ＋1＝0 C.1x 2＋x ＝2 D ．x 2＋2x ＝02．一元二次方程x 2＋x －2＝0根的判别式的值为( )A ．－7B ．3C ．9D ．±33．方程(x －3)2＝4的根为( )A ．x 1＝x 2＝5B ．x 1＝5，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝1D ．x 1＝7，x 2＝－14．关于x 的方程mx 2＋2x ＝1有两个不相等的实数根，则m 的值可以是( )A ．1B ．0C ．－1D ．－25．等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－8x ＋12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是( )A ．10B ．12C ．14D ．10或146．以x ＝4±16＋4c 2为根的一元二次方程可能是( )A ．x 2－4x －c ＝0B ．x 2＋4x －c ＝0C ．x 2－4x ＋c ＝0D ．x 2＋4x ＋c ＝07．对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，给出下列说法：①若a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac ≥0；②若方程ax 2＋c ＝0有两个不相等的实数根，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实数根；③若x 0是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2－4ac ＝(2ax 0＋b )2；④若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立．其中正确的是( )A ．①②B ．①②④C ．①②③④D ．①②③8．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点A 沿线段AB向点B运动，动点Q从点B沿线段BC向点C运动，两点同时开始运动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若△PBQ的面积为5 cm2，则点P运动的时间为( )A．1 s B．4 s C．5 s或1 s D．4 s或1 s二、填空题(每题3分，共18分)9．一元二次方程3x2＋2x－5＝0的一次项系数是________．10．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是________．11．已知x＝－1是关于x的方程x2＋mx－n＝0的一个根，则m＋n的值是________．12．定义运算：m&n＝m2－mn＋2.例如：1&2＝12－1×2＋2＝1，则方程x&3＝0的根的情况为____________________．13．如图，从正方形的铁片上沿平行于一条边的直线截去一个3 cm宽的长方形铁片，余下(阴影部分)面积为40 cm2，则原来的正方形铁片的面积是________cm2.(第13题)14．若实数a，b分别满足a2－4a＋3＝0，b2－4b＋3＝0，且a≠b，则(a＋1)(b＋1)的值为________．三、解答题(15题8分，16，17题每题9分，18，19题每题10分，20题12分，共58分)15．解方程：100(1－x)2＝81.①你选用的解法是____________；②直接写出该方程的解是____________；③请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用方程“100(1－x)2＝81”来解决．你设计的问题是______________________________________．16．已知x1，x2是方程x2－(3＋1)x＋3＝1 的两个根．求：3(1)x 12＋x 22; (2)1x 1＋1x 2.17．已知关于x 的一元二次方程kx 2－(2k ＋4)x ＋k －6＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当k ＝1时，用配方法解方程．18.下面是某月的日历表，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为48，求这个最小数．(请用方程的知识解答，否则不给分)(第18题)19．在蚌埠花博园附近某盆栽销售处发现：进货价为每盆50元，销售价为每盆80元的某盆栽平均每天可售出20盆．现此销售处决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每盆降价2元，那么平均每天就可多售出3盆．设每盆降价x元．(1)现在每天卖出________盆，每盆盈利________元(用含x的代数式表示)；(2)当x为何值时，销售这种盆栽平均每天能盈利700元，同时又可以使顾客得到较多的实惠？(3)该销售处通过销售这种盆栽平均每天能盈利1 000元吗？请说明理由．20. 阅读材料：各类方程及方程组的解法．求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程及方程组的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过提公因式把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的根．(1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的根是x1＝0，x2＝________，x3＝________；5(2)拓展：用“转化”思想求方程 2x ＋3＝x 的根；(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD ＝8 m ，宽AB ＝3 m ，小华先把一根长为10 m 的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边缘BA ，AD 走到点P 处，把绳子PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边缘PD ，DC 走到点C 处，把绳子剩下的一段拉直，绳子的另一端恰好落在点C 处，求AP 的长．(第20题)答案一、1.D 2.C 3.B 4.A 5.C 6.A 7.D 8．A 点拨：设点P 运动的时间为t s ，则BP ＝(6－t )cm ，BQ ＝2t cm ，依题意得12(6－t )×2t ＝5，整理，得t 2－6t ＋5＝0，解得t 1＝1，t 2＝5.因为当Q 到达点C 时两点同时停止运动，所以0≤2t ≤8，所以0≤t ≤4，所以t ＝1.故选A.二、9.2　10.x ＝－3　11.1　12.有两个不相等的实数根13．64　14.8　三、15.①直接开平方法②x 1＝0.1，x 2＝1.9③某种药品的原价是100元/盒，经过两次降价后的价格是81元/盒，求平均每次降价的百分率(答案不唯一)16．解：原方程可变形为x 2－(3＋1)x ＋3－1＝0，由题意得x 1＋x 2＝3＋1，x 1x 2＝3－1.(1)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(3＋1)2－2×(3－1)＝6.(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3＋13－1＝（3＋1）2（3－1）（3＋1）＝4＋2 32＝2＋ 3.17．解：(1)因为关于x 的一元二次方程kx 2－(2k ＋4)x ＋k －6＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝[－(2k ＋4)]2－4k (k －6)＞0，且k ≠0，解得k ＞－25且k ≠0.(2)当k ＝1时，原方程为x 2－(2×1＋4)x ＋1－6＝0，即x 2－6x －5＝0.移项，得x 2－6x ＝5.配方，得x2－6x＋9＝5＋9，即(x－3)2＝14.直接开平方，得x－3＝±14，所以x1＝3＋14，x2＝3－14.18．解：设这个最小数为x，则最大数为x＋8，依题意得x(x＋8)＝48，整理，得x2＋8x－48＝0，解得x1＝4，x2＝－12(不合题意，舍去)．答：这个最小数为4.19．解：(1)(20＋3x2)；(30－x)(2)由题意得(30－x)(20＋3x2)＝700，解得x1＝10，x2＝203.因为要使顾客得到较多的实惠，所以x＝10.(3)不能．理由：若销售这种盆栽平均每天能盈利1 000元，则(30－x)(20＋3x)＝1 000，整理，得3x2－50x＋800＝0，因为Δ＝(－50)2－4×3×800＝－7 100 2＜0，所以原方程无实数根，所以该销售处通过销售这种盆栽平均每天不能盈利1 000元．20．解：(1)－2；1(2)方程的两边平方，得2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0，所以(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1.当x＝－1时，2x＋3＝1＝1≠－1，舍去；当x＝3时，2x＋3＝3＝x，所以方程2x＋3＝x的根是x＝3.(3)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3 m．设AP＝xm，则PD＝(8－x)m，因为BP＋CP＝10 m，BP＝AB2＋AP2，CP＝PD2＋CD2，所以9＋x2＋（8－x）2＋9＝10，所以（8－x）2＋9＝10－9＋x2，两边平方，得(8－x)2＋9＝100－209＋x2＋9＋x2，整理，得5x2＋9＝4x＋9，两边平方并整理，得x2－8x＋16＝0，即(x－4)2＝0，解得x1＝x2＝4.经检验，x＝4是方程的根．答：AP的长为4 m.7。

九年级上册第二十二章《一元二次方程》整章测试题一、选择题（每题3分）1. （2018山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=2 (2018成都)若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B 。

1k >-且0k ≠ C.。

1k < D 。

1k <且0k ≠3．(2018年潍坊)关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．94. （2018青海）方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A ．12 B ．12或15C ．15D ．不能确定5（2018年烟台市）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2018B ．2018C ．2018D ．20186. （2018江西）为了让江西的山更绿、水更清，2018年省委、省政府提出了确保到2018年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2018年我省森林覆盖率为60.05%，设从2018年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程（ ） A ．()60.051263%x += B ．()60.051263x += C ．()260.05163%x += D ．()260.05163x +=7. （2018襄樊市）如图5，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ）A．4+ B．12+ C．2+ D．212+ADCEB 图58.（2018青海）在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图5所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ） A ．213014000x x +-= B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=二、填空题：（每题3分）9. （2018重庆綦江）一元二次方程x 2=16的解是 ．10. （2018威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是 ．11. （2018年包头）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ．12. （2018年甘肃白银）（6分）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，则方程（4⊕3）⊕24x =的解为 ．13 . （2018年包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm 2．14. （2018年兰州）阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为 ． 15. （2018年甘肃白银）（6分）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，则方程（4⊕3）⊕24x =的解为 ．16. （2018年广东省）小明用下面的方法求出方程30=的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．三、解答题：（52分）17.解方程（每小题5分，共10分）（1）x 2－4x －3＝0 （2）(x －3)2+2x(x －3)＝018.（2018北京）已知关于x 的一元二次方程x ²-4x +m -1=0有两个相等实数根，求的m 值19．（2018广东茂名）已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．20. (2018年鄂州)22、关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。

华东师大版九年级数学上册第22章一元二次方程单元测试卷-带参考答案一、单选题1．若一元二次方程22(36)40a x a -+-=的常数项是0，则a 的值是（ ）A ．2或-2B ．2C ．-2D ．42．若关于x 的方程mx 2-2x+1=0是一元二次方程，则（ ）A ．m>0B ．m≥0C ．m=1D ．m≠03．已知一元二次方程的一般式为 20(0)ax bx c a ++=≠ ，则一元二次方程x 2－5＝0中b 的值为（ ）A ．1B ．0C ．－5D ．54．某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低 x %，连续两次降低后成本为64万元，则 x 的值为（ ）A ．10B ．15C ．18D ．205．给出以下方程的解题过程，其中正确的有（ ）①解方程12（x ﹣2）2＝16，两边同时开方得x ﹣2＝±4，移项得x 1＝6，x 2＝﹣2；②解方程x （x ﹣ 12 ）＝（x ﹣ 12 ），两边同时除以（x ﹣ 12 ）得x ＝1，所以原方程的根为x 1＝x 2＝1；③解方程（x ﹣2）（x ﹣1）＝5，由题得x ﹣2＝1，x ﹣1＝5，解得x 1＝3，x 2＝6；④方程（x ﹣m ）2＝n 的解是x 1＝m + n ，x 2＝m ﹣n ． A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．一种商品原价100元，经过两次降价后的售价是60元，设平均每次降价的百分率为 x ，那么所列方程正确的是（ ）A ．()2601100x +=B ．()6012100x +=C ．()2100160x -= D ．()1001260x -= 7．用配方法解一元二次方程x 2－4x+3=0时可配方得（ ）A ．(x －2)2=7B ．(x －2)2=1C ．(x+2)2=1D ．(x+2)2=28．如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A ．()()40234960x x --=B ．2403440342960x x x ⨯--+=C ．()()40342960x x --=D ．403440234960x x ⨯--⨯=9．一元二次方程 220x x c ++= 有两个相等的实数根，那么实数 c 的取值为（ ）．A ．1c >B ．1c ≥C ．1c =D ．1c <10．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事.一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（ ）A ．3(1)10x +=B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=二、填空题11．方程 (2)4310m m x x m ++++= 是关于x 的一元二次方程，则m= .12．为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在 一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“┛”带，鲜花带一边宽1m.另一边宽2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长 x m ，可列方程为 .13．某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，共送贺年卡56张，这个小组共有 人. 14．若x 1、x 2是一元二次方程x 2-3x-3=0的两个根，则，x 1+x 2的值是三、计算题15．（1）x 2﹣3x=10 （2）3x 22x ﹣4=0．四、解答题16．夏津某一企业2014年完成工业总产值100万元，如果要在2016年达到169万元，那么2014年到2016年的工业总产值年平均增长率是多少？计划2018年工业总产值要达到280万元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？17．解方程：x 2+4x ﹣2=018．某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。

华师大版2020九年级数学上册第22章一元二次方程单元综合培优提升训练题3（附答案详解）1．关于x 的一元二次方程22220x ax a ++-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根 D ．无法确定 2．关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=无实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．m 1≥ C ．1m D ．1m3．若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=有一个根为0，则m 的值（ ）A ．0B ．1或2C ．1D ．24．如果a 、b 是关于x 的方程(x+c)(x+d)=1的两个根，那么(a+c)(b+c)等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．c 25．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．26．关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2ax +a ﹣1＝0，下列说法正确的是（ ）A ．一定是一个一元二次方程B ．a ＝﹣1时，方程的两根x 1和x 2满足x 1+x 2＝﹣1C ．a ＝3时，方程的两根x 1和x 2满足x 1•x 2＝1D ．a ＝1时，方程无实数根7．若关于x 的一元二次方程230ax ax a -+=有两个实数根1x ，2x ，则下列说法正确的是（ ）A ．a 的值可以是0B ．123x x +=-C ．12•1x x =-D ．1x ，2x 都是正数8．关于x 的一元二次方程210x kx +-=根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定9．已知实数,,m n c 满足2102m m c -+=，221444n m m c =-+-，则n 的取值范围是（ ）A ．54n >-B ．54n ≥-C ．1n >-D ．1n ≥-10．近年来，快递业发展迅速，2018年我国快递业务量为507亿件，2020年预计快递量将达到700亿件，设快递量平均每年增长率为x ．则下列方程中正确的是( )A ．507(1)700x +=B ．507(12)700x +=C ．2507(1)700x +=D ．2507(1)700x -=11．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．2x ﹣3＝xB ．2x +3y ＝5C ．2x ﹣x 2＝1D ．17x x+= 12．一元二次方程22(2)7(2)60x x -+-+=的解为（ ）A ．121,1x x =-=B ．1274,2x x ==C ．1210,2x x ==D ．无实数解 13．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染，设每一轮感染中平均每台电脑会感染x 台电脑，则x 满足方程______． 14．一元二次方程280x x a -+=，配方后为()241x -=，则a =__________.15．一元二次方程x 2﹣20x +19＝0的解为x 1、x 2，则x 1+x 2＝_____．16．等腰三角形的底边长为7，腰长是方程29180x x -+=的一个根，则这个等腰三角形 的周长为__________．17．设等腰三角形的三条边长分别为a 、b 、c ，已知4a =，b 、c 是关于x 的方程260x x m -+=的两个根，则m 的值是________.18．关于x 的一元二次方程()21210a x x ---=有实数根，则a 满足___________. 19．某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人．设该病毒一人平均每轮传染x 人，则关于x 的方程为_________．20．—元二次方程22310x x --=根的判别式的值是_____________；21．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．22．关于x 的方程（a ﹣3）x 2+10＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是_____． 23．方程()()()232x x x ++=+的解是__________．24．一元二次方程（x －2）（x ＋3）＝2x ＋1化为一般形式是_______________．25．阅读并解答：在分解因式 x 2+2x-3 时，岳老师讲了如下方法2223214x x x x +-=++-2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-(3)(1)x x =+-（1）仿照上例分解因式：245x x --观察发现：(3)(1)(3)[(1)]x x x x +-=++-2[3(1)]3(1)x x =++-+⨯-223x x =+-按照这个规律可以推导出：2()()()x p x q x p q x pq ++=+++（2）得到结论：若,p q 为常数，a p q =+，b p q =-，则2x ax b ++= = 问题解决：（3）利用（2）的结论，将下列多项式分解因式：①2815x x ++；②2412x x --． 26．解方程：（1）4x 2﹣36＝0（2）x 2﹣2x ﹣3＝0；27．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（m +1）x +m +6＝0的两实数根，且x 12+x 22＝5，求m 的值是多少？28．（110120162-⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）求()21250x --=中的x 的值．29．如图，在△CBD 中，CD ＝BD ，CD ⊥BD ，BE 平分∠CBA 交CD 于点F ，CE ⊥BE 垂足是E ，CE 的延长线与BD 交于点A ．（1）求证：BF ＝AC ；（2）求证：BE 是AC 的中垂线；（3）若BD ＝2，求DF 的长．30．为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x 个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x 个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个 人参与了本次活动．（1）x 的值是多少？（2）再经过几轮转发后，参与人数会超过10000人？31．关于x 的方程21230m x x -+-=，若原方程的一个根是1，求此时m 的值及方程的另一个根．32．()1列方程解几何题是常用解题方法：如图 1，Rt ABC ∆中，90,C AB ︒∠=比AC 长1?,3BC =，求AC 的长． 解：设AC 为x ，则1AB x =+． 在Rt ABC ∆中，222AC BC AB ＋＝，列方程得：解得：x =()2如图 2，有一块直角三角形纸片，两直角边6,8AC cm BC cm ==，将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且AE 重合，求CD 的长．33．解下列方程：（1）2310x x --= ；（2）2373226x x +=++． 34．某校计划种植一块面积为960平方米的长方形草坪，已知该长方形草坪的长比宽的2倍还多8米，问这个长方形草坪的长为多少米？35．用适当的方法解下列方程：（1）24490x -=；（2）2(3)2(3)x x x -=-；（3）230x x ++=（4）2260x x --=．36．定义新运算：对于任意实数，a 、b ，都有()1a b a a b ⊕=-+，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：()()252251231615⊕=-+=⨯-+=-+=- （1）求()46x ⊕-=，求x 的值；（2）若3a ⊕的值小于10，请判断方程：220x bx a --=的根的情况．参考答案1．A【解析】【分析】由题意可知该方程的根的判别式结果为：()()22422a a --，然后由此进一步化简，若化简结果大于0，则原方程有两个不相等的实数根，若小于0，则原方程无实数根，若等于0则原方程有两个相等的实数根，据此分析即可得出答案.【详解】由题意得原方程的根的判别式结果为：()()222422488a a a a --=-+，∵()224884214a a a a -+=-++，即：()()2242144140a a a -++=-+>， ∴原方程有两个不相等的实数根，故选：A .【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 2．D【解析】【分析】由根的判别式进行判断，即可求出m 的取值范围.【详解】解：∵一元二次方程2x 2x m 0-+=无实数根，∴2(2)410m ∆=--⨯⨯<，解得：1m ；故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 3．D【分析】把x=0代入已知方程得到关于m 的一元二次方程，通过解方程求得m 的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．【详解】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m 2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，又m-1≠0，即m≠1，∴m=2，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m 的值必须满足：m-1≠0这一条件．4．B【解析】【分析】根据整式乘法将(a+c)(b+c)化简为()2ab a b c c +++,再根据韦达定理求解即可. 【详解】解：(x+c)(x+d)=1化简为()210x c d x cd +++-= ∵a,b 分别方程的两根,∴()a b c d +=-+,1ab cd =-,将(a+c)(b+c)化简为22()1()1ab a b c c cd c d c c +++=--++=-,故选B.【点睛】本题考查了整式的化简和一元二次方程韦达定理,解决本题的关键是正确理解题意,数量掌握韦达定理的关系式.5．C【分析】由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】方程()22240x a x a --+=有实数解， ∴△=4(a−4)2−4a 2⩾0，解得a ⩽2∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程1311y a y y+-=-- 解得y=2a +2 ∵y 有整数解∴a=−4，0，2，4，6综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2，符合条件的a 的值的和是−2故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．6．C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系逐一判断可得答案．【详解】解：A ．当a ＝1时，此方程为2x ＝0，是一元一次方程，此选项错误，不符合题意； B ．当a ＝﹣1时，方程为﹣2x 2﹣2x ﹣2＝0，即x 2+x +1＝0，此时△＝﹣3＜0，此方程无解，故此选项错误，不符合题意；C ．a ＝3时，方程为2x 2+6x +2＝0，即x 2+3x +1＝0，方程的两根x 1和x 2满足x 1•x 2＝1，故此选项正确，符合题意；D ．a ＝1时，方程为2x ＝0，此方程有一个实数根，为x ＝0，此选项错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系．7．D【解析】【分析】根据方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出∆≥0，解之即可得出a 的取值范围,根据两根的和与积的关系，可以得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230ax ax a -+=有两个实数根，∴()2a 03a 4a a 0≠⎧⎪⎨--⨯⨯≥⎪⎩ ∴0a ≠，故A 错∵关于x 的一元二次方程230ax ax a -+=有两个实数根1x ，2x ∴12123+=-1-===3，a a x x x x a a，故B,C 错误； ∵1212+1==3，x x x x∴12x x 、同为正数，故D 正确故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，韦达定理，牢记“当∆≥0时，方程有两个实数根”，两根的关系是解题的关键．8．B【解析】【分析】求出一元二次方程根的判别式b2-4ac，根据平方数的非负性确定b2-4ac>0，即可得出根的情况.【详解】解：b2-4ac=k2-4×(-1)=k2+4,∵k2≥0,∴k2+1>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选：B.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根个数的关系，解答此题的关键是掌握当b2-4ac>0,方程有两个不相等的实数根；b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根；b2-4ac<0,方程没有实数根. 9．D【解析】【分析】由m2-m+12c=0，可得m2-m=-12c，代入n=4m2-4m+c2-14，得到n=c2-2c-14，再配方后，根据非负数的性质可求n的取值范围．【详解】∵m2-m+12c=0，∴m2-m=-12 c，∵m2-m=（m-12）2-14≥-14，∴-12c≥-14，∴c≤12，∵n=4m2-4m+c2-1 4=4（m2-m）+c2-1 4=4×（-12c）+c2-14=c 2-2c-14=（c-1）2-54， ∵（c-1）2≥14， ∴n≥-1．故选：D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题关键是通过配方确定c 的取值范围并根据题意得到n=c 2-2c-14． 10．C【解析】【分析】由题意根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设快递量平均每年增长率为x ，依题意，得：2507(1)700x +=．故选：C ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．C【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A 、方程2x ﹣3＝x 为一元一次方程，不符合题意；B 、方程2x +3y ＝5是二元一次方程，不符合题意；C 、方程2x ﹣x 2＝1是一元二次方程，符合题意；D 、方程x +1x＝7是分式方程，不符合题意， 故选：C ．【点睛】 本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．12．C【解析】【分析】先把x －2看作一个整体，利用公式法解关于x －2的方程，进而可得答案．【详解】解：把x －2看作一个整体，a =2，b =7，c =6，则根据一元二次方程的求根公式，得：7712224x -±-±-==⨯， ∴22x -=-或322x -=-， 解得：10x =，212x =． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．13．（1+x ）2＝64．【解析】【分析】首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x 台电脑，这（x +1）台电脑又感染给了x （1+x ）台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染得出即可．【详解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑．根据题意，得：1+x +x （1+x ）＝64，整理得：（1+x ）2＝64，故答案是：（1+x）2＝64．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解题的关键．14．15【解析】【分析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值．【详解】∵（x−4）2＝x2−8x＋16＝1，∴a＝15；故答案为：15．【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．20．【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系：12bx xa+=-解答即可．【详解】解：∵一元二次方程x2﹣20x+19＝0的解为x1、x2，∴x1+x2＝20．故答案为：20．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，属于应知应会题型，熟练掌握方程的两根之和与两根之积和一元二次方程的各项系数的关系是解题关键．16．19【解析】【分析】先解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定等腰三角形的腰长，最后求出三角形的周长即可．解：29180x x -+=∴()()360x x --=解得：12=3=6x x ，当腰长为3时，∵3＋3＜7∴长度为3，3，7的三条线段不能组成三角形，此种情况舍去；若腰长为6，∵6＋6＞7∴长度为6，6，7的三条线段能组成三角形∴这个等腰三角形的周长为6＋6＋7=19故答案为：19．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、三角形的三边关系和求三角形的周长，掌握一元二次方程的解法、利用三角形的三边关系进行判断是否构成三角形是解题的关键．17．8或9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得b+c=6，bc=m ，分a=4为腰长和底边长两种情况，分别求出相应的m 的值，继而利用三角形三边关系进行验证后即可得答案.【详解】∵b 、c 是关于x 的方程260x x m -+=的两个根，∴b+c=6，bc=m ，当a=4为腰长时，b=4、c=2（或b=2，c=4），此时m=8，∵4，4，2可组成三角形，∴m=8符合题意；当a=4为底边长时，∵b+c=6，b=c ，∴b=c=3，∵3，3，4可组成三角形，∴m=9符合题意，故答案为：8或9.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.18．0a ≥且1a ≠【解析】【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义即可求解.【详解】根据题意有2444(1)010b ac a a ⎧-=+-≥⎨-≠⎩，解得0a ≥且1a ≠ 故答案为0a ≥且1a ≠【点睛】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键.19．2(1)121x +=【解析】【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x （x+1）人，依题意列方程：1+x+x （1+x ）=121．【详解】11121x x x +++=（），整理得，()21121x +=． 故答案为：()21121x +=．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程20．17【解析】【分析】根据根的判别式的内容求出即可．【详解】解：2x2-3x-1=0，△=（-3）2-4×2×（-1）=17，即一元二次方程2x2-3x-1=0根的判别式的值是17，故答案为：17．【点睛】此题考查根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解题的关键．21．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质. 22．a≥﹣3且a≠3．【解析】【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据一元二次方程的定义，即可得到答案．∵方程（a ﹣3）x 2x +10＝0是一元二次方程，∴a ﹣3≠0，即 a ≠3，有意义，∴a +3≥0，即 a ≥﹣3，∴a ≥﹣3且a ≠3．故答案为：a ≥﹣3且a ≠3．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件，掌握一元二次方程的定义，是解题的关键.23．122x x ==-【解析】【分析】先通过移项将等号右边多项式移到左边，再利用提公因式法因式分解，即可得出方程的根.【详解】解：()()()232x x x ++=+移项得：()()()2023x x x -++=+提公因式得：()()022x x ++=解得：122x x ==-；故答案为：122x x ==-.【点睛】本题考查一元二次方程因式分解的解法.在解一元二次方程的时候，一定要先观察方程的形式，如果遇到了相同的因式，先将他们移到方程等号的一侧，看能否利用提公因式解方程，观察以及积累是快速解题的关键.24．x 2－x －7＝0．【解析】【分析】把方程化为ax 2+bx+c=0的形式即可求解．【详解】解：（x-2）（x+3）=2x+1，去括号得x 2+3x-2x-6=2x+1，移项得x 2+3x-2x-6-2x-1=0，合并同类项得x 2-x-7=0．故答案为：x 2-x-7=0．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．25．（1）(1)(5)x x +-；（2）2()x p q x pq +++，()(x p x q ++）；（3）①(3)(5)x x ++；②(2)(6)x x +-【解析】【分析】（1）仿照材料中的方法，运用配方法和平方差公式可解决问题；（2）把a 、b 值带入因式2x ax b ++，再结合（1）推导出的公式即可解决问题； （3）仿照（2）的分解因式的方法即可解决问题．【详解】解：（1）2245449x x x x --=-+-2(2)9x =--(23)(23)x x =-+--(1)(5)x x =+-．（2）2x ax b ++=2()x p q x pq +++()(x p x q =++）；（3）①2815x x ++2(35)35x x =+++⨯(3)(5)x x =++．②2412x x --22(6)[(6)]2x x =++-+⨯-(2)(6)x x =+-．【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及到的知识有配方法、平方差公式及十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．26．（1）13x =-，23x =；（2）13x =，21x =-．【解析】【分析】（1）用因式分解法求解；（2）直接用因式分解法求解．【详解】解：（1）24360x ﹣＝()2490x ﹣＝4(3)(3)0x x +-=，260x +=或260x -=，13x ∴=-，23x =；（2）整理得：2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，30x -=或10x +=，13x ∴=，21x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，若一元二次方程可以写出两个一次项相乘等于0的形式，那么这两个一次项均有可能为0，用因式分解法求解比较简便． 27．m ＝﹣4．【解析】【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把2212x x +转换为()212122x x x x +-，然后利用前面的等式即可得到关于m 的方程，解方程即可求出结果．【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+（m+1）x+m+6＝0的两个实数根，∴12x x +＝﹣（m+1），12x x ＝m+6，∵2212x x +＝()212122x x x x +-＝5， ∴（m+1）2﹣2（m+6）＝5，解得：12==44m m -，，又∵方程x 2﹣mx+2m ﹣1＝0有两个实数根，∴△＝（m+1）2﹣4（m+6）≥0，∴当m ＝4时，△＝25﹣40＝﹣15＜0，舍去；故符合条件的m 的值为m ＝﹣4．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题．28．（1）-3；（2）6x =或4-【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂和零次幂的性质以及立方根的定义，即可求解，（2）根据直接开平方法，即可求解．【详解】（1）原式221=--+3=-；（2）∵()21250x --=，∴15x -=±，∴6x =或4-．【点睛】本题主要考查实数的混合运算以及解一元二次方程，掌握负整数指数幂和零次幂的性质以及直接开平方法，是解题的关键．29．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DF ＝﹣．【解析】【分析】（1）欲证明BF ＝AC ，只要证明△BDF ≌△CDA （ASA ）即可；（2）根据角平分线以及垂直的定义可以先证明△ABE ≌△CBE ，进而可得出结论；（3）连接AF ，只要证明DF ＝AD ，AF ＝CF ，设DF ＝AD ＝x ，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】（1）证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，∴∠DBF+∠A ＝90°，∠DCA+∠A ＝90°，∴∠DBF ＝∠DCA ，∵BD ＝CD ，∴△BDF ≌△CDA （ASA ），∴BF ＝AC ；（2）证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∵CE ⊥BE ，∴∠BEA ＝∠BEC ＝90°，又BE=BE ，∴△ABE ≌△CBE （ASA ），∴AE ＝CE ，∴BE 是AC 的中垂线；（3）解：连接AF ．∵△BDF ≌△CDA ，∴AD ＝DF ，设DF ＝AD ＝x ，∵BE 垂直平分AC ，BD ＝CD ＝2，∴CF ＝AF ＝2﹣x ，在Rt △ADF 中，∵AF 2＝DF 2+AD 2，∴（2﹣x ）2＝x 2+x 2，解得x ＝﹣2+22或﹣2﹣22（舍弃），∴DF ＝﹣2+22．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 30．（1）10；（2）再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．【解析】【分析】（1）第一轮转发了x 个人，第二轮转发了x 2个人，根据两轮转发共有111人参与列出方程求解即可；（2）根据103=1000，104=10000可得第四轮转发后参与人数会超过10000人，即可得答案．【详解】（1）∵第一轮转发了x 个人，第二轮转发了x 2个人，∴1+x+x 2=111，解得：110x =，211x =-（舍），∴x 的值为10．（2）∵103=1000，104=10000，1+102+103＜10000，∴第四轮转发后参与人数会超过10000人，∴再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数根据两轮总人数为111人建立方程是关键．31．2m =或0，方程的另一个根为23x =-．【解析】【详解】解：将1x =代入方程，有1230||m -+-=，解得：2m =或0，此时原方程为：2230x x +-=，()()130x x ∴-+=1213x x ∴==，﹣，因此方程的另一个根为23x =-．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义及方程的解法，解题的关键是正确掌握一元二次方程的解法．32．（1）229(1)x x +=+；4；（2）3【解析】【分析】（1）根据222AC BC AB ＋＝列方程即可；（2）利用勾股定理先求出AB 的值，根据折叠的性质可得出AC=AE=6，CD=ED ， 90C DEB ∠=∠=︒，设CD=x ，列方程求解即可．【详解】解：（1）根据题意列方程得： 229(1)x x +=+解方程得：4x =．故答案为：229(1)x x +=+；4；（2）由题意可知：10AB =，AC=AE=6，则BE=4，CD=ED ，90C DEB ∠=∠=︒，设CD=ED=x ，则BD=8-x ，∴22(8)16x x --=解方程得：3x =．因此，CD 的长为3．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程得应用，根据题意构造直角三角形是解此题的关键．33．（1）123322x x ==；（2）x=−2 【解析】【分析】（1）找出a ，b ，c ，代入公式求出方程的解即可；（2）因为2x+6=2（x+3），所以可得方程最简公分母为2（x+3），然后去分母转化为整式方程求解．【详解】解：（1）∵a=1，b=-3，c=-1，∴()224341b ac -=--⨯⨯（-1）=13>0∴代入求根公式得：x ==，即原方程的解为：123322x x ==； （2）原方程的两边同时乘以2(x+3)，得：4+3(x+3)=7，解这个方程，得x=−2，检验：将x=−2代入2(x+3)时，2(x+3)≠ 0，∴x=−2是原方程的根．【点睛】此题考查公式法解一元二次方程，解分式方程，掌握运算法则是解题关键．34．这个长方形草坪的长为48米【解析】【分析】设这个长方形草坪的宽为x 米，则这个长方形草坪的长为()28x +米，根据长方形面积公式列出关于x 的方程，求解即可得.【详解】设这个长方形草坪的宽为x 米，则这个长方形草坪的长为()28x +米，由题意可得：()28960x x +=，解得：124x =-（舍去），220x =，∴这个长方形草坪的长为：220848⨯+=（米），答：这个长方形草坪的长为48米.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量列出方程是解题的关键.35．（1）x 1＝﹣72，x 2＝72；（2）x 1＝3，x 2＝﹣3；（3）方程没有实数根；（4）x 1＝2，x 2＝32-． 【解析】【分析】（1）直接利用因式分解法求出解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求出解即可；（3）先判断方程根的情况，可得到此方程没有实数根；（4）利用公式法求出解即可．【详解】解：（1）分解因式得，（2x +7）（2x ﹣7）＝0，∴2x +7＝0或2x ﹣7＝0，∴x 1＝﹣72，x 2＝72； （2）移项，得（x ﹣3）2﹣2x （x ﹣3）＝0，∴（x ﹣3）（x ﹣3﹣2x ）＝0，∴x ﹣3＝0或﹣x ﹣3＝0，∴x 1＝3，x 2＝﹣3；（3）∵a ＝1，b ＝1，c ＝3，∴△＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，∴方程没有实数根；（4）∵a ＝2，b ＝﹣1，c ＝﹣6，∴△＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣6）＝49＞0，∴117224x ±==⨯， ∴x 1＝2，x 2＝32-． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法、公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．36．（1）1或-5；（2）有两个不相等的实数根【解析】【分析】（1）根据上面的算式列出等式，再解一元二次方程即可；（2）先求出a 的取值范围，然后根据2=4b ac -求出范围，从而判定根的情况.【详解】解：（1）x ⊕（﹣4）＝6()416--+=⎡⎤⎣⎦x x2450x x -=+121,5x x ==-；∴x 的值为1或-5.（2）3⊕a ＜10，3（3﹣a ）+1＜1010﹣3a ＜10a ＞0，∵220x bx a --=22=()880b a b a -+=+>△，所以该方程有两个不相等的实数根.【点睛】本题是对定义新运算的考查，准确根据题意列出算式和掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解决本题的关键.。

一元二次方程 单元测试卷时间:120分钟 满分;120分一、选择题（每题3分;共30分）1．已知x=1是一元二次方程x 2-2mx+1=0的一个解;则m 的值是（ ）A ．1B ．0C ．0或1D ．0或-12．已知a 、b 为一元二次方程0922=-+x x 的两个根;那么b a a -+2的值为（ ）（A ）-7 （B ）0 （C ）7 （D ）113．根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值;判断方程20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ．6.18 6.19x << Ｄ．6.19 6.20x <<4．等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根;则这个三角形的周长为（ ）A.8B.10C.8或10D.不能确定5．某城市2007年底已有绿化面积300公顷;经过两年绿化;绿化面积逐年增加;到底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ;由题意;所列方程正确的是A ．300(1＋x )=363B ．300(1＋x )2=363C ．300(1＋2x )=363D ．363(1－x )2=3006．现定义某种运算()a b a a b ⊗=>;若2(2)2x x x +⊗=+;那么x 的取值范围是（ ）（A ）12x -<<（B ）2x >或1x <-（C ）2x > （D ）1x <-7、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根;则式子b a a b +的值是（ ）A ．22n +B ．22n -+C ．22n -D ．22n -- 8、用配方法将代数式a 2+4a -5变形;结果正确的是（ ）A.(a +2)2-1B. (a +2)2-5C. (a +2)2+4D. (a +2)2-99、关于x 的一元二次方程222310x x a --+=的一个根为2;则a 的值是（ ）A ．1BC ．D ．10、某商品经过两次连续降价;每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x ;则下列方程中正确的是（ ）A ．55 (1+x )2=35B ．35(1+x )2=55C ．55 (1－x )2=35D ．35(1－x )2=55二、填空题（每题3分;共30分）11．已知一元二次方程有一个根是2;那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）．12．已知实数x 满足4x 2-4x+l=0;则代数式2x+x21的值为________． 13．如果αβ、是一元二次方程23 1 0x x +-=的两个根;那么2+2ααβ-的值是___________。

第22章达标检测卷(120分，90分钟)一、选择题(每题3分，共30分)1．下列方程是一元二次方程的是()A.1x2－1x＝0 B．xy＋x2＝9C．7x＋6＝x2D．(x－3)(x－5)＝x2－4x2．一元二次方程3x2－4x－5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是() A．3，－4，－5 B．3，－4，5C．3，4，5 D．3，4，－53．方程2(x＋3)(x－4)＝x2－10的一般形式为()A．x2－2x－14＝0 B．x2＋2x＋14＝0C．x2＋2x－14＝0 D．x2－2x＋14＝04．下列方程中，常数项为零的是()A．x2＋x＝1 B．2x2－x－12＝12 C．2(x2－1)＝3(x－1) D．2(x2＋1)＝x＋25．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是() A．300(1－x)2＝243 B．243(1－x)2＝300C．300(1－2x)＝243 D．243(1－2x)＝3006．下列方程，适合用因式分解法解的是()A．x2－42x＋1＝0 B．2x2＝x－3C．(x－2)2＝3x－6 D．x2－10x－9＝07．(·烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是()A．－1或5 B．1 C．5 D．－18．三角形的一边长为10，另两边长是方程x2－14x＋48＝0的两个实数根，则这个三角形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．(·安顺)若一元二次方程x2－2＋1)x＋m－1的图象不经过第()象限．A．四B．三C．二D．一10．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是()A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确二、填空题(每题3分，共30分)11．当m________时，关于x的方程(m－2)x2＋n＋n2的值为________.13．若将方程＝________.14．如果关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是________．15．(·内江)已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足1x1＋1x2＝3，则k的值是________．16．2月28日，前央视知名记者柴静推出了关于雾霾的纪录片——《穹顶之下》，引起了极大的反响．某市准备加大对雾霾的治理力度，第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度计划共投入资金260万元，求这两个季度计划投入资金的平均增长率．设这两个季度计划投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为____________．17．(·毕节)关于x的两个方程x2－4x＋3＝0与1x－1＝2x＋a有一个解相同，则a＝________.18．小明的妈妈周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0.5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，她周三买了________瓶酸奶．19．现定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是________．(第20题)20．(·贵阳)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 2 cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0<t<8)，则t＝________时，S1＝2S2.三、解答题(21题8分，22、23题每题6分，24、25题每题9分，26题10分，27题12分，共60分)21．用适当的方法解下列方程．(1)x2－x－1＝0; (2)x2－2x＝2x＋1；(3)x(x－2)－3x2＝－1; (4)(x＋3)2＝(1－2x)2.22.关于－2)＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．23．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x(x＋4)＝6.解：原方程可变形，得[(x＋2)－2][(x＋2)＋2]＝6.(x＋2)2－22＝6，(x＋2)2＝6＋22，(x＋2)2＝10.直接开平方并整理，得x1＝－2＋10，x2＝－2－10.我们称晓东这种解法为“平均数法”．(1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x＋2)(x＋6)＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得[(x＋□)－○][(x＋□)＋○]＝5.(x＋□)2－○2＝5，(x＋□)2＝5＋○2.直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤.上述过程中的“□”，“○”，“☆”，“¤”表示的数分别为________，________，________，________.(2)请用“平均数法”解方程：(x－3)(x＋1)＝5.24．已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．25．(·随州)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30辆．(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)26．如图，A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD ＝6 cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3 cm /s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止，点Q 以2 cm /s 的速度向D 移动．(1)P ，Q 两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ 的面积为33 cm 2? (2)P ，Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 之间的距离是10 cm?(第26题)27．目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，A 地到宁波港的路程比原来缩短了120 km .已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的103h 缩短到2 h .(1)求A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本，某车货物从A 地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？(3)A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物(不超过10车)从A地按外运路线运到B地的运费需8 320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与(2)中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：1车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？答案一、1.C点拨：因为1x2－1x＝0中分母含有未知数，B中xy＋x2＝9含有两个未知数，所以A、B都不是一元二次方程，D中可变形为x2－8x＋15＝x2－4x.化简后不含x2，故不是一元二次方程，故选C .2．A 3.A 4.D5．A 点拨：第一次降价后的价格为300×(1－x)元，第二次降价后的价格为300×(1－x)×(1－x)元，则列出的方程是300(1－x)2＝243.6．C 7.D8．C 点拨：由x 2－14x ＋48＝0，得x 1＝6，x 2＝8.因为62＋82＝102，所以该三角形为直角三角形．9．D 10.C二、11.≠2 12.1 13.4 14．a ＜1且a ≠015．2 点拨：∵x 2－6x ＋k ＝0的两根分别为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝k. ∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝6k＝3. 解得k ＝2.经检验，k ＝2满足题意． 16．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260点拨：根据题意知：第二季度计划投入资金100(1＋x)万元，第三季度计划投入资金100(1＋x)2万元．∴100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260.17．1 点拨：由方程x 2－4x ＋3＝0，得 (x －1)(x －3)＝0， ∴x －1＝0，或x －3＝0. 解得x 1＝1，x 2＝3；当x ＝1时，分式方程1x －1＝2x ＋a 无意义；当x ＝3时，13－1＝23＋a ，解得a ＝1，经检验a ＝1是方程13－1＝23＋a的解．18．4 点拨：设她周三买了x 瓶酸奶，根据题意得(x ＋2)·⎝⎛⎭⎫10x －0.5＝10＋2，化简得x 2＋6x －40＝0，解得x 1＝4，x 2＝－10(舍去)．19．－1或4 点拨：根据题中的新定义将x ★2＝6变形得x 2－3x ＋2＝6，即x 2－3x －4＝0，解得x 1＝4，x 2＝－1，则实数x 的值是－1或4.20．6 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD ＝BD ＝CD ＝8 2 cm .又∵AP ＝2t cm ，∴S 1＝12AP·BD ＝12×2t ×82＝8t(cm 2)，PD ＝(82－2t)cm .易知PE ＝AP ＝2t cm ，∴S 2＝PD·PE ＝(82－2t)·2t cm 2.∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2(82－2t)·2t.解得t 1＝0(舍去)，t 2＝6.三、21.解：(1)(公式法)a ＝1，b ＝－1，c ＝－1， 所以b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5.所以x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝1±52，即原方程的根为x 1＝1＋52，x 2＝1－52.(2)(配方法)原方程可化为x 2－4x ＝1， 配方，得x 2－4x ＋4＝1＋4，(x －2)2＝5. 两边开平方，得x －2＝±5， 所以x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.(3)(公式法 )原方程可化为2x 2＋2x －1＝0，所以a ＝2，b ＝2，c ＝－1，b 2－4ac ＝22－4×2×(－1)＝12. 所以x ＝－2±122×2＝－1±32，即原方程的根为x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32.(4)(因式分解法)移项，得(x ＋3)2－(1－2x)2＝0， 因式分解，得(3x ＋2)(－x ＋4)＝0， 解得x 1＝－23，x 2＝4.22．解：(1)∵关于－2)＋3＝0有两个不相等的实数根， ∴m －2≠0且Δ＝(2m)2－4(m －2)(m ＋3)＝－4(m －6)>0. 解得m<6且m ≠2.(2)在m<6且m ≠2的范围内，最大整数为5. 此时，方程化为3x 2＋10x ＋8＝0. 解得x 1＝－2，x 2＝－43.23．解：(1)4；2；－1；－7(最后两空可交换顺序)； (2)(x －3)(x ＋1)＝5，原方程可变形，得[(x －1)－2][(x －1)＋2]＝5， (x －1)2＝5＋22，即(x －1)2＝9， 直接开平方并整理，得x 1＝4，x 2＝－2.24．解：(1)Δ＝4a 2－4a(a －6)＝24a ，∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ≥0，即a ≥0.又∵a －6≠0，∴a ≠6.∴a ≥0且a ≠6.由题可知x 1＋x 2＝2a 6－a ，x 1x 2＝aa －6.∵－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2，即x 1x 2＝4＋x 1＋x 2，∴a a －6＝4＋2a6－a.解得a ＝24，经检验，符合题意．∴存在实数a ，a 的值为24；(2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝2a 6－a ＋aa －6＋1＝－6a －6.∵－6a －6为负整数，∴整数a 的值应取7，8，9，12.25．解：(1)当x ≤5时，y ＝30.当5<x ≤30时，y ＝30－(x －5)×0.1＝－0.1x ＋30.5.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30，（x ≤5，且x 为正整数），－0.1x ＋30.5，（5＜x ≤30，且x 为正整数）.(2)当x ≤5时，(32－30)x ＝2x ≤10<25，不合题意． 当5<x ≤30时，(32＋0.1x －30.5)x ＝25， ∴x 2＋15x －250＝0.解得x 1＝－25(舍去)，x 2＝10. 答：该月需售出10辆汽车．(第26题)26．解：(1)设P ，Q 两点从出发开始到2，则AP ＝3，所以PB ＝(16－3x)cm .因为(PB ＋CQ)×BC ×12＝33，所以(16－3x ＋2x)×6×12＝33.解得x ＝5，所以P ，Q 两点从出发开始到5 s 时，四边形PBCQ 的面积为33 cm 2.(2)设P ，Q 两点从出发开始到a s 时，点P 和点Q 之间的距离是10 cm . 如图，过点Q 作QE ⊥AB 于E ，易得EB ＝QC ，EQ ＝BC ＝6 cm ， 所以PE ＝|PB －BE|＝|PB －QC|＝|16－3a －2a|＝|16－5a|(cm )．在直角三角形PEQ 中，PE 2＋EQ 2＝PQ 2，所以(16－5a)2＋62＝102，即25a 2－160a ＋192＝0，解得a 1＝85，a 2＝245，所以P ，Q 两点从出发开始到85 s 或245 s 时，点P 和点Q 之间的距离是10 cm .27．解：(1)设A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x km ， 由题意得x ＋120103＝x2，解得.(2)1.8×180＋28×2＝380(元)，∴该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是380元．(3)设这批货物有y 车，由题意得y[800－20×(y －1)]＋380y ＝8 320，整理得y 2－60y ＋416＝0，解得y 1＝8，y 2＝52(不合题意，舍去)，∴这批货物有8车．。

九年级上册第二十二章《一元二次方程》整章测试题一、选择题（每题3分）1. （2009山西省太原市）用配方法解方程?-2x-5 = 0时，原方程应变形为（）A.（x +1）2— 6B.（兀-1）~二6C.（兀 + 2『=9D.（兀一2『=92 （2009成都）若关于兀的一元二次方程kx2-2x-\ = 0有两个不相等的实数根，贝M的取值范围是（）A. k > -I Bo £〉一1 且£工0 C, k < 1 Do £vl 且"03.（2009年潍坊）关于x的方程（a-6）x2-8% + 6 = 0有实数根，则整数。

的授大值是（）A. 6B. 7C. 8D. 94.（2009青海）方程X2-9X +18= 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三介形的周长为（）A. 12B. 12 或15C. 15D.不能确定5 （2009年烟台市）设Q,方是方程X2+X-2009= 0的两个实数根,则a2+2a+b的值为（）A. 2006B. 2007C. 2008D. 20096. （2009江西）为了让江西的山更绿、水更清，2008年省委、省政府捉出了确保到2010 年实现全省森林覆盖率达到63%的H标，已知2008年我省森林覆盖率为60.05%,设从2008 年起我省森林覆盖率的年平均增长率为兀，则可列方程（）A. 60.05(1 + 2x) = 63%B.60.05(1 + 2x) = 63C.60.05(1 + %)2 =63%D.60.05(1+ x)2 =637. （2009 襄樊市）如图5,在4BCQ 中，AE 丄BC 于E, AE = EB = EC = a, Ha是一元二次方程X2+2X-3= 0的根，贝ij ABCD的周长为（）A. 4 + 2©B. 12 + 6©C. 2 + 2>/2D. 2 + 血或12 + 6©图58. （2009青海）在一幅长为80cm,宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色 纸边，制成一幅矩形挂图，如图5所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边二、填空题：（每题3分）9. （2009重庆棊江）一元二次方程X 2=16的解是 _________ •10. （2009威海）若关于兀的一元二次方程F+伙+ 3）兀+ k 二0的一个根是-2,则另一个根是 __________ .11. （2009年包头）关于兀的一元二次方程X 2 -mx + 2m -1 = 0的两个实数根分别是 Xp X 2 , JzL Xj 2 + ^2 =7，则(%j - x 2 )2 的值是 ____________12. （2009年甘肃白银）（6分）在实数范围内定义运算“㊉”，其法则为：。

第22章　一元二次方程时间:90分钟满分:100分一、选择题(每小题3分,共30分) 1.一元二次方程2x2-1=4x化成一般形式后,常数项是-1,一次项系数是( )A.-4B.-2C.4D.22.若方程(m-1)x|m|+1-2x=3是关于x的一元二次方程,则m的值为( )A.1B.-1C.±1D.不存在3.将一元二次方程x2+4x+2=0配方后可得到方程( )A.(x-2)2=2B.(x+2)2=6C.(x-2)2=6D.(x+2)2=24.若4a-2b+c=0,则一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)必有一根是( )A.0B.无法确定C.-2D.25.若关于x的方程x2-kx-3=0的一个根是3,则方程的另一个根是( )A.-1B.1C.2D.-26.如果两数的差为3,积为88,那么这两个数中较大的一个数为( )A.8B.-11C.11或-8D.-11或87.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形.若两个正方形的面积之和为12.5 cm2,则这两段铁丝的长度分别是( )A.5 cm,15 cmB.12 cm,8 cmC.4 cm,16 cmD.10 cm,10 cm8.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=3,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c值比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( )A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根9.如果m,n是一元二次方程x2+x=4的两个实数根,那么多项式2n2-mn-2m的值是( )A.16B.14C.10D.610.形如x2+10x=39的方程,求正数解的几何方法是:如图(1),先构造一个x 面积为x2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52)2×4=64,则该方程的正数解为的矩形,得到大正方形的面积为39+(5264-5×2=3.小明尝试用此方法解关于x的方程x2+8x+c=0时,构造出如2图(2)所示的正方形.已知图(2)中阴影部分的面积和为36,则该方程的正数解为( )图(1) 图(2)A.213-2B.2C.213-4D.25二、填空题(每小题3分,共18分)11.如果x=2是关于x的一元二次方程x2=c的一个根,那么该方程的另一个根是 .12.请写出一个二次项系数为2的一元二次方程,使得两根分别是-2和1: .13.若a是方程x2-3x+1=0的一个根,则a2-3a+3a= .a2+114.鸡瘟是一种传播速度很快的传染病,一轮传染为一天时间,某养鸡场于某日发现一例,两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每只病鸡传染健康鸡的只数均为x,则可列方程为 .15.以比方程x2-5x-2=0的两根均大3的数为根的方程是 .16.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A开始,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C 以2 cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,当一个点到达目的地时,所有运动停止.经过 s,△PBQ的面积等于15 cm2.三、解答题(共52分)17.(每小题4分,共12分)用适当的方法解下列方程:(1)y(y-1)=2-2y;(2)5x2-8x=-5;(3)(x+2)2-8(x+2)+16=0.18.(7分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.2(1)当b=a+1时,利用根的判别式判断方程根的情况;(2)若方程有两个相等的实数根,请写出一组满足条件的a,b的值,并求出此时方程的根.19.(7分)如图,有一块长20 cm、宽10 cm的长方形铁皮,在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形,用剩余的部分做成一个底面积为96 cm2的无盖长方体盒子,求剪去的小正方形的边长是多少.20.(8分)观察下列一元二次方程:第1个方程x2+x-2=0的根为1和-2;;第2个方程2x2+x-3=0的根为1和-32;第3个方程3x2+x-4=0的根为1和-43……(1)第2 022个方程是 ,根为 ;(2)直接写出第n个方程与它的根并验证根的正确性.21.(8分)原定于2021年8月在四川成都举行的第31届世界大学生夏季运动会延期至2022年举办,此次成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫.(1)据市场调研发现,某工厂今年四月份共生产200个“蓉宝”玩具,该工厂为增大生产量,计划平均每月的生产量都比前一个月增加20%,则该工厂在今年第二季度共生产 个“蓉宝”玩具;(2)已知某商店以30元的单价购入一批“蓉宝”玩具准备进行销售,据市场分析,若每个“蓉宝”玩具售价60元,则平均每天可售出40个;若每个“蓉宝”玩具每降价1元,则平均每天可多售出8个.若商店想平均每天盈利2 000元,则销售单价应定为多少元?22.(10分)阅读并完成下列问题:任意给定一个矩形A,是否存在另一矩形B,使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?(1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时,小亮同学是这样研究的:设所求矩形的两边长分别是x和y,由题意可得方程组x+y=72, xy=3,消去y,得2x2-7x+6=0.∵Δ=49-48=1>0,∴x1= ,x2= ,∴满足要求的矩形B存在.(2)如果已知矩形A的两边长分别为2和1,那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B.(3)如果矩形A的两边长分别为m和n,那么请你研究当m,n满足什么条件时,矩形B存在,并说明理由.参考答案与解析第22章　一元二次方程1.A 2x 2-1=4x,移项得2x 2-4x-1=0,即一次项系数是-4.2.B 由题意得|m|+1=2,且m-1≠0,解得m=-1.3.D 将方程x 2+4x+2=0移项,得x 2+4x=-2,配方得x 2+4x+22=-2+22,即(x+2)2=2.4.D ∵4a-2b+c=0,∴a×22-b×2+c=0,∴方程ax 2-bx+c=0(a ≠0)必有一根为2.5.A 设方程的另一个根为a,则根据根与系数的关系得3a=-3,解得a=-1.另解1:(公式法)将x=3代入,得9-3k-3=0,解得k=2,∴原方程为x 2-2x-3=0,利用公式法解方程得x=2±162,∴x=3或-1.另解2:(代入验证法)将x=3代入,得9-3k-3=0,解得k=2,∴原方程为x 2-2x-3=0.将x=-1代入方程,等式成立,故x=-1是方程的另一个根.6.C 设较小的数为x,则较大的数为x+3,根据题意得x(x+3)=88,即x 2+3x-88=0,则(x-8)(x+11)=0,解得x=8或-11,∴x+3=11或-8,∴较大的数为11或-8.7.D 设铁丝剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm,由题意得(x 4)2+(20―x 4)2=12.5.解得x 1=x 2=10,此时20-x=10.∴这两段铁丝的长度都是10 cm.8.A ∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=3,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-3+c=0,解得c=2,故原方程中c=4,则Δ=9-4×1×4=-7<0,∴原方程不存在实数根.9.B ∵n 是一元二次方程x 2+x=4的根,∴n 2+n=4,即n 2=-n+4.∵m,n 是一元二次方程x 2+x=4的两个实数根,∴m+n=-1,mn=-4,∴2n 2-mn-2m=2(-n+4)-mn-2m=-2(m+n)-mn+8=2+4+8=14.10.C 8÷4=2,结合题图(2),先构造一个面积为x 2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形,得到大正方形的面积为36+22×4=36+16=52,∴该方程的正数解为52-2×2=213-4.11.x=-212.2x2+2x-4=0　由题意得2(x-1)(x+2)=0,化简,得2x2+2x-4=0.13.0　∵a是方程x2-3x+1=0的一个根,∴a2-3a+1=0,则a2-3a=-1,a2+1= 3a,∴原式=-1+1=0.14.1+x+x(x+1)=169或(1+x)2=169　由每只病鸡传染健康鸡的只数均为x,得第一轮传染x只,第二轮传染x(x+1)只,依题意得1+x+x(x+1)= 169,即(1+x)2=169.15.x2-11x+22=0　设方程x2-5x-2=0的两根分别为x1,x2,则以x1+3,x2+3为根的方程是(x-3)2-5(x-3)-2=0,整理得x2-11x+22=0.(8-x)×2x=15,解16.3　设经过x s,△PBQ的面积等于15 cm2.由题意,得12得x1=3,x2=5.点P从点A运动到点B所需时间:8÷1=8(s).点Q从点B 运动到点C所需时间:6÷2=3(s),∴0<x≤3.故经过3 s,△PBQ的面积等于15 cm2.17.解：(1)整理方程,得y(y-1)+2(y-1)=0,(2分)因式分解,得(y+2)(y-1)=0,解得y1=-2,y2=1.(4分) (2)移项,得5x2-8x+5=0.∵a=5,b=-8,c=5,∴Δ=b2-4ac=64-100=-36<0,(2分)∴方程无实数根.(4分) (3)(整体思想)把(x+2)看成一个整体,令x+2=t,则t2-8t+16=0,整理,得(t-4)2=0,解得t1=t2=4,∴x1=x2=2.(4分)=b2-2a,18.解：(1)Δ=b2-4a×12∵b=a+1,∴Δ=(a+1)2-2a=a2+2a+1-2a=a2+1>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3分) (2)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=b2-2a=0,即b2=2a.(4分)=0,(5分)取a=2,b=2,则方程为2x2+2x+12.(7分)解得x1=x2=-12(a,b 的取值不唯一,解也不唯一,正确即可)19.解：设剪去的小正方形的边长是x cm,则做成的无盖长方体盒子的底面长为(20-2x)cm,宽为(10-2x)cm,依题意得(20-2x)(10-2x)=96,整理得x 2-15x+26=0,解得x 1=2,x 2=13.(4分)∵10-2x>0,∴x<5,∴x=2.答:剪去的小正方形的边长是2 cm.(7分)20.解：(1)2 022x 2+x-2 023=0　1和-20232022(3分)(2)第n 个方程是nx 2+x-(n+1)=0,其根为1和-n +1n .(5分)验证:当x=1时,nx 2+x-(n+1)=n+1-n-1=0.当x=-n +1n 时,nx 2+x-(n+1)=n·(-n +1n )2-n +1n -(n+1)=n 2+2n +1―n ―1―n 2-n n =0.(8分)21.解：(1)728(3分)解法提示:200+200×(1+20%)+200×(1+20%)2=200+200×1.2+200×1.44=200+240+288=728(个).(2)设每个“蓉宝”玩具降价x 元,则每个“蓉宝”玩具的销售利润为(60-x-30)=(30-x)元,每天可售出(40+8x)个,依题意得(30-x)(40+8x)=2 000,整理得x 2-25x+100=0,解得x 1=5,x 2=20.(6分)当x=5时,60-x=60-5=55;当x=20时,60-x=60-20=40.答:商店要想平均每天盈利2 000元,销售单价应定为40元或55元.(8分)22.解题思路：(1)直接利用求根公式计算即可;(2)先消去b,得到关于a 的一元二次方程,用一元二次方程的根的判别式判断即可;(3)消去q,得到关于p 的一元二次方程,再根据一元二次方程的根的判别式大于或等于0,求出m,n 满足的条件.解：(1)32　2(2分)(2)设所求矩形的两边长分别是a 和b,由题意,得a +b =32,ab =1,消去b,得2a 2-3a+2=0.∵Δ=9-16=-7<0,∴不存在满足要求的矩形B.(5分)(3)当m,n满足(m-n)2-4mn≥0时,矩形B存在.(6分)理由如下:设所求矩形的两边长分别是p和q,由题意,得p+q=m+n2,pq=mn2,消去q,得2p2-(m+n)p+mn=0,∴Δ=[-(m+n)]2-8mn=(m-n)2-4mn.(7分)当Δ≥0时,存在满足要求的矩形B,即当(m-n)2-4mn≥0时,矩形B存在.(10分)。

华师大版2020九年级数学上册第22章一元二次方程自主学习培优测试卷A 卷（附答案详解）1．关于x 的方程，有一根为0的条件是（ ） A ．B ．C ．D ．2．下列方程中是一元一次方程的是（ ）A ．x-2y=0B ．12x=5x+1C ．x 2-4x=3D ．x-2=3x3．一元二次方程x （x ﹣5）＝0的解是（ ）.A ．0B ．5C ．0和5D ．0和﹣54．关于x 的方程(x+a)2 =b(b>0)的根是（ ）A ．x=±b -aB ．x=±a+bC ．当b≥0时，x=-a±bD ．当a≥0时，x=a±b5．如图是一个长18cm ，宽15cm 的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条面积是图案面积的三分之一，设彩条的宽度为x cm ，则所列方程正确的是（ ）A ．211815215183x x x +-=⨯⨯ B ．1181515183x x +=⨯⨯ C ．()()2181515183x x --=⨯⨯ D ．21181515183x x x ++=⨯⨯ 6．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．ax 2+bx +c ＝0B ．2112x x +=C ．x 2+2x ＝（x +1）（x ﹣1）D ．3（x +1）2＝2（x +1）7．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x-1=0的两个实数根，则m +n+mn 的值为( ) A ．-3 B ．3 C ．-2 D ．28．一元二次方程22260x x +-=的根是( )A ．122x x =B ．12022x x ==-，C ．122,32x x ==-9．一元二次方程y 2﹣4y ﹣3＝0配方后可化为( )A ．(y ﹣2)2＝7B ．(y+2)2＝7C ．(y ﹣2)2＝3D ．(y+2)2＝310．生物兴趣小组的学生，将自己手机的标本向本组其他成员各赠送意见，全组共赠送了182件，如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是（）A ．x ( x+1)=182B ．2x(x+1)=182C ．x(x-1)=182D ．x(x-1)=182×2 11．方程（x+1）2（x+1）=0，那么方程的根x 1=______；x 2=________．12．如果()2222()215a b a b ++-=，则22a b +=_____13．已知a b n 2+=+,ab 1=,若2219a 152ab 19b ++的值为2014,则n 的值为______ . 14．在实数范围内因式分解3x²-4xy-2y 2=______.15．若a 为方程x 2+x ﹣5＝0的解，则2a 2+2a +1的值为_____．16．一元二次方程21x -x 04+=的根是______. 17．设方程x 2+3x -4=0的两个实数根为x 1、x 2，求11x +21x = ______ ． 18．若x =-2是关于x 的方程x 2-2ax +8=0的一个根，则方程的另一个根为______． 19．方程()1x x x -=的根是___________；20．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6万平方米.若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为_____.21．已知▱ABCD 的两边AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx+2m ﹣14＝0的两个实数根，当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长．22．乙知关于x 的方程22210x kx k ++-=.（1）试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数很；（2）如果方程有一个根为3, 试求22122019k k ++的值.23．用适当的方法解方程（y －3）2+3（y －3）+2=024．判断下列方程后面给出的数是否为方程的根．()()2141x x x +=+，（±1，2±）．25．解方程:2x-531x 11x +=-+26．已知关于x 的方程x 2-3x +c =0有两个实数根．（1）求c 的取值范围；（2）若c 为正整数，取符合条件的c 的一个值，并求出此时原方程的根．27．用适当的方法解下列方程（1）x 2﹣4x +1＝0 （2）x 2+5x +7＝0（3）3x （x ﹣1）＝2﹣2x （4）x 2＝x +5628．解下列方程：（1）210x x +-= （2）245x x -= 29．阅读下列例题的解答过程：解方程：()()2327240x x -+-+=解：设2x y -=，则原方程可以化为23y 740y ++= ∵3,7,4a b c === ∴224743410b ac -=-⨯⨯=>∴771236y --±==⨯ ∴1241,3y y =-=- 当1y =-时，21x -=-， ∴1x =； 当43y =-时，423x -=-，∴23x =. ∴原方程的解为：1221,3x x ==. 请仿照上面的例题解一元二次方程：()()2235320x x ---+=.30．解方程：2610x x -+=．参考答案1．B【解析】【分析】根据方程解的定义进行判断即可．【详解】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为0，则a×02+b×0+c=0，即c=0．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．掌握一元二次方程的解的定义是解答本题的关键．2．B【解析】【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．【详解】A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误；B、符合一元一次方程的定义，故本选项正确；C、未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程，故本选项错误；D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；故选B．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．3．C【解析】【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝0，x2＝5，故选：C．【点睛】本题考查解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解题关键．4．A【解析】【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．【详解】∵b>0，∴两边直接开平方,得：x+a=，∴-a，故选：A【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则5．C【解析】【分析】利用平移可分别表示出空白部分的长和宽，根据彩条面积是图案面积的13可得空白部分的面积为图案面积的23，列方程即可.【详解】∵彩条的宽度为xcm，矩形图案的长为18cm，宽为15cm，∴空白部分的长为：18-x，宽为15-x，∵彩条面积是图案面积的13，∴空白部分的面积为图案面积的23，∴可列方程为：(18-x)(15-x)=23×15×18.故选C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能利用平移用x 表示出空白部分的长和宽并找出正确的等量关系是解题关键.6．D【解析】【分析】依据一元二次方程定义判断即可.【详解】解：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．，故选：D ．【点睛】此题考察一元二次方程的定义，注意：要判断化简为一般形式的方程是否为一元二次方程. 7．A【解析】【分析】用函数的思想去理解该题，根据根与系数的关系，可知m+n 与mn 的值，然后带入求解即可.【详解】 解：根据二次函数根与系数的关系可知，221b m n a +=-=-=-，111c mn a -===- 所以213m n mn ++=--=-，故答案选A.【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系和根与系数的关系，能够用函数的思想去看待二次方程问题是解题的关键.8．C【解析】【分析】找出方程中二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，再根据x=24b b c a -±- ，将a ，b 及c 的值代入计算，即可求出原方程的解．【详解】解：∵a=1，b=22，c=-6∴x=24b b c a -±-=228242-±+ =22422-± =222-± ， ∴x 1=2 ，x 2= -32；故选：C ．【点睛】本题考查利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a ，b 及c 的值代入求根公式即可求出原方程的解．9．A【解析】【分析】先表示得到243y y -=，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边配成完全平方形式即可 ．【详解】解：243y y -=， 2447y y -+=，()227y -=．故选A ．【点睛】本题考查解一元二次方程配方法： 将一元二次方程配成()2x m n +=的形式， 再利用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫配方法 ．10．C【解析】【分析】由题意可知，每个同学需赠送出(x-1)条意见，x 名同学需赠送出x(x-1)条意见，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，x （x-1）=182，故选：C ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．11．-1【解析】【分析】分解因式得到（x+1）[ +1）x+1]=0，解一元一次方程即可．【详解】(x+1)[( +1)x+1]=0，x+1=0,或+1)x+1=0，x 1=−1,x 2.故答案为：【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于分解因式12．5【解析】【分析】令22a b +=x ，转换成关于x 的方程，解出即可.【详解】令22a b +=x ，则()x x 215-=，整理得：2x -2x-15=0，()()x-5x+3=0，解得x=5或-3，∵22a b +≥0，则22a b +=5.【点睛】熟练运用换元法和一元二次方程的解法是解决本题的关键，注意22a b +是非负数. 13．8或12-【解析】【分析】首先把2219a 152ab 19b ++变形为(219[a b)6ab ⎤++⎦,再根据值为2014可得2(n 2)6106++=,再利用直接开平方法解方程即可.【详解】解：2219a 152ab 19b ++,()2219a 8ab b =++, (219[a b)6ab ⎤=++⎦,(219[a b)6ab 2014⎤++=⎦,2(n 2)6106++=,2(n 2)100+=. n 210+=±,n 210+=,n 210+=-,解得：1n 8=,2n 12=-,故答案为：8或12-.【点睛】此题主要运用直接开平方法解一元二次方程,以及求代数式的值,关键是正确利用完全平方公式把2219a 152ab 19b ++变形.14．223()()33x y x y +--- 【解析】【分析】令223420x xy y --=，用含y 的代数式表示方程的解x ；再写成因式分解即可.【详解】解：223420x xy y --=x y ==223423()()x xy y x y x y --= 【点睛】本题考查实数内因式分解，难度较大，熟练掌握解方程以及因式分解是解题关键.15．11【解析】【分析】把x ＝a 代入已知方程，求得（a 2+a ）的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．【详解】解：根据题意，得a 2+a ﹣5＝0，即a 2+a ＝5则2a 2+2a +1＝2（a 2+a ）+1＝2×5+1＝11． 故答案是：11．【点睛】考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．16．12x = 【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可解答.【详解】 解：21x -x 04+= 21()02x -=12x = 故答案为12x =【点睛】本题考查一元二次方程求解，熟练掌握配方法解方程是解题关键.17．34【解析】【分析】若方程的两根为12x x ，，则12b x x a +=-，12c x x a=，根据根与系数的关系得到123x x +=-，12·4x x =-，再变形1211+x x 得到1212x x x x +，然后利用代入法计算即可. 【详解】 解：∵一元二次方程2340x x +-=的两根是12x x 、，∴123x x +=-，12·4x x =-， ∴121212113344x x x x x x +-+===-. 故答案为34. 【点睛】 此题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键在于掌握运算公式.18．-4．【解析】【分析】设出方程的另一个根，利用根与系数关系中的两根之积可以求出方程的另一个根．【详解】设方程的另一个根为x 1，根据根与系数的关系有：-2x 1=8，解得x 1=-4．故答案为-4．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握基础知识是解题关键．19．x 1=2，x 2=0．【解析】【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】x （x-1）=x ，x （x-1）-x=0，x （x-1-1）=0，x-1-1=0，x=0，x 1=2，x 2=0．故答案为：x 1=2，x 2=0．【点睛】此题考查解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解题的关键． 20．()56x x -=.【解析】【分析】一边长为x 米，则另外一边长为(5x -)，再根据矩形的面积公式即可列出方程.【详解】解：一边长为x 米，则另外一边长为：5x -，由题意得：()56x x -=，故答案为()56x x -=.【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是找到长与宽之间的数量关系.21．m ＝1，四边形ABCD 是菱形，0.5.【解析】【分析】由题意可知：AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx+124m -＝0的两个实数根，也就是方程有两个相等的实数根，利用根的判别式为0即可求得m ，进而求得方程的根即为菱形的边长．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∴△＝0，即m 2﹣4（2m ﹣14）＝0， 整理得：（m ﹣1）2＝0，解得m ＝1，当m ＝1时，原方程为x 2﹣x+14＝0， 解得：x 1＝x 2＝0.5．故当m ＝1时，四边形ABCD 是菱形，菱形的边长是0.5．【点睛】此题考查了菱形的性质；与一元二次方程根的判别式，利用解一元二次方程得到菱形的边长是解决本题的关键．22．（1）详见解析；（2）2003【解析】【分析】（1）由△=（2k ）2-4×1×（k 2-1）=4＞0可得答案；（2）将x=3代入方程得k 2+6k=-8，代入原式计算可得．【详解】解：（1）()()2222241144440k k k k =-⨯⨯-=-+=>△， ∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程有一个根为3，29610k k ∴++-=，即268k k +=-()2221220182620191620192003k k k k ∴++=++=-+=【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△=0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．23．y 1=2或y 2=1.【解析】【分析】运用十字相乘法因式分解可得.【详解】（y-3+l ）（ y -3+2）=0y -2=0或y -1=0y 1=2或y 2=1【点睛】考核知识点：用因式分解法解一元二次方程.24．-1，2是方程的根，1，-2不是方程的根．【解析】【分析】将±1，2±代入()()2141x x x +=+计算，看等式左边是否等于右边即可得到答案.【详解】将-1代入()()2141x x x +=+，计算得到00=，左边等于右边，故-1是方程的根；将1代入()()2141x x x +=+，计算得到48≠，左边不等于右边，故1不是方程的根；将2代入()()2141x x x +=+，计算得到1212=，左边等于右边，故2是方程的根；将-2代入()()2141x x x +=+，计算得到44≠-，左边不等于右边，故-2不是方程的根.故答案为-1，2是方程的根，1，-2不是方程的根．【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是将数字代入验证.25．x ＝3【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同时乘以2x 1-得：x−5＋x 2−1＝3x−3，整理得：（x−3）（x ＋1）＝0，解得：x 1＝3，x 2＝−1，经检验x ＝−1是增根，∴分式方程的解为x ＝3．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．26．（1）c ≤94；（2）当c =2时，x 1=1，x 2=2；当c =1时，x 1x 235 【解析】【分析】（1）先根据方程有两个实数根可知△≥0，由△≥0可得到关于c 的不等式，求出c 的取值范围即可；（2）由（1）中c 的取值范围得出符合条件的c 的正整数值，代入原方程，利用因式分解法或求根公式即可求出x 的值．【详解】（1）解：∵方程有两个实根，∴△=b 2-4ac =9-4c ≥0，∴c ≤94； （2）解：∵c ≤94，且c 为正整数，∴c =1或c =2． 取c =2，方程为x 2-3x +2=0，∴（x -1）（x -2）=0解得：x 1=1，x 2=2．也可如下：取c =1，方程为x 2-3x +1=0，解得：x 1=x 235． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程．根据方程的特征熟练选择合适的解法是解答本题的关键．27．（1）2（2）原方程无解；（3）1，﹣23；（4）8，﹣7．【解析】【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2-4ac的值，再判断即可；（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）x2-4x+1=0，x2-4x=-1，x2-4x+4=-1+4，（x-2）2=3，x1x2（2）x2+5x+7=0，b2-4ac=52-4×1×7=-3＜0，所以原方程无解；（3）3x（x-1）=2-2x，3x（x-1）+2x-2=0，3x（x-1）+2（x-1）=0，（x-1）（3x+2）=0，x-1=0，3x+2=0，x1=1，x2=-23；（4）x2=x+56，x2-x-56=0，（x-8）（x+7）=0，x-8=0，x+7=0，x1=8，x2=-7．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．28．（1）112x -+=，212x -=；（2）15=x ，21x =-. 【解析】【分析】（1）利用公式法即可求解．（2）利用因式分解法即可求解；【详解】（1）210x x +-=，∵a=1，b=1，c=−1，∴1x =，2x = （2）245x x -=；∴x 2-4x−5=0，(x−5)(x+1)=0，∴15=x ，21x =-；【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解一元二次方程-公式法，解题关键在于掌握运算法则.29．,127x 5x 2==. 【解析】【分析】设x-3=y ，则原方程化为22520y y -+= ，求出y ，再求出x 即可．【详解】设3x y -= ，则原方程可以化为：22520y y -+= ∵2,5,2a b c ==-= ，∴()224542290b ac -=--⨯⨯=>∴534y ±==，∴1212,2y y == 当2y =时，32x -= ，∴5x = ； 当12y =时，132x -= ，∴72x = ∴原方程的解为：1275,2x x ==. 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．30．3±【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【详解】解：∵-=-261x x ，∴26919x x -+=-+，即()238x -=，则-=±3x∴3x =±【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。