(精品)北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题160

1等腰三角形知识点1 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)．用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．定理的证明：取BC 的中点D ，连接AD ．∵∴△ABD ≌△ACD (SSS)．(),()()AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩中中中中中义中中中边中∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等)．定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．拓展 等腰三角形还具有其他性质．(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则＜a ．2b (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ，底角为∠B ，∠C ，则∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－2∠B ＝180°－2∠C ．知识点2 等腰三角形的性质定理的推论推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．(1)用符号语言表示为：如图1－3所示，①在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，∴AD ⊥BC ．BD ＝DC ；②在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠1＝∠2，BD ＝DC ；③在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴∠1＝∠2，AD ⊥BC ．(2)推论1的证明．①在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS)．∴BD ＝DC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∴AD ⊥BC ．②在△ABC 中，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．又AD ＝AD ，∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (AAS)．∴∠1＝∠2，BD ＝CD ．③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．(1)用符号语言表示为：如图1－4所示，在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．(2)推论2的证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．∴∠A＝∠B＝∠C．又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．知识点3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC判定定理的证明：如图1－6所示．过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB＝AC．√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．拓展如图1－6所示，在△ABC中，(1)如果AD⊥BC，∠1＝∠2，那么AB＝AC；(2)如果AD⊥BC，BD＝DC，那么AB＝AC；(3)如果∠1－∠2，BD ＝DC ，那么AB ＝AC ．知识点4 等腰三角形的判定定理的推论推论1．(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠A ＝60°(或∠B ＝60°或∠C ＝60°)，∴AB ＝AC ＝BC ．(3)推论1的证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．又∵∠A ＝60°，∴∠B ＝∠C ＝＝60°01802A -∠∴AB ＝AC ＝BC ．(或∵∠B ＝60°，∴∠A ＝180°－2∠B ＝60°．∴AB ＝AC ＝BC ．或∵∠C ＝60°，∴∠A ＝180°－2∠C ＝60°．∴AB ＝AC ＝BC ．)√推论2．(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC 中，∵∠A ＝∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ＝BC ．(3)推论2的证明：在△ABC 中，∵∠A ＝∠B ，∴BC ＝AC (等角对等边)．又∵∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC (等角对等边)．∴AB ＝AC ＝BC ．(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；(3)根据推论2，证明三个角都相等．√推论3．(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。

，那么它所对的直角边等于斜边的一半．(2)用符号语言表示为：如图1－9所示，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴BC ＝AB ．21 (3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．知识点5 反证法先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：(1)假设命题不成立；(2)从假设出发推导出矛盾；(3)否定假设，从而肯定命题的结论．规律方法小结1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的．2．类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习．3．用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况．探究交流想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？解析 有，作等腰三角形ABC 的顶角平分线AD ，如图1－2所示.∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,)(),(21,)(公共边角平分线定义已知AD AD AC AB ∴△ABD ≌△ACD (SAS).∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等)课堂检测1、如图1－10所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝AC ，AE ＝AB ．求证BD ＝CE ．32322、如图1－12所示，已知点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．求证BD ＝CE ．3、如图1－13所示，已知∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD∥BC，求证△ABC是等腰三角形．4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题．学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，求其余两角．同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°．”王华同学说：“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……假如你也在课堂上，你的意见如何?为什么?5、已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在边BC上，如图1－17(1)所示，此时h3＝0，可得结论：h1+h2+h3＝h．请直接应用上述信息解决下列问题：点P在△ABC内，如图1－17(2)所示．点P在△ABC外，如图1－17(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立?若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系?请写出你的猜想，不需证明．体验中考1、已知等腰三角形ABC的周长为10．若设腰长为x，则x的取值范围是．2、如图1－20所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠1．求证AC＝DF(要求：写出证明过程中的重要依据)．2直角三角形知知识点1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c 2＝a 2+b 2(c 为斜边长)．√勾股定理的作用．(1)已知直角三角形的两边求第三边．(2)已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系．(3)用于证明平方关系的问题．(4)利用勾股定理作出长为的线段．n 勾股定理的各种表达形式．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边长分别为a ，b ，c ，则a 2＝c 2－b 2，b 2＝c 2－a 2，c 2＝a 2+b 2，c ＝，a ＝，b ＝．22b a +22b c -22a c -勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形．勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理．直角三角形的判定．(1)首先确定最大边(如c)．(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系．若c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形．勾股数．(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数．称为勾股数或勾股弦数．(2)勾股数必须是正整数．如3，4，5；5，12，13等．拓展应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角．知识点2 互逆命题与互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．拓展每个命题都有逆命题．原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题．原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题．那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．拓展每个命题都有逆命题．但不是所有的定理都有逆定理.知识点3 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．√定理的作用：判定两个直角三角形全等．√定理的证明：如图1－30所示，已知Rt △ABC ，Rt △A ′B ′C ′，∠C ＝∠C ′＝90°，AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，求证Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′．证明：∵在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∴BC ＝，B ′C ′＝.22AC AB -22C A B A ''-''∵AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，∴BC ＝B ′C ′． ∴Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′(SSS)．知识拓展 “HL”是直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角形不成立．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等．与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．课堂检测1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假．2、如图1－31所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝50，BC ＝30，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．3、在正方形ABCD 中，如图1－32所示，F 为DC 的中点，E 为1BC上一点，且EC＝BC，求证∠EFA＝90°．44、试判断三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n＞0)的三角形是否是直角三角形．5、如图1-38所示，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得∠MAD＝30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得∠MBD=45°，该货轮到达灯塔M的正东方向的D 处时，货轮与灯塔M的距离是多少?(精确到0．1海里，≈1．732)3体验中考1、如图1-41所示，在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，求AD的长度．2、如图1－45所示，在直角梯形ABC D中．A D∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC 于点G，交AB的延长线于点E，且A E＝AC．（1）求证B G＝FG；（2）若A D＝D C＝2，求AB的长．。