舜耕中学高一数学选修1—1导学案331函数的单调性与导数教师

3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数1.掌握函数的单调性与导数的关系.(难点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)3.能根据函数的单调性求参数.(难点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与导数阅读教材P89～P90“思考”部分，完成下列问题.1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则函数f (x )在定义域上单调递增.( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.( ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.( )(4)在区间(a ，b )内，f ′(x )>0是f (x )在此区间上单调递增的充要条件.( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×[小组合作型]求函数的单调区间求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3－2x 2＋x ；(2)f (x )＝3x 2－2ln x ；(3)f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0).【导学号：97792043】【精彩点拨】 在定义域内解不等式f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)，确定单调区间.【自主解答】 (1)函数的定义域为R ， ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＞0，解得x ＞1或x ＜13.因此f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13，(1，＋∞).令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.因此f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )＞0，即2·3x 2－1x＞0，解得－33＜x ＜0或x ＞33.又x ＞0，∴x ＞33；令f ′(x )＜0，即2·3x 2－1x ＜0，解得x ＜－33或0＜x ＜33，又x ＞0，∴0＜x ＜33.∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.(3)函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋ax.①当a ＞0时，f ′(x )＝x ＋ax ＞0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋∞)；②当a ＜0时，由f ′(x )＝x ＋a x ＞0，得x ＞－a ；由f ′(x )＝x ＋a x＜0，得0＜x ＜－a ，所以当a ＜0时，函数的单调递增区间是()－a ，＋∞，单调递减区间是(0，－a ).综上，当a ＞0时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a ＜0时，单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a ).利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集.如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )是常函数；如果在某个区间内只有有限个点使f ′(x )＝0，其余点恒有f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)，则f (x )仍为增函数(减函数).[再练一题]1.(1)函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13(2)函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________.【解析】 (1)y ′＝3x 2－2x －1，令y ′>0，得x <－13或x >1，所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞).(2)令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π函数与导函数的图象已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图3­3­1所示，则f (x )的图象只可能是( )图3­3­1【精彩点拨】 观察导函数图象→f x ＞0时f x 递增f x ＜0时f x 递减→|fx较大小f x 变化较快慢→得正确选项【自主解答】 由导函数图象知，在[a ，b ]上，f ′(x )＞0.故f (x )在[a ，b ]上单调递增，又在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，a ＋b 2上，|f ′(x )|越来越大，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，a ＋b 2上增长越来越快；在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 上，|f ′(x )|越来越小，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 上增长越来越慢，故选D.【答案】 D研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.[再练一题]2.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图3­3­2所示，则导函数y ＝f ′(x )可能为( )【导学号：97792044】图3­3­2【解析】由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确.【答案】 D[探究共研型]已知函数单调性求参数取值范围探究1 在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？【提示】不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分条件.探究2 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有什么关系？【提示】函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0且f′(x)不恒为0单调递减f′(x)≤0且f′(x)不恒为0常函数f′(x)＝0已知函数f(x)＝x3－ax－1，(1)若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值.【精彩点拨】(1)转化为f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，求a的范围；(2)由f′(x)＜0，求单调减区间，对比已知，求a的值.【自主解答】(1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.(2)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，无减区间，不满足条件.②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3；当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0.因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数. ∴3a 3＝1，即a ＝3.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路1.将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.2.先令f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意.[再练一题]3.(1)若函数f (x )＝x 2－a x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.a ＞－2B.a ≥－2C.a ≤－2D.a ＜－2【解析】 f ′(x )＝2x ＋ax 2.令f ′(x )≥0，即2x ＋ax2≥0，a ≥－2x 3，由于g (x )＝－2x 3在(1，＋∞)上满足g (x )＜g (1)＝－2， ∴要使a ≥－2x 3在(1，＋∞)上恒成立，应有a ≥－2.故选B. 【答案】 B(2)若函数f (x )＝ax 3＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围. 【解】 f ′(x )＝3ax 2＋1.①当a ＝0时，f (x )＝x －5在R 上是单调递增的；②当a ≠0时，f ′(x )＝0的根为有限个，因此要使函数f (x )在R 上单调递增，只需f ′(x )＝3ax 2＋1≥0在R 上恒成立即可.则⎩⎨⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a ＞0，0－12a ≤0， 所以a ＞0.综上，a ≥0.1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.y ＝－x 2 B.y ＝x e x C.y ＝x 2－xD.y ＝－x ＋ln x【解析】 对于y ＝x e x ，y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )>0， ∴y ＝x e x 在(0，＋∞)内为增函数. 【答案】 B2.已知二次函数f (x )的图象如图3­3­3所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )图3­3­3【解析】 根据图象可设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)， 则f ′(x )＝2ax (a <0).故选B. 【答案】 B3.函数f (x )＝(x －1)e x 的单调递增区间是________. 【解析】 f ′(x )＝(x －1)′e x ＋(x －1)(e x )′＝x e x ， 令f ′(x )＞0，解得x ＞0，故f (x )的增区间为(0，＋∞). 【答案】 (0，＋∞)4.若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是_______.【导学号：97792045】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意知f (x )在R 上单调递增，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.【答案】m≥1 35.设f(x)＝e x1＋ax2，其中a为正实数.若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.【解】对f(x)求导得f′(x)＝e x 1＋ax2－2ax＋ax22，若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.即a的取值范围为(0,1].。

函数的单调性与导数导学案【学习目标】1、了解可导函数的单调性与其导数的关系.2、掌握利用导数判断函数单调性的方法.【学习重难点】教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 【学法指导】运用导数这个工具研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的应用，并与以前知识相比较，体会导数在研究函数中优越性。

知识链接一、【自主学习】1．增函数、减函数的定义一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．1.观察23页图1.3.2的四副图，完成下列表格。

2、以小组为单位完成上列表格二【合作探究】1、学生以小组为单位讨论上述表格函数的单调性与其导数的正负的关系：2、抽生回答3、师总结：在区间[a’b]内，若f '(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f '(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减。

备注：f '(x )＞0是函数单调递增的充分不必要条件 f '(x )＜0是函数单调递减的充分不必要条件。

f '(x )》0f '(x )《0例．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．师扮演过程：解：f (x )'＝6x 2－12x ．令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2．因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数， 当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2． 因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 师总结：利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．练习1：教材P24面的例2 【课堂小结】1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法. 【达标检测】1、求下列函数的单调区间．(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝12x.2、已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1） 求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。

导数与函数的单调性 (教案)教学目标：(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。

(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。

(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多观察、多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。

教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。

教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。

教学方法：“诱思探究”法 教学手段：多媒体课件等辅助手段 教学过程：一、回顾与思考 提问：1．到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。

） 2．比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。

） 3．还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。

）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的另外一种判断函数单调性的方法——导数法。

这时，老师板书课题——导数与函数的单调性。

以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：像上述这种三次函数，判断它的单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。

二、观察与表达借助多媒体，出示表格1（见下页），所给函数都是学生特别熟悉的一次函数（初中已32()233616f x x x x =--+经学过）。

让学生自己填写表格中的相关内容，目的是让学生探索函数的单调性和导数正负的关系。

老师问：通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？学生很自然的就回答出：当导数为正时，函数在整个定义域上是增加的，当导数为负时，函数在整个定义域上是减少的。

§3.3导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识点1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0【预习评价】思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？提示必要不充分条件.知识点2利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【预习评价】函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋2的单调增区间是________.[解析] f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞3，故f (x )的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). [答案] (－∞，－1)，(3，＋∞)题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性【例1】 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>0(或<0)，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥0(或≤0).【训练1】 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2) f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4) f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2). (2)f ′(x )＝cos x －1.因为0<x <π，所以cos x －1＜0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π). (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0， 解得x <－33或0<x <33.又∵x>0，∴0<x<33.∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).(4)f′(x)＝3x2－3t.令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，由x2＞t解得x＞t或x＜－t；由f′(x)＜0解得－t＜x＜t，函数f(x)的增区间是(－∞，－t)和(t，＋∞)，减区间是(－t，t).综上，当t≤0时，f(x)的增区间是(－∞，＋∞)；当t＞0时，f(x)的增区间是(－∞，－t)，(t，＋∞)，减区间是(－t，t).规律方法求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间.【训练2】求函数f(x)＝x3＋3x的单调区间.解方法一函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).方法二 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x 2)；令f ′(x )＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).【例3－1】 已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立. ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a＝16时，f′(x)＝2x3－16x2≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16].方向2利用函数的单调性证明不等式【例3－2】已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底，求证：a b＞b a.证明当b＞a＞e时，要证a b＞b a，只要证b ln a＞a ln b，即只要证ln aa＞ln bb.构造函数y＝ln xx(x＞0)，则y′＝1－ln xx2.因为当x＞e时，y′＝1－ln xx2＜0，所以函数y＝ln xx在(e，＋∞)内是减函数.又因为b＞a＞e，所以ln aa ＞ln bb.故a b＞b a.规律方法(1)已知函数的单调性，求函数[解析]式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.【训练3】若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立. 因此Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.当m ＝13时，使f ′(x )＝0的点只有一个x ＝－13，也符合题意.故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.课堂达标1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，6)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 [解析] ∵f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0，6)上单调递增. [答案] A2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )[解析] 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数；当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.[答案] D3.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.a＝1C.(－∞，1]D.(0，1)[解析]∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0，1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0，1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.[答案] A4.函数y＝x2－4x＋a的增区间为______，减区间为______.[解析]y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；令y′<0，得x<2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).[答案](2，＋∞)(－∞，2)5.若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________.[解析]f′(x)＝1x－ax－2＝－ax2＋2x－1x.因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解.又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内有解.①当a＞0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a＜0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，若ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a ＞0，解得－1≤a ＜0， 而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2x ≥0，不符合题意，故－1＜a ＜0；③当a ＝0时，显然符合题意.综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞). [答案] (－1，＋∞)课堂小结1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.。

3.3.1 函数的单调性与导数一、学习目标1.会熟练用求导,求函数单调区间,证明单调性;2.会从导数的角度解释增减及增减的快慢情况二、复习引入例题精讲例1：求函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间．例2：设函数f (x )＝ax －a x－2ln x . (1)若f ′(2)＝0，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．三、巩固练习1．函数y ＝4x 2＋1x单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞) 2．函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上的增减性为( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增 3．求函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间． 4.已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2.(1)求y ＝f (x )的[解析]式；(2)求y ＝f (x )的单调递增区间．四、课堂小结1.函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )＞0，那么y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减；如果恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间内为常函数．2．用导数判断函数的单调性和求单调区间，实际上就是在函数的定义域范围内解决导数的正负问题，对于含有字母参数的函数，要注意对参数进行分类讨论——★ 参 考 答 案 ★——：例题精讲例1：解：函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝()2231x x-. 由f ′(x )>0，即3x 2－1x >0，得x >33， ∴函数f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞， 由f ′(x )<0，即3x 2－1x <0，得0<x <33， ∴f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫0，33， ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞，减区间为⎝⎛⎭⎫0，33. 例2：解： (1)∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(2)＝0，且f ′(x )＝a ＋a x 2－2x， ∴a ＋a 4－1＝0，∴a ＝45. ∴f ′(x )＝45＋45x 2－2x ＝25x2(2x 2－5x ＋2)， 由f ′(x )＞0结合x ＞0，得0＜x ＜12或x ＞2， ∴f (x )的递增区间为(0，12]和[2，＋∞)， 递减区间为(12，2). (2)若f (x )在定义域上是增函数，则f ′(x )≥0对x ＞0恒成立，∵f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋a x 2， ∴需x ＞0时ax 2－2x ＋a ≥0恒成立化为a ≥2x x 2＋1对x ＞0恒成立， ∵2x x 2＋1＝2x ＋1x≤1，当且仅当x ＝1时取等号． ∴a ≥1，即a ∈[1，＋∞).三、巩固练习1．[解析]由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2. 令8x －1x 2＞0，得x ＞12. [答案]C2．[解析] y ′＝－6x ，故当x ∈(－1,0)时，y ′＞0；当x ∈(0,1)时，y ′＜0，所以原函数在区间(－1,1)上先增后减．[答案] C3．解：函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ，令y ′＝x －1x≤0得0＜x ≤1， ∴函数的单调减区间为(0,1].4.解：(1)由题意得：f (0)＝1，f ′(1)＝1，f (1)＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，4a ＋2b ＝1，a ＋b ＋c ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52，b ＝－92，c ＝1.∴f (x )＝52x 4－92x 2＋1 (2)f ′(x )＝10x 3－9x ，由10x 3－9x ＞0得x ＞31010或－31010＜x ＜0， ∴f (x )的单调增区间为(－31010，0)，(31010，＋∞)．。

舜耕中学高一数学选修1—1导学案(教师版) 编号20 等级：一。

【复习回顾】（1）常函数：0'=C (C 为常数)； （2）幂函数 ：1)'(-=n n nx x (Q n ∈)（3）三角函数 ：（4）对数函数的导数: 1(ln ).x x '=1(log ).ln a x x a'= （5）指数函数的导数: ().xxe e '= ()l n (0,1xxa a a a a '=>≠ 二。

【创设情境】下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数. 相应地, ()()0.v t h t '=>②从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即h(t)是减函数. 相应地, ()()0.v t h t '=<观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 见课本P90图结论：一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是常数。

三. 【例题精讲】例1 已知导函数()f x ' 的下列信息: 当1 < x < 4 时, ()0;f x '> 当 x > 4 , 或 x < 1时, ()0;f x '<(sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-2() 4.9 6.510h t t t =-++() 4.9 6.5v t t =-+当 x = 4 , 或 x = 1时, ()0.f x '=试画出函数()f x 的图象的大致形状.例2判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:32(1) ()3; (2) ()23;f x x x f x x x =+=--(3) ()sin ,(0,); f x x x x π=-∈ 32(4) ()2324 1.f x x x x =+-+练习：判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:2(1) ()24; (2) ();x f x x x f x e x =-+=- 332(3) ()3; (4) ().f x x x f x x x x =-=--例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.如图,函数()y f x = 在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”,在(,)b +∞ 或(,)a -∞ 内的图象平缓. 四。

3.3.1函数的单调性与导数学习目标：1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．核心扫描1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点)2．利用导数证明一些简单不等式．(难点)3．常与不等式、方程等结合命题.课前探究学习自学导引1．函数的单调性与其导函数的正负间的关系设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导想一想：在区间(a，b)答：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”．3．利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的取值范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．名师点睛1．理解函数的单调性与其导数的关系需注意的问题(1)根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．(2)在某个区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f ′(x )＝0，不会影响函数f (x )在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f (x )＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f ′(x )＝3x 2知，f ′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f ′(x )>0.可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零．2．利用导数求函数的单调区间需注意的问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“∪”连接，可用“逗号”或“和”字隔开． 课堂讲练互动：题型一 利用导数判断函数的单调性例1：证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数．规律方法 关于利用导数证明函数单调性的判断问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥(或≤)0.变式1：试证明：函数f (x )＝sin xx在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题型二 利用导数求函数的单调区间例2：求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x 3－x ； (2)y ＝e x －x ＋1.规律方法 利用导数求函数f (x )的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，不等式的解集就是函数的单调区间．注意：如果函数的单调区间不止一个时，单调区间应用“，”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．变式2：求函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间．题型三 已知函数单调性求参数的取值范围例3：已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．规律方法 已知函数的单调性，求函数[解析]式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f (x )在区间Ⅰ上单调递增(或减)，转化为不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间Ⅰ上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．变式3： (1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值． (2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．题型四 用单调性与导数关系证不等式例4：当x ＞0时，证明不等式ln x ＞x －12x 2.题后反思：要证明不等式f (x )>g (x )(x ∈(a ，b ))成立，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，然后利用导数证明函数F (x )＝f (x )－g (x )在(a ，b )上是增函数，若F (a )－g (a )≥0.由增函数的定义可知，当x ∈(a ，b )时，f (x )－g (x )>0，从而证明了不等式f (x )>g (x )．变式4：当0＜x ＜π2时，求证：x －sin x ＜16x 3.方法技巧 转化与化归思想在单调性中的应用运用导数这个工具研究函数的单调性，体现了转化与化归的数学思想，凸显了导数在研究函数单调性方面的优越性，在平时的学习中应予以高度重视．示例：已知a >0，且a ≠1，证明函数y ＝a x －x ln a 在(－∞，0)内是减函数．方法点评本题体现了转化与化归的思想．证明函数的单调性当然可以利用定义法，但过程冗长繁琐．利用导数来研究函数的性质，过程比较简洁，学习中应认真总结体会．本题中还需注意对a 的讨论，否则证明过程会出现纰漏．——★ 参 考 答 案 ★——：例1：证明：∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1.∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0， 故f (x )在区间(0，e)上是单调递增函数． 变式1：证明：f ′(x )＝x cos x －sin x x2，又x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数． 例2：解：(1)f ′(x )＝3x 2－1＝(3x ＋1)(3x －1)， 令f ′(x )>0，则x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞，令f ′(x )<0，则x ∈⎝⎛⎭⎫－33，33. ∴f (x )＝x 3－x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33，33. (2)y ′＝e x －1，令y ′>0，即e x －1>0，则x ∈(0，＋∞)，令y ′<0，即e x －1<0，则x ∈(－∞，0)， ∴y ＝e x －x ＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．变式2：解：函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2(3x 2－1)x.由f ′(x )>0，即3x 2－1x >0，得x >33，∴函数f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞，由f ′(x )<0，即3x 2－1x <0，得0<x <33，∴f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫0，33， ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞，减区间为⎝⎛⎭⎫0，33. 例3：解：f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min . ∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16]．变式3：解：(1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ， 由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集． ∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根， ∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间， ∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a >0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)． 例4：证明：令f (x )＝ln x －x ＋12x 2，则f ′(x )＝1x－1＋x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34x.当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 于是当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0，∴当x ＞0时，不等式ln x ＞x －12x 2成立．变式4：证明：设g (x )＝x －sin x －16x 3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， g ′(x )＝1－cos x －12x 2＝2⎣⎡⎦⎤sin 2x 2－⎝⎛⎭⎫x 22. ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0＜sin x ＜x ， ∴sin 2x 2＜⎝⎛⎭⎫x 22，∴g ′(x )＜0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g (x )＜g (0)＝0，∴x －sin x ＜16x 3.方法技巧 转化与化归思想在单调性中的应用示例：解：y′＝a x ln a－ln a＝ln a(a x－1) 当a>1时，∵ln a>0，a x<1，∴y′<0，即y在(－∞，0)内是减函数；当0<a<1时，∵ln a<0，a x>1，∴y′<0，即y在(－∞，0)内是减函数．综上，函数在(－∞，0)内是减函数．。

舜耕中学高一数学选修1—1导学案(教师版) 编号：15 等级：一、【创设情境】为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r =分析: 343)(πV V r =(1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=在21≤≤t 这段时间里,)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0()4965(h h =,所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可 用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 则平均变化率为=∆∆=∆∆xf xy xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考: 观察函数)(x f 的图象平均变化率=∆∆xf 1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy .解: )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-∴x xx x xy ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率. 解: 2020)(x x x y -∆+=∆所以xx x x xy ∆-∆+=∆∆220)(x x xx x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02202022所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02 课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 . 2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率. 3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线, 求出当1.0=∆x 时割线的斜率. 四、【课堂小结】 1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率. 五、【书面作业】六、【板书设计】七、【教后记】 1.2.。

教学设计1．3导数在研究函数中的应用1．3.1函数的单调性与导数教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，很多变化规律可用函数的性质来描述，函数的单调性是函数的重要性质．导数是学习高等数学的基础，作为解决数学问题的一种重要工具，它为高中数学注入了新的活力．利用导数来研究函数的单调性非常具有优越性，而且也会涉及到最值等问题，具有良好的承上启下作用．本节内容是整个章节的核心，所涉及到的知识和方法，是高中数学的重点．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标在观察、探索的基础上，归纳出函数的单调性与导数的关系，并用其判断函数的单调性，会求函数的单调区间．2．过程与方法目标利用图象为结论提供直观支持，通过观察分析、归纳总结等方式，培养学生的数形结合意识和应用数学知识解决问题的数学思维．3．情感、态度与价值观通过学习本节内容，增强对数学的好奇心与求知欲；在教学过程中，培养学生勇于探索、善于发现的创新思想．重点难点重点：了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．难点：利用导数的几何意义来探究函数的单调性，理解用导数研究函数单调性的实质．教学过程引入新课提出问题1：画出下列函数的图象，并根据图象指出每个函数的单调区间．(1)y＝1x；(2)y＝x2－2x－1；(3)y＝3x.活动设计：先让学生独立完成，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：由于是以前的基础知识，学生一般能完成如下结果：(1)在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是减函数，但在定义域上不是减函数．(2)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．(3)在(－∞，＋∞)上是增函数．教师提问：函数单调性的定义是什么？你能根据上面的图形和结论，探讨出函数的单调性与其导数的关系吗？活动设计：学生分组讨论，教师巡视、指导，对于学生的结论先记下，不作评论．学情预测：在教师指导下，结合前面知识，学生能得出结论，但可能不规范．活动成果：记下学生的结论，不作解释．设计意图函数单调性是必修一的内容，是函数的重要性质，为更好地学好本节课知识，先进行必要的复习．另外，为什么可以用导数研究函数单调性是本节的一个重点，不可仓促给出结论．探究新知提出问题：如图(1)，它表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象．(1)运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？活动设计：提问学生，教师订正．教师：通过观察图象，我们可以发现：(1)运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数．相应地，v(t)＝h′(t)>0.(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是减函数．相应地，v(t)＝h′(t)<0.教师：结合前面的引例，你认为这些情况具有一般性吗？为什么？活动设计：学生分小组讨论，教师巡视、指导．学生分组提出观点，供大家交流、评析．教师：在导数的几何意义一节中，我们知道函数f(x)在一点x0处的导数值，就是以该点为切点的切线的斜率．当斜率大于零时，在此点附近，图象上升，函数递增；反之，当斜率小于零时，在此点附近，图象下降，函数递减．如图，导数f′(x0)表示函数f(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率．在x＝x0处，f′(x0)>0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调递增；在x＝x1处，f′(x1)<0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调递减．活动成果：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．特别地，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．理解新知例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数y＝f(x)图象的大致形状．活动设计：学生自己在练习本上独立完成，教师用投影仪展示学生的成果．活动成果：当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数y＝f(x)图象的大致形状如图所示．设计意图让学生运用所学的导数与单调性关系，将抽象的文字表述转化为直观的图形语言，从而体会导数在研究函数问题中的应用．运用新知例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间．(1)f(x)＝x3＋3x；(2)f(x)＝x2－2x－3；(3)f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)；(4)f(x)＝2x3＋3x2－24x＋1.思路分析：求函数的单调区间，就是利用导数的运算公式，解关于f′(x)>0或f′(x)<0的不等式．解：(1)因为f(x)＝x3＋3x，所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)>0.因此，f(x)＝x3＋3x在R上单调递增，如图(1)所示．(2)因为f(x)＝x2－2x－3，所以f′(x)＝2x－2＝2(x－1)．当f′(x)>0，即x>1时，函数f(x)＝x2－2x－3单调递增；当f′(x)<0，即x<1时，函数f(x)＝x2－2x－3单调递减．函数f(x)＝x2－2x－3的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．函数f(x)＝x2－2x－3的图象如图(2)所示．(3)因为f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)，所以f′(x)＝cosx－1<0.因此，函数f(x)＝sinx －x 在(0，π)内单调递减，如图(3)所示．(4)因为f(x)＝2x 3＋3x 2－24x ＋1，所以f ′(x)＝6x 2＋6x －24.当f ′(x)>0，即x<－1－172或x>－1＋172时，函数f(x)＝2x 3＋3x 2－24x ＋1单调递增； 当f ′(x)<0，即－1－172<x<－1＋172时，函数f(x)＝2x 3＋3x 2－24x ＋1单调递减． 函数f(x)＝2x 3＋3x 2－24x ＋1的单调递增区间为(－∞，－1－172)、(－1＋172，＋∞)，单调减区间为(－1－172，－1＋172)． 函数f(x)＝2x 3＋3x 2－24x ＋1的图象如图(4)所示．点评：求函数y ＝f(x)单调区间的步骤：(1)确定函数y ＝f(x)的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x)；(3)解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．设计意图求函数的单调区间是导数与单调性知识的重要应用之一，本题选择四个比较简单的函数，主要目的是规范学生的解题步骤．在每一个小题后面，我们都要求给出函数的图象，目的是用函数的图象为我们的结论提供直观支持．巩固练习 1．设函数f(x)＝－2x 1＋x 2，则f(x)( ) A ．在(－∞，＋∞)内单调增加B ．在(－∞，＋∞)内单调减小C ．在(－1,1)内单调减小，其余区间单调增加D ．在(－1,1)内单调增加，其余区间单调减小2．设y ＝x －lnx ，则此函数在区间(0,1)内为( )A ．单调递增B ．有增有减C ．单调递减D ．不确定3．函数f(x)＝x·e －x 的一个单调递增区间是( ) A ．[－1,0] B ．[2,8]C ．[1,2]D ．[0,2]答案：1.C 2.C 3.A变练演编例3(1)求函数f(x)＝x 3的单调区间；(2)求函数f(x)＝13x 3－x 2＋x ＋1的单调区间； (3)求函数f(x)＝13x 3－3x 2＋8x ＋4的单调区间． 解：(1)因为f ′(x)＝3x 2≥0，所以f(x)在整个定义域上都是增函数．(2)因为f ′(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以f(x)在整个定义域上都是增函数．(3)因为f ′(x)＝x 2－6x ＋8，由f ′(x)<0，可得2<x<4；由f ′(x)>0，可得x<2或x>4，所以函数f(x)的单调增区间是(－∞，2)、(4，＋∞)，单调减区间是(2,4)．变式1.求函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调减区间． 变式2.求函数y ＝x －x 2的单调区间．活动设计：由于题目有一定的运算量，应先让学生独立思考，然后分组分别解决． 学情预测：对于变式1涉及到含有字母的方程和不等式运算，对于变式2中的复合函数等运算，学生做的可能不理想．活动成果：解：变式1.y ′＝x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝(x －a)(x －a 2)，令y ′＜0，得(x －a)(x －a 2)＜0. ①当a ＜0时，不等式解集为a ＜x ＜a 2，此时函数的单调减区间为(a ，a 2)；②当0＜a ＜1时，不等式解集为a 2＜x ＜a ，此时函数的单调减区间为(a 2，a)；③当a ＞1时，不等式解集为a ＜x ＜a 2，此时函数的单调减区间为(a ，a 2)；④当a ＝0或a ＝1时，y ′≥0，此时，函数无减区间．综上所述：当a ＜0或a ＞1时，函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调减区间为(a ，a 2)；当0＜a ＜1时，函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调减区间为(a 2，a)； 当a ＝0或a ＝1时，函数无减区间．变式2.∵x －x 2≥0，∴0≤x ≤1.则y ′＝1－2x2x －x 2. 令y ′＞0，即1－2x 2x －x 2＞0，解得x ＜12，即函数的增区间为(0，12)． 令y ′＜0，即1－2x 2x －x 2＜0，解得x ＞12，即函数的减区间为(12，1)． 设计意图由于函数的单调区间必定是它的定义域的子区间，故求函数的单调区间一定要先确定函数的定义域，在求出y ′＞0或y ′＜0的结果后，要求其与定义域的交集．在求解含参数的不等式时，要进行分类讨论．达标检测1．函数f(x)＝3x －x 3的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)2．函数f(x)＝x 3－3x 2＋1的单调减区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)D ．(0,2)3．f(x)＝xlnx 在(0,5)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是递减函数，在(1e，5)上是递增函数 D ．在(0，1e )上是递增函数，在(1e，5)上是递减函数 4．f(x)＝xcosx －sinx 在下面__________区间内是增函数．( )A ．(π2，3π2) B ．(π，2π) C ．(3π2，5π2) D ．(2π，3π) 5．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．(1)f(x)＝－2x ＋1；(2)f(x)＝x ＋cosx ，x ∈(0，π2)； (3)f(x)＝2x 3＋4x.6．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t)，若函数f(x)＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．答案：1～4.C D C B5．(1)在R 上为减函数；(2)在(0，π2)上为增函数；(3)在R 上为增函数． 6．[5，＋∞)．课堂小结利用导数研究函数的单调性，是导数的重要应用．本节课从导数的几何意义入手，从导数与斜率，斜率与单调性等关系分析，发现了利用导数研究函数单调性的基本方法和步骤，并应用这一原理初步完成了判断函数单调性，求解函数单调区间的一系列问题，其中的函数与方程、函数与不等式转化是重要工具．布置作业课本本节练习3、4题，习题1.3A1，A2.补充练习1．若函数f(x)在区间(a ，b)内的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在(a ，b)内有( )A ．f(x)>0B ．f(x)<0C ．f(x)＝0D ．无法确定2．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调区间为__________．3．设函数f(x)＝ax －(a ＋1)ln(x ＋1)，其中a ≥－1，求f(x)的单调区间．答案：1.B2．递增区间为(－∞，13)，(1，＋∞)；递减区间为(－13，1) 3．由已知，得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x)＝ax －1x ＋1(a ≥－1)． (1)当－1≤a ≤0时，f ′(x)＜0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．(2)当a ＞0时，由f ′(x)＝0，解得x ＝1a. f ′(x)、f(x)随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈(－1，1a )时，f ′(x)<0，函数f(x)在(－1，1a)上单调递减； 当x ∈(1a ，＋∞)时，f ′(x)＞0，函数f(x)在(1a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当－1≤a ≤0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＞0时，函数f(x)在(－1，1a )上单调递减，在(1a，＋∞)上单调递增． 设计说明本节的教学内容属于导数的应用范畴，是在学生学习了导数的概念、计算公式和法则及导数几何意义后的教学内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础．由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性．通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简洁得多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言)，充分展示了利用导数解决问题的优越性．本节课的设计，充分尊重学生的主体地位，从观察分析到探索发现，再到尝试应用，循序渐进、逐步深入．同时，也注意对学生规范性的培养．备课资料用定义(不等式)或图象这些初等方法讨论函数的单调性，一般比较繁杂，比较复杂的函数的单调性，用初等方法解决有时比较困难．而函数f(x)的导数f ′(x)正是反映了函数的变化率，即反映函数的增加或减小变化的快慢．因此我们可以利用导数判断函数的单调性．为此先证如下定理：定理 设函数f(x)在区间(a ，b)内可导．如果在(a ，b)内f ′(x)＞0，那么f(x)在(a ，b)内是增函数；如果在(a ，b)内f ′(x)＜0，那么f(x)在(a ，b)内是减函数．如果在(a ，b)内恒有f ′(x)＝0，那么f(x)在(a ，b)内是常数函数．证明：在区间(a ，b)内任取两点x 1，x 2，使x 1＜x 2，在[x 1，x 2]上满足拉格朗日中值定理(见注释)条件，可得在(x 1，x 2)内存在一点ξ，使得f(x 2)－f(x 1)＝f ′(ξ)(x 2－x 1)，x 1＜ξ＜x 2.①如果在区间(a ，b)内f ′(x)＞0，则①式中f ′(ξ)＞0，而x 2－x 1＞0，则f(x 2)－f(x 1)＞0，f(x 2)＞f(x 1)．这就是说，f(x)在(a ，b)内是增函数．如果在区间(a ，b)内f ′(x)＜0，则①式中f ′(ξ)＜0，而x 2－x 1＞0，则f(x 2)－f(x 1)＜0，f(x 2)＜f(x 1)．这就是说，f(x)在(a ，b)内是减函数．如果在区间(a ，b)内恒有f ′(x)＝0，则①式中f ′(ξ)＝0，那么对任意x 1，x 2∈(a ，b)恒有f(x 2)＝f(x 1)，因此f(x)在(a ，b)内是常数函数．[注释]拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，那么在(a ，b)内至少有一点ξ，使得f(b)－f(a)＝f ′(ξ)(b －a)．下面我们利用这个定理讨论怎样利用导数判断函数的单调性．例1确定函数y ＝2x的单调性和单调区间． 解：y ′＝－2x 2，因为x ≠0，所以y ′＝－2x 2<0.故y ＝2x在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数．例2确定函数y ＝ln(2－3x)的单调区间．解：函数y ＝ln(2－3x)的定义域是(－∞，23)，且y ′＝－32－3x.在(－∞，23)内，y ′<0. ∴函数在(－∞，23)内单调递减． 例3讨论y ＝x 3的增减性．解：y ′＝3x 2.当x ≠0时，y ′＝3x 2＞0；当x ＝0时，y ′＝0，所以y ＝x 3在(－∞，＋∞)内是增函数．如图所示．由例3不难看出f ′(x)＞0是f(x)递增的充分条件，但不是必要条件，出现个别点f ′(x)＝0不影响它在某个区间的单调性．还要注意只在个别点x 处f ′(x)＝0(如x ＝0处，f ′(x)＝0)，不能认为f(x)是常数函数．只有在某个区间(a ，b)内恒有f ′(x)＝0时，f(x)在该区间内是常数函数．(设计者：张春生)。

§3.3.1函数的单调性与导数【成功细节】严俏华谈导数的计算的方法本节主要是用函数的导数研究函数的单调性，学习过程中要深刻理解相关的结论以及方法，要学好本节内容，我认为应注意以下几个细节入手：（1）函数在某点处的单调性与该点处的切线的斜率（即函数在该点处的导数值）的符号相关；若导数值大于零，则函数在此处为增函数；（2）若函数在某个闭区间上的导数值恒为零，则该函数为常数函数；（3）在求函数的单调区间时，可直接解关于导数的不等式；（4）深刻理解函数的单调性与函数的导数之间的关系，包括连个方面：导数的符号说明函数的单调性，某区间内，导数值为正，则函数为增函数；导数绝对值得大小反映了函数图象的变化速度，绝对值越大，函数图象越陡峭。

如 这个题主要考查导数的基本运算以及应用导数解决函数的单调性，是一个简单题，可直接求解即可.1()ln ln 1f x x x x x'=+⨯=+，令()0f x '>可解得1x e>，所以函数的单调递增区间是1(,)e +∞.【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。

——叶圣陶【精读·细化】1.用10分钟的时间阅读教材89～91页, 函数的单调性与导函数正负之间有怎样关系？某个区间内函数的平均变化率的几何意义与导数之间的联系呢？如果在某个区间恒有()f x '=0，那么函数有什么特征？细节提示:把握住单调性定义中y 的变化量与x 的变化量的比值与导数的定义之间的关系。

【提升·解决】1.在某个开区间内，导数值大于零，则函数在这个区间内单调递增，导数值小于零，则函数在这个区间内单调递减；若函数在某个区间内恒有导数值等于零，则函数为常数函数.【关注·思考】2.阅读课本92～93页，理解函数变化的快慢程度与函数导数值的绝对值的大小之间的关系.细节提示:函数图象，不仅体现函数的增减，还可以体现函数值变化的快慢.【提炼·发现】2.函数导数的绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”，反之就“平缓”一些.（2007年广东 文12）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 2007年广东省文科状元严俏华【学习细节】（核心栏目）A ．基础知识导数的应用知识点1 函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.86.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？ 【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.【探究】函数的单调性可简单的认为是:若2121()()f f x x xx-->0则函数f(x)为增函数.可把2121()()f f x x x x--看作y x∆∆=2121()()f f x x x x--.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数y x =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数10y '=>； （2）函数2y x =的定义域为R ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增； 而2()2y x x ''==，当0x <时，0y '<；当0x >时，0y '>；当0x =时，0y '=。