北京市房山区2022届高三一模数学试卷(word版,含答案)
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1 / 12 北京市房山区2022届高三一模数学试卷
数 学
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2,1,0,1,2A，22Bxx∣则AB（ ）
（A）2,1,0,1,2 （B）1,0,1
（C）2,2 （D）0,1
（2）在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2,1)，则zz（ ）
（A）5 （B）3
（C）5－4i （D）3－4i
（3）若0ab，且ab则下列不等式一定成立的是（ ）
（A）22ab （B）11ab
（C）2baab （D）2abab
（4）若6axx的展开式中的常数项为20，则a（ ）
（A）2 （B）－2
（C）1 （D）－1
（5）已知M为抛物线22(0)xpyp上一点，M到抛物线的焦点的距离为4，到x轴距离为3，则p（ ）
（A）12 （B）1 （C）2 （D）4
（6）在等差数列na中，35a，1511109aa则15aa（ ）
（A）92 （B）9 （C）10 （D）25
（7）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为31log2100Qv，其中Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（ ）
（A）2600 （B）2700 （C）26 （D）27
（8）已知函数2()2cos()1fxx，则“()4kkZ”“是fx为奇函数”的（ ） 2 / 12 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知直线l被圆22:2Cxy所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（ ）
（A）21yx （B）22(1)1xy
（C）2212xy （D）221xy
（10）已知U是非空数集，若非空集合12,AA满足以下三个条件，则称12,AA为集合U的一种真分拆，并规定12,AA与21,AA为集合U的同一种真分拆．
①12AA；
②12AAU；
③1,2Ai的元素个数不是1A中的元素．
则集合1,2,3,4,5,6U的真分拆的种数是（ ）
（A）5 （B）6 （C）10 （D）15
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若双曲线2221(0)xyaa的一条渐近线方程为12yx，则a_______．
（12）已知ab,是单位向量，2cab，且ac，则ab_______；c_______．
（13）将函数2fxsinx的图象向右平移6个单位长度后得到函数gx的图象，则gx_____；若gx在区间0,m上的最小值为0g，则m的最大值为_____．
（14）函数fx的图象在区间0,2上连续不断，能说明“若fx在区间0,2上存在零点，则0:20ff”为假命题的一个函数fx的解析式可以为fx______．
（15）如图，正方体1111ABCDABCD-的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面11BBCC的边界及其内部运动．给出下列四个结论：
①1DOAC；
②存在一点P，11//DOBP；
③若1DOOP，则11DCP△面积的最大值为5；
④若P到直线11DC的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分．其中所有正确结论的序号_________．
3 / 12 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
如图，在三棱柱111ABCABC中，1BB平面ABC，11ABBCBB．
（I）求证：//AC平面11BAC；
（I）若ABBC，求：
①1AA与平面11BAC所成角的正弦值；．
②直线AC与平面11BAC的距离、
（17）（本小题14分）
在ABC△中，，sincosbAaB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABC△存在且唯一，求ABC△的面积．
条件①：1cos2A；
条件②：2b；
条件③：AB边上的高为62．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题14分）
良好的生态环境是最普惠的民生福祉，北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降．2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破，下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计．
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 合计
空气质量优良天数 24 18 11 27 23 21 26 29 27 29 23 30 288
空气质量污染天数 7 10 20 3 8 9 5 2 3 2 7 1 77
（Ⅰ）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；
（Ⅱ）从2021年的4月、6月和9月中各任选大，设随机变量X表示选出的3天中空气质量优良的天数，求X的分布列；
（Ⅲ）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为21S，空气质量污染天数的方差为22S会．试判断21S，22S之的大小关系．（结论不要求证明）
4 / 12 （19）（本小题14分）
已知函数()(ln)xfxxae．
（Ⅰ）当0a时，求曲线yfx在1x处的切线方程；
（Ⅱ）若fx在区间0,e存在极小值，求a的取值范围．
（20）（本小题15分）
已知椭圆C的离心率为32，长轴的两个端点分别为2,0,2,0AB．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点1,0的直线与椭圆C交于,MN（不与,AB重合）两点，直线AM与直线4x交于点Q．
求证：MBNMBQBNSSBQ△△．
（21）（本小题14分）
若无穷数列na满足如下两个条件，则称na为无界数列：
①01,2,3nan；
②对任意的正数，都存在正整数N，使得Na．
（Ⅰ）若21,2cos1,2,3nnanbnn，判断数列na，nb是否是无界数列；
（Ⅱ）若21nan，是否存在正整数k，使得对于一切nk，
都有122311nnaaanaaa成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
（Ⅲ）若数列na是单调递增的无界数列，
求证：存在正整数m，使得122311mmaaamaaa．
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参考答案
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B A C D C B D A C A
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11） 2 （12）12;3 （13）5sin(2);36x
（14）答案不唯一，如(x－1)2 （15）①③
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
（Ⅰ）在三棱柱ABC－A1B1C1 中，四边形 AA1CC1为平行四边形.
所以 AC // A1C1 ..................................................... 2
因为 AC平面BA1C1，A1C1平面 BA1C1，
所以 AC//平面BA1C1 ............................................ 2(4)
（Ⅱ）因为 BB1⊥平面ABC，AB,BC平面ABC，
所以BB1⊥AB,BB1⊥BC.
又 AB⊥BC，
所以AB,BB1,BC两两互相垂直.
如图建立空间直角坐标系 B－xyz， ...................................................................................... 1(5)
则A(1,0,0),B1 (0,1,0),C1 (0,1,1),A1 (1，1，0)，B(0,0,0).
所以1(1,1,0)BA，1(0,1,1)BC, 1(0,1,0)AA .......................................................... 6(6)
设平面BA1C1的法向量为n ＝(x, y,z)，则
1100nBAnBC，即00.xyyz
令x＝1，则y＝－1, z＝1.于是n＝(1, －1,1) ........................................................................ 3（9）
① 设直线 AA1与平面 BA1C1 所成的角为θ，则
112221(0,1,0)(1,1,1)3sincos,3111(1)AAnAAnAAn ............................................ 2（11）
