2.7探索勾股定理练习题.docx

《勾股定理》练习题及答案测试 1 勾股定理 ( 一 )学习要求掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．课堂学习检测一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么 ______＝ c 2；这一定理在我国被称为 ______．2．△ ABC 中，∠ C ＝ 90°， a 、 b 、c 分别是∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边．(1) 若 a ＝ 5，b ＝ 12，则 c ＝______； (2) 若 c ＝ 41， a ＝ 40，则 b ＝ ______；(3) 若∠ A ＝ 30°， a ＝ 1，则 c ＝______，b ＝ ______；(4) 若∠ A ＝ 45°， a ＝ 1，则 b ＝______，c ＝ ______． 3．如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为 ______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为 ______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题222的值为 ( ) ．6．Rt △ ABC 中，斜边 BC ＝ 2，则 AB ＋ AC ＋BC7．如图，△ ABC中， AB＝ AC＝ 10， BD 是 AC 边上的高线， DC＝ 2，则BD等于 ( )．(A)4(B)6(C)8(D) 2 108．如图， Rt △ ABC中，∠ C＝ 90°，若 AB＝ 15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 ( ) ．(A)150cm 2(B)200cm 2(C)225cm2(D) 无法计算三、解答题9．在 Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别为a、b、c．(1) 若 a∶ b＝ 3∶4，c＝ 75cm，求 a、b； (2)若a∶ c＝15∶17，b＝24，求△ ABC的面积；(3) 若 c－ a＝ 4，b＝ 16，求 a、c；(4)若∠ A＝30°，c＝24，求c 边上的高 h c；(5)若 a、 b、 c 为连续整数，求 a＋b＋ c．综合、运用、诊断一、选择题10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则 x 的值可能有 ( )．(A)1 个(B)2 个(C)3(D)4 个二、填空题11．如图，直线l 经过正方形 ABCD的顶点 B，点 A、 C 到直线 l 的距离分别是 1、 2，则正方形的边长是 ______．Word 格式12．在直线上依次摆着7 个正方形 ( 如图 ) ，已知倾斜放置的 3 个正方形的面积分别为 1， 2， 3，水平放置的 4 个正方形的面积是 S1，S2， S3，S4，则 S1＋ S2＋ S3＋ S4＝ ______．三、解答题13．如图， Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A＝ 30°， BD 是∠ ABC的平分线， AD＝ 20，求 BC的长．拓展、探究、思考14．如图，△ ABC中，∠ C＝ 90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S1＋ S2与 S3的关系；图①(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究 S1＋ S2与 S3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆( 如图③ ) ，探究 S1＋ S2与 S3的关系．测试 2勾股定理(二)学习要求掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．若一个直角三角形的两边长分别为12 和 5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距 ______km．3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 ______m．二、选择题5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．(A)5m(B)7m(C)8m(D)10m6．如图，从台阶的下端点 B 到上端点 A 的直线距离为( )．(A) 12 2(B) 10 3(C) 6 5(D) 8 5三、解答题7．在一棵树的10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米?综合、运用、诊断一、填空题9．如图，一电线杆AB的高为 10 米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为______米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 ______( 取 3)二、解答题：11．长为 4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为 60°角 ( 如图所示 ) ，则梯子的顶端沿墙面升高了 ______m．12．如图，在高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽 2 米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?9101112拓展、探究、思考13．如图，两个村庄A、B 在河 CD的同侧， A、 B 两村到河的距离分别为AC＝ 1 千米，BD＝ 3 千米，CD＝3 千米．现要在河边 CD上建造一水厂，向 A、 B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米 20000 元，请你在 CD上选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．测试 3勾股定理(三)学习要求熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．在△ ABC中，若∠ A＋∠ B＝ 90°， AC＝ 5， BC＝ 3，则 AB＝ ______，AB边上的高CE＝______．2．在△ ABC中，若 AB＝AC＝ 20，BC＝ 24，则 BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．3．在△ ABC中，若 AC＝ BC，∠ ACB＝ 90°， AB＝10，则 AC＝ ______，AB边上的高CD＝______．4．在△ ABC中，若 AB＝ BC＝ CA＝ a，则△ ABC的面积为 ______．5．在△ ABC中，若∠ ACB＝ 120°， AC＝BC，AB边上的高 CD＝ 3，则 AC ＝______， AB＝ ______， BC边上的高 AE＝ ______．二、选择题( )．(A)1(B)3(C)1(D)14427．若等腰三角形两边长分别为 4 和 6，则底边上的高等于 ( ) ．(A)7(B)7 或 41(C)42(D) 4 2或7三、解答题8．如图，在Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°， D、 E 分别为 BC和 AC的中点，AD＝ 5，BE＝2 10求 AB的长．9．在数轴上画出表示10 及13 的点．综合、运用、诊断10．如图，△ ABC中，∠ A＝ 90°， AC＝ 20，AB＝ 10，延长AB到 D，使 CD＋ DB＝AC＋ AB，求 BD的长．11．如图，将矩形ABCD沿 EF 折叠，使点D 与点 B 重合，已知 AB＝ 3， AD＝ 9，求 BE的长．Word 格式12．如，折叠矩形的一AD，使点 D 落在 BC的点 F ，已知AB ＝8cm，BC＝ 10cm，求 EC的．13．已知：如，△ABC中，∠ C＝90°， D AB的中点， E、F 分在 AC、 BC上，且 DE⊥ DF．求： AE2＋ BF2＝EF2．拓展、探究、思考14．如，已知△ABC中，∠ ABC＝ 90°， AB＝ BC，三角形的点在相互平行的三条直 l 1， l 2， l 3上，且 l 1， l 2之的距离 2，l 2，l 3之的距离 3，求 AC的是多少 ?15．如，如果以正方形ABCD的角 AC作第二个正方形 ACEF，再以角 AE 作第三个正方形 AEGH，如此下去，⋯⋯已知正方形 ABCD的面 S1 1，按上专业资料Word 格式方形的面依次 S2，S3，⋯， S n(n 正整数 ) ，那么第 8 个正方形的面 S8＝ ______，第 n 个正方形的面 S n＝ ______．4勾股定理的逆定理学要求掌握勾股定理的逆定理及其用．理解原命与其逆命，原定理与其逆定理的概念及它之的关系．堂学一、填空1．如果三角形的三a、 b、 c 足 a2＋ b2＝c2，那么个三角形是______三角形，我把个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命中，如果第一个命的是第二个命的，而第一个命的是第二个命的，那么两个命叫做____________；如果把其中一个命叫做原命，那么另一个命叫做它的 ____________．3．分以下列四数一个三角形的：(1)6 、8、10，(2)5 、12、13 ， (3)8 、 15、 17， (4)4 、 5、 6，其中能构成直角三角形的有____________． ( 填序号 )4．在△ ABC中， a、 b、 c 分是∠ A、∠ B、∠ C 的，222②若 a2＋ b2＝c2，∠ c ____________；Word 格式③若 a2＋ b2＜c2，则∠ c 为 ____________．5．若△ ABC中， (b － a)(b ＋ a) ＝c2，则∠ B＝ ____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ ABC是______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、 a、 8( 其中 a 为正整数 ) ，则以 a － 2、 a、 a＋ 2 为边的三角形的面积为______．8．△ ABC的两边a， b 分别为5， 12，另一边 c 为奇数，且a＋ b＋ c 是3 的倍数，则 c 应为 ______，此三角形为 ______．二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝ 6 ， b ＝ 8 ， c ＝ 10 (B) a 1, b2, c3 (C)a 5, b 1, c3 44(D) a2, b 3, c610．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1 ∶1∶ 2 (B)1 ∶ 3∶ 4(C)9∶ 25∶26(D)25 ∶ 144 ∶169211．已知三角形的三边长为n、 n＋ 1、 m(其中 m＝2n＋ 1) ，则此三角形 ( )．(A) 一定是等边三角形(B) 一定是等腰三角形(C)一定是直角三角形(D) 形状无法确定综合、运用、诊断一、解答题Word 格式12．如图，在△ ABC中， D 为 BC边上的一点，已知AB＝13， AD＝ 12， AC＝ 15， BD＝5，求 CD的长．13．已知：如图，四边形ABCD中， AB⊥ BC，AB＝ 1，BC＝ 2， CD＝ 2， AD＝ 3，求四边形 ABCD的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD中， F 为 DC的中点，E 为 CB的四等分点且CE＝1CB，求证： AF⊥ FE．415．在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 海里的速度前进， 2 小时后，甲船到 M岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗 ?拓展、探究、思考16．已知△ ABC 中， a2＋ b2＋ c2＝ 10a＋24b＋ 26c－ 338，试判定△ ABC 的形状，并说明你的理由．Word 格式17．已知 a、b、c 是△ ABC的三，且a2c2－ b2c2＝ a4－ b4，判断三角形的形状．18．察下列各式：32＋ 42＝ 52， 82＋ 62＝ 102， 152＋ 82＝ 172， 242＋ 102＝262，⋯，你有没有其中的律 ?用含 n 的代数式表示此律并明，再根据律写出接下来的式子．参考答案第十八章勾股定理测试 1勾股定理 ( 一 )1．a2＋ b2，勾股定理．2．(1)13 ； (2)9；(3)2， 3 ；(4)1，2 ．3．2 5． 4．52，5． 5 ．132cm． 6 ．A． 7 ．B． 8 ．C．9．(1)a ＝ 45cm．b＝60cm； (2)540；(3)a＝ 30， c＝ 34；(4)63； (5)12．10． B． 11 ． 5. 12 ． 4． 13． 10 3.14． (1)S＋ S ＝ S ； (2)S1＋ S ＝ S ； (3)S1＋S ＝ S ．1232323测试 2勾股定理 ( 二 )1．13 或119.2． 5． 3 ． 2． 4 ． 10．5．C． 6 ． A． 7 ． 15 米． 8 ．3米．210310． 25． 11．12 ．7 米， 420 元．9．32 3 22.13． 10 万元．提示：作 A 点关于 CD的对称点 A′，连结 A′ B，与 CD 交点为 O．测试 3勾股定理 ( 三 )1．34 ,152． 16， 19.2 ． 3． 5 2 ，5．432.3434;．4a5．6，6 3 ， 3 3 ．6．C．7．D8．2 13.提示：设BD＝ DC＝ m， CE＝ EA＝ k，则2222 k＋ 4m＝40， 4k ＋ m＝ 25． AB＝4m24k 2 2 13. 9．101232 , 132232 , 图略．10． BD＝ 5．提示：设BD＝ x，则 CD＝ 30－ x．在 Rt △ACD中根据勾股定理列出 (30 － x) 2＝(x ＋ 10) 2＋ 202，解得 x＝5．11． BE＝ 5．提示：设BE＝x，则 DE＝ BE＝ x， AE＝ AD－ DE＝9－ x．在222222Rt △ ABE中， AB＋ AE＝ BE，∴ 3 ＋ (9 －x) ＝x ．解得 x＝ 5．＝ AF 2AB 26，CF＝4．在Rt△CEF中(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3．13．提示：延长 FD 到 M使 DM＝ DF，连结 AM， EM．14．提示：过 A，C 分别作 l 3的垂线，垂足分别为M，N，则易得△ AMB ≌△ BNC，则AB34, AC 2 17.15． 128， 2n－1．测试 4勾股定理的逆定理1．直角，逆定理． 2 ．互逆命题，逆命题．3． (1)(2)(3) ．4．①锐角；②直角；③钝角． 5 ． 90°． 6．直角．7．24．提示： 7＜a＜ 9，∴ a＝ 8． 8．13，直角三角形．提示： 7＜ c ＜ 17．9．D． 10 ． C． 11 ． C．12． CD＝ 9． 13 ．1 5.14．提示：连结 AE，设正方形的边长为4a，计算得出 AF， EF，AE 的长，由 AF2＋ EF2＝ AE2得结论．15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a － 5) 2＋(b － 12) 2＋ (c － 13) 2＝ 0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a 2－ b2)(a 2＋ b2－c2 ) ＝ 0．Word 格式18． 352＋ 122＝372， [(n ＋ 1) 2－ 1] 2＋ [2(n ＋ 1)] 2＝ [(n ＋1) 2＋1] 2． (n ≥ 1 且 n 为整数 )。

C勾股定理评估试卷(1）一、选择题（每小题3分，共30分）1。

直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). (A ）30 (B)28 （C ）56 （D ）不能确定2。

直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm （B ）8 cm（C ）10 cm(D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14(C)7（D ）7或254。

等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ） （A ）13 (B ）8 （C)25 (D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ )715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数， 得到的三角形是（ ）（A) 钝角三角形 (B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7。

如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是 （ ） （A ） 25 （B ） 12.5 （C) 9 （D ） 88. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是（(A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形。

9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米,AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮a 元计算,那么共需要资金（ ）.(A ）50a 元 （B ）600a 元 (C ）1200a 元 （D ）1500a 元10.如图,AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形,如果CD=17,BE=5，那么AC 的长为（ ）。

探索勾股定理练习题### 探索勾股定理练习题1. 选择题：勾股定理描述的是直角三角形中边长的关系，以下哪个选项正确地描述了勾股定理？- A. 直角三角形的斜边长度等于两直角边长度之和。

- B. 直角三角形的两直角边长度之和等于斜边长度的一半。

- C. 直角三角形的斜边长度的平方等于两直角边长度的平方和。

- D. 直角三角形的两直角边长度的平方和等于斜边长度。

正确答案：C。

2. 填空题：在一个直角三角形中，如果直角边长分别为3厘米和4厘米，那么斜边的长度是____厘米。

答案：5厘米。

3. 计算题：一个梯形的两底边长分别为a和b，高为h。

如果a=10米，b=15米，h=6米，请计算梯形的对角线长度（假设对角线将梯形分为两个直角三角形）。

答案：根据勾股定理，对角线长度的平方等于(a+b)^2 - 4h^2，代入数值得对角线长度的平方=(10+15)^2 - 4*6^2 = 400 - 144 = 256，所以对角线长度为√256 = 16米。

4. 应用题：一座建筑物的一边长为20米，另一边长为30米，两建筑物之间的直线距离为42米。

请验证这两建筑物是否构成直角三角形。

答案：根据勾股定理，如果20^2 + 30^2 = 42^2，则构成直角三角形。

计算得 400 + 900 = 1300，而42^2 = 1764，因为1300 ≠ 1764，所以这两建筑物不构成直角三角形。

5. 证明题：证明在一个直角三角形中，斜边的长度总是大于任何一个直角边的长度。

答案：设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c。

根据勾股定理，a^2 + b^2 = c^2。

由于平方总是非负的，a^2 和 b^2 都是非负数，所以a^2 + b^2 ≥ 0。

又因为a和b是边长，所以它们都是正数，那么 a^2 和 b^2 都是正数，所以 a^2 + b^2 > 0。

由于c^2 =a^2 + b^2，所以c^2 > 0，从而得出c > 0，即斜边长度总是正数。

2.7《探索勾股定理》同步练习题一、选择题1．已知直角三角形的两直角边长分别为3 cm 和4 cm ，有下列结论：①斜边长为25 cm ；②斜边长为5 cm ；③周长为12 cm ；④面积为6 cm 2；⑤面积为12 cm 2.其中正确的是()A ．①②B ．②③④C ．②③⑤D ．①④2．在一个直角三角形中，有两边长分别为6和8，则下列说法中正确的是()A ．第三边一定为10B ．三角形的周长为25C ．三角形的面积为48D ．第三边可能为103．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则BC ∶AC ∶AB 的值为)A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1∶3∶2D ．1∶2∶ 34．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为()A ．49 cm 2B ．98 cm 2C ．147 cm 2D ．无法确定5．有六根木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12(单位：cm )，从中取出三根首尾顺次相接，能搭成一个直角三角形的是()A ．2，4，8B ．4，8，10C ．6，8，10D ．8，10，126．已知一个三角形的三边长分别为1，53，43，则此三角形的最大内角是() A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定7．以△ABC 的三边长为直径的半圆的面积分别为S 1，S 2，S 3.若S 1＋S 2＝S 3，则△ABC 的形状为()A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定8．一个三角形的两条边长分别为1和2，若要使这个三角形成为直角三角形，则下列说法正确的是A ．第三边长为3B ．第三边的平方为3C ．第三边的平方为5D ．第三边的平方为3或59．如图，在5×5的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，满足这样条件的点C 的个数是()(第9题)A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题10．在△ABC中，BC＝42，AB＝9，AC＝7，则∠C＝_____．11. 某个直角三角形斜边上的中线是5 cm，其周长为24 cm，则此三角形的面积是____cm2.12．若三角形的三边长分别为n＋1，n＋2，n＋3，当n＝____时，这个三角形是直角三角形．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝12，则BC边上的中线AD＝_____．(第13题)(第14题) (第15题)14．如图，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，CD是AB边上的高线，则CD＝_____．15．如图，P是等边△ABC内一点，P A＝6，PB＝8，PC＝10，则∠APB＝_____．16．如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm.(第16题)三、解答题17．已知|a－3|＋(b－7)2与c2－8c＋16互为相反数，问：以a，b，c为边的三角形是什么三角形？18．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且DF ＝14DC ，试判断BE 与EF 的位置关系，并说明理由．(第18题)19．如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC ＝1，AB ＝AC ＝AD ＝2.求BD 的长．(第19题)20．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，P 是△ABC 内一点，P A ＝1，PB ＝3，PC ＝7.求∠CP A的度数．(第20题)21．如图①，一架梯子AB长2.5 m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5 m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图②所示，测得BD＝0.5 m，求梯子顶端A下滑的距离．(第21题)22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AC，BC，AB为直径向外画半圆，则这三个半圆的面积之间有什么关系？(第22题)参考答案1.B2.D3.C4.A5.C6.B 7B.8.D 9.C 10. 90°11. 2412. 213. 6314. 12515. 150°16. 13 17【解】 根据题意，得|a －3|＋(b －7)2＋c 2－8c ＋16＝0，即|a －3|＋(b －7)2＋(c －4)2＝0.∵|a －3|≥0，(b －7)2≥0，(c －4)2≥0，∴a －3＝0，b －7＝0，c －4＝0，∴a ＝3，b ＝7，c ＝4.∵a 2＋b 2＝9＋7＝16＝c 2，∴以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．18【解】 BE ⊥EF .理由如下：设正方形ABCD 的边长为4a ，由题意，得AB ＝4a ，AE ＝2a ，DE ＝2a ，DF ＝a ，CF ＝3a ，BC ＝4a.在Rt △ABE 中，BE 2＝AB 2＋AE 2＝20a 2.在Rt △DEF 中，EF 2＝DE 2＋DF 2＝5a 2.在Rt △BCF 中，BF 2＝BC 2＋CF 2＝25a 2.∴BE 2＋EF 2＝BF 2，∴△BEF 为直角三角形，∠BEF ＝90°，即BE ⊥EF .显然PQ ′的长即为蚂蚁爬行的最短路径．在Rt △PP ′Q ′中，PP ′＝2＋4＋2＋4＝12(cm )，P ′Q ′＝5 cm ，∴PQ ′＝PP ′2＋P ′Q ′2＝122＋52＝13(cm )．19【解】 过点A 分别作AE ⊥BC ，AF ⊥BD ，垂足分别为E ，F .由于△ABC 和△ABD 均为等腰三角形，由三线合一可知E 是BC 的中点，F 是BD 的中点．在△ABE 中，AB ＝2，BE ＝12BC ＝12，∠AEB ＝Rt ∠， ∴AE ＝AB 2－BE 2＝12 15. 在△ABD 中，∵AB ＝AD ，∴可设∠ADB ＝∠ABD ＝α.∵DC ∥AB ，∴∠CDB ＝∠DBA ＝α.∴∠CDA ＝∠CDB ＋∠ADB ＝α＋α＝2α.∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝2α.∵DC ∥AB ，∴∠CAB ＝∠ACD ＝2α.由三线合一可知AE 平分∠CAB ，∴∠EAB ＝12∠CAB ＝α＝∠FB A. 又∵∠AFB ＝∠BEA ＝Rt ∠，AB ＝BA ，∴△AFB ≌△BEA (AAS )，∴BF ＝AE ＝12 15. ∴BD ＝2BF ＝15.20【解】 将△APB 绕点A 逆时针旋转90°到△AQC 位置，则易得△APQ 为等腰Rt △，且有△AQC ≌△APB ，∴QA ＝P A ＝1，QC ＝PB ＝3.∵△APQ 为等腰直角三角形，∴PQ 2＝P A 2＋AQ 2＝2，∠APQ ＝45°.在△CPQ 中，PC 2＋PQ 2＝7＋2＝9＝CQ 2，∴∠QPC ＝90°，∴∠CP A ＝∠QPC ＋∠APQ ＝135°.21【解】 在Rt △ACB 中，AC 2＝AB 2－BC 2＝2.52－1.52＝4，∴AC ＝2.∵BD ＝0.5，∴CD ＝2.在Rt △ECD 中，EC 2＝ED 2－CD 2＝2.52－22＝2.25，∴EC ＝1.5.∴AE ＝AC －EC ＝2－1.5＝0.5(m )．答：梯子顶端下滑了0.5 m .22.【解】 设以AC 为直径的半圆面积为S 1，则S 1＝12π⎝⎛⎭⎫12AC 2＝18πAC 2.设以AB 为直径的半圆面积为S 2，则S 2＝12π⎝⎛⎭⎫12AB 2＝18πAB 2. 设以BC 为直径的半圆面积为S 3，则S 3＝12π⎝⎛⎭⎫12BC 2＝18πBC 2. 在Rt △ABC 中，∵AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴S 1＋S 3＝S 2.。