【黄冈中考】备战2012年中考数学——开放型问题的押轴题解析汇编二

2012年全国各地中考数学压轴题精选（解析版二）11．（2012•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．解题思路：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，②当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t﹣1，∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t﹣，④如图⑥，当＜t≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．综上所述：当0≤t≤时，S=t2，当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣，当＜t≤4时，S=﹣t+．12．（2012•泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．解题思路：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．解答：解：（1）如答图1，连接OB．∵BC=2，OC=1∴OB==∴B（0，）将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式得，解得，∴y=﹣x2+x+．（2）存在．如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．∵B（0，），O（0，0），∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式，得﹣x2+x+=；解得x=1±，∴P（1±，）．（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．设M（x m，y m），则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB =（y m+）x m+（3﹣x m）y m﹣×3×=x m+y m﹣∵y m=﹣x m2+x m+，∴S△MAB=x m+（﹣x m2+x m+）﹣=x m2+x m=（x m﹣）2+∴当x m=时，S△MAB取得最大值，最大值为．13．（2012•铜仁地区）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．解题思路：（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所示．利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．解答：解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c，得方程组…3分解得：∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3 …5分（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4，∴P1（﹣1，4）…7分若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4，∵△ABO为等腰三角形，∴△ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合，∴P2（1，2）…10分（3）如答图2，设点E（x，y），则S△ADE=①当P1（﹣1，4）时，S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|…11分∴2|y|=4+|y|，∴|y|=4∵点E在x轴下方，∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0∴此方程无解…12分②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|，∴2|y|=2+|y|，∴|y|=2∵点E在x轴下方，∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．…14分14．（2012•温州）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．解题思路：（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1和当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标．解答：解：（1）当m=3时，y=﹣x2+6x令y=0得﹣x2+6x=0∴x1=0，x2=6，∴A（6，0）当x=1时，y=5∴B（1，5）∵抛物线y=﹣x2+6x的对称轴为直线x=3又∵B，C关于对称轴对称∴BC=4．（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°∴∠ACH=∠PCB又∵∠AHC=∠PBC=90°∴△AGH∽△PCB，∴，∵抛物线y=﹣x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，又∵B，C关于对称轴对称，∴BC=2（m﹣1），∵B（1，2m﹣1），P（1，m），∴BP=m﹣1，又∵A（2m，0），C（2m﹣1，2m﹣1），∴H（2m﹣1，0），∴AH=1，CH=2m﹣1，∴，∴m=．（3）∵B，C不重合，∴m≠1，（I）当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1，（i）若点E在x轴上（如图1），∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，∴2（m﹣1）=m，∴m=2，此时点E的坐标是（2，0）；（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，∴m﹣1=1，∴m=2，此时点E的坐标是（0，4）；（II）当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，（i）若点E在x轴上（如图3），易证△BPC≌△MEP，∴BC=PM，∴2（1﹣m）=m，∴m=，此时点E的坐标是（，0）；（ii）若点E在y轴上（如图4），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，∴1﹣m=1，∴m=0（舍去），综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），当m=时，点E的坐标是（，0）．15．（2012•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．题思路：（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；（2）存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．如答图1所示，过点E作EG⊥x轴于点G，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积．注意：符合要求的E点有两个，如答图1所示，不要漏解；（3）本问较为复杂，如答图2所示，分几个步骤解决：第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3﹣k；第3步：利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系，得到x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．这一步是为了后续的复杂计算做准备；第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：=1为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论．答：解：（1）∵经过点（﹣3，0），∴0=+m，解得m=，∴直线解析式为，C（0，）．∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（﹣5），解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+x+；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则AC∥EF且AC=EF．如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，又∵，∴△CAO≌△EFG，∴EG=CO=，即y E=，∴=x E2+x E+，解得x E=2（x E=0与C点重合，舍去），∴E（2，），S▱ACEF=；（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，同理可求得E′（+1，），S▱ACE′F′=．（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．根据两点间距离公式得到：M1M2==== ∴M1M2===4（1+k2）．又M1P===；同理M2P=∴M1P•M2P=（1+k2）•=（1+k2）•=（1+k2）•=4（1+k2）．∴M1P•M2P=M1M2，∴=1为定值．16．（2012•梅州）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．（1）①点B的坐标是（6，2）；②∠CAO=30度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为（3，3）；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．解题思路：（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案；（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）①∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）；②∵tan∠CAO===，∴∠CAO=30°；③如下图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3，∴AE==3，∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）；故答案为：①（6，2），②30，③（3，3）；（2）情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，∴∠MNO=60°，∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合，∴点P与D重合，∴此时m=0，情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴；MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60°=（OA﹣IQ﹣OI）•sin60°=（3﹣m）=AM=AN=，可得（3﹣m）=，解得：m=3﹣，情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，过点P作PI⊥OA于I，过点M作MG⊥OA于G，∴MG=，∴QK===3，GQ==，∴KG=3﹣0.5=2.5，AG=AN=1.5，∴OK=2，∴m=2，（3）当0≤x≤3时，如图，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，可得，EF=（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：S梯形=（EF+OQ）•OC=（3+x），当3＜x≤5时，S=S梯形﹣S△HAQ=S梯形﹣AH•AQ=（3+x）﹣（x﹣3）2，当5＜x≤9时，S=（BE+OA）•OC=（12﹣x），当9＜x时，S=OA•AH=．17．（2012•株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．解题思路：（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．解答：解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）…（1分）将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2…（2分）将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2…（3分）（2）如答图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t．∵tan∠ABO===，∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．又N点在抛物线上，且x N=t，∴y N=﹣t2+t+2，∴MN=y N﹣ME=﹣t2+t+2﹣（2﹣t）=﹣t2+4t…（5分）∴当t=2时，MN有最大值4…（6分）（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．…（7分）（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，从而D为（0，6）或D（0，﹣2）…（8分）（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，易得D1N的方程为y=x+6，D2M的方程为y=x﹣2，由两方程联立解得D为（4，4）…（9分）故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）…（10分）18．（2012•南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．解题思路：（1）根据抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如答图1，由已知条件，可以计算出OD、AE等线段的长度．当PQ⊥AD时，过点O作OF⊥AD于点F，此时四边形OFQP、OFAE均为矩形．则在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长度，从而得到时间t的数值；（3）因为OB为定值，欲使△ROB面积最大，只需OB边上的高最大即可．按照这个思路解决本题．如答图2，当直线l平行于OB，且与抛物线相切时，OB边上的高最大，从而△ROB的面积最大．联立直线l和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于0的结论可以求出R点的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），∴，解得∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x．（2）如答图1，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB．∵AD为切线，∴AC⊥AD，∴AD∥OB．∵tan∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴AE=OA•sin∠AOB=4×=2.4，OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×=3．当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t．过O点作OF⊥AD于F，则在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t，由勾股定理得：DF===1.8，∴t=1.8秒；（3）如答图3，设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大．∵tan∠AOB=，∴直线OB的解析式为y=x，由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b．∵点R既在直线l上，又在抛物线上，∴x2﹣2x=x+b，化简得：2x2﹣11x﹣4b=0．∵直线l与抛物线有唯一交点R（相切），∴判别式△=0，即112+32b=0，解得b=，此时原方程的解为x=，即x R=，而y R=x R2﹣2x R=∴点R的坐标为R（，）．19．（2012•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．题思路：（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标；（2）关键是求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值；（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标．注意“△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况，需要逐一讨论，不能漏解．答：解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4）抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4．令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=﹣4，x2=1，∴C（1，0）．（2）如答图1所示，设D（t，0）．∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴E（t，t），P（t，﹣t2﹣3t+4）．PE=y P﹣y E=﹣t2﹣3t+4﹣t=﹣t2﹣4t=﹣（t+2）2+4，∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（﹣2，6）．（3）存在．如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H．设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴NH=AH=4﹣m，∴y Q=4﹣m．又M为OA中点，∴MH=2﹣m．△MON为等腰三角形：①若MN=ON，则H为底边OM的中点，∴m=1，∴y Q=4﹣m=3．由﹣x Q2﹣3x Q+4=3，解得x Q=，∴点Q坐标为（，3）或（，3）；②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即22=（4﹣m）2+（2﹣m）2，化简得m2﹣6m+8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）∴y Q=2，由﹣x Q2﹣3x Q+4=2，解得x Q=，∴点Q坐标为（，2）或（，2）；③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即22=（4﹣m）2+m2，化简得m2﹣4m+6=0，∵△=﹣8＜0，∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．所求Q点的坐标为（，3）或（，3）或（，2）或（，2）．20．（2012•衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x 轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解题思路：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形；（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值．解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，∴，解得a=，b=，∴抛物线解析式为y=x2+x．（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，AG=y A﹣y M=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴t2﹣t+2=，化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，∴点P的坐标为（，）∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C的直线为y AC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴点Q的坐标为（a，）．解法一：设AB与OC相交于点J，∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=∴HT===2﹣a，KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③由△A′KT∽△A′O′B′，得，则KT=④由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（xQ﹣xR）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。

【黄冈中考】备战2012年中考数学——不等式的押轴题解析汇编二不等式（组）1、（2011某某省，3，3分）不等式x-2＜0的解集是（ ）A 、x ＞-2B 、x ＜-2C 、x ＞2D 、x ＜2【解题思路】由不等式的基本性质①，移项可得答案【答案】D ．【点评】本题考查了运用不等式的基本性质①解不等式，移顶时要特别注意改变符号，属送分题，难度较小。

2.（2011某某某某，4,4分）不等式4－3x ≥2x －6的非负整数解有（ ）A.1 个B. 2 个C. 3个D. 4个【解题思路】把不等式直接解出来，在数轴上画出不等式的解集后就很容易找到非负整数解了。

解不等式4－3x ≥2x －6得，2≤x ，非负数有2、1、0,3个，选择C 。

【答案】C【点评】本题考查不等式的解法，注意的是，一个当未知数的系数是负数时，要改变不等号的方向，一个是非负整数要包括零。

本题难度较小。

3．（2011某某日照，6，3分）若不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a -1）x ＜a +5成立，则a 的取值X 围是（A ）1＜a ≤7 （B ）a ≤7 （C ） a ＜1或a ≥7 （D ）a =7【解题思路】由不等式2x ＜4得：x ＜2，且不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a -1）x ＜a +5成立，所以a-1＞0，所以a ＞1，且215≤-+a a ，解得：a ≤7，所以答案选A 。

【答案】A【点评】本题主要考查与不等式组有关的参数问题，这类题目是中考中的常见题型，难度和中等。

4．（2011某某某某，7，4分）某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打( )A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折【解题思路】设可打x 折，则有12008005%800x -≥ 【答案】B 【点评】商品销售的利润率公式为-100%⨯售价进价售价，难度中等。

2012中考数学压轴题精选精析（81-90例）一、解答题1、(2011年湖北随州十校联考数学试题)如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D. 连结AP，△APB为等腰直角三角形。

(1)求a的值和点P、C、D的坐标；(2)连结BC、AC、AD。

将△BCD绕点线段CD上一点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S。

①当点E在（0，1）时，在图25—1中画出旋转后的三角形，并出求S.②当点E在线段CD(端点C、D除外)上运动时，设E(0，b)，用含b的代数式表示S，并判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．解：（1）a=1 P（2，-1） C（0，3） D（0，-3），（各1分，共4分）（2）画出图形（1分）可用相似三角形的面积求S=23（2分）（3）当b≥0如图，可用相似三角形的面积求21(3)6s b=-（2分）当b=0时，S=32（1分）当b＜0时 BD旋转后经过A时，b=-1①-1＜b≤0时，（2分）②b＜-1时（2分）2、(2011年重庆一中摸底试卷)如图等腰直角三角形纸片ABC中，AC=BC=4,90oACB∠=直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A(1，0)，AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止．设平移时间为t(s)，移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与AEF∆重叠的面积为S．(1)求折痕EF的长；(2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线342++=xxy的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；(3)直接写出．．．．S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.解：（1）折痕2EF=（2）2t=（s）（3）212,(02).2s t t t=-+≤≤1,(222).s t=≤≤2121,(2232).4s t t t=-+-≤≤21228,(3242).4s t t t=-+≤≤3、（2011泰兴市济川实验初中初三数学阶段试题）如图，矩形A’B’C’D’是矩形OABC(边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的，O ’点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)．O’C’与AB 交于D 点.(1)如果二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过O ，O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为1-，求这个二次函数的解析式；(2)求D 点的坐标．(3)若将直线OC 绕点O 旋转α度(0<α<90)后与抛物线的另一个 交点为点P ，则以O 、O’、B 、P 为顶点的四边形能否是平行 四边形？若能，求出αtan 的值；若不能，请说明理由．解：(1)x x y 22-= ……3 分(2)D(1,34) ……7分 (3)tan α=1或31……12分(求出一个得3分,求两个得5分)4、（2011年山东三维斋一模试题）如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似． 若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ··· （2分）（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴P E =3 ··························································································· 4分）∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ······································ 6分） (3)假设存在∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ··············································· 7分） 设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m -①点M 在y 轴左侧时，则1m <-(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MG CA∵A G=1m --，MG=21m -即211322m m ---= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 211232m m ---= A BC 'MA 'O xyO ' CD第28题图CPByAoxEyPAoGMC ByPAox解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ··········································································· （10分）② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -∴ 211322m m +-= 解得11m =-（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 211232m m +-= 解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15)∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15) ·································· （12分）5、(2011年深圳市数学模拟试卷)如图13，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的象经过A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)三点，且与y 轴交于点C ． (1)（3分）求顶点M 及点C 的坐标；(2)（3分）若直线y =kx ＋d 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；(3)（4分）点P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：解：(1)因为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)所以，可建立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=c b a c b a c b a 2433900，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a所以，所求二次函数的解析式为y=－x 2＋2x ＋3，所以，顶点M (1，4)，点C (0，3) -------2分(2)直线y=kx+d 经过C 、M 两点，所以⎩⎨⎧=+=43d k d ，即k ＝1，d ＝3，直线解析式为y ＝x ＋3令y ＝0，得x ＝－3，故D (－3，0）∴ CD ＝23，AN ＝23，AD =2，CN =2∴CD ＝AN ，AD =CN∴ 四边形CDAN 是平行四边形(3)假设存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x =1，故可设P (1，0y )，则PA 是圆的半径且PA 2=y 02＋22，过P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，则PQ ＝PA 时以P 为圆心的圆与直线CD 相切。

一、选择题1. （湖北省黄冈市2001年3分）下列运算中：①（－a 3）2＝－a 6；②；③；④33a b ab ab=（a ≥0，b ≤0）．其中正确的运算共有【 】．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. （湖北省黄冈市2002年3分）下列各式计算正确的是【 】 （A ）1262a a a ÷= （B ）()222x y x y +=+ （C ）2x 214x2x -=-+ （D ）53553=÷D 33133555525=⋅=，选项正确。

故选D 。

3. （湖北省黄冈市2003年3分）下列计算中，正确的是【 】．A ．222(a b)a b ＋＝＋B ．325a a 2a ＋＝C ．326(2x )4x －＝D ．11)(1＝－－4. （湖北省黄冈市2003年4分）下列各式经过化简后与327x --是同类二次根式的是【 】．A ．327x B ．3x 27- C ．313x9-- D ．x 3-5. （湖北省黄冈市2004年3分）下列各式计算正确的是【 】A 、（a 5）2=a 7B 、2x ﹣2=C 、3a 2•2a 3=6a 6D 、a 8÷a 2=a 6【答案】D 。

【考点】幂的乘方，负整数指数幂，单项式乘单项式，同底数幂的除法。

【分析】根据幂的乘方，负整数指数幂，单项式乘单项式，同底数幂的除法的知识进行解答：6. （湖北省黄冈市大纲卷2005年3分）已知x、y为实数，且()2x1+ 3y2= 0--，则x –y的值为【】A．3 B．– 3 C．1 D．– 17. （湖北省黄冈市大纲卷2005年3分）下列运算中正确的是【】A．x 5 + x 5 = 2x 10B．– (– x ) 3 ·(– x ) 5 = – x 8C．(– 2x 2y) 3·4x– 3 = – 24x 3y 3D．( 12x – 3 y) (–12x + 3y ) =14x 2– 9 y 2故选B。

2012中考数学压轴题及答案40例（2）5.如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线P H 交y 轴于R ． （1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线P H 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．90AO H Q C H ∠=∠=，AHO QHC ∠=∠，AOH QCH ∴△≌△． ························································································（1分） O H C H ∴=，即H 为AQ 的中点． ···································································（2分）法二：(01)A ，，(01)B -，，O A O B ∴=． ························································（1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ·············································································（2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，RAH PQH ∴△≌△． ·························································································（3分） AR PQ ∴=，又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ·················································（4分）②设214P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2114P Q m =+．过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在R t APG △中，22222222111111444AP AG PG m m m m PQ ⎛⎫⎛⎫=+=-+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴平行四边形APQR 为菱形． ·············································································（6分） （3）设直线P R 为y kx b =+，由O H C H =，得22mH ⎛⎫⎪⎝⎭，，214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得：2021.4m k b km b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 221.4m k b m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P R 为2124m y x m =-． ·······················（7分） 设直线P R 与抛物线的公共点为214x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入直线P R 关系式得：22110424m x x m -+=，21()04x m -=，解得x m =．得公共点为214m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以直线P H 与抛物线214y x =只有一个公共点P ．··········································（8分）6.如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E . （1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上，∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分） 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 41=a .∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=x x y，即xx y -=241. （6分）（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为D (0,-1) E (2,-5). 过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ， 则BG ⊥直线x =2，BG =4.在Rt △BGC 中，BC =522=+BGCG .∵ CE =5，∴ CB =CE =5. ……………………（9分） ②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ， 则点H 的坐标为H (0,-5).又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)， ∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD =90°.∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），∴ BD =DE .即D 是BE 的中点. ………………………………（11分）（3） 存在. ………………………………（12分） 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨⎧=+-=021b k b . 解得1,21-==b k .A BCODExyx =2 G FH∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =21x -1.∵ 动点P 的坐标为(x ，xx -241)，∴21x -1=xx -241. ………………………………（13分）解得531+=x ，532-=x . ∴ 2511+=y ，2511-=y .∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，251-).…（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解： （解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y =－32x2+b x +c 经过点A （0，－4），∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2是方程－32x2+b x +c =0的两个根，∴x 1+x 2=23b ， x1x2=－23c =6·································································· 2分 由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2－4x 1x2=49b2－24∴49b2－24=25解得b =±314 ········································································································· 3分当b =314时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b =－314． ········································································································ 4分解法二：∵x 1、x 2是方程－32x2+b x +c=0的两个根，即方程2x 2－3b x +12=0的两个根． ∴x =4969b 32-±b ，·········································································· 2分∴x 2－x1=2969b2-=5，解得 b =±314 ····························································································· 3分（以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， ···························································································· 5分 又∵y =－32x2－314x －4=－32（x +27）2+625 ······························ 6分∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D ． ·································· 7分（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与 抛物线y =－32x2-314x -4的交点， ························································· 8分 ∴当x =－3时，y =－32×（－3）2－314×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ·········· 9分 四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ·········································· 10分8.已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线B C 的解析式． （2）求A B C △的面积．（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线B C 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出M N B △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，M N B △的面积最大，最大面积是多少？（解析）解：（1）在2334y x =-+中，令0y =23304x ∴-+=12x ∴=，22x =-(20)A ∴-，，(20)B ， ·············································· 1分又 点B 在34y x b =-+上302b ∴=-+32b =B C ∴的解析式为3342y x =-+············································································ 2分（2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 2220x y =⎧⎨=⎩ ·················································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ，4AB ∴=，94C D =······························································································ 5分1994242A B C S ∴=⨯⨯=△ ························································································ 6分（3）过点N 作N P M B ⊥于点PE O M B ⊥ N P E O ∴∥B N P B E O ∴△∽△······························································································· 7分 B N N P B EE O∴= ········································································································· 8分由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴在B E O △中，2B O =，32E O =，则52B E =25322t N P ∴=，65N P t ∴=······················································································ 9分16(4)25S t t ∴=- 2312(04)55S t t t =-+<<··················································································· 10分2312(2)55S t =--+···························································································· 11分此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大∴当点M 运动2秒时，M N B △的面积达到最大，最大为125． ······················· 12分。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题58：开放探究型问题一、选择题二、填空题1. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=2x+6-的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是▲ （只写出符合条件的一个即可）．【答案】5yx=（答案不唯一）。

【考点】开放型问题，反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】设反比例函数的解析式为：kyx=，联立y=2x+6-和kyx=，得k2x+6x-=，即22x6x+k0-=∵一次函数y=2x+6-与反比例函数kyx=图象无公共点，∴△＜0，即268k0< --（），解得k＞9 2。

∴只要选择一个大于92的k值即可。

如k=5，这个反比例函数的表达式是5yx=（答案不唯一）。

2. （2012广东湛江4分）请写出一个二元一次方程组▲ ，使它的解是x=2y=1⎧⎨-⎩．【答案】x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。

【考点】二元一次方程的解。

【分析】根据二元一次方程解的定义，围绕x=2y=1⎧⎨-⎩列一组等式，例如：由x＋y=2＋（－1）=1得方程x＋y=1；由x－y=2－（－1）=3得方程x－y=3；由x＋2y=2＋2（－1）=0得方程x＋2y=0；由2x＋y=4＋（－1）=3得方程2x＋y=3；等等，任取两个组成方程组即可，如x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。

3. （2012广东梅州3分）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是▲ （写出符合题意的两个图形即可）【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。

【考点】平行投影。

【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行。

所以，在同一时刻，这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）。

4. （2012浙江衢州4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式▲ ．【答案】1y=x-（答案不唯一）。

【黄冈中考】备战2012年中考数学——实数的押轴题解析汇编一实数一、选择题1.（2011年某某1，3分）49的平方根为A．7 B.-【解题思路】根据平方根的定义可知选C.正数的平方根有两个，所以排除A，B，D是7的平方根，不合题意。

【答案】C【点评】本题考察平方根的定义，容易将平方根和算术平方根弄混淆，难度较小. 1．（2011某某株洲，1，3分）8的立方根是C．3D．4 A．2B．2【解题思路】由于23＝8，所以8的立方根等于2.【答案】A.．1. （2011某某市第1题,2分）在下列实数中，无理数是〖〗1A．2 B．0 C．5 D．3【解题思路】无理数有三种构成形式：①开放开不尽的数；②与π有关的数；③构造性无理数.5属于开放开不尽的数，是无理数；而选项A,B,D都是有理数，应选C.【答案】选C.【点评】本题考查了无理数的概念，掌握无理数的三种构成形式是解答本题的关键. （2010年某某省宿迁市，1，3分）下列各数中，比0小的数是（▲）A．－1 B．1 C．2 D．π【解题思路】根据负数小于0可得，比0小的数是－1．【答案】A．【点评】本题考查了实数大小的比较．要掌握实数大小的比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；数轴上表示的两个数，右边的比左边的大．难度很小．（2011某某某某，2A ．3B ．－3C ．±3D ．【解题思路】根据算术平方根的意义，可知求的是9的 算术平方根是3.，选A 。

【点评】本题考查了 算术平方根的定义，求解时一定与平方根加以区分，避免混淆。

3．（2011某某某某，3，3 ( ) A ．2B ．3C ．4D ．510介于32和42之间，所以A 、C 、D 不正确 【答案】B【点评】本题考查实数估算大小，转化是解决问题的关键，比较a 、b 的大小，可以转化为比较a 2、b 2的大小，这是数学常见的一种数学思想． 1．（2011某某乌兰察布，1，3分）4的平方根是（ ）A ．2B ．16C ．±2 D．±16【解题思路】选项A 是4的算术平方根；选项B 是4的平方，选项C 是4的平方根，表示为：24±=±，故应选C.【答案】C ．【点评】本题主要考查平方根的定义，解决本题的关键是正确区分一个非负数的算术平方根与平方根．难度较小．2．（2011某某某某，2，3分）下列运算正确的是（ ）A ．(1)1x x --+=+B =C 22=．222()a b a b -=-【解题思路】选项A 是错误，应为(1)1x x --+=-；选项B -＝3；选项C 是正确的，22=D 是错误的，应为2()a b -＝222+a ab b -．故应选C ．【答案】C ．【点评】本题主要考查去括号、去绝对值符号、完全平方公式、根式的运算等知识．难度一般．1．（2011某某内江，1，3分）下列四个实数，比－1小的是（ ）A ．－2B ． 0C ．1D ．2【思路分析】比－1小的数一定是负数，且绝对值一定大于1，故选A ． 【答案】A ．【点评】本题考查了实数大小的比较，正数大于0,0大于负数，负数的绝对值越大，值越小．注意0不是最小的实数，错选B ．5．（2011年某某省某某市，5，3分）下列计算不正确的是（ ）A 、31222-+=-B 、21139⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C 、33-= D =【解题思路】绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

2012年黄冈市中考数学试卷分析黄土岗中心学校黄吉忠2012年黄冈市初中毕业生学业考试数学试卷总分120分，，考试时间为120分钟，现对该卷结合本人教学作如下分析。

一、各题考查内容及能力要求一）、选择题（3分×8﹦24分）1、本题考查了无理数的定义及零指数幂，属基础题，熟练掌握无理数的三种形式是解题的关键。

2、本题考查学生对科学记数法的掌握和有效数字的运用，一定要注意a的形式以及指数n的确定方法。

3、本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方及合并同类项的知识，关键是掌握各部分的运算法则，要朮熟练掌握基本知识。

4、本题考查了几何体的三种视图，掌握其定义是关键，本题是基础题，属常规题型。

5、本题主要考查了矩形的性质和三角形的中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形中位线定理解答。

6、本题是对圆中的垂径定理和解直角三角形的综合运用，解题的关键是利用勾股定理构造直角三角形。

7、本题为探究型题，考查的是二次根式有意义的条件、补角的定义、一元二次方程的解法及反比例函数的性质，熟悉以上知识是解答此题的关键。

8、本题为动点型题，主要考查菱形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟记平行线分线段成比例定理的推论，推出比例式AP：A B﹦CO：CB，再表示出所需线段的长代入即可。

二）、填空题（3分×8﹦24分）9、本题考查了倒数的定义，属于基础题，注重掌握倒数的定义。

10、本题主要考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底。

11、本题考查了分式的化简求值，分式的加减法运算关键是通分；分式的乘除法关键是约分。

12、本题考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，此题比较简单，注意数形结合思想的应用。

13、此题为计算题，考查完全平方公式的知识，其展开形式是解答此题的关键，属于基础题。

14、此题是数形结合，考查了等腰梯形的性质，解答的关键是求出BE及CF的长度，要求熟练记忆等腰梯形的几个性质。

【黄冈中考】备战2012年中考数学——综合型问题的押轴题解析汇编二综合型问题1、(2011杭州，10，3分)在矩形ABCD 中，有一个菱形BFDE （点E 、F 分别在线段AB 、CD 上），记它们的面积分别为S ABCD 和S BFDE ，现给出下列命题：①若232+=BFDE ABCD S S ，则tan ∠EDF =33；②若DE 2=BD·EF ，则DF=2AD . 则（ ） A 、①是真命题，②是真命题 B 、①是真命题，②是假命题 C 、①是假命题，②是真命题 D 、①是假命题，②是假命题【解题思路】根据图像和面积的计算可设BE=2x ，AE =x 3，由菱形的性质可知DE =2x ，在Rt △DAE 中，有勾股定理的DA = x ，所以tan ∠EDF =tan ∠DEA=x xAE DA 3=33； 由菱形面积的计算方法可知：21BD·EF 就是菱形BFDE 的面积，而菱形BFDE 的面积还可以用DF ·AD 计算，所以21DE 2=DF ·AD 化简整理的DF=2AD 【答案】A【点评】本题主要考查有关面积的计算，其中涉及到勾股定理、菱形的性质、锐角三角函数值，是一道综合性很强的题。

难度较大2．（2011内蒙古乌兰察布，24，16分）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点 ⑴求 m 的值；⑵求过 A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；⑶ 若点E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S 1 ，是四边形OACD 面积S 的32?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．【解题思路】⑴设正比例函数和反比例函数的解析式分别为)0(),0(≠=≠=n xny k kx y ∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3)∴133==k ，933=⨯=n ∴x y =，xy 9=∵点B(6,m)在反比例函数xy 9=的图像上 ∴2369==m ⑵由⑴得点B(6，23)， 设直线OA 向下平移后BD 的解析式为：t x y +=把点B(6，23)代入BD 的解析式：t x y +=得29-=t ∴D(0，29-)设过A ( 3 , 3)，B(6，23)，D(0，29-)的抛物线的解析式为)0(292≠-+=a bx ax y 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+232963632939b a b a解得：4,21=-=b a . ∴294212-+-=x x y⑶ ∵BD ：29-=x y ，∴令029=-=x y 得29=x 则C(0,29)∴813529292132921=⨯⨯+⨯⨯=s∴445813532321=⨯==S S 假设存在点E ，则4452929212921=⨯⨯+⨯⨯E y∴21=E y ，令21294212=-+-=x x y解得641-=x ，642+=x （不合题意，舍去）∴)2164(，-E【点评】这是一道典型的数形结合的试题，综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数、点的坐标、方程、直角坐标系中平行线解析式的处理，知识的综合运用能力强，要求学生有直觉猜想、空间想象、合情推理、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎说理等综合能力.难度较大.3.(2011内蒙古呼和浩特,24,8分)如图所示,AC 为⊙O 的直径,且PA ⊥AC ,BC 是⊙O 的一条弦,直线PB 交直线AC 于点D ,23DC DB DP DO ==.(1)求证:直线PB 是⊙O 的切线； (2)求cos ∠BCA 的值.【解题思路】第(1)小题要证切线,须连半径,证垂直.连接OB 、OP ,证明BOP ∆≌AOP ∆即可；第(2)小题要利用平行线性质将所求问题转化为求POA ∠的余弦值,在Rt POA ∆中,设出PA a =,根据已知条件用含a 的代数式表示边OA 、OP 的长,再利用三角函数求之.【答案】(1)证明:连接OB 、OP ………………………………………………………(1分)∵23DC DB DP DO == 且∠D =∠D ∴△BDC ∽△PDO∴∠DBC =∠DPO∴BC ∥OP∴∠BCO =∠POA ∠CBO =∠BOP ∵OB =OC∴∠OCB =∠CBO ∴∠BOP =∠POA 又∵OB =OA OP =OP ∴△BOP ≌△AOP ∴∠PBO =∠PAO 又∵PA ⊥AC ∴∠PBO =90°∴直线PB 是⊙O 的切线 …………………………………(4分) (2)由(1)知∠BCO =∠POAA B C OD P· A BC OD P·MECA设PB a =,则2BD a = 又∵PA PB a ==∴AD = 又∵BC ∥OP ∴2DC CO=∴12DC CA ==⨯=∴OA =∴OP =∴cos ∠BCA =cos ∠POA……………………………………………(8分)(注:其他解法依据情况酌情给分)【点评】本题以基本图形:三角形与圆相结合为背景,综合考查了圆的切线的判定定理、平行线的判定与性质、三角形的相似与全等、等腰三角形性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力.2个小题设问方式较常规,为学生熟知,能让学生正常发挥自己的思维水平.对于在几何图形的证明与求解中,辅助线的添加成为部分学生的一大难题,本题中的2条辅助线添法是关键,就这2条辅助线就可以将中下层面的学生拒之题外.难度较大. 4（2011年四川省南充市10题3分）10.如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个【解题思路】此题易得∠ACE=90°，∴tan∠AEC=AC BCCE CD=∴①成立; 设AC=a,CE=b ，则22111,,,442ABC CDE ACE S a S b S ab ===V V V 而()20,a b -≥故2220,a b ab +-≥ ∴222a b ab +≥，()22112,44a b ab +≥⨯22111442a b ab +≥，即：ABC CDE AECS S S +≥V V V ∴②成立；延长DM 交直线AB 于N,易证△AMN ≌△EMD ，进而得到MD=MN,BD=BN,由等腰三角形三线合一，可得③④成立。