时间序列介绍（一）

时间序列介绍（⼀）

引⾔

DT时代，数据的重要性已经不必再强调了。

最近⼏年深度学习，机器学习，⼈⼯智能炙⼿可热，各⾏各业的⼈，⽆论是单纯的蹭热度也好，还是真的想做⼀些改变，都在往这三个概念上靠，但我相信，绝⼤部分⼈是真的希望借着⼈⼯智能的‘好风’做出些成绩的。⽽这些所谓的‘⾼科技’对数据却⼜是强依赖的。 那么对数据深⼊了解，做到知⼰知彼，可以说是很有必要的。

数据中，有⼀种数据叫时间序列数据，是很重要的⼀种数据。这种数据在各⾏各业都占有很⼤的⽐重。⽬前，在⾦融界，时间序列的研究是最热的。没办法，⼈家那可是最直接的真⾦⽩银。⽽其他⾏业对此研究可就有点跟不节奏了。希望接下来的系列⽂章对⼤家能有所帮助。

1.时间序列分解

时间序列是按照时间次序排列的随机变量序列。如股价变动，CPU使⽤率波动等等。下图是某地历史上的降⾬量时间序列图：（是不是感觉和你熟悉的数据样⼦差不多？）

任何时间序列经过合理的函数变换后，都可以被认为是由三个部分叠加⽽成的，即：趋势项部分，周期项部分，以及随机噪声项部分。

⽤公式表⽰：X_t = T_t + S_t + R_t, t = 1,2,3,...

其中 T是趋势项，S是周期项，R是随机项，X则是时间序列项。t代表的是时间。

研究时间序列的最主要⽬的当然是预测。 ⽽从时间序列中把这三个部分分解出来是序列分析、预测的的⾸要任务，这⼀过程被称为时间序列分解（Time Series Decomposition, TSD)。

1.1 分解时间序列

趋势项是时间序列中总体的变化趋势，是缓慢的，长期的。⼀般先把趋势项分离出来，再依次分离周期项、随机项。其分解⽅式有以下⼏种：

1.1.1 分段常数法

这是最简单最直接的⽅法，⽐如，把股票的⽉均价做为股价的趋势变化。然后⽤时间序列减掉趋势项，剩下周期项与随机项。可再以周均值或⽇均值做为周期项，再减掉即剩下随机项了,也即随机项的估计了。

1.1.2回归趋势

另⼀种⽐较简单的趋势拟合即是采⽤线性回归。从趋势项的⾓度，可简单地认为时间序列与时间有简单的线性关系：X_t = a + bt + \epsilon_t, \ \ t = 1,2,3,...

或者可以认为是⼆次曲线的趋势：X_t = a + bt + ct^2 + \epsilon_t, \ \ t= 1,2,...

当然，⼀说到回归，选择也就多了起来，不必拘泥某⼀种形式，根据相关数据选择最优的模型是关键。

1.1.3 逐步平均法

可理解为在时间维度上的分段平均法。

1.2 平稳序列

可以看到，时间序列中的趋势项，以及周期项是⽐较容易提取的，其中应⽤到的知识也是⽐较长规，甚⾄可以说是简单。当剔除趋势项以及周期项，时间序列往往表现出某种平稳波动性，即平稳序列。我们之所以研究时间序列，或者说时间序列可研究，是因为我们认为时间序列数据是蕴含数据的变化信息的。基于此，我们才可以在知道历史数据时，对未来做出预测。⽽平稳性是要满⾜的⼀个条件。（如果不满⾜怎么办？那我们后⾯会谈到如何将⾮平稳的变成平稳序列。如果变不成呢？那就没辙了。

1.2.1基本概念

在讲平稳序列之前，我们先来说说基本概念：

随机变量序列\{Y_t: t= 0,\pm1,\pm2,...\} 称为⼀个随机过程，并以之作为观测时间序列模型。已知该过程完整的概率结构是由所有 Y 的有限联合分布构成的分布族决定的。⼤家不要被其中的关于随机过程的相关名词吓到，没必要，你只要知道他是以数学的⽅式来描述时间序列就够了。我只需关注下⾯的⼀些概念就可以了。

对于随机过程：\{Y_t: t= 0,\pm1,\pm2,…\} ：1. 均值函数：

\mu_t = E(Y_t), t= 0,\pm1,\pm2,…

即\mu_t 恰是过程在t时刻的期望值，⼀般地，不同时刻\mu_t 可取不同的值。2. ⾃协⽅差函数：

\gamma_{t,s} = Cov(Y_t,Y_s), t,s = 0,\pm1,\pm2,…

其中 Cov(Y_t,Y_s) = E[(Y_t - \mu_t)(Y_s - \mu_s)] = E(Y_tY_s) - \mu_t\mu_s3. ⾃相关函数：

\rho_{t,s} = Corr(Y_t,Y_s), t,s = 0,\pm1,\pm2,…

其中Corr(Y_t,Y_s) = \frac{Cov(Y_t,Y_s)}{\sqrt{Var(Y_t)Var(Y_s)}} = \frac{\gamma_{t,s}}{\sqrt{\gamma_{t,t}\gamma_{s,s}}}

从上⾯可以推知：\gamma{t,s} = \gamma{s,t}; \ \ \ \ \ \ \rho_{t,t} = 1

\gamma_{t,t} = Var(Y_t);\ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho_{t,s} = \rho_{s,t}

|\gamma_{t,s} \le \sqrt{\gamma_{t,t}\gamma_{s,s}}|; \ \ \ \ \ |\rho_{t,st} \le 1|

上⾯是最最基本的概念了，⼤家不要被公式吓到，你能看到这篇⽂章，99% 说明你上过⼤学，这些充其量也就是⾼中知识，多⼀分钟思考，之后的概念才好理解。以后不必要的公式绝不放上来，有⽤的公式我⼀定会‘⼤⽩话’给⼤家解释。'冻挖瑞~'

1.2.2随机游动

令 e_1, e_2, … 为⼀列独⽴同分布随机变量序列，简记为e_1, e_2,\dots *i.i.d*. 假定 var(e_1$) = \sigma, Ee_1 = 0

按下⾯的⽅式给出的序列{X_t：和=1, 2, …},称为随机游动（random walk):\left. \begin{aligned} X_1 & = & \epsilon_1 \\ X_2 & = & \epsilon_1 + \epsilon_2 \\ &\vdots& \\ X_t & = & \epsilon_1+\epsilon_2 +\dots+\epsilon_t \end{aligned} \right\}

等价地，(定义X_0= 0)：X_t = X_{t-1} + \epsilon_t, \ t = 1, 2, ...

即 t 时刻的变量是与（t-1）时刻有关的。

刚可以很得到下⾯的⼀些结论：\mu_t = EX_t = E(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \dots + \epsilon_t) = 0,\ \ t=1, 2, ...

\gamma_{t,s} = \sum_{i = 1}^t\sum_{j=1}^s cov(\epsilon_i,\epsilon_j) = s\sigma^2, 1 \le s \le t

\rho_{t,s} = \frac{\gamma_{t,s}}{\sqrt{\gamma_{t,t,}\gamma_{s,s}}} = \frac{s\sigma^2}{\sqrt{t\sigma^2s\sigma^2}} = \sqrt{\frac{s}{t}}, 1\le s\le t

这⾥也就是说，对于满⾜随机游动的时间序列，它的序列均值是0，⽅差是⼀个定值，t,s两时点的数据相关系数只与两者所在时间有关，⽽与其他⽆关。

下图是⼀个随机游动模拟的例⼦：

1.2.3 平稳性

接下来，我们就要了解下平稳性的概念了。平稳性可分为严平稳以及宽平稳两种：1. 时间序列\{X_t : t= 0,\pm1,\pm2,…,\} 称为严平稳，若其（联合）概率分布具有推移不变性。即对任意整数s\le t 及正整数n \ge 1,随机向量(X_s,X_{s+1},…,X_{s+n}) 和(X_t,X_{t+1},...X_{t+n}) 具有相同的（联合）概率分布。通俗地说，即随便取两段相同长度的时间序列数据，’看起来‘应该差不多，没有明显区别。

如果在⽣产⽣活中碰到严平稳数据应该⾼兴因为它⼀定会很好处理，但绝⼤部分都不符合严平稳的性质。但我们会经常碰到宽平稳数据：1. 时间序列\{X_t : t= 0,\pm1,\pm2,…,\} 称为宽平稳：若其满⾜如下3条：EX_t^2 \le \infty, t=0,\pm1,\pm2,...均值函数为常数，\mu_t = EX_t =c, t = 0,\pm1,\pm2,...⾃协⽅差函数\gamma_{t,s} 只依赖于时间间隔（t-s) (等价地 ( s-t ) )，即：\gamma_{t,s} = \gamma_{s,t}, \ \ \ \ \ t,s = 0,\pm1,\pm2,...

以后指的平稳性，如⽆特指，即指的是宽平稳。

1.2.4 两类重要的平稳时间序列

1. ⽩噪声

设时间序列\{\epsilon_t: t = 0,\pm1,\pm2,\dots\} 满⾜：E\epsilon_t = 0, cov(\epsilon_t,\epsilon_s) = \left\{ \begin{aligned} \sigma^2, \qquad t = s && \\ && t,s = 0,\pm1,\pm2,\dots \\ 0 , \qquadt\ne t && \\ \end{aligned} \right.

则称\{\epsilon_t\} =\{\epsilon_t: t = 0,\pm1,\pm2,...\} 为⽩噪声，简记为：\{\epsilon_t\}\sim WN(0,\sigma^2).

可知对于⽩噪声：\gamma_k = \left\{\begin{aligned} \sigma^2, \quad k = 0 &&\\ && k = 0,\pm1,\pm2,...\\ 0, \quad k \ne 0. &&\\ \end{aligned}\right.

\rho_k = \left\{\begin{aligned} 1, \quad k = 0 &&\\ && k = 0,\pm1,\pm2,...\\ 0, \quad k \ne 0. &&\\ \end{aligned}\right.

⽩噪声的结构相对简单，但却是⾮常重要的，因为它是后⾯要讲的众多重要模型或序列的‘⽣成元’。1. 随机余弦波：

这个也是⼀个重要的平稳时间序列，但可能后⾯很多讲都见不到，等见到，咱再讲也不迟。

1.3 总结

作为第⼀讲，我们从整体上了解了什么是时间序列，也讲了很多概念，更⽤了很多公式，这些是时间序列最最基本的东西，是后⾯的知识的基础，⼤家⼀定把这⾥的东西‘吃透’，那后⾯的知识就会⽐较轻松。

1.4 参考⽂献：

PS: 接下来基本上都是以下列⽂献作为参考⽂献，所以后⾯将不再罗列出来，除⾮新加⼊的⽂献，请知悉。

1: 何书元. 应⽤时间序列分析 北京：北京⼤学出版社，2003

2: Peter J. Brockwell, Rechard A. Davis 著， ⽥铮等译. 时间序列的理论与⽅法（第⼆版）.北京：⾼等教育出版社，2001

3: Jonathon D. Cryer, Kung-Sik Chan 著，潘红宇等译.时间序列分析及应⽤：R语⾔（原书第⼆版）.北京： 机械⼯业出版社，2011

4: Walter Enders 著，杜江；谢志超译. 应⽤计量经济学：时间序列分析（第⼆版）.北京：⾼等教育出版社，2006.5: Ruey S. Tsay 著，王远林等译.⾦融时间序列分析（第三版）北京：⼈民邮电出版社，2012.Processing math: 0%