七年级数学下册83角的度量典型例题1青岛版

、选择题（共12小题，36 分）第8章角测试题B. 和/5C. 和Z4D. /I 和 / 52. / a和的顶点和一边都重合，另一边都在公共边的同侧，且/a> / 0那么/ a的另的（）A.另一边上B.内部边落在C.外部D.以上结论都不对3.下列关于角的说法正确的个数是 __________①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D;A. 1B. 24.画一条线段的垂线，垂足在（）A.这条线段上C.这条线段的延长线上C. 3D. 4B.这条线段的端点上D. 以上都可以5. 8点30分时，钟表的时针与分针的夹角为（）A. 60 °B. 75 °C. 80 °D. 76 °6. 一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是（）A. 60 °B. 45 °C. 30 °D. 15 °a,以0B为始边作/ BOC= 0( a> 0），则/ AOC勺大小为 _______A. a + 0C. a + 0 或a- 0B. a - 0D.以上都不正确是对顶角的一组是AB 丄BD , BC 丄CD, AD = 6 cm , BC = 4 cm ，则线段 BD 的范围是B. 小于4 cm 、填空题（共5小题；共15分） 13. 若/I 与/2互余，/1=32 °」V /2等于 ___________________ ;若/%与/3互补，/a = n 〔则/3等于 ________.114. 若/A 与/B 互为邻补角，且 /A = 3 /B,那么 /B = ______________ .15. 如图，直线 AB 、CD 、EF 相交于点 O , / AOC 的对顶角是 _____________________ , / BOF 的对顶角是 ________，如果 / COF= 110 °,贝U / EOD= ________ , / DOF= _________ .8•点P 是直线I 外一点, 直线I 的距离（）A.等于2 cmA ,B ,C 为直线 B.小于2 cm l 上三点，PA= 4 cm , PB = 5 cm , PC= 2 cm ，则点 P 到 C.不大于2 cm D.等于4 cm 9.已知 /a = 35 ° 19?,A. 144 °41? /a 的余角等于（B. 144 81?C. 54 °41?D. 54°81?10.如图，已知 / AOB= 40 °, / AOC= 90 ,OD 平分/ BOC 贝U / AOD 的度数是A. 20 °B. 25 °C. 30 °D. 35 °C. 大于4 cm 且小于6 cmD. 小于6 cm 或大于4 cm12.如果/ a 和Z3互补，且 Za > Z 3则下列表示的余角的式子中：① 90 1 1 ③2 （/a + / 0 :④（/ a - / 0 .正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个② / a - 90 °已知 11.如图所示, A.大于4 cmAB , CD, EF 交于点 O , OG 平分 / BOF 且 CD 丄 EF , /AOE= 70 °,求 / DOG/ AOC= / BOC= 90 ° , / EOF= 90 °，试判断16•如图所示，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点 O ,如果 / AOD= 20°，那么17.如图所示，OM 是/ AOB 的平分线，OP 是/ MOB 内的一条射线，已知 则/POM 的度数是 / AOP 比 / BOP 大 30 °,三、解答题（共8小题；共69 分）/ AOE 勺大小./ AOC / AOD 19.如图所示，直线 AB 上，并且/ COF / CO罰 / BOF勺大小关系.21. 把47. 32化成度、分、秒的形式.22. 如图，建筑工人经常要测量两堵围墙所成的/ AOB但人不能进入围墙，聪明的你帮助工人师傅想想办法吧•要求：画出两种不同测量方案示意图，直接给出求/ AOB的表达式.23. 写出图中符合下列条件的角.(1) 能用一个大写字母表示的角；(2) 以A为顶点的角；(3) 图中所有小于平角的角(可用简便方法表示)24. 计算：(1) 180°- 46 ° 42?;(2) 28°36?+ 72 ° 24?50 24? X 3;⑷ 49 28?52? - 4.25. 如图所示，/ AOB为平角，OD, OE分别是/ AOC / BOC勺平分线，求 / DOE勺度数.答案第-一部分1. B2. C3. A4. D5. B6. B7. C8. C9. C 10. B 11 .C 12 -[1]第二部分13. 58 ° (180 - n)°14. 135 °15. / BOD / AOE 110° 7016. 20 °17. 15 °第三部分18. (1)它们的顶点O和一条边OA都是重合的，由图可以看出：/ AOB< / AOC< / AOD< / AOE19. (1)因为 / AOE= 70 °所以 / BOF= / AOE= 70 °因为OG平分/ BOF所以 / GOF= 2 / BOF= 35 °又因为CD丄EF,所以 / EOD= 90 °所以 / DOG= 180 ° - / GOF / EOD= 180 ° - 35 ° - 90 ° = 55 °20. (1)因为 / EOF= / COF+ / COE= 90 °, / AOC= / AOE+ / COE= 90 °所以 / COF+ / COE= / AOE+ / COE即 / AOE= / COF同理可得 / COE= / BOF21. (1)因为0.32 ° = 0.32 X 60?= 19.2?, 0.2?= 0.2 X 60? = 12?,所以47. 32 ° = 47 °19?12?.22. (1)方案1图：/ AOB= / DOC方案2图：/ AOB= 180 - / BOC23. (1) ZB, ZC;23. (2) Z CAD Z DAB Z CAB 共3 个角；23. (3) Z1 , Z2 , Z3 , Z4 , Z CAB ZB, ZC.24. (1) 180°- 46 °42?= 179 ° 60?- 46°42?= 133 ° 18?.24. (2) 28 ° 36?+ 72 ° 24?= 100 ° 60?= 101 °.24. (3) 50 °24?X 3 = 150 ° 72?= 151 ° 12?.24. (4) 49 28?52?十4 = 12 22?13?.25. (1) T OD, OE 分别平分Z AOC Z BOC1 1•••Z COD= Z AOC Z COE= Z BOC1 1• Z DOE = Z COD Z COE= Z AOG 勺 Z BOC1 1=2(Z AOG Z BOC= 2 Z AOB1 o o=2 x 180 = 90 .。

青岛版七年级数学下册第8章角专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列各角中，为锐角的是（ ）A ．12平角B ．15周角C ．32直角D ．12周角 2、如图，OA OB ⊥于O ，直线CD 经过O ，35AOD ∠=︒，则BOC ∠的度数是（ ）A ．120︒B ．125︒C ．130︒D ．135︒3、已知 '13836,238.36,338.6∠∠∠===， 则下列说法正确的是（ ）A ．12∠=∠B ．23∠∠=C ．13∠=∠D ．123∠∠∠、、互不相等4、一个角的补角是它的5倍，则这个角的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°5、已知70A ∠=︒，则A ∠的补角的度数为（ ）A ．20︒B ．30C ．110︒D ．130︒6、如图，O 是直线AB 上一点，则图中互为补角的角共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对7、如图，射线OA 所表示的方向是（ ）A ．西偏南30°B ．西偏南60°C ．南偏西30°D ．南偏西60°8、上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）A ．75°B ．80°C ．70°D ．67.5°9、如图，BD 在∠ABC 的内部，∠ABD ＝13∠CBD ，如果∠ABC ＝80°，则∠ABD ＝（）A ．80()3︒B ．20°C ．60°D ．160()3︒ 10、如图，点A ，B ，C 在直线m 上，PB ⊥m ，能表示点P 到直线m 的距离的是（ ）的长A ．线段PAB ．线段PBC ．线段PCD ．线段AC第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若∠A ＝522942︒'''，则∠A 的补角为__________．2、如图，∠AOB =60°，∠AOC =40°，OD 、OE 分别平分AOB ∠和AOC ∠，则DOE ∠=______°．3、钟面上4时30分，时针与分针的夹角是______度，15分钟后时针与分针的夹角是_____度．4、如图，将一副三角尺的直角顶点O 重合在一起．若∠COB 与∠DOA 的比是2：7，OP 平分∠DOA ，则∠POC ＝_________度．5、一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，这个角的度数是__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．(1)若OC平分∠AOB，①依题意补全图1；②∠MON的度数为．(2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．2、如图，∠AOB=90°，∠BOC=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠EOF的度数．(1)依题意补全图形；(2)完成下面的解答过程，解：因为OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∠AOB＝45°．（角的平分线的定义）所以∠EOB＝12因为OF平分∠BOC，∠BOC＝60°，∠＝°．（角的平分线的定义）所以∠BOF＝12因为∠EOF＝∠＋∠＝°＋°，所以∠EOF＝°．3、如图，O为直线AB上一点，50DOE∠=︒．AOC∠=︒，OD平分∠AOC，90(1)图中小于平角的角有______个．(2)求出∠BOD的度数．(3)小明发现OE平分∠BOC，请你通过计算说明道理．4、如图，已知∠AOB＝150°，∠AOC＝30°，OE是∠AOB内部的一条射线，OF平分∠AOE，且OF在OC的右侧．(1)若∠COF＝25°，求∠EOB的度数；(2)若∠COF＝n°，求∠EOB的度数．（用含n的式子表示）5、已知O为直线AB上一点，EOF∠为直角．OC平分∠BOE．(1)如图1，若46AOE ︒∠=，求COF ∠的度数；(2)若EOF ∠的位置如图2所示，OD 平分AOC ∠．且75AOD ︒∠=，求COF ∠的度数．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】求出各个选项的角的度数，再判断即可．【详解】解：A. 12平角=90°，不符合题意； B. 15周角=72°，符合题意； C. 32直角=135°，不符合题意； D. 12周角=180°，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了角的度量，解题关键是明确周角、平角、直角的度数．2、B【解析】【分析】由OA ⊥OB ，得出∠AOB =90°，再根据∠AOD =35°，由余角的定义可得出∠BOD ，再根据补角的定义可得出∠BOC 的度数．【详解】解：∵OA ⊥OB ，∴∠AOB =90°，∵∠AOD =35°，∴∠BOD =90°-35°=55°，∴∠BOC =180-55°=125°，故选B ．【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，关键是利用90°和180°的数据进行计算．3、C【解析】【分析】先换算单位，再比较大小即可．【详解】解：1383638.6∠=︒'=︒，238.36∠=︒，338.6∠=︒，13∠∠∴=．故选：C ．【点睛】考查了度分秒的换算，解题的关键是将单位换算一致．4、A【解析】【分析】首先根据补角的定义，设这个角为x °，则它的补角为180x -︒（），再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．【详解】解：设这个角为x °，则它的补角为180x -︒（）．依题意，有1805x x -=，解得x ＝30．即这个角的度数为30°，故选：A ．【点睛】此题综合考查补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的补角列出代数式和方程求解．5、C【解析】【分析】两个角的和为180,︒ 则这两个角互补，利用补角的含义直接列式计算即可.【详解】 解： 70A ∠=︒，∴ A ∠的补角18070110,故选C【点睛】本题考查的是互为补角的含义，掌握“两个角的和为180,︒则这两个角互补”是解本题的关键. 6、B【解析】【分析】根据补角定义解答．【详解】解：互为补角的角有：∠AOC与∠BOC，∠AOD与∠BO D，共2对，故选：B．【点睛】此题考查了补角的定义：和为180度的两个角互为补角，熟记定义是解题的关键．7、D【解析】【详解】︒-︒=︒，解：903060根据方位角的概念，射线OA表示的方向是南偏西60度．故选：D．【点睛】本题主要考查了方向角．解题的关键是弄清楚描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．8、A【解析】【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【详解】解：钟面平均分成12份，钟面每份是30°，上午8：30时时针与分针相距2.5份，此时时钟的时针与分针所夹的角（小于平角）的度数是30°×2.5＝75°．故选：A．【点睛】本题考查了钟面角，时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题关键．9、B【解析】【分析】根据角的和差与倍分得出∠ABC=4∠ABD，列方程求解即可．【详解】解：∵∠ABD＝13∠CBD，∴∠CBD=3∠ABD，∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=3∠ABD+∠ABD=4∠ABD=80°，∴ABD=20°．故选择B．【点睛】本题考查角的倍分，角的和差，一元一次方程，掌握角的倍分关系，角的和差计算，解一元一次方程是解题关键．10、B【解析】【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，判断即可．【详解】解：图中线段PA 、PC 中，不与直线m 垂直，故线段PA 、PC 的长不能表示点P 到直线m 的距离； 线段AC 在直线m 上，故线段AC 的长不能表示点P 到直线m 的距离；线段PB 与直线m 垂直，垂足为点B ，故线段PB 的长能表示点P 到直线m 的距离；故选B ．【点睛】本题考查了点到直线的距离的概念，关键是掌握概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．二、填空题1、127°30′18″【解析】【分析】根据补角的定义，用180°减去A ∠的度数即可求解．【详解】A ∠的补角等于：1801805229421273018A ''''︒-∠=︒-︒'=︒'．故答案是：1273018''︒'．【点睛】考查了补角的定义，掌握两个角互为补角，就是两个角的和是180°是解答本题的关键． 2、50【解析】【分析】由OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠AOC ．可得出∠AOE =∠EOC =12∠AOC ，∠DOB =∠AOD =12∠AOB ，进一步求出∠DOE 即可．【详解】解：∵OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠AOC ，∠AOB =60°，∠AOC =40°，∴∠AOE =∠EOC =12∠AOC =20°，∠DOB =∠AOD =12∠AOB =30°，∴∠DOE =∠AOD +∠AOE =30°+20°=50°；故答案为：50．【点睛】本题考查了角平分线的意义，角的和与差，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．3、 45° 127.5°【解析】【分析】根据时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°进行计算即可．【详解】解：根据题意：钟面上4时30分，时针与分针的夹角是3030304560︒+⨯︒=︒ ； 15分钟后时针与分针的夹角是()53030150.515022.5127.5⨯︒-+⨯︒=︒-︒=︒ ．故答案为：45°，127.5°【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°是解题的关键． 4、20【解析】【分析】根据条件可知90AOB COD ∠=∠=︒，并且180COB DOA AOB COD ∠+∠=∠+∠=︒，再根据COB ∠与DOA ∠的比是2:7，可求DOA ∠，再根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解．【详解】解：180COB DOA COB COA COB DOB AOB COD ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，又COB ∠与DOA ∠的比是2:7，718014027DOA ∴∠=︒⨯=︒+， OP 平分DOA ∠，70DOP ∴∠=︒，20POC ∴∠=︒．故答案为：20．【点睛】本题考查了余角与补角，角平分线的定义，正确认识COB DOA ∠+∠AOB COD =∠+∠ 180=︒ 这一个关系是解题的关键，这是一个常用的关系，需熟记．5、40°##40度【解析】【分析】根据余角（若两个角的和为90︒，则这两个角互为余角）和补角（若两个角的和为180︒，则这两个角互为补角）的定义，设这个角的度数是x ，则它的补角为()180x ︒-，余角为()90x ︒-，根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设这个角的度数是x ，则它的补角为()180x ︒-，余角为()90x ︒-，由题意得：()()18029040x x ︒-=︒-+︒，解得：40x =︒，故答案为40︒．【点睛】本题考查了余角和补角的定义，根据角之间的互余和互补关系列出方程是解决问题的关键．三、解答题1、 (1)①见解析；②80°(2)∠MON 的度数不变，80°【解析】【分析】（1）①根据题意补全图；②根据11602033AOM AOC ∠=∠=⨯︒=︒，∠MOC ＝∠AOC ﹣∠AOM ＝40°，得出∠MON 的度数；（2）由OM 是∠AOC 靠近OA 的三等分线，射线ON 是∠BOC 靠近OB 的三等分线，得出∠MON ＝∠AOB ﹣（∠AOM +∠BON ）＝23∠AOB ，从而得出答案． (1)解：①依题意补全图如下：②∵OC 平分∠AOB ，∠AOB ＝120°， ∴1602AOC AOB ∠︒=∠=， ∵射线OM 是∠AOC 靠近OA 的三等分线， ∴11602033AOM AOC ∠=∠=⨯︒=︒， ∴∠MOC ＝∠AOC ﹣∠AOM ＝40°，同理可得∠CON ＝40°，∴∠MON ＝∠CON +∠MOC ＝80°；(2)解：∠MON 的度数不变．∵OM 是∠AOC 靠近OA 的三等分线，射线ON 是∠BOC 靠近OB 的三等分线， ∵13AOM AOC ∠=∠，13BON BOC ∠=∠， ∴∠MON ＝∠AOB ﹣（∠AOM +∠BON ）＝∠AOB ﹣()13AOC BOC ∠+∠ ＝23AOB ∠，∵∠AOB ＝120°，∴∠MON ＝80°．【点睛】本题考查了角的计算和角的三等分线，掌握各个角之间的关系是解题的关键．2、 (1)见解析(2)BOC，30；EOB，BOF，45，30；75【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义画出OE、OF；（2）先根据角平分线的定义得到∠EOB=12∠AOB=45°，∠BOF=12∠BOC=30°，然后计算∠EOB+∠BOF即可．(1)解：补全图形如图，(2)解：因为OE平分∠AOB，∠AOB=90°，所以∠EOB=12∠AOB=45°．（角的平分线的定义）因为OF平分∠BOC，∠BOC=60°，所以∠BOF=12∠BOC=30°．（角的平分线的定义）因为∠EOF =∠EOB +∠BOF =45°+30°，所以∠EOF =75°．故答案为：BOC ，30；EOB ，BOF ，45，30；75．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和与差，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．3、 (1)9(2)155︒(3)见解析【解析】【分析】（1）分别以,,,,OA OD OC OE OB 为始边计数数角，从而可得答案；（2）先求解25,DOC 再求解130,BOC 从而可得答案；（3）分别求解,,COE BOE 从而可得结论.(1)解：图中小于平角的角∠AOD 、∠AOC 、∠AOE 、∠DOC 、∠DOE 、∠DOB 、∠COE 、∠COB 、∠EOB ． 所以图中小于平角的角共有9个.(2)解：因为50AOC ∠=︒，OD 平分∠AOC ， 所以1252DOC AOC ∠=∠=︒，又180********AOC BOC ∠=︒-︒=︒=︒-∠所以155BOD DOC BOC ∠=∠+∠=︒(3)解：因为90DOE ∠=︒，25DOC ∠=︒，所以902565COE DOE DOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒又因为1559065BOE BOD DOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒所以COE BOE ∠=∠，所以OE 平分∠BOC ．【点睛】本题考查的是角的含义，角的和差运算，角平分线的定义，掌握“角平分线的定义”是解本题的关键.4、 (1)40EOB ∠=︒(2)902EOB n ∠=︒-︒【解析】【分析】（1）求出55AOF ∠=︒，再由角平分线计算求出110AOE ∠=︒，结合图形即可求出EOB ∠；（2）求出30AOF n ∠=︒+︒，再由角平分线计算求出260AOE n ∠=︒+︒，结合图形即可求出EOB ∠．(1)∵25COF ∠=︒，30AOC ∠=︒，∴55AOF ∠=︒，∵OF 平分AOE ∠，∴110AOE ∠=︒，∵150AOB ∠=︒，∴15011040EOB AOB AOE ∠=∠-∠︒-︒=︒＝； (2)∵COF n ∠=︒，30AOC ∠=︒，∴30AOF n ∠=︒+︒，∵OF 平分AOE ∠，∴260AOE n ∠=︒+︒，∵150AOB ∠=︒，∴()150260902EOB AOB AOE n n ∠=∠-∠=︒-︒+︒=︒-︒．【点睛】题目主要考查利用角平分线进行角度间的计算，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．5、 (1)23COF ∠=︒(2)60COF ∠=︒【解析】【分析】（1）根据O BOE A E ∠∠，，可以算出BOF ∠，∠BOE ，根据OC 平分∠BOE ，可算出BOF ∠进而算出23COF ∠=︒；（2）根据OD 平分AOC ∠，且75AOD ︒∠=，可算出150AOC ∠=︒，进而可以知道30COB ∠=︒，根据OC 平分∠BOE ，以及EOF ∠为直角，可算出COF ∠．(1)解：∵46AOE ︒∠=，∴180134OE E B AO =︒-=∠∠︒，且180180469044BOF AOE FOB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠︒，∵OC 平分∠BOE ， ∴1672BOF BOE ∠=∠=︒， ∴674423COF BOC BOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故23COF ∠=︒．(2)解：∵OD 平分AOC ∠，且75AOD ︒∠=，∴2150AOC AOD ∠=∠=︒，∴180********COB AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵OC 平分∠BOE ，∴260BOE BOC ∠=∠=︒，∵EOF ∠为直角，∴90906030BOF BOE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴303060COF COB BOF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故60COF ∠=︒．【点睛】本题考查角平分线的性质，能够熟练应用角平分线的性质是解决此类题型的关键．。

2019-2020学年度初中七年级下册数学8.3 角的度量青岛版巩固辅导八十九第1题【单选题】∠α的补角是它的3倍，则∠α等于( )A、45°B、60°C、90°D、120°【答案】：【解析】：第2题【单选题】如图，OC平分∠AOB，OD是∠BOC的平分线，若∠AOB=50°，则∠COD等于( )A、20°B、12.5°C、10°D、25°【答案】：【解析】：第3题【单选题】54.27°可化为( )A、54°16′26″B、54°28′C、54°16′15″D、54°16′12″【答案】：【解析】：第4题【单选题】如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于( )A、50°B、60°C、65°D、90°【答案】：第5题【单选题】如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是( )．A、42°，138°或40°，130°;B、42°，138°;C、30°，150°;D、以上答案都不对【答案】：【解析】：第6题【单选题】如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=75°，那么∠BAD的度数是( )A、65°B、75°C、85°D、105°【解析】：第7题【单选题】如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°-∠β；②∠α-90°；③180°-∠α；④有误（∠α-∠β）．正确的是：( )A、①②③④B、①②④C、①②③D、①②【答案】：【解析】：第8题【填空题】如图，在同一平面内，直线a、b与直线c垂直，A、B为垂足，直线d与直线a、b分别交于点D、C，若∠1=72°40′，则∠2=______°______′．【答案】：【解析】：第9题【填空题】如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝110°，则∠A＝______°．【答案】：【解析】：第10题【解答题】如图，AD∥BC，AD平分∠EAC，你能确定∠B与∠C的数量关系吗？请说明理由．【答案】：【解析】：第11题【解答题】一个角的补角比它的余角的二倍还多18度，这个角有多少度？【答案】：【解析】：第12题【解答题】如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系，判断的依据是什么；（2）若∠COF=35°，求∠BOD的度数．【答案】：【解析】：第13题【解答题】如图，将书页一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE，求∠CBD的度数．【答案】：【解析】：第14题【解答题】如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB＋∠DOE＝90°，试问：∠COD与∠DOE之间有怎样的关系?说明理由.【答案】：【解析】：第15题【解答题】如图，已知∠AOB、∠BOC和∠COD的度数之比是2：1：3，且∠AOC+∠DOB=140°，求∠AOD的度数．【答案】：【解析】：。

关于余角和补角的典型例题例1 如图，BOC AOB ∠∠,是互补的两个角，OD 平分,AOB ∠︒=∠∠=∠66,21DOE EOC BOE ，试求∠EOC 的度数．解： 法一：∵∠DOE ＝66°，∴∠BOD ＋∠BOE ＝66°．∵OD 平分∠AOB ，∴AOB BOD ∠=∠21， 又∵EOC BOE ∠=∠21， ∴︒=∠=∠662121EOC AOB ， ∴∠AOB ＋∠EOC ＝132°，∴∠BOE ＝180°－132°＝48°，∴∠EOC ＝48°×2＝96°．法二：设∠EOC ＝x °，则︒⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠︒=∠x BOD x BOE 2166,21． 由题意，得 1802166221=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x ， 解得x ＝96，∴︒=∠96EOC ．法三：设∠BOE ＝x °，∠BOD ＝y °．由题意，可列方程组⎩⎨⎧=+=+,1802366y x y x 解得x ＝48，∴∠EOC ＝96°．说明：对于等量关系较多，计算较复杂的角度计算题，可采用多种方法．解法一利用已知和图形中角的和、差、倍、分关系，结合推理进行计算；解法二利用方程思想解几何题，沟通了代数与几何间的联系，使解题过程简化；解法三设元合理，使角与角之间的关系清晰，换算、转化直观，解答简洁明了．例2如图，O 是直线AB 上的一点，∠AOE ＝∠FOD ＝90°，OB 平分∠COD ，请你观察图中与∠DOE 互余的角有哪些？与∠DOE 互补的角有哪些？解：与∠DOE 互余的角有三个，分别为：∠EOF 、∠BOD 、∠BOC ；与∠DOE 互补的角有两个，分别为：∠BOF 、∠COE ．说明：互为余角和互为补角只是一种数量关系，与两个角的大小有关，而与这两个角的位置无关．如本题中找∠DOE 的补角时，直接从图上找不到，此时我们可以根据余角的性质，将∠DOE 转换成与之相等的∠AOF ，从图上可观察到∠AOF 的补角为∠BOF ，又由已知可得∠EOF ＝∠BOC ，则C O E B O E B O C B O E E O F BO F ∠=∠+∠=∠+∠=∠，这样得到另一个容易忽视的∠DOE 的补角∠COE ．例3∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠4和∠1互补，∠3＝153°，求∠4．分析：由∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝180°，∠4＋∠1＝90°．找出∠4与∠3的关系． 解：由于∠2和∠3互补，因此∠2＋∠3＝180°，得∠2＝180°－∠3．由于∠1和∠2互余，因此∠1＋∠2＝90°，得∠1＝90°－∠2＝90°－（180°－∠3）－∠3－90°．由于∠4和∠1互补，因此∠4＋∠1＝180°，得∠4＝180°－∠1－180°－（∠3－90°）＝270°－∠3．已知∠3＝153°，则∠4＝270°－153°＝117°．说明：①充分利用互余，互补定义；②先推导∠4，∠3的关系，再求∠4；可先用∠3＝153°求∠2，进而求∠1，最后求∠4．例4小华从A 点出发向北偏东50°方向走了80米到达B 地，从B 地又向西走了100米到达C 地．（1）用1∶2000的比例尺（即图上1cm 等于实际距离20米）画出示意图；（2）请你用刻度尺量出AC 的距离；（3）你知道C 点距A 点的实际距离是多少米吗？（精确到1米）C 点的方向角为多少度呢？（精确到1° ）解：（1）如图，以 A为顶点，AN为一边，在直角∠NAM内作∠NAB＝50°，且使AB＝4cm．过B点用三角板作∠BTA＝90°，延长BT到C，使BC＝5cm；（2）用刻度尺量得AC＝3 cm；（3）C点距A点的实际距离为60米，C点在A点的北偏西40°方向（或∠NAC＝40°）．说明：（1）用角度表示方向时，在哪一点观测就在哪一点画互成直角的两条南北向直线和东西向直线，无论观测点选在何处，所作的南北向直线或东西向直线都是平行的；（2）在写方向时，南北方向为起始方向，只能说北偏东、北偏西、南偏东、南偏西．如题中北偏东50°，不能写成东偏北40°；（3）对于45°方向角，东西方向为起始方向，要说东北、西北、东南、西南．如南偏东45°可以写成东南方向；（4）要真正理解方向角的含义的实质，这种表示方法在航海及测量中会经常遇到．。

第8章　角8.3　角的度量基础过关全练知识点1　角的度量与换算1.(2023陕西西安长安三中期末)将15°48'36″化成以度为单位是( )A.15.8°B.15.86°C.15.81°D.15.36°2.(2023山东潍坊潍城期中)用度、分、秒表示20.23°为 .3.(2022山东潍坊昌乐北大公学月考)比较大小:36°25' 36.25°(填“>”“<”或“=”).知识点2　度、分、秒的运算3.(2023山东枣庄滕州北辛中学期末)如图,将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合,∠1=27°40',则∠2的度数是 .5.若∠AOB=75°18',∠AOC=27°53',则∠BOC= .6.【新素材】【新独家原创】2023年5月30日9时31分,搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空,航天员乘组状态良好,发射取得圆满成功.9时31分时,时钟的时针与分针的夹角为 °.7.(2022江苏无锡江阴敔山湾实验学校月考)计算:(1)45°10'-21°35'20″.(2)68°39'+47°31'-23°17'.(3)42°16'+18°23'×2.知识点3　互为余角与互为补角的概念8.(2023山东潍坊临朐期中)已知∠α=37°45',则∠α的补角等于 .9.【教材变式·P13例3】(2023山东青岛市南期中)一个角的补角是它的余角的4倍,则这个角的余角的度数是 .10.如图,∠AOB是平角,∠AOD =∠BOD=∠EOC=90°,∠BOC∶∠AOE=3∶1.(1)求∠COD的度数.(2)图中有哪几对角互为余角?(3)图中有哪几对角互为补角?知识点4　余角、补角的性质11.(2021湖南长沙天心期中)已知∠1+∠2=180°,且∠2=∠3,则∠3+∠1=180°,依据是( )A.等角的补角相等B.同角的补角相等C.等量代换D.补角的定义能力提升全练12.(2023山东泰安泰山期中,8,★☆☆)下列说法中,正确的是( )A.一个角的补角一定大于这个角B.任何一个角都有余角C.若∠1+∠2+∠3=90°,则∠1,∠2,∠3互余D.如果一个角有余角,那么这个角的补角与它的余角的差为90°13.(2023北京中考,3,★☆☆)如图,∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=126°,则∠BOC的大小为( )A.36°B.44°C.54°D.63°14.(2023山东菏泽鄄城期末,13,★★☆)如图,将两块直角三角板的直角顶点重合,若∠AOD=144°42',则∠BOC= 度.15.(2022山东聊城东昌府月考,18,★★☆)计算:(1)33°16'28″+24°46'37″.(2)24°31'×4-62°10'.16.(2022山东青岛局属四校期末,21,★★☆)如图,已知∠AOB=90°,OD 平分∠AOC,OE平分∠BOC.(1)若∠DOB=15°,求∠DOE的度数.(2)若∠DOB=x,则∠DOE= .素养探究全练17.【抽象能力】(2023河北唐山十二中期末)如图1,把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上,射线OC平分∠AON.(1)若∠MOC=25°,则∠BON的度数为 .(2)若∠MOC=n°,则∠BON的度数为 .(用含n的式子表示)(3)结合(1)和(2),请直接写出∠MOC和∠BON之间满足的数量关系.(4)若将直角三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置,射线OC仍平分∠AON,试问:∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化?并说明理由.答案全解全析基础过关全练1.C　∵36″=3660=0.6′,48.6′=48.660=0.81°,∴15°48'36″=15°48.6'=15.81°,故选C.2.20°13'48″解析　∵0.23°=0.23×60'=13.8',0.8'=0.8×60″=48″,∴20.23°=20°13'48″.3.>解析　∵0.25°=15',∴36.25°=36°15'.∵36°25'>36°15',∴36°25'>36.25°.4.57°40'解析　∵∠BAC=60°,∠1=27°40',∴∠EAC=∠BAC-∠1=60°-27°40'=32°20',∵∠EAD=90°,∴∠2=90°-∠EAC=90°-32°20'=57°40'.5.103°11'或47°25'解析　当OC在∠AOB的外部时,∠BOC=∠AOB+∠AOC=75°18'+ 27°53'=102°71'=103°11';当OC在∠AOB的内部时,∠BOC=∠AOB-∠AOC=75°18'-27°53'=74°78'-27°53'=47°25'.综上,∠BOC=103°11'或47°25'.6.99.5°解析　根据时针1小时转30°,分针1分钟转6°,时针1分钟转0.5°知,在9时31分时,时钟上的时针与分针之间所成的夹角是9×30°+31×0.5°-31×6°=270°+15.5°-186°=99.5°.7.解析　(1)原式=44°69'60″-21°35'20″=23°34'40″.(2)原式=115°70'-23°17'=92°53'.(3)原式=42°16'+36°46'=78°62'=79°2'.8.142°15'解析　∵∠α=37°45',∴∠α的补角等于180°-∠α=142°15'.9.30°解析　设这个角的度数是x,则180°-x=4(90°-x),解得x=60°.∴这个角的余角的度数为90°-60°=30°.10.解析　(1)根据题意可知∠BOC+∠AOE=90°.因为∠BOC∶∠AOE=3∶1,×90°=67.5°,所以∠BOC=34所以∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-67.5°=22.5°.(2)题图中互余的角有∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.(3)题图中互补的角有∠COB与∠COA,∠AOE与∠EOB,∠DOB与∠DOA,∠DOE与∠AOC,∠COD与∠BOE,∠EOC与∠AOD,∠EOC与∠BOD.11.C　能力提升全练12.D　选项A,90°角的补角等于这个角,故错误;选项B,95°角没有余角,故错误;选项C,虽然∠1+∠2+∠3=90°,但∠1,∠2,∠3是3个角,故不能说∠1,∠2,∠3互余,故错误;选项D,如果一个角有余角,那么这个角的补角与它的余角的差为90°,正确.故选D.13.C　∵∠AOC=90°,∠AOD=126°,∴∠COD=∠AOD-∠AOC=36°,∵∠BOD=90°,∴∠BOC=∠BOD-∠COD=90°-36°=54°.故选C.14.35.3解析　∵∠AOD=144°42',∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠AOD-∠COD=144°42'-90°=54°42',∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-54°42'=35°18'=35.3°.15.解析　(1)33°16'28″+24°46'37″=57°62'65″=58°3'5″.(2)24°31'×4-62°10'=96°124'-62°10'=34°114'=35°54'.16.解析　(1)∵∠AOB=90°,∠DOB=15°,∴∠AOD=90°-15°=75°.又∵OD平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD=1∠AOC.2∴∠AOC=2∠AOD=150°.∵∠AOB=90°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=150°-90°=60°.∵OE平分∠BOC,∴∠BOE=1∠BOC=30°.2∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=15°+30°=45°.(2)45°.详解如下:∵∠AOB=90°,∠DOB=x,∴∠AOD=90°-x.又∵OD平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD=1∠AOC,2∴∠AOC=2∠AOD=180°-2x.∵∠AOB=90°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=180°-2x-90°=90°-2x.∠BOC=45°-x.∵OE平分∠BOC,∴∠BOE=12∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=x+45°-x=45°.素养探究全练17.解析　(1)50°.详解如下:如题图1,∵∠MOC=25°,∠MON=90°,∴∠NOC=90°-25°=65°,又∵OC平分∠AON,∴∠AOC=∠NOC=65°,∴∠BON=180°-2∠NOC=180°-2×65°=50°,故答案为50°.(2)2n°.详解如下:如题图1,∵∠MOC=n°,∠MON=90°,∴∠NOC=90°-n°=(90-n)°,又∵OC平分∠AON,∴∠AOC=∠NOC=(90-n)°,∴∠BON=180°-2∠NOC=180°-2×(90-n)°=2n°,故答案为2n°.(3)由(1)和(2)可得∠BON=2∠MOC.(4)∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化.理由如下:如题图2,∵OC平分∠AON,∴∠AOC=∠NOC,∵∠MON=90°,∴∠AOC=∠NOC=90°-∠MOC,∴∠BON=180°-2∠NOC=180°-2(90°-∠MOC)=2∠MOC,即∠BON=2∠MOC.。

角的度量 典型例题例1如图，两条直线用AB 、CD 相交于O ，︒=∠90AOE（1）图中有哪几个锐角？（2）图中有哪几个直角？（3）图中有哪几个钝角？（4）图中有哪几个平角？（5）图中有哪儿对互余的角？（6）图中有哪几对互补的角？分析 锐角、直角、钝角、平角及互为余角、互为补角的定义是解本题的依据．还要注意到图中相等的角．解：（1）锐角有COE AOD BOC ∠∠∠、、（2）直角有AOE ∠与BOE ∠（3）钝角有AOC DOE BOD ∠∠∠、、（4）平角有AOB ∠、COD ∠（5）EOC ∠与BOC ∠、AOD ∠与EOC ∠是互余的角．（6）BOC ∠BOC DOB ∠∠、与AOE AOC ∠∠、与AOD EOB ∠∠、与 EOC AOC ∠∠、与DOE ∠是互补的角说明（1）AOD ∠与EOC ∠互余是利用了BOC AOD ∠=∠（对顶角相等），这在图形中不是很明显的情况，需要靠仔细观察与推理才能发现．（2）切记比直角大的角未必是钝角，如平角．（3）解答中写出的所有角，中间的一个字母都是O ，并且都是用三个字母表示一个角，这是图形决定的．读者表示角时，一定要注意规范性．例2填空题（1）;______638128︒='''︒ （2）=''0451 '''︒；（3）＝︒26.78 '''︒；（4）︒120=________平角=_______周角。

解：（1）∵6.03606163'⨯'''＝＝， ︒⨯︒'31.06.186016.18＝＝∴︒'''︒31.28638128＝ （2）∵，＝01570451''''' 51157'︒'＝， ∴015110451'''︒''＝。

角的比较例1如图：（1）以B 为顶点的角有几个：把它们表示出来；（2）指出以射线BA 为边的角;（3)以D 为顶点，DC 为一边的角有几个?分别表示出来.解:(1）以B 为顶点的角有3个,分别是ABD ∠、ABC ∠、DBC ∠。

(2）以射线BA 为边的角有2个，分别是ABD ∠和ABC ∠。

（3)以D 为顶点,DC 为一边的角有2个,分别是BDC ∠和CDE ∠。

说明：(1）以D 为顶点的角在图形中只有4个，因为除非特别注明，所说的角都是指小于平角的角。

再加上右边DC 的限制，所以以D 为顶点，DC 为一边的角只有两个角。

例2如例 根据图，回答下列问题（1)AOC ∠是哪两个角的和?(2）AOB ∠是哪两个角的差?（3）如果COD AOB ∠=∠，那么AOC ∠与DOB ∠的大小关系如何？解：（1)AOC ∠是AOB ∠与BOC ∠的和。

（2)AOB ∠是AOC ∠与BOC ∠的差，或AOB ∠是AOD ∠与BOD ∠的差。

(3）因为COD AOB ∠=∠,所以BOC COD BOC AOB ∠+∠=∠+∠，即DOB AOC ∠=∠.说明：等式的性质也适用于几何中的量，如长度、角度等等.下图，从直线AB 上任一点引一条射线，已知OD 平分BOC ∠，若,90 =∠EOD 那么OE 一定是AOC ∠的平分线，请说明理由。

解 ∵AB 是直线，.1804321 =∠+∠+∠+∠∴OD 平分.43,∠=∠∴∠BOC由已知得,9032 =∠+∠.21,9041∠=∠∴=∠+∠∴即OE 平分.AOC ∠说明 本题考查角平分线的判定，解题时要注意平分线的性质与平角性质的应用。

例3(1）如下图，已知OM BOC AOB ,30,90 =∠=∠平分ON AOC ,∠平分BOC ∠,求MON ∠度数。

(2）如果（1）中α=∠AOB ，其他条件不变，求MON ∠的度数。

（3)如果(1）中β=∠BOC （β为锐角），其他条件不变，求MON ∠的度数。

角的度量和换算角的度量单位是度、分、秒，把一个平角180等分，每一份就是一度的角，1度记作1°；把1°的角60等分，每一份叫做一分的角，记作1′；把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作1″.角的度量单位是六十进位，即1° = 60′，1′= 60″.关于角的度量和换算一直是同学们学习中的难点，下面通过几道典型习题，谈谈这类问题的解法.例1.用度、分、秒表示42.34°.分析：把度化为度、分、秒，必须先把缺乏1度的化为分，再把缺乏1分的化为秒，也就是把角的度量单位由大化小的过程，每步要乘以60′或60″.解：〔1〕先把0.34°化成分；60′×0.34 = 20.4′；〔2〕再把0.4′化成秒；60″×0.4 = 24″.所以，42.34°= 42°20′24″.例2.用度表示56°25′12″.分析：把度、分、秒化为度，必须先把秒化为分，然后加上原有的分，再化为度，也就是把角的度量单位由小化大的过程，每步要乘以160'⎛⎫⎪⎝⎭或160''⎛⎫⎪⎝⎭.解：〔1〕先把12″化为分；12″=160''⎛⎫⎪⎝⎭×12 = 0.2′；〔2〕再把25.2′化为度；25.2′=160'⎛⎫⎪⎝⎭×25.2 = 0.42°.所以，56°25′12″ = 56.42°.例3.计算：48°39′40″＋67°41′35″.分析：角的四那么运算是复名数的运算，其法那么如算术相同，但要注意度、分、秒之间的进位是60进制.角的加减运算，必须把度、分、秒分别相加减，进位时，60′=1°，60″=1′.，借位时，1° = 60′，1′= 60″.解：先算秒和秒相加；40″＋35″= 75″= 1′15″；再算分和分相加；39′＋41′= 80′=1°20′，加上进位的一分为1°21′；最后算度和度相加；48°＋67°= 115°，再加上进位的度为116°.所以，48°39′40″＋67°41′35″= 116°21′15″.说明：此题也可用竖式计算如下：48°39′40″＋67°41′35″ 〔对齐位〕115°80′75″ 〔做加法〕即116°21′15″ 〔由低位向高位满60进一〕减法也可用相同方法进行计算.例4.计算：21°17′×5.分析：角与一个数相乘，必须度、分、秒分别与这个数相乘，够60就进1.解：21°17′×5= 21°×5＋17′×5= 105°＋85°= 106°25′.例5.计算：49°28′52″÷4.分析：角与一个数相除，要从读、分、秒依次相除，每次相除所得余数必须化为更小的度量单位，并注意题中要求的精确度，进行四舍五入.解：49°28′52″÷4= 12°＋88′52″÷4 〔49°÷4 = 12°余1°加到28′52″上为88′52″，以下依次计算.〕= 12°22′＋52″÷4= 12°22′13″.。