混凝土结构原理知识点汇总
1、混凝土结构基本概念
1、掌握混凝土结构种类，了解各类混凝土结构的适用范围。
素混凝土结构:适用于承载力低的结构
钢筋混凝土结构:适用于一般结构
预应力混凝土结构:适用于变形裂缝控制较高的结构
2、混凝土构件中配置钢筋的作用:
①承载力提高②受力性能得到改善③混凝土可以保护钢筋不发生锈蚀。
3、钢筋和混凝土两种不同材料共同工作的原因:
①存在粘结力②线性膨胀系数相近③混凝土可以保护钢筋不发生锈蚀。
4、钢筋混凝土结构的优缺点。
混凝土结构的优点:
①就地取材②节约钢材③耐久、耐火④可模性好⑤现浇式或装配整体式钢筋混凝土
结构的整体性好、刚度大、变形小
混凝土结构的缺点:
①自重大②抗裂性差③性质较脆
2、混凝土结构用材料的性能
2.1钢筋
1、热轧钢筋种类及符号：
HPB300-
HRB335(HRBF335)-
HRB400(HRBF400)-
HRB500(HRBF500)-
2、热轧钢筋表面与强度的关系:
强度越高的钢筋要求与混凝土的粘结强度越高，提高粘结强度的办法是将钢筋表面轧成有规律的突出花纹，也即带肋钢筋（我国为月牙纹）。
HPB300级钢筋强度低，表面做成光面即可。
3、热轧钢筋受拉应力-应变曲线的特点，理解其抗拉强度设计值的取值依据。
热轧钢筋应力-应变特点:有明显的屈服点和屈服台阶，屈服后尚有较大的强度储备。
全过程分弹性→屈服→强化→破坏四个阶段。
抗拉强度设计值依据:钢筋下屈服点强度
4、衡量热轧钢筋塑性性能的两个指标:
①伸长率伸长率越大，塑性越好。混凝土结构对钢筋在最大力下的总伸长率有明确要
求。
②冷弯性能:在规定弯心直径D和冷弯角度α下冷弯后钢筋无裂纹、磷落或断裂现象。
5、常见的预应力筋:
预应力钢绞线、中高强钢丝和预应力螺纹钢筋。
2.2 +
6、中强钢丝、钢绞线的受拉应力-应变曲线特点:
均无明显屈服点和屈服台阶、抗拉强度高。
7、条件屈服强度 σ0.2
为对应于残余应变为 0.2%的应力称为无明显屈服点的条件屈服点。
8、混凝土对钢筋性能要求:
①强度高 ②塑性好 ③可焊性好 ④与混凝土的粘结锚固性能好。
2.2 混凝土
1、 （掌握）混凝土立方体抗压强度：
《规范》规定以边长为 150mm 的立方体在 （20±3）℃的温度和相对湿度在 90%以上的潮湿空气中养护 28d ，依照标准实验方法测得 的具有 95%保证率的抗压强度（以 N/mm 2）作为混凝土的强度等级，并用符号 f cu,k 表示， 也即混凝土强度等级的数值。
轴心抗压强度：以 150mm×150mm×300mm 或 150mm×150mm×450mm 的棱柱体作为 标准试件，养护条件与立方体试件相同，用符号 f ck 表示。
试验量测到的 f ck 比 f cu,k 值小，轴心抗压强度（棱柱体强度）标准值 f ck 与立方体抗压强 度标准值 f cu,k 之间存在折算关系 f ck = 0.88αc 1αc 2 f cu ,k
总结：f cu,k > f ck > f c > f tk > f t
2、 （掌握）试件高宽比越大强度越小；加载速度越快测得的强度越高；当试件承受接触 面上不涂润滑剂时，混凝土的横向变形受到摩擦力的约束，形成“箍套”作用，因而强度比 不涂时高。
3、 （理解）混凝土抗拉强度测试方法:国内外多采用立方体或圆柱体劈裂试验测定混凝土 的抗拉强度，（在立方体或圆柱体上的垫条施加一条压力线荷载，这样试件中间垂直截面除 加力点附近很小的范围外，有均匀分布的水平拉应力。当拉应力达到混凝土的抗拉强度时， 试件被劈成两半。）
4、 （掌握）受压混凝土一次短期加载的应力-应变曲线（P20）
第Ⅰ阶段，混凝土变形主要是骨料和水泥结晶体的弹性变形
第Ⅱ阶段，稳定裂缝扩展，临界点 B 对应的应力可作为长期受压强度的依据
第Ⅲ阶段，弹性应变能始终保持大于裂缝发展所需的能量，形成裂缝快速发展的不稳 定状态，直至 C 点，应力达到最高点 fck ，峰值应变平均值 ε0=0.002
5、 （理解）混凝土受压弹性模量与混凝土立方体抗压强度的定性关系（式中 f cu 为立方体
抗压强度设计值，其值为 f cu,k 除以大于 1 的材料分项系数） E c = 105 34.7 f cu
6、掌握混凝土双法向受力时的强度特点。
压一压：强度提高
拉一拉：强度不变
拉一压：抗拉抗压强度都低
7、了解混凝土在法向应力和剪应力作用下的强度性能。
拉一剪：抗拉，抗剪强度都低
压一剪：当 σ/ f c ≤0.6 时，抗剪强度随压应力提高而增大。
当σ/f c>0.6时，内部裂缝增加，抗剪抗压强度均降低。
8、理解混凝土三向受压时抗压强度提高的原因。
混凝土在三向受压的情况下，其最大主压应力方向的抗压强度取决于侧向压应力的约束程度。实验证明，随着侧向压应力的增加，微裂缝的发展收到极大的限制，大大的提高
了混凝土纵向抗压强度，此时混凝土的变形性能接近理想的弹塑性体。最高强度值不宜超
过单轴抗压强度的5倍。
9、掌握混凝土徐变的定义，掌握影响徐变的主要因素及影响规律。
混凝土在荷载保持不变的情况下，随时间而增长的变形，称为徐变。
①混凝土的组成和配合比是影响徐变的内在因素。水泥用料越多和水灰比越大，徐变
也越大。骨料越坚硬、弹性模量越高，徐变就越小。骨料的相对体积越大，徐变越小。
②养护及使用条件下的温湿度是影响徐变的环境因素。养护时温度高、湿度大、水泥
水化作用充分，徐变就小。
③混凝土的应力条件是影响徐变的非常重要因素。加荷时，混凝土的龄期越长，徐变
越小。混凝土的应力越大，徐变越大。
10、理解混凝土徐变随时间变化的规律。
徐变开始半年内增长较快，以后逐渐减慢，经过一定时间后，徐变趋于稳定。
11、掌握混凝土收缩的定义、随时间的变化规律。
混凝土在空气中结硬时体积减小的现象，称为收缩。一个月大约可完成1/2的收缩，三个月后增长缓慢，一般两年后趋于稳定。
12、掌握混凝土收缩的主要原因和影响因素。
干燥失水是引起收缩的重要因素。
构件的养护条件、使用环境的温湿度及影响混凝土水分保持的因素，都对收缩有影响。
使用环境的温度越高、湿度越低，收缩越大。水泥用料越多、水灰比越大，收缩越大。骨
料的级配好、弹性模量大，收缩小。构件的体积与表面积比值大时，收缩小。
13、理解收缩对混凝土结构的影响。
混凝土具有收缩的性质，而钢筋并没有这种性质，钢筋的存在限制了混凝土的自由收缩，使混凝土受拉、钢筋受压，如果截面的配筋率较高时会导致混凝土开裂。
14、了解混凝土选用的原则。
建筑工程中，钢筋混凝土结构的混凝土强度等级不应低于C20，当采用400MPa及以上钢筋时，混凝土强度等级不应低于C25。
预应力混凝土结构的混凝土强度等级不宜低于C40，且不应低于C30。
承受重复荷载的钢筋混凝土构件，混凝土的强度等级不应低于C30。
2.3钢筋与混凝土的粘结
1、粘结力的定义：钢筋和混凝土有相对变形（滑移），就会在钢筋和混凝土交界面上，产
生沿钢筋轴线方向的相互作用力，这种力称为钢筋和混凝土的粘结力。
粘结应力：单位面积上的粘结力。粘结应力主要分布在构件两端，距离端部超过l l后的各个截面上的粘结应力为0
2、理解粘结强度的定义：粘结破坏时的最大平均粘结应力代表钢筋与混凝土的粘结强度。
3、粘结力的组成：1:化学胶结力；2:摩擦力；3:机械咬合力；4:钢筋端部的锚固力。
/4、4、影响钢筋和混凝土之间粘结强度的因素（p29)：
①钢筋的粘结强度均随混凝土的强度提高而提高。
②混凝土保护层厚度c和钢筋之间净距离越大，劈裂抗力越大，因而粘结强度越高。
③横向钢筋限制了纵向裂缝的发展，可使粘结强度提高，因而在钢筋锚固区和搭接
长度范围内，加强横向钢筋（如箍筋加密等）可提高混凝土的粘结强度。
④钢筋端部的弯钩、弯折及附加锚固措施（如焊钢筋和焊钢板等）可以提高锚固粘
结能力，锚固区内侧向压力的约束对粘结强度也有提高作用。
5、保证钢筋与混凝土粘结强度的措施（p29）
①钢筋之间的距离和混凝土保护层不能太小。
②为了增加局部粘结作用和减小裂缝宽度，在同等钢筋面积的条件下，宜优先采用
小直径的变形钢筋。
③为保证钢筋伸入支座的粘结力，应使钢筋伸入支座有足够的的锚固长度，如支座
长度不够时，可将钢筋弯折，弯折长度计入锚固长度内，也可在钢筋端部焊短钢筋、短角
钢等方法加强钢筋和混凝土的粘结能力。
④钢筋不宜在混凝土的受拉区截断，如必须截断，则应满足在理论上不需要钢筋点
和钢筋强度的充分利用点外伸一段长度才能截断。
⑤横向钢筋的存在约束了径向裂缝的发展，使混凝土的粘结强度提高，故在大直径
钢筋的搭接和锚固区域内设置横向钢筋（箍筋加密等），可增大该区段的粘结能力。
3、混凝土结构设计方法
3.1结构可靠度
1、（1）直接作用：以力的形式作用于结构上，习惯上称为荷载。例如各类自重、楼面活
荷载、风荷载、雪荷载等
（2）间接作用：以变形的形式作用在结构上。例如地震、基础差异沉降、温度变化、混凝土收缩。
2、结构上的作用按时间变异的分类：可分三类：
（1）永久作用：在结构使用期间，其值不随时间变化、或变化与平均值相比可以忽略不计、或变化是单调的并能趋于限值的作用，例如结构的自身重力、土压力、预应力等，通常称为永久荷载或恒荷载；
（2）可变作用：在结构使用期间，其值随时间变化且变化与平均值相比不可忽略的作用，例如楼面活荷载、桥面或路面的行车荷载、风荷载和雪荷载等，通常称为可变荷载或
活荷载；
（3）偶然荷载：在结构使用期间不一定出现，一旦出现，其量值很大且持续时间很短的作用，例如强烈地震、爆炸、撞击等引起的作用，这种作用多为间接作用，当为直接作
用时，通常称为偶然荷载。
3、作用效应的定义：直接作用或间接作用作用在结构构件上，由此对结构产生内力和变形
（如轴力、剪力、弯矩、扭矩及挠度、转角和裂缝等），称为作用效应。
结构抗力的定义：指整个结构或结构构件承受作用效应（即内力和变形）的能力，如构件的承载能力、刚度等。
理解结构抗力和作用效应均为随机变量：结构抗力：影响抗力的主要因素有材料性能（强度、变形模量等）、几何参数（构件尺寸等）和计算模式的精确性（抗力计算所采用的
基本假设和计算公式不够精确等）。这些因素都是随机变量，因此由这些因素综合而成的结
构抗力也是一个随机变量；作用效应：也称荷载效应，荷载与荷载效应之间一般近似地按线性关系考虑，二者均为随机变量或随机过程。
4、结构预定功能包括：
①在正常施工和正常使用时，能承受可能出现的各种作用（包括荷载及外加变形或
约束变形）；
②在正常使用时保持良好的使用性能，如不发生过大的变形或过宽的裂缝等。
③在正常维护下具有足够的耐久性能，如结构材料的风化、腐蚀和老化不超过一定
限度等。
④当发生火灾时，在规定时间内可保持足够的承载力；
⑤当发生爆炸、撞击、认为错误等偶然事件时，结构能保持必需的整体稳固性，不
出现与起因不相称的破坏后果，防止出现结构的连续倒塌。
上述要求①、④、⑤项属于结构的安全性。
5、结构可靠性的定义：安全性、适用性和耐久性总称为结构的可靠性；
结构可靠度的定义：指结构在规定的时间内、在规定的条件下完成预定功能的概率，即结构可靠度是结构可靠性的概率度量。
6、理解结构安全等级的划分：为根据房屋的重要性采用不同的可靠度水准，《统一标准》
将结构的安全等级分为一级、二级、三级。重要的房屋为一级，大量的一般房屋为二级，
次要的房屋为三级。
3.2荷载和材料强度
1、永久荷载标准值Gk的确定方法：按结构设计规定的尺寸和《荷载规范》规定的材料重
度（或单位面积的自重）平均值确定，一般相当于永久荷载概率分布的平均值。
2、可变荷载标准值Qk：楼面活荷载是设计基准期内荷载概率分布中具有95%保证率的数
值。风荷载标准值是由建筑物所在地的基本风压乘以高度变化系数、风载体型系数和风振
系数确定的。雪荷载标准值是由建筑物所在地的基本雪压乘以屋面积雪分布系数确定的。
3、材料强度标准值的定义：钢筋和混凝土的强度标准值是钢筋混凝土结构按极限状态设计
时采用的材料强度基本代表值。
4、C30中30表示表示混凝土的立方体抗压强度标准值为f cu，k=30N/mm2；
HRB335中335的含义是指钢筋屈服点数值，也即其强度标准值fyk。
3.3极限状态设计法
1、极限状态的概念：整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某
一功能要求，此特定状态称为该功能的极限状态。
2、承载能力极限状态：这种极限状态对应于结构或结构构件达到了最大承载能力或达到不
适于继续承载的变形。
正常使用极限状态：这种极限状态对应于结构或结构构件达到正常使用或耐久性能的某项规定限值。
3、结构的四种设计状况：①持久设计状况；②短暂设计状况；③偶然设计状况；④地
震设计状况。
4、结构功能函数的含义：将影响结构可靠性的各种作用、材料性能、几何参数、计算公式
准确性等因素归结为荷载效应S和结构抗力R，
Z=g(R,S)=R-S
Z>0,结构可靠;Z<0,结构失效；Z＝0，结构处于极限状态
根据的Z大小，可以判断结构是否满足某一确定功能的要求，因此Z为的结构功能函数。
5、失效概率的区域：R、S概率密度曲线的重叠区。
可靠度的区域：除了失效概率的区域。
可靠指标的定义：β与失效概率p f具有数值上的对应关系，β越大，p f就越小，即结构越可靠，故β称为可靠指标。
结构设计可靠指标的影响因素：结构构件的重要性、破坏性质（延性、脆性）及失效
后果。
3.4极限状态设计表达式
1、理解承载能力极限状态表达式与正常使用极限状态表达式及两者的区别。
总体表达式为承载能力极限状态：γ0S≤R
正常使用极限状态：S≤C
具体公式2-15、2-16、2-17、2-20、2-21、2-22
二者的区别：验算内容不同，承载能力极限状态的验算内容强度、稳定性等安全性内容，正常使用极限状态验算内容是变形、裂缝宽度等影响适用性和耐久性的内容。
荷载组合值不同，承载能力极限状态为荷载基本组合，正常使用极限状态则根据验算内容，取标准组合、准永久组合等。
2、理解荷载效应的基本组合、标准组合、频遇组合、准永久组合各适用于哪种极限状态。
基本组合用于承载能力极限状态；
标准组合用于正常使用极限状态中的抗裂验算；
频遇组合用于正常使用极限状态中的局部损坏、较大变形或短暂振动等（吊车梁）；
标准组合用于正常使用极限状态中的裂缝宽度和受弯构件的最大挠度验算；
3、理解承载能力极限状态计算时，荷载分项系数、组合值系数、材料分项系数的意义。
荷载分项系数：为使结构达到目标可靠度，针对保证率不同各类荷载标准值，而引入不同的调整系数，即为荷载分项系数。
组合值系数：当结构上作用几个可变荷载时，各可变荷载最大值在同一时刻出现的概率很小，设计中必须对可变荷载设计值乘以调整系数，以保证结构可靠度一致，该调整
系数即为组合值系数。
材料分项系数：为了充分考虑材料的离散性和施工中不可避免的偏差带来的不利影响，将材料强度标准值除以一个大于1的系数，该系数即为材料分项系数。
4、理解可变荷载频遇值、准永久值与标准值的关系。
可变荷载频遇值=可变荷载频遇值系数ψf×（第一个可变作用）标准值+可变荷载准永久值系数ψq×（第二个以上的可变作用）标准值
可变荷载准永久值=可变荷载准永久值系数ψq×标准值
4、钢筋混凝土轴心受力构件正截面承载力计算
4.1轴心受拉构件
1.理解什么是轴心受拉构件？
纵向拉力作用线与构件截面形心线重合的构件。
2.理解轴心受拉构件从加载到破坏的三个阶段的特点？
第Ⅰ阶段：从开始加载到混凝土开裂前。
第Ⅱ阶段：混凝土开裂后至纵向钢筋屈服前。
第Ⅲ阶段：纵向钢筋屈服后，拉力N保持不变的情况下，构件的变形继续增大，裂缝不
断加宽，直至构件破坏。
3.掌握轴心受拉构件正截面承载力计算基础和计算公式?
以构件第Ⅲ阶段的受力情况为基础，建立轴心受拉构件正截面承载力计算公式：
N≦fyAs
N—轴向拉力组合设计值；
fy—钢筋抗拉强度设计值，按附表2—3取用；
As—纵向钢筋的全部截面面积。
4.了解受力纵筋布置的构造要求？
①纵向受力钢筋
1）轴心受拉构件的受力钢筋不应采用绑扎的搭接接头。
2）为避免配筋过少引起的脆性破坏，轴心受拉构件一侧的受拉钢筋的配筋率ρ=As/A应不小于0.2%和45ft/fy中的较大值，A为构件的截面面积。
3）受力钢筋沿截面周边均匀对称布置，并宜优先选择直径较小的钢筋。
②箍筋
箍筋直径不小于6mm，间距一般不宜大于200mm（屋架的腹杆中不宜超过150m）。
4.2轴心受压构件
1、掌握普通箍筋柱和螺旋箍筋柱的箍筋配置特点，理解两种构件中箍筋的作用。
答:根据箍筋的配置方式不同，轴心受压构件可分为配置普通箍筋和配置间距较密螺旋箍筋（或环式焊接钢筋）。在配置普通箍筋的轴心受压构件中箍筋可以固定纵向钢筋位
置，防止纵向钢筋在混凝土压碎之前压屈，保证纵筋与混凝土共同受力直到构件破坏；
螺旋箍筋对混凝土有较强的环向约束，因而能够提高构件承载能力和延性。
2、理解如何区分轴心受压构件短柱和长柱，理解几种长细比的表示。
答:根据构件长细比(构件计算长度l0与构件的截面回转半径i之比)的不同可分为短柱(一般构件l0/i≤28，矩形截面l0/b≤8,圆形截面l0/d≤7)和长柱。
3、理解普通箍筋柱破坏过程和破坏特点。
答:配有普通箍筋的钢筋混凝土柱承受轴心压力，当为短柱时，初始偏心对构件承载力无明显影响，钢筋和混凝土的压应变相等，混凝土的压应力达到f ck，钢筋应力达到抗压
屈服强度f yk，，钢筋和混凝土的抗压强度都得到充分利用；当为长柱时，初始偏心距对构
件的承载力影响较大，使其产生附加弯矩和弯曲变形，在压应力尚未达到材料强度之前
即因丧失稳定而破坏。
4、理解混凝土构件中高强钢筋的抗压强度设计值的确定方法。
答:当混凝土强度等级不大于C50时，混凝土峰值应变为0.002,则钢筋应力为
0.002E s=0.002×2×105N/mm2=400N/mm2，
此时高强度钢筋的达不到屈服，强度不能充分利用。
5、理解稳定系数的含义，理解同条件的长柱和和短柱的正截面承载能力不同的原因。
答:稳定系数φ用以考虑长柱纵向挠曲的不利影响，φ值小于1.0且随着长细比的增大而减小。
同条件的长柱正截面承载力小于短柱，是因为初始偏心距对长柱产生附加弯矩和弯曲变形，使其在材料达到强度之前丧失稳定而破坏。
6、掌握长细比的计算和稳定系数的确定，掌握普通箍筋柱正截面承载力设计和复核计算的
方法。
（P54-55，会根据长细比查稳定系数表，特别是线性内插的方法，会根据公式3-2计
算）
7、理解普通箍筋柱截面尺寸、箍筋形式、纵筋配筋率的构造要求，理解纵筋的最小配筋率
和最大配筋率。
答:截面尺寸中矩形最小边长不宜小于250mm，圆形截面的直径不宜小于300mm，采用封闭式箍筋，纵向钢筋配筋率不宜超过5%，全部纵筋最小配筋率一二级钢筋0.60%,三级钢筋0.55%。一侧纵筋最小配筋率0.20%。
8、理解螺旋箍筋柱正截面受压的破坏过程和破坏特征。
答:当荷载逐步加大到混凝土压应变超过无约束时的极限压应变后，箍筋外部的混凝土将被压坏开始剥落，而箍筋以内即核心部分的混凝土则能继续承载，只有当箍筋达到抗拉
屈服强度而失去约束混凝土侧向变形的能力时，核心混凝土才会被压碎而导致整个构件破
坏。
9、理解螺旋箍筋柱比同条件普通箍筋短柱正截面受压承载力提高的原因。
答：配置螺旋箍筋能有效地阻止混凝土在轴心压力作用下产生的侧向变形和内部微裂缝的发展，从而使混凝土的抗压强度有较大的提高，即提高了正截面受压承载力。
10、掌握螺旋箍筋柱的工作条件。
答:只有当柱的长细比及螺旋式或焊接环式箍筋的直径、间距等满足一定的要求时，才能起到间接箍筋的作用，而且其受压承载力的大小不得超过普通箍筋轴心受压构件受压承
载力的1.5倍。
11、理解螺旋箍筋柱的间接钢筋的构造要求。
答:在配有螺旋式或焊接环式间接钢筋的柱中，如计算中考虑间接钢筋的作用，则间接钢筋的间距不应大于80mm及dcor/5(dcor为按间接钢筋内表面确定的核心截面直径)，且
不应小于40mm;间接钢筋的直径不应小于d/4，且不应小于6mm，d为纵向钢筋最大直径。
5、钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算
5.1受弯构件正截面受力特性
1、理解梁、板的区别。
答：梁和板都是典型的受弯构件，梁的截面高度一般情况下大于其宽度，而板的截面高度远小于其宽度。
2、理解受弯构件中纵筋布置的位置，掌握纵筋配筋率的计算。
1）纵筋布置的位置：布置在梁的受拉区，主要作用是承受由弯矩在梁内产生的拉力。
2）纵筋配筋率：指纵向受力钢筋截面面积与截面有效面积之比，即
ρ=A S
bh0
3、掌握不同纵筋配筋率时，正截面的三种破坏形态及特征。
1）少筋破坏：当构件的配筋率低于某一定值时，构件不但承载能力很低，而且只要其一开裂，裂缝便急速开展，裂缝截面处的拉力全部由钢筋承受，钢筋由于突然增大的应力
而屈服，构件立即发生破坏。（脆性破坏）
2）适筋破坏：当构件的配筋率不是太低也不是太高时，构件的破坏首先是由于受拉区纵向受力钢筋屈服，然后受压区混凝土被压碎，钢筋和混凝土的强度都得到充分利用。（塑
性破坏）
3）超筋破坏：当构件的配筋率超过某一定值时，构件的破坏特征又发生质的变化，由于受压区的混凝土被压碎而引起，受拉区纵向钢筋不屈服。（脆性破坏）
4、掌握适筋受弯构件正截面受力全过程的三个阶段及各阶段的特点，理解第Ⅰa阶段、第
Ⅱa阶段、第Ⅲa阶段是哪些计算内容的基础。
答：第Ⅰ阶段——截面开裂前的阶段，特点是①混凝土没有开裂②截面内力很小，应力与
应变成正比，截面的应力分布为直线。——第Ⅰa阶段是截面开裂前的临界状态，是截面抗裂验算的基础。
第Ⅱ阶段——从截面开裂到受拉区纵向受力钢筋开始屈服的阶段，特点是①受拉区混凝土退出工作，钢筋拉应力突然增大。②受压区混凝土出现明显的塑性性质，应力图形呈
曲线。——第Ⅱa阶段受拉开始钢筋屈服的特定受力状态。第Ⅱ阶段是构件使用阶段的变
形和裂缝宽度验算的基础。
第Ⅲ阶段——破坏阶段，特点是①受拉钢筋已屈服②混凝土受压区面积减小，压应力迅速增大③截面承载力无明显增加。——第Ⅲa阶段是钢筋屈服后，受压区混凝土被完全
压碎的特定受力状态，是截面承载力计算的基础。
5、掌握钢筋混凝土受弯构件正截面破坏时，受压边缘混凝土和受拉纵筋的应力、应变大小。
答：受压边缘混凝土：应变εcu在C50以下时为0.0033，应力为f c。
受拉纵筋：应变0.01，应力f y。
5.2受弯构件正截面承载力计算方法
1、理解正截面承载力计算的基本的假定。
答：①截面应变保持平面
②不考虑混凝土的抗拉强度
③混凝土的应力-应变关系按《规范》规定取用
④纵向受拉钢筋的极限拉应变取0.01
⑤纵向钢筋的应力取钢筋应变与其弹性模量的乘积。
σs=E sεs
其值应符合-fy’≤σs≤fy的要求。
2、掌握单筋截面和双筋截面的定义。
单筋矩形截面：只在截面的受拉区配有纵向受力钢筋的矩形截面。
双筋矩形截面：不但在截面的受力拉区，而且在截面的受压区同时配有纵向受力钢筋。
3、理解混凝土保护层厚度的概念。
答：构件边缘至最外侧钢筋边缘的距离。
4、理解界限破坏的定义，了解相对界限受压区高度的确定高度的确定方法。
定义：是适筋构件与超筋构件相对受压区高度的界限值。
相对界限受压区高度的计算可将钢筋的抗拉强度设计值f y和弹性模量E s带入下式计算：
ξb=
β1
1+f y
εc u E s
5、理解相对界限受压区高度判别适筋破坏和超筋破坏的原因。
答：截面相对受压区高度ξ>ξb时，根据应变线性关系，相应于混凝土极限压应变
εcu的钢筋应变εs小于其屈服强度对应的应变εy，因而钢筋无法屈服，梁表现为超筋破坏。
6、理解正截面承载力计算图式，掌握正截面承载力计算的公式及适用条件，能进行矩形截面单筋截面受弯构件的纵筋设计和正截面承载力的计算。
（P68，式4-8,4-9，适用条件4-10,4-11，牢记，会用）
7、了解钢筋混凝土受弯构件采用双筋截面的条件。
答：①结构或构件承受某种交变的作用（如地震），使截面上的弯矩改变方向；
②截面承受的弯矩设计值大于单筋截面所能承受的最大弯矩设计值，而截面尺寸和材料品种由于某些原因又不能改变；
③结构或构件的截面由于某种原因，在截面的受压区预先已经布置了一定数量的受力钢筋（如连续的某些支座截面）。
8、双筋截面正截面承载力计算公式及适用条件，能进行计算。
（计算公式及条件：P.80-P.81，牢记，会用）
9、双筋截面受弯构件正截面承载力计算时，受压纵筋屈服的条件。
受压纵筋屈服的条件：x≥2a's
10、T形截面翼缘计算宽度的概念及影响因素：
T形截面翼缘计算宽度b’f，是按规范确定的等效应力宽度范围，认为在此宽度内压应力均匀分布，该宽度以外压应力为0，其值按规范规定取用。
b’f值与翼缘厚度、梁的跨度和受力情况等许多因素有关。
11、理解第一类、第二类T形截面的分类方法。
答：第一类T形截面中和轴在翼缘内，即x≤h'f；
第二类T形截面中和轴在梁肋内，即x＞h'f；
12、T形截面梁的正截面承载力计算公式和适用条件，能进行计算。
（判断第一类或第二类的方法，及后续计算务必理解，会用）
13、掌握钢筋混凝土梁、板内的钢筋种类及作用
（1）梁中钢筋
受力筋：承受拉力；
架立筋：组成梁配筋的骨架；
箍筋：与纵筋绑扎成稳定的钢筋骨架、承受剪力；
弯起钢筋：在跨中区域为纵向受力钢筋，承受弯矩引起的拉力。在两端弯曲区域承受剪力。
（2）板中钢筋
受力钢筋：承受弯矩产生的拉力；
分布钢筋：将板上的外力更有效的传递到受力钢筋上去，防止由于温度变化和混凝土收缩等原因沿板跨方向产生裂缝，并固定受力钢筋，使其位置正确，并垂直于受
力钢筋。
14、受力纵筋的净距要求：P.95
受力纵筋距离底面或侧面为保护层厚度+箍筋直径；
受力纵筋之间的净距：底部≥25mm且≥d（较大钢筋直径），顶部≥30mm且≥1.5d
6、钢筋混凝土受弯构件斜截面承载力计算
6.1受弯构件斜截面受力分析及破坏形态
1、了解受弯构件斜截面破坏的本质原因：
答：当梁内的主拉应力或主压应力达到材料的抗拉或抗压强度值时，即引起构件截面的开裂和破坏。
2、理解受弯构件常见的两种斜裂缝。
弯剪型斜裂缝：斜裂缝由梁底的弯曲裂缝发展而成
腹剪型斜裂缝：梁的腹板很薄或集中荷载至支座距离很小时裂缝可能首先在腹部出现
3、掌握无腹筋梁、有腹筋梁斜截面的三种破坏形态、如何保证发生剪压破坏。
腹筋：箍筋和弯起钢筋的总称
斜拉破坏：发生在剪跨比λ较大(λ＞3)无腹筋梁或者腹筋梁配置过少。特点斜裂缝，一旦出现便迅速向集中荷载作用点延伸很快形成临界斜裂缝梁随即破坏。破坏过程，极速突
然破坏前梁的变形很小只有一条斜裂缝破坏具有明显的脆性。
剪压破坏：多发生在剪跨比λ适中(1.5＜λ≦3)的无腹筋梁或腹筋梁配置适量的特征是当加载到一定阶段时斜裂缝中的某一条发展成为临界斜裂缝。临界斜裂缝向荷载作用点缓
慢发展，剪压区高度逐渐减小，最后减压区混凝土被压碎。破坏有一定的预兆但与适筋梁
的正面破坏相比剪压破坏仍属于脆性破坏。
间距）s v=
=nA sv1
斜压破坏：一般多发生在剪力较大，弯距较小及剪跨比λ较小(λ＜1.5)或剪跨比大但腹筋配置过多以及梁的腹板很薄的薄腹梁中。过程，首先是腹部出现若干条平行的斜裂缝。
随着荷载的增加梁腹被这些斜裂缝分割为若干斜向短柱最后柱体混凝土被压碎。破坏荷载
很高，但变形很小亦属于脆性破坏。
4、理解箍筋和弯起钢筋的位置和作用：
答：箍筋有效布置方式是与梁腹中的主拉应力方向一致但为施工方便一般和梁轴线成九十度布置；弯起钢筋是纵筋在梁的端部弯起，和箍筋有着相似的作用提高梁斜截面的抗
剪承载力。
5、掌握受弯构件斜截面受力性能主要因素，剪跨比、配箍率的定义
答：影响斜截面受力性能的因素：剪跨比和跨高比，腹筋的数量，混凝土强度等级，纵筋
配筋率，(其他因素截面形状，预应力，梁的连续性)
剪跨比：用λ表示梁截面的弯矩值与截面的剪力值和有效高度乘积之比。既λ=M/Vh o
配箍率：是指沿构件长度，在箍筋的一个间距s范围内，箍筋中发挥抗剪作用的各肢全部截面面积与混凝土截面面积b·s的比值（b为构件宽，其与剪力方向垂直，s为箍筋
ρA s v
b?s
6.2受弯构件斜截面设计方法
1、理解受弯构件斜截面受剪承载力的含义
答：相应于剪压破坏时，钢筋混凝土构件承受剪力的能力。
2、理解受弯构件斜截面受剪承载力的计算公式，各个参数的含义，公式的适用条件。
（理解，会用）
3、理解利用斜截面受剪承载力公式进行腹筋的设计过程。
（理解，会用）
4、理解斜截面受剪承载力校核的位置。
答：支座边缘处截面、弯起钢筋弯起点位置截面、箍筋截面面积或间距改变处截面、腹板宽度改变处截面。
5、理解斜截面受弯承载力的概念。
答：在剪力和弯矩共同作用下产生的斜裂缝，还会导致与其相交的纵向钢筋拉力增加，引起沿斜截面受弯承载力不足及锚固不足的破坏。
6、理解抵抗弯矩图的概念，理解抵抗弯矩图包住弯矩图的含义。
答：抵抗弯矩图指按实际配置的纵向钢筋计算的梁上各正截面所能承受的弯矩图。如果抵抗弯矩图能将荷载弯矩图完全覆盖，则每一个截面都安全；反之若不能全覆盖，未覆
盖截面则不安全。
7、理解保证斜截面受弯承载力的纵筋弯起条件。
答：为了保证斜截面的抗弯承载力，纵向受力钢筋弯起点应设置在按正截面抗弯承载力计算该钢筋的强度充分被利用的截面以外，其距离s l应大于或等于h0/2处。
8、了解纵筋的锚固长度，延伸长度，搭接长度的意义。
答：锚固长度:构件深入支座时，其受力钢筋通过混凝土与钢筋的粘结将所受的力传递给混凝土所需的长度
延伸长度:为维持钢筋有足够的抗力，钢筋应从“强度充分利用截面”外伸一定的长度l dl，该长度称为延伸长度。
搭接长度:两根钢筋采用绑扎搭接时，所需的最小重叠长度。
9、理解钢筋混凝土梁在承受竖向荷载时可能的裂缝位置和方向
答：在竖向荷载引起的弯矩作用下，在梁跨中区域受拉边缘处产生垂直于构件轴线的裂缝。在竖向荷载引起的剪力的作用下，在剪力较大区域梁侧面产生与构件轴线斜交的裂
缝。
7、钢筋混凝土受扭构件承载力计算
7.1概述
1、常见的受扭构件:吊车梁，雨篷梁，螺旋楼梯，框架边梁及框架结构角柱。
2、平衡扭转:结构扭矩是由荷载产生的，其扭矩可根据平衡条件求得，与构件的抗扭刚度
无关的扭转。
协调扭转（或附加扭转）:超静定结构中由于变形的协调使截面产生的扭转。
7.2受扭构件试验研究
1、纯扭构件矩形截面的剪应力分布特点:截面形心处剪力值等于零，截面边缘处剪应力值
较大，其中截面长边中点处剪应力值为最大。
2、素混凝土矩形截面纯扭构件的开裂过程和破坏特点:无筋矩形截面混凝土构件在扭矩的
作用下，首先在截面长边中心点附近最薄弱处产生一条呈45°角方向的斜裂缝，然后迅速
地以螺旋形向相邻两个面延伸，最后形成一个三角面开裂一面受压的空间扭曲破坏面，使
构件立即破坏，破坏带有突然性，具有典型脆性破坏性质。
3、抗扭钢筋的种类和作用:纵筋和箍筋；承受主拉应力，承受扭矩作用效应。
4、钢筋混凝土纯扭构件破坏的4种破坏形态的发生条件和破坏特征:
①当混凝土受扭构件配筋数量较小时(少筋构件)；属于脆性破坏。
②当混凝土受扭构件按正常数量配筋时(适筋构件)；属于延性破坏。
③当混凝土受扭构件配筋数量过大或混凝土强度等级过低时(超筋构件)；属于脆
性破坏。
④当混凝土受扭构件的纵筋与箍筋比率相差较大时(部分超筋构件)；结构具有一
定的延性性质。
5、如何保证纯扭构件发生适筋受扭破坏:
对构件的截面尺寸作了限制，间接限定抗扭钢筋最大用量；
受扭箍筋和纵向受扭钢筋的配筋率不得小于各自的最小配筋率，并应符合受扭钢筋的构造要求。
6、掌握为防止纯扭构件发生部分超筋受扭破坏时的配筋强度比的范围:
0.6≤ζ≤1.7
7.3受扭构件承载力计算
1、了解矩形截面纯扭构件的开裂扭矩的影响因素和计算公式，理解钢筋对开裂扭距的影响
较小。
答：影响因素见教材：混凝土抗拉强度设计值、截面塑性抵抗矩
开裂扭矩计算公式为
T cr=0.7f t W t
式中f t——混凝土抗拉强度设计值
W t——截面受扭塑性抵抗距，对于矩形截面W t=b2/6(3h－b)
结构混凝土即将出现裂缝时，由于混凝土极限拉应变很小，因此钢筋的应力也很小，它对结构提高开裂荷载作用不大，在进行开裂扭矩计算时可忽略钢筋的影响。
2、理解矩形截面纯扭构件的抗扭承载力计算假定和组成部分，了解计算公式及适用条件。
答：《规范》关于钢筋混凝土受扭构件的计算，是建立在变角空间桁架模型的基础上的。
构件的抗扭承载力由混凝土的抗扭承载力T c和箍筋与纵筋的抗扭承载力T s两部分构成，即
T u=T c+T s（详见P142公式6-8）
适用条件：0.6≤ζ≤1.7、截面尺寸和最小配箍率的要求。
3、理解配筋强度比对纯扭构件破坏形态的影响。
答：当0.6≤ζ≤1.7时，发生适筋破坏，超出此范围时，发生部分超筋破坏。
4、了解弯剪扭构件的三种破坏类型。
答：弯型破坏：裂缝首先在受拉底面出现，然后发展到两个侧面。一般是弯矩比扭矩显
著大的时候出现这种破坏。
剪扭型破坏：裂缝首先出现在侧面。主要是剪力和扭矩都比较大，剪力和扭矩在侧面进行叠加，使得某侧面的剪应力较大。
扭型破坏：受压区首先发生破坏，然后向两个侧面延伸。一般是扭矩比剪力和弯矩显著大，且顶面钢筋比底面少的时候出现这种破坏。
5、理解剪扭相关性的含义，理解剪扭构件的承载力降低的原因。
答：若构件中同时有剪力和扭矩作用，剪力的存在，会降低构件的抗扭承载力；同样，
由于扭矩的存在，也会引起构件抗剪承载力的降低。这便是剪力和扭矩的相关性。
无腹筋构件的抗剪和抗扭承载力相关关系大致按1／4圆弧规律变化，即随着同时作用的扭矩增大，构件的抗剪承载力逐渐降低，当扭矩达到构件的抗纯扭承载力时，其抗剪承
载力下降为零，反之亦然。
6、了解弯剪扭构件的配筋原则和方法。
答：纵筋分别按受弯和受扭计算的纵筋截面面积相叠加；箍筋按受剪和受扭计算的箍筋
截面面积相叠加。
8、钢筋混凝土偏心受力构件承载力计算
8.1概述
1、理解偏心受压构件的定义。
当结构构件的截面上受到轴力和弯矩的共同作用或受到偏心力的作用时，该结构构件称
为偏心受力构件。当偏心力为压力时，称为偏心受压构件。
2、理解单向偏心受压构件和双向偏心受压构件的定义。
单向偏心受压构件沿一个轴线一个方向偏心。双向偏心受压构件在两个方向上都有偏心。
8.2偏心受压构件正截面承载力计算
1、掌握大偏心受压破坏和小偏心受压破坏的特征、发生条件。
①大偏心受压破坏的特征：截面部分受压，部分受拉，受拉区混凝土较早地出现横向
裂缝，由于纵筋配筋率不高，受拉钢筋应力增长较快，首先到达屈服。随着裂缝的开展，
受压区高度减小，最后受压钢筋屈服，受压区混凝土压碎。属于塑性破坏的性质。
②小偏心受压破坏的特征：构件的破坏是由于受压区混凝土到达其抗压强度，距轴力
较远一侧的钢筋As，无论受拉或受压，一般均未到达屈服，其承载力主要取决于受压区混
凝及受压钢筋As'，这种破坏无明显特征，具有脆性破坏的性质。
③大偏心受压破坏发生条件：轴向力N的偏心距较大，且纵筋的配筋率不高时；小偏
心受压破坏发生的条件：当轴向力N的偏心距较小，或当偏心距较大但纵筋配筋率很高时。
2、理解偏心受压构件受压纵筋的布置特点，理解纵筋的最小配筋率和最大配筋率要求。
纵筋布置：对称配筋时，在柱弯矩作用方向的两对边对称布置相同的纵向受力钢筋。
非对称配筋时，在柱弯矩作用方向的两对边对称布置不同的纵向受力钢筋最小配筋率：一侧纵筋0.2%，全部纵筋：三级钢筋时0.55%，一级、二级钢筋0.6%
最大配筋率：全部纵筋配筋率不宜超过5%
3、掌握界限破坏的定义，掌握判别大、小偏心受压破坏的标准。
①两类破坏的界限是：受拉钢筋初始屈服的同时，受压区混凝土达到极限压应变；
②当ξ≤ξb，属于大偏心受压破坏；反之，属于小偏心受压破坏。
4、理解N-M相关曲线的特点、用途。
对于给定截面、配筋及材料强度的偏心受压构件，到达承载能力极限状态时，截面承受的内力设计值N,M并不是独立的，而是相关的。轴力与弯矩对于构件的作用效应存在着叠
加和制约的关系，也就是说，当给定轴力N时，有其唯一对应的弯矩M，或者说构件可以在不同的N和M的组合下达到其极限承载力。大偏心区段，随着轴向压力N的增大，截
面能承担的弯矩也相应提高。小偏心区段，随着轴向压力的增大，截面所能承受的弯矩反
而降低。
5、理解P-δ效应，了解其主要影响因素。
P-δ效应是钢筋混凝土构件中由轴向压力在产生了挠曲变形的杆件中引起的曲率和弯矩增量。其影响因素有构件的长细比，构件两端弯矩的大小和方向，构件的轴压比。
6、掌握计算偏心距的定义及计算，理解附加偏心距存在的原因和取值方法，掌握初始偏心
距的计算。
①计算偏心距：e o=M/N；
②附加偏心距存在的原因：荷载作用位置的不定性、混凝土质量的不均匀性及施工的
偏差；
③附加偏心距的取值方法：e a=MAX｛20，h/30｝；
④初始偏心距的计算：e i=e o+e a
7、掌握大偏心受压构件正截面承载力计算公式和适用条件，能进行不对称配筋时，大偏心
受压构件的配筋设计
（掌握、会算）
8、掌握大偏心受压构件弯矩作用平面和垂直弯矩作用平面承载力的校核。
（掌握、会算）
9、理解小偏心受压构件正截面承载力计算公式和适用条件。
（理解）
10、理解大、小偏心受压构件在不对称配筋设计时，两种钢筋面积均未知时的补充条件。
x=ξb h o
11、理解偏心受压构件采用对称配筋的条件。
工程设计中，当构件承受变号弯矩作用，或为了构造简单便于施工时，常采用对称配筋截面，此时As=As’,fy=fy’，且as=as’
12、掌握对称配筋时，大偏心受压构件的设计计算和承载力复核计算。
（掌握、会算）
13、理解采用封闭箍筋的原因。
钢筋混凝土柱采用封闭箍筋的原因是为了保证钢筋骨架的整体刚度，并保证构件在破坏阶段箍筋对混凝土和纵向钢筋的侧向约束作用。
8.3偏心受拉构件正截面承载力计算
1、理解大小偏心受拉构件的定义和判别方法。
轴向拉力为于As与As’之间的受拉构件，混凝土完全不参加工作，两侧钢筋As及A’s均
受拉屈服。这种构件称为小偏心受拉构件。因受压区混凝土达到极限压应变及纵向受压钢
筋A’s达到屈服，而使构件进入承载能力极限状态，这种构件成为大偏心受拉构件。判别
方法：小偏心受拉构件的纵向力作用位置在构件截面受力筋合力点以内，大偏心受拉构件
纵向力作用位置在构件截面受力筋合力点以外。一般大片先有受压区，小偏心没有。
2、了解大小偏心受拉构件的破坏特点。
当偏心距很小时(e0＜h/6)，构件处于全截面受拉的状态，随着偏心拉力的增大，截面受
拉较大一侧的混凝土将先开裂，并迅速向对边贯通。当偏心距e0＞h/2－as时，混凝土受
压区明显增大。随着偏心拉力的增加，靠近偏心拉力一侧的混凝土开裂，裂缝谁能开展，
但不会贯通全截面，而始终保持一定的受压区。取决于靠近偏心拉力一侧的纵向受拉钢筋
的数量。当受拉钢筋的数量适量时，他将先达到屈服强度，随着偏心拉力的继续增大，裂
缝开展、混凝土受压区缩小。
8.4偏心受力构件斜截面受剪承载力计算
1、理解偏心受力构件需要计算正截面承载力和抗剪承载力。
对于偏心受力构件，往往在截面受到弯矩M及轴力N的共同作用的同时，还受到较大的剪力V作用。因此，需要计算正截面承载力和抗剪承载力。
2、理解轴向压力提高抗剪承载力、轴向拉力降低抗剪承载力的原因。
由于轴向压应力的存在，延缓了斜裂缝出现和发展，使混凝土的剪压区高度增大，构件
的受剪承载力得到提高。在偏心受拉构件中，由于轴拉力的存在，使混凝土的剪压区的高
度比受弯构件的小，轴心拉力使构件的抗剪能力明显降低。
9、钢筋混凝土构件的裂缝、变形和耐久性
9.1概述
1、理解裂缝、变形过大时对混凝土结构和构件的不利影响
过大的变形会造成房租内粉刷层剥落、填充墙和隔断墙开裂及屋面积水等后果；在多层精密仪表车间中，过大的楼面变形可能会影响到产品的质量；水池、油罐等结构开裂会
引起渗漏现象；过大的裂缝会影响到结构的耐久性；过大的变形和裂缝也将使用户在心理
上产生不安全感。
2、理解混凝土结构和构件设计时的计算和验算内容
①所有结构构件均应进行承载力（包括压屈失稳）计算；在必要时尚应进行结构的倾
覆和滑移验算。处于地震区的结构，尚应进行结构构件抗震承载力验算。
②对某些直接承受重复荷载的构件，应进行疲劳强度验算。
③对使用上需要控制变形值的结构构件，应进行变形验算。
④根据裂缝控制等级的要求。应对混凝土结构构件的裂缝控制情况进行验算。对叠合
式受弯构件，尚应进行纵向钢筋拉应力验算。
9.2裂缝宽度验算
1、理解引起结构和构件裂缝形成的原因
裂缝按其形成的原因可分为两大类:一类是由荷载引起的裂缝；另一类是由变形因素（非荷载）引起的裂缝，如由材料收缩、温度变化、钢筋腐蚀膨胀以及地基不均匀沉降等
原因引起的裂缝。
2、掌握混凝土结构裂缝控制等级的分级及各级要求
裂缝控制等级分为三级:正常使用阶段严格要求不出现裂缝的构件，裂缝控制等级属一级；正常使用阶段一般要求不出现裂缝的构件，裂缝控制等级属二级；正常使用阶段允许
出现裂缝的构件，裂缝控制等级属三级。
3、理解裂缝最大宽度的计算依据。
裂缝宽度计算依据适筋梁受弯构件正截面承载的第Ⅱ阶段。
4、理解《规范》对钢筋混凝土构件最大裂缝宽度的验算规定。
《规范》采用平均裂缝宽度乘以扩大系数的方法确定最大裂缝宽度ωmax,并且短期最大裂缝宽度还需要乘以荷载长期效应裂缝扩大系数τl，对各种受力构件，《规范》均取
τl=1.5。此外，当计算的ρte<0.01时《规范》规定应取ρte=0.01。
5、了解粘结-滑移理论计算裂缝宽度时的平均裂缝间距与平均裂缝宽度关系；了解平均裂
缝间距的影响因素；了解钢筋应变不均匀系数的物理意义；了解钢筋应变不均匀系数大小
与钢筋混凝土粘结作用的关系；理解最大裂缝宽度与平均裂缝宽度的关系。
①粘结-滑移理论，认为裂缝宽度是由于钢筋和混凝土之间的粘结破坏，出现相对滑移，
引起裂缝处混凝土回缩而产生，平均裂缝宽度等于平均裂缝间距之间沿钢筋水平位置
处钢筋和混凝土总伸长之差。
②有效配筋率越高，钢筋直径越小，则平均裂缝宽度越小，裂缝越密；保护层越大，
平均裂缝间距越大。
③钢筋应变不均匀系数物理意义:反应裂缝之间混凝土协助钢筋抗拉工作的程度
④钢筋应变不均匀系数越小，裂缝之间混凝土协调钢筋抗拉作用越强
⑤最大裂缝宽度等于平均裂缝宽度乘以荷载短期效应裂缝扩大系数
6、理解纵筋直径、混凝土保护层厚度和纵筋配筋率对最大裂缝宽度的影响规律，理解荷载
长期作用下裂缝宽度加大的原因。
钢筋直径变小，提高钢筋与混凝土的粘结强度，可以减小裂缝宽度；加大有效配箍率，减小钢筋应力和裂缝间距，可以减小裂缝宽度；混凝土保护层越大，裂缝宽度越大。
荷载长期作用下，受拉区混凝土的应力松弛、滑移徐变和混凝土收缩都会使裂缝宽度增大。
9.3受弯构件挠度验算
1.掌握规范中挠度验算的要求，理解挠度的计算依据（指哪个阶段）
需要满足αf，max≤αf，lim
αf，max---受弯构件按荷载的准永久组合并考虑荷载长期作用影响计算的最大值
αf，lim---受弯构件的挠度限值，建筑工程受弯构件的挠度限值见附表3-1
计算依据：挠度计算依据适筋梁受弯构件正截面承载的第Ⅱ阶段
2.理解钢筋混凝土梁的截面刚度的含义。
钢筋混凝土梁的截面抗弯刚度是其抵抗弯曲变形的能力，由于有裂缝等影响，其截面抗弯刚度不再是常量EI，而是变量B。截面刚度包括短期刚度和长期刚度。
3.理解钢筋混凝土梁截面刚度的特点，即理解荷载大小，截面位置，时间，配筋率对截面
刚度的影响。
梁的截面刚度随弯矩增大而减小，引起某截面弯矩增大的因素，如荷载越大、截面越不利，则相应的截面刚度越小。
截面刚度随着荷载持续作用的时间变小。
纵筋配筋率越大，截面刚度越大。
4.理解短期刚度，长期刚度的定义，理解两者之间的大小关系。
钢筋混凝土梁在荷载短期效应组合作用下的截面抗弯刚度，简称短期刚度-B s。
在荷载长期效应组合影响的截面抗弯刚度，简称长期刚度B。
B=B s/θ,θ取1.6-2.0，因此B
5.理解最小刚度原则的含义，理解简支梁，连续梁刚度取值办法。
在实用计算中，弯矩较小区段虽然刚度较大，但它对全梁变形的影响不大，一般取同号弯矩区段内弯矩最大截面的抗弯刚度作为该区段的抗弯刚度。这就是挠度计算中的“最
小刚度原则”。
简支梁的取值办法：取最大弯矩截面(按照上式)计算的截面刚度，并以此作为全梁的抗弯刚度。
对于带悬挑的简支梁，连续梁或框架梁，取最大正弯矩截面和最小负弯矩截面的刚度，分别作为相应弯矩区段的刚度。
6.理解提高钢筋混凝土梁截面刚度的有效措施
增加截面高度；当设计上构件截面尺寸不能增大时，可考虑增加纵向受拉钢筋截面面积或提高混凝土强度等级，对某些构件还可以充分利用纵向受压钢筋对长期刚度的有利影
响，在构件受压区配置一定数量的受压钢筋。此外，采用预应力混凝土构件也是提高受弯
构件刚度的有效措施。
9.4耐久性设计
1、理解混凝土结构的耐久性定义。
混凝土结构的耐久性是指在正常维护条件下，在预计的使用时期内，在指定的工作环境中保证结构满足既定的功能要求。
2、理解影响混凝土结构耐久性的主要因素。
①结构的工作环境。
②混凝土的质量。
③保护层厚度。
④合理使用及定期检查与维护。
3、了解材料耐久性的基本要求。
控制水灰比、减小渗透性、提高混凝土的强度等级、增加混凝土的密实性以及控制混凝土中的氯离子和碱的含量。
4、了解提高混凝土结构耐久性的措施。
①环境分类，针对不同的环境，采取不同的措施。
②耐久性等级或结构寿命分类。
③耐久性计算对设计寿命或既存结构的寿命做出预计。
④保证耐久性的构造措施和施工要求。
10、预应力混凝土构件设计
1、理解钢筋混凝土受弯构件在大跨、重载时的局限性。
普通钢筋混凝土构件在大跨度、重荷载结构中，为满足变形和裂缝控制的要求，需要的截面高度和用钢量非常大，不够经济，而且构件所能承受的自重以外的有效荷载减小。
2、理解预应力混凝土结构的定义。
预应力混凝土是根据需要人为地引入某一数值与分布的内应力，用以全部或部分抵消外荷载应力的一种加筋混凝土。
3、了解全预应力混凝土构件和部分预应力混凝土A、B裂构件的概念。
全预应力混凝土是在使用荷载作用下，构件截面混凝土不出现拉应力，即为全截面受压。
部分预应力A类是指在使用荷载作用下，构件预压区混凝土正截面的拉应力不超过规定的容许值。
部分预应力B类是指在使用荷载作用下，构件预压区混凝土正截面的拉应力允许超过规定的限值，但当裂缝宽度出现时，其宽度值不超过容许值。
4、理解预应力混凝土构件先张法、后张法的施工工序。
先张法工序：①在台座（或钢模）上用张拉机具张拉预应力钢筋至控制应力，并用夹
具临时固定；
②支模并浇灌混凝土；
③养护混凝土至其达到设计强度的75%以上时，切断预应力钢筋。
后张法工序：①浇灌混凝土制作构件，并预留孔道
②养护混凝土到规定强度值；
③在孔道中穿筋，并在构件上用张拉机具张拉预应力钢筋至控制应力；
④张拉端用锚具锚住预应力钢筋，并在孔道内压力灌浆。
5、理解预应力筋的种类和对预应力筋的要求。
预应力混凝土结构中的钢筋包括预应力筋和非预应力钢筋。预应力筋宜采用预应力钢
丝、钢绞线和预应力螺纹钢筋。要求预应力筋强度要高、应力松弛要低、具有一定的塑性、良好的可焊性以及用于先张法构件时与混凝土有足够的粘结力。
6、理解预应力混凝土构件对混凝土材料的要求。
预应力混凝土结构宜采用强度等级较高的混凝土，强度等级不宜低于C40，且不应低于C30。
7、理解预应力混凝土结构与普通钢筋混凝土相比的优缺点。
优点：①提高了构件的抗裂能力。
②增大了构件的刚度
③充分利用高强度材料
④扩大了构件的应用范围。
缺点：施工工序多，对施工技术要求高，且需要张拉设备、锚夹具及劳动力费用高。
8、理解张拉控制应力的上限和下限的取值。
张拉控制应力σcon越大，在构件受拉区建立的混凝土预压应力也越大，构件使用
时的抗裂度也越高。但是若过大会产生如下问题：
①个别钢筋可能被拉断
②施工阶段可能会引起构件某些部位受到拉力甚至开裂，还可能使后张
法构件端部产生局部受压破坏
③使开裂荷载与破坏荷载相近，一旦开裂，将很快破坏，产生无预兆的
脆性破坏。
9、理解引起预应力损失的原因和减小措施。
①张拉端锚具变形和预应力筋内缩引起的预应力损失减小措施：可选用变形小的锚具或增加台座长度、少用垫板等措施，也可采用超张拉。
②预应力筋与孔道壁之间的摩擦引起的预应力损失减小措施：一端张拉另一端补拉，或两端张拉，或超张拉。
③混凝土加热养护时，预应力筋与承受拉力的设备之间的温差引起的预应力损失减小措施：采用两阶段升温养护
④预应力筋的应力松弛引起的预应力损失减小措施：采用超张拉
⑤混凝土的收缩和徐变引起的预应力损失减小措施：减小水泥用量、降低水灰比、保证密实性、加强养护等所有能减少混凝土收缩徐变的措施，都能相应低减少该项损失。
⑥用螺旋式预应力筋作配筋的环形构件，由于混凝土局部挤压引起的预应力损失。
减小措施：可适当增大构件直径。
计数原理 课表要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则A∩B=?,A∪B=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·……·m n种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去
《反不正当竞争法》重要内容解读 第十一条［禁止低价倾销行为］经营者不得以排挤竞争对手为目的，以低于成本的价格销售商品。 有下列情形之一的，不属于不正当竞争行为： （一）销售鲜活商品； （二）处理有效期限即将到期的商品或者其他积压的商品； （三）季节性降价； （四）因清偿债务、转产、歇业降价销售商品。 第十二条［禁止搭售或附加不合理条件行为］经营者销售商品，不得违背购买者的意愿搭售商品或者附加其他不合理的条件。 ★第十三条［禁止不正当有奖销售行为］经营者不得从事下列有奖销售： （一）采用谎称有奖或者故意让内定人员中奖的欺骗方式进行有奖销售； （二）利用有奖销售的手段推销质次价高的商品； 【法条解读】诋毁商誉行为的要点： ?1．诋毁对象是“是存在着竞争关系的经营者”，也就是通常所说的“同行”。如果新闻单位被利用和被唆使的，可以构成一般的侵害他人名誉权行为，而非不正当竞争行为。 2．经营者实施了诋毁商誉行为。若发布的消息是真实的，则不构成诋毁行为。 ?3．诋毁行为是针对一个或多个特定竞争对手的。 应注意的是，对比性广告通常以同行业所有其他经营者为竞争对手而进行贬低宣传，此时应认定为商业诋毁行为。 ?4．主观心态为故意，不能是过失。 【真题演练】甲公司为宣传其“股神”股票交易分析软件，高价聘请记者发表文章，称“股神”软件是“股民心中的神灵”，贬称过去的同类软件“让多少股民欲哭无泪”，并称乙公司的软件“简直是垃圾”。根据《反不正当竞争法》的规定，下列哪些选项是正确的？（2008-1-74）BD A．只有乙公司才能起诉甲公司的诋毁商誉行为 B．甲公司的行为只有出于故意才能构成诋毁商誉行为 C．只有证明记者拿了甲公司的钱财，才能认定其参与诋毁商誉行为 D．只有证明甲公司捏造和散布了虚假事实，才能认定其构成不正当竞争 【答案】BD 第十五条［禁止串通投标行为］投标者不得串通投标，抬高标价或者压低标价。 投标者和招标者不得相互勾结，以排挤竞争对手的公平竞争。
计数原理知识点总结 一、两个计数原理 3、两个计数原理的区别 二、排列与组合 1、排列： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列 的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。用符号 表 示. 3、排列数公式： 其中 4、组合： 一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 5、组合数： 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号 表示。 6、组合数公式： 其中 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. 7、性质： m n A m n A ()()() ()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=Λ . ,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()() ()! !! !121m n m n m m n n n n C m n -= +---= Λ . ,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=m n m n m n C C C 1 1+-=+
三、二项式定理 如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式： 2、性质： 0241351 2 n n n n n n n C C C C C C -=+++=+++=L L 奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：
选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。
企法顾问反不正当竞争法知识点企法顾问反不正当竞争法知识点汇总 一、欺骗性市场交易行为 1、假冒他人的注册商标; 2、擅自使用知名商品特有的名称、包装、装潢，或者使用与知名商品近似的名称、包装、装潢，造成和他人的知名商品相混淆， 使购买者误认为是该知名商品; 例题：下列情形中，属于欺骗性市场交易行为的有()。(2008年) A.经营者通过电视广告对其产品质量、性能作虚假宣传 B.经营者假冒他人的注册商标 C.经营者擅自使用知名商品的名称 D.经营者在商品上伪造认证标志 答案：BCD 解析：本题考点为欺骗性市场交易行为。根据我国《反不正当竞争法》第五条的规定：“经营者不得采用下列不正当手段从事市场 交易，损害竞争对手：(一)假冒他人的注册商标;(二)擅自使用知名商品特有的名称、包装、装潢，或者使用与知名商品近似的名称、 包装、装潢，造成和他人的知名商品相混淆，使购买者误认为是该 知名商品;(三)擅自使用他人的企业名称或者姓名，引人误认为是他人的商品;(四)在商品上伪造或者冒用认证标志、名优标志等质量标志，伪造产地，对商品质量作引人误解的虚假表示。”从本法条可 以看出，本题的正确答案是BCD。 二、商业贿赂行为
经营者不得采用财物或者其他手段进贿赂赂以销售或者购买商品。在账外暗中给予对方单位或者个人回扣的，以贿赂论处;对方单位或 者个人在帐外暗中收受回扣的，以贿赂论处。 提示：经营者销售或者购买商品，可以以明示方式给对方折扣，可以给中间人佣金。经营者给对方折扣、给中间人佣金的，必须如 实入账。接受折扣、佣金的经营者必须如实入账。 例题：经营者的下列行为不构成商业贿赂的是()。(2007年) A.为购买自己产品的客户提供促销费、宣传费 B.给予中间人佣金，但已如实入账 C.为用户的业务代表提供旅游、考查机会并支付费用 D.给予用户代理人劳务费、咨询费 答案：B 解析：本题考查《反不正当竞争法》中商业贿赂问题。《反不正当竞争法》第八条规定：经营者不得采用财物或者其他手段进贿赂 赂以销售或者购买商品。在账外暗中给予对方单位或者个人回扣的，以贿赂论处;对方单位或者个人在账外暗中收受回扣的，以贿赂论处。经营者销售或者购买商品，可以以明示方式给对方折扣，可以给中 问人佣金。经营者给对方折扣、给中间人佣金的，必须如实入账。 接受折扣、佣金的经营者必须如实入账。正确答案是B。 三、引人误解的虚假宣传 经营者不得利用广告或者其他方法，对商品的质量、制作成分、性能、用途、生产者、有效期限、产地等作引人误解的虚假宣传。 广告的经营者不得在明知或者应知的情况下，代理、设计、制作、 发布虚假广告。 例题：某商场在电视上做广告，声称其新进一批法国巴黎时尚服装，现正进行打折优惠，消费者纷纷前往购买，后来消费者发现服 装并非产自法国，而是由国内厂家生产的，则该商场的行为是()。
计数原理基本知识点 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =??? 种不同的方法 3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫 做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示 5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤） 6 阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=． 7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．． ．用符号m n C 表示． 10．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 或)! (!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 11 组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ； 12．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C
高中计数原理与概率计数原理 一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理 二、疑难知识导析 1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复. 2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成. 3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理. 4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线. 5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多. 三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种 错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案. ∴选B
第九章 计数原理与概率 §9.1 计数原理 一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析 1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复. 2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成. 3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法， 这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理. 4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一 种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线. 5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地 到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种
计数原理、概率 两个基本计数原理 导学目标：理解分类计数原理和分步计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题． 自主梳理 1．分类计数原理 完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n 步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法． 3．分类计数原理与分步计数原理，都是涉及完成一件事的不同方法的种数，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，从思想方法的角度看，分类计数原理的运用是将一个问题进行“分类”思考，分步计数原理是将问题进行“分步”思考． 自我检测 1．(2009·北京改编)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________． 2. 右图小圆圈表示络的结点，结点之间的连线表示它们有线相联，连线上标注的数字表示该段线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________． 3．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种． 4．(2018·湖北改编)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是________． 5. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有________种．(以数字作答) 探究点一分类计数原理的应用 例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958 【答案】D 【解析】 分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ． 点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C.
反不正当竞争法 本法的重点相对比较突出，主要集中第2章“不正当竞争行为”。除此之外，第1章中的第2条也是重点法条，各类考试中经常涉及。 第二条第二、三款本法所称的不正当竞争，是指经营者违反本 本法所称的经营者，是指从事商品经营或者营利性服务(以下所称商品包括服务)的法人、其他经济组织和个人。 【意思分解】 了解第2款关于不正当竞争的定义，注意不正当竞争行为是损害其他经营者利益而非消费者利益的行为。注意本条第3款关于“经营者”的定义和范围，突出经营性、营利性。 第五条经营者不得采用下列不正当手段从事市场交易，损害竞 (一) (二)擅自使用知名商品特有的名称、包装、装潢，或者使用与知名商品近似的名称、包装、装潢，造成和他人的知名商品相混淆，使 (三)擅自使用他人的企业名称或者姓名，引人误认为是他人的商 (四)在商品上伪造或者冒用认证标志、名优标志等质量标志，伪 【意思分解】 1、关于假冒商标的具体情形及认定，可参考以上所引相关法条 2、第(二)项的保护范围包括知名商品的名称、包装、装潢，条 3、第(三) 4、第(四)项保护对象是质量标志和原产地；行为性质是“在商
【真题回顾】 （2005年江苏真题A类） 72、对擅自使用与知名商品相近似的名称、包装、装潢，造成和他人的知名商品相混淆，使购买者误认为是该知名商品的行为判断，依据的是( C )。 A《商标法》B《专利法》 C《反不正当竞争法》D《消费者权益保护法》 【重点法条】 第六条公用企业或者其他依法具有独占地位的经营者，不得限定他人购买其指定的经营者的商品，以排挤其他经营者的公平竞争。 第七条政府及其所属部门不得滥用行政权力，限定他人购买其 政府及其所属部门不得滥用行政权力，限制外地商品进入本地市 【意思分解】 1、以上两个条文实质上是关于反垄断的规定，也称为限制竞争 2、第6条指向公用企业、独占经营者的限定购买行为，公用企 3、第7条指向政府的三个行为：限定购买行为(第1款)、限制外地商品流入、限制本地商品流出行为(第2款)。 4、注意本法第23条关于对第6条行为有权监督检查部门的规定：省级或设区的市的工商行政管理部门(第23条)。 【真题回顾】 （2005年江苏真题B类） 28、以下属于不正当竞争行为的是( C )。 A最高奖金额为5000元的有奖销售B低于成本价格销售鲜活商品 C政府限定外地产品进入本地D政府以竞标方式采购商品
排列组合与计数原理 【复习目标】1.能熟练的判断利用加法原理和乘法原理。简单的排列组合组合数公式。 【复习重难点】加法原理和乘法原理公式的计算及应用。 1.高三（1），（2），（3）班分别有学生52,48,50人。 （1）从中选1人当学生代表的不同方法有____________种； （2）从每班选1人组成演讲队的不同方法有____________种； （3）从这150名学生中选4人参加学代会的不同方法有____________种； （4）从这150名学生中选4人参加数理化三个课外活动小组，共有不同方法有__________种。 2.假设在200件产品中有三件次品，现在从中任意抽取5件，期中至少有2件次品的抽法有__________种。 3.若,64 3n n C A 则n=___________。 例1．在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20，共有________种取法。 变式训练：从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为_______。 例2．从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有______________种. 例3．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_______ . 变式训练：要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，现有5人，每人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有_______ 种不同的排法.
2021年高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练82古典概 型理 1．将一个骰子抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件B 表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C 表示向上的一面出现奇数点，则( ) A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥而非对立事件 C ．B 与C 是互斥而非对立事件 D ．B 与C 是对立事件 答案 A 解析 由题意知，事件A 包含的基本事件为向上点数为1，2，3，事件B 包含的基本事件为向上的点数为4，5，6.事件C 包含的点数为1，3，5.A 与B 是对立事件，故选A. 2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B ．至少有1件次品和全是次品 C ．至少有1件正品和至少有1件次品 D ．至少有1件次品和全是正品 答案 A 解析 依据互斥和对立事件的定义知，B ，C 都不是互斥事件；D 不但是互斥事件而且是对立事件；只有A 是互斥事件但不是对立事件． 3．(xx·广东茂名模拟)在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是( ) A.1 3 B.12 C.16 D.14 答案 D
解析 符合条件的所有两位数为12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45，共12个，能被4整除的数为12，32，52，共3个，故所求概率P ＝312＝1 4 . 4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 C 解析 从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P ＝2 3 . 5．从存放的号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.37 答案 A 解析 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100 ＝0.53，故选A. 6．(xx·天津改编)甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为1 3，则甲获胜的概率 和甲不输的概率分别为( ) A.16，1 6 B.12，23 C.16，23 D.23，12 答案 C 解析 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝1 6. 设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝2 3 .(或设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“乙胜”的对立事件．所以P(A)
第一章、计数原理知识点小结 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1类方案中有1m 种方法， 在第2类方案中有2m 种不同的方法，种方法类方案中有第n m n 那么， 完成这件工作共有 种不同的方法. 2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要 步骤，完成第1步有1m 种不同的方法，完成第 2步有2m 种不同的方法，，种方法步中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同方法。 3.两种方法的区别与联系： 4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细 分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分 别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任 务. 分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。 5.常用的方法有：填空法，使用时注意： 6.常见的题型： （1）有关数字排列问题 例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个 呢？） 变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ 小结： （2）形如n m m n 和的问题。 例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方 法？ 变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同的情 况（没有并列冠军） 小结： （3）涂色问题 4块（ABCD ）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？ 变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不 同，则有多少种不同的涂色方法？ 小结：
知识点总结-选修2-3 计数原理
计数原理知识点 知识网络 一、两个计数原理 1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n 类办法， 在第1类办法中有1m 种不同的办法； 在第2类办法中有2m 种不同的方法； ..... 在第n 类办法中有n m 种不同的方法 那么，完成这件事共有n m m m N 21中不同的方法. 2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤， 做第1步有1m 种不同的方法； 做第2步有2m 种不同的方法； ..... 做第n 步有n m 种不同的方法 那么，完成这件事共有n m m m N 21种不同的方法.
3、两个计数原理的区别 二、排列与组合 1.排列 （1）排列定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 （2）排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同排列的个数叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。用符号m n A 表示. （3）排列数公式： 其中*,N m n ，并且n m 特殊的，当n m 时，即有 ! ! 121m n n m n n n n A m n 1 2321 n n n A n n
n n A 称为n 的阶乘，通常用!n 表示，即 !n A n n 2. 组合： （1）组合定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 （2）组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同组合的个数叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号m n C 表示。 （3）组合数公式： 其中*,N m n ，并且n m ， 规定10 n C 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. （4）组合数的性质： 三、二项式定理 1. 二项式定理：一般地，对于*N n ，有 *)()(222110N n b C b a C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n n n . 右边的多项式叫做n b a )( 的二项展开式，它一共有1 n 项，其中r r n r n b a C 叫做二项展开式的第1 r 项（也称通项），用1 r T 表示，即 r r n r n r b a C T 1 如果在二项式定理中，设x b a ,1，则可以得到公式： ! !! !121m n m n m m n n n n C m n m n n m n C C m n m n m n C C C 1 1
计数原理与概率 一、计数原理与排列组合 1、基础知识：
(3) 组合数的两个性质： （1）C m n =C m n n -；（2）C m n 1+=C m n +C 1 -m n . 2、经典题型 见文库里的专题文章 二、二项式定理 1、基础知识： 1) 二项式定理特征： () 0111*().n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=++ +++∈ ①右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 ②各项的系数r n C 叫做二项式系数 ③r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项 即1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== ④二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减； 二项式系数r n C 中r 从0到n 递增，与b 的次数相同； 每项的次数都是.n 2) 二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项
式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个 数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即 012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02 213 21 12. r r n n n n n n n C C C C C C +-++++ =++ ++ =（1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系 数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n n C - 1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大） 2、经典题型 题型1 求展开式中的指定项和特定项（通项公式是关键） 1) 求系数最大或最小项 例：在二项式11 )1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：r r r r x T C )1(1111 1-= -+ ∴ 要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r 11为最大，由此得5=r ，从而可 知最小,项的系数为 462)1(55 11 -=-C 2) 系数绝对值最大的项 例：在（7 )y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ； 解：求系数绝对最大问题都能够将“n b a )(-”型转化为 ")("n b a +型来处理，
新数学《计数原理与概率统计》高考知识点 一、选择题 1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ> 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】 1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1， ()1409P ξ== ，()1129P ξ==，()141411999 P ξ==--=， 故123E ξ= ，22 214144402199999 D ξ=?+?+?-=. ()22110323P ξ?== =?，()22122 1323 P ξ??===?， 故223E ξ= ，2 221242013399 D ξ=?+?-=, 故12 E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】 离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ． 85 B ． 65 C ． 45 D ． 25 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知，3~(5, )3X B m +，由3 533EX m =? =+，知3~(5,)5 X B ，由此能求出()D X ．
《计数原理》（理）知识点串讲 一、基本计数原理 1．分类加法计数原理 做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的办法，在第二类办法中有2m 种不同的办法，…在第n 类办法中有n m 种不同的办法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的办法． 2．分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法，…，做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =???种不同的方法． 说明：①分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成． ②两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事情，可类比物理中的“并联”电路来理解；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是相依的、不可缺少的，一个步骤只能完成事情的一部分，必须依次完成所有的步骤，才能完成这件事情，可类比物理中的“串联”电路来理解． ③运用两个基本原理解题时，应善于从语言的差异与变化中弄清面临怎样的“一件事”，弄清事件之间的关系是相依还是相斥，然后按照恰当的“对象”进行分类或分步，合理的设计相应的做事方式．分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”．这两个原理是解决排列组合问题的理论基础． 二、排列与组合 1．排列 一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列． 说明：①排列的定义中包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排列”． ②只有取出的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素不完全相同，或元素完全相同而顺序不同的排列属于不同排列．如1，2，3与2，3，4是不同排列；1，2，3与1，3，2也是不同排列． ③排列中元素的有序性是判断一个具体问题是不是排列问题的标准，也是与组合问题的根本区别．例如：从1，2，3，5这四个数中每次任取两个数相加（或相乘），可得到多少个不同的和（积）？因为加法（乘法）满足交换律，它们的和（积）与顺序无关，如3+5=5+3，因此不是排列问题．如果从四个数中任取两个数相减（相除），一共有多少个不同的差（商）？因为减法（除法）不满足交换律，35355353??-≠-≠ ??? ，取出的两个数就与顺序有关了，
【最新】数学《计数原理与概率统计》复习知识点 一、选择题 1．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ． 5108 B ． 113 C ． 17 D ． 710 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】 3311166617()216A P AB C C C +==Q ，111 5556111 6691 ()1216 C C C P B C C C =-= ()()()72161 |2169113 P AB P A B P B ∴= =?= 故选：B 【点睛】 本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题. 2．已知函数，在区间 内任取一点，使 的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】 由 得，故 或 ，由 ，故 或 ，故使 的概率为 . 【点睛】 本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般. 3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v 共线的概率为( ) A ． 13 B ． 14 C ． 16 D ． 112 【答案】D
【分析】 由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r 共线的基本事件的个数，利用 古典概型及其概率的计算公式，即可求解。 【详解】 由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636?=种结果， 又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r 共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果， 所以向量p u r 与q r 共线的概率为31 3612 P = =，故选D 。 【点睛】 本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从 八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ） A ． 314 B ．27 C ． 928 D ． 1928 【答案】A 【解析】 【分析】 列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有： 乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况. 满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种. 故632814p = =. 故选：A .