第3讲 二次根式

勤而思教育个性化学习中心

二次根式复习讲义

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：

形如√a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，√a才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1），

其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A、a B、10 C、1a D、21a√

2、在、、、、中是二次根式的个数有______个.

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

举一反三：

1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）

A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4

2、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

【例3】若y=++2009，则x+y=

解题思路：式子（a≥0）， ，y=2009，则x+y=2014

举一反三：

1、若，则x－y的值为（ ）

A．－1 B．1 C．2 D．3

2、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值 22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaaa2ab1x21x313x43xx5xx5a50,50xx5x11xx2()xy 勤而思教育个性化学习中心

【例4】已知a是5整数部分，b是 5的小数部分，求12ab的值。

举一反三：

1、若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3 。

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：aa()0是一个非负数．

1 第1讲 二次根式的化简与求值

二、方法剖析与提炼

例1.若a满足4)1()1(22aa，求a的值.

【解答】

∴原等式可化为a-1+a-1=4

∴a=3.即a的值为3.

【解析】(1)正确理解二次根式的性质aa2以及绝对值的性质如：a，当a≥0时，aa，当a＜0时，aa）

（2）由二次根式1a可知，被开方数a-1≥0，即a≥1.由定义可知

11)1(2aaa.

(3)满足a的等式最终转化为a-1+a-1=4，即问题转化为解一元一次方程.

【解法】去根号法，去绝对值法，解一元一次方程法.

【解释】 (1)根据所给等式中的二次根式，挖掘式子中的隐含条件1a，得到a-1≥0.

（2）由（1）得到的结论，为化简11)1(2aaa作铺垫，可见，发现这个隐含条件非常关键，也是解题的突破口.

（3）等式左边两个带有根号的式子，形似质异，需要加以区别，并灵活运用.

例2.（2016扬州）（1）计算：2)31(﹣+6cos30°

【解答】

【解析】化负指数为正指数，要注意转化后倒数.对需要进一步化简，而cos30°的值需要平时记得.

【解法】转化法，合并同类项法.

【解释】这类题的运算在中考题中非常常见，综合性比较强，只要抓住本质，并尝试从条件中找到隐含的条件，确定a的范围.

尝试将每一项进行化简，然后加减运算. 2 细心计算，就能顺利完成.

例3.化简347347

【解答】原式=22)32()32(=3232=3232=4.

【解析】（1）直接化简，困难重重.观察根号里面的开方数347347与.

（2）将这两个被开方数转化为完全平方式，由aa2，可以将去掉，达到化简的目的，可得：

222)32()3(322233224347，同理2)32(347.

1 第4讲 二次根式

一、 知识清单梳理

知识点一：二次根式 关键点拨及对应举例

1.有关概念 （1）二次根式的概念：形如a(a≥0)的式子.

（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.

（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式11x有意义，则x的取值范围是x＞1.

2.二次根式的性质 （1）双重非负性：

①被开方数是非负数，即a≥0；

②二次根式的值是非负数，即a≥0.

注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式. 利用二次根式的双重非负性解题：

（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如1a+1b=0，则a=-1，b=1.

（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=1a+1a,则a=1,b=0.

(2)两个重要性质：

①(a)2＝a(a≥0)；②a2＝|a|＝00aaaa；

(3)积的算术平方根：ab＝a·b(a≥0，b≥0)；

(4)商的算术平方根：abab (a≥0，b＞0)． 例：计算：

23.14＝3.14；22＝2；

24=；=2 ；442939

知识点二 ：二次根式的运算

3.二次根式的加减法 先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式． 例：计算：2832＝32.

4.二次根式的乘除法 （1）乘法：a·b=ab(a≥0，b≥0)；

（2）除法：ab =ab (a≥0，b＞0)． 注意：将运算结果化为最简二次根式.

例：计算：3223＝1；3232224.

用心 爱心 专心 复习精品讲义 二次根式

1 本章概述

在本章中，通过对二次根式的概念、性质、化简及运算等内容的学习，使我们掌握二次根式的化简与运算，明确二次根式中字母取值范围的确定方法，会对二次根式进行化简．本章内容是数学中的基础内容，在勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习过程中，都会用到本章的相关内容．熟练掌握前面我们学习的平方根、算术平方根的概念和利用平方运算求非负数的平方根、算术平方根的方法等知识，有利于本章内容的学习与深化．

2 本章学习重难点

【本章重点】利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．

【本章难点】对a(a≥0)是一个非负数的理解，对等式(a)2 ＝a(a≥0)和2a＝a(a≥0)的理解及应用，对二次根式乘、除法公式的条件的正确理解．

3 学法指导

1．注意观察、分析、归纳、探究等能力的培养，在本章知识的呈现方式上，重视体现“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式．

2．注重数学知识与现实生活的联系．无论是学习二次根式的概念，还是学习二次根式的性质和运算，都尽可能把所学的知识与现实生活联系，重视运用所学知识解决实际问题能力的培养．

3．充分利用图形，使代数和几何有机结合．对于数与代数的内容，应重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助理解、解决有关代数问题是对数学的一种导向．

4．运用类比思想．学习时注意回顾与类比，充分运用类比思想学习、理解算理和算法，提高运算能力

知识网络结构图

概念 二次根式:式子a（a≥0）叫做二次根式

最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式

同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式

性质 （1）abab（a≥0，b≥0）

（2）aabb（a≥0，b≥0）