管综初数历年真题考点之空间几何分析

空间解析几何考研题库空间解析几何考研题库空间解析几何是数学中的一个重要分支，也是考研数学中的一项重要内容。

在考研数学中，空间解析几何题目的出现频率相对较高，因此熟练掌握空间解析几何的知识和解题技巧对于考研数学的备考至关重要。

为了帮助考生更好地备考空间解析几何，下面将介绍一些常见的考研题库，并提供一些解题技巧。

一、直线与平面直线与平面是空间解析几何中的基本概念，也是考研数学中的常见题型。

在解答这类题目时，首先需要掌握直线与平面的方程表示方法，如直线的对称式方程、参数方程等，以及平面的一般式方程、截距式方程等。

其次，需要熟悉直线与平面的位置关系，如直线与平面的相交、平行、垂直等情况。

最后，需要掌握直线与平面的求交点、距离等相关计算方法。

二、空间曲线空间曲线是考研数学中的另一个重要内容，也是考研题库中常见的题型。

在解答空间曲线题目时，需要掌握曲线的参数方程和一般方程表示方法，以及曲线的性质和特点。

例如，对于直线、圆、椭圆、双曲线等常见曲线，需要了解其方程形式、对称性、焦点、直径等相关概念。

此外，还需要掌握曲线的切线和法线方程的计算方法。

三、空间曲面空间曲面是空间解析几何中的重要内容，也是考研数学中的常见题型。

在解答空间曲面题目时，需要掌握曲面的一般方程和参数方程表示方法，以及曲面的性质和特点。

例如，对于平面、球面、圆柱面、圆锥面等常见曲面，需要了解其方程形式、对称性、焦点、几何性质等相关知识。

此外，还需要掌握曲面的切平面和法线方程的计算方法。

四、空间向量空间向量是空间解析几何中的重要概念，也是考研数学中的常见题型。

在解答空间向量题目时，需要掌握向量的加减、数量积、向量积等基本运算法则，以及向量的共线、垂直等相关概念。

此外，还需要掌握向量的投影、夹角、平面等相关计算方法。

在解答题目时，可以通过向量的几何意义和性质进行分析，从而简化计算过程。

总之，空间解析几何是考研数学中的一项重要内容，备考空间解析几何需要熟练掌握直线与平面、空间曲线、空间曲面和空间向量的相关知识和解题技巧。

2021年《管理类联考》初数真题解析之解析几何画图猜选项
一、考情分析
2021年考研刚刚落幕，各位2021的考生和2021的预备考生都很关注今年最新真题情况。

这里请来跨考名师张亚男老师为大家总结典型真题规律。

在2021年管综数学真题中，几何共考查4道题，其中平面几何1道，立体几何1道，解析几何2道。

解析几何一题考查对称问题，另一题考查几何最值问题(数形结合之截距)。

这2道题都属于简单题，相对往年真题难度有所降低。

但考生选择不同方法，解题速度截然不同。

真题中的大部分解析几何题，都可以通过画图猜选项技巧，快速解题。

跨考张亚男老师结合历年考情为各位详细分析：
1、考频与形式：
在历年真题中，每套试卷里，解析几何至少考查2道题，常常直接考查。

2、重要考点：
解析结合部分，各位考生重点掌握以下考点，位置关系、对称问题、过定点问题、方程图像、几何最值问题(即数形结合)，其中位置关系是重中之重，属于高频考点。

3、考点难度：
解析几何真题属于中等难度题，曾出现过难题，如13年1月覆
盖区域边界长度问题等。

解析几何也是几何中最可能出现难题的模块。

4、解题技巧：
在历年管理类数学真题中，平面解析几何除了正常运用对称的公式、结论解题外，往往可通过画图猜想答案，快速解题。

当然解析几何中的其他问题，如位置关系等，大部分也可以通过画图猜想答案。

因此，建议各位考生平时做题准备好直尺、量角器、圆规等工具，遇到角度问题直接用量角器，遇到圆与圆位置关系、圆与直线位置关系直接用圆规、直尺。

遇到对称问题直接用直尺画出对称点、对称线，猜选项解题，大大提高解题效率。

2016年MPAcc管综初数几何题全析全解2016年管综初数真题中几何包括三部分内容：平面几何、解析几何和空间几何体(立体几何)，题量一般在六题左右，由于今年空间几何体的题目比往年多了一道，今年这一部分的题目达到了七道，其中平面几何两道，解析几何三道，空间几何体两道。

这七道题之中，三题简单是送分的题目，三题中等要稍加推导，剩下一题很难考生失分严重。

我们由简单到难依次分析一下：一、简单题：此题需要注意的有两点，一是“内径”的意思是底面的直径而非半径，二是此题计算相对较大，要确保计算准确。

这三道题都是对基础知识点基础公式的考察与应用，属于必拿分的题目。

二、中等题：两道中等难度的题目，都是平面几何题，一个求不规则图形(弓形)的面积，一个求线段的长度。

求弓形的面积要把其转化为扇形减三角形的面积。

求线段的长度要用到相似三角形边长之比相等来进行解题，由于第7题所给选项的数值非常接近，所以用直尺测量不再是一个好方法。

三、难题：此题是一道比较偏的试题，是专门为水平很高那部分拔尖的学生而设的，换句话说这道题对与大部分考生来说是一道品运气的题目。

关于凯程：凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直致力于高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。

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管综初数大纲解析之解析几何初数老师：曹燕兵 2015年解析几何的大纲考点1. 平面直角坐标系；2. 直线方程与圆的方程；3. 两点间的距离公式与点到直线间的距离公式.命题剖析纵观历年真题，解析几何部分每年一般考3个题目，命题方向主要体现在一下四个方面：一个是根据已知条件求方程表达式；二是确定所给图像经过的象限；三是确定位置关系（直线与直线、直线与圆、圆与圆）；四是考查对称问题（中心对称与轴对称）。

真题重现2014年1月10. 已知直线L 是圆225x y +=在点()1,2处的切线，则L 在y 轴上的截距为（ ）()()()()()223555322A B C D E【解析】本题考查圆的切线方程求法圆心()0,0O 与切点()1,2P 的连线与切线L 互相垂直，即斜率1OP L k k ⨯=-，已知2OP k =，则12L k =- 则切线L 的直线方程可用点斜式表示，即()1212y x -=--，纵截距为52 综上所述，此题选D 。

2014年1月21. 已知,x y 为实数，则221x y +≥（1）435y x -≥ （2）()()22115x y -+-≥ 【解析】考查直线与圆、圆与圆的关系条件（1）：不等式表达了直线435y x -=的一侧，由一系列的点组成的一个区域均在圆221x y +≥外，即充分。

可画图如下：条件（2）：不等式表达了圆()()22115x y -+-=外部的点，由在此区域内的点并不是全部满足221x y +≥，即有圆221x y +=内的点，可画图如下：2013年1月8、点)4,0(关于012=++y x 的对称点为（ ）（A ） )0,2( （B ）)0,3(- （C ） )1,6(- （D ） )2,4( （E ）)2,4(-解析：本题考查解析几何点关于直线对称问题解析几何求点关于直线的对称点的处理方式为：设对称点坐标为（a, b ），则利用两个条件，即两点连线与对称线垂直、两点连线段中点在对称线上：00001022l b y k a x x a y b A B C -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩ )4,0(与其对称点连线的中点必在直线012=++y x 上，则与选项结合，可知E 选项中的点)2,4(-与)4,0(点的中点为)3,2(242,204(-=++-，将其代入直线，有013)2(2=++-⨯等式成立. 综上所述，本题答案为E 2013年1月16、已知平面区域}9)()(|),{(},9|),{(20202221≤-+-=≤+=y y x x y x D y x y x D ，则12,D D 覆盖区域的边界长度为8π3 3)2(9)1(002020=+=+y x y x解析：本题考查圆的标准方程、弧长圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=，其中圆心为(),a b ，半径为r 弧长公式：l r θ=(1) 9x 2020=+y 圆盘22200{(,)()()9}D x y x x y y =-+-≤的圆心1O ，在圆盘229x y +≤的边界上，圆盘229x y +≤的圆心2O 在圆盘22200{(,)()()9}D x y x x y y =-+-≤的边界上，两圆周的交点为,A B ，连接,A B ，12,O O ，两条直线相交于O 点，则易知，1232OO OO ==，1112363AO BAO AO B ππ=⇒∠=⇒∠=，由弧长公式得到：22AO B π=，同理得到22AO B π=，所以得到覆盖面积的边界长度为：1248πππ-=，充分。

2021管理类联考初数真题—几何模块分析此处，我要把几何模块拿出来单独分析，一方面是因为今年的几道几何考题比较多，共7道考题，并且均不容易，可以称的上是“丧心病狂”，估计会给一些考生留下一定的心理阴影;另一方面，也是因为我们在平常的训练过程中，有部分同学一直认为自己对几何部分非常了解，导致对几何题目非常不重视，对知识点的不熟悉必然导致失分。

马失前蹄，跨考教育初数教研室曹新宇老师希望能给接下来复习考研的同学留下警醒，一定要重视对几何部分的复习，特别是难度较大的解析几何部分的复习。

接下来我们将详细解读19年的考题几何模块。

一、平面几何今年共出了2道平面几何题，一道简单题，一道难题，是比较少见的，关键在难题上还给大家设置了一定的难度。

简单题是考察了大家对面积公式的了解，如果两个三角形等底，那么面积之比等于高之比;如果一个三角形的一个角和其对应的边分别在两条平行线上，那无论顶点怎么平行移动，三角形的面积是不会变化的，如果考生对这个结论熟悉，我相信解出这道题是轻而易举的，此处不过多啰嗦;接下来的一道难题归到选择题中，属于难题范畴，其实题目本身并不难，但是如果你对此类题型不够熟悉，那么你肯定无法作出辅助线，如果做不出辅助线，那此题将无从下手，所以成为你的一个麻烦。

希望考生们注意，由于我们不考三角函数，一旦题干中只是给出了边长，需要求边长，要想解决问题，我们只能依靠我们所学的知识勾股定理来解决，而要能使用勾股定理，对于非直角三角形，我们能做的只有作某一边上的高，因为只有这样才能出现直角三角形，只有这样我们才能应用到我们所学的勾股定理的知识，希望考生能熟记这些规律。

当然如果考生对三角函数有所了解，解决此题也是易如反掌。

所以老师在此处重点强调，如果时间允许的话，希望大家能掌握基本的三角函数定理，正弦定理和余弦定理，尽管不在考察范围内，但如果你知道这两个定理，解决某些问题将易如反掌。

(2021年考了一道平面几何也可使用三角函数中的正弦定理解决，2021年的平面几何考题可使用三角函数中的余弦定理解决)。

第十章空间几何体第一节：长方体、正方体长方体的特征：4、长方体相邻的两条棱互相（相互）垂直。

5、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长 a、宽 b、高 c。

正方体【例 1】：长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB = 4, BC = 3, BB1= 5 从点 A 出发沿表面运动到长方体的相关计算：设长方体的长、宽、高分别为：a、b、c1、长方体的表面积公式：S表=2ab + 2bc + 2ac = 2(ab +bc +ac)2、长方体的体积公式：V =abc或者，V =Sh （长方体体积=底面积×高），这里S 是长方体的底面积3、长方体棱长之和公式：C = 4 (a +b +c)4、长方体对角线长度公式：L =a2 +b2 +c21、长方体有 6 个面，每个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形。

2、长方体有 12 条棱，相对的棱长度相等。

3、长方体有 8 个顶点。

正方体相关问题可以参照长方体中 a=b=c 的情况，可以得到：1、S表=6a 22、V =a33、C = 12a4、L =3a105 57 2C 1 点的最短路线长为（）A. 3B. 4C.D.E. 5第二节：圆柱体圆柱体的概念：以矩形（长方形或正方形）的一边为轴使矩形旋转一周所成的立体。

1、圆柱体底面积公式： S 底=2πr （有两个底）2、圆柱体体积公式： V =πr 2h3、圆柱体侧面积公式： S 侧=2πrh4、圆柱体表面积公式（ 或全面积）： S 表 = S 侧 + S 底5、特殊情况 1：当轴截面为正方形时（ 2r =h ），有下列结论：S 侧=4πr S 表 = S 侧 + S 底 = 6πrV =2πr 3特殊情况 2：当旋转的矩形为正方形时（ r = h ），有下列结论：圆柱体的特征：1、两个底面为圆，且两圆全等2、侧面展开为矩形圆柱体的相关计算：设圆柱体的底面半径为 r 、高为 h ：74 222S侧=2πrS 表=S侧+S底= 4πr V=πr3【例 2】：一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（）A. 51cm B.61cm C. 71cm D. 81cm E. 9cm3 3 3 3第三节：球体球体的概念：一个半圆，以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。

考研数学空间几何题解题方法考研数学中，空间几何是一个重要的考点，也是相对较难的一部分。

为了在考试中取得好成绩，我们需要掌握一些解题方法和技巧。

本文将介绍一些常见的解题方法，希望对考研数学空间几何的备考有所帮助。

1. 空间直线和平面的位置关系在解题过程中，我们经常会遇到判断空间直线和平面的位置关系的问题。

其中，最常见的情况是判断直线是否与平面相交。

一种简单但有效的方法是使用点法式判断。

我们可以选择直线上的一点，计算该点到平面的距离，并与平面上的一个点到平面的距离进行比较。

如果两者相等，则说明直线与平面相交；如果不相等，则说明直线与平面平行。

另一个常见的问题是判断直线和平面相互位置关系。

在这种情况下，我们可以使用方向向量进行判断。

首先，计算直线的方向向量和平面的法向量。

如果两者方向相同或者垂直，则说明直线在平面内部或在平面上；如果方向向量和法向量夹角不为零且不为90度，则说明直线与平面相交；如果方向向量和法向量夹角为90度，则说明直线与平面平行。

2. 点到直线或平面的距离在解题中，经常需要计算一个点到直线或平面的距离。

对于点到直线的距离，可以使用点到直线的公式：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)。

其中，(x0, y0)为点的坐标，A、B、C为直线的参数。

对于点到平面的距离，也可以使用点到平面的公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)。

其中，(x0, y0, z0)为点的坐标，A、B、C、D为平面的参数。

3. 直线之间的夹角和距离在解题过程中，有时需要计算两条直线之间的夹角或距离。

对于直线之间的夹角，可以使用向量内积的方法：cosθ = (a1*b1 + a2*b2) / (√(a1^2 + a2^2) * √(b1^2 +b2^2))。

其中，(a1, a2)和(b1, b2)分别为两条直线的方向向量。

对于直线之间的距离，我们可以选择其中一条直线上的一点，计算该点到另一条直线的距离，即可得到结果。

第六章平面几何【思维导图】【知识点】1.线、角（1）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；（2）任意对顶角相等（3）角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等（4）垂直平分线（中垂线）：到线段两边的距离相等2.三角形的性质：（1）三角形内角和等于180°.（2）三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.（3）三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. （4）三角形的中位线：三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半（5）三角形的面积公式： = ℎ = a s ，C 为a,b 两边之间的夹角.（6）三角形四心：内心：三条角平分线的交点，三角形的内切圆圆心.外心：三条边的垂直平分线（中垂线）的交点，三角形的外接圆圆心.重心：三条中线的交点，重心将中线分为2:1 的两段.垂心：三条高线的交点.【注】等边三角形四心合一；等腰三角形三线合一.3.三角形的分类（1）按角分a.直角三角形：有一个角是直角.勾股定理：在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，则有2 + 2 = 2.等腰直角三角形：①两直角边相等的直角三角形②边长关系1:1：2③面积公式：S = a2 = c2，a 值为等腰直角三角形的直角边，c 是斜边.有一个角为30°的直角三角形：①30°所对的直角边的边长是斜边边长的一半.②三边边长关系为 1：3：2 任意直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.b.锐角三角形：三个角都是锐角.锐角三角形：2 + 2 > 2.c.钝角三角形：有一个角大于90°.钝角三角形：2 + 2 < 2.（2）按边分a.等腰三角形：有两个边的长度相等的三角形或两个内角相等的三角形.b.等边三角形（正三角形）：三角形的三条边，三个角相等的三角形，面积公式为： = 2.4.三角形的全等和相似（1）三角形全等【定义】即两个三角形的大小和形状完全相等，即对应角，对应边完全相等.【判定定理】判断两个三角形全等的充要条件a.两个三角形有两边及对应的夹角相等：SAS.b.两个三角形有两个角及对应的夹边相等：ASA.c.两个三角形的三条边对应相等：SSS.d.两个三角形有两个角及一条边对应相等：AAS.（2）三角形相似【定义】两个三角形是放大、缩小关系.【性质】a.两个三角形对应的边长成比例，对应的角相等.b.两个相似三角形对应的线段比等于相似比.c.两个三角形的周长比等于相似比.d.两个三角形的面积比等于相似比的平方.【判定定理】a.两个三角形有一个内角对应相等，其两夹边对应成比例.b.两个三角形有2 组内角对应相等.c.两个三角形的3 条边对应成比例.5.四边形（1）平行四边形【定义】两组对边分别平行的四边形.【性质】a.平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.b.一对对边平行且相等的四边形是平行四边形.【公式】a.面积公式： = ℎ.b.周长公式： = 2( + ).a、b 分别是平行四边形的两边长，h 为底边上的高.（2）矩形【定义】四个内角都为直角的四边形.【性质】a.两对角线相等且互相平分.b.矩形的面积等于长乘宽.c.四边相等的矩形为正方形.【公式】a.矩形面积公式： = a.b.矩形周长公式： = 2( + ).a、b 分别是矩形的两边长.c.正方形面积公式：= 2.d.正方形周长公式： = 4.（3）梯形【定义】只有一组对边平行的四边形.【公式】a.梯形的中位线： = ( + ).b.梯形的面积等于高和中位线的乘积：S = ( + )ℎ.（4）等腰梯形【定义】两腰的长度相等（或两底角相等）的梯形.【性质】a.等腰梯形的两腰相等.b.等腰梯形在同一底上的两个底角相等.c.等腰梯形的两条对角线相等.d.等腰梯形中，若两条对角线互相垂直，则该梯形的高与中位线的长度相等. （5）菱形【定义】有一组邻边相等的平行四边形.【性质】a.四条边全部相等.b.菱形的对角线互相垂直且平分.c.菱形的对角线平分对角.【公式】a.菱形面积公式：S = c，c、d 两条对角线的长度.b.菱形的周长公式： = 4，a 是菱形的边长.6.定理（1）燕尾定理：针对任意三角形∆A: ∆ = : ∆A: ∆ = A: ∆: ∆ = A:（2）蝶形定理：针对任意四边形对于任意四边形有：1: 2 = 4: 3，即1: 3 = 2: 4.AO: OC = (1 + 2): (4 + 3). DO: OB= (1 + 4): (2 + 3).对于任意梯形 ABCD，假设上底 AD=a，下底 BC=B，则1: 2: 3: 4 = 2: a: 2: a.（3）共角定理（鸟头定理）共角三角形的面积比等于对应角（相等角或者互补角）两夹边的乘积之比. ∆B: ∆A = (B ∙ A): (A ∙ ).B C B C7.圆【定义】a.圆：与定点 O 距离等于 r 的平面上动点的轨迹，O 为圆心，r 为半径.b.切线（平面几何）：直线与圆只有一个交点，即为圆的切线.c.角的弧度：把圆弧长度和半径的比值.AD EDAE【性质】在圆 O 中，半径为 r，直径为 d=2r，线段 AB 和 AC 是过圆外点 A 的两条切线.a.直径所对的圆周角是直角.b.同一弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半.c.除了直径外，所有的弦长都小于直径（直径是圆中最长的弦）.d.等弧对等角.e.圆的切线在切点处与半径垂直.f.从圆外一点所作圆的两条切线相等.【公式】半径为 r 的圆，a.面积 = 2 = 1c2.4b.周长 = 2 =c.度与弧度的换算关系：1 弧度= 180°.π扇形的弧长： = = ∙ 2，为扇形的弧度，为扇形的角度.360扇形的面积公式： = 2 =，是扇形的弧长，为扇形的角度，是半径.3608.内切圆与外接圆（1）等边三角形的外接圆与内切圆半径：设边长为 a 的等边三角形，其内切圆半径为，其外接圆半径为. 任意直角三角形的内切圆半径为+−，其中 a，b 为直角边，c 为斜边.2（2）正方形的内接圆与外切圆：设正方形的边长为 a，则正方形的内切圆半径 = ，正方形的外接圆半径 =.2第七章立体几何【思维导图】【知识点】1.常见的空间几何体（1）长方体体积： = a表面积： = 2(a + + ) 体对角线： = 2 + 2 + 2 所有棱长和：= 4( + + )【注】当 = = 时为正方体.（2）正方体设正方体的棱长为 a，则体积： = 3表面积： = 62体对角线： =3 所有棱长和：12（3）圆柱设圆柱的底面半径为 r，高为 h，圆柱的轴截面为一个矩形，体积： = 2ℎ 侧面积： = 2ℎ表面积： = 2ℎ + 22 体对角线： =42+ ℎ2（4）球体半径 R 的球体，体积：= 3表面积： = 42（5）半球半径为 R 的半球体，体积：= 3表面积： = 322.内切球，外接球半径设正方体的棱长为 a，球体的半径为 r，则正方体的内切球半径： =2 正方体的外接球半径：= 正方体的外接半球半径： =第八章解析几何【思维导图】【知识点】1.平面直角坐标系平面直角坐标系和象限平面内的点的坐标表示为P(x, y)，其中x 表示横坐标，y 表示纵坐标.2.点点在平面直角坐标系中的表示为(, )，设两点(1, 1)与点(2, 2)，则两点间的距离为： = (1 − 2)2 + (1 − 2)2，特别地，点(, )与坐标原点(0,0)的距离为 = 2 + 2.中点坐标公式：点(1, 1)与点(2, 2)，则线段AB 的中点(3, 3)，3 = 1+22 , 3 = 1+22.3.平面直线的倾斜角和斜率（1）平面直线的倾斜角【定义】直线与 x 轴正方向所成的夹角称之为直线的倾斜角，记为∠A。