人教版数学必修一2.1.1-1根式---教案、学案、课后练习

2.1.1 第一课时根式教案【教学目标】1、通过与初中所学的知识进行类比，理解根式的意义，掌握根式的性质。

培养学生观察分析、抽象类比的能力。

2、掌握根式的化简，渗透“转化”的数学思想。

通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

【教学重难点】教学重点：（1）根式概念的理解。

（2）根式的化简教学难点：（1）根式的化简【教学过程】一、导入新课同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n 次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：根式二、新知探究1、提出问题（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？（2）如456=a,,x x a x a ==根据上面的结论我们又能得到什么呢？（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？（4）可否用一个式子表达呢？活动：教师指示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比比方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题（2）的结论进行引申、推广、相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n 次方根的概念，评价学生的思维。

讨论结果：（1）若2x a =，则x 叫做a 的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数， 如：4的平方根为2±，负数没有平方根，同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根，一个数的立方根只有一个。

（2）类比平方根、立方根的定义，得到相应的结果。

（3）类比（2）得到一个数的n 次方等于a ，则这个数叫a 的n 次方根。

（4）用一个式子表达是，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根。

教师板书n 次方根的意义：一般地，如果n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈。

2、提出问题（1）你能根据n 次方根的意义求出下列数的n 次方根吗？教师板书于黑板①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦6a 的立方根。

2.1.1（1）指数与指数幂的运算（教学设计）内容：根式教学目标1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。

2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n 次方根；通过对“当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n ”的理解 ，培养学生分类讨论的意识。

3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。

教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。

教学难点：当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 的得出及运用 教学过程一、创设情境，新课引入： 问题1（课本P48问题1）：从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%．那么，在2001——2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？引导学生逐年计算，并得出规律：设x 年后我国的国内生产总值为2000年的y 倍，那么)20*,(073.1≤∈=x N x y x． 问题2（课本P58问题2）：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”． 根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数之间的关系5730)21(t P =． 当生物死亡了5730，25730，35730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，…．是正整数指数幂．它们的值分别为21，41，81，…． 当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容．二、师生互动，新课讲解：1、问题引入：（1）若a x =2，则x 叫a 的 .如：2±是4的平方根一个正数的平方根有 个，它们互为 数；负数没有平方根；零的平方根是 .（2）若a x =3，则x 叫a 的 .如：2是8的立方根，－2是－8的立方根。

课题：§2.1.1指数教学目的：（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 教学过程：一、引入课题1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3． 复习初中整数指数幂的运算性质；nn n mnn m nm n m b a ab a a a a a ===⋅+)()( 4． 初中根式的概念；如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；二、新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ），其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动）结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 例1．（教材P 58例1）．解：（略）巩固练习：（教材P 58例1）2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a a a n m n mn m0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1）r a ·s r r aa += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>； （3）sr r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 引导学生解决本课开头实例问题例2．（教材P 60例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．巩固练习：（教材P 63练习1-3）4． 无理指数幂结合教材P 62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P 63练习4）巩固练习思考：：（教材P 62思考题）例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？解：（略）点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．三、归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．四、作业布置1． 必做题：教材P 69习题2．1（A 组） 第1－4题．2． 选做题：教材P 70习题2．1（B 组） 第2题．〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。

2.1.1—1 根式的意义与性质一、学习目标1、理解根式的背景及意义，掌握根式运算的基本性质，熟练化简根式；2、理解从特殊到一般的学习方法，体会数学知识的现实应用。

二、问题导学（自学课本后，请解答下列问题）1、温故而知新，还记得什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？2、以此类推，对于任意实数，是否存在任意整数次方根呢？如果有，该如何定义与表示？ 例如：456,,......x a x a x a ===，该如何表示x ？3、基础知识填空（1）、n 次方根的定义：如果n x a =，那么x 叫做 ．（其中1n ＞，且N n ∈）。

（2）、根式：形如 式子叫根式．这里n 叫做 ， 叫做被开方数。

（3）、根式的性质：①、 n 0＝ ；②、n = ；③、当n 是奇数时n n a ＝ ；当n 是偶数时n n a ＝ 。

★思考：请用分段函数的形式表示（3）中的性质③。

4、求下列各式的值（1 5、化简下列各式3 4 三、合作探究例1：求下列各式的值（1） （2）1)a ≤ （3）625625++-例2：（1）若x ＜23x -= 。

（2）若62-x 有意义，则x 的取值范围是 。

变式131a =-，则a 的取值范围是 。

变式2：)1()1(22a a --+ ＋33)1(a -四、当堂检测1、以下说法正确的是（ ） A 、正数的n 次方根是正数 B 、负数的n 次方根是负数C 、０的n 次方根是０)(N n ∈D 、a 的n 次方根是n a2、()0442-+-a a 有意义，则a 的取值范围是（ ） A 、2≥a B 、2≥a 且4≠aC 、2≠aD 、4≠a3、若________,022=++<x x x x x 则。

4、当１＜x ＜３时，化简)1()3(22x x --+的结果是（ ）5、若n n 33-=-，则n 的取值范围是 。

★6、某企业生产总值的月平均增长率为p ，则年平均增长率为 。