下载文档原格式
2019年浙江卷数学真题（解析版）一、选择题：每小题4分，共40分.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则B A C U =（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3- 【答案】A 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A.2B. 1C. 2D. 2【答案】C【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b ，则222c a b =+=，双曲线的离心率2ce a==.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12 【答案】C【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ）A. ()D X 增大B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大 【答案】D【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A.,βγαγ<< B. ,βαβγ<< C. ,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cos sin,sin,sin6633α=⇒α=β=γ=，故选B.9.已知,a b R∈，函数32,0()11(1),032x xf xx a x ax x<⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b=--恰有三个零点，则（）A. 1,0a b<-< B. 1,0a b<-> C. 1,0a b>-> D. 1,0a b>-<【答案】D【详解】原题可转化为()y f x=与y ax b=+，有三个交点.当BC APλ=时，2()(1)()(1)f x x a x a x a x'=-++=--，且(0)0,(0)f f a='=，则（1）当1a≤-时，如图()y f x=与y ax b=+不可能有三个交点（实际上有一个），排除A，B（2）当1a>-时，分三种情况，如图()y f x=与y ax b=+若有三个交点，则0b<，答案选D下面证明：1a>-时，BC APλ=时3211()()(1)32F x f x ax b x a x b=--=-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a'=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F>F a，才能保证至少有两个零点，即310(1)6b a>>-+，若另一零点在0<10.设,a b R∈，数列{}n a中，21,n n na a a a b+==+，b N*∈ ,则（）A. 当101,102b a=> B. 当101,104b a=>C. 当102,10b a=-> D. 当104,10b a=->【答案】A【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a为不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为1712x=±，令1712a=，则171102na=±<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11zi=+（i为虚数单位），则||z=________.2【详解】12|||1|22zi===+.12.已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230x y-+=与圆相切于点(2,1)A--，则m=_____，r=______.【答案】(1). 2m=-(2). 5r=【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||415r AC ==+=.13.在二项式9(2)x +的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______. 【答案】 (1). 162 (2). 5【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+== 可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项 14.ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1).122 (2). 72【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=, 22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=15.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 15【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y += 可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得315,22P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==.16.已知a R∈，函数3()f x ax x=-，若存在t R∈，使得2|(2)()|3f t f t+-≤，则实数a的最大值是____.【答案】max43a=【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t+-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t=++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am≥-≤，由折线函数，如图只需113a-≤，即43a≤，即a的最大值是4317.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。
2019年高考数学浙江卷(附答案)1.已知全集 $U=\{-1.0.1.2.3\}$，集合 $A=\{0.1.2\}$，$B=\{-1.0.1\}$，则 $(A\cup B)^c$ 等于A。
$\{-1\}$ B。
$\{0.1\}$ C。
$\{-1.2.3\}$ D。
$\{-1.0.1.3\}$2.渐近线方程为 $x\pm y=0$ 的双曲线的离心率是A。
$\sqrt{2}$ B。
$1$ C。
$2$ D。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$3.若实数 $x$，$y$ 满足约束条件 $\begin{cases} 3x-y-4\leq 0 \\ x+y\geq 0 \end{cases}$，则 $z=3x+2y$ 的最大值是A。
$-1$ B。
$1$ C。
$10$ D。
$12$4.XXX是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 $V_{\text{柱体}}=Sh$，其中 $S$ 是柱体的底面积，$h$ 是柱体的高。
若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm$^3$）是A。
$158$ B。
$162$ C。
$182$ D。
$324$非选择题部分（共110分）一、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
请将答案填写在答题纸上。
1.设 $f(x)=\frac{1}{x-1}$，则 $f^{-1}(x)=$______________。
2.已知函数 $f(x)=x^2-2ax+a^2+1$，$a$ 为常数，若$f(1)=0$，$f(x)$ 的最小值为 $2$，则 $a=$______________。
3.已知 $\triangle ABC$，$\angle A=90^\circ$，$AB=3$，$BC=4$，则 $\sin\angle ACB=$______________。
4.已知函数 $f(x)=\log_2(x+1)-\log_2(x-1)$，则$f\left(\frac{1}{3}\right)=$______________。
2019年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、单选题1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2．双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.详解：因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4．复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5．函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：8．已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10．已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如二、填空题11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。
绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。
满分 150 分。
考试用时120 分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件 A， B 互斥，则 P( A B) P(A) P( B)柱体的体积公式 V Sh若事件 A， B 相互独立，则 P( AB )P (A) P( B)其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高若事件 A 在一次试验中发生的概率是p，则 n 次锥体的体积公式 V1Sh独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率3其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高P (k)C k p k (1p) n k(k0,1,2, , n)球的表面积公式n n台体的体积公式1S1S2S2 )h S 4 R2V( S13球的体积公式其中 S1 , S2分别表示台体的上、下底面积，h表示4V R3台体的高3其中 R 表示球的半径选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U1,0,1,2,3 ，集合 A 0,1,2，B1,0,1 ，则(e U A) B = A．1B．0,1C．1,2,3 D ．1,0,1,32．渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是2A ．2B ． 1C ．2D ． 2x 3y 4 03．若实数 x ， y 满足约束条件 3xy 4 0 ，则 z=3x+2y 的最大值是xy 0A ． 1B ． 1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V 柱体 =Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高． 若某柱体的三视图如图所示（单位： cm ），则该柱体的体积（单位： cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ． 3245．若 a>0， b>0，则“ a+b ≤4”是“ab ≤ 4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y = 1x ， y=log a (x+ 1)(a>0，且 a ≠ 1)的图象可能是a27．设 0＜a ＜ 1，则随机变量X 的分布列是则当 a 在（ 0,1）内增大时，A ． D（ X）增大B．D （X）减小C．D （X）先增大后减小D． D（ X）先减小后增大8．设三棱锥 V–ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不含端点）．记直线 PB 与直线AC 所成的角为α，直线 PB 与平面 ABC 所成的角为β，二面角 P–AC–B 的平面角为γ，则A ．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<βx, x09．已知a, b R，函数 f ( x)1x31( a 1)x2．若函数 y f ( x) ax b 恰有3个零点，ax, x 032则A ．a<–1， b<0B．a<–1， b>0C． a>–1， b<0D． a>–1， b>02N ，则10．设 a，b∈R，数列 { a n} 满足 a1=a， a n+1=a n +b，b1时， a101时， a10A ．当 b= 2>10B．当 b= 4>10C．当 b=–2 时， a>10D．当 b=–4 时， a >101010非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则U A B =I ð（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c =，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】 研究方差随a 变化增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin ,sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +…，即1a -…时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 故选：C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点17122x=±，令17122a=±，则171102na=<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】 【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+==L 可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在V ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 1225 (2). 7210【解析】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ= 此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V S S S S h =++其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A ．22B ．1C ．2D ．23．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z =3x +2y 的最大值是A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ．3245．若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是7．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．D （X ）增大B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小D ．D （X ）先减小后增大8．设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >010．设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ，则A ．当b =12时，a 10>10 B ．当b =14时，a 10>10C ．当b =–2时，a 10>10D ．当b =–4时，a 10>10非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h =+其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =π球的体积公式 343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U AB ð=A ．{}1-B ．{}0,1?C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-答案：A2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 AB ．1CD ．2答案：C3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z =3x +2y 的最大值是A ．1-B ．1C ．10D ．12答案：C4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．32答案：B5．若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A6．在同一直角坐标系中，函数y =1xa ，y=log a(x+12)，(a>0且a≠0)的图像可能是答案：D7．设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是则当a在（0,1）内增大时A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大答案：D8．设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β答案：B9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则 A ．a <-1，b <0 B ．a <-1，b >0 C ．a ＞-1，b ＞0D ．a ＞-1，b <0答案：C10．设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ,则A ．当b =12，a 10＞10 B ．当b =14，a 10＞10C ．当b =-2，a 10＞10D ．当b =-4，a 10＞10答案：A非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江省）数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】A【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =- 【考点】交集、补集的定义 【考查能力】基础知识、基本计算 2.【答案】C【解析】根据渐近线方程为0x y ±＝的双曲线，可得a b =，所以c =，则该双曲线的离心率为ce a==， 故选：C.【考点】双曲线的离心率 【考查能力】基本计算 3.【答案】C【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【考点】线性规划 4.【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.【考点】空间几何体的三视图及体积 【考查能力】基础知识、视图用图，基本计算 5.【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a +b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【考点】充分条件，必要条件 【考查能力】逻辑推理能力 6.【答案】D【解析】当01a <<时，函数x y a =过定点BH ⊂且单调递减，则函数1xy a =过定点BH ⊂且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点BH ⊂且单调递增，则函数1x y a =过定点BH ⊂且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【考点】函数图象的识别 【考查能力】逻辑推理 7.【答案】D【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在BH ⊂内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.【考点】随机变量的分布列及期望、方差 【考查能力】运算求解 8.【答案】B【解析】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即y β>，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γγ'=） 由最大角定理βγγ<'=，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin ααβγ=⇒===B. 【考点】空间中直线与直线、直线与平面所成的角及二面角的大小 【考查能力】空间想象，分析问题，解决问题 9.【答案】C【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a + ，即1a - 时，0y ' ，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即13==时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01ba <-且32011(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-．故选：C ．【考点】函数的零点 【考查能力】运算求解 10.【答案】A【解析】对于B ，令2104x λ-+=，得12λ=， 取112a =，∴2111022n a a == ，＜， ∴当14b =时，1010a ＜，故B 错误； 对于C ，令220x λ--＝，得2λ＝或1λ＝-， 取12a ＝，∴22a ＝，…，210n a ＝＜， ∴当2b ＝-时，1010a ＜，故C 错误； 对于D ，令240x λ--＝，得λ=，取1a =2a =…，10n a =， ∴当4b -＝时，1010a ＜，故D 错误；对于A ，221122a a =+≥，223113(224a a =++≥， 4224319117(14216216a a a =+++≥+=＞，10n n a a +-＞，{}n a 递增，当4n ≥时，1113222n n n n a a a a +=++=＞1， ∴5445109323232a a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞，∴610432a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1072964a ＞＞10．故A 正确． 故选：A ．【考点】数列的综合应用【考查能力】分析问题与解决问题，运算求解非选择题部分二、填空题 11.【解析】1|||1|z i ===+【考点】复数的运算及复数的模 【考查能力】化归与转化，运算求解 12.【答案】2-【解析】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===. 【考点】圆的标准方程及直线与圆的位置关系 【考查能力】推理认证，运算求解 13.【答案】5【解析】9)x +的通项为919(0,1,29)r r r r T C x r -+==可得常数项为0919T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项 【考点】二项式定理的应用【考查能力】运算求解，分析问题，解决问题14.【解析】在ABD △中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,5AC ==，34sin ,cos 55BCABBAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =cos cos()coscos sinsin 44ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【考点】正弦定理，两角和的正弦公式，诱导公式 【考查能力】划归与转化，运算求解15. 【解析】【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==【考点】圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系 【考查能力】逻辑推理，运算求解 16.【答案】43【解析】使得()222(2)()2[(2)({]2)223642}f t f t a t t t t a t t +-=⋅++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在1m ≥，113am -≤，由折线函数，如图只需11133a --≤，即2433a ≤，即a 的最大值是43【考点】函数的最值，绝对值不等式的解法 【考查能力】逻辑推理，划归与转化，运算求解 17.【答案】0【解析】正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC += ，BD AD AB =-，0AB AD =⋅， ()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λλλλλλλλλλλλλλ+++++=-+-+-++要使123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小，只需要561356240λλλλλλλλ-+-=-++=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λλλλλλ==-====此时123456min 0AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=()()2212345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λλλλλλλλλλλλλλ+++++=-+-+-++()()2213562456λλλλλλλλ=-+-+-++ ()()2213562456λλλλλλλλ≤++-++++()()22565622λλλλ=+-+++()()()225656565684λλλλλλλλ=+-+++-++()225682λλ=+++12=+1220=+等号成立当且仅当1356,,λλλλ--均非负或者均非正，并且2456,,λλλλ-+均非负或者均非正。
2019年秋浙江省八年级上册数学期中考试《三角形的初步认识》试题分类——解答题（1）1．如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，已知 3.5DE cm =，4.5BD cm =．（1）说明AED ACD ∆≅∆的理由； （2）求线段BC 的长．2．如图，在99⨯的方格（每小格边长为1个单位）中，有格点A ，B 现点A 沿网格线跳动规定：向右跳动一格需要m 秒，向上跳动一格需要n 秒，且每次跳动后均落在格点上． （1）点A 跳到点B ，需要 秒（用含m ，m 的代数式表示）． （2）已知1m =，2n =．①若点A 向右跳动3秒，向上跳动10秒到达点C ，请在图中标出点C 的位置，并求出以BC 为边的正方形的面积．②若点A 跳动5秒到达点D ，请直接写出点D 与点B 之间距离的最小值为 ．3．判断下列命题的真假，并给出证明 （1）两个锐角的和是钝角； （2）若a b >，则22a b >；4．如图，AD AC =，1239∠=∠=︒，C D ∠=∠，点E 在线段BC 上．（1）求证：ABC AED ∆≅∆． （2）求AEC ∠的度数．5．如图，过点B ，D 分别向线段AE 作垂线段BQ 和DF ，点Q 和F 是垂足，连结AB ，DE ，BD ，BD 交AE 于点C ，且AB DE =，AF EQ =．（1）求证：ABQ EDF ∆≅∆； （2）求证：C 是BD 的中点．6．如图，AD 是ABC ∆的高线，AE 是角平分线，若::6:3:1BAC B C ∠∠∠=，求DAE ∠的度数．7．已知：如图，A ，E ，B ，D 在同一直线上，AE DB =，A D ∠=∠，//BC EF ．求证：ABC DEF ∆≅∆．8．如图，网格中每个小正方形的边长为1，点B 、C 的坐标分别为(1,3)-，(0,1)． （1）建立符合条件的直角坐标系（要求标出x 轴，y 轴和原点），并写出点A 的坐标 ． （2）线段AB 上任意一点的坐标可以表示为 ．（3）在y 轴上找到一点P ，使得3ABP ABC S S ∆∆=，求出点P 的坐标，9．如图，直线l 表示一条公路，点A ，B 表示两个村庄，现要在公路l 上建一个加油站P ． （1）加油站P 到A ，B 两个村庄距离相等，用直尺（无刻度）和圆规在图1中作出P 的位置（2）若点A ，B 到直线l 的距离分别是1m 和4km ，且A ，B 两个村庄之间的距离为5km ，加油站P 到A ，B 两个村庄之间的距离最小，在图2中作出P 的位置（作图工具不限）最短距离为 km ．10．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且BD CE =，DC BF =，连结DE ，EF ，DF ，160∠=︒（1）求证：BDF CED ∆≅∆．（2）判断ABC ∆的形状，并说明理由．（3）若10BC =，当BD = 时，DF BC ⊥．（只需写出答案，不需写出过程）11．已知：如图，BD CD =，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DE DF =．求证：AB AC =．12．如图，在ABC ∆中，114ACB ∠=︒，46B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，CE 为AB 边上的高，求DCE ∠的度数．13．如图，ABC ∆中，40A ∠=︒，（1）若点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，求P ∠的度数； （2）若点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，求P ∠的度数； （3）若点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（4）若A β∠=，求（1）（2）（3）中P ∠的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）14．如图，在ABC ∆和DCB ∆中，AB DC =，AC DB =，AC 与DB 交于点M ． （1）求证：ABC DCB ∆≅∆；（2）过点C 作//CN BD ，过点B 作//BN AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断BNC ∆的形状，并证明你的结论．15．（1）写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假；（2）若该命题的逆命题为真命题，请证明；若该命题的逆命题为假命题，请举出反例．16．如图是一个66∆的顶点都是⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt ABC图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，你能找到几个这样的C点？把它们都画出来．17．如图两个44⨯网格都是由16个边长为1的小正方形组成．（1）图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为，若这个正方形的边长为a，则a=；（2）请在图②中画出面积是5的正方形，使它的顶点在网格的格点上．若这个正方形的边长为b，则b=；（3）请你利用以上结论，在图③的数轴上精确画出实数a和b-．利用数轴可得||a ||b-．（填“>”或“<”)18．如图，90∠=∠．A B=，12∠=∠=︒，E是AB上的一点，且AE BC求证：CED∆是等腰直角三角形∠=∠)证明：12(∴=（在一个三角形中，等角对等边）EC=∠=∠=︒，AE BCA B90∴∆≅∆)(AED BCE∴∠=∠()AEDBCE BEC∠+∠=︒90∠90+∠=︒（等量代换）BEC90DEC ∴∠=︒．CED ∴∆是等腰直角三角形．19．如图，已知ABC ∆（1）用直尺和圆规作出O ，使O 经过A 、B 两点，且圆心O 在AC 边上．（不写作法，保留作图痕迹）（2）若22.5BAC ∠=︒，45C ∠=︒，O 的半径2，求AC 的长．20．如图，已知在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，BAC D ∠=∠，180B AEC ∠+∠=︒，BC CE =．求证：AC DC =．21．已知， 如图， 点A 、D 、B 、E 在同一直线上，AC EF =，AD BE =，A E ∠=∠， （1） 求证：ABC EDF ∆≅∆；（2） 当120CHD ∠=︒，猜想HDB ∆的形状， 并说明理由 ．22．如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/cm s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/cm s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．（1）当点D 在射线AM 上运动时满足:2:1ADB BEC S S ∆∆=，试求点D ，E 的运动时间t 的值； （2）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB ∆与BEC ∆全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．23．如图，点B 在线段AC 上，点E 在线段BD 上，ABD DBC ∠=∠，AB DB =，EB CB =，M ，N 分别是AE ，CD 的中点．试探索BM 和BN 的关系，并证明你的结论．24．已知AB AC =，BD CE =，求证：B C ∠=∠．25．如图，点E 在ABC ∆外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ，若123∠=∠=∠，AC AE =，试说明：ABC ADE ∆≅∆的理由．2019年秋浙江省八年级上册数学期中考试《三角形的初步认识》试题分类——解答题（1）1．如图，在ABC∆中，AD平分BAC∠，在AB上截取AE AC=，连结DE，已知 3.5DE cm=，4.5BD cm=．（1）说明AED ACD∆≅∆的理由；（2）求线段BC的长．【解答】（1）证明：AD平分BAC∠，BAD CAD∴∠=∠；在ADE∆和ADC∆中，AE ACEAD CADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE ADC SAS∴∆≅∆；（2）解：由（1）知，ADE ADC∆≅∆，DE DC∴=（全等三角形的对应边相等），4.5 3.58()BC BD DC BD DE cm∴=+=+=+=．2．如图，在99⨯的方格（每小格边长为1个单位）中，有格点A，B现点A沿网格线跳动规定：向右跳动一格需要m秒，向上跳动一格需要n秒，且每次跳动后均落在格点上．（1）点A跳到点B，需要(53)m n+秒（用含m，m的代数式表示）．（2）已知1m=，2n=．①若点A向右跳动3秒，向上跳动10秒到达点C，请在图中标出点C的位置，并求出以BC 为边的正方形的面积．②若点A 跳动5秒到达点D ，请直接写出点D 与点B 之间距离的最小值为 ．【解答】解：（1）由题意需要(53)m n +秒． 故答案为(53)m n +．（2）①点C 的位置如图所示，22BC =， 以BC 的边长的正方形的面积为22228=⨯=． ②点D 的位置有三种情形，BD 的最小值22=， 故答案为22．3．判断下列命题的真假，并给出证明 （1）两个锐角的和是钝角； （2）若a b >，则22a b >；【解答】解：（1）两个锐角的和是钝角，是假命题， 例如，一个角是30︒，另一个是40︒， 则这两个角的和是70︒，70︒不是钝角， ∴两个锐角的和是钝角，是假命题；（2）若a b>，则22a b>，是假命题，例如：1a=-，2b=-，21a=，24b=，则22a b<，a b∴>，则22a b>，是假命题．4．如图，AD AC=，1239∠=∠=︒，C D∠=∠，点E在线段BC上．（1）求证：ABC AED∆≅∆．（2）求AEC∠的度数．【解答】（1）证明：1239∠=∠=︒，12CAE CAE∴∠+∠=∠+∠，即BAC EAD∠=∠，在ABC∆和AED∆中，BAC EADAC ADC D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC AED ASA∴∆≅∆．（2）解：由（1）得：：ABC AED∆≅∆．AB AE∴=，11(1801)(18039)70.522B AEB∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，13970.5109.5AEC B∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．，5．如图，过点B，D分别向线段AE作垂线段BQ和DF，点Q和F是垂足，连结AB，DE，BD，BD交AE于点C，且AB DE=，AF EQ=．（1）求证：ABQ EDF∆≅∆；（2）求证：C是BD的中点．【解答】证明：（1）AF EQ =，AQ EF ∴=，在Rt ABQ ∆和Rt EDF ∆中， AB DEAQ EF =⎧⎨=⎩()ABQ EDF HL ∴∆≅∆；（2）ABQ EDF ∆≅∆，BQ DF ∴=，且90BQC DFC ∠=∠=︒，BCA DCE ∠=∠， ()BCQ DCF AAS ∴∆≅∆BC DC ∴=， ∴点C 是BD 中点．6．如图，AD 是ABC ∆的高线，AE 是角平分线，若::6:3:1BAC B C ∠∠∠=，求DAE ∠的度数．【解答】解：::6:3:1BAC B C ∠∠∠=， ∴设6BAC α∠=，3B α∠=，C α∠=，180BAC B C ∠+∠+∠=︒， 63180ααα∴++=︒， 18α∴=︒，108BAC ∴∠=︒，54B ∠=︒，18C ∠=︒，AD 是ABC ∆的高线，90ADB ∴∠=︒，180905436BAD ∴∠=︒-︒-︒=︒，AE 是角平分线，111085422BAE BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒，543618DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．7．已知：如图，A ，E ，B ，D 在同一直线上，AE DB =，A D ∠=∠，//BC EF ．求证：ABC DEF ∆≅∆．【解答】证明：AE DB =，AE EB DB EB ∴+=+， AB DE ∴=，//BC EF ， ABC DEF ∴∠=∠，在ABC ∆和DEF ∆中ABC DEFAB DE A D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC DEF ASA ∴∆≅∆．8．如图，网格中每个小正方形的边长为1，点B 、C 的坐标分别为(1,3)-，(0,1)． （1）建立符合条件的直角坐标系（要求标出x 轴，y 轴和原点），并写出点A 的坐标(4,3)- ．（2）线段AB 上任意一点的坐标可以表示为 ．（3）在y 轴上找到一点P ，使得3ABP ABC S S ∆∆=，求出点P 的坐标，【解答】解：（1）如图即为符合条件的直角坐标系． 点A 的坐标为(4,3)-． 故答案为(4,3)-．（2）线段AB 上任意一点的坐标可以表示为(x ，3)(41)x --． 故答案为(x ，3)(41)x -- （3）3ABP ABC S S ∆∆=13232ABC S ∆=⨯⨯=．设P 点到AB 的距离为||y ，13||2ABP S y ∆∴=⨯⨯．∴3||92y =，解得6y =±． 答：P 的坐标为(0,9)或(0,3)-．9．如图，直线l 表示一条公路，点A ，B 表示两个村庄，现要在公路l 上建一个加油站P ． （1）加油站P 到A ，B 两个村庄距离相等，用直尺（无刻度）和圆规在图1中作出P 的位置（2）若点A ，B 到直线l 的距离分别是1m 和4km ，且A ，B 两个村庄之间的距离为5km ，加油站P 到A ，B 两个村庄之间的距离最小，在图2中作出P 的位置（作图工具不限）最短距离为41 km ．【解答】解：（1）如图1所示：点P 即为所求；（2）如图2所示：点P 即为所求， 由题意可得：22534BC =-=，最短距离为：22225441()A B BC A C km '=+'=+=． 故答案为：41．10．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且BD CE =，DC BF =，连结DE ，EF ，DF ，160∠=︒（1）求证：BDF CED ∆≅∆．（2）判断ABC ∆的形状，并说明理由． （3）若10BC =，当BD =103时，DF BC ⊥．（只需写出答案，不需写出过程）【解答】（1）证明：AB AC =，B C ∴∠=∠，在BDF ∆和CED ∆中，BD CEB C BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDF CED SAS ∴∆≅∆；（2）解：ABC ∆是等边三角形，理由如下： 由（1）得：BDF CED ∆≅∆， BFD CDE ∴∠=∠，1CDF B BFD CDE ∠=∠+∠=∠+∠，AB AC =，ABC ∴∆是等边三角形；（3）解：当103BD =时，DF BC ⊥，理由如下： 作FM BC ⊥于M，如图所示：由（1）得：BDF CED ∆≅∆， BF CD ∴=，由（2）得：ABC ∆是等边三角形， 60B C ∴∠=∠=︒， FM BC ⊥，30BFM ∴∠=︒，1122BM BF CD ∴==，11033BM BC ∴==，M ∴与D 重合，DF BC ∴⊥；故答案为：10311．已知：如图，BD CD =，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DE DF =．求证：AB AC =．【解答】证明：DB DC =，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，90DEB DFC ∴∠=∠=︒，在Rt BDE ∆和Rt CDF ∆中， DB DC =，DE DF =Rt BDE Rt CDF(HL)∴∆≅∆，EBD FCD ∴∠=∠，DBC EBD DCB FCD ∴∠+∠=∠+∠．即ABC ACB ∠=∠， AB AC ∴=．12．如图，在ABC ∆中，114ACB ∠=︒，46B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，CE 为AB 边上的高，求DCE ∠的度数．【解答】解：114ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠，1572DCB ACB ∴∠=∠=︒．CE AB ⊥， 90CEB ∴∠=︒． 46B ∠=︒， 44BCE ∴∠=︒，574413DCE ∴∠=︒-︒=︒．13．如图，ABC ∆中，40A ∠=︒，（1）若点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，求P ∠的度数； （2）若点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，求P ∠的度数； （3）若点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（4）若A β∠=，求（1）（2）（3）中P ∠的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）【解答】解：（1）40A ∠=︒， 140ABC ACB ∴∠+∠=︒，11()1407022PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，18070110BPC ∴∠=︒-︒=︒；（2）DBC A ACB ∠=∠+∠，P 为ABC ∆两外角平分线的交点，∴111222DBC A ACB ∠=∠+∠，同理可得：∴111222BCE A ABC ∠=∠+∠， 180A ACB ABC ∠+∠+∠=︒，∴11()9022ACB ABC A ∠+∠=︒-∠， 111111180222222BPC DBC BCE A ACB A ABC ︒-∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠，1118022BPC A ACB ABC ∴︒-∠=∠+∠+∠，1180902BPC A A ︒-∠=∠+︒-∠，190702BPC A ∴∠=︒-∠=︒；（3）点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCF ACF ∠=∠，PCF P PBC ∠=∠+∠，ACF A ABC ∠=∠+∠，2()P PBC A ABC ∴∠+∠=∠+∠，1202P A ∴∠=∠=︒；（4）若A β∠=，在（1）中，11180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+；在（2）中，同理得：1902P β∠=︒-；在（3）中同理得：1122P A β∠=∠=．14．如图，在ABC ∆和DCB ∆中，AB DC =，AC DB =，AC 与DB 交于点M ． （1）求证：ABC DCB ∆≅∆；（2）过点C作//CN BD，过点B作//BN AC，CN与BN交于点N，试判断BNC∆的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：如图，在ABC∆和DCB∆中，AB DCAC DBBC CB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DCB SSS∴∆≅∆；（2）解：BNC∆是等腰三角形．证明如下：//CN BD，//BN AC，∴四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，MBC MCB∠=∠，BM CM∴=（等角对等边），∴四边形BMCN是菱形，BN CN∴=．15．（1）写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假；（2）若该命题的逆命题为真命题，请证明；若该命题的逆命题为假命题，请举出反例．【解答】解：（1）逆命题是：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题；（2）该命题的逆命题为真命题，已知：如图，ABC∆中，AD BC⊥，BD DC=，求证：ABC∆是等腰三角形证明：AD BC⊥，90ADB ADC∴∠=∠=︒，在ADB∆和ADC∆中，AD ADADB ADCDB DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADC SAS∴∆≅∆．ABAC∴=，即ABC∆是等腰三角形．16．如图是一个66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt ABC∆的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，你能找到几个这样的C点？把它们都画出来．【解答】解：如图所示：9个C点．17．如图两个44⨯网格都是由16个边长为1的小正方形组成．（1）图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为10，若这个正方形的边长为a，则a=；（2）请在图②中画出面积是5的正方形，使它的顶点在网格的格点上．若这个正方形的边长为b，则b=；（3）请你利用以上结论，在图③的数轴上精确画出实数a和b-．利用数轴可得||a ||b-．（填“>”或“<”)【解答】解：（1）由勾股定理得：这个阴影正方形的面积=边长的平方221310=+=， 边长10=；（2）面积为5的正方形的边长22125=+=， ∴四边形ABCD 即为所求：如图②所示；（3）如图③，实数a 和b -即为所求； 由数轴可得||||a b >-．故答案为：（1）10，10；（2）5；（3）>．18．如图，90A B ∠=∠=︒，E 是AB 上的一点，且AE BC =，12∠=∠． 求证：CED ∆是等腰直角三角形 证明：12(∠=∠ 已知 )EC ∴= （在一个三角形中，等角对等边） 90A B ∠=∠=︒，AE BC =(AED BCE ∴∆≅∆ )AED∴∠=∠()∠+∠=︒90BCE BEC∠90BEC+∠=︒（等量代换）∴∠=︒．90DEC∴∆是等腰直角三角形．CED【解答】证明：12∠=∠（已知）EC DE∴=（在一个三角形中，等角对等边）=∠=∠=︒，AE BC90A B∴∆≅∆AED BCE HL()∴∠=∠（全等三角形的性质）AED BCE90∠+∠=︒BCE BECAED BEC∠+∠=︒（等量代换）90∴∠=︒．DEC90∴∆是等腰直角三角形．CED故答案为：已知，DE，HL，BCE，全等三角形的性质，AED．19．如图，已知ABC∆（1）用直尺和圆规作出O，使O经过A、B两点，且圆心O在AC边上．（不写作法，保留作图痕迹）（2）若22.5∠=︒，O的半径2，求AC的长．CBAC∠=︒，45【解答】解：（1）作AB中垂线交AC于点O，以点O为圆心，OA长为半径作圆，O即是所求作的圆．（2）连接OB，OA OB=，22.5A OBA∴∠=∠=︒，45BOC A OBA C∴∠=∠+∠=︒=∠，OBC∴∆是等腰直角三角形，222OC OB∴==，222AC OA OC∴=+=+．20．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，BAC D∠=∠，180B AEC∠+∠=︒，BC CE=．求证：AC DC=．【解答】证明：180B AEC∠+∠=︒，180DEC AEC∠+∠=︒，B DEC∴∠=∠，在ABC∆和DEC∆中，B DECBAC DBC CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DEC AAS∴∆≅∆AC DC∴=．21．已知，如图，点A、D 、B、E在同一直线上，AC EF=，AD BE=，A E∠=∠，（1）求证：ABC EDF∆≅∆；（2）当120CHD∠=︒，猜想HDB∆的形状，并说明理由．【解答】（1）证明：AD BE=，AB ED∴=，在ABC∆和EDF∆中，AC EFA EAB ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC EDF SAS∴∆≅∆；（2）ABC EDF∆≅∆，HDB HBD∴∠=∠，120CHD HDB HBD∠=∠+∠=︒，60HBD HDB∴∠=∠=︒，DHB∴∆是等边三角形．22．如图1，直线AM AN⊥，AB平分MAN∠，过点B作BC BA⊥交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2/cm s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1/cm s的速度运动；已知6AC cm=，设动点D，E的运动时间为t．（1）当点D在射线AM上运动时满足:2:1ADB BECS S∆∆=，试求点D，E的运动时间t的值；（2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得ADB∆与BEC∆全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．【解答】解：（1）如图2中，①当E 在线段AC 上时，作BH AC ⊥于H ，BG AM ⊥于G ． BA 平分MAN ∠，BG BH ∴=，:2:1ADB BEC S S ∆∆=，AD t =，2AE t =， ∴11:(62)2:122t BG t BH -=， 125t s ∴=． ②当点E 运动到AC 延长线上，同法可得4t =时，也满足条件， ∴当125t s =或4s 时，满足:2:1ADB BEC S S ∆∆=．（2）存在．BA BC =，45BAD BCE ∠=∠=︒，∴当AD EC =时，ADB CEB ∆≅∆，62t t ∴=-，2t s ∴=，2t s ∴=时，ADB CEB ∆≅∆．当D 在MA 延长线上时，26t t -=，6t s =，综上所述，满足条件的t的值为2s或6s．23．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，ABD DBC∠=∠，AB DB=，EB CB=，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论．【解答】解：BM BN=，BM BN⊥．理由如下：在ABE∆和DBC∆中AB DBABD DBCEB CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DBC SAS∴∆≅∆，BAE BDC∴∠=∠，AE CD∴=，M、N分别是AE、CD的中点，AM DN∴=，在ABM∆和DBN∆中，AB DBBAM BDNAM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAM BDN SAS∴∆≅∆，BM BN∴=，ABM DBN∠=∠，ABD DBC∠=∠，180ABD DBC∠+∠=︒90ABD ABM MBE∴∠=∠+∠=︒，90MBE DBN∴∠+∠=︒，即：BM BN⊥，BM BN∴=，BM BN⊥．24．已知AB AC=，BD CE=，求证：B C∠=∠．【解答】证明：AB AC=，BD CE=，AD AE∴=，在ABE∆和ACD∆中，AB ACA AAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACD SAS∴∆≅∆，B C∴∠=∠．25．如图，点E在ABC∆外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若123∠=∠=∠，AC AE=，试说明：ABC ADE∆≅∆的理由．【解答】证明：12∠=∠，12DAC DAC∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE∠=∠，13B ADE∠+∠=∠+∠，且13∠=∠，B ADE∴∠=∠，在ABC∆和ADE∆中BAC DAEB ADEAC AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC ADE AAS∴∆≅∆．。
