《1.4.2 圆心在点a π2处且过极点的圆》教学案3

必修二圆与圆的位置关系教学内容分析1、《圆》的地位与作用《课程标准》指出：在“解析几何初步”这个单元, “学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究几何性质，体会数形结合的思想”。

第四章《圆》是在学生学习了第三章《直线方程》之后，对“解析法”的思想的进一步学习。

初中的教学中已经初步介绍了圆的基础知识，再次学习的时候，不仅要让学生能够使用“解析法“的工具，更要体会这种方法的优越性和必要性。

2、本节课的地位与作用“圆与圆的位置关系”位于“解析几何初步”这个单元的末尾，应该起到三个作用：（1）完善圆的知识体系；（2）升华数形结合思想；（3）为后续教学做准备。

教学目标设置1.学生掌握判断两个圆的位置关系的方法，能够根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系2.学生理解两种判断方法的数学本质与不同的适用范围，从而进一步感受“几何问题代数化”得以实现的数学本质，也就是曲线与方程的关系。

其中教学的重点是：圆与圆的位置关系的两种判定方法的操作步骤；教学的难点是：两种判断方法的数学本质与适用范围学生学情分析此时的学生处于从初中到高中的转型期，常常感觉旧的学习方法不适于学习更加抽象的高中知识，所以，他们不仅需要透彻理解数学原理，而且，对学习方法也有渴求。

在本节课之前，学生已经学习了直线和圆的方程，直线与圆的位置关系，初步了解了“坐标法”的特征。

教学策略分析为了实现教学目标，我设计了“三层四段五问”教学模式。

1、准备阶段，包括预习、复习、目标展示等环节；2、探究阶段。

这是课堂的主体，解决是什么、怎么用、何时用的问题。

3、运用阶段，包括模仿练习、比较练习、巩固练习等。

我将它们穿插在问题解决的过程中。

4、建构阶段，包括为什么学和怎样发展两个问题，使得新知识融入旧的知识体系，并促进知识体系的再生长。

“是什么、怎么用、何时用、为什么学和怎样发展”等五个问题，对应着数学知识学习的三个层次：数学工具品质、认知品质和研究品质。

1.3 曲线的极坐标方程 1.4 圆的极坐标方程 1.4.1 圆心在极轴上且过极点的圆 1.4.2圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2处且过极点的圆学习目标：1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点)1．曲线C的直角坐标方程在给定的平面直角坐标系下，如果二元方程F(x，y)＝0满足下面两个条件，则称它为曲线C的方程：(1)曲线C上任一点的坐标(x，y)都满足方程；(2)所有适合方程的(x，y)所对应的点都在曲线C上．2．曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．3．常见曲线的极坐标方程[提示]由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一．1．极坐标方程θ＝π(ρ∈R)表示()A．点B．线段C．圆D．直线[解析]当ρ≥0时，方程θ＝π表示极角为π的射线，当ρ<0时，方程θ＝π表示上述射线的反向延长线．∵ρ∈R，∴θ＝π表示直线．[答案] D2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线[解析]由题设，得ρ＝1，或θ＝π，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线．[答案] C3．直线θ＝π2和圆ρ＝2cos θ的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．无法确定[解析]由ρ＝2cos θ知表示曲线圆心为(1,0)，半径为1的圆．又θ＝π2过极点且与极轴垂直．∴直线θ＝π2与圆相切．[答案] B4．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．[解析]由ρ·cos θ＝3，ρ＝4cos θ，得4cos2θ＝3.又0≤θ<π2，则cos θ>0.∴cos θ＝32，θ＝π6，故ρ＝2 3.∴两曲线交点的极坐标为(23，π6)．[答案](23，π6)【例1】 求圆心在C (2，3π2)处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(－2，sin 5π6)是否在这个圆上．[思路探究] 解答本题先设圆上任意一点M (ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简可得，并检验特殊点．[解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ， 即ρ＝2r cos(3π2－θ)， ∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O(0,0)，A(4，3π2)的坐标满足上式．∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，∴点(－2，sin 5π6)在此圆上．1．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：①建立适当的极坐标系(本题无需作)；②在曲线上任取一点M(ρ，θ)；③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加以检验即可)2．求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示．1．在极坐标系中，分别求方程．(1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；(2)圆心为C(2，π)，半径为2的圆的极坐标方程．[解](1)设M(ρ，θ)为所求圆上任意一点．结合图形，得|OM|＝2.∴ρ＝2.0≤θ<2π.(2)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，结合图形．在Rt △OAM 中，∠OMA ＝90°.∠AOM ＝π－θ，|OA |＝4. ∵cos ∠AOM ＝OM OA ， ∴OM ＝OA ·cos ∠AOM .即ρ＝4cos(π－θ)，故ρ＝－4cos θ为所求．【例2】 求过点A (1,0)，且倾斜角为4的直线的极坐标方程．[思路探究] 画出草图―→设点M (ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程――→化简检验[解] 法一 设M (ρ，θ)为直线上除点A 以外的任意一点．则∠xAM ＝π4，∠OAM ＝3π4， ∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得 |OM |sin ∠OAM ＝|OA |sin ∠OMA，即ρsin 3π4＝1sin (π4－θ)，故ρsin(π4－θ)＝22， 即ρ(sin π4cos θ－cos π4sin θ)＝22， 化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1，经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程， 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4(ρ≥0)和5π4<θ<2π(ρ≥0)．法二 以极点O 为直角坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . ∵直线的斜率k ＝tan π4＝1， ∴过点A (1,0)的直线方程为y ＝x －1.将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1，∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4(ρ≥0)和5π4<θ<2π(ρ≥0)．法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．2．若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？[解]由题意，设M(ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin(π4－θ)＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程．因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1(其中ρ≥0,0≤θ<π4)．【例3】 在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．[思路探究]着眼点⎩⎨⎧极坐标方程化直角坐标方程把交点直角坐标化为极坐标[解] 曲线ρ＝2sin θ化为： x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 又ρcos θ＝－1化为x ＝－1. 联立⎩⎨⎧x 2＋(y －1)2＝1，x ＝－1，得交点(－1,1)．∴交点的极坐标为(2，34π)． [答案] (2，34π)1．(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)；(2)对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．2．本题也可消去ρ，由二倍角公式求θ，进而求出极径ρ.3．如果将例题中的曲线方程改为“曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1”，试求曲线交点的极坐标．[解]曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程x＋y＝1，曲线ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程y－x＝1.两直线x＋y＝1与y－x＝1的交点为(0,1)，∴交点的极坐标为(1，π2).取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．[思路探究] 建立点P 的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化，根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP |的最小值．[解] (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ， 即(x －32)2＋y 2＝(32)2，知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆．直线l 的直线坐标方程是x ＝4. 结合图形易得|RP |的最小值为1.1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．4.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧︵AB ，︵BC ，︵CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧︵AB ，曲线M 2是弧︵BC ，曲线M 3是弧︵CD .(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．[解] (1)由题设可得，弧︵AB ，︵BC ，︵CD 所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6.综上，P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.(教材P16练习T2)把圆的极坐标方程ρ＝sin θ化为直角坐标方程，并说明圆心和半径．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.课时分层作业(三)(建议用时：45分钟)一、选择题1．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( ) A ．(12，π3)B ．(－12，2π3)C ．(12，－π3)D ．(12，－2π3)[解析] 点(12，－23π)的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos(－23π)＝－12.[答案] D2．过极点倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为( )A ．θ＝π3B ．θ＝π3，ρ≥0C ．θ＝4π3，ρ≥0D ．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0[解析] 以极点O 为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线．∵两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π.∴直线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π(ρ≥0)．[答案] D3．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线[解析] 由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y 2－2x＝5，化简得y 2＝5x ＋254. ∴该方程表示抛物线．[答案] D4．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )A ．ρcos θ＝12B ．ρcos θ＝2C ．ρ＝4sin(θ＋π3)D ．ρ＝4sin(θ－π3)[解析] 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．[答案] B二、填空题5．点Q是圆ρ＝4cos θ上的一点，当Q在圆上移动时，OQ(O是极点)中点P的轨迹的极坐标方程是__________________．[解析]ρ＝4cos θ是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，则P的轨迹是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，所以极坐标方程是ρ＝2cos θ.[答案]ρ＝2cos θ6．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离是________．[解析]直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1化为2x＋y－1＝0，圆ρ＝2cos θ的圆心(1,0)到直线2x＋y－1＝0的距离是5 5.[答案]5 5三、解答题7．已知直线的极坐标方程ρsin(θ＋π4)＝22，求极点到直线的距离．[解]∵ρsin(θ＋π4)＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x＋y＝1.又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d＝|0＋0－1|2＝22.8．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．[解] (1)由ρcos(θ－π3)＝1，得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N (233，π2)．(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标(0，233)．又P 为MN 的中点，∴点P (1，33)，则点P 的极坐标为(233，π6)．所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．9．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q 是曲线ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求|PQ |的最大值．[解] ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36.∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.。

24.2 与圆有关的位置关系(第4课时)教学内容1．两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），•两个圆相交等概念．2．设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d 与r1和r2之间的关系．外离⇔d>r1+r2外切⇔d=r1+r2相交⇔│r1-r2│<d<r1+r2内切⇔d=│r1-r2│内含⇔0≤d<│r1-r2│（其中d=0，两圆同心）教学目标了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交、圆心距等概念．理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．通知复习直线和圆的位置关系和结合操作几何，迁移到圆与圆之间的五种关系并运用它们解决一些具体的题目．重难点、关键1．重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．2．难点与关键：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．教学过程一、复习引入请同学们独立完成下题．在你的随堂练习本上，画出直线L和圆的三种位置关系，并写出等价关系．老师点评：直线L和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，如图（a）～（c）所示．（其中d表示圆心到直线L的距离，r是⊙O的半径）l l l(a) 相交⇔ d<r (b) 相切⇔ d=r (3) 相离⇔ d>r二、探索新知请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论．（1）在一张透明纸上作一个⊙O1，再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2，把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？（2）设两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，•你又能得到什么结论？老师用两圆在黑板上运动并点评：可以发现，可以会出现以下五种情况：O2 O1(a)O2O1(b)O2O1O2 O1(d)O2O1(e)(O2)O1(f)（1）图（a）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离；（2）图（b）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．（3）图（c）中，两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交．（4）图（d）中，两个圆只有一个公共点，•那么就说这两个圆相切．•为了区分（e）和（d）图，把（b）图叫做外切，把（d）图叫做内切．（5）图（e）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，•为了区分图（e）和图（e），把图（a）叫做外离，把图（e）叫做内含．图（f）是（e）甲的一种特殊情况──圆心相同，我们把它称为同心圆．问题（分组讨论）如果两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（•两圆圆心的距离为d，请你们结合直线和圆位置关系中的等价关系和刚才五种情况的讨论，•填完下列空格：两圆的位置关系 d与r1和r2之间的关系外离外切相交内切内含老师分析点评：外离没有交点，因此d>r1+r2；外切只有一个交点，结合图（a），也很明显d=r1+r2；相交有两个交点，如图两圆相交于A、B两点，连接O1A和O2A，很明显r2-r1<d<r1+r2；内切是内含加相切，因此d=r2-r1；内含是0≤d<r2-r1（其中d=0，两圆同心）反之，同样成立，•因此，我们就有一组等价关系（老师填完表格）．例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．（1） (2)分析：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60°又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？OA(1) (2)（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．分析：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=r O+r A；（•2）•作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=r A-r O．解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，r A=15-7=8为半径作圆，则⊙A•的半径为8cm （2）作法：以A点为圆心，r A′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm三、巩固练习教材P109 练习．四、应用拓展例3．如图1所示，半径不等的⊙O1、⊙O2外离，线段O1O2分别交⊙O1、⊙O2于点A、B，MN 为两圆的内公切线，分别切⊙O1、⊙O2于点M、N，连结MA、NB．（1）试判断∠AMN与∠BNM的数量关系？并证明你的结论．（2）若将“MN”为两圆的内公切线改为“MN为两圆的外公切线”，•其余条件不变，∠AMN 与∠BNM是否一定满足某种等量关系？完成下图并写出你的结论．(1) (2)分析：（1）要说明∠AMN与∠BNM的数量关系，只要说明∠MAB和∠NBA的数量关系，只要说明∠O2BN和∠O1AM的数量关系，又因为∠O2BN=∠O1NB，∠O1MA=∠O1AM，因此，只要连结O1M，O2N，再说明∠MO1A=∠NO2B，这两个角相等是显然的．（2）画出图形，从上题的解答我们可以得到一个思路，连结O1M、O2N，•则∠O1MN+ ∠O2NM=180°，∴∠MO1A+∠NO2B=180°，∴∠O2NB+∠O1MA=90°，∴∠AMN+∠BNM=90°．解：（1）∠AMN=∠BNM证明：连结O1M、O2N，如图2所示∵MN为两圆的内公切线，∴O1M⊥MN，O2N⊥MN∴O1M∥O2N∴∠MO1A=∠NO2B∵O1M=O1A，O2N=O2B∴∠O1MA=∠O2NB∴∠AMN=∠BNM（2）∵∠AMN+∠BNM=90°证明：连结O1M、O2N∵MN为两圆的外公切线．∴O1M⊥MN，O2N⊥MN∴O1M∥O2N∴∠MO1A+∠NO2B=180°∵O1M=O1A，O2N=O2B∴∠O1MA+∠O2NB=12×180°=90°∴∠AMN+∠BNM=180°-90°=90°五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆和圆位置关系的概念：两个圆相离（外离、内含），相切（外切、•内切），相交．2．设两圆的半径为r1，r2，圆心距为d（r1<r2）则有：外离⇔d>r1+r2外切⇔d=r1+r2相交⇔r2-r1<d<r1+r2内切⇔d=r2-r1内含⇔0≤d<r2-r1（当d=0时，两圆同心）六、布置作业1．教材P110 复习巩固6、7 P111 综合运用11、13．2．选用课时作业设计．第四课时作业设计一、选择题．1．已知两圆的半径分别为5cm和7cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离2．半径为2cm和1cm的⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且O1A⊥O2A，则公共弦AB的长为（• ）．A．55cm B．255cm C．5cm D．455cm3．如图所示，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，•设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（）．A．y=14x2+x B．y=-14x2+xC．y=-14x2-x D．y=14x2-x二、填空题．1．如图1所示，两圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，则O1O2所在的直线是公共弦AB的________．(1) (2) (3)2．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足______•时，•两圆相交；•当d•满足_______时，两圆不外离．3．•如图2•所示，•⊙O1•和⊙O2•内切于T，•则T•在直线________•上，•理由是_________________；若过O2的弦AB与⊙O2交于C、D两点，若AC：CD：BD=2：4：3，则⊙O2与⊙O1半径之比为________．三、综合提高题．1．如图3，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，连结AO1并延长交⊙O1于C，连CB并延长交⊙O2于D，若圆心距O1O2=2，求CD长．2．如图所示，是2004年5月5日2时48分到3时52分在北京拍摄的从初六到十五的月全食过程．用数学眼光看图（a），可以认为是地球、•月球投影（两个圆）的位置关系发生了从外切、相交到内切的变化；2时48•分月球投影开始进入进球投影的黑影（图（b）），接着月球投影沿直线OP匀速的平行移动进入地球投影的黑影（图24-87（c），3时52分，这时月球投影全部进入地球投影的（图（d）），•设照片中地球投影如图（2）中半径为R的⊙O，月球投影如图24-87（b）中半径为r的小圆⊙P，这段时间的圆心距为OP=y，求y与时间t（分）的函数关系式，并写出自变量的取值范围．3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；（2）若⊙B过M（-2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．答案:一、1．B 2．D 3．B二、1．垂直平分线2．2<d<8，0≤d≤8 3．O1O2，过直线上一点T•有且只有一条直线与已知直线垂直，1：3三、1．连结AB、CD，由AC为⊙O1直径，得∠ABC=90°，则AD为⊙O2直径，即O2为AD•中点，则CD=2O1O2=4．2．这段时间从2时48分到3时52分共64分钟， ∴点P 的速度为264r =32r ， ∴P 点t 分钟运动的路程为32r t ， ∴OP=R+r-32r t （0≤t ≤64）． 3．（1）AB=5>1+3，外离．（2）设B （x ，0）x ≠-2，则AB=29x +，⊙B 半径为│x+2│， ①设⊙B 与⊙A 外切，则29x +=│x+2│+1，当x >-2时，29x +=x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B （0，0）， 当x<-229x +，化简得x=4>-2（舍），②设⊙B 与⊙A 29x +│x+2│-1，当x>-229x +，得x=4>-2，∴B （4，0），当x<-229x +，得x=0，∵0>-2，∴应舍去．综上所述：B （0，0）或B （4，0）。

课前导学案主备人： 霍树立 集备人员：高二数学组 时间：2014.6.13课题1.4.2圆心在点(,)2a π处且过极点的圆学习目标1. 能写出圆心在点(,)2a π处且过极点的圆的极坐标方程2. 熟练掌握和运用圆心在点(,)2a π处且过极点的圆极坐标方程3. 熟悉这类圆的两种方程的互化，能运用极坐标方程接一些与圆相关的几何问题相关知识复习问题1. 类比前一节求圆心在极轴上且过极点的圆的极坐标方程的方法求圆心在点(,)2a π处且过极点的圆的极坐标方程 自主学习指导 阅读 15—16页课本相关内容，并完成下面题目1.圆心在点(,)2a π处且过极点的圆的极坐标方程圆心坐标 半径学生 质疑变式训练强化1.将圆的普通方程222()x y a a+-=化为极坐标方程，并说明圆心和半径2.把圆的极坐标方程sinρθ=化为直角坐标方程，并说明圆心和半径3.求两个圆16sinρθ=和9cosρθ=圆心间的距离自主归纳升华自学检测 1.教材第16页习题1-4 1-（3）（4）; 2-（2）（4）; 4-（1）（2）本课疑问课堂导学案主备人：霍树立集备人员：高二数学组时间：2014.６.13例题学习变式训练总结1.教材第15页 例42. 已知圆心在11(,)C ρθ ，半径为ｒ，ｑ求此圆的极坐标方程。

1.求圆心在点（1,1），半径为1的圆的极坐标方程2．求圆2sin ρθ=关于直线()4R πθρ=∈对称的圆的极坐标方程能 力 提 升1. 1O 和2O 的极坐标方程分别为4sin ρθ=-和4cos ρθ=(1)把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程当 堂 检 测1. 曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标方程是 （ ）A.22(2)4x y ++=B.22(2)4x y +-=C. 22(2)4x y -+=D. 22(2)4x y ++=2. 极坐标方程为sin ρθ= 和cos ρθ= 的两圆的圆心距为 （ ）A. 2B.2 C. 1 D.223. 在极坐标系中，与圆2sin ρθ=相切的一条直线方程为 （ ）A. sin 1ρθ=B. cos 1ρθ=C. cos 2ρθ=D. cos 2ρθ=-4.曲线sin 1ρθ=和2sin ρθ=（0,02ρθπ>≤≤）的交点坐标为。

《1.4.1 圆心在极轴上且过极点的圆》导学案3学习目标1.会求极坐标系中圆的极坐标方程．2.进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法．3.进一步体会极坐标的特点，感受极坐标方程的美.知识梳理2.圆的极坐标方程若圆心的坐标为M(ρ0，θ0)，圆的半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几种常见圆的极坐标方程图4－2－2思考探究1．求直线和圆的极坐标方程的关键是什么？【提示】求直线和圆的极坐标方程关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．这一过程需要用到解三角形的知识．用极角和极径表示三角形的内角和边是解决这个问题的一个难点．直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转化而来．2．直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项？【提示】(1)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但一般约定只在规定范围内求值；(2)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端.学习过程例题精解例题1求：(1)过A ⎝⎛⎭⎫2，π4且平行于极轴的直线；(2)过A ⎝⎛⎭⎫3，π3且和极轴成3π4的直线． 【自主解答】 (1)如图1所示，在所求直线上任意取点M (ρ，θ)，过M 作MH ⊥Ox 于H ，连OM .∵A ⎝⎛⎭⎫2，π4，∴MH ＝2·sin π4＝2，在Rt △OMH 中，MH ＝OM sin θ，即ρsin θ＝2，所以，过A ⎝⎛⎭⎫2，π4平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝ 2. (2)如图2所示，在所求直线上任取一点M (ρ，θ)，∵A ⎝⎛⎭⎫3，π3，∴OA ＝3，∠AOB ＝π3，由已知∠ABx ＝3π4，所以∠OAB ＝3π4－π3＝5π12， ∴∠OAM ＝π－5π12＝7π12. 又∠OMA ＝∠MBx －θ＝3π4－θ，在△MOA 中，根据正弦定理得3sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝ρsin 7π12. ∵sin 7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝2＋64. 将sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ展开，化简上面的方程，可得ρ(cos θ＋sin θ)＝332＋32. 所以，过A ⎝⎛⎭⎫3，π3且和极轴成3π4的直线方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝332＋32.例题2(1)求以B (3，π2)为圆心，3为半径的圆． (2)求以极点和点N ⎝⎛⎭⎫2，3π4所连线段为直径的圆的极坐标方程． 【自主解答】 (1)∵圆心为B (3，π2)，半径为3. ∴所求圆的极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)如图，设M (ρ，θ)为圆上任一点，则有ON cos ∠NOM ＝OM ，即ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π4－θ就是所求圆的极坐标方程．课堂作业1．极坐标方程为ρ＝2cos θ的圆的半径是________．【解析】 ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x .化简，得(x －1)2＋y 2＝1.∴半径为1.【答案】 12．直角坐标方程x ＋y －2＝0的极坐标方程为________．【答案】 ρsin(θ＋π4)＝ 2 3．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是________．【解析】 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除A (2,0)外的任意一点，连接OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，OA ＝2，OM ＝ρ，所以有OM cos θ＝OA ，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.【答案】 ρcos θ＝24．(2012·江西高考)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.【答案】 ρ＝2cos θ课后检测1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？【解】 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线．2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．【解】 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的直角坐标方程分别为x ＋y ＝1和y－x ＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，π2)． 3．(2012·安徽高考改编)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离． 【解】 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0.∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3. 4．已知A 是曲线ρ＝3cos θ上任意一点，则点A 到直线ρcos θ＝1距离的最大值和最小值分别为多少？【解】 将极坐标方程ρ＝3cos θ转化成直角坐标方程：x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94. ρcos θ＝1即x ＝1，直线与圆相交，所以所求距离的最大值为2，最小值为0.图4－2－35．如图4－2－3，点A 在直线x ＝5上移动，等腰三角形OP A 的顶角∠OP A ＝120°(O 、P 、A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．【解】 取O 为极点，x 轴正半轴为极轴正方向建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.设P 、A 的坐标依次为(ρ，θ)，(ρ0，θ0)，则ρ0＝3ρ，θ0＝θ－30°.代入直线的极坐标方程ρcos θ＝5，得3ρcos(θ－30°)＝5，即为点P 的轨迹方程．6．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎫3，π6，半径r ＝3. (1)写出圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．【解】 (1)圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫35ρ，θ，因为点Q 在圆C 上运动，所以35ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，即ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，故点P 的轨迹方程为ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 7．(2012·常州质检)已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0，求ρ的最大值． 【解】 原方程化为ρ2－42ρ(22cos θ＋22sin θ)＋6＝0. 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0∴圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，圆心M(2,2)，半径为2，∴ρmax＝OM＋2＝22＋2＝3 2.。

《1.4.2 圆心在点(a, π/2)处且过极点的圆》教学案2【教学目标】1、掌握极坐标方程的意义；2、能在极坐标中给出简单图形(例如圆)的极坐标方程；3、掌握圆的极坐标方程和直角坐标方程的相互转化.【教学重点】掌握一些特殊位置下的圆(如过极点或圆心在极点的圆)的极坐标方程.【教学难点】求简单图形的极坐标方程.【教学过程】圆的极坐标方程【课前小测】1．圆122=+y x 的极坐标方程是_________.2．曲线θρcos =的直角坐标方是_________..【发现与探究】1、如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a ，0)()0a >，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ，θ)满足的条件？2、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？例1、求下列圆的极坐标方程(1)圆心在(a ，0)，半径为a ；(2)圆心在,2a π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为a ； (3)圆心在()0,a θ，半径为a .例2．(1)化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程； (2)化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程.三、课堂练习： 1．在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：(1)圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆； (2)圆心在)23,(πa ，半径为a 的圆. 2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)2=ρ； (2)10cos ρθ=-.(3)2cos 4sin ρθθ=-【课后作业】1.以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )()().2cos .2sin 44.2cos 1.2sin 1A B C D ππρθρθρθρθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=- 2．求圆心在点(3，0)，且过极点的圆的极坐标方程？3．求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程.4、设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是),4(π，则这个圆的极坐标方程. 5．求下列圆的圆心的极坐标：(1)θρsin 4=；(2))4cos(2θπρ-= (3)θθρsin 5cos 35-=(4)05)sin 3(cos 22=-+-θθρρ6．极坐标方程分别是θρcos 2=和θρsin 4=的两个圆的圆心距是________. 7．极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是________. 8、已知圆心的极坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程.9．在圆心的极坐标为)0)(0,(>a a ，半径为a 的圆中，求过极点的弦的中点的轨迹.10、在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(πC ，半径3=r ， (1)求圆C 的极坐标方程.(2)若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程.。