七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。
吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。
情也成空，且作“挥手袖底风”罢。
是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。
乃书于纸上。
毕而卧。
凄然入梦。
乙酉年七月初七。
-----啸之记。
汽车保险论文关于汽车保险论文基于时变假设的修正负二项车险索赔频率精算模型【摘要】传统车险索赔频率模型都采用风险水平在保险期间保持不变的假设,采用风险水平时变假设,选择Weibull过程作为风险强度函数,引入传统的负二项索赔频率模型。
新模型修改原有频域方法为时域参数方法进行参数估计,并使用极大似然估计结合贝叶斯估计的方法估计出Weibull过程的水平参数λ和形状参数β。
在β=1时,新模型就等价于传统负二项模型;此外,新模型可为风险上升(β>1)和风险下降(β<1)的保单确定更准确的风险保费。
关键词:时变; Weibull过程;索赔频率;负二项模型;车险与人寿保险相比,汽车保险损失风险的同质性较差,因此其精算定价方法一般采用经验费率方法,即根据被保险人以往的索赔次数和损失程度决定其未来保单年度的保费[1]。
在精算定价方法上,通常采用贝叶斯统计推断或信度方法(有限波动理论、最小一致信度等),以得到未来保费的最优估计值。
汽车保险经验费率模型分为:索赔频率模型和考虑索赔金额的模型。
目前,索赔频率模型研究已经相当成熟,在精算实务中也得到了广泛应用,有代表性的研究有:Bichsel[2]提出的负二项分布索赔频率模型;Derron[3]提出二元风险模型拟合了低风险驾驶员和高风险驾驶员两类风险;Albrecht[4-5]提出基于离散构密度函数的复合泊松分布模型;Tremblay[6]提出了泊松逆高斯模型;Walhin等[7]提出服从Hof-mann分布的索赔频率模型。
上述车险索赔频率模型都基于同一个假设:车险保单(或被保险人)的个体风险水平在保险期间是固定不变,其索赔次数点过程都采用齐次泊松过程假设。
这一假设显然有悖于人们的直观经验,例如:新驾驶员随着驾龄和经验的增长,事故风险会下降;汽车车龄老化,会引起故障率上升,从而导致事故风险增加。
Niemiec[8]对保险公司实际经营中存在的精算费率偏差问题进行实证研究,认为车险费率运行偏差的根源在于假设车险保单的索赔频率水平固定不变是不切实际的。
车险精算学者已经注意到时不变假设存在的缺陷,采用了加入时间变量修正的方法来改进传统模型。
例如,Dionne等[9-10]使用加入时间变量的多元回归方法来改进索赔模型;Pinquet等[11]提出考虑被保险人索赔年龄的精算模型。
郁佳敏等[12]提出模仿寿险选择型生命表方法,利用车龄和驾龄先验数据对传统后验费率模型进行修正。
由于上述方法都需要大量经验数据进行定价,在实际使用中存在局限性,到目前为止,车险精算模型的相关研究尚未根本性地解决时齐假设的偏差问题。
本文采用保单的风险强度水平时变的基础假设,选择Weibull过程作为索赔次数的点过程,对被广泛使用的负二项索赔频率模型进行修正。
新模型使精算定价更接近于实际风险情况,从根本上解决目前车险定价存在的“新驾驶员惩罚过于严厉,老驾驶员过于宽松”的问题。
1传统负二项索赔频率模型1.1车险索赔频率定价模型在车险精算中,索赔频率模型主要根据被保险人以往的索赔次数决定其未来的保费。
用P表示被保险人未来的风险纯保费,P可以写作以下函数P = P(k1,k2,...,kn)k =∑ti=1ki, i =0,1,2, (1)式中:n表示被保险人过去保险期(年度);ki表示被保险人在过去的第i个保单年度内发生索赔的次数,k则是n个保单年度内发生索赔的总次数。
研究表明,车险中索赔次数和索赔额分布是相互独立的,风险纯保费等于索赔次数期望值与索赔金额期望值之积[1]。
因此,精算师通常使用索赔次数和索赔金额均值的最优估计来计算风险纯保费,P可以表示为P = K^(k1,k2,…,kn)·EX (2)式中:K^(k1,k2,…,kn)为被保险人未来索赔频率(索赔次数均值)的最优估计;EX为被保险人索赔额的均值。
1.2负二项索赔频率模型负二项索赔频率模型假设车险个体保单在保险期间内的索赔次数服从参数为Λ的泊松分布(即风险强度函数在保险期间始终为Λ),由于保单的个体风险差异,从全体保单组合来看,Λ也是一个随机分布变量,且服从Gamma(a,b)分布[1-2],即fΛ(λ) =baΓ(a)λa-1e-bλλ>0(3)对于λ的保单,其在一个保单年度内发生的k的概率为P(k |λ) =λkk!e-λk =0,1,2, (4)根据全概率公式,可得P(k) =∫∞0P(k |λ)fΛ(λ)dλ=Cka+k-1bb+1a1b+1k k =0,1,2, (5)即索赔次数服从参数为(a,b/(b+1))的负二项分布。
因此,该索赔频率模型通常被叫作负二项模型。
1.3负二项模型的贝叶斯估计观测有n个保单年度历史经验数据的保单,保单在各保险年度的索赔次数为k1,k2,…,kn,风险强度为λ时,其条件联合概率密度函数为P(k1,k2,…,kn|λ) =λ∑ni=1ki∏ni=1(ki!)e-nλ(6)由全概率公式,非条件联合密度函数为P(k1,k2,…,kn)=∫∞0P(k1,k2,…,kn|λ)fΛ(λ)dλ=Γa+∑ni=1kiba∏ni=1ki!·Γ(a)(b+n)a+∑ni=1ki(7)λ的后验概率密度为fΛ(λ| k1,k2,…,kn) =P(k1,k2,…,kn|λ)fΛ(λ)P(k1,k2,…,kn)=(b+n)a+∑ni=1kiΓ(a+∑ni=1ki)λa+∑ni=1ki-1e-(b+n)λ(8)即参数为(a+∑ki,b+n)的Gamma分布。
选择平方损失函数,则λ的贝叶斯后验估计为λ⌒=a+∑ni=1kib+n(9)2时变假设下索赔次数的计数过程2.1汽车风险的浴盆曲线汽车风险的研究实践表明,浴盆曲线能良好地表征汽车故障风险和驾驶员事故率风险随时间变化的规律[13-14]。
曲线段Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ分别代表了早期事故期、偶然事故期、严重事故期3个阶段。
显然,汽车事故风险浴盆曲线符合年轻驾驶员事故率高,中年人事故率最低,老年驾驶员事故率上升的客观规律,也证明了车险保单的风险水平是随时间而变化的,其未来保单风险存在改善或者恶化趋势。
因此,从汽车保单的索赔频率角度来看,其风险强度水平不应是保持不变的水平直线,而是在时间上变化的浴盆曲线λ(t)。
2.2非齐次泊松索赔频率过程汽车保险期间,保单的索赔次数就是一个计数过程。
由于汽车事故风险水平会随时间而变化,可以用λ(t)表征保单在保险时间t上索赔风险发生的强度水平。
因此,汽车保险的索赔次数过程可以表示为非齐次泊松过程。
N(t)表示在保险时间区间(0, t]内出现的索赔次数,且N(0)=0。
索赔次数过程满足以下条件:{N(t), t≥0}是独立增量过程P{N(t+h)-N(t)=1}=λ(t)h+o(h)P{N(t+h)-N(t)≥2}=o(h)显然,索赔次数过程N(t)为具有λ(t)的非齐次泊松过程(NHPP)[15]。
对于λ(t),其积分Λ(t) =∫t0λ(u)du (10)称为累积强度函数。
并记Λ(t,s) =∫tsλ(u)du (11)为区间(s, t]上的累积强度函数。
根据非齐次泊松过程性质,具有λ(t)的保单,在(s, t]内发生索赔次数的概率分布为P{N(t)-N(s) = k} =[Λ(t,s)]k!e-Λ(t,s)(12)2.3Weibull过程下的索赔频率模型当非齐次泊松索赔过程的λ(t)为λ(t) =λβtβ-1t≥0,β>0,λ>0(13)则称此随机计数过程为Weibull(威布尔)过程,其累积强度函数Λ(t)=λtβ[16]。
λ为Weibull过程的强度(水平)参数,β为形状参数。
选择不同的β,λ(t)。
当β<1时,λ(t)是时间的减函数,风险浴盆曲线的Ⅰ段,即早期事故风险下降期;当β>1时,λ(t)是时间的增函数,适合描述风险浴盆曲线的Ⅲ段,即严重事故期;β=1时,风险强度等于λ,即不随时间变化的水平直线,符合浴盆曲线的Ⅱ段的偶然事故期,和传统齐次泊松过程索赔频率模型的假设相同。
因此,基于Weibull过程的索赔频率模型能很好地分段描述汽车风险浴盆曲线的各个风险期,尤其是传统模型不能区分的风险下降(Ⅰ段)和上升阶段(Ⅲ段)。
在确定Weibull过程的λ和β后,在保险期间(s, t]内发生索赔次数的概率分布为P{N(t)-N(s) = k} =[λ(tβ-sβ)]kk!e-λ(tβ-sβ)(14)3Weibull过程参数估计方法3.1无先验分布信息下的时域参数估计方法假定车险保单的索赔次数服从Weibull过程,并且λ和β没有先验分布信息。
对于一个有n个保单年度的历史经验数据的保单,k为n个保单年度内发生索赔的总次数,令ti为第i次索赔发生的时间(i=1,2,…, k)。
根据非齐次泊松过程的定义和性质,在时间点ti发生索赔的概率为λ(ti);而在(ti,ti+1)时间区间上没有发生索赔,估计式(12)其概率为P{N(ti+1)-N(ti) =0} =e-Λ(ti+1,ti)(15)由于N(ti)是独立的增量过程,因此,保单的各次索赔的发生时间t1,t2,…,tk的联合概率密度函数为f(t1,t2,…,tk) =e-Λ(t1,0)·λ(t1)·e-Λ(t2,t1)·λ(t2)·e-Λ(t3,t2)…λ(tk)·e-Λ(n,tk)=∏ki=1λ(ti)·e-Λ(n)(16)将Weibull过程λ(t)代入式(16)的联合概率密度函数,可得f(t1,t2,…,tk) =∏ki=1[λβ(ti)β-1]·e-Λ(n)=λkβk∏ki=1tiβ-1·e-λnβ(17)构造似然函数L(λ,β),L(λ,β) =ln[f(t1,t2,…,tk)]= klnλ+klnβ+(β-1)∑ki=1lnti-λnβ(18)对似然函数求偏导数L(λ,β) λ=kλ-nβ=0 L(λ,β)β=kβ+∑ki=1lnti-λlnn·nβ=0(19)解上述方程组可以得到λ=knββ=kklnn-∑ki=1lnti=k∑ki=1lnnti(20)即β⌒=k∑ki=1lnnti,λ^= knβ⌒(21)从式(20)可以看到,即便是在相同保险期间内同样有k次索赔的保单,只要k次索赔的发生时间分布不同,其风险强度和形状参数可能不尽相同(即λ(t)不同)。
3.2风险强度参数先验分布为Gamma分布下的Weibull过程参数估计假定各保单在初次向保险公司投保车险时(即t=0时刻),其Λ(Λ=λ(t=0))由于保单的个体差异,服从式(3)中的Gamma(a,b)分布,即采用和传统负二项模型相同的强度参数假设。
