弦的横振动问题

§8.1弦的横振动问题一、引言二、方程的导出三、定解条件1.定解条件的必要性2.初始条件3.边界条件4.定解问题四、例题一、引言(展示)数学物理方程主要指从物理问题中导出的偏微分方程。

解决任何物理问题通常分三步：第一，把物理问题化为数学问题，即利用相应的物理规律导出方程并确定定解条件(初始条件和边界条件)；第二，求解数学问题，即求满足方程及定解条件的解；第三，给得出的结果以物理解释。

本章以弦振动问题为例，说明处理任何物理问题的过程与方法。

导出物理问题的偏微分方程的步骤是：首先把物理对象作适当简化，并确定表征该物理过程的物理量u，再从所研究的体系中划出任意的一小部分，根据相应的物理规律，分析邻近部分与这小部分的相互作用以及这种相互作用在短时间内如何影响物理量u，然后把这种相互作用与影响用数学式子表达出来，经过整理就得到该物理问题的偏微分方程——数学物理方程。

返回页首二、方程的导出(展示1234)在弦的横振动中，如果弦比较细，就可以抽象为一维问题来处理，又设弦是完全柔软的，即任意点处的张力总是沿着弦在该点的切线方向，这样分析力的作用就比较方便。

这根完全柔软的细弦，平衡时沿着一条直线绷紧，取这条直线为x轴，并以坐标x标志弦上各点。

设弦在同一平面内作微小横振动，表征这一振动过程的物理量是弦上x点在t时刻沿垂直于x方向的位移u(x，t)。

在弦上任取一小段x1x2(图8。

1)，设在t时刻成为弧长。

由于弦作微小振动，在精确到一阶无穷小时，可以认为在振动过程中，弦长没有发生变化，即(8.1-1)根据H o o k e定律，张力与伸长成正比，由于弦长不随时间变化，弦上各点的张力T亦不随时间变化。

设弦的线密度为，在垂直于x方向上作用于单位弦长上的外力为，则段弦的横向运动方程为(8.1-2)式中和分别表示在M1点M2点的弦的张力，和分别为在这两点的切线与x轴的夹角。

根据弦作微小振动的假定，有(8.1-3)(8.1-4)因此，有(8.1-5)将上式代入(8.1-2)式,可得由于x1、x2的任意性，被积函数为零，得出一般的弦的横振动方程(8.1-6)讨论：1）如果弦作完全横振动，则在纵向合力应为零，即(8.1-7)即张力与x无关。

弦振动的实验研究弦振动的实验研究弦是指⼀段⼜细⼜柔软的弹性长线，⽐如⼆胡、吉它等乐器上所⽤的弦。

⽤薄⽚拨动或者⽤⼸在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过⾳箱的共鸣,就会发出悦⽿的声⾳。

对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在⼯程技术上也有着极其重要的意义。

⽐如悬于两根⾼压电杆间的电⼒线、⼤跨度的桥梁等，在⼀定程度上也是⼀根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。

对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从⽽对其加以控制。

同时，弦的振动也提供了⼀个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。

欧拉最早提出了弦振动的⼆阶⽅程，⽽后达朗贝尔等⼈通过对弦振动的研究开创了偏微分⽅程论。

本实验意在通过对⼀段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。

预备问题1．复习DF4320⽰波器的使⽤。

2．什么是驻波？它是如何形成的？3．什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？4．张⼒对波速有何影响？试⽐较以基频和第⼀谐频共振时弦中的波速。

⼀、实验⽬的：1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波；2、学会测量弦线上横波传播速度的⽅法：3、⽤作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张⼒的关系。

⼆、实验原理⼀根两端固定并张紧的弦，静⽌时处于⽔平平衡位置，当在弦的垂直⽅向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作⽤下，弦将在平衡位置附近振动。

令弦线长度⽅向为x 轴，弦被拉动的⽅向（与x 轴垂直的⽅向）为y 轴，如图1所⽰。

若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张⼒为T ，对⼀⼩段弦线微元dl 进⾏受⼒分析，运⽤⽜顿第⼆定律定律，可得在y ⽅向的运动微分⽅程()2222tydx dx x y T ??=??ρ（1）若令ρ/2T v =，上式可写为222221tyv x y ??=?? （2）y 图1（2）式反映了弦的位移y 与位置x 、时间t 的关系，其中)/(ρT v =代表了在弦线上横波传播的波速。

大学物理《弦振动》实验报告（报告内容：目的、仪器装置、简单原理、数据记录及结果分析等）一.实验目的1.观察弦上形成的驻波2.学习用双踪示波器观察弦振动的波形3.验证弦振动的共振频率与弦长、张力、线密度及波腹数的关系二.实验仪器XY弦音计、双踪示波器、水平尺三实验原理当弦上某一小段受到外力拨动时便向横向移动，这时弦上的张力将使这小段恢复到平衡位置，但是弦上每一小段由于都具有惯性，所以到达平衡位置时并不立即停止运动，而是继续向相反方向运动，然后由于弦的张力和惯性使这一小段又向原来的方向移动，这样循环下去，此小段便作横向振动，这振动又以一定的速度沿整条弦传播而形成横波。

理论和实验证明，波在弦上传播的速度可由下式表示：=ρ1------------------------------------------------------- ①另外一方面，波的传播速度v和波长λ及频率γ之间的关系是：v=λγ-------------------------------------------------------- ②将②代入①中得γ=λ1-------------------------------------------------------③ρ1又有L=n*λ/2 或λ=2*L/n代入③得γn=2L------------------------------------------------------ ④ρ1四实验内容和步骤1.研究γ和n的关系①选择5根弦中的一根并将其有黄铜定位柱的一端置于张力杠杆的槽内，另一端固定在张力杠杆水平调节旋钮的螺钉上。

②设置两个弦码间的距离为60.00cm，置驱动线圈距离一个弦码大约5.00cm的位置上，将接受线圈放在两弦码中间。

将弦音计信号发生器和驱动线圈及示波器相连接，将接受线圈和示波器相连接。

③将1kg砝码悬挂于张力杠杆第一个槽内，调节张力杠杆水平调节旋钮是张力杠杆水平（张力杠杆水平是根据悬挂物的质量精确确定，弦的张力的必要条件，如果在张力杠杆的第一个槽内挂质量为m的砝码，则弦的张力T=mg，这里g 是重力加速度；若砝码挂在第二个槽，则T=2mg；若砝码挂在第三个槽，则T=3mg…….）④置示波器各个开关及旋钮于适当位置，由信号发生器的信号出发示波器，在示波器上同时显示接收器接受的信号及驱动信号两个波形，缓慢的增加驱动频率，边听弦音计的声音边观察示波器上探测信号幅度的增大，当接近共振时信号波形振幅突然增大，达到共振时示波器现实的波形是清晰稳定的振幅最大的正弦波，这时应看到弦的震动并听到弦振动引发的声音最大，若看不到弦的振动或者听不到声音，可以稍增大驱动的振幅（调节“输出调节”按钮）或改变接受线圈的位置再试，若波形失真，可稍减少驱动信号的振幅，测定记录n=1时的共振频率，继续增大驱动信号频率，测定并记录n=2,3,4,5时的共振频率，做γn图线，导出γ和n的关系。

弦振动的实验研究弦是指一段又细又柔软的弹性长线，比如二胡、吉它等乐器上所用的弦。

用薄片拨动或者用弓在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过音箱的共鸣,就会发出悦耳的声音。

对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在工程技术上也有着极其重要的意义。

比如悬于两根高压电杆间的电力线、大跨度的桥梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。

对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从而对其加以控制。

同时，弦的振动也提供了一个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。

欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，而后达朗贝尔等人通过对弦振动的研究开创了偏微分方程论。

本实验意在通过对一段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。

预备问题1． 复习DF4320示波器的使用。

2． 什么是驻波？它是如何形成的？3． 什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？4． 张力对波速有何影响？试比较以基频和第一谐频共振时弦中的波速。

一、 实验目的：1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波；2、学会测量弦线上横波传播速度的方法：3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力的关系。

二、实验原理一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。

令弦线长度方向为x 轴，弦被拉动的方向（与x 轴垂直的方向）为y 轴，如图1所示。

若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张力为T ，对一小段弦线微元dl 进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在y 方向的运动微分方程()2222tydx dx x y T ∂∂=∂∂ρ （1） 若令ρ/2T v =， 上式可写为222221tyv x y ∂∂=∂∂ （2）y 图1（2）式反映了弦的位移y 与位置x 、时间t 的关系，其中)/(ρT v =代表了在弦线上横波传播的波速。

大学物理《弦振动》实验报告大学物理《弦振动》实验报告（报告内容：目的、仪器装置、简单原理、数据记录及结果分析等）一.实验目的1.观察弦上形成的驻波2.学习用双踪示波器观察弦振动的波形3.验证弦振动的共振频率与弦长、张力、线密度及波腹数的关系二.实验仪器XY弦音计、双踪示波器、水平尺三实验原理当弦上某一小段受到外力拨动时便向横向移动，这时弦上的张力将使这小段恢复到平衡位置，但是弦上每一小段由于都具有惯性，所以到达平衡位置时并不立即停止运动，而是继续向相反方向运动，然后由于弦的张力和惯性使这一小段又向原来的方向移动，这样循环下去，此小段便作横向振动，这振动又以一定的速度沿整条弦传播而形成横波。

理论和实验证明，波在弦上传播的速度可由下式表示：=ρ1------------------------------------------------------- ①另外一方面，波的传播速度v和波长λ及频率γ之间的关系是：v=λγ-------------------------------------------------------- ②将②代入①中得γ=λ1-------------------------------------------------------③ ρ1又有L=n*λ/2 或λ=2*L/n代入③得γn=2L------------------------------------------------------ ④ ρ1四实验内容和步骤1.研究γ和n的关系①选择5根弦中的一根并将其有黄铜定位柱的一端置于张力杠杆的槽内，另一端固定在张力杠杆水平调节旋钮的螺钉上。

②设置两个弦码间的距离为60.00cm，置驱动线圈距离一个弦码大约5.00cm的位置上，将接受线圈放在两弦码中间。

将弦音计信号发生器和驱动线圈及示波器相连接，将接受线圈和示波器相连接。

③将1kg砝码悬挂于张力杠杆第一个槽内，调节张力杠杆水平调节旋钮是张力杠杆水平（张力杠杆水平是根据悬挂物的质量精确确定，弦的张力的必要条件，如果在张力杠杆的第一个槽内挂质量为m的砝码，则弦的张力T=mg，这里g是重力加速度；若砝码挂在第二个槽，则T=2mg；若砝码挂在第三个槽，则T=3mg…….）④置示波器各个开关及旋钮于适当位置，由信号发生器的信号出发示波器，在示波器上同时显示接收器接受的'信号及驱动信号两个波形，缓慢的增加驱动频率，边听弦音计的声音边观察示波器上探测信号幅度的增大，当接近共振时信号波形振幅突然增大，达到共振时示波器现实的波形是清晰稳定的振幅最大的正弦波，这时应看到弦的震动并听到弦振动引发的声音最大，若看不到弦的振动或者听不到声音，可以稍增大驱动的振幅（调节“输出调节”按钮）或改变接受线圈的位置再试，若波形失真，可稍减少驱动信号的振幅，测定记录n=1时的共振频率，继续增大驱动信号频率，测定并记录n=2,3,4,5时的共振频率，做γn图线，导出γ和n的关系。

弦振动频率计算公式推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：弦振动频率是指弦在振动时产生的频率，它是弦的长度、材质、张力等因素共同作用的结果。

在物理学中，弦振动频率的计算是一个重要的问题，它可以帮助我们了解弦的振动特性以及音乐乐器的原理。

为了计算弦的振动频率，我们需要首先推导出弦振动频率的计算公式。

在这里，我们将通过弦的基本原理和波动方程来推导这个公式。

我们假设一根长度为L、质量为m的弦被拉紧，并在两端固定。

弦上的振动可以被描述为横波传播，其波速v可以用张力T和线密度μ来表示：v = √(T/μ)弦的振动频率f可以用波速v和波长λ来表示：f = v/λ我们知道波长λ与弦的长度L有关系：其中n为弦的振动模态数。

当n=1时，弦的整数倍分之一波长的振动称为基频振动，也称为第一次共振；当n=2时，弦的整数倍分之二波长的振动称为第二次共振，如此类推。

将λ带入频率计算公式中，得到：将波速v的公式代入，得到：f = (1/2L)√(T/μ) * n这就是弦振动频率的计算公式。

从这个公式可以看出，弦振动频率与弦的长度L、张力T、线密度μ以及振动模态数n有关。

当我们改变这些参数时，弦的振动频率也会相应改变。

通过这个公式，我们可以更好地理解弦的振动特性，并且可以应用于乐器的设计和制作中。

通过调节张力和长度，可以改变乐器的音调，使得音乐更加美妙动听。

弦振动频率的计算公式是一个重要的物理公式，它可以帮助我们理解弦的振动原理和音乐乐器的工作原理。

希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解弦振动频率的计算方法，并且能够应用于实际问题中。

【这是我对于弦振动频率计算公式的一些理解，希望能够对您有所帮助。

】第二篇示例：弦振动是物理学中常见的一种现象，例如吉他、小提琴等乐器中的琴弦就是一种典型的弦振动系统。

在弦振动中，弦线上的每一个微小的部分都在进行横向振动，形成一系列波动。

而弦振动的频率则是指每秒钟弦线振动的次数，是描述弦振动特性的重要参数之一。

弦的横振动方程弦的横振动方程物理问题：有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动，列出弦的横振动方程。

取弦的平衡位置为x轴，令其端点坐标为x = 0和x = l。

设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的横向位移，在线上隔离出长为dx的一小段弦元，弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点。

弦是完全柔软的：该质点只在弦的切线方向受到两端随时间与位置变化的力T(x, t)的作用，这个张力是切向应力。

我们忽略了法向应力和重力作用。

我们将T沿着水平方向与竖直方向分解，由于做横振动的弦在水平方向上没有运动，所以方程为小振动：x + dx与x两点间任意时刻横向位移之差u(x + dx, t) - u(x, t)与dx 相比是一个小量，也就是相邻两点位移之差比起两点之间的距离来讲是一个小量，即这个式子也是切线的斜率，所以所以，由水平方向的运动方程可以得到在x + dx和x处的拉力是相同的，即弦中各点张力与空间无关。

对于竖直方向上（位移u的方向上）的运动方程，我们有这里用了中值定理与极限。

最终我们导出了弦振动的方程：其中ρ是弦的线密度（单位长度的质量）。

进一步的，我们定义有通过考察量纲，我们可以发现a就是弦的振动传播速率。

其实在小振动近似（准确到一级项u / x）下，弦元的伸长是一个二阶无穷小量，我们将其忽略，所以弦元长度不随时间变化，张力T也不随时间变化。

当振动受到重力或者粘滞阻力，这些力一般沿着位移u的方向。

设单位长度受到的外力为f，我们的公式为因此，最终方程为新出现的非齐次项为单位质量所受外力。