第二十四章圆知识点及练习题(附答案)

最新教学练习课堂试卷word 《圆》章节知识点复习和练习附参考答案

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内  dr  点C在圆内；

2、点在圆上  dr  点B在圆上；

3、点在圆外  dr  点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离  dr  无交点；

2、直线与圆相切  dr  有一个交点；

3、直线与圆相交  dr  有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1） 无交点  dRr；

外切（图2） 有一个交点  dRr；

相交（图3） 有两个交点  RrdRr；

内切（图4） 有一个交点  dRr；

内含（图5） 无交点  dRr； rdd=rdrrddCBAO

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五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD

⑤ 弧AC弧AD

中任意2个条件推出其他3个结论。

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④ 弧BA弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴2AOBACB 图3rRd图1rRd图2rRd图4rRd图5rRdOEDCBAFEDCBAOCBAO

最新教学练习课堂试卷word 2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角

∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵90C

∴90C ∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或90C

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴180CBAD 180BD

DAEC

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵MNOA且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） DCBAOCBAOCBAOEDCBANMAO

最新教学练习课堂试卷word 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA、PB是的两条切线

∴PAPB

PO平分BPA

十一、圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，::1:1:2OEAEOA：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，::1:3:2ABOBOA.

PBAODCBAOECBADOBAO

最新教学练习课堂试卷word 十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：180nRl；

（2）扇形面积公式： 213602nRSlR

n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

2SSS侧表底=222rhr

（2）圆柱的体积：2Vrh

（2）圆锥侧面展开图

（1）SSS侧表底=2Rrr

（2）圆锥的体积：213Vrh

SlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO

最新教学练习课堂试卷word 圆练习题

一、选择

1。下列命题中正确的有( )个

(1) 平分弦的直径垂直于弦

（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线

（3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半

（4）平面内三点确定一个圆

（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

2。如图，直线PAPB，是O的两条切线，

AB，分别为切点，120APB∠，10OP 厘米，则弦AB的长为（ ）

A．53厘米 B．5厘米

C．103厘米 D．532厘米

3。小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（ ）

4。已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（ ）

A．310 B．512 C．2 D．3

5。若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑，则该铅球的直径约为( )

A. 10 cm B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm

6。如图9，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移 _______个单位长．

7。一扇形的圆心角为150°，半径为4，用它作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的表面积是_____________

8。已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为 。

9。直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为 A

B

P O

最新教学练习课堂试卷word BCAPOBCAP10。点A是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A 的切线长为__________

11、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=300，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件

时，⊙P与直线CD相交．

12。如图，点AB，是O上两点，10AB，点P是O上的动点（P与AB，不重合），连结APPB，，过点O分别作OEAP于E，OFPB于F，则EF ．

13。已知BC是半径为2cm的圆内的一条弦，点A为圆上除点BC，外任意一点，若23cmBC，则BAC的度数为 ．

14。⊙0的半径为5，A、B两动点在⊙0上，AB=4,AB的中点为点C,在移动的过程中，点C始终在半径为_______的一个圆上，直线AB和这个圆的位置关系是______

15. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为________

三、解答

16。已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。

（1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：

① ；② ；③ 。

（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线。

17。求作一个⊙O，使它与已知∠ABC的边AB，BC都相切，并经过另一边BC上的一点P．

18。如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，AC为弦，BC为⊙O•的直径，若∠P=60°，PB=2cm，求AC的长．

A

B O

F P E

（第12题）

图1 图2