小船渡河模型(含答案)
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运动的合成与分解实例——小船渡河模型
一、基础知识
（一）小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝dv1(d为河宽)．
②过河路径最短(v2 ③过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法 垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆 心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v1v2，最短航程：s短＝dcos α＝v2v1d. （二）求解小船渡河问题的方法 求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移． 无论哪类都必须明确以下四点： (1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是 船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动， 一般情况下与船头指向不一致． (2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流 方向和船头指向分解． (3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关． (4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法 则求极限的方法处理． 二、练习 1、一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则： (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 解析 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向． 当船头垂直河岸时，如图所示． 合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s. t＝dv2＝1805 s＝36 s v＝v21＋v22＝525 m/s x＝vt＝905 m (2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直 河岸方向成某一夹角α，如图所示． 有v2sin α＝v1， 得α＝30° 所以当船头向上游偏30°时航程最短． x′＝d＝180 m. t′＝dv2cos 30°＝180523 s＝243 s 答案 (1)垂直河岸方向 36 s 905 m (2)向上游偏30° 243 s 180 m 2、一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是 ( ) A．船渡河的最短时间是25 s B．船运动的轨迹可能是直线 C．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s2D．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C 解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t＝1005 s＝20 s，A错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B错误；船在最短时间内渡河t＝20 s，则船运动到河的中央时所用时间为10 s，水的流速在x＝0到x＝50 m之间均匀增加，则a1＝4－010 m/s2＝0.4 m/s2，同理x＝50 m到x＝100 m之间a2＝0－410 m/s2＝－0.4 m/s2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s2，C正确；船在河水中的最大速度为v＝52＋42 m/s＝41 m/s，D错误． 3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则 ( ) A．船渡河的最短时间是60 s B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船航行的轨迹是一条直线 D．船的最大速度是5 m/s答案 BD 解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t＝dv2＝3003 s＝100 s，A错，B对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v＝42＋32 m/s＝5 m/s，C错，D对． 4、(2011·江苏·3)如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为 ( ) A．t甲 C．t甲>t乙 D．无法确定 答案 C 解析 设两人在静水中游速为v0，水速为v，则 t甲＝xOAv0＋v＋xOAv0－v＝2v0xOAv 20－v2 t乙＝2xOBv 20－v2＝2xOAv 20－v2<2v0xOAv 20－v2 故A、B、D错，C对． 5、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H，河水流速为v0，划船速度均为v，出发时两船相距233H，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A点，则下列判断正确的是 ( ) A．甲、乙两船到达对岸的时间不同 B．v＝2v0 C．两船可能在未到达对岸前相遇 D．甲船也在A点靠岸 答案 BD 解析 渡河时间均为Hvsin 60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由vcos 60°＝v0得v＝2v0，甲船在该时间内沿水流方向的位移为(vcos 60°＋v0)Hvsin 60°＝233H，刚好到达A点，综上所述，A、C错误，B、D正确． 6、一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则 ( ) A．快艇的运动轨迹可能是直线 B．快艇的运动轨迹只能是曲线 C．最快到达浮标处通过的位移为100 m D．最快到达浮标处所用时间为20 s 解析 快艇的实际速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀加速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A错误，B正确；当快艇与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100 m，C错误；由题图甲可知快艇的加速度为a＝ΔvΔt＝0.5 m/s2，最短位移 为x＝100 m，对快艇由x＝12at2得：t＝ 2xa＝ 2×1000.5 s＝20 s，即最快到达浮标处 所用时间为20 s，D正确． 答案 BD
