方程函数思想在初中数学中的应用

函数与方程思想在初中数学解题中的应用张猛【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。

它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。

本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。

关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。

近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。

其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。

学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。

一：函数与方程思想的地位与作用函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。

在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。

用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。

函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。

目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。

函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。

本文例析函数与方程思想在解题中的应用:二：函数与方程思想的应用案例通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。

1 求代数式的值例1 已知22a b ==+求22(3124)(2813)a a b b -+-+的值。

解：因为24,1,,410a b ab a b x x +==-+=所以为方程的两个根。

当x a =时，2410.a a -+=可得2231243(41)11a a a a -+=-++=；当x b =时，222410.28132(41)1111b b b b b b -+=-+=-++=可得∴ 原式=1⨯11=11。

数学思想在初中数学应用题中的应用分析【摘要】初中数学中，方程和函数是密切相关的，解方程f（x）=0就是求函数y=f（x）当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f（x）=g（x）的根或根的个数就是求函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点或交点个数；合参数的方程f（x， y，t）=0和参数方程更是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。

它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。

正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。

本文通过探讨初中数学中的函数与方程思想，并结合具体数学实例说明方程函数思想中的应用。

【关键词】方程函数初中数学在初中数学中，方程与函数是很重要的知识，对各种方程和函数作系统的学习研究对初中数学的学习是至关重要的。

方程函数思想是解决现实生活中数量关系和变化规律的重要思维方式。

函数思想在中考中的应用主要是函数的概念，性质及图象的应用，包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。

方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。

包括待定系数法、换元法、转换法和构造方程法四个方面。

例1：已知函数y=x3的图象，求解方程x3-x2+1=0。

分析：由于题目中的方程式出现x三次方和平方并存的局面，同时没有x，单纯运用方程式理论对于初中生来说不易解决，而如果可以将已知条件中的函数图象与方程结合出来，却完全可以达到事半功倍的效果。

错误解法：完全运用方程的思想。

x3-x2+1=0 → x2（x-1）+1=0 → x2（x-1）=-1进行初步分析，当x=0时，-1不等于0，此式不成立，而等式的右边是-1，左边出现了x2这个目前完全大于0的数，所以可以得出：x=0不成立，x2>0 → x-1=-1 → x=0 ？这里你没有看错，先前我们假定x不等于0的条件现在却被我们证明了其等于0，这必然证明了我们的结论是错误的。

谈谈初中数学中常用的数学思想在初中数学中，常用的数学思想有：数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。

教学中逐步渗透数学思想方法，培养学生思维能力，是进行数学素质教育的一个切入点。

一、数形结合的思想数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

由以上的例子，我们可以看出数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得形象直观。

二、方程与函数的思想方程与函数的思想解决数学问题的一个有力工具。

用函数和方程的思想来解决问题，往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了。

例：某公司到果园基地购买某种优质水果，果园基地对购买量在3000㎏以上（含3000㎏）的有两种销售方案。

方案一：每千克9 元，由基地送货上门；方案二：每千克8 元，由顾客自己租车运回。

已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000 元。

（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(㎏)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。

分析：由题意易得方案一与方案二对应的函数关系式为y1=9x与y2=8x+5000，再根据y1与y2的大小关系选择付款最少的购买方案。

解：（1）方案一，y1=9x；方案二，y2=8x+5000，x≥3000㎏．(2)9x=8x+5000，x=5000；当x=5000㎏时，y1=y2。

两种方案付款一样；当x﹥5000㎏时，y1﹥y2，选择方案二付款最少；当3000≤x﹤5000，y1﹤y2，选择方案一付款最少。

三、分类讨论的思想分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。

此方法可以训练学生思维的全面性，克服思维的片面性，防止漏解。

运用分类讨论思想时，分类要准确、全面、不重、不漏。

在初中数学教学中方程函数思想的运用作者：刘昭慧来源：《数理化学习·教育理论版》2013年第04期摘要：在初中数学教学中，方程与函数是十分基础且重要的内容.方程函数思想的灵活运用，能够将数学问题化繁为简，令我们的解题思路清晰明了，迅速找到正确合理的解题方法.本文就方程函数思想在初中数学教学中的运用，提出作者肤浅的见解，以期与广大同行交流沟通.关键词：初中数学；方程函数思想；概念；运用一、方程函数思想的概念所谓方程思想，是指以问题的数量关系为切入点，利用题目中所提供的已知条件，通过数学语言，将问题转化为方程（组）、不等式（组）或者方程与不等式的混合组等来求解的方法；所谓函数思想，是指通过构造一次函数、反比例函数、二次函数等来求解的方法.方程与函数虽然是两个不同的概念，但是在具体的解题过程中，二者相互渗透，相辅相成，在一定条件下还可以相互转化.因此，在一般情况下，我们把这两种思想统一起来，称为方程函数思想.二、方程函数思想在初中数学教学中的运用（一）方程函数思想的形成在数学教学中，我们要从以下几个方面入手，帮助学生形成方程函数思想：1. 夯实基础，提高认识在日常教学中，要重视学生对基础知识的掌握，只有将方程、函数、不等式等的性质与用法烂熟于心，才能在具体的解题过程中对其灵活运用，综合把握.2. 提高方程函数思想意识要在日常教学与练习中，着重培养学生运用数学方法去挖掘题目中的隐含条件，进而构建方程或函数的能力.帮助他们在形成解题技巧的同时，提高自身的观察能力、逻辑思维能力和发散思维能力.3. 培养学生创新思维能力数学是十分灵活多变的一门学科，只有不断提高学生的创新思维能力，才能做到触类旁通，举一反三，将公式、定理和已知条件做到活学活用.（二）方程函数思想在初中数学教学中的具体应用下面我们通过一些实例，来具体分析方程函数思想在初中数学教学中的运用.1.利用方程或方程组解题例1现有一“鸡兔同笼”问题，从上面数，有头35个，从下面数，有脚94只，请问笼中有鸡和兔各多少只？解析：要解决这一问题，需要根据已知条件寻求数量上的隐含关系.本题可以用方程或方程组来解决.解法1：假设有鸡x只，则有兔35-x只，得出方程：2x+（35-x）×4=94.解法2：假设有鸡x只，有兔y只，得出方程组：x+y=35；2x+4y=94通过求解方程或者方程组，可以得出有鸡23只，有兔12只.（二）利用函数解题例2赵强拥有一家玩具熊销售公司.他所销售的玩具熊每件进价20元，在销售过程中赵强摸索出每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以用一次函数：y=-10x+500来表示.假设赵强每月的销售利润为M（元），试问每件玩具熊的定价为多少元时，他可获得最大利润？解析：根据题目中所给条件，我们可以得出一个二次函数，通过求解二次函数，可以得到答案.解法：M-（x-20）×y=（x-20）×（-10x+500）=-10x2+700x-10000，x=-b/2a=35.由此得出答案，定价应为35元时，赵强可获得最高利润.（三）利用函数与不等式解题例3接例题2，根据相关规定，赵强所经营的这一类玩具熊每个单价不得超过32元，如果赵强每月想获得不低于2000元的利润，那么每月成本最低需要多少钱？分析：根据已知条件和问题，我们发现，解决这一问题需要利用到一次函数、二次函数和不等式性质三个知识点相结合.解法：因为a=-10（四）利用函数与方程相转化的方法解题在上文中我们提到，在一定条件下，函数与方程可以相互转换.在一些时候，从函数的角度看方程，或者用方程的观点看函数，也能使解题达到事半功倍的效果.例4k取何值时，能令方程x2-3x+k的根一个大于1，一个小于1？分析：从表面上看，这是一个方程问题，然而，如果我们能利用函数的性质来解题，采取数形结合的方法，则可以从很大程度上简化解题过程.解法：由已知条件我们可以将方程x2-3x+k的根看成是使函数y=x2-3x+k=0的值为0的自变量的值，也就是说抛物线与x轴的交点.根据所画抛物线可知，抛物线开口向上，那么当x=1，y总之，在新课程标准指导下的初中数学教学，已经不仅仅满足于教给学生定理、公式及其简单用法的层面，而是要在夯实基础知识的同时，培养学生的逻辑思维能力、发散思维能力和创造力，以及他们运用课堂所学的数学知识，解决生活中实际问题的能力.方程函数思想在初中数学教学中的应用，正是按照新课标的这一要求，让学生在掌握数学知识的同时，对知识能够抽象分析、综合运用，灵活掌握，做到举一反三、游刃有余.[江西省九江市第三中学（332000）]。

第7讲：函数与方程思想【写在前面】方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容． 【典型例题】【例1】 如图：在△ABC 中，BA=BC=20 cm ，AC=30 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 以每秒4 cm 的速度向点B 运动；同时Q 点从C 点出发，沿CA 以每秒3 cm 的速度向点A 运动．设运动的时间为x 秒．(1)当x 为何值时，PQ ∥BC? (2)△APQ 能否与△CQB 相似?(3)若能．求出AP 的长；若不能．请说明理由．【解】(1)根据题意AP=4xcm ，AQ=A C －QC=(30－30x)cm ，若PQ ∥BC ，则AP AQAB AC=． 则43032030x x -=，解得103x =．所以当103x =s 时，PQ ∥BC ． (2)因为∠A=∠C ，所以当AP AQ CQ CB =或AP AQCB CQ=时，△APQ 能与△CQB 棚以． ①当AP AQCQ CB=时，4303320x x x -=，解得109x =． ②当AP AQCB CQ=时，4303203x x x -=，解得x 1=5，x 2=－10(舍去)．所以AP=4x=20． 所以当409AP =cm 或20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似． 【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．【例2】某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=a x 2+bx ，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的维修、保养费为4万元． (1)求y 的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 【解】 (1)由题意，把x=1时，y=2和x=2时，y=2+4=6，代入y=a x 2+bx ，得2426a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以y=x 2+x (2)设y ′=33x －100－x 2－x ，则y ′=－x 2+32x －100=－(x －16) 2+156．由于当1≤x ≤16时，y ′随x 的增大而增大，且当x=1、2、3时，y ′的值均小于0，当x=4时，y ′=－12 2+156>0，已知投产后该企业在第4年就能收回成本． 【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y 是从第1年到第x 年的维修、保养费用总和．【例3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，该村实行合作医疗制度，村委会规定：(一)每位村民年初交纳合作医疗基金a 元；(二)村民个人当年治疗花费的医疗费(以医院的收据为准)，年底按下列办法处理．设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y 元．(1)当0≤x ≤b 时，y=________；当b<x ≤5000时，y=_______(用含a 、b 、c 、x 的代数式表示) (2)下表是该村3位村民2008年治疗花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中的数据，求a 、b 、c 的值；写出y 与x 之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承担医疗费为多少元．(3)下表是小强同学一家2006年治疗花费的医疗费用：请你帮助小强计算参加合作医疗保险后村集体为他们家所承担的费用．【解】(1)a a+(x－b)c％(2)假设b≤40，则()()()4030(1)9050(2)15080(3) a b ca b ca b c+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩②－①得，c=40，③－②得，c=50，结果矛盾，∴b>40，这样①不成立，应为a=30，代入②和③中，解得c=50，b=50．∴当0≤x≤50时，y=30；当50<x≤5000时，y=30+(x－50)50％=0．5x+5；当x>5000时，y=2505，∴村民个人一年最多承担医疗费为2505元；(3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和(0．5×200+5)+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承担的药费360－250=110(元)．【解题反思】本题的关键是确定a的范围，这里采用了反证法来说明b>40．【综合训练】1．如果关于x的方程3211axx x=-+-无解，则a的值为__________．2．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．3．如图，△ABC中，AC=4，AB=5，D是线段AC上一点(点D不与点A重合，可与点C重合)，E是线段AB上一点，且∠ADE=∠B．设AD=x，BE=y．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)写出y的取值范围．4．如图，某农场要用总长24 m的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为xm，面积为S m2；(1)求S关于x的函数关系式；(2)若鸡场的面积为45 m2，试求出鸡场的宽AB的长；(3)鸡场的面积能否达到50 m2?若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由．5．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间t(分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．6．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力的促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，需费用120万元；若甲队单独做20天后，剩下的工程由乙队做，还需40天才能完成，这样需要费用110万元．问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元?7．已知，关于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2)，若y是关于m的函数，且y=x2－2x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当m满足什么条件时，y≤－m+3?8．已知：△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若关于x 的方程x 2－2(b+c)x+2bc+a 2=0有两个相等的实数根，且△ABC 的面积为8，a = (1)试判断△ABC 的形状并求b 、c 的长；(2)若点P 为线段AB 边上的一个动点，PQ ∥AC 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点B 与线段MN 不在线段PQ 的同侧，设正方形PQMN 与△ABC 的公共部分的面积为S ，BP 的长为x ．①试写出S 与x 之间的函数关系式； ②当P 点运动到何处时，S 的值为3．9．(02镇江)已知抛物线y=a x 2+bx+c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求此抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线． (2)若点(x 0，y 0)在抛物线上，且0≤x 0≤4，试写出y 0的取值范围．(3)设平行于y 轴的直线x=t 交线段BM 于点P(点P 能与点M 重合，不能与点B 重合)，交x 轴于点Q ，四边形AQPC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围．②求S 取得最大值时，点P 的坐标．③设四边形OBMC 的面积为S ′，判断是否存在点P ，使得S=S ′． 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．10．已知动点P(2m －1，－2m+3)和反比例函数ky x=(k<0)． (1)若对一切实数m ，动点P 始终在一条直线l 上，试求l 的解析式．(2)设O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，与y 轴相交于点N ，与反比例函数的图象相交于A ，B 两点(点A 在第四象限)．①证明：△OAM ≌△OBN ；②如果△AOB 的面积为6，求反比例函数解析式．【参考答案】1．2和3 2．6cm 3．(1)455y x =-+ (2)955y ≤< 4．(1)S=x(24－3x)=－3x 2+24x(x ≥4)； （2）－3x 2+24x=45，解得：x 1=3(舍去)，x 2=5，∴鸡场的宽AB 的长为5米．(3)－3x 2+24x=50，3x 2－24x+50=0，△=242－4×3×50<0∴此方程无实数解，∴鸡场的面积不能达到50米2．5．(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨的油，全部加给运输飞机需10分钟． (2)设Q 1=kt+b ，则406910b k b =⎧⎨=+⎩， 2.940k b =⎧∴⎨=⎩，∴Q=2．9t+40(0≤t ≤10)．(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0．1吨，∴10小时的耗油量为10×60×0．1=60(吨)<69(吨)，∴油料够用．6．(1)30 120 (2)135 607．(1)△=(3m+2) 2－4×m ×(2m+2)=m 2+4m+4=(m+2) 2m>0，∴ (m+2) 2>0，即A>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 1=1，222x m =+，∴ 2122y x x m=-=． (3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出2y m=和y=－m+3的图象，观察图象得： 当1≤m ≤2时，y ≤－m+3．8．(1)△ABC 是等腰直角三角形，b=c=4；(2)①当0<x ≤2时，S=x 2；当2<x ≤4时，S=－x 2+4x 3． 9．(1)y=－x 2+2x+3，M(1，4)，图略． (2)－5≤y 0≤4 (3)①29322t S t =-++(1≤t<3) ②9342⎛⎫ ⎪⎝⎭， ③不存在．15'2S =，若S=S ′， 则29315222t t -++=，整理得29602t t -+=．812404∆=-<，∴此方程没有实数根，∴不存在点P ，使得S=S ′．10．(1)设l ：y=k ′x+b ，当m=0时，P 1 (－1，3)，当m=1时，P 2(1，1)，带入l ：y=k ′x+b 得，3'1'k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得'12k b =-⎧⎨=⎩，∴l ：y=－x+2，经检验满足条件．(2)①解方程组2k y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得x 2－2x+k=0，解得1A x =1B x =1A y =1B y =OA =OB =．∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ；M(2，0)，N(0，2)，∴OM=ON ，∴∠OMN=∠ONM=45°，∴∠ONB=∠OMA=135°，∴△OA M ≌△OBN ． ②26AOBMONAPMSSS=+=，又12222MO NS=⨯⨯=，2AOMS∴=，代入得：(1122⨯-⨯3=，∴k=－8，∴反比例函数的解析式为8y x=-．。

中考数学专题复习—方程思想【写在前面】在初中数学中，方程与函数是很重要的知识，对各种方程和函数作系统的学习研究对初中数学的学习是至关重要的。

方程函数思想是解决现实生活中数量关系和变化规律的重要思维方式。

本文通过探讨初中数学中的函数与方程思想，并结合具体数学实例说明方程函数思想中的应用。

方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思想方法。

方程思想在初中数学的多个知识点中均有体现，并且应用其解题可以使问题由复杂变得简单，易懂，易于求解。

方程思想也是解几何计算题的重要策略。

方程思想的实质：把问题中的已知量与未知量之间的数量关系，运用数学符号语言转化为方程模型，使问题得到解决。

运用方程思想解题的一般步骤： （1） 把问题归结为确定一个或几个未知数；（2） 挖掘问题中已知量与未知数量之间的等量关系，建立方程； （3） 求解或讨论所得方程；（4） 检验并作出符合问题实际的回答。

应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力；③要掌握运用方程思想解决问题的要点。

【教学目标】1、体会方程思想解题的本质想法和一般步骤；2、品味利用方程思想解题的独特魅力；3、学会并掌握方程思想解题的步骤和切入点。

【教学重难点】方程思想的本质和一般步骤 【教学过程】一．方程思想在代数问题中的应用 （1）整式与方程思想1．已知25A x mx n =-+，2321B y x =-+-，若A B +中不含有一次项和常数项，则222m mn n -+的值为2．单项式2343m n m n xy ++与422y x -是同类项，则m n 的值为3．若n ma a a a ++=+-2)5)(3(，则,m n 的值分别为（ ）A.5,3-B.15,2-C.15,2--D.15,2 4．若2(a 与1b -互为相反数，则1b a-的值为 （2）函数与方程思想5．若函数215mm y mx --=+是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m第8题6．已知反比例函数ky x=与一次函数2y x k =+的图像的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 7．已知点(1,)P m 在正比例函数2y x =的图像上，那么点P 的坐标为 8．如图，反比例函数xk=y （k ＞0）与一次函数b x 21y +=的图象相交于两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),线段AB 交y 轴与C ，当|1x －2x |=2且AC = 2BC 时，k 、b 的值分别为（ ） A.k ＝21,b ＝2 B.k ＝94,b ＝1 C.k ＝13,b ＝13 D.k ＝94,b ＝139．如图，一次函数n kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于点A （6，0）和B （0，32），线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D （1）试确定这个一次函数关系式；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式。

函数思想在中学数学中的应用在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.一，利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举例来看一下:例1.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，m，k∈N *，且m≠k，若S m=S k=a, 则S m+k =().-2a D. 0A. aB. 2aC.解析：由于{a n}是等差数列，所以S n是关于n的二次函数，设S n=f(n)=An 2+Bn(A≠0)，∵S m=S k=a，∴f(m)=f(k)，∴f(n)的对称轴为n=m+k2，∴f(m+k)=f(0)=0，即S m+k =0，选 D .评析：解本题的关键是建立目标函数f(n)，因为等差数列的前n项和是关于n的二次函数，利用二次函数的对称性就可以解出这道题．二．利用函数思想解决解析几何问题在解析几何中常遇到动态型的问题。

在变化过程中，存在两个变量，我们常常把某一个看做自变量，另一个看做自变量的函数，通过明确函数的解析式，利用函数思想来研究和处理问题例2.若抛物线y=-x 2+mx-1和两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．解析：线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)由y=-x 2+mx-1, y=-x+3(0≤x≤3）消去y得x 2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3).∵抛物线和线段AB有两个不同的交点，∴方程x 2-(m+1)x+4=0在［0,3］上有两个不同的解.设f(x)=x 2-(m+1)x+4，则f(x)的图像在［0,3］上与x轴有两个不同的交点，∴Δ=(m+1) 2-16＞0,0＜m+12＜3,f(0)=4＞0,f(3)=9-3(m+1)+4≥0.解得3＜m≤10三．利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：例3.已知不等式7x-2>m(x 2-1)对m∈［-2,2］恒成立,求实数x的取值范围．解析：设f(m)=(x 2-1)m-7x+2，f(m)是关于m的一个函数，其图像是直线.依题意，f(m)<0对m∈［-2,2］恒成立.当-2≤m≤2时，y=f(m)的图像是线段，该线段应该全部位于x轴下方，其充要条件是端点的纵坐标小于0，即f(-2)＜0， f(2)＜0，解得12＜x＜72.即适合题意的x的取值范围是（12,72）四。

方程函数思想在初中数学中的应用方程函数是数学中的重要思想和工具，具有广泛的应用。

在初中数学教学中，方程函数思想被广泛运用于各个章节和知识点，如代数基础、线性方程与不等式、二次函数、比例与相似等。

本文将就方程函数思想在初中数学中的应用进行详细介绍。

一、代数基础在初中数学教学中，方程函数思想首先运用在代数基础中。

对于代数表达式的简化与展开，通过数学符号和运算来描述实际问题，并通过方程函数的思想解决这些问题。

例如：1.简化与展开代数式：通过方程函数思想，我们可以简化和展开各种代数式，使其更加简明和易于理解。

比如，将多项式进行因式分解、将代数式进行化简等。

这些操作都涉及到方程函数的思想和运算。

2.代数方程的建立与求解：通过将实际问题转化为代数方程，再通过方程函数的求解方法解决问题。

例如，小明的年龄是小红年龄的三倍减去2，用方程函数表示就是3x-2=5，解得x=2，即小明的年龄是2岁。

二、线性方程与不等式线性方程和不等式是初中数学中的重要内容，方程函数思想也被广泛应用于相关的知识点。

1.线性方程的解：通过方程函数的思想，我们可以解线性方程，找到方程的解集。

例如，2x+3=7，通过方程函数解得x=2，即方程的解集是{x=2}。

2.线性不等式的解集：通过方程函数的思想，我们可以解线性不等式，找到不等式的解集。

例如，3x-2>4，通过方程函数解得x>2，即不等式的解集是x的全部大于2的实数。

三、二次函数在二次函数的学习中，方程函数思想发挥了重要作用。

1. 求解二次方程：二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程。

通过方程函数的思想，我们可以解二次方程，找到方程的解集。

例如，x^2-5x+6=0，通过方程函数解得x=2或x=3，即方程的解集是{x=2, x=3}。

2.二次函数图像与性质：通过方程函数的思想，我们可以求解二次函数的图像、顶点、对称轴等性质。

例如，y=x^2-4x+3，通过方程函数解得函数的顶点坐标是(2,-1)，它的对称轴是x=2，函数的图像是开口向上的抛物线。