安徽省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(一)

2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a =(1,5,−1)，b =(−3,2,3)，则a−b =( )A. (−4,−3,4)B. (4,3,−4)C. (−4,3,−4)D. (4,3,4)2.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN 等于( )A. −23a +12b +12c B. 12a +12b−12c C. 23a +23b−12cD. −23a +23b−12c3.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P(1,2,5)，点Q(−1,2,−5)，则( )A. 点P 和点Q 关于x 轴对称 B. 点P 和点Q 关于y 轴对称C. 点P 和点Q 关于z 轴对称D. 点P 和点Q 关于原点中心对称4.已知直线l 的斜率的范围为[−1,1]，则直线l 的倾斜角α的取值范围为( )A. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α≤180∘ B. 45∘≤α≤135∘C. 45∘<α<135∘D. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α<180∘5.已知点A(−4,−2)，B(−4,2)，C(−2,2)，则△ABC 外接圆的方程为( )A. (x +3)2+y 2=5 B. x 2+(y−3)2=20C. x 2+(y +3)2=5D. (x−3)2+y 2=206.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A. x 24+y 23=1 B.y 26+x 2=1 C. x 26+y 2=1D. x 28+y 25=17.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为6.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为16，则椭圆C 的离心率为( )A. 15B. 45C. 35D.2158.已知M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)是圆C:(x +3)2+(y−5)2=4上的两个不同的点，若|MN|=22，则|x 1−y 1|+|x 2−y 2|的取值范围为( )A. [12,20]B. [10,14]C. [8,16]D. [4 2,82]二、多选题：本题共4小题，共24分。

安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．32B 8．已知圆()(2:3C x y -+一点P ，使得0PA PB ⋅<()二、多选题A ．1122BE a b c =-+C ．212333DF a b c=+- 10．已知直线1:3l ax y a +-=A ．若12x =，则三棱锥B ．若12y =，则点C ．若1x y +=，则D ．若x y =，则点16．在ABC 中，顶点()2,3A ，点B 周长的最小值为.四、问答题17．已知ABC 的三个顶点是()1,2A -，()2,2B -，()3,5C .(1)求边AC 上的高所在直线的方程；(2)求BAC ∠的角平分线所在直线的方程.18．已知圆()()22:119C x y -+-=.(1)直线1l 过点()2,0A -，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；(2)设直线2:3420l x y +-=与圆C 相交于E ，F 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PEF !的面积S 的最大值.19．不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCD MNPQ -，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中,,,M N P Q 是中间的小正方形的顶点.(1)求楔形体的表面积；(2)求平面APQ 与平面BNQ 的夹角的余弦值.20．已知圆C 过()1,3M -，()1,1N 两点，且圆心C 在直线250x y +-=上.(1)求圆C 的方程；(2)设直线3y kx =+与圆C 交于A ，B 两点，在直线3y =上是否存在定点D ，使得直线AD ，BD 的倾斜角互补？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.(1)证明：//BE 平面PDF ；(2)若四棱锥P ABCD -的体积为。

安徽省20232024学年第一学期高二期中考试数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线1l ，2l ，3l ，4l的图象如图所示，则斜率最小的直线是（）A.1lB.2lC.3lD.4l 【答案】B 【解析】【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可.【详解】由图知：34120l l l l k k k k >>>>，故斜率最小的直线是2l .故选：B2.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是1(13,0)F -，2(13,0)F ，点P 在双曲线C 上，且1210PF PF -=，则双曲线C 的方程是（）A.221512x y -= B.221125x y -= C.22114425x y -= D.22125144x y -=【答案】D【分析】根据双曲线定义求解即可.【详解】由题意可知210a =，13c ==，解得5a =，12b =，所以双曲线C 的方程是22125144x y -=．故选：D ．3.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，N 为11A C 与11B D 的交点，M 为1DD 的中点，若AB a=，AD b = ，1AA c =，则MN = （）A.111222a b c ++B.111222a b c -+C.111222a b c +- D.111222a b c-- 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】因为N 为11A C 与i 1B D 的交点，所以11111111111222222D N D A D C AD AB b a =+=-+=-+，故111111111112222222MN D N D M D N D b a c a b c D ⎛⎫=-=-=-+--=-+ ⎪⎝⎭.故选：B.4.在空间直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为()6,1,4A -，()3,0,2B ，()1,4,5C -，则点D 的坐标为（）A.()2,3,7 B.()4,5,3- C.()10,5,1- D.()4,5,3--【答案】A【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.【详解】设(),,D x y z ，因为AC 与BD 的中点相同，所以613140452,,222222x y z -+-++++===，解得2,3,7x y z ===，所以()2,3,7D .故选：A.5.已知直线1l ：0ax y a ++=与2l ：()()6440a x a y -+--=，则“3a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由两线平行的判定列方程求参数a ，注意验证是否存在重合情况，结合充分、必要性定义判断条件间的关系》【详解】由12l l //，则(4)6a a a -=-，即256(3)(2)0a a a a -+=--=，故3a =或2a =，2a =时，1:220l x y ++=，2:4240l x y ---=，即2:220l x y ++=，显然两线重合；3a =时，则1:330l x y ++=，2:340l x y ---=，即2:340l x y ++=，故12l l //.综上，“3a =”是“12l l //”的充要条件.故选：C6.已知12,F F 分别是双曲线22:197x y C -=的左、右焦点，点A 是双曲线C 上一点，且12F A F A ⊥，则点A 到x 轴的距离为（）A.20716B.4C.74D.4916【答案】C 【解析】【分析】利用勾股定理和双曲线定义可求得12F A F A ⋅，采用面积桥可求得结果.【详解】由双曲线方程可知：3a =，b =，4c ==；不妨设()00,A x y 位于第一象限，如图所示，12F A F A ⊥ ，2221212F A F A F F ∴+=，即()221212122F A F A F A F A F F -+⋅=，由双曲线定义知：1226F A F A a -==，又1228F F c ==，1214F A F A ∴⋅=，12121200114722F AF S F A F A F F y y ∴=⋅=⋅== ，解得：074y =，即点A 到x 轴的距离为74.故选：C.7.当直线:10l mx y m +--=被圆22:40C x y x +-=截得的弦长最短时，实数m =（）A. B.1- C.D.1【答案】B 【解析】【分析】根据直线方程可得直线l 经过定点()1,1A ，再由圆心到直线距离最大时弦长最短，由斜率关系即可求得1m =-.【详解】将直线l 的方程变形为()110m x y -+-=，由1010x y -=⎧⎨-=⎩可导11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 经过定点()1,1A ，圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，圆心为()2,0C ，因为224(12)1-+<，所以点A 在圆C 内，故当AC l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离取最大值，此时直线l 被圆C 截得的弦长最短，因为10112AC k -==--，直线l 的斜率为m -，所以()11m -⨯-=-，解得1m =-.故选：B.8.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为2，A 为椭圆的右焦点，过点A 在x 轴上方作两条斜率分别为1和1-的射线，与E 分别交于B ，C 两点，且ABC 的面积为13，则2a =（）A.23或2 B.2或3 C.2D.23【答案】C 【解析】【分析】已知焦距和过A 的两个相互垂直的射线，通过AB 的反向延长得到D 点，则AD AC =，根据面积得到线段的关系，通过方程的联立，代入线段关系即可求解.【详解】由焦距为2知(1,0)A ，221a b -=，设直线AB 与E 的另外一个交点为D ，()11,B x y ，()22,D x y ，则C ，D 关于x 轴对称，即AD AC =，由ABC 的面积为13，得1123AB AC ⋅=，即23AB AD ⋅=，将直线:1BD y x =-代入E 的方程整理，得()()2222421220a x a x a a--+-=，显然判别式大于0，2122221a x x a +=-，24122221a a x x a -=-，因为23AB AD =))122113x x --=，即12x x -+()12113x x +-=，所以24222221121213a a a a a --+-=--，解得22a =或223a =（舍去），所以22a =．故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，经过点(4,0)，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆C 的标准方程可以是（）A.221164y x += B.221164x y += C.2216416y x += D.2216416x y +=【答案】BC 【解析】【分析】分椭圆C 焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况，结合椭圆的几何性质求解即可.【详解】当椭圆C 的焦点在x 轴上时，已知椭圆C 过点(4,0)，故4a =，因为长轴长是短轴长的2倍，所以222a b =⨯，即2b =，所以椭圆C 的方程为221164x y +=；当椭圆C 的焦点在y 轴上时，已知椭圆C 过点(4,0)，故4b =，因为长轴长是短轴长的2倍，所以222a b =⨯，即8a =，所以椭圆C 的方程为2216416y x +=．综上所述，椭圆C 的方程为221164x y +=或2216416y x +=．故选：BC ．10.已知直线1l 与直线:2l y x =+平行，且l 与1l 间的距离为，则1l 的方程可以是（）A.60x y -+=B.30x y -+= C.10x y -+= D.20x y --=【答案】AD 【解析】【分析】根据平行线间的距离公式求解即可.【详解】直线:2l y x =+，即20x y -+=，设所求直线的方程为0x y a -+=，=，解得6a =或2-．故所求直线的方程为60x y -+=或20x y --=．故选：AD ．11.已知圆22:40M x y x ++=和圆22:4120N x y y +--=相交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（）A.AB MN⊥B.直线AB 的方程为30x y ++=C.线段ABD.M 到直线AB 的距离与N 到直线AB 的距离之比为1:4【答案】ABC 【解析】【分析】利用圆的性质可判定A 项，利用两圆的公共弦方程公式计算可判定B 项，利用弦长公式可判定C 项，利用点到直线的距离公式可判定D 项.【详解】对于A 项，因为两个圆相交，所以圆心M ，N 所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A 正确；对于B 项，因为圆22:40M x y x ++=和圆22:4120N x y y +--=相交于A ，B 两点，所以两圆方程相减得到44120x y ++=，即:30AB x y ++=，故B 正确；对于C 项，圆22:40M x y x ++=化为标准方程是22(2)4x y ++=，圆心(2,0)M -到直线:30AB x y ++=的距离为2d ==，所以AB ===，故C 正确；对于D 项，因为圆22:4120N x y y +--=化为标准方程是22(2)16x y +-=，圆心(0,2)N 到直线:30AB x y ++=的距离为2d =='，所以M 到直线AB 的距离与N 到直线AB 的距离之比为::1:522d d =='，故D 错误．故选：ABC ．12.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===，1160DAB A AB A AD ∠=∠=∠=︒，若1AQ m AB n AD p AA =++，其中m ，n ，[0,1]p ∈，则下列结论正确的为（）A.若点Q 在平面1111D C B A 内，则1p =B.若CQ DB ⊥，则m n=C.当12p =时，三棱锥Q ABD -的体积为8D.当1m n +=时，CQ 【答案】ABD 【解析】【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得1AB AD AA AQ λμ++=，进而求解判断A ；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得112AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=，1(1)(1)CQ m AB n AD p AA =-+-+，进而结合CQ DB ⊥即可求解判断B ；由题易知四面体1A ABD 为正四面体，设1A 在平面ABCD 内的射影为点H ，进而可得当12p =时，Q 到平面ABCD 的距离为12A H ，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C ；根据空间向量的数量积定义及运算律可得224444CQ mn p p =-+- ，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D.【详解】对于选项A ，若点Q 在平面1111D C B A 内，易知有11111AQ A B A D AB AD λμλμ=+=+，所以111AA A A Q AB AD AA Q λμ+=+=+，又1AQ m AB n AD p AA =++，则1p =，故A 正确；对于选项B ，由题意易得1122cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，1()(1)(1)CQ AQ AC AQ AB AD m AB n AD p AA =-=-+=-+-+ ，且DB AB AD =- ，又CQ DB ⊥，即0CQ DB ⋅=，故2(1)2(1)0CQ DB m n ⋅=---=，解得m n =，故B 正确；对于选项C ，由题易知四面体1A ABD 为正四面体，设1A 在平面ABCD 内的射影为点H ，则H 为ABD △的中心，易得3AH =，13A H =．当12p =时，Q 到平面ABCD 的距离为12A H ，所以111323Q ABD ABD V S A H -=⋅⋅=△，故C 错误；对于选项D ，由B 知，221(1)(1)CQ m AB n AD p AA =-+-+ 222222111(1)(1)2(1)(1)2(1)2(1)m AB n AD p AA m n AB AD p m AB AA p n AD AA =-+-++--⋅+-⋅+-⋅24444mn p p =-+-，又2214444434342mn p p p mn mn ⎛⎫-+-=-+-≥- ⎪⎝⎭，由基本不等式可知2124m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以22CQ ≥ ，即CQ ≥ 12m n p ===时等号成立，所以CQ ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点睛：本题关键在于利用空间向量的的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.以点()2,1A 为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为__________.【答案】22(2)(1)1x y -+-=【解析】【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程.【详解】以点()2,1A 为圆心，且与x 轴相切的圆的半径为1，故圆的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=.故答案为：22(2)(1)1x y -+-=14.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，()0,P p y 是抛物线C 上的一点，若9PF =，则p =______．【答案】6【解析】【分析】直接使用抛物线的焦半径定义，即可求解.【详解】由题意，知抛物线C 的准线为2px =-，由焦半径的定义可得92p PF p =+=，解得6p =．故答案为：615.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为A 、B ，若E 上存在点P 满足：2π3APB ∠=，则E 的离心率的最小值是______．【答案】2【解析】【分析】由余弦定理结合基本不等式分析可知，当P 为椭圆短轴顶点时，APB ∠最大，求出cos APB ∠的最小值为2221b a -，结合余弦函数的单调性可得出2222π1cos 3b a -≤，求出22b a的取值范围，可得出椭圆E 的离心率的取值范围，即可得解.【详解】由椭圆的定义可得2PA PB a +=，由余弦定理可得()222222cos 22PA PB AB PA PBPA PB ABAPB PA PBPA PB+--⋅+-∠==⋅⋅222222224444211112222a c b b b PA PBa a PA PB -=-≥-==-⋅⎛+⎫⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB PA PB a ⎧=⎪⎨+=⎪⎩时，即当PA PB a ==时，等号成立，又因为余弦函数cos y x =在[]0,π上单调递减，故当PA PB a ==时，即当P 为椭圆短轴顶点时，APB ∠最大，因为椭圆E 上存在点P 满足：2π3APB ∠=，则2222π11cos 32b a -≤=-，可得2214b a ≤，所以，32c e a ==≥=，故椭圆E的离心率的最小值为2.故答案为：2.16.某公园有一个坐落在地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图．已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，ABC 是该石雕与地面的接触面，其中A 是该石雕所在正方体的一个顶点．某兴趣小组通过测量ABC的三边长，来计算该正方体石雕的相关数据．已知测得AB =，BC =，AC =，则该石雕所在正方体的棱长为______m ；该石雕最高点P 到地面的距离为______m．【答案】①.6②.547##577【解析】【分析】补齐为正方体，设AD a =，BD b =，CD c =，结合勾股定理列出方程组即可解得,,a b c ，进而求得该石雕所在正方体的棱长；以D 为原点，以,,DA DB DC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点P 到平面ABC 的距离，进而求解.【详解】如图，补齐为正方体，设AD a =，BD b =，CD c =，则222222222524020AB a b AC a c BC b c ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩，解得6a =，4b =，2c =，即该石雕所在正方体的棱长为6m .以D 为原点，以,,DA DB DC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，所以(0,0,0)D ，(6,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,2)C ，(6,6,6)P ，(0,6,6)AP = ，()6,4,0AB =- ，()6,0,2AC =- ，设平面ABC 的一个法向量为(),,m x y z = ，则00m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即640620x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令2x =，可得()2,3,6m = ，所以点P 到平面ABC的距离为547AP m d m⋅=== ，即该石雕最高点P 到地面的距离为54m 7.故答案为：6；547.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的三个顶点分别为()2,3A ，()0,5B ，()6,1C -.（1）求边AB 上的高CD 所在直线的方程；（2）求边AB 上的中线CE 所在直线的方程.【答案】（1）7y x =+（2）32577y x =+【解析】【分析】（1）先求得直线AB 的斜率，利用点斜式求得边AB 上的高CD 所在直线的方程.（2）先求得E 点坐标，再根据两点式求得边AB 上的中线CE 所在直线的方程.【小问1详解】53102AB k -==--，所以直线CD 的斜率为1，所以直线CD 的方程为()116,7y x y x -=⨯+=+【小问2详解】线段AB 的中点()1,4E ，所以直线CE 所在直线方程为()163325,16,4116777y x y x y x -+=-=+=+-+.18.在空间直角坐标系中，已知点(2,1,2)A -，(1,2,2)B -，(3,1,4)C -，设a AB = ，b AC = ．（1）若a b λ+ 与3a b - 互相垂直，求λ的值；（2）求点C 到直线AB 的距离．【答案】（1）165λ=（2）322【解析】【分析】（1）分别求得a b λ+ 与3a b - 的坐标，再根据a b λ+ 与3a b - 互相垂直求解；（2）由d =求解.【小问1详解】由题意知(1,1,0)a AB == ，(1,0,2)b AC ==- ，所以(1,1,0)(1,0,2)(1,,2)a b λλλλ+=+-=- ，3(1,1,0)3(1,0,2)(4,1,6)a b -=--=- ．又a b λ+ 与3a b - 互相垂直，所以()(3)(1,,2)(4,1,6)4(1)120a b a b λλλλλ+⋅-=-⋅-=-+-= ，解得165λ=．【小问2详解】由（1）知(1,1,0)AB = ，(1,0,2)AC =- ，所以cos ,10AB AC AB AC AB AC⋅==- ，所以点C 到直线AB的距离2d ==．19.已知圆2221:(0)C x y r r +=>，圆222:(3)16C x y -+=．（1）讨论圆1C 与圆2C 的位置关系；（2）当2r =时，求圆1C 与圆2C 的公切线的方程．【答案】（1）答案见解析（2）260x =，或260x +=.【解析】【分析】（1）求两圆圆心距及半径，利用几何法判断两圆位置关系；（2）先判断两圆位置关系，法一，设出公切线方程，由切线分别与两圆相切建立等量关系待定系数即可；法二，由相似性质与半径比，可得到公切线与x 轴交点坐标，再由交点设出点斜式方程待定斜率即可.【小问1详解】由题意知12:(0,0),:(3,0)C C ，123C C =，两圆的半径分别为r 和4，①当124C C r <-，即34r <-，解得01r <<或7r >时，圆1C 与圆2C 内含；②当124C C r =-，即34r =-，解得1r =或7r =时，圆1C 与圆2C 内切；③当1244r C C r -<<+，即434r r -<<+，解得17r <<时，圆1C 与圆2C 相交；④当124C C r ≥+时，34r ≥+，无解，即圆1C 与圆2C 不可能外切也不可能外离．综上所述，当01r <<或7r >时，圆1C 与圆2C 内含；当1r =或7r =时，圆1C 与圆2C 内切；当17r <<时，圆1C 与圆2C 相交.【小问2详解】当2r =时，由（1）得圆1C 与圆2C相交，由图可知公切线的斜率存在，法一：设圆1C ，圆2C 的公切线的方程为y kx m =+，即0kx y m -+=，则由直线与两圆都相切可得，24==，所以23m k m =+，则23m k m =+，或230m k m ++=即3m k =或m k =-2=，2=2=（无解），解得k =，所以55k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或55k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.则公切线方程为55y x =+或55y x =--，即为260x =，或260x ++=.法二：因为两圆圆心都在x 轴上，则由对称性可知，两公切线关于x 轴对称，且交点在x 轴上，设为点P ，如图，12//C M C N ，则1PC M 与2PC N 相似，则有11222142PC C M PC C N ===，又由123C C =,得211213PC PC C C PC =+=+，所以有11132PC PC =+，解得13PC =，即(3,0)P -，设公切线方程为(3)y k x =+，即30kx y k -+=，则圆心1(0,0)C到切线的距离2=，解得5k =±，则公切线方程为(3)5y x =+或(3)5y x =-+，即为260x =，或260x ++=.20.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F .（1）若点A 的坐标是()0,b ，且12AF F △2，求双曲线C 的渐近线方程；（2）若以12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P，且1=F P （O 为原点），求双曲线C 的离心率.【答案】（1）0x y ±=（2）2【解析】【分析】（1）利用已知条件得2122c b ⨯⨯=，结合双曲线中222c a b =+化简整体求出b a ，即可得双曲线C 的渐近线方程（2）根据题意作图，根据图形，利用余弦定理求出1POF ∠，从而得2POF ∠，即渐近线的倾斜角，则可以得出b k a=的值，结合222c a b =+得到关于离心率的齐次方程，解出即可【小问1详解】因为()0,A b ，12AF F △2，所以2122c b ⨯⨯=，即()22242a b b a +=，所以242b b a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得21b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭或22b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍去），所以1b a=，所以双曲线C 的渐近线方程是0x y ±=.【小问2详解】因为以12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P，如图，1FO OP c ==，所以1F P ==，在1POF △中，由余弦定理可得：2221111cos 2OP OF PF POF OP OF +-∠=⋅)222122c c c c +-==-⨯⨯，所以12π3POF ∠=，则2π3POF ∠=，所以b a =b =，22223a bc a ==-，所以224c a =，2c e a==，所以双曲线C 的离心率为2.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD，PD =，4DC =，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点，且PB EF ⊥.（1）求AD 的长；（2）求直线PB 与平面BEF 所成角的正弦值.【答案】（1）2AD =（2）5829【解析】【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到EF 和BP ，根据垂直关系列出方程，即可求出AD ；（2）根据线面角的向量公式即可求解.【小问1详解】因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD DC ⊥，又底面ABCD 是矩形，所以AD DC ⊥，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设()0AD a a =>，所以,0,02a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),4,0B a ，()0,4,0C ，(0,0,3P ，()0,0,0D ，所以(F ，所以2a EF ⎛=- ⎝，(,4,BP a =-- ，又PB EF ⊥，所以(2,,4,2022a a EF BP a ⎛⋅=-⋅--=-= ⎝ ，因为0a >，解得2a =，即2AD =；【小问2详解】由（1）知(1,EF =- ，()1,4,0EB = ，设平面BEF 的一个法向量(),,n x y z =，所以2040n EF x y n EB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =，解得4x =-，z =-，所以平面BEF的一个法向量(4,1,n =-- ，又(2,4,BP =-- ，设直线PB 与平面BEF 所成角的大小为θ，所以sin 29n BP n BP θ⋅=== ，即直线PB 与平面BEF所成角的正弦值为29.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴的左、右端点分别为1A ，2A ，短轴的上、下端点分别为1B ，2B ，设四边形1122B F B F 的面积为S，且12124F F S A A ==．（1）求a ，b 的值；（2）过点(1,0)作直线l 与E 交于C ，D 两点（点C 在x 轴上方），求证：直线2A C 与直线1A D 的交点G 在一条定直线上．【答案】（1）2a =，1b =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆性质列式求,a b 即可；（2）设直线CD 的方程为1x my =+，设()()1122,,,C x y D x y ，由直线2A C 与直线1A D 的方程整理可得()1212123462y y x my y y y +=+-，再联立椭圆与直线l 的方程，结合韦达定理运算求解.【小问1详解】由已知，得122A A a =，122B B b =，12F F =，因为12124F F S A A ==，所以222b a ⋅==，解得2,1a b ==．【小问2详解】由（1）可知：椭圆E 的方程为2214x y +=，因为(1,0)在椭圆内部，则直线l 与E必相交，由题意可知：直线l 的斜率不为0，设直线CD 的方程为1x my =+，与E 的方程联立得22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，设()()1122,,,C x y D x y ，则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+，即()121223my y y y =+，直线121:(2)2y A C y x x =--，直线212:(2)2y A D y x x =++，联立上述两方程消去y 可得1212(2)(2)22y y x x x x -=+-+，整理得()()()()12211221222222y x y x x y x y x +--=++-⎡⎤⎣⎦，即()()()()12211221312321y my y my x y my y my +--=++-⎡⎤⎣⎦，可得()1212123462y y x my y y y +=+-，由()121246my y y y =+，得()()1212123662y y x y y y y +=++-，即()12123124y y x y y +=+，若1230y y +=，则由12224m y y m +=-+，可得得124m y m =+，2234m y m -=+，又因为12234y y m -=+，则()22234m m -=+234m -+，即224m m =+，不成立；故1230y y +≠，由()12123124y y x y y +=+，解得4x =，综上所述，动点G 在定直线4x =上．【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．。

安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本题共16个小题，每小题3分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.未来新能源的特点是资源丰富，在使用时对环境无污染或污染很小，且可以再生，下列属于未来新能源标准的是（）①天然气②煤③核能④石油⑤太阳能⑥生物质能⑦风能⑧氢能A. ⑤⑥⑦B. ⑤⑥⑦⑧C. ③⑤⑥⑦⑧D. ③④⑤⑥⑦⑧2.下列关于纯净物、混合物、电解质、非电解质的正确组合为（）纯净物混合物电解质非电解质A 磷酸冰水混合物硫酸干冰B 蒸馏水蔗糖溶液氧化铝二氧化硫C 胆矾氨水盐酸铜D 胆矾食盐水氯化铜石墨3．已知：2CO(g)+O2(g)=2CO2(g) △H=-566 kJ·mol-12Na2O2(s)+2CO2(g)=2Na2CO3(s)+O2(g) △H=-452 kJ·mol-1根据以上热化学方程式判断，下列说法正确的是（）A．1molCO 完全燃烧，放出热量为283 JB．Na2O2(s)+CO2(s)=Na2CO3(s)+ 12O2(g) △H=-226 kJ·mol-lC．CO(g) 与Na2O2(s)反应放出509kJ 热量时，电子转移数为1.204×1024D．CO 的燃烧热为566 kJ·mol-14．可逆反应mA(s）+n D(g）pX(g）+qY(g）在反应过程中，其他条件不变，D的转化率和温度T或压强p关系如图所示(D﹪为D的转化率），下列叙述中正确的是（）A．正反应为放热反应B．使用催化剂，D的物质的量减小C．化学方程式系数m+n=p+qD．增加物质A或D的用量，平衡均向右移动5．目前工业上处理有机废水的一种方法是：在调节好pH和Mn2＋浓度的废水中加入H2O2，使有机物氧化降解。

现设计如下对比实验（实验条件见下左表)，实验测得有机物R浓度随时间变化的关系如下图所示。

2023—2024学年大联考安徽高二（上）期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A ，B ，C ，D 是空间中互不相同的四个点，则AB DB AC −−=（ ）A ．ADB ．CDC ．BCD ．DA2．直线310x +=的倾斜角θ为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．经过点(1,2)A ，且以(1,1)B −为圆心的圆的一般方程为（ ） A ．222230x y x y ++−−= B ．222230x y x y +−+−= C ．222270x y x y ++−−=D ．222270x y x y +−+−=4．设a ∈R ，则“1a =”是“直线(1)30a x ay +++=与直线250ax y +−=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量(2,,2)a x =− ，(2,4,)b y = ，若||3a = ，且a b ⊥ ，则xy 的值为（ ）A ．0B ．4C ．0或4D ．1或46．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，且焦距为4，点M 在C 上，若12MF MF ⋅的最大值为25，则C 的离心率为（ ）A B ．25C ．23D ．347．若直线(1)2y m x =−+与曲线y =m 的取值范围是（ ）A ．4(,0),3 −∞+∞B ．4,(0,)3−∞−+∞C ．24,0,233−D ．422,0,33 −−8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点在圆22(2)(4x y ++−=上，则该椭圆的离心率不可能是（ ）A ．13B ．12C D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ） A ．30x y +−=B ．30x y ++=C ．10x y −−=D ．20x y −=10．下列结论中正确的是（ ）A ．若(1,1,2)a −，(2,2,1)b =− 分别为直线l ，m 的方向向量，则l m ⊥B ．若(1,1,2)k −为直线l 的方向向量，(3,1,1)n = 为平面α的法向量，则//l α或l α⊂C ．若1(4,2,1)n =−，2(2,1,2)n − 分别为两个不同平面α，β的法向量，则//αβ D ．若向量(,1,)c s t =是平面ABC 的法向量，向量(1,2,0)AB − ，(1,1,1)BC − ，则1t =11．已知圆221:(1)(1)1C x y ++−=与圆2222:244210C x y mx my m m +−++−−=，则下列说法正确的是（ ）A ．圆2C 的圆心恒在直线20x y +=上B ．若圆2C 经过圆1C 的圆心，则圆2C 的半径为12C ．当2m =−时，圆1C 与圆2C 有4条公切线D ．当0m =时，圆1C 与圆2C12．法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的任意两条互相垂直的切线的交点Q为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若矩形G 的四边均与椭圆22:154x y C +=相切，则下列说法正确的是（ ）A ．C 的蒙日圆的方程为229x y += B ．若G 为正方形，则G的边长为C ．若圆22(4)()4x y m −+−=与C 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则3m =±D ．过直线:230l x y +−=上一点P 作C 的两条切线，切点分别为M ，N ，当MPN ∠为直角时，直线OP（O 为坐标原点）的斜率为43−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面α的一个法向量为(2,1,1)m =−，点(3,2,1)A −，(,1,2)B t −在平面α内，则t =__________．14．椭圆2214x y +=的右焦点到直线y =的距离是__________．15．已知()()000,0P x y x ≠是圆22:(2)(1)9M x y −+−=上的动点，002y a x +=，则实数a 的取值范围是__________．16．已知椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是C 上异于顶点的一点，O 为坐标原点，E 为线段1MF 的中点，12F MF ∠的平分线与直线EO 交于点P ，当四边形12MF PF的面积为时，21sin MF F ∠=__________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆22:240M x y ay b +−+−=经过(0,3)A ，(2,1)B 两点． （Ⅰ）求圆M 的半径；（Ⅱ）判断圆()222:21N x y m +++=（m ∈R 且0m ≠）与圆M 的位置关系．18．（12分）已知直线:34120m x y ++=和圆22:2440C x y x y ++−−=． （Ⅰ）求与直线m 垂直且经过圆心C 的直线的方程； （Ⅱ）求与直线m 平行且与圆C 相切的直线的方程．19．（12分）已知空间中三点(2,1,1)A −，(1,1,0)B ，(4,3,3)C −．设a AB =，b AC = ．（Ⅰ）求2a b −；（Ⅱ）若2ka b − 与a kb +互相垂直，求实数k 的值．20．（12分）已知圆C 的圆心在坐标原点，面积为9π． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ，l ′都经过点(0,2)，且l l ′⊥，直线l 交圆C 于M ，N 两点，直线l ′交圆C 于P ，Q 两点，求四边形PMQN 面积的最大值． 21．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，BA BC =，E 为棱AB 的中点，12AC =，二面角1E AC A−−的大小为π6．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1EAC ；（Ⅱ）求直线1B C 与平面1EAC 所成角的正弦值． 22．（12分）已知圆C 的圆心为(,)C a b （0a >且0b >），1ab =，圆C 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点（与坐标原点O 不重合），且线段AB 为圆C 的一条直径． （Ⅰ）求证：AOB △的面积为定值；（Ⅱ）若直线0x y −=经过圆C 的圆心，求圆C 的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P 是直线:220l x y ++=上的一个动点，过点P 作圆C 的切线PG ，PH ，切点为G ，H ，求线段GH 长度的最小值．2023—2024学年大联考安徽高二（上）期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学·答案一、单项选择题 1．答案B【命题意图】本题考查空间向量的线性运算．【解析】AB DB AC AB BD AC AD AC CD −−=+−=−=．2．答案C【命题意图】本题考查直线的斜率与倾斜角．【解析】直线310x ++=的斜率k =，其倾斜角θ满足0180θ<°≤°，因为tan θ=，所以120θ=°．3．答案A【命题意图】本题考查圆的一般方程．【解析】由题意得，圆的半径||r AB 所以圆的标准方程为22(1)(1)5x y ++−=，所以圆的一般方程为222230x y x y ++−−=． 4．答案A【命题意图】本题考查两直线平行的定义．【解析】直线(1)30a x ay +++=与直线250ax y +−=平行的充要条件是212a a +=且5(1)6a a −+≠，解得1a =或12a =−． 5．答案C【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算．【解析】由(2,,2)a x =− ，且||3a = 3=①．由a b ⊥ ，得4420a b x y ⋅=+−= ②．由①②可得1,4x y ==或1,0,x y =− = 则xy 的值为0或4． 6．答案B【命题意图】本题考查椭圆的性质及基本不等式．【解析】因为122MF MF a +=，所以221212252MF MF MF MF a+⋅≤== （当且仅当1MF =25MF =时，等号成立）．由题可知C 的半焦距2c =，所以离心率25c e a ==． 7．答案D【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系．【解析】显然直线(1)2y m x =−+恒过点(1,2)A ，曲线y =2=，解得0m =或43m =−，由如图所示的图象知直线过点(2,0)−时，斜率23m =，直线过点(2,0)时，斜率2m =−，所以半圆y=(1)2y m x =−+有两个不同的交点时，203m <≤或423m −≤<−，所以实数m 的取值范围为422,0,33−−．8．答案C【命题意图】本题考查椭圆的离心率．【解析】设椭圆的半焦距为(0)c c >．圆22(2)(4x y ++−=与坐标轴的公共点为()3,0−，()1,0−，(，又椭圆的焦点在x 轴上，所以，①若椭圆的上顶点为(，左焦点为()3,0−或()1,0−，即b =，3c =或1c =，则a =2a =，离心率e =12；②若椭圆的左顶点为()3,0−，左焦点为()1,0−，则3a =，1c =，离心率13e =． 二、多项选择题 9．答案ACD【命题意图】本题考查直线的方程．【解析】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为1x y a b +=，由题可得211,||||,a ba b += = 所以211,a b a b +== 或211,,a ba b += =−解得3,3a b = = 或1,1,a b = =− 所以直线方程为30x y +−=或10x y −−=，故A 正确，B 错误，C 正确；当直线的截距为0时，设直线方程为y kx =，由题可知12k =，故直线方程为20x y −=，D 正确． 10．答案BD【命题意图】本题考查空间向量的应用．【解析】(1,1,2)a −，(2,2,1)b =− ，(1)2122(1)20a b ∴⋅=−×+×+×−=−≠ ，∴直线l 与m不垂直，故A 错误；3120k n ⋅=−++= ，//l α∴或l α⊂，故B 正确；421212−=≠− ，1n ∴ 与2n 不共线，//αβ∴不成立，故C 错误；由题可知0,0,c AB c BC ⋅=⋅=即20,10,s s t −+=−++= 解得1t =，故D 正确． 11．答案BC【命题意图】本题考查圆与圆的位置关系．【解析】圆2C 的方程可化为222()(2)(1)x m y m m −++=+，圆心为点(,2)m m −，恒在直线20x y +=上，故A 错误；由题可知222(1)(12)(1)m m m −−++=+，解得12m =−，所以圆2C 的半径为12，故B 正确；当2m =−时，12|1|12C C m =>++=，两圆相离，所以圆1C 与圆2C 有4条公切线，故C 正确；当0m =时，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为10x y −+=，1(1,1)C −到公共弦=，所以圆1C 与圆2C的公共弦长为D 错误． 12．答案ABC【命题意图】本题考查数学文化．【解析】由题可知C3=，则蒙日圆的方程为229x y +=，故A 正确；设正方形G 的边长为(0)t t >，由题可知2222(2)(2)36t t a b +=+=，则t =，故B 正确；易知点(4,)m 在圆229x y +=外部，所以若圆22(4)()4x y m −+−=与C的蒙日圆有且仅有一个公共点，则两圆外切，所以32=+，解得3m =±，故C 正确；设直线l 与圆229x y +=交于A ，B 两点，联立22230,9,x y x y +−= += 可得119,512,5x y=− =223,0,x y = = 不妨设912,55A − ，(3,0)B ，当点P 与点A 或B 重合时，MPN ∠为直角，且43OA k =−，0OB k =，所以直线OP 的斜率为43−或0，故D 错误．三、填空题 13．答案6【命题意图】本题考查平面的法向量的定义．【解析】因为(3,3,3)AB t =−−，且AB m ⊥ ，所以2(3)330t −−−=，解得6t =．14．答案32【命题意图】本题考查椭圆的性质及点到直线的距离．【解析】由题可知椭圆的右焦点坐标为，所以右焦点到直线y =的距离是|30|322−=． 15．答案12,[0,)5−∞−+∞【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系．【解析】设(0,2)A −，由题知圆M 的圆心为(2,1)M ，半径3r =，a 表示直线PA 的斜率，不妨设过点A 的圆的切线方程为2y kx =−，则圆心M 到切线的距离3d，解得0k =或125−，再结合图可知，实数a 的取值范围为12,[0,)5−∞−+∞．16 【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质．【解析】由题可知12F F =，124MF MF +=．因为MP 平分12F MF ∠，所以P 到1MF ，2MF 的距离相等，设为h ，则()1212122MF PF S MF MF h h =+=．易知OE 是12F MF △的中位线，延长1F P ，2MF 交于点G ，则P 为1FG 的中点，过1F 作1F H MG ⊥于H ，易得112212sin F H h F F MF F ==∠，则1221MF PF S MF F ∠，从而21sin MF F ∠ 四、解答题17．【命题意图】本题考查圆的方程及圆与圆的位置关系． 【解析】（Ⅰ）由题可得9640,41240, a b a b −+−=+−+−=解得1,1,a b = =所以圆M 的一般方程为22230x y y +−−=，标准方程为22(1)4x y +−=， 故圆M 的半径为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知(0,1)M ．又()20,2N m −−，所以2||3MN m =+． 因为23312m +>=+，所以圆M 与圆N 外离． 18．【命题意图】本题考查求直线的方程．【解析】（Ⅰ）设与直线:34120m x y ++=垂直的直线的方程为430x y a −+=． 圆C 可化为22(1)(2)9x y ++−=，圆心为(1,2)C −，因为直线430x y a −+=经过圆心C ，所以4(1)320a ×−−×+=，即10a =， 故所求直线的方程为43100x y −+=．（Ⅱ）设与直线:34120m x y ++=平行的直线的方程为340(12)x y c c ++=≠． 因为直线340x y c ++=与圆C 相切，所以圆心(1,2)C −到直线340x y c ++=3=，所以|5|15,20c c +==−或10，故所求直线的方程为34200x y +−=或34100x y ++=． 19．【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算．【解析】（Ⅰ）(2,1,1)A − ，(1,1,0)B ，(4,3,3)C −，a AB = ，b AC = ，(1,2,1)a ∴=−−，(2,2,2)b =− ， 于是2(2,4,2)(2,2,2)(4,6,4)a b −=−−−−=−−，2a b ∴−=（Ⅱ）()()()22,4,22,2,222,42,22ka b k k k k k k −=−−−−=−−+−−， ()()()1,2,12,2,221,22,21a kb k k k k k k +=−−+−=−−−， 又2ka b − 与a kb + 互相垂直，(2)()0ka b a kb ∴−⋅+=，即(22)(21)(42)(22)(22)(21)0k k k k k k −−−++−+−−−=，212k ∴=，k =． 20．【命题意图】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系． 【解析】（Ⅰ）由题可知圆C 的圆心为(0,0)C ，半径3r =． 所以圆C 的方程为229x y +=．（Ⅱ）当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为2y kx =+，圆心到直线l 的距离为d ，则d =||MN同理可得||PQ则11||||22PMQNS MN PQ=⋅=×22244991411kk k≤−+−=++，当且仅当222449911kk k−=−++，即21k=时等号成立．当直线l的斜率不存在时，||6MN=，||PQ=此时11||||622PMQNS MN PQ=⋅=××=．当直线l的斜率为0时，根据对称性可得PMQNS=．综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14．21．【命题意图】本题考查线面平行与线面角．【解析】（Ⅰ）如图，连接1AC交1AC于点O，连接OE，显然O是1AC的中点，因为E为AB的中点，所以OE为1ABC△的中位线，1//OE BC，而1BC⊂/平面1EAC，OE⊂平面1EAC，所以1//BC平面1EAC．（Ⅱ）设11AC的中点为1M，连接1M O并延长交AC于点M．因为BA BC=，所以1111B A B C=，于是有1111B M AC⊥．因为三棱柱111ABC A B C−是直三棱柱，所以平面111A B C⊥平面11A ACC，而平面111A B C 平面1111A ACC AC=，所以11B M⊥平面11A ACC．因为侧面11A ACC是矩形，所以111AC M M⊥．以1M 为原点，分别以直线11AC ，1M M ，11B M 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设(1)BA BC t t ==>，则1(1,0,0)A −，C，12E − ，于是1(2,CA =−，32CE =− ． 设平面1EAC 的法向量为(,,)n x y z = ，则有10,0,n CA n CE ⋅= ⋅=即20,30,2x x z −−= −+= 令1x =，可得1,n = ． 易知平面1ACA 的一个法向量为(0,0,1)m = ． 因为二面角1E AC A −−的大小为π6，所以π||cos 6||||m n m n ⋅== ，即=t =． 故1(0,0,1)B，11)B C =−，(1,n = ．设直线1B C 与平面1EAC 所成的角为θ，则11sin ||B C n B C n θ⋅== ，即直线1B C 与平面1EAC22．【命题意图】本题考查直线与圆的综合应用．【解析】（Ⅰ）由题可知点O 在圆C 上，且圆C 的方程为2222()()x a y b a b −+−=+， 整理得22220x y ax by +−−=，则(2,0)A a ，(0,2)B b ． 所以122222AOB S a b ab =××==△，为定值．（Ⅱ）因为直线0x y −=经过圆C 的圆心，所以a b =．又1ab =，0a >且0b >，解得1a b ==．所以圆C 的方程为22(1)(1)2x y −+−=．（Ⅲ）显然P ，G ，C ，H 四点共圆，且PC 为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆N ，(22,)P m m −−，则圆N 的方程为22221213212222m m m m x y +++− ++−=+， 即22(21)(1)20x y m x m y m +++−+−−=，①又圆C 的半径r =22220x y x y +−−=，② ①－②，得圆C 与圆N 的相交弦GH 所在直线的方程为(23)(1)20m x m y m ++−−−=．点(1,1)C 到直线GH 的距离d所以||GH ，所以当1m =−时，||GH ，故线段GH ．。

安庆七中2019-2020学年度第一学期高二期中考试（理）一．选择题（每小题5分，共12小题，满分60分） 1、已知a,b,c,d 的是则下列命题中必然成立,R ∈（ ） A. 若a>b,c>d,则a>c B.若a>b,c>d,则db c a > B. 若b a b a >>则,22 D.若a>-b,则c-a<c+d 2、在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b=6,A=6π,若该三角形有两解，则a 的取值范围是（ ）A. （3,6）B.（0,3）C.（32,6）D.（23，+∞）3、已知m,n 是两条不同的直线，γβα，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若m//α,n//α,则m//n B. 若αβαγβγ//，则，⊥⊥C. 若m//α,n//α,且m βαββ//,则，⊂⊂nD. 若m n m n ⊥⊥⊥⊥，则且，βαβα,4、《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤。

问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤。

问金杖重多少？”则答案是（ ） A.14斤 B.15斤 C.16斤 D.17斤 5. 已知三角形的三个顶点A （2，-1,4），B （3,2，-6），C （5,0,2）则过A 点的中线长为（ ） A. 11 B.112 C.211 D.1136. 已知实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥≥3121y x x y y ，则z=3x+y+1（ ）A. 有最小值320 B.有最大值8，最小值320 B. 有最大值320D.有最大值8，最小值57、已知正数a,b 满足a+b=3,则14a 1++b 的最小值为（ ）A. 49B.1534 C.37 D.29 8、直线x+y=1与圆x 2+y 2-2ay=0（a>0）没有公共点，则a 的取值范围是（ ） A. （0，1-2） B.（1-2，12+） C.（-12,1-2+，） D.（0，12+）9、如图，表n 是（2n-1）X （2n-1）的方阵，最外层数字是n-1,由外而内每层数字递减1，最中心数字为0.表1 的各数字之和为0，表2的各数之和为8，表3的各数之和为40，则表6的各数之和为（ ）表1 表2表3A.420B.440C.460D.48010、如图，圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C 经过点A （2,15），则圆C 的半径为（ ）A.27B.8C.28D.1011、在长方体ABCD-A 1B 1C 1中，BC=CC 1=1,∠AD 1B=3π,则直线AB1与BC1所成的角的余弦值为（ ） A.33 B.66 C.77 D.141412.已知数列{an}的通项公式an=-n 2+10n-21,前n 项和为Sn,若n>m,则Sn-Sm 的最大值是（ ） A.5 B.10 C.15 D.20二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分）13.关于x 的不等式的解集为0x-2≥x14.设等比数列{an}的公比q=3,前n 项和为Sn,则=34a S 15.过点P （1,2）且在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是16.在三棱锥S-ABC 中，SB=SC=AB=BC=AC=2,侧面SBC 与底面ABC 垂直，则三棱锥S-ABC 外接球的表面积是三、解答题（第17题10分，第18~22题每题12分，满分70分） 17.（本小题满分10分）如图，在三棱锥V-ABC 中，VB ⊥面ABC,P 为棱VA 中点，按下列要求在所给图中做出一个平面。

安徽省高二上学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） (2020 高三上·南开期中) 命题“，”的否定是（ ）A.，B.，C.，D.，2. （2 分） (2019 高二上·鄂州期中) 若当方程线的倾斜角（ ）．所表示的圆取得最大面积时，则直A.B. C.D.3. （2 分） 圆心坐标为（2，－1）的圆在直线 x－y－1＝0 上截得的弦长为，那么这个圆的方程为（ ）A . （x－2）2＋（y＋1）2＝4B . （x－2）2＋（y＋1）2＝2C . （x－2）2＋（y＋1）2＝8D . （x－2）2＋（y＋1）2＝164. （2 分） (2020 高二上·武汉期中) 在空间直角坐标系中，点 M( ，y，2020）（x∈R，y∈R)第 1 页 共 20 页构成的集合是（ ）A . 一条直线B . 平行于平面的平面C . 两条直线D . 平行于平面的平面5. （2 分） (2017·三明模拟) 已知函数 f（x）=sin（x+φ）﹣2cos（x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线 x=π 对称，则 cos2φ=（ ）A.B.C.D.6. （2 分） (2017·九江模拟) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的 离心率为 ，从 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为 A，若△AFO 的面积为 1，则双曲线 C 的方程为（ ）A . ﹣ =1 B . ﹣y2=1C . ﹣ =1D . x2﹣ =17. （2 分） 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上，AB=6，BC=2 ， 棱锥 O﹣ABCD 的体积为 8 ， 则球 O 的表面积为（ ）A . 16π第 2 页 共 20 页B . 32 C . 48π D . 64π8. （2 分） 已知双曲线 A.的一条渐近线方程为B.C.D.二、 多选题 (共 4 题；共 12 分)， 则双曲线的离心率为（ ）9. （3 分） (2020 高三上·如皋月考) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线的离心率为 ，且双曲线 C 的左焦点在直线上，A，B 分别是双曲线 C 的左，右顶点，点 P 是双曲线 C 的右支上位于第一象限的动点，记 PA，PB 的斜率分别为 ， ，则下列说法正确的是（ ）A . 双曲线 C 的渐近线方程为B . 双曲线 C 的方程为C.为定值D . 存在点 P，使得10. （3 分） (2019 高二上·辽宁月考) 若方程 是（ ）A . 若 为椭圆,则B . 若 为双曲线,则或所表示的曲线为 ,则下面四个命题中错误的第 3 页 共 20 页C . 曲线 可能是圆D . 若 为椭圆，且长轴在 轴上，则11. （3 分） (2020 高二上·莆田月考) 下列说法正确的是（ ）A.在中，若，则B.若 、 C.若 、，且 ，D . 关于 的不等式，则 ，则的最小值为 的最小值为 2的解集是，则12. （3 分） (2020·青岛模拟) 已知向量，为 ，则（ ），，设的夹角A. B. C. D.三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高一上·沛县月考) 已知不等式 的取值范围是________.对一切恒成立，则实数14. （1 分） (2020 高二上·重庆月考) 在平面直角坐标系中， ， 分别为椭圆的左、右焦点， ， 分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为 ，若的面积为，则直线的斜率为________.15. （1 分） (2020·盐城模拟) 若数列 值为________.的前 n 项和为 ，，则的第 4 页 共 20 页16. （1 分） (2020 高一上·杭州期末) 已知函数 值范围________.四、 解答题 (共 6 题；共 60 分)的值域为，则实数 的取17. （10 分） (2019 高二上·太仓期中) 已知，.（1） 求 ， ；（2） 若是的必要不充分条件，求实数 的取值范围.18. （10 分） (2019 高二下·四川月考) 已知“有一正根和一负根”，若“直线 为真，与圆相交”；为真，求 的取值范围．19. （10 分） (2019 高三上·郴州月考) 如图，在五棱锥中，平面 ABCDE，，，，，，，是等腰三角形．（1） 求证：平面 PAC；（2） 求由平面 PAC 与平面 PED 构成的锐二面角的余弦值．20. （10 分） (2019 高二下·汕尾期末) 已知椭圆长轴和短轴为对角线的四边形的面积为.的离心率为，以椭圆 的（1） 求椭圆 的方程；（2） 若直线 （与椭圆 为坐标原点）.当相交于 ， 两点，设时，求 的最大值.第 5 页 共 20 页为椭圆上一动点，且满足21. （10 分） (2018 高二上·浙江月考) 在平面直角坐标系的左焦点为，且点在 上.中，已知椭圆 ：（1） 求椭圆 的方程； （2） 设直线 同时与椭圆 和抛物线 ：相切，求直线 的方程.（）22. （10 分） (2018 高三上·河北月考) 已知定点 线 相切.，定直线，动圆 过点 ，且与直（1） 求动圆 的圆心轨迹 的方程；（2） 过点 于点 ，求的直线与曲线 相交于 外接圆面积的最小值.两点，分别过点作曲线 的切线，两条切线相交第 6 页 共 20 页一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点：解析：第 7 页 共 20 页答案：4-1、解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：答案：7-1、第 8 页 共 20 页考点： 解析：答案：8-1、 考点： 解析：二、 多选题 (共 4 题；共 12 分)答案：9-1、 考点： 解析：第 9 页 共 20 页答案：10-1、 考点：第 10 页 共 20 页解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

屯溪一中高二第一学期期中考试数学试卷一、选择题 ：(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分)1.已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( )．A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或22．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )．A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部 3.设b 、c 表示两条直线，α、β 表示两个平面，下列命题中真命题是 A ．若b ⊂α ,c ∥α，则b ∥c B ．若b ⊂α,b ∥c ，则c ∥α C ．若c ∥α，c ⊥β，则α⊥βD ．若c ∥α α⊥β，则c ⊥β4.已知直线m 、n ，平面α、β,给出下列命题:①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ ③若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若,//m n αβ⊥，且//m n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是( )A..①③B. ②④C. ③④D. ①④5．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪()1，＋∞C ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞6.给出下面四个命题：其中正确的命题是( )①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等A. ②③B. ②④C. .①②③D. ①②④7．已知α—l —β是大小确定的一个二面角，若a 、b 是空间两条直线，则能使a 、b 所成角的为定值的一个条件是( )A ．a//α且b//βB ．a//α且b ⊥βC ．a ⊥α且b//βD ．a ⊥α且b ⊥β8. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 ( )． A ．1B. 2C.2－12D.2＋129.若二面角l αβ--为56π，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线m 与n 所成的角取值范围是( )A ．(0,)2π B ．[,]62ππC ．[,]32ππD ．[,]63ππ10．正方体ABCD —1111A B C D 的棱上到异面直线AB ，CC 1的距离相等的点的个数为（ ）A ．2B ．3 C. 4 D. 511.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 ( )A ．30°B ．45° C. 60° D. 90° 12．某几何体的三视图如图所示，当a ＋b 取 最大值时，这个几何体的体积为 ( )A ．16B.13C.23D.12二. 填空题（本大题共4小题 ，每小题5分，共20分）13．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．14．点A(1，1)到直线xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离的最大值是 .15．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为________． 16.如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变;③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线.其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号）. 三．解答题（本大题共有6小题，总分70分）17.（本题满分10分）设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．18. （本题满分12分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．19. （本题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．P（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的正弦值。

合肥2023~2024学年度高二年级第一学期期中联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章、第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若0AB <，0BC >，则直线0Ax By C --=不经过．．．的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解.【详解】由0Ax By C --=，得A C y x B B=-，又0AB <，0BC >，则直线的斜率0AB <，在y 轴上的截距0CB-<，所以直线0Ax By C --=经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选：A2.若点()1,1P 在圆22:20C x y x y k +---=的外部，则实数k 的取值范围是（）A.(),1-∞- B.5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D.41,5⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由方程表示圆可得54k >-，再由点在圆外即可得1k <-，求得实数k 的取值范围是5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【详解】易知圆C 可化为()2215124x y k ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，可得504k +>，即54k >-；又()1,1P 在圆C 外部，可得11120k +--->，解得1k <-；可得514k -<<-.故选：B.3.已知O ，A ，B ，C 为空间中不共面的四点，且()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，若P ，A ，B ，C 四点共面，则函数()()[]()2311,2f x x x x λμ=-+-∈-的最小值是（）A.2 B.1 C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据点共面可得系数和为1，即可结合二次函数的性质求解最值.【详解】因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以存在,R x y ∈，使得AP xAB yAC =+，故()()OP O x OB OA A A y OC O --=-+,整理得()1OP OA x y OA xOB yOC -=--++ ，又()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，所以113x yx y λμ+=+⎧⎪⎨--=⎪⎩，所以23λμ+=，所以()()222112f x x x x =--=--，当1x =时，函数取最小值，且最小值为2-.故选:D.4.已知()1,2,1A 是平面α内一点，()1,1,1n =--是平面α的法向量，若点()2,0,3P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为（）A.2 B.233C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据点到平面的距离公式即可求出.【详解】由题意得()1,2,2AP =- ，故点P 到平面α的距离n AP d n⋅===故选：C.5.已知点()1,3A -，()3,1B ，直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点，则实数m 的取值范围为（）A.(][)1,5,∞-⋃-+∞B.[]5,1-C.(][),15,-∞-⋃+∞ D.[]1,5-【答案】C 【解析】【分析】先求出直线l 的定点，再求出,PA PB k k ，数形结合，得出结果.【详解】如图由题意知直线l 过定点()0,2P -，易求PA 的斜率()32510PA k --==---，PB 的斜率()12130PB k --==-，直线l 的斜率l k m =-，所以1m -≥或5m -≤-，即1m ≤-或5m ≥故选：C.6.已知圆22:8120C x y x +-+=，点P 在圆C 上，点()6,0A ，M 为AP 的中点，O 为坐标原点，则tan MOA ∠的最大值为（）A.12B.12C.4D.3【答案】A 【解析】【分析】根据中点坐标公式结合相关点法可得M 的轨迹方程为()2251x y -+=，即可根据相切求解最值.【详解】由题意知圆C 的方程为()2244x y -+=，设()00,P x y ，(),M x y ，则006,20,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,所以0026,2,x x y y =-⎧⎨=⎩,又P 在圆C 上，所以()220044x y -+=，即()()2221024x y -+=，即M 的轨迹方程为()2251x y -+=.如图所示，当OM 与圆()2251x y -+=相切时，tan MOA ∠取得最大值，此时OM ==，tan 12MOA ∠=，所以tan MOA ∠的最大值为612.故选:A7.如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，CA CB ⊥，CA CB AD ==，E 为AB 的中点，F 为DB 上靠近B 的三等分点，则直线DE 与CF 所成角的余弦值为（）A.2B.3C.15D.16【答案】D【解析】【分析】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，求得11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，211,,333CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据线线角的向量公式即可求解.【详解】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，则()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1D ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,1,1BD =-- ，()1,0,0CB = ，所以1211,,3333CF CB BF CB BD ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭.设直线DE 与CF 所成角的大小为θ，则1cos cos ,6DE CF DE CF DE CF θ⋅===.故选：D.8.已知圆()()22:349C x y -+-=和两点(),0A t ，()(),00B t t ->，若圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则实数t 的取值范围是（）A.()2,8 B.()2,+∞ C.()3,+∞ D.()1,3【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知，圆C 与圆()2220:O x y t t +=>的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和两圆半径之间的关系即可求得2t >.【详解】圆()()22:349C x y -+-=的圆心()3,4C ，半径为3r =，因为圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则90APB ∠>︒，所以圆C 与圆()2220:O x y tt +=>的位置关系为相交、内切或内含，所以可得3OC t <+，又因为5OC ==，所以53t <+，即2t >.即实数t 的取值范围是()2,+∞.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，AP a = ，AB b = ，AD c = ，若PE ED = ，2CF FP =，则（）A.1122BE a b c=-+ B.221333BF a b c=-+C.212333DF a b c=+- D.111636EF a b c=-+ 【答案】BC 【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出BE 、BF、DE 、EF 关于{},,a b c 的表达式.【详解】对于A 选项，()()1122BE PE PB PD PB AD AP AB AP =-=-=---11112222AP AB AD a b =-+=-+，故A 错误；对于B 选项，()2233BF BC CF AD CP AD AP AC =+=+=+-()22212213333333AD AP AB AD AP AB AD a b c =+--=-+=-+，故B 正确；对于C 选项，()()221212333333DF BF BD BF AD AB b c b a b c =-=--=-+--=+-，故C 正确；对于D 选项，2211111133322636EF BF BE a b a b c a b c ⎛⎫⎛⎫=-=-+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.10.已知直线1:30l ax y a +-=，直线()2:2160l x a y +--=，则（）A.当3a =时，1l 与2l 的交点为()3,0B.直线1l 恒过点()3,0C.若12l l ⊥，则13a = D.存在a ∈R ，使12l l ∥【答案】ABC 【解析】【分析】将3a =代入解得两直线交点坐标为()3,0可判断A ；令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩可判断B ，由直线垂直的条件可判断C ，由直线平行的条件可判断D.【详解】对于A ，当3a =时，直线1:390l x y +-=，直线2:2260l x y +-=，联立390,2260,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩所以两直线的交点为()3,0，故A 正确；对于B ，直线()1:30l x a y -+=，令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩即直线1l 恒过点()3,0，故B 正确；对于C ：若12l l ⊥，则()2110a a ⨯+⨯-=，解得13a =，故C 正确；对于D ，假设存在a ∈R ，使12l l ∥，则()120a a ⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =时，1:260l x y +-=，2:260l x y +-=，两直线重合，舍去，当1a =-时，直线1:30l x y --=，直线2:2260l x y --=，两直线重合，舍去，所以不存在a ∈R ，使12l l ∥，故D 错误.故选：ABC.11.已知x 、y 满足226210x y x y +-++=，则（）A.22x y +3- B.1y x +的最大值为47C.2x y +的最小值为1-D.5【答案】BCD【分析】利用距离的几何意义结合圆的几何性质可判断AD 选项；设1yk x =+，可知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出k 的取值范围，可判断B 选项；设2x y t +=，可知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出t 的取值范围，可判断C 选项.【详解】方程226210x y x y +-++=可变形为()()22319x y -++=，则方程226210x y x y +-++=表示的曲线是以()3,1C -为圆心，以3为半径的圆，对于A 选项，设点(),P x y ，则22xy +表示圆C 上的点P 到原点O 的距离的平方，因为()()2203019-++>，则原点O 在圆C 外，所以，min333OP OC =-==，当且仅当P 为线段OC与圆C 的交点时，OP 取最小值，所以，22xy+的最小值为)2319=-A 错误；对于B 选项，设1yk x =+，则0kx y k -+=，由题意知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，3≤，即27880k k +-≤，解得4477k ---+≤≤，即1y x +的最大值为6247-，故B 正确；对于C 选项，设2x y t +=，即20x y t +-=，由题意知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，3≤，解得11t -≤≤+，故2x y +的最小值为1-，故C 正确；因为()()22319x y -++=，3+=+表示点P 到点()0,3M 的距离，因为()()2203319-++>，所以，min33532MP MC =-==-=，当且仅当点P 为线段MC 与圆C 的交点时，MP 取最小值，的最小值为325+=，故D 正确.故选：BCD.12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为3，2AB =，空间中一点P 满足[]()1,0,1AP xAB y AA x y =+∈，则（）A.若12x =，则三棱锥1P AAC -的体积为定值B.若12y =，则点P 的轨迹长度为3C.若1x y +=，则1PB 的最小值为13D.若x y =，则点P 到BC 的距离的最小值为32【答案】ACD 【解析】【分析】A ：做出图像，由已知和选项找到点P 的位置，判断P 到平面1AA C 的距离为定值，又1AA C △的面积为定值可求出；B ：作图找到点P 位置，判断轨迹长度即可；C ：由向量共线得到P 的位置，再点到直线的距离求1PB 最小值；D ：建系，用空间向量关系求出P 到BC 的距离，再用二次函数的性质求出最值.【详解】对A，若12x =，分别作棱AB ，11A B 的中点D ，E ，连接DE ，则P 在线段DE 上，易知DE ∥平面1AA C ，故点P 到平面1AA C 的距离为定值，又1AA C △的面积为定值，所以三棱锥1P AAC -的体积为定值，故A 正确；若12y =，分别作1AA ，1BB 的中点M ，N ，则点P 的轨迹为线段MN ，易知2MN AB ==，故B 错误；若1x y +=，则1A ，P ，B 三点共线，即点P 在线段1A B 上，易求点1B 到1A B 的距离为13，故1PB 的最小值为13，故C 正确；若x y =，则点P 在线段1AB 上，易证DB ，DC ，DE 两两垂直，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()C ，()11,0,3A -，()11,0,3B ，所以()2,0,0AB =，()0AC = ，()BC =- ，()10,0,3AA = ，()()12,0,3AP x AB AA x x =+= ，所以()22,0,3BP AP AB x x =-=- ，所以1cos ,x BP BC BP-= ，所以点P 到BC的距离d ====所以当14x =时，min 32d =，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l 过点()1,2，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是___________.【答案】2y x =或240x y +-=【解析】【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()1,2求得k 的值，当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()1,2求解.【详解】①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点()1,2，所以2k =，所以直线l 的方程为2y x =；②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，则直线l 的方程为12x y a a +=，又因为直线l 过点()1,2，所以1212a a +=，解得：2a =，所以直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述：直线l 的方程为2y x =或240x y +-=，故答案为：2y x =或240x y +-=．14.已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a ______.【答案】1【解析】【分析】设出圆的一般方程，带入A ，B ，C 坐标，求出圆的方程，再带入点()2,D a 求出答案.【详解】设过A ，B ，C 的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，()2240D E F +->，则255052025340E F D E F D E F ++=⎧⎪+-+=⎨⎪--+=⎩，解得6215D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以过A ，B ，C 的圆的方程为2262150x y x y ++--=，又点D 在此圆上，所以24122150a a ++--=，即2210a a -+=，所以1a =，故答案为：115.如图，已知二面角l αβ--的大小为60 ，A α∈，B β∈，,CD l ∈，,AC l BD l ⊥⊥且2==AC BD ，4CD =，则AB =______.【答案】【解析】【分析】根据题意，得到AB AC CD DB =++ ，利用()22AB AC CD DB =++ ，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】因为二面角l αβ--的大小为60 ，所以AC 与DB 的夹角为120 ，又因为AB AC CD DB =++，所以()22222222AB AC CD DB AC CD DB AC CD CD DB DB AC=++=+++⋅+⋅+⋅ 1416400222202⎛⎫=+++++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AB =故答案为：16.在ABC 中，顶点()2,3A ，点B 在直线:310l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC 周长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线:310l x y -+=同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知.【详解】设A 关于直线l 的对称点为P ，关于x 轴的对称点为Q ，PQ 与l 的交点即为B ，与x 轴的交点即为C .如图，,P Q 两点之间线段最短可知，PQ 的长即为ABC 周长的最小值.设(),P x y ，则331,223310,22y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩解得2,519,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即219,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 关于x 轴的对称点为()2,3Q -，故ABC周长的最小值为PQ ==故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的三个顶点是()1,2A -，()2,2B -，()3,5C .（1）求边AC 上的高所在直线的方程；（2）求BAC ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）4320x y +-=（2）7130x y +-=【解析】【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程，（2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率.【小问1详解】设AC 边上的高所在直线的斜率为k ，直线AC 的斜率()523314AC k -==--，所以1AC k k ⋅=-，所以43k =-，故所求直线方程为()4223y x +=--，即4320x y +-=.【小问2详解】由题意得()22345AB =-+=，22435AC =+=，所以5AB AC ==，则ABC 为等腰三角形，BC 的中点为53,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()32125712AD k -==---，由等腰三角形的性质知，AD 为BAC ∠的平分线，故所求直线方程为()1217y x -=-+，即7130x y +-=.18.已知圆()()22:119C x y -+-=.（1）直线1l 过点()2,0A -，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）设直线2:3420l x y +-=与圆C 相交于E ，F 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PEF !的面积S 的最大值.【答案】（1）2x =-或4380x y ++=（2）【解析】【分析】（1）分类讨论直线1l 的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.【小问1详解】由题意得()1,1C ，圆C 的半径3r =，当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，由直线1l 与圆C相切，得3=，解得43k =-，所以直线1l 的方程为4380x y ++=；当直线1l 的斜率不存在时，直线1l 的方程为2x =-，显然与圆C 相切；综上，直线1l 的方程为2x =-或4380x y ++=.【小问2详解】由题意得圆心C 到直线2l的距离1d =，所以2EF ==点P 到直线2l 的距离的最大值为314r d +=+=，则PEF !的面积的最大值()max 11422S EF r d =⨯⨯+=⨯=.19.不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCD MNPQ -，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中,,,M N P Q 是中间的小正方形的顶点.（1）求楔形体的表面积；（2）求平面APQ 与平面BNQ 的夹角的余弦值.【答案】（1）10+（2）26【解析】【分析】（1）由题意可知求出楔形体侧面等腰梯形的高即可求出表面积为10+（2）以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量即可求出平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为26.【小问1详解】易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，侧面是等腰梯形，其上底面边长为1，下底面边长为3=，所以该楔形体的表面积为()11133413102⨯+⨯+⨯+=+【小问2详解】以点D为坐标原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()3,0,0A，()3,3,0B，()1,2,3P，()1,1,3Q，()2,2,3N，则()2,2,3AP=-，()2,1,3AQ=-，()1,1,3BN=--，()2,2,3BQ=--.设平面APQ的法向量为()1111,,n x y z=，平面BNQ的法向量为()2222,,n x y z=，则111111112230230AP n x y zAQ n x y z⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得10y=，令12z=，则13x=，，所以平面APQ的一个法向量为()13,0,2n=，同理得22221222302230BN n x y zBQ n x y z⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，解得20z=，令21x=，则21y=-；即平面BNQ的一个法向量为()21,1,0n=-.设平面APQ与平面BNQ的夹角为θ，则1212cos26n nn nθ⋅===，所以平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为26.20.已知圆C 过()1,3M -，()1,1N 两点，且圆心C 在直线250x y +-=上.（1）求圆C 的方程；（2）设直线3y kx =+与圆C 交于A ，B 两点，在直线3y =上是否存在定点D ，使得直线AD ，BD 的倾斜角互补？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()22134x y -+-=（2）存在定点()3,3D -满足条件【解析】【分析】（1）先求MN 的中垂线所在直线方程，根据圆的性质求圆心和半径，即可得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意可得()121220kx x kt x x -+=，联立方程，利用韦达定理运算求解.【小问1详解】由题意得MN 的中点E 的坐标为()0,2，直线MN 的斜率为1-，因为CE MN ⊥，所以直线CE 的斜率为1，所以直线CE 的方程为2y x -=，即2y x =+，解方程组2250y x x y =+⎧⎨+-=⎩得13x y =⎧⎨=⎩，故()1,3C ，所以圆C 的半径2r CM ===，所以圆C 的方程为()()22134x y -+-=.【小问2详解】由()()223134y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 整理得()221230k x x +--=，可得()241210k ∆=++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221x x k +=+，12231x x k =-+.（*）设(),3D t ，则113AD y k x t -=-，223BD y k x t -=-（AD k ，BD k 分别为直线AD ，BD 的斜率）.因为直线AD ，BD 的倾斜角互补，所以0AD BD k k +=，即1212330y y x t x t--+=--，即()()()()1221330y x t y x t --+--=，即()121220kx x kt x x -+=，将（*）式代入得2262011k kt k k --=++，整理得()2301k t k+=+对任意实数k 恒成立，故30t +=，解得3t =-，故点D 的坐标为()3,3-.所以在直线3y =上存在定点()3,3D -满足条件..21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等边三角形，顶点P 在底面上的射影在正方形ABCD 外部，设点E ，F 分别为PA ，BC 的中点，连接BE ，PF.（1）证明：//BE 平面PDF ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为3，设点G 为棱PB 上的一个动点（不含端点），求直线AG 与平面PCD 所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）223.【解析】【分析】（1）取AD 的中点M ，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理即得.（2）利用给定体积求出锥体的高，以点M 为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】取AD 的中点M ，连接EM ，BM ，如图，由E 为PA 的中点，得//EM PD ，而EM ⊄平面PDF ，PD ⊂平面PDF ，则//EM 平面PDF ，又//MD BF ，且MD BF =，即四边形BMDF 为平行四边形，则//MB DF ，又MB ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，于是//MB 平面PDF ，显然MB EM M = ，,MB EM ⊂平面BEM ，因此平面//BEM 平面PDF ，又BE ⊂平面BEM ，所以//BE 平面PDF .【小问2详解】连接MF ，设该四棱锥的高为h ，则体积为21233h ⨯⨯=，h =，连接PM ，则,PM AD FM AD ⊥⊥，,,FM PM M FM PM ⋂=⊂平面PMF ，于是AD ⊥平面PMF ，而AD ⊂平面ABCD ，则平面PMF ⊥平面ABCD ，在平面PMF 内过M 作Mz FM ⊥，而平面PMF 平面ABCD FM =，从而Mz ⊥平面ABCD ，显然,,MA MF Mz 两两垂直，以点M 为坐标原点，直线,,MA MF Mz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Mxyz ，则PM =，(0,P -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，则(1,3,PB = ，(1,3,PC =- ，()0,2,0DC = ，设()01PG PB λλ=<< ，则(),3,PG λλ=，点)(),31G λλλ--，)()1,31AG λλλ=--- ，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则3020n PC x y n DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1z =，得()n = ，设直线AG 与平面PCD 所成的角为θ，则sin cos ,3n AG n AG n AG θ⋅=〈〉=== 令1t λ-=，则1t λ=-，且01t <<，因此sin 333θ===，所以当23t =，即13λ=时，sin θ取得最大值，且最大值为3.22.已知点()4,0E -，()1,0F -，动点P 满足2PEPF =，设动点P 的轨迹为曲线C ，过曲线C 与x 轴的负半轴的交点D 作两条直线分别交曲线C 于点,A B （异于D ），且直线AD ，BD 的斜率之积为13-.（1）求曲线C 的方程；（2）证明：直线AB 过定点.【答案】（1）224x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据2PE PF =设点代入即可得到曲线C 的方程；（2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到AB 方程，进而得到AB 过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到AB 过该定点即可.【小问1详解】设(),P x y ，由2PE PF =，得2PE PF ==，两边平方并化简，得曲线C 的方程为224x y +=.【小问2详解】由（1）得()2,0D -，设直线AD 、BD 的斜率分别为1k ，()212k k k >，如图所示，当AB 不垂直于x 轴时，设()1:2AD y k x =+，联立()22142x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，整理得()222211114440k x k x k +++-=，解得2x =-（舍）或2121221k x k -+=+，当2121221k x k -+=+时，21112211224211k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，所以2112211224,11k k A k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理得2222222224,11k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，所以AB 的斜率()()()()()()122222122112222222121221221244414111222221121111AB k k k k k k k k k k k k k k k k k -+-+++==---+--+-++()()()()1221122121124414k k k k k k k k k k k k ---==+-+，因为1213k k =-，代入可得()1243AB k k k =-+，故AB 的方程为()2112211214224131k k y x k k k k ⎛⎫--=-- ⎪+++⎝⎭，即()()()()()()()2211112222121121211218148412443133131k k k k k y x x k k k k k k k k k k k -++=-++=-++++++++，()()()()1212124441,333x x k k k k k k =-+=--+++故AB 过定点()1,0；当AB x ⊥轴时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，所以0012001223y y k k x x -=⋅=-++，即()220032y x =+，又因为2222000044x y y x +=⇒=-，代入可得20020x x +-=，解得01x =或02x =-（舍），所以((,1,A B（或((1,,1,A B ），所以AB 的方程为1x =，过点()1,0.综上，直线AB 过定点()1,0T。

2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卡上作答。

第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ）A.点A 和点B 关于x 轴对称 B.点A 和点B 关于平面对称C.点A 和点B 关于y 轴对称D.点A 和点B 关于平面对称2.已知空间向量，，，若，，共面，则实数m 的值为（ ）A.1B.0C.-1D.-23.已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y 轴交于点（0，2），则经y 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ）4.若点（-2，1）在圆的外部，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）A.B. C. D.6.已知椭圆C：（且），直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若（1，1）是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ）A.2B.4C.7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上，且满足，当且时，点P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，Oxyz ()2,1,4A --()2,1,4B ---Oyz Oxz ()2,1,3a =- ()1,2,2b =- ()1,,2c m =- a b cπ320y +-=20y ++=20y --=20y -+=220x y x y a ++-+=()2,-+∞(),2-∞-12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭()2a = 12b ⎛= ⎝a b )()(14⎛ ⎝2216x y m+=0m >6m ≠340x y +-=AB PA PB λ=0λ>1λ≠ABC △，且，当面积取得最大值时，（ ）C.D.8.已知点P 在椭圆C ：上（点P 不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C 的左、右焦点，交y 轴于点G ，且，则线段的长为（ ）A.B.C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）A.若，则或B.若，则C.若直线不经过第四象限，则D.若直线与x 轴负半轴和y 轴正半轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，则面积的最小值是2010.已知椭圆C ：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A ，B ，M 是椭圆C 上的一个动点（不与A ，B 重合），则（ ）A.离心率 B.的周长与点M 的位置无关C. D.直线与直线的斜率之积为定值11.如图，正方体的棱长为2，P 为上底面内部一点（包括边界），M ，N 分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）2AB =2CA CB =ABC △cos C =354522143x y +=1F 2F 2PF 112PF G GF F ∠=∠1PF 3253851l ()1230m x y m +++-=2l 220x my m ++-=12l l ∥1m =2m =-12l l ⊥23m =-1l 1m <-1l AOB △2214x y +=1F 2F 1e 2=12MF F △122MF -<<+MA MB 1111ABCD A B C D -1111A B C D AB BCA.当直线和直线所成的角是30°时，点PB.若平面，则C.若，则直线和底面所成的最大角是45°D.平面被正方体所截的截面形状是六边形第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知圆C 过，两点，且圆心C 在直线上，则该圆的半径为_________.13.已知实数x ，y 满足，则的取值范围为_________.14.已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程.（1）与直线：垂直；（2）两坐标轴上截距相反.16.（15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，M ，N 分别为，的中点，，.（1）求证：异面直线和垂直；（2）求点A 到平面的距离17.（15分）1AA AP AP ∥1B MN 1B P ()111111A P mA D m A B =+-AP ABCD 1D MN ()1,3A ()4,2B 30x y +-=1y =+14y x ++C ()222210x y a b a b+=>>1F 2F C 122F F c =P 12111PF PF c+=C l ()2,1A -l m 50x y +-=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PB BC 2AF AE PGFD EB GC===3AB PA ==EF MN MFG已知过点的直线与圆O ：相交于A ，B 两点.（1）若弦的方程；（2）在x 轴正半轴上是否存在定点Q ，无论直线如何运动，x 轴都平分?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（17分）如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.（1）求证：平面平面；（2）若点M 是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值.19.（17分）已知椭圆E ：的左、右焦点分别为，，离心率4.（1）求E 的标准方程；（2）过点的直线交E 于P ，Q 两点，若以为直径的圆过E 的右焦点，求直线的方程；（3）两条不同的直线，的交点为E 的左焦点，直线，分别交E 于点A ，B 和点C ，D ，点G ，H 分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O 为坐标原点）()1,0P l 224x y +=AB l l AQB ∠ABCD 2AB =BC =AC DAC △AC PAC △PB =PAC ⊥ABC PA MBC PAB ()222210x y a b a b+=>>1F 2F e =()2,0T PQ 2F PQ 1l 2l 1F 1l 2l AB CD 1l 2l 1k 2k 1240k k +=OGH △2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.题号12345678答案BDACABDC1.B 已知点A 和点B 的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点A 和点B 关于平面对称.故选B.2.D 由题意得，，即，所以，解得.故选D.3.A 由题意得，所求直线的斜率为y 轴交于点（0，2），则所求直线的方程为.故选A.4.C 由点（-2，1）在圆的外部，得，解得，故选C.5.A 向量在向量上的投影向量为.故选A.6.B 设，，则，将A ，B 的坐标代入椭圆方程得：，，两式相减，得：，变形为，又直线的斜率为，所以，即，因此椭圆的焦距为，故选B.Oyz c xa yb =+ ()()()1,,22,1,31,2,2m x y -=-+-122232x ym x y x y =-⎧⎪=+⎨⎪-=-+⎩012x y m =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭2y =+20y +-=220x y x y a ++-+=()()2222114021210a a ⎧+-->⎪⎨-+--+>⎪⎩122a -<<ab )212a bb a b b bb b⎛⋅⋅⋅=⋅== ⎝()11,A x y ()22,B x y 12122x x y y +=+=221116x y m +=222216x y m +=2222121206x x y y m--+=()()121212126m x x y y x x y y +-=--+AB 121213y y x x -=--12362m ⨯-=-⨯2m =4=7.D 由题意设，，，由化简得.∵，∴当时，面积最大，此时不妨设，则，.∴.故选D.8.C 根据对称，不妨设，.由题意得，，，则离心率，左准线方程为，所以，因为，所以由角平分线定理得，即，解得，所以.故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。