河南省2014届高三理科数学一轮复习试题选编12：抛物线 Word版含答案]

1．（2013福建文）如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C在抛物线E 上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ．（1）若点C 的纵坐标为2，求MN ；（2）若2AFAM AN =⋅，求圆C 的半径．【解析】（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)所以点C 到准线l 的距离2d =，又||5CO =．所以22||2||2542MN CO d =-=-=.（Ⅱ）设200(,)4y C y ，则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+，即22200202y x x y y y -+-=.由1x =-，得22002102y y y y -++=设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则：222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅，得12||4y y = 所以2142y +=，解得06y =±，此时0∆>所以圆心C 的坐标为3(,6)2或3(,6)2-从而233||4CO =，33||2CO =，即圆C 的半径为3322.(2014浙江文) 已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =；（1）若||3PF =，求点M 的坐标；（2）求ABP ∆面积的最大值.【解析】（1）由题意知，焦点为)1,0(F ，准线方程为1-=y ，设),(00y x P ，由抛物线的定义知，1||0+=y PF ，得到20=y ，代入24x y =求得220=x 或220-=x ，所以)2,22(P 或)2,22(-，由FM PF 3=得)32,322(-M 或)32,322(M ， （2）设直线AB 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x P ，由⎩⎨⎧===yx m kx y 42得0442=--m kx x ，于是016162>+=∆m k ，所以k x x 421=+，m x x 421-=，所以AB 的中点M 的坐标)2,2(2m k k +，由FM PF 3=，所以)12,2(3)4,(200-+=--m k k y x ，所以⎩⎨⎧--=-=mk y kx 3646200，因为0204y x =，所以154312+=m k ，由0>∆，0>k ，所以3431≤<-m ， 又因为m k k AB +⋅+=2214||，点)1,0(F 到直线AB 的距离为21|1|km +-，所以1531516|1|64232+-=+⋅-==∆∆m m m k m S S ABF ABP ， 记153)(23++-=m m m m f ，)3431(≤<-m ，令01109)(2=+-='m m m f 解得911=m ，12=m ，所以)(m f 在)91,31(-上是增函数，在)1,91(上是减函数，在)34,1(上是增函数，又)34(243256)91(f f >=， 所以当91=m 时 ，)(m f 取得最大值243256，此时1555±=k ，所以ABP ∆的面积的最大值为1355256. 解答题B1．（2014安徽理）如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B两点。

实用文档2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线一、选择题1 ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）AB ．2C ．115D ．32 ．（2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线24y x 焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,若10AB =,则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43 ．（2013北京西城高三二模数学理科）已知正六边形ABCDEF 的边长是2,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是（ ）ABCD．4 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）抛物线22y px =(p >0)的焦点为F ,已知点A ,B 为抛物线上的两个动点,且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则||||MN AB 的最大值为 （ ）A．3B ．1C．3D ．25 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于直线l :y=k (x+1)与抛物线C:y 2= 4x,k =±1是直线l 与抛物线C 有唯一交点的( )条件（ ）实用文档A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要6 ．（2013届北京海滨一模理科）抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最 小值是（ ）A ．12 BCD二、填空题7 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为P l ,为抛物线上一点,l PA ⊥,A 为垂足.如果直线AF 的倾斜角为 120,那么=PF _______.8 ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1(,0)2F ,则抛物线C的方程为___,若点P 在抛物线C 上运动,点Q 在直线50x y ++=上运动,则PQ 的最小值等于____.9 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））直线y ax b =+与抛物线2114y x =+相切于点P . 若P 的横坐标为整数,那么22a b +的最小值为______.10．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．三、解答题11．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知椭圆M 的实用文档对称轴为坐标轴,离心率为2且抛物线2y =的焦点是椭圆M 的一个焦点． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．12．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））如图,已知(3,0)(0)M m m ->,,N P 两点分别在y 轴和x 轴上运动,并且满足0MN NQ ⋅=,12NP PQ =. (Ⅰ)求动点Q 的轨迹方程;(Ⅱ)若正方形ABCD 的三个顶点,A B C ,在点Q 的轨迹上,求正方形ABCD 面积的最小值.13．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．14．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））动圆过点(0,2)F且在x轴上截得的线段长为4,记动圆圆心轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)已知,P Q是曲线C上的两点,且2PQ=,过,P Q两点分别作曲线C的切线,设两条切线交于点M,求△PQM面积的最大值.15．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知()E是抛物线22,2=上:2C y px一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于,A B两点（不同于点E），直线,EA EB分别交直线x=-于点,2M N.（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；∠为定值.（Ⅱ）已知O为原点，求证：MON实用文档实用文档北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线参考答案一、选择题 1. ,【答案】B【 解析】因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。

2014河南高考理科数学真题及答案理科数学（一）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2）【答案】A【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】D【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】C【难度】中等【点评】本题考查函数的奇偶性。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .B .C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ．7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13 C ．4 D ．3【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 B．4C．4 D ．12 【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答） 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\= ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨? ．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小.1解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AA C C ，故平面11AA C C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AA C C ．连结1A C ，∵侧面11AA C C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AA C C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1AE 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1A E=1A C 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1AFD Ð为二面角1A ABC --的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BCDF A FD AB DF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AA C C 内． （I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA =得2，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z =则1,,m CB m BB ^^即10,0m CBm BB ??．()0,1,0,CB =()112,0,,BB AA a c ==-故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-，点A到平面11BCC B 的距离为c o s ,C A m C A mC A c m×?==．又依题设，点A 到平面11BCC B的距离为,c \=3a =（舍去）或1a =．于是(11,0AA =-．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =，则1,n AA n AB ^^，即10,0,n AA n AB p r ??\-=，故且20p q -+=．令p =则1,q r ==()3,23n =．又()0,0,1p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p⋅==⋅，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4． 20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． （I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+= ，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+ ，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y Bx y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y mmm+骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0aa -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数． （ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+ 上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+ 是增函数．当()0,x ? 时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3l n 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <++． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。

河南省实验中学2014届高三二测模拟卷数学（理科）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知i 为虚数单位，则复数等于（）A．-1－i B．-1+i C．1+i D．1—i2、已知是实数集，集合3|1 M xx⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,则()RN C M=( )A. B. C. D.3、已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan（）A.33B.3-或33-C.33- D.3-4、）A．28 C．7 D．-285、已知实数[0,8]x∈，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（）A．14B．12C．34D．546、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。

每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有（）A．24种 B．18种 C．48种 D．36种7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A.3160B.160C.23264+ D.2888+8、函数()sin lnf x x x=⋅的部分图象为9、在三棱锥P －ABC 中，PA ＝3侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ．π B.3π C. 4π D.43π10、在中，分别是角所对边的边长，若则的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211、已知函数()f x 的周期为4，且当(]1,3x ∈-时，21()12m x f x x ⎧-⎪=⎨--⎪⎩(](]1,11,3x x ∈-∈，，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 ( )A ．1583⎫⎪⎪⎝⎭，B ．157⎝，C ．4833⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．473⎛ ⎝， 12、抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 ( )323 D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13、由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积是______。

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D 【解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。

所以选D.2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】A 【解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211A z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3.设向量a,b 满足|a+b|a-b|=，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。

为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】A【解析】.,8.0,75.06.0,Appp故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727 B.59 C.1027D.13【答案】C【解析】..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321Cvv故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 D【解析】8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(Daffxaxfxaxxf故选联立解得且==′=∴+=′∴+=9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】 B 【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.334B.938 C. 6332 D. 94【答案】 D【解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.30D.2【答案】 C 【解析】..10305641-0θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。

2014年全国高考理科数学试题选编十二.概率与统计试题一.选择题和填空题1.（全国课标Ⅰ.5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )．A．18 B ．38 C．58 D ．782.(课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )．A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.453.（陕西.9)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数， i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )．A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a4.(x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.55.0- 0.5 0.2- 0.3- 得到的回归方程为y bx a =+，则( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜05.(湖南2)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )． A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 36.(浙江9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ξi (i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )． A ．p 1＞p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) B ．p 1＜p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) C ．p 1＞p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) D ．p 1＜p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) 7.广东.理6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ( )．图1图2A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10 8.(江西6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )．表1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量 9.(山东7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa )的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )． A ．6 B ．8 C ．12 D ．1810(重庆3)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )． A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+11.(天津.9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生． 12.(浙江12)随机变量ξ的取值为0,1,2，若1(0)5P ξ==，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝__________. 13.(广东11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为__． 14.(江西12)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率 是__________．15.(辽宁14)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线 y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________．二.解答题1.(课标全国Ⅰ.18满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8＜Z ＜212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 4. 2. (课标全国Ⅱ.19满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121niii ni i t t y y b t t ==(-)(-)=(-)∑∑，a y bt =-.3. (大纲全国20满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立． (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率； (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．4. (陕西19满分12分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其求X 的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2 000元的概率．5. 16．(北京16满分13分)李明在10场篮球比赛中：赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数．比较EX与x的大小．(只需写出结论)6. (天津16满分13分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．7. (安徽17满分12分)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．8. (福建18满分13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．9. (湖北.20满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？10. (湖南17满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．11. (广东17满分13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．12. (江西21满分14分)随机将1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；(3)对(2)中的事件C，C表示C的对立事件，判断P(C)和()P C的大小关系，并说明理由．13. (辽宁18满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．14. (山东18满分12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．15.(四川17满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．16. (重庆18满分13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)十二.概率与统计试题解析一.选择题和填空题1.全国课标Ⅰ.5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )．A ．18B ．38C ．58D ．78解析：(方法一)由题意知基本事件总数 为24＝16，对4名同学平均分组共有2422C 3A =(种)，对4名同学按1,3分组共有14C 种， 所以周六、周日都有同学参加共有2122423A C A 14⨯+=(种)．由古典概型得所求概率为147168=. (方法二)周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动，此时只有一种情况；同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况，所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16－2＝14(种)．故所求概率为147168=.故选D.2.(课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )．A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：设某天空气质量为优良为事件A ，随后一天空气质量为优良为事件B ，由已知得P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，所求事件的概率为0.6(|)0.80.75P AB P B A P A ()===()，故选A.3.（陕西.9)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数， i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )．A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a解析：123101010+=1+1010x a x a x a x ax a y x a a +++++++++===. 101010+=1+10a x ax ax a a ++++==s 2＝221210[(1)][(1)][(1)]x a a x a a x a a +-+++-++++-+ 210(1)][(1)]a a x a a +-++++-+＝222121011110x x x (-)+(-)++(-)＝4.4.(得到的回归方程为y bx a =+，则( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜0解析：由样本数据可知y 值总体上是随x 值的增大而减少的．故b ＜0，又回归直线过第一象限，故纵截距a ＞0.故选B.5.(湖南2)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )． A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 3解析：由随机抽样的要求，知p 1＝p 2＝p 3，故选D.6.(浙江9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ξi (i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )． A ．p 1＞p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) B ．p 1＜p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) C ．p 1＞p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) D ．p 1＜p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) 解析：11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++，2223323()(1)m m mn n np m n m n -++-=++-， 2212233252()3()(1)6m n m m mn n n mn n p p m n m n m n m n m+-++-+(-=-=+++-(+)(221223325102()3()(1)61m nm m mn n n mn n n p p m n m n m n m n m n +-++-+(-)-=-=>+++-(+)(+-). 故p 1＞p 2. ξ1的可能取值为1,2， 111C (1)C n m n nP m n ξ+==+=； 111C (2)C mm n m P m nξ+==+=. 故12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++. ξ2的可能取值为1,2,3.222C (1)()C ()(1)n m n n n P m n m n ξ+-==++-=1， 1122C C 2()C ()(1)m nm n mn P m n m n ξ+==++-=2， 222C (1)()C ()(1)m m n m m P m n m n ξ+-==++-=3，故2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++- 2(1)23()(1)()(1)mn m m m n m n m n m n -+⨯+⨯++-++-＝(1)43(1)()(1)n n mn m m m n m n -++-++-.于是E (ξ1)－E (ξ2) ＝214311m n n n mn m m m n m n m n +(-)++(-)-+(+)(+-)＝21[1431]1m n m n n n mn m m m n m n (+)(+-)-(-)++(-)(+)(+-)＝(3)1m m n m n m n -+-(+)(+-).又∵m ≥3，n ≥3，∴E (ξ1)－E (ξ2)＜0， 即E (ξ1)＜E (ξ2)． 综上，应选A.7.广东.理6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )．图1图2A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10解析：由题图1知该地区中小学生的总人数为2 000＋4 500＋3 500＝10 000，因此样本容量为10 000×2%＝200.又高中生人数为2 000，所以应抽取的高中生人数为2 000×2%＝40.由题图2知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为40×50%＝20.故选A.8.(江西6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )．表 1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量解析：根据22n ad bc a b c d a c b d χ(-)=(+)(+)(+)(+)，代入题中数据计算得D 选项χ2最大．故选D. 9.(山东7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa )的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )．A ．6B ．8C ．12D ．18 解析：设样本容量为n ，由题意，得(0.24＋0.16)×1×n ＝20，解得n ＝50. 所以第三组频数为0.36×1×50＝18. 因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数为18－6＝12. 10(重庆3)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )． A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+ 解析：由变量x 与y 正相关，可知x 的系数为正，排除C ，D.而所有的回归直线必经过点(,)x y ，由此排除B ，故选A.11.(天津.9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生． 解析：依题意知，应从一年级本科生中抽取430060()4556⨯=+++名．12.(浙江12)随机变量ξ的取值为0,1,2，若1(0)5P ξ==，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝__________. 解析：设ξ＝1时的概率为p ， 则()110121155E p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+--= ⎪⎝⎭， 解得35p =. 故()()2221312(01)(11)215555D ξ=⨯+-⨯+-⨯=－.13.(广东11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为__． 解析：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，共有710C种不同的取法．当这七个数的中位数是6时，应该有3个比6小的数，还有3个比6大的数，因此一共有3363C C ⋅种不同的取法，故所求概率3363710C C 201C 1206P ⋅===.14.(江西12)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率 是__________．解析：本题属于古典概型，由古典概型概率公式可得所求概率为1337410C C 1C 2=.15.(辽宁14)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线 y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________．解析：由题意可知空白区域的面积为()122311124d 33x x x x--⎡⎤--==⎣⎦⎰. 又正方形的面积为4， ∴阴影部分的面积为48433-=， ∴所求概率为82343=二.解答题1.(课标全国Ⅰ.18满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8＜Z ＜212.2)； ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 4. 分析：(1)利用x ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求x ， 利用()()()22221122n n s x xp x xp x xp =-+-++-，求s 2.(2)①由(1)可知μ，σ2，则N (μ，σ2)可知． 将P (187.8＜Z ＜212.2)进行转化，利用3σ原 则求解．②由①可知一件产品的质量指标值位于区 间(187.8,212.2)的概率为p ，则100件产品中 质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数X 服从二项分布B (100，p )， 则由E (X )＝100p 可求E (X )．解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均 数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08 ＋230×0.02＝200， s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09 ＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02 ＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而 P (187.8＜Z ＜212.2)＝P (200－12.2＜Z ＜200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题 意知X ～B (100,0.682 6)，所以E (X ) ＝100×0.682 6＝68.26.2. (课标全国Ⅱ.19满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121niii ni i t t y y b t t ==(-)(-)=(-)∑∑，a y bt =-.分析：在第(1)问中，通过所给数据求出变量的平均数，然后求出公式中的有关数据，从而求出b 与a ，最后求出回归直线方程；在第(2)问中，根据(1)中所求方程中的b 分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，将2015年的年份代号代入回归方程可预测2015年的收入情况．解：(1)由所给数据计算得17t =(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， 17y =(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，721()i i t t =-∑＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，71()iii t t y y =-(-)∑＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，71721140.528iii i i t t y y b t t ==(-)(-)===(-)∑∑， a y bt =-＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y ＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，0.50b =>＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．3. (大纲全国20满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立． (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率； (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．分析：(1)设出事件的字母表示，用所设字母表示所求事件，利用事件的相互独立性求出所求问题的概率．(2)明确随机变量的取值：X ＝0,1,2,3,4.把随机变量转化为相应的事件，利用事件的相互独立性求出每个随机变量取相应值的概率，较复杂的概率可用分布列的性质去求．利用数学期望公式求得X 的数学期望．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． (1)122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅. P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，()22C 0.5ii P A ⨯＝，i ＝0,1,2，所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ ＝()()122()P A B C P A B P A B C ⋅⋅⋅⋅⋅++ ＝()()()()()()()122()P A P B P C P A P B P A P B P C ++ ＝0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为0(0)()P X P B A C ==⋅⋅＝0()()()P B P A P C＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，001(1)()P X P B A C B A C B A C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ＝001()()()()()()()()()P B P A P C P B P A P C P B P A P C ++＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4) ＝0.25， P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06 ＝0.38，数学期望EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1) ＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06 ＝2.4. (陕西19满分12分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其求X 的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2 000元的概率． 分析：在(1)问中，结合问题，先设出基本事件，可知有四种可能，利用所给数据，结合独立事件的概率计算公式，可分别计算出结果，进而列出分布列．对于第(2)问，利用(1)问的结果，可求得每季利润不少于2 000元的概率，则3季利润至少有2季不少于2 000元可分为两类，一是3季利润均不少于2 000元，二是3季中有2季利润不少于2 000元，分别利用独立重复试验的概率计算公式计算出概率，相加便可得出结论． 解：(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”， B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”， 由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800. P (X ＝4 000)＝()()P A P B ＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝()()()+()P A P B P A P B＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以(2)设i 元” (i ＝1,2,3)，由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知， P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2 000元的概率为123123123()+()+()P C C C P C C C P C C C＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少 于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 5. 16．(北京16满分13分)李明在10场篮球比赛中：赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数．比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)分析：(1)先根据统计表格求出投篮命中率，确定投篮命中率超过0.6的场数，然后除以总场数10即可得所求；(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率，然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件，即可利用相互独立事件同时成立的概率求解；(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX 与x 的大小关系． 解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”，则C A B A B=，A ，B 独立．根据投篮统计数据，()35P A ＝，()25P B ＝.()332213()+()555525P C P AB P AB =⨯+⨯=＝. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325. (3)EX x ＝.6. (天津16满分13分)某大学志愿者协会有6名男 同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 分析：(1)利用古典概型及其概率计算公式即可求解．(2)根据随机变量x 的所有可能值及古典概型概率公式可求出分布列，再由数学期望的定义求解即可得所求数学期望． 解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ， 则()12033737310C C C C 49C 60P A ⋅+⋅==. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.346310C C ()C k kP X k -⋅==(k ＝0,1,2,3)．11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.7. (安徽17满分12分)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)． 分析：(1)先把甲在4局以内赢得比赛的情况进行列举，再用独立事件和互斥事件概率公式求概率．(2)先写出X 的所有取值，再分析相应X 的值下对应比赛结果的情况，求出相应的概率，列出分布列，运用公式求均值．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得 比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示 “第k 局乙获胜”，则()23k P A =，()13k P B =， k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)·P (B 2)P (A 3)P (A 4) ＝22221221256()()()33333381+⨯+⨯⨯=. (2)X 的可能取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3) ＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故52108224234599818181EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 8. (福建18满分13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场。

河南省实验中学2014届高三二测模拟卷数学（理科）第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知i 为虚数单位，则复数等于（ ） A ．-1－i B ．-1+i C ．1+i D ．1—i 2、已知是实数集，集合3|1M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,{}y |3N y t t ==-≥,则()R N C M =( )A.B.C.D.3、已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A.33B.3-或33-C.33- D.3-4、二项式8(2x -的展开式中常数项是（ ）A ．28B ．-7C ．7D ．-285、已知实数[0,8]x ∈，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为（ ）A ．14B ．12 C ．34 D ．546、 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。

每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年 级的乘坐方式共有（ ）A．24种 B ．18种 C ．48种 D ．36种7、已知某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积等于（ ） A.3160B.160C.23264+D.2888+8、函数的部分图象为9、在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB=PC=,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ． B.C. 4D.10、在中，分别是角所对边的边长，若则的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211、已知函数()f x 的周期为4，且当(]1,3x ∈-时，()12f x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩ (](]1,11,3x x ∈-∈，，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 ( )A ．83⎫⎪⎪⎭， B．C ．4833⎛⎫ ⎪⎝⎭， D．43⎛ ⎝ 12、抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 ( ) A.B. 1C.D. 2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13、由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积是______。

第 八节 抛物线一、选择题(6×5分＝30分)1．(2011·广州模拟)已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于P 到M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线． 答案：A2．(2010·汕头期末)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离， 由|BC |＝2|BF |得∠BCM ＝30°，又|AF |＝3， 从而A (p 2＋32，332)，A 在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.答案：B3．(2009·山东高考)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为(a 4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －a4)，令x＝0得y ＝－a2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案：B4．(2010·辽宁高考)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：法一：AF 直线方程为：y ＝－3(x －2)，当x ＝－2时，y ＝43，∴A (－2,43)． 当y ＝43时代入y 2＝8x 中，x ＝6，∴P (6,43)， ∴|PF |＝|P A |＝6－(－2)＝8.故选B. 法二：∵P A ⊥l ，∴P A ∥x 轴． 又∵∠AFO ＝60°，∴∠F AP ＝60°，又由抛物线定义知P A ＝PF ，∴△P AF 为等边三角形． 又在Rt △AFF ′中，FF ′＝4，∴F A ＝8，∴P A ＝8.故选B. 答案：B5．(2010·陕西高考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心坐标为(3,0)，半径为4.y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.故选C.答案：C6．(2010·山东高考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. 答案：B二、填空题(3×5分＝15分)7．(2010·浙江高考)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为____________．解析：F (p 2，0)，则B (p 4，1)，∴2p ×p4＝1，解得p ＝ 2.∴B (24，1)，因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324. 答案：3248．(2010·重庆高考)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：如图，F 为抛物线的焦点，作AH 垂直准线于点H ，交y 轴于点D ，作BG 垂直准线于点G ，交y 轴于点C .∵y 2＝4x ，∴p ＝2，|OF |＝1，设直线AB 为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x A ·x B ＝1.① ∵BG AH ＝BFAF ，∴x B ＋1x A ＋1＝13，② ①②联立解得x A ＝3，x B ＝13，∴AB 中点到准线的距离为|AH |＋|BG |2＝x A ＋1＋x B ＋12＝3＋1＋13＋12＝83. 答案：839．(2010·泉州模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝____________. 解析：作NN ′⊥l (l 为准线)于N ′，则|NN ′|＝|NF |.又|NF |＝32|MN |， ∴|NN ′|＝32|MN |. ∴∠NMN ′＝60°，∴∠NMF ＝30°. 答案：30°三、解答题(共37分)10．(文)(12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上的一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出此抛物线的方程．解析：①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，这时准线方程为y ＝p 2，从抛物线定义知p2－(－3)＝5，解得p ＝4. 所以，抛物线方程为x 2＝－8y .这时将点A (m ，－3)代入方程，得m ＝±2 6.②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，从p ＝|a |知准线方程可统一成x ＝－a2的形式，于是由题设有⎩⎪⎨⎪⎧|a 2＋m |＝5，2am ＝9，解此方程组可得四组解： ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，m 1＝92，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，m 2＝－92，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝9，m 3＝12，⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－9，m 4＝－12. 所以y 2＝2x ，m ＝92；y 2＝－2x ，m ＝－92；y 2＝18x ，m ＝12；y 2＝－18x ，m ＝－12.综上知：x 2＝－8y ，m ＝±26；y 2＝2x ，m ＝92；y 2＝－2x ，m ＝－92；y 2＝18x ，m ＝12；y 2＝－18x ，m ＝－12.11．(12分)(2010·天津模拟)已知动圆过定点(1,0)，且与直线x ＝－1相切． (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点(0,1)，并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足OP →·OQ →＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)如图，设M 为动圆圆心，F (1,0)，过点M 作直线x ＝－1的垂线，垂足为N ，由题意知：|MF |＝|MN |，即动点M 到定点F 与定直线x ＝－1的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线，∴动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)由题可设直线l 的方程为x ＝k (y －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k (y －1)y 2＝4x得y 2－4ky ＋4k ＝0， Δ＝16k 2－16k >0，k <0或k >1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4k ， 由OP →·OQ →＝0，即OP →＝(x 1，y 1)，OQ →＝(x 2，y 2)， 于是x 1x 2＋y 1y 2＝0，即k 2(y 1－1)(y 2－1)＋y 1y 2＝0， (k 2＋1)y 1y 2－k 2(y 1＋y 2)＋k 2＝0， 4k (k 2＋1)－k 2·4k ＋k 2＝0，即k 2＋4k ＝0， 解得k ＝－4或k ＝0(舍去)， k ＝－4<0满足题意，∴直线l 存在，其方程为x ＋4y －4＝0.12．(12分)(2010·福建高考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解析：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15， 解得t ＝±1.因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.13．(理)(13分)(2010·浙江高考)已知m 是非零实数，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F在直线l ：x －my －m 22＝0上．(1)若m ＝2，求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足为A 1，B 1，△AA 1F ，△BB 1F 的重心分别为G ，H ，求证：对任意非零实数m ，抛物线C 的准线与x 轴的交点在以线段GH 为直径的圆外．(1)解析：因为焦点F (p2，0)在直线l 上，得p ＝m 2.又m ＝2，故p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x . (2)证明：因为抛物线C 的焦点F 在直线l 上， 所以p ＝m 2，所以抛物线C 的方程为y 2＝2m 2x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋m 22，y 2＝2m 2x ，消去x 得y 2－2m 3y －m 4＝0， 由于m ≠0，故Δ＝4m 6＋4m 4>0， 且有y 1＋y 2＝2m 3，y 1y 2＝－m 4.设M 1，M 2分别为线段AA 1，BB 1的中点， 由于2M 1G →＝GF →，2M 2H →＝HF →， 可知G (x 13，2y 13)，H (x 23，2y 23)，所以x 1＋x 26＝m (y 1＋y 2)＋m 26＝m 43＋m 26，2y 1＋2y 26＝2m 33，所以GH 的中点M (m 43＋m 26，2m 33)．设R 是以线段GH 为直径的圆的半径， 则R 2＝14|GH |2＝19(m 2＋4)(m 2＋1)m 4.设抛物线的准线与x 轴的交点N (－m 22，0)，则|MN |2＝(m 43＋m 26＋m 22)2＋(2m 33)2＝19m 4(m 4＋8m 2＋4) ＝19m 4[(m 2＋1)(m 2＋4)＋3m 2] >19m 4(m 2＋1)(m 2＋4)＝R 2. 故N 在以线段GH 为直径的圆外．。

河南省2014届高三理科数学一轮复习试题选编2：函数一、选择题1 ．（2010年高考（全国新课标理））如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为()02,2P -，角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为【答案】C解析:显然,当0t =时，由已知得2d =,故排除（ ） A ．D ，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间t 的变化质点P 到x 轴的距离d 先减小，再排除B ，即得C ．另解：根据已知条件得2,1,4A πωϕ===-，再结合已知得质点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数为2sin()4d t π=-，画图得C ．2 ．(河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研(三模）考试数学（理）试题）已知函数122,0()|21|,0x x f x x x x +⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩，若方程()210f x a +-=恰有四个实数根，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．1(,0]2- B ．1[,0]2- C ．3[1,)2 D ．3(1,]2【答案】A3 ．（河南省焦作市2013届高三第二次模拟考试数学理试题）已知函数f （x)=2,0,ln ,0,kx x x x ⎧⎨⎩＋≤＞（k∈R)，若函数y=|f(x ）｜+k 有三个零点,则实数k 的取值范围是 ( )A ．k≤2B ．—1<k<0C ．-2≤k<—1D ．k≤-2【答案】 D ．4 ．（河南省开封市2013届高三第二次质量检测数学（理）试题）函数22212,41()(log ),(log 3),(log7),2(2),4x x f x a f b f c f xf x x ⎧->⎪====⎨⎪+≤⎩记则 （ )A ． a>b 〉cB ．b 〈a 〈cC ．a<c<bD ．a 〉c 〉b 【答案】D5 ．（河南省郑州市第四中学2013届高三第十四次调考数学（理）试题)设f(x ）为周期是2的奇函数,当01x <<时，f （x ）=x(x+1），则当56x <<时，f(x ）的表达式为 （ )A ．（x —5)（x —4)B ．(x-6)（x —5)C ．（x-6)(5-x)D ．(x-6）(7-x)【答案】D6 ．（河南省洛阳市2013届高三期上学期末考试数学（理）试题)定义在上的偶函数满足：当时,,则方程的根的个数不可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D则PQ 最小值为()A 1ln2-()Bln 2)- ()C 1ln2+()D ln 2)+【答案】选A函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数,图象关于y x =对称函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =设函数min min 11()()1()1ln 222xx g x ex g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min2ln 2)d-8 ．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理)试题）已知R 上的函数y=f(x ）,其周期为2，且x∈(—1,1］时f （x)=1+x 2，函数g(x ）=1sin (0)11,(0)x x x xπ+>⎧⎪⎨-<⎪⎩,则函数h （x)=f(x ）-g （x)在区间［—5，5］上的零点的个数为 （ )A ．11B ．10C ．9D ． 8【答案】C9 ．（河南省郑州市第四中学2013届高三第十四次调考数学（理）试题)函数f （x ）= 2220(1)0?axax x a e x ⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩ 在(,)-∞+∞上是单调函数的必要不充分条件是 （ )A．332a a ≤-≤≤或 B．1a a ≤≥或C ．312a a ≤-≥或D．13a a ≤≤≤【答案】D单调递增的函数是 ( ）A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【答案】【命题意图】本题考查函数的奇偶性及幂函数、一次函数、二次函数、指数函数单调性，是容易题。

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2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4。

考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.1。

已知集合A=｛x |2230x x --≥},B=｛x ｜－2≤x ＜2＝,则A B ⋂=A 。

［—2,-1] B 。

[-1，2） C .[—1，1] D .[1，2） 2。

32(1)(1)i i +-=A .1i +B 。

1i -C .1i -+D .1i --3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A 。

()f x ()g x 是偶函数B .|()f x ｜()g x 是奇函数C .()f x |()g x ｜是奇函数D 。

2014届高三数学试题(理科）出卷人： 班别： 姓名： 学号： 分数： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．集合{|lg 0}M x x =>，2{|9}N x x =≤，则MN =（ ）A ．(1,3)B ．[1,3)C ．(1,3]D ．[1,3]2. 已知复数(1)z i i =+ (为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( ) A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D. 24y x =4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ） A. 363(2)π+ B. 363(2)π+C. 1083πD. 108(32)π+(1,1)a =-，(3,)b m =，//()a a b +，则m =（ ）A ． 2B ．2-C ．3-D ．3ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ． 3B ．53 C ．5 D ．737．在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a = （ ）A ．2B ．6C ．2 或6D ．278．函数,),(D x x f y ∈=若存在常数C ，对任意的,1D x ∈存在唯一的D x ∈2使得,)()(21C x f x f =则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C ．已知],2,1[,)(3∈=x x x f 则函数3)(x x f =在[1,2]上的几何平均数为（ ）A ．2B ．2C ．4D ．22二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为 . 10．62()x x-展开式中，常数项是 . 11．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .A B C 、、，A ={直线}，B ={平面}，C A B =． 若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题：①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a b a cc b ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a ba c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是 .13．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为cos()324πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P 是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = . 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上一个最低点为2(,1)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域． 17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。

易失分点清零(十二）解析几何(二)1. 已知动点P（x，y)满足5错误!＝|3x＋4y－11｜，则P点的轨迹是( ）．A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆解析由已知，得错误!＝错误!，即动点P（x,y)到定点(1,2)和定直线3x＋4y－11＝0的距离相等，而定点(1,2）在直线3x＋4y－11＝0上，所以P点的轨迹是过点(1,2）且与直线3x＋4y－11＝0垂直的直线．答案A2．“m〉n〉0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆"的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析要使mx2＋ny2＝1，即错误!＋错误!＝1是焦点在y轴上的椭圆须有错误!⇔m>n〉0，故互为充要条件．答案C3．已知双曲线的方程为x2a2－错误!＝1(a〉0,b〉0）,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为错误!c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为( )．A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!解析双曲线的一个焦点为（c，0)，一条渐近线方程为y＝错误!x，即bx－ay＝0，所以焦点到渐近线的距离为错误!＝错误!c，整理得b2＝错误!a2，所以有c2－a2＝错误!a2,c2＝错误!a2，即c＝错误!a，离心率e＝错误!，选B。

答案B4．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1）与点P连线中点的轨迹方程是( ）．A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1解析设AP中点为(x,y)，则P(2x，2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－（2y＋1）＝0,∴2y＝8x2－1.答案C5．已知抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点F与双曲线错误!－错误!＝1的一个焦点重合,直线y＝x－4与抛物线交于A，B两点，则|AB｜等于（）．A．28 B．32 C．20 D．40解析双曲线错误!－错误!＝1的焦点坐标为(±4,0),故抛物线的焦点F 的坐标为(4，0），因此p＝8，故抛物线方程为y2＝16x，易知直线y＝x－4过抛物线的焦点．所以｜AB|＝错误!＝错误!＝32（α为直线AB的倾斜角)．答案B6．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线错误!－y2＝1（a〉0）的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点，则错误!·错误!的取值范围为( ）．A．［3－2错误!，＋∞) B．［3＋2错误!，＋∞)C。

2014届高三数学一轮复习 抛物线双基限时训练 理（含解析）巩固双基,提升能力一、选择题1．(2012·某某)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2解析：如图，设A (x 0，y 0)，不妨设y 0＜0，由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线 焦点F (1,0)，抛物线准线方程为x ＝－1， 故|AF |＝x 0－(－1)＝3，可得x 0＝2，y 0＝－22，故A (2，－22)，直线AB 的斜率为k ＝－22－02－1＝－22，直线AB 的方程为y ＝－22x ＋22，联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧y ＝－22x ＋22y 2＝4x，可得2x 2－5x ＋2＝0，得x ＝2或x ＝12，所以B 点的横坐标为12，可得|BF |＝12－(－1)＝32，|AB |＝|AF |＋|BF |＝3＋32＝92，O 点到直线AB 的距离为d ＝223，所以S △AOB ＝12|AB |d ＝322.答案：C2．(2012·某某)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．22B ．2 3C ．4D ．2 5解析：由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， 则2＋p2＝3，∴p ＝2.∴y 2＝4x ，∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝22＋y 20＝4＋8＝2 3. 答案：B3．(2013·某某调研)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：设抛物线方程为x 2＝ay 或y 2＝ax (a ≠0)，把圆心(1，－3)代入方程得a ＝－13或a ＝9，∴抛物线方程是y ＝－3x 2或y 2＝9x .答案：D4．(2013·某某诊断)抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D ．3 解析：设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线相切的直线为4x ＋3y ＋t ＝0，与抛物线y ＝－x 2联立得3x 2－4x －t ＝0，由Δ＝16＋12t ＝0，得t ＝－43，两条平行线的距离为所求最小距离，由两条平行线的距离公式得所求距离为43.答案：A5．(2013·某某考试)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±8x解析：由题意得|OF |＝|a |4，tan ∠AFO ＝2，∴|OA |＝|a |2，S △AOF ＝12|OF ||OA |＝a216＝4，∴a ＝±8.答案：D6．(2013·某某联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A 在y 轴上，若线段FA的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点A 的坐标为( ) A ．(0，±2) B．(0,2) C ．(0，±4) D．(0,4)解析：在△AOF 中，点B 为边AF 的中点，故点B 的横坐标为p 4，因此324＝p 4＋p2，解得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝22x ，可得点B 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫24，±1，故点A 的坐标为(0，±2)．答案：A 二、填空题7．(2012·某某)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝__________.解析：设|AF |＝x ，|BF |＝y ，由抛物线的性质知1x ＋1y ＝2p ＝2，又x ＋y ＝2512，∴x ＝56，y＝54，即|AF |＝56. 答案：568．(2012·某某)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．解析：y ′＝x ，y ′|x ＝4＝4，y ′|x ＝－2＝－2，∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴过P ，Q 的切线方程分别为：y ＝4x －8，y ＝－2x －2，联立方程解得y ＝－4.答案：－49．(2013·某某联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a2－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则正实数a的值为__________．解析：由抛物线的定义知1＋p2＝5，∴p ＝8，故m ＝4，又左顶点A (－a,0)，M (1,4)，因此直线AM 的斜率为k ＝4a ＋1＝1a ，解得a ＝13. 答案：13三、解答题10．(2013·某某检查)已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，准线为l . (1)求经过点F 的与直线l 相切，且圆心在直线x ＋y －1＝0上的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点M ，求点M 横坐标的取值X 围．解析：(1)设圆心为(a ，b )，由抛物线y 2＝－4x 得其焦点坐标为(－1,0)，准线l 的方程为x ＝1，根据题意得⎩⎨⎧a ＋12＋b 2＝|1－a |，a ＋b －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝－4a ，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.∴所求圆的方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4.(2)依题意可设直线AB 的方程为x ＝my －1(m ≠0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为P .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝－4x消去x 整理得y 2＋4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝－4m ，∴y P ＝y 1＋y 22＝－2m ，∴x P ＝my P －1＝－2m 2－1，即线段AB 的中点为P (－2m 2－1，－2m )，∴线段AB 的垂直平分线方程是y ＋2m ＝－m (x ＋2m 2＋1)， 令y ＝0，得x M ＝－3－2m 2＜－3， ∴点M 横坐标的取值X 围是(－∞，－3)．11．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解析：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.12．(2013·某某联考)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y 2＝8x 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点．(1)求抛物线焦点F 的坐标及准线l 的方程；(2)若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP |－|FP |cos2α为定值，并求此定值.解析：(1)由已知得2p ＝8，∴p2＝2，∴抛物线的焦点坐标为F (2,0)，准线方程为x ＝－2.(2)证明：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，直线AB 的斜率为k ＝tan α，则直线方程为y ＝k (x －2)，将此式代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0， 故x A ＋x B ＝4k 2＋2k 2， 记直线m 与AB 的交点为E (x E ，y E )，则x E ＝x A ＋x B 2＝2k 2＋2k 2，y E ＝k (x E －2)＝4k， 故直线m 的方程为y －4k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎫x －2k 2＋4k2，令y ＝0，得点P 的横坐标x P ＝2k 2＋4k2＋4，故|FP |＝x P －2＝4k 2＋1k 2＝4sin 2α， ∴|FP |－|FP |cos2α＝4sin 2α(1－cos2α)＝4·2sin 2αsin 2α＝8，为定值.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 答案1—5ADCAD 6—12 CDCBBCB 13．－20 14．A 15．90° 1617．【解析】：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2nm =，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分 18．【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150= …………6分（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z ～(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+= ………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826 依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =⨯= ………12分19．【解析】：(Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥ ，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥ 又 1B O CO =，故1AC AB = ………6分（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 又因为AB=BC ，所以BOA BOC ∆≅∆故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB=BC ，则A ⎛ ⎝，()1,0,0B，1B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭1AB ⎛= ⎝，111,0,,A B AB ⎛== ⎝111,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ 设(),,n x y z =是平面的法向量，则11100n AB n A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y z x z =⎪-=⎪⎩所以可取(n = 设m 是平面的法向量，则111100m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取(1,m = 则1cos ,7n m n m n m ==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17.20．【解析】(Ⅰ) 设(),0F c，由条件知2c =，得c =又c a =， 所以a=2 ，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. ……….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,2x =又点O 到直线PQ 的距离d =，所以∆OPQ 的面积OPQS ∆= ，t =，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++，当且仅当2t =，k =0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：2y x =- 或2y x =-. …………………………12分21．【解析】(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b bf x ae x e e e x x x--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '== ，故1,2a b == ……………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知， 12()ln x xe f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-设函数 ()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '< ，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ 时，()0g x '> ，故()g x 在 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而 ()g x 在()0,+∞ 的最小值为11()g e e=-. ……………8分 设函数 2()x h x xe e-=-，则()()1xh x e x -'=-，所以当()0,1x ∈ 时，()0h x '> ，当()1,x ∈+∞ 时，()0h x '< ，故()h x 在 ()0,1单调递增，在 ()1,+∞单调递减，从而 ()h x ()g x 在()0,+∞ 的最小值为 1(1)h e=-. 综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. ……………12分22．【解析】.(Ⅰ) 由题设知得A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠D=∠CBE ，由已知得，∠CBE=∠E ,所以∠D=∠E ……………5分（Ⅱ）设BCN 中点为，连接MN,则由MB=MC ,知MN ⊥BC 所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故OM ⊥AD ， 即MN ⊥AD ，所以AD//BC,故∠A=∠CBE ， 又∠CBE=∠E ，故∠A=∠E 由(Ⅰ)（1）知∠D=∠E ， 所以△ADE 为等边三角形． ……………10分23．【解析】.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分（Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+- ，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA …………10分24．【解析】(Ⅰ) 11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立，故33a b +≥=a b ==时等号成立，∴33a b +的最小值为 ………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知：23a b +≥≥，由于6，从而不存在,a b ，使得236a b +=. ……………10分。