2019深中、华附、省实、广雅四校联考理科数学试题_含答案

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.解析： 1.()()()3133311122i i i z i i i i +===-+--+，3322z i =--，答案选A.2. 对于A ，B ，根据反比例函数的性质可知：11,0a b ab a b>>⇒<，所以A ，B 都不对.对于C ，2111,1b b a >>-⇒<>而，所以选项C 正确；对于D ，取反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====. 3.由已知求得14a =，数列{}n a 的公比12q =，数列{}1n n a a +是首项为8，公比为214q =的等比数列，所以()1223341181432141314n n n n a a a a a a a a -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦++++==--，选C .4.“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以p 是q 的充分条件，另一方面，显然A 、B 在等高处的截面积不恒相等，A 、B 的体积可能相等，因此p 不是q 的必要条件，所以答案选A .5.第1次循环，13n =，13S =；第2次循环，12n =，25S =；第3次循环，11n =，36S =； 第4次循环，10n =，46S =，9n =；当9n =时，退出循环，所以910a <≤，答案选B .6.阴影部分的面积()()440cos sin sin cos 1S x x dx x x ππ=- =+=⎰，正方形面积为24π，所以所)2414π-=.7. 将()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），得到()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将()g x 的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到()()2sin 32sin 3333h x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以()332k k Z ππθπ-=+∈，即()183k k Z ππθ=-+∈，所以θ()0θ>最小值为518π，答案选C.8.52431x x x ⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为()4224255325x C x C ⎛⎛⋅+-⋅=- ⎝⎝，答案选C.9.如图，D 为边BC 的中点，()AP AB AC ⋅+()22226AP AD AP AD AD =⋅=⋅==，答案选B. 10.定义域12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，()f x 是定义域上的偶函数，排除A ；当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除C ；当12x >时，()0f x <，排除D ，所以选B . 11.设，，，由线段1PF 的中垂线过点2F 得，即，得，即，得，解得，故1>，故选D .利用两条直线的垂直关系也可以得到结果.12.()()sin sin3sin sin 2sin sin cos2cos sin2f x x x x x x x x x x x =-=-+=--()()3222sin 1cos2cos sin 22sin 2sin cos 2sin sin cos x x x x x x x x x x =--=-=-2sin cos2x x =-，由()0f x =得到sin 0x =或者cos 20x =.当sin 0x =时，0x =，π，2π；当cos 20x =时，4x π=，34π，54π，74π；所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D.另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令()0f x =，则sin sin 3x x =，在同一坐标系中画出函数sin y x =和sin3y x =的图像，如图所示，两个函数图像在区间[]0,2π有7个交点，所以()f x 有7个零点，其中3个零点是0，π，2π，另外四个零点为图中的1x ，2x ，3x ，4x ，由对称性可知，12x x π+=，343x x π+=AD所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1或1-（答对一个给3分） 14. 3015.()0,16216.12π解析：13.ABC ∆为等腰直角三角形，等价于圆心C 到直线10ax y +-=的距离等于，即2=，解得a =1或1-. 14.设该厂生产x 车皮甲肥料，y 车皮乙肥料获得的利润为z 条件为410181566,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，目标函数为105z x y =+，如图所示，最优解为()2,2，所以max 1025230z =⨯+⨯=. 15.设公差为d ，则根据已知条件得到11331521434a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =+. 1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112122323n n t +⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭恒成立，所以0t >，且()26215182121112323n n n t nn +++<=⎛⎫- ⎪+⎝⎭186215n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭恒成立，由于186215162n n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭当且仅当3n =时取等号，所以()0,162t ∈. 16.考虑到4AO AB AC AD ====，则球心O 与点A 在平面BCD 的两侧，且ABO ∆是等边三角形.由于OB OC OD==，则点O 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的外心，同理，点A 在平面BCD 上的射影也是BCD ∆的外心，设BCD ∆的外心为1O ，从而AO ⊥平面BCD 于点1O ，所以1AO BO ⊥，且1O 是AO 的中点，1BO =1BO 是平面BCD 被球O 所截得的圆的半径，所以圆的面积是12π.三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a cA C=， 所以()sin sin sin cos A C B B =+……………………………………………………………………1分 在ABC ∆中，()sin sin A B C =+所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+……………………………………………………………2分 所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+所以sin cos sin sin B C C B =…………………………………………………………………………3分 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠所以cos sin C C = ……………………………………………………………………………………4分 因为C 是ABC ∆的内角 所以4C π=.……………………………………………………………………………………………5分（没有说明sin 0B ≠或C 的范围，扣1分）（2）在BC D ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =-…………………………6分 因为ABC ∆是等腰直角三角形， 所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===-…………………………………………………………7分 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅=…………………………………………………………………8分 所以平面四边形ABDC 的面积S =ABC S ∆+BCD S ∆5cos sin 4D D =-+544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ………………………………………9分 因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<…………………………………………………………10分 所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， …………………………………………………………11分 此时平面四边形ABDC的面积有最大值54+…………………………………………………12分 18.（1）证明：如图1，在ADE ∆中，1,2,60AD AE A ==∠=︒，得到DE ==1分所以222AD DE AE +=，从而,AD DE BD DE ⊥⊥ ……………………………………………2分 所以在图2中，1,AD DE BD DE ⊥⊥x1A DB ∠是二面角1A DE B --的平面角……………………………………………………………3分所以190A DB ∠=︒，即1A D BD ⊥ 又因为1,A D DE BDDE D ⊥=，,BD DE ⊂平面BCED所以1A D ⊥平面BCED .……………………………………………………………………………5分 （2）方法一：向量法由（1）知，1,,A D DB DE 两两垂直，分别以1,,DB DE DA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ………………………………………………………………………………………6分则()0,0,0D ，()2,0,0B ，()10,0,1A ，12C ⎛⎫⎪⎝⎭，且32BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.………………7分假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1ABD 所成的角为60︒，设3,02BP BC λλ⎛⎫==-⎪⎝⎭，其中[]0,1λ∈，1132,,122A P A D DB BP BC λλ⎛⎫=++==-- ⎪⎝⎭…………………………………………8分平面1BDA 的一个法向量为()0,1,0n =………………………………………………………………9分则111sin60cos ,A P n A P n A P n⋅︒====…………………10分 解得56λ=……………………………………………………………………………………………11分 所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.………………………………………………12分方法二：传统法由（1）知1A D ⊥平面BCED ，因为1A D ⊂平面1ABD ， 所以平面1A BD ⊥平面BCED .………………………………………………………………………6分假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1ABD 所成的角为60︒，作P F B D ⊥于F ，则PF ⊥A 1BCDE F平面1ABD . ……………………………………………………………………………………………7分 连接1A F ，则1P AF ∠就是直线1PA 与平面1ABD 所成的角.………………………………………8分 设PB x=，则11,,222PF x BF x DF x ===-， (9)分1A F ==……………………10分1tan 60x PFA F==︒……………………………11分解得52x =所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.………………………………………………12分 19.解：（1）因为12c a =，所以b a =，……① ………………………………………………1分 将点M 坐标代入椭圆标准方程，得到223314a b+=……② ……………………………………2分联立①②，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. ……………………………………………………………4分 （2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，并设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 中点1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线OM 上，所以121212121222y y y y x x x x ++==++…………………………………………………………………………5分 因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到22221212043x x y y --+=()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=因为121212121,2y y y y k x x x x +-==+-所以32k =-……………………………………………………………………………………………6分 由2214332x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y 得到关于x 的一元二次方程并化简得 ()223330x mx m -+-=()2291230m m ∆=-->，解得m -<7分212123,3m x x m x x -+==……………………………………………………………………………8分原点O 到直线l的距离d =…………………………………………………………………9分12AB x =-=12OABS AB d ∆=⋅⋅==10分()2212m m +-≤=……………………………………………………………………11分当且仅当m =12分综上，当m =OAB ∆l 方程为32y x =-±（没有总结语，扣1分）20.解：（1）……………………………………2分2K 的观测值()21004884224 3.84150509010k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯……………………………………………3分所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关.…………………………………………4分 （2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件. …………5分由统计数据可知：男员工实得计件工资超过3100元的概率为125p =； ……………………6分 女员工实得计件工资超过3100元的概率为212p =. …………………………………………7分 设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为X ，则12,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭；1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为Y ，则21,5YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭. Z 的所有可能取值为0,1,2,3，……………………………………………………………………8分 ()()()()20213300,0002520P Z P X Y P X P Y C ⎛⎫========⨯=⎪⎝⎭ ()()()22121312211,00,125255P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()22121312722,01,1252520P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()212132,12510P Z P X Y ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭…………………………………………………10分随机变量Z 的分布列为…………………………………11分()2717123520105E Z =⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………………12分21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞.()'x af x e x=-…………………………………………………………………………………………1分 ①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 在定义域()0,+∞单调递减，()f x 没有极值点；…………2分②当0a >时，()'x af x e x=-在()0,+∞单调递减且图像连续，()'10a f a e =-<，0x →时，()'f x →+∞，所以存在唯一正数0x ，使得()0'0f x =，函数()f x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，所以函数()f x 有唯一极大值点0x ，没有极小值点.………………………………………………3分 综上：当0a ≤时，()f x 没有极值点；当0a >时，()f x 有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………………4分 （2）方法一：由（1）知，当0a >时，()f x 有唯一极大值点0x ，所以()()00max 0ln xf x f x a x e ==-，()0f x <恒成立⇔()00f x <………………………………………………………………………5分因为00x a e x =，所以()000001ln ln 0a f x a x a x x x ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以001ln 0x x -<. 令()1ln h x x x=-，则()h x 在()0,+∞单调递增， 由于()11.74ln1.7401.74h =-<，()11.8ln1.801.8h =->， 所以存在唯一正数()1.74,1.8m ∈，使得()0h m =，从而()00,x m ∈.………………………………………………………………………………………6分 由于()000ln 0x f x a x e=-<恒成立，①当(]00,1x ∈时，()000ln 0x f x a x e=-<成立；②当()01,x m ∈时，由于00ln 0x a x e -<，所以00ln x e a x <.……………………………………7分令()ln x e g x x =，当()1,x m ∈时，()()1ln '0ln x e x x g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=<，所以()ln x e g x x =在()1,m 单调递减，从而()a g m ≤.因为()()1.74g m g <，且() 1.741.7410.3ln 1.74e g =≈，且a ∈N*，所以10a ≤.…………………………………………………………………………………………………8分下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'x f x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><， 所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，……………………………………9分 所以()()()00000max0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x e x x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……10分令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减， 所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦……………………………………………11分 即10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.所以a 的最大值是10. ………………………………………………………………………………12分方法二：由于()0f x <恒成立，所以() 1.61.6ln1.60f a e =-<， 1.610.5ln1.6e a <≈； () 1.71.7ln1.70f a e =-<， 1.710.3ln1.7e a <≈； () 1.81.8ln1.80f a e =-<， 1.810.3ln1.8e a <≈； 因为a ∈N*，所以猜想：a 的最大值是10. ………………………………………………………6分下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'x f x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><， 所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，……………………………………8分 所以()()()00000max 0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x ex x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……9分令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减， 所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ………………10分 所以()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦……………………………………………11分 即10a =时，()10ln 0x f x x e =-<.所以a 的最大值是10.………………………………………………………………………………12分22．解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 4ρθθ-=……………………………1分 因为cos ,sin x y ρθρθ==所以直线l 普通方程为40x y -+=.………………………………………………………………2分设(),2sin P t t ，则点P 到直线l 的距离13d t π⎛⎫===-- ⎪⎝⎭…………………………4分 当sin 13t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，max d =所以点P 到直线l的距离的最大值为…………………………………………………………5分（2）设曲线C 上任意点()cos ,2sin P a t t ，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，所以cos 2sin 40a t t -+>对t ∀∈R 恒成立，……………………………………………………7分()4t ϕ-<，其中cos ϕϕ==………………………………8分4<………………………………………………………………………………………9分 由于0a >，解得实数a的取值范围是0a <<……………………………………………10分23.解：（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+ <-⎪⎪⎪=--+=-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩…………………………1分 因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩……………………………3分 解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-， 所以不等式()1f x ≥的解集为{}31x x -≤≤-.…………………………………………………5分（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++-…………………………………………………………………………6分 因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立， 所以()min 213t t ++-=……………………………………………………………………………7分因为0m >时，()23f x x m x m =--+=34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧+ <-⎪⎪⎪-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以当32m x =-时，()max 3522m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭…………………………………………………9分 所以532m <， 所以实数m 的取值范围605m <<.…………………………………………………………………10分。

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学命题学校：广东广雅中学定稿人：本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分选择题(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z3i1i，则复数z的共轭复数z的虚部为A.2.设32a 1b1，b 0333C.iD.B.222，则下列不等式中恒成立的是iA.1111B.a b a bC.a b2D.a22b3.已知a是等比数列，na 22，a514，则a a a a a a a a122334n n 1A.1614n B.1612n C.323214 D.3312n4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A、B为两个同高的几何体，p: A、B的体积不相等，q: A、B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图是一个算法流程图，若输入n的值为13，输出S的值是46，则a的取值范围是A. C.9a 1010a 11B.D.9a 108a 9n6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是A.21B.4212C.4212D.167.已知函数f x si n x3cos x，x R，先将f x图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵3坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移0个单位长度，得到的图像关于y轴对称，则的最小值为A.9B.3C.518D.238.41x23x 1x x5的展开式中常数项为A.30B.30C.25D.259.已知P是边长为2的等边三角形ABC边BC上的动点，则AP AB AC的值A.有最大值8B.是定值6C.有最小值2D.与P点的位置有关10.函数fx xe x4x2e1x的部分图像大致是y y y yO x O x O x O x A B C D11.设F1、F2分别是椭圆1a2b2（a b 0）的左、右焦点，若在直线xa2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是A.(0，2]B.(0，]3 C.[22，1) D.[33，1)12.已知函数A.f x5sin x sin3x，x 0,2，则函数3B. C.f x 的所有零点之和等于7D.1 2x2y23第二部分非选择题 (共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置上.13.已知直线axy 1 0与圆C :x 12y a21相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数 a的值为※※ .14.某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐 4 吨、硝酸盐 18 吨；生产一车皮 乙肥料需要磷酸盐 1 吨、硝酸盐 15 吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是 10 万元，生产一车皮 乙肥料产生的利润是 5 万元.现库存磷酸盐 10 吨、硝酸盐 66 吨，如果该厂合理安排生产计划，则 可以获得的最大利润是 ※※ 万元.15.已知等差数列a 的前n 项和为 nS n，且S15 3，aa34 79，数列1a an n 1的前 n 项和为 T n，且对于任意的 nN *， Tna 11 nt，则实数 t 的取值范围为 ※※ .16.在半径为 4 的球 O的球面上有不同的四点 A ，B ，C ，D，若A B AC A D4，则平面BCD被球O所截得的图形的面积为 ※※ .三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每 个试题考生都必须做答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共 60 分.17.（12 分）如图，在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，A且a csi n B cos B.（1）求ACB的大小；BC（2）若ACB ABC，点 A、D 在BC 的异侧，DB 2，DC1，D求平面四边形 ABDC 面积的最大值.18.（12 分）等边ABC 的边长为 3，点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点，且满足AD CE 1DB EA 2（图 1）.将ADE沿DE折起到A DE 1的位置，使二面角ADE B 1成直二面角，连接 A B 1，AC1（图 2）.A A1DEDEB图 1CB图 2C（1）求证： A D 1平面BCED；（2）在线段 BC 上是否存在点 P ，使直线 PA 与平面 ABD 所成的角为 60 ？若存在，求出线11段PB的长；若不存在，请说明理由.19.（12分）已知椭圆x2y2C : 1a b 0a2b213的离心率为，点M 3,22在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线O M交于点N，并且点N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值.20.（12分）某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：每月完成合格产品的件数（单位：百件）(26,28](28,30](30,32](32,34](34,36]频数10453564男员工人数7231811（1）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过3200件的员工，会被评为“生产能手”称号.由以上统计数据填写下面的有关？22列联表，并判断是否有 95％的把握认为“生产能手”称号与性别非“生产能手”“生产能手”合计男员工女员工合计（2）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的（包括2600件），计件单价为1元；超出(0,200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过3100元的人数为Z，求Z的分布列和数学期望.附：K2n ad bca b c d a cb d，PK2kk0.0500.0100.0013.841 6.63510.828221.（12 分）已知函数fx a l n xex， aR .（1）试讨论函数fx的极值点的个数；（2）若aN*，且fx 0恒成立，求 a的最大值.参考数据：x1.61.71.741.810 ex4.9535.4745.6976.05022026ln x0.4700.5310.5540.5882.303（二）选考题：共10 分.请考生从给出的第22、23 两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所 选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为x a cos t y 2sin t（ t为参数，a 0），以坐标原点O为 极 点 ， x轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线l的 极 坐 标 方 程 为cos42 2.（1）设 P是曲线 C上的一个动点，当a 2 3时，求点 P到直线 l的距离的最大值；（2）若曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方，求实数 a 的取值范围.23.（10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 fx x m 2x 3mm 0.（1）当m1时，求不等式fx1的解集；（2）对于任意实数 x ， t ，不等式 f x2 t t 1恒成立，求实数 m 的取值范围.华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案A C C A B B C C B B D D解析：1.z 3i 3i1i1i1i 1i33i22，33z i22，答案选A.2.对于A，B，根据反比例函数的性质可知：a b,ab 011a b，所以A，B都不对.对于C，1b 1b21,而a 1，所以选项C正确；对于D，取反例：a 1.1,a2 1.21,b 0.8,2b 1.6.3.由已知求得a 41，数列an的公比q11，数列a a是首项为8，公比为q22n n 14的等比数列，所以a a a a a a122334a an n 11813214134n ，选C.4.“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以p是q的充分条件，另一方面，显然A、B在等高处的截面积不恒相等，A、B的体积可能相等，因此p不是q的必要条件，所以答案选A.5.第1次循环，n 13，S 13；第2次循环，n 12，S 25；第3次循环，n 11，S 36；第4次循环，n 10，S 46，n 9；当n 9时，退出循环，所以9a 10，答案选B.6.阴影部分的面积S 4cos x sin x dx sin x cos x4021，正方形面积为24，所以所求概率为212421.247.将f x sin x 3cos x 2sin x31图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不3n41变），得到g x 2sin3x3，再将gx的图像上所有点向右平移个单位长度，得到h x2si n3x 32sin3x33，其图像关于y轴对称，所以332k k Z，即18k 5k Z，所以0最小值为，答案选C.3188.41x23x 1x x511的展开式中常数项为x2C43x C225x x，答案选C.9.如图，D为边BC的中点，AP AB AC AP2AD2AP AD2AD26，答案选B.110.定义域x x ，f x是定义域上的偶函数，排除A；当21x 0,2时，Afx 0，排除C；当x12时，fx，排除D，所以选B.B P D C11.设P(a2c,m)，F (c,0)1，F(c,0)2，由线段PF1的中垂线过点F得PF F F 2c2212，即(a2cc)2m22c，得a2a4m24c2(c)22a23c20c c2，即3c42a2c2a40，得3e42e210，解得e213，故1e33，故选D.利用两条直线的垂直关系也可以得到结果.12.f x si n x sin3x sin x sin x2x si n x sin x c os2x cos x sin2xsin x 1cos2x cos x sin2x 2sin3x 2sin x cos2x 2sin x si n2x cos2x2sin x cos2x，由f x0得到si n x 0 或者cos2x 0.当sin x 0 时，x 0，，2；当cos2x 0时，x4357，，，；所以f x的所有零点之和等于7，选D.444另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令 fx0，则s in x sin3x，在同一坐标系42 55中画出函数y sin x和y sin3x的图像，如图所示，两个函数图像在区间0,2有7个交点，所以f x有7个零点，其中3个零点是0，，2，另外四个零点y为图x xO x1x234x中的 x ， x ， x ， x ，由对称性可知， 1234xx12，xx334，所以 f x的所有零点之和等于 7，选 D.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 1或1（答对一个给 3 分）14. 3015.0,16216. 12解析：13.ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 等 价 于 圆 心C到 直 线ax y 1 0的 距 离 等 于2 2， 即 ya 1 212 2，解得 a 1 或 1. 14.设该厂生产 x车皮甲肥料， y车皮乙肥料获得的利润为 z 万元，则约束条件为4x y 1018x 15 y 66，目标函数为z 10 x 5 y，如图所示， (2,2)O xx N , y N最优解为2,2，所以 zmax10 2 5 2 30.15.设 公 差 为d， 则 根 据 已 知 条 件 得 到3a3d 15 1 2a14d 34 1， 解 得a3 1 d 2， 所 以a2n 1 n.1 1 1 11 1 1 1 1， Ta a2 2n 1 2n3 n 23 55 7 n n 11 12n 1 2n 31 1 1 2n 122 3 2n 3 t恒成立，所以 t 0 ，且 t2n 12 1 1 12 3 2n 362n 215n 18n18 6 2n 15n t0,162.恒 成 立 ， 由 于186 2n 15162 n当 且 仅 当 n 3 时 取 等 号 ， 所 以16.考虑到 AO AB AC AD 4 ，则球心 O 与点 A 在平面 BCD 的两侧，且 ABO 是等边三角形.由于OB OC OD ，则点 O 在平面 BCD 上的射影是 BCD 的外心，同理，点 A 在平面 BCD上的射影也是BCD的外心，设BCD 的外心为O 1，从而 AO平面BCD于O点O 1，所以AO B O ，且 O 是 AO 的中点，BO2 3 111，BO 是平面 BCD 1BO1CD被球 O 所截得的圆的半径，所以圆的面积是12 .A三、解答题：满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为a c si n B cos B ，且a csin A sin C，所以sin A sin C si n B cos B (1)分在ABC中，sin A sin BC所以sin B C si n C si n B cos B ……………………………………………………………2分所以sin B cos C cos B sin C sin C sin B sin C cos B所以sin B cos C sin C sin B (3)分因为在ABC中，sin B 0所以cos C sin C (4)分因为C是ABC的内角所以C4.……………………………………………………………………………………………5分（没有说明sin B 0或C的范围，扣1分）（2）在BCD中，BC2BD2CD22B D CD cos D 54cos D (6)分因为ABC是等腰直角三角形，所以SABC 115AB2BC2cos D244 (7)分SBCD 12BD CD si n D sin D (8)分所以平面四边形ABDC的面积S SABC SBCD54cos D sin D52sin D44………………………………………9分因为0 D ，所以4D434 (10)分所以当D 34时，sin D 14，…………………………………………………………11分此时平面四边形ABDC的面积有最大值542 (12)分18.（1）证明：如图1，在ADE中，AD 1,AE 2,A 60，得到DE AD2AE22A D AE cos603 (1)分所以AD2DE2A E2，从而AD D E,BD DE (2)分所以在图2中，AD D E,BD D E1A DB是二面角A DE B11的平面角……………………………………………………………3分所以A DB 901，即A D B D1又因为A D D E,BD DE D1，BD,DE 平面BCED所以A D 平面BCED.……………………………………………………………………………5分1（2）方法一：向量法由（1）知，A D,DB,DE1两两垂直，分别以DB,DE,DA1所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 (6)分则D 0,0,0，B 2,0,0，A 0,0,11133，C,,0，且zA13 33BC ,.0………………7分,22假设线段BC上存在点P，使直线PA与平面A BD所成的11x B DPECy角为60，设BP BC 333,22,0，其中0,1，333A P A D DB BP BC 2, ,1分22 1122 (8)平面BDA1的一个法向量为n 0,1,0 (9)分则sin60cos A P,n1A Pn1A P n13323332132 (10)分解得56……………………………………………………………………………………………11分所以存在满足要求的点P，且线段PB的长度为52 (12)分方法二：传统法由（1）知A D 平面BCED，因为A D 平面ABD，111所以平面A BD1平面BCED (6)分假设线段BC上存在点P，使直线PA与平面ABD所成的角为60，作PF BD于F ，则11PF A 1平. ................................................B (7)面连接A F1，则PA F1就是直线PA1与平面A BD1所成的角 (8)分设PB x，则PF311x,BF x,DF 2x222，……9分A1A F A D2 11DF2152x x42……………………10分FDEPF A F13x252x14x2tan60……………………………11分B P C解得x 5 2所以存在满足要求的点P，且线段PB的长度为52 (12)2222分19.解：（1）因为c1b3，所以a2a2，……①………………………………………………1分将点M坐标代入椭圆标准方程，得到331a24b2......② (2)分联立①②，解得分a 2b 3 (3)所以椭圆C的标准方程为分x2y2143 (4)（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y kx m，并设A x,y ，B x,y1122，线段AB中点x x y yN12,1222在直线OM上，所以y y122x x122y y112x x212…………………………………………………………………………5分x214因为x224y2113y2212，两式相减得到x2x2y2y21212043x 1x2x x y y121243y1y20因为y y1y y 12,12k x x2x x1212所以k 32 (6)分x2y2143由3y x m2，消去y得到关于x的一元二次方程并化简得3x23mx m239m212m230，解得23m 23 (7)分x x m,x x1212分m233 (8)原点O到直线l的距离dm1k2 (9)分AB 1k2x x 1k21212m23SOAB 1mAB d2212m2m212m2323 (10)分m212m22233 (11)分当且仅当分m 6时取等号 (12)综上，当m 6时，OAB面积最大值为3，此时直线l方程为y 32x 6.（没有总结语，扣1分）20.解：（1）非“生产能手”“生产能手”合计男员工女员工4842285050 (2)分K 2的观测值k 1004884225050901024 3.841 (3)分所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关.................................................4分（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件. (5)分由统计数据可知：男员工实得计件工资超过 3100 元的概率为p12 5； ……………………6 分女员工实得计件工资超过 3100 元的概率为p21 2. …………………………………………7 分设 2 名女员工中实得计件工资超过 3100 元的人数为 X ，则 X1；1 名男员工中实得计件工资超过 3100 元的人数为Y，则Y2.Z的所有可能取值为 0,1,2,3，……………………………………………………………………8 分P Z 0P X 0,Y 0P X 0PY 0C 02 5 201 3 12 2P Z 1P X 1,Y 0P X 0,Y 1 C 12 5 2 5 51 3 12 7P Z 2P X 2, Y 0P X 1,Y1C 12 52 5 201 2 1 P Z 3P X 2,Y 12 5 10分 (10)随机变量 Z 的分布列为Z1 2 3分P3 20 2 57 20 1 10 (11)2 7 1 7 E Z1 2 3 5 20 10 5分 (12)21.解：（1）函数f x的定义域为0,.f 'xa xB 2,2 B 1,521 3 322222222ex… (1)分①当a时，f ' x 0， f x在定义域0,单调递减， f x没有极值点；…………2 分②当a 0时，f'x axe x在0,单调递减且图像连续，f 'a 1e a0，x 0时，f 'x ，所以存在唯一正数x，使得f 'x000，函数f x 在0,x0单调递增，在x,单调递减，所以函数f x有唯一极大值点x，没有极小值点.………………………………………………3分综上：当a 0时，f x没有极值点；当a 0时，fx有唯一极大值点，没有极小值点 (4)分（2）方法一：由（1）知，当a 0时，f x有唯一极大值点x，所以f xmax f x a l n x e x000，f x0恒成立 fx0分 (5)因为axe0，所以a 1f x a ln x a ln x 0x x00，所以1lnx 0x.令hx l n x 1x，则h x 在0,单调递增，由于h 1.74ln1.74110，h1.8ln1.801.74 1.8，所以存在唯一正数m 1.74,1.8，使得hm0，从而分x0,m (6)由于fx0a ln x e x00恒成立，①当x00,1时，f xa ln xe x00成立；②当x 1,m时，由于a ln x ex000xe x00，所以a (7)ln x分令gxe xln x，当x 1,m时，g'xe x ln xl n x21x0，所以gxe xln x在1,m单调递减，从而a g m.因为g m g 1.74，且g 1.74e1.74ln1.7410.3，且a N*，所以a 10分 (8)下面证明a 10时，f x10l n x e x 0.f'x 10xe x，且f 'x 在0,单调递减，由于f ' 1.740,f'1.80，所以存在唯一x1.74,1.8，使得f 'x10xe00， (9)分所以f xm a x f x10ln x e010l n10x10x10ln10x1x (10)分令u x 10ln10x 1x，x 1.74,1.8，易知u x 在1.74,1.8单调递减，所以u x u 1.7410ln10 1.7411.7410 2.3032.310，所以fxmax f x 10ln10x001x0 (11)分即a 10时，f x 10ln x e x 0.所以a的最大值是10 (12)分方法二：由于f x 0恒成立，所以f 1.6a ln1.6e1.60，ae1.6ln1.6xx10.5；f 1.7a ln1.7e1.70，ae1.7ln1.710.3；f 1.8a ln1.8e1.80，ae1.8ln1.810.3；因为a N*，所以猜想：a的最大值是10.………………………………………………………6分下面证明a 10时，f x10l n x e x 0.f'x exx，且f 'x 在0,单调递减，由于f ' 1.740,f'1.80，所以存在唯一x1.74,1.8，使得f 'x10xe00， (8)分所以fxmax10f x 10ln x e010ln10x 10ln10xx1x. ……9分令u x 10ln10x1x，x 1.74,1.8，易知u x 在1.74,1.8单调递减，所以u x u 1.7410l n10 1.7411.7410 2.3032.310，………………10分所以fxmaxf x 10ln10x001x0……………………………………………11分即a 10时，f x10l n x e x 0.所以a的最大值是10.………………………………………………………………………………12分22．解：（1）由cos422，得到cos si n4……………………………1分因为cos x,sin y所以直线l 普通方程为x y 40.………………………………………………………………2分设P 23c os t,2sin t ，则点P到直线l的距离d分10xx00004sin t 4323cos t 2sin t 422sin t 1322 (4)当sin t31时，d 42max所以点P到直线l的距离的最大值为42 (5)分（2）设曲线C上任意点P a cos t,2sin t ，由于曲线C上所有的点都在直线l的右下方，所以a cos t 2sin t 40对t R恒成立，……………………………………………………7分a24sin t 4，其中c os2a24,sinaa24………………………………8分从而a244 (9)分由于a 0，解得实数a的取值范围是0a 23 (10)分3x 4,x2323.解：（1）当m 1时，f x x 12x 33x 2,x 12x4,x 1分 (1)因为fx133x x1，所以2或者2x 413x21或者x 1x 41……………………………3分解得：3x33或者x122，所以不等式fx1的解集为x 3x 1.…………………………………………………5分（ 2 ）对于任意实数x，t ，不等式 f x 2t t1恒成立，等价于fxmax2t t 1min (6)分因为2t t 12tt 13，当且仅当2tt10时等号成立，所以2t t 13 (7)min分因为m 0时，f x3mx 4m,x23mx m 2x 3m 3x2m ,x m2x4m,x m函数f x单增区间为,3m23m ，单间区减为,，2所以当x 3m2时，3m 5mf x fmax 22 (9)分所以5m23，所以实数m的取值范围0m 65 (10)分。

2019届华附、省实、广雅三校广州一模后联合适应性考试理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{1,2,3,4},{1,2},{2,4},()U U A B C A B ===⋃=则 （ ）A ．}2{B ．}3{DC ．}4,2,1{D.}4,1{2．已知函数()12f x x =-，若3(log 0.8)a f =，131[()]2b f =，12(2)c f -=，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<3.下列命题不正确．．．的是 A ．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直； B ．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行； C ．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直；D ．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行x1)<的图象的大致形状是 （ ）5. 设A 1、A 2为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的点P ，使得02=⋅PA ，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A 、)21,0( B 、 )22,0( C 、)1,21( D 、)1,22(6在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF的长度的取值范围为 A. 1⎫⎪⎭ B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1,⎡⎣ D.7. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为A. 0.0324B.0.0434C.0.0528D.0.05628.任意a 、R b ∈，定义运算⎪⎩⎪⎨⎧>-≤⋅=*.0 , ,0, ab b a ab b a b a ，则xe x xf *=)(的A.最小值为e -B.最小值为e 1-C.最大值为e1- D.最大值为e二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。

华附、省实、深中、广雅2019届高三年级四校联考数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页， 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的、考号填写在答题卡上.2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分 选择题 (共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知31iz i =-，则复数z 的共轭复数z 的虚部为 A.32- B.32C.32i-D.32i2.设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是A.b a 11<B.b a 11>C.2a b >D.22a b >3.已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则1223341n n a a a a a a a a +++++=L A.()1614n --B.()1612n --C.()32143n-- D.()32123n -- 4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图是一个算法流程图，若输入n 的值为13，输出S 的值是46，则a 的取值围是 A.910a ≤< B.910a <≤ C.1011a <≤D.89a <≤sin y x =6.1-B.)241πC.)241πD.167.已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，先将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到的图像关于y 轴对称，则θ的最小值为 A.9πB.3πC.518πD.23π8.52431x x x ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为 A.30-B.30C.25-D.259.已知P 是边长为2的等边三角形ABC 边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值A.有最大值8B.是定值6C.有最小值2D.与P 点的位置有关10.函数()()241x x x e e f x x --=-的部分图像大致是A B C D11.设1F 、2F 分别是椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2a x c =上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值围是A.(0B.(0C.1)D.1)12.已知函数()sin sin3f x x x =-，[]0,2x π∈，则函数()f x 的所有零点之和等于 A.0B.3πC.5πD.7π第二部分 非选择题 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上. 13.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ※※ .14.某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是 ※※ 万元. 15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且315S =，7934a a +=，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，且对于任意的n ∈N *，11n n a T t+<，则实数t 的取值围为 ※※ . 16.在半径为4的球O 的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若4AB AC AD ===，则平面BCD 被球O 所截得的图形的面积为 ※※ .三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分.17.（12分）如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.（1）求ACB ∠的大小；（2）若ACB ABC ∠=∠，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值.18.（12分）等边ABC ∆的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（图1）.将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1A C （图2）.（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出线段PB 的长；若不存在，请说明理由.图1图219.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，点M ⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与直线OM 交于点N ，并且点N 是线段AB 的中点，求OAB ∆面积的最大值.20.（12分）某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：由以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以的（包括2600件），计件单价为1元；超出(0,200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过3100元的人数为Z ，求Z 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a bc d a c b d -=++++，21.（12分）已知函数()ln xf x a x e =-，a ∈R .（1）试讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若a ∈N*，且()0f x<恒成立，求a 的最大值. 参考数据：（二）选考题：共10分.请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，数a 的取值围.23.（10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()23f x x m x m =--+()0m >. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，数m 的取值围.数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.解析： 1.()()()3133311122i i i z i i i i +===-+--+，w ，答案选A. 2. 对于A ，B ，根据反比例函数的性质可知：11,0a b ab a b>>⇒<，所以A ，B 都不对.对于C ，2111,1b b a >>-⇒<>而，所以选项C 正确；对于D ，取反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====. 3.由已知求得14a =，数列{}n a 的公比12q =，数列{}1n n a a +是首项为8，公比为214q =的等比数列，所以()1223341181432141314n n n n a a a a a a a a -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦++++==--L ，选C.4.“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以p 是q 的充分条件，另一方面，显然A 、B 在等高处的截面积不恒相等，A 、B 的体积可能相等，因此p 不是q 的必要条件，所以答案选A.5.第1次循环，13n =，13S =；第2次循环，12n =，25S =；第3次循环，11n =，36S =； 第4次循环，10n =，46S =，9n =；当9n =时，退出循环，所以910a <≤，答案选B.6.阴影部分的面积()()440cos sin sin cos 1S x x dx x x ππ=- =+=⎰，正方形面积为24π，所以所求概率为)224114ππ--=.7. 将()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），得到()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将()g x 的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到()()2sin 32sin 3333h x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以()332k k Z ππθπ-=+∈，即()183k k Z ππθ=-+∈，所以θ()0θ>最小值为518π，答案选C. 8.52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为()4224255325x C x C ⎛⎛⋅+-⋅=- ⎝⎝，答案选C.9.如图，D 为边BC 的中点，()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r()22226AP AD AP AD AD =⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，答案选B.10.定义域12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，()f x 是定义域上的偶函数，排除A ；当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除C ；当12x >时，()0f x <，排除D ，所以选B. 11.设2(,)a P m c ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由线段1PF 的中垂线过点2F 得2122PF F F c ==，即2c =，得242222224()230a a m c c a c c c =--=-++≥，即4224320c a c a +-≥，得423210e e +-≥，解得213e ≥，故1>e ≥ D.利用两条直线的垂直关系也可以得到结果.12.()()sin sin3sin sin 2sin sin cos2cos sin2f x x x x x x x x x x x =-=-+=--()()3222sin 1cos2cos sin22sin 2sin cos 2sin sin cos x x x x x x x x x x =--=-=-2sin cos2x x =-，由()0f x =得到sin 0x =或者cos20x =.当sin 0x =时，0x =，π，2π；当cos20x =时，4x π=，34π，54π，74π；所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D.另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令()0f x =，则sin sin3x x =，在同一坐标系中画出函数sin y x =和sin 3y x =的图像，如图所示，两个函数图像在区间[]0,2π有7个交点，所以()f x 有7个零点，其中3个零点是0，π，2π，另外四个零点为图中的1x ，2x ，3x ，4x ，由对称性可知，12x x π+=，343x x π+=，所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1或1-（答对一个给3分） 14. 3015.()0,16216.12π解析：13.ABC ∆为等腰直角三角形，等价于圆心C 到直线10ax y +-=的距离等于2，即2=，解得a =1或1-. 14.设该厂生产x 车皮甲肥料，y 车皮乙肥料获得的利润为z 条件为410181566,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，目标函数为105z x y =+，如图所示，最优解为()2,2，所以max 1025230z =⨯+⨯=. 15.设公差为d ，则根据已知条件得到11331521434a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =+. 1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1112122323n n t +⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭恒成立，所以0t >，且()26215182121112323n n n t nn +++<=⎛⎫- ⎪+⎝⎭186215n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭恒成立，由于186215162n n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭当且仅当3n =时取等号，所以()0,162t ∈.16.考虑到4AO AB AC AD ====，则球心O 与点A 在平面BCD 的两侧，且ABO ∆是等边三角形.由于OB OC OD ==，则点O 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的外心，同理，点A 在平面BCD 上的射影也是BCD ∆的外心，设BCD ∆的外心为1O ，从而AO ⊥平面BCD 于点1O ，所以1AO BO ⊥，且1O 是AO的中点，1BO =1BO 是平面BCD 被球O 所截得的圆的半径，所以圆的面积是12π.三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a cA C=， 所以()sin sin sin cos A C B B =+…………………………………………………………………1分 在ABC ∆中，()sin sin A B C =+所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+……………………………………………………………2分所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+所以sin cos sin sin B C C B =………………………………………………………………………3分 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠所以cos sin C C = …………………………………………………………………………………4分 因为C 是ABC ∆的角 所以4C π=.……………………………………………………………………………………………5分（没有说明sin 0B ≠或C 的围，扣1分）（2）在BCD ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =-………………………6分 因为ABC ∆是等腰直角三角形， 所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===-………………………………………………………7分 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅=………………………………………………………………8分 所以平面四边形ABDC 的面积S =ABC S ∆+BCD S ∆5cos sin 4D D =-+544D π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ………………………………………9分 因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<………………………………………………………10分 所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， …………………………………………………………11分此时平面四边形ABDC的面积有最大值54+.………………………………………………12分 18.（1）证明：如图1，在ADE ∆中，1,2,60AD AE A ==∠=︒，得到DE ==……………………………………………1分所以222AD DE AE +=，从而,AD DE BD DE ⊥⊥ …………………………………………2分 所以在图2中，1,A D DE BD DE ⊥⊥1A DB ∠是二面角1A DE B --的平面角……………………………………………………………3分所以190A DB ∠=︒，即1A D BD ⊥又因为1,A D DE BD DE D ⊥=I ，,BD DE ⊂平面BCED所以1A D ⊥平面BCED .……………………………………………………………………………5分 （2）方法一：向量法由（1）知，1,,A D DB DE 两两垂直，分别以1,,DB DE DA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ……………………………………………………………………………………6分则()0,0,0D ，()2,0,0B ，()10,0,1A，12C ⎛⎫⎪⎝⎭，且32BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r .………………7分假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，设3,,022BP BC λλλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，其中[]0,1λ∈，1132,12A P A D DB BP BC λλ⎛⎫=++==-- ⎪⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r………………………………………8分平面1BDA 的一个法向量为()0,1,0n =r……………………………………………………………9分则111sin 60cos ,A P n A P n A P n⋅︒==u u u r r u u u r ru u u r r==………………10分 解得56λ=……………………………………………………………………………………………11分 所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.……………………………………………12分方法二：传统法由（1）知1A D ⊥平面BCED ，因为1A D ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面BCED .…………………………………………………………………6分 假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，作PF BD ⊥于F ，则PF ⊥平面1A BD . …………………………………………………………………………………7分连接1A F ，则1PA F ∠就是直线1PA 与平面1A BD 所成的角.……………………………………8分 设PB x =，则11,,222PF x BF x DF x ===-，……9分1A F ==分1tan 60x PFA F==︒……………………………11分解得52x =所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.……………………………………………12分 19.解：（1）因为12c a =，所以b a =，……① ………………………………………………1分 将点M 坐标代入椭圆标准方程，得到223314a b+=……② …………………………………2分联立①②，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………………3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. ……………………………………………………………4分 （2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，并设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 中点1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线OM 上， 所以121212121222y y y y x x x x ++==++…………………………………………………………………………5分 因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到22221212043x x y y --+= ()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=因为121212121,2y y y y k x x x x +-==+-所以32k =-…………………………………………………………………………………………6分由2214332x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y 得到关于x 的一元二次方程并化简得 ()223330x mx m -+-=()2291230m m ∆=-->，解得m -<<分212123,3m x x m x x -+==…………………………………………………………………………8分 原点O 到直线l的距离d =………………………………………………………………9分12AB x =-=12OABS AB d ∆=⋅⋅==分()2212m m+-≤=…………………………………………………………………11分当且仅当m =时取等号………………………………………………………………………12分综上，当m =时，OAB ∆l 方程为32y x =-±（没有总结语，扣1分） 20.解：（1）…………………………………2分2K 的观测值()21004884224 3.84150509010k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯…………………………………………3分所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关.…………………………………………4分 （2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件. …………5分由统计数据可知：男员工实得计件工资超过3100元的概率为125p =； ……………………6分女员工实得计件工资超过3100元的概率为212p =. …………………………………………7分 设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为X ，则12,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:；1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为Y ，则21,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:.Z 的所有可能取值为0,1,2,3，……………………………………………………………………8分 ()()()()20213300,0002520P Z P X Y P X P Y C ⎛⎫========⨯= ⎪⎝⎭ ()()()22121312211,00,125255P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()22121312722,01,1252520P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()212132,12510P Z P X Y ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭………………………………………………10分随机变量Z 的分布列为………………………………11分()2717123520105E Z =⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………………12分21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞.()'x af x e x=-………………………………………………………………………………………1分 ①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 在定义域()0,+∞单调递减，()f x 没有极值点；…………2分 ②当0a >时，()'x af x e x=-在()0,+∞单调递减且图像连续，()'10a f a e =-<，0x →时，()'f x →+∞，所以存在唯一正数0x ，使得()0'0f x =，函数()f x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，所以函数()f x 有唯一极大值点0x ，没有极小值点.………………………………………………3分 综上：当0a ≤时，()f x 没有极值点；当0a >时，()f x 有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………………4分 （2）方法一：由（1）知，当0a >时，()f x 有唯一极大值点0x ，所以()()00max 0ln xf x f x a x e ==-，()0f x <恒成立⇔()00f x <……………………………………………………………………5分因为00x a e x =，所以()000001ln ln 0a f x a x a x x x ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以001ln 0x x -<. 令()1ln h x x x=-，则()h x 在()0,+∞单调递增， 由于()11.74ln1.7401.74h =-<，()11.8ln1.801.8h =->，所以存在唯一正数()1.74,1.8m ∈，使得()0h m =，从而()00,x m ∈.………………………………………………………………………………………6分 由于()000ln 0x f x a x e=-<恒成立，①当(]00,1x ∈时，()000ln 0x f x a x e=-<成立；②当()01,x m ∈时，由于00ln 0x a x e -<，所以00ln x e a x <.……………………………………7分令()ln x e g x x =，当()1,x m ∈时，()()21ln '0ln x e x x g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=<，所以()ln x e g x x =在()1,m 单调递减，从而()a g m ≤.因为()()1.74g m g <，且() 1.741.7410.3ln1.74e g =≈，且a ∈N*，所以10a ≤.…………………………………………………………………………………………………8分下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'xf x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><， 所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，…………………………………9分所以()()()00000max 0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x ex x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……10分 令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减， 所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()00max0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ …………………………………………11分即10a =时，()10ln 0x f x x e =-<.所以a 的最大值是10. ………………………………………………………………………………12分方法二：由于()0f x <恒成立，所以() 1.61.6ln1.60f a e =-<， 1.610.5ln1.6e a <≈； () 1.71.7ln1.70f a e =-<， 1.710.3ln1.7e a <≈； () 1.81.8ln1.80f a e =-<， 1.810.3ln1.8e a <≈； 因为a ∈N*，所以猜想：a 的最大值是10. ………………………………………………………6分 下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'xf x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><， 所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，…………………………………8分 所以()()()00000max0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x e x x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……9分令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减， 所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ………………10分所以()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦……………………………………………11分 即10a =时，()10ln 0x f x x e =-<.所以a 的最大值是10.………………………………………………………………………………12分 22．解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 4ρθθ-=……………………………1分因为cos ,sin x y ρθρθ==所以直线l 普通方程为40x y -+=.………………………………………………………………2分设(),2sin P t t ，则点P 到直线l 的距离13d t π⎛⎫===-- ⎪⎝⎭………………………4分当sin 13t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，max d =所以点P 到直线l的距离的最大值为分 （2）设曲线C 上任意点()cos ,2sin P a t t ，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方， 所以cos 2sin 40a t t -+>对t ∀∈R 恒成立，……………………………………………………7分()4t ϕ-<，其中cos ϕϕ==………………………………8分4<……………………………………………………………………………………9分 由于0a >，解得实数a的取值围是0a <<分23.解：（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+ <-⎪⎪⎪=--+=-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩………………………1分因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩……………………………3分解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-， 所以不等式()1f x ≥的解集为{}31x x -≤≤-.…………………………………………………5分 （2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++-………………………………………………………………………6分因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立， 所以()min213t t ++-=…………………………………………………………………………7分因为0m >时，()23f x x m x m =--+=34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧+ <-⎪⎪⎪-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以当32m x =-时，()max 3522m mf x f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭………………………………………………9分 所以532m<， 所以实数m 的取值围605m <<.………………………………………………………………10分。

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足(1)1+=−i z i ，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且（（+⊥−a b a b )23)，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π345.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.213 B.72C. √ 3D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（ ） A ．+R S R(1cos )B ．−R S R (1cos )C ．2sin R S RD ．sin R S R7.若（（ac e c b −=−=1)1)ln 1则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列a n {}的前n 项和S n ，且a a a n a n n n n =++−−−1882111，n n N ≥∈+(2,)，若a =11，则 A ．S <<2024523 B ．S <<2024252C ．S <<2024322 D ． S <<2024132二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则a a b b +<+1log log (1)10. 已知圆C 1：x y +=221，圆C 2：−++=x y r (3)(4)222r >0（），P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（ ）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为x y −−=6810C .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则∠APB 不可能等于 π2 11.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线x y −=2241，则此双曲线的渐近线方程为 ．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为 ． 15.已知函数f x x =−ωπ2()sin (3)(ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数f x x x =−−+−2()43和函数()ln()=−g x ax axe x 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e 的不等式，计算范围，即可。

广东华附、实、深中、广雅四校2019高三上年末联考-数学理数学〔理科〕本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，总分值150分，考试用时120分钟。

本卷须知1、考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2、选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题〔共40分〕一. 选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题的4个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，假设P∩Q＝{0}，那么P∪Q=A、{3,0}B、{3,0,1}C、{3,0,2}D、{3,0,1,2}2.复数－i＋1－i1 + i＝A、－2iB、12iC、0D、2i3.在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，那么a8·a10·a12等于A、16B、32C、64D、2564.假设平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P l，那么以下命题中是假命题的为A、过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB、过点P垂直于直线l的直线在平面α内C、过点P垂直于平面β的直线在平面α内D、过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β5.观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：假设定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(－x)＝A、f(x)B、－f(x)C、g(x)D、－g(x)6.给出下述四个命题中：①三角形中至少有一个内角不小于60°；②四面体的三组对棱基本上异面直线；③闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点；④当k>0时，方程x2+ky2=1的曲线是椭圆.其中正确的命题的个数有A 、1B 、2C 、3D 、47.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，他投篮一次得分的均值为2，那么2a ＋13b 的最小值为 A 、323B 、283C 、143D 、1638.定义域为R 的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg |x －2|，x ≠ 21 ，x =2 ，假设关于x 的方程f 2(x )+bf (x )+c =0恰有5个不同的实数解x 1,x 2,x 3,x 4,x 5，那么f (x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)等于 A 、lg 2 B 、2lg 2 C 、3lg 2 D 、4lg 2第二部分非选择题〔110分〕【二】填空题:〔本大题共6小题,每题5分,共30分〕. 〔一〕必做题〔9～13题〕：9.从0，1，2，3，4这5个数字中，任取3个组成三位数，其中奇数的个数是*****；10.执行图中的算法后，假设输出的y 值大于10，那么输入x 的取值范围是*****； 11.e 1、e 2、e 3为不共面向量，假设a ＝e 1＋e 2＋e 3，b＝e 1－e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 2－e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝x a ＋y b ＋z c ，那么x 、y 、z 分别为*****、 12.函数y =(tanx －1)cos 2x 的最大值是*****、13.正整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，那么第60个数对是*****、〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题，两题都选的只计算14题的得分.〕14.〔坐标系与参数方程〕在极坐标中，圆ρ=4cos θ的圆心C 到直线ρsin (θ+π4 )=2 2 的距离为*****.15、〔几何证明选讲〕如下图，⊙O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD =4,BD =8，那么⊙O 的半径等于*****.三、解答题:〔本大题共6小题,共80分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤〕16.〔此题总分值12分〕数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +cn 〔c 是常数，n =1,2,3，……〕，且a 1，a 2，a 3成公比不为的等比数列、 〔Ⅰ〕求c 的值；〔Ⅱ〕求{a n }的通项公式、 17.〔此题总分值12分〕△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量→m =(cos C 2 ,sin C2 )，→n =(cos C2 ,－sinC2 )，且→m与→n的夹角为3 .〔Ⅰ〕求角C的值；〔Ⅱ〕c=3，△ABC的面积S=4 33，求a+b的值.18.〔此题总分值14分〕某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周【一】周【三】周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学能够在规定期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也能够放弃任何一门科目的辅导讲座、(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否那么称为不满座)统计数据说明，各学科(Ⅰ)(Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望、19.〔此题总分值14分〕如图，在三棱锥V －ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC =BC =a ，∠VDC =θ(0<θ<π2 )〔Ⅰ〕求证：平面VAB ⊥平面VCD ；〔Ⅱ〕当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围、20.〔此题总分值14分〕 焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心，1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称、 〔Ⅰ〕求双曲线C 的方程；〔Ⅱ〕设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线通过M 〔－2，0〕及AB 的中点，求直线在y 轴上的截距b 的取值范围；〔Ⅲ〕假设Q 是双曲线C 上的任一点，F 1F 2为双曲线C 的左，右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程、 21.〔此题总分值14分〕函数f (x )是在〔0,+∞〕上每一点处可导的函数，假设)(x f x '＞f (x )在〔0，+∞〕上恒成立.〔Ⅰ〕求证：函数g (x )=f (x )x 在〔0,+∞〕上单调递增； 〔Ⅱ〕当x 1＞0,x 2＞0时，证明：f (x 1)+f (x 2)＜f (x 1+x 2)；〔Ⅲ〕不等式ln (1+x )＜x 在x ＞－1且x ≠0时恒成立，证明： 122 ln 22+132 ln 32+142 ln 42+…+1(n +1)2 ln (n +1)2>n 2(n +1)(n +2) (n ∈N +).2018届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学答案【一】选择题：题号 12 3 4 5 6 7 8 答案 BACBDCDC1.解：由P ∩Q ＝{0}知，0∈P 且0∈Q .由0∈P ，得a 2log ＝0⇒a =1；由0∈Q 得b =0.故P ∪Q ＝{3,0,1}.选B .2.解：－i ＋1－i1 + i ＝－i －i ＝－2i .选A .3.解：由有a 1·a 19＝16，又a 1·a 19＝a 102，∴在正项等比数列中，a 10＝4. ∴a 8·a 10·a 12＝a 103＝64.选C .4.解：关于A ，由于过点P 垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的B直线，因此平行于平面β，因此A 正确.依照面面垂直的性质定理知，选项C 、D 正确.选B .5.解：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )、选D .6.解：当k =1时，曲线是圆，故D 错误、其余三个命题基本上正确的.选C .7.解：由得，3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1. 又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，应选D .8.解：因方程方程0)()(2=++c x bf x f 恰有5个不同的实数解，故x =2应是其中的一个根，又f (2)＝1，故1+b +c =0⇒c =－(b +1),因此有，0)1()()(2=+-+b x bf x f ⇒[f (x )－1][f (x )+〔1+b 〕]=0⇒[lg |x －2|－1][lg |x －2|+〔1+b〕]=0⇒四个根为－8，12，2101,210111+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++bb⇒12345()f x x x x x ++++＝f (10)＝3lg 2,选C .【二】填空题:9.答案：18解：从1，3中取一个排个位，故排个位有12A 种方法；排百位不能是0，能够从另外3个数中取一个，有13A 种方法；排十位有13A 种方法。

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。