《一次函数与一元一次方程》教学设计
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《一次函数与一元一次方程》教学设计
《一次函数与一元一次方程》教学设计
教学目标
1. 理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题。
2. 学习用函数的观点看待方程的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。
3. 经历方程与函数关系问题的探究过程学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。
教学难点一次函数与一元一次方程的关系的理解。
知识重点一次函数与一元一次方程的关系的理解。
教学过程（师生活动）设计理念
导语
前面我们学习了一次函数．实际上一次
函数是两个变量之间符合一定关系的一种互
相对应，互相依存．它与我们七年级学过的
一元一次方程，一元一次不等式，二元一次
方程组有着必然的联系．这节课开始，我们
就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等
式，并充分利用函数图象的直观性，形象地
看待方程(组)不等式的求解问题．这是我们
学习数学的一种很好的思想方法．
点明学习本
节内容的必要性：
（1）函数与方程、
方程组、不等式有
着必然的联系；
（2）用函数的观
点看待方程、方程 组、不等式是我们
学数学应该掌握
的思想方法。
给学生一个
本节内容的大致
框架。
引入新课
我们先来看下而的问题有什么关系：
（1）解方程0
20
2=
+
x
（2）当自变量为何值时，函数
20
2+
=x
y的值为零？
问题：
①对于0
20
2=
+
x和20
2+
=x
y，从形
式上看，有什么相同和不同的地方？
②从问题本质上看，（1）和（2）有什么
关系？ ③作出直线20
2+
=x
y（建议课前作出，
以免影响本节课主体），看看（1）和（2）是
用具体问题作对
比，帮助学生理
解。
怎样一种关系？
探讨归纳
从前面的讨论我们可以看到：一个一元
一次方程的求解问题，可以与某个相应的一
次函数问题相一致，人认为在一般情况下，
怎样的解一元一次方程问题与怎样的一次函
数问题是同一的？
学生小组讨论（鼓励学生用自己的语言
说明为什么同一？图象上怎么看？函数方程
形式上怎么看？
师生共同归纳（教科书39页）（略）
让学生在探
究过程中理解两
个问题的同一性。
巩固练习
1.以下的一元一次方程问题与一次函数
问题是同一个问题。
序
号
一元一次方程
问题
一次函数问题 1 解方程
2
3=
-
x
当x为何值时，
2
3-
=x
y的值为0
2 解方程
3
8=
+
x
3 当x为何值时，
2
7+
-
=x
y的值为0
4
解：（略）
注：第4题为开放题，鼓励学生有自己
的想法与见解。如“解方程8
5
3=
+
x”与“当
x为何值时，5 3+
=x
y的值为8”是同一个
问题等等。
2.根据下列图象，你能说出哪些一元一
次方程的解？并直接写出相应方程的解？
此处练习为补充，
可以帮助学生在
积累了一些理性
认识的基础上，增
加更多的形象了
解
解：05=x 的解是0=x ；02=+x 的解
是2-=x
063=+-x 的解是2=x ；由图象可得函
数关系式是1-=x y ，从而得出01=-x 的解
是1=x
综合应用 教科书第39页例1（略）
解法1（略）
解法2（略） 对于解法2还可以拓展成：对于函数
52+=x y ,当17=y 时，求x 的值，鼓励学生
进一步思考.
例1可看成是一次函数与一元一次方程关系的一个直接应用。 小结与作业
归纳提高 框图化小结：
从数的角度看:
从形的角度看：
从数形两方面总结，帮助学生建立数形结合的观念。
x y
y=5x o x y y=x+2 o 2
-2 x y
y=-3x+6
o 2 x y y=x-1 o
1 -1 求)0(0≠=+a b ax 的解
x 为何值时b ax y +=的值为0
确定直线b ax y +=与x 轴的横坐标 求)0(0≠=+a b ax 的解
布置作业教科书第45页习题11.3第1、2题教科书上练习题量可能不足，教师根据情况也可以补充一些题。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）用函数的观点看方程，是学生应该学会的一种数学思想方法．与老教材相比，这种观点的形成与确立，明显前移．本节课的设计，考虑到了学生形成观点的需要，更考虑到了学生对函数与方程之间的关系的理解．因而在具体的教学过程中，应当侧重帮助学生形成观点，忽略画图象等已会环节，并通过较多的补充例题及课后练习，帮助学生抓住重点，理解函数与方程之间关系的本质所在．同时也应重视教科书上例1那样的完整示例．本节课的设计，旨在让学生在理解数学本质的基础上，学得形象，学得轻松；既能规范地解决本节课的有关习题，又有数学观点上的升华．
背景资料
函数思想与方程思想
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点构造数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式；所设未知数沟通了变量之间的关系；这就是方程的思想．
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数．一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数相等时自变量的取值。因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题也可以用方程的方法解决．
