微积分试题(1)

微积分试题及答案微积分试题及答案第⼀章函数极限与连续⼀、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶⽆穷⼩。

4、01sin lim 0=→xx kx 成⽴的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是⾮零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价⽆穷⼩，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

⼆、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是⽐β⾼阶的⽆穷⼩；（Ｂ）α是⽐β低阶的⽆穷⼩；（C ）α与β是同阶⽆穷⼩；（D ）βα~。

微积分基础试题及答案1. 计算函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 的导数。

解答:使用导数的定义，对函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 进行求导。

f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h将函数表达式代入求导公式并化简：f'(x) = lim(h→0) [3(x + h)^2 - 2(x + h) + 5 - (3x^2 - 2x + 5)] / h = lim(h→0) [3(x^2 + 2xh + h^2) - 2x - 2h + 5 - 3x^2 + 2x - 5] / h = lim(h→0) [3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h + 5 - 3x^2 + 2x - 5] / h = lim(h→0) [6hx + 3h^2 - 2h] / h= lim(h→0) [h(6x + 3h - 2)] / h= lim(h→0) 6x + 3h - 2= 6x - 2因此，函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 的导数为 f'(x) = 6x - 2。

2. 计算函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数。

解答:使用链式法则来求解函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数。

令 u = 4x^3 + 2x，则 g(x) = sqrt(u)。

g'(x) = du/dx * (d(sqrt(u))/du)计算 du/dx：du/dx = d(4x^3)/dx + d(2x)/dx= 12x^2 + 2计算 d(sqrt(u))/du：d(sqrt(u))/du = 1 / (2 * sqrt(u))= 1 / (2 * sqrt(4x^3 + 2x))将 du/dx 和 d(sqrt(u))/du 代入链式法则公式：g'(x) = (12x^2 + 2) * (1 / (2 * sqrt(4x^3 + 2x)))= (12x^2 + 2) / (2 * sqrt(4x^3 + 2x))= (6x^2 + 1) / sqrt(4x^3 + 2x)因此，函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数为 g'(x) = (6x^2 + 1) / sqrt(4x^3 + 2x)。

《微积分》试题 第1页（共8页）微积分试题及参考答案与评分标准一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、函数21()arcsinln(1)3x f x x -=+-的定义域为 ； 2、2lim(1)x x x→∞-= ；3、若22(sin )cos ,f x x '=则()f x = ；4、设2sin(1)(),1x f x x -=-则x = 是()f x 的可去间断点; 5、若0(32)(3)1limh f h f h→--=,则(3)f '= ；6、1(arctan )x =d ；7、可导函数()f x 是偶函数，若(1)3,f '=则(1)f '-= ;8、函数()f x =[0, 3]上满足罗尔定理条件，结论中的=ξ ； 9、曲线C :2ln 1xy x =-的垂直渐近线是 ； 10、设某商品的需求函数是402Q p =-，则需求价格弹性15|p η== 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 处可导的（ ）．（A ）必要但非充分条件； （B ）充分但非必要条件；（C ）充分必要条件； （D ）无关条件．《微积分》试题 第2页（共8页）2、当0→x 时，2x 是x cos 1-的（ ）无穷小．（A ）等价； （B ）同阶但不等价； （C ）高阶； （D ）低阶．3、设函数1)(1+=xe xf ，则0=x 为)(x f 的间断点类型是（ ）． （A ）跳跃间断点； （B ）可去间断点； （C ）振荡间断点； （D ）无穷间断点.4、设()f x 的一个原函数是2x ，则2(1)xf x x -=⎰d （ ） （A ）222(1)x C -+； （B ）222(1)x C --+；（C ）221(1)2x C -+； （D ）221(1)2x C --+.5、函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（ ）． （A ）不连续； （B ）极限不存在；（C ）连续且可导； （D ）连续但不可导．三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）1、求极限+01lim(1)xx x→+.2、求极限11lim()1ln x x x x→--.《微积分》试题 第3页（共8页）3、设ln(x y e =，求,y y '''.4、求曲线C :2ln(1)y x =+的凹凸区间与拐点.5、求曲线C :1x y xy e ++=在0x =对应点处切线的方程.《微积分》试题 第4页（共8页）6、求函数2()1xf x x =+的单调区间和极值.7、求不定积分()112ln dx x x +⎰.8、求不定积分⎰.《微积分》试题 第5页（共8页）四、应用题（本大题共1小题，共8分）设某产品的总成本函数为：2()5,C x x =+需求函数为：120.5,x p =-其中x 为产量，p 为价格，求（1）收益最大时的产量和价格；（2）利润最大时的产量和价格。

微积分（一）_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设【图片】均为非负数列，且【图片】,则必有( )参考答案:极限不存在2.设函数【图片】，则【图片】在【图片】处的参考答案:左导数存在，右导数不存在3.设常数【图片】,函数【图片】在【图片】内零点个数为( )参考答案:24.设【图片】为【图片】内不恒为零的可导奇函数，则【图片】参考答案:一定是内的偶函数5.设【图片】,则使【图片】存在的最高阶数【图片】为( )参考答案:26.【图片】在【图片】连续，求常数a.参考答案:-27.当【图片】时，函数【图片】的极限（）参考答案:不存在但也不为8.设【图片】是奇函数，除【图片】外处处连续，【图片】是其第一类间断点，则【图片】是( )参考答案:连续的偶函数9.设【图片】 , 则在点【图片】处参考答案:取得极大值10.设【图片】,则在点【图片】处函数【图片】( )参考答案:不连续11.函数【图片】的图形，在参考答案:是凹的12.设函数【图片】, 其中【图片】是有界函数，则【图片】在【图片】处参考答案:可导13.设函数【图片】，则在【图片】处参考答案:当且仅当时才可微14.设【图片】在【图片】处连续，则下列命题错误的是（）。

参考答案:若存在，则存在15.若【图片】, 则方程【图片】参考答案:有唯一的实根16.设【图片】，则在【图片】处，有（）成立。

参考答案:在处连续,但不可导17.函数【图片】不可导点的个数是( )参考答案:218.设【图片】在闭区间【图片】连续，则下列选项错误的是（）。

参考答案:存在，使19.要使函数【图片】在【图片】处的导函数连续，则【图片】可取值\参考答案:320.当【图片】时，曲线【图片】( )参考答案:有且仅有水平渐近线21.曲线【图片】渐近线的条数为参考答案:322.设函数【图片】连续,且【图片】 ,则存在【图片】, 使得参考答案:对任意的, 有23.若函数【图片】有【图片】，则当【图片】时，该函数在【图片】处的微分【图片】是( )参考答案:与同阶的无穷小24.函数【图片】不可导点的个数为参考答案:225.设【图片】, 则参考答案:，但在处不连续26.设【图片】, 则【图片】是（）参考答案:偶函数27.设【图片】，则在【图片】处，【图片】（）。

微积分试题一一．单项选择题：(每小题2分，共20分)1．函数|)y x x =+的定义域是( )(A) [0)⋃; (B) (0,2] ;(C) [ (D) [-2,0)2．设111()1()xx e f x x x e x eϕ⎧<<⎪=⎨⎪≤<=⎩则()f x ϕ=⎡⎤⎣⎦( )(A) 1111x x e x e e⎧<<⎪⎨⎪≤<⎩ (B) 11001xx x e-<<⎧⎪⎨≤<⎪⎩ (C) 1001xx xx e⎧-<<⎪⎨≤<⎪⎩ (D) 1001x x x x e-<<⎧⎪⎨≤<⎪⎩3． 01sinlim1x xx→的结果是( )(A) 0 (B) 1 (C) ∞ (D)振荡无极限4．下列等式成立的是( ) (A) ()()df x d x f x =⎰(B) ()()df x d x f x d x =⎰(C)[]'()()f x d x f x d x =⎰ (D) '()()x d x F x F=⎰5．已知'2()xx f=,则d f d x =( )(A) -2(B) -(C) 2x x(D)6．若2032k xd x e=⎰,则K = ( )(A) 1 (B) 2 (C) lg 2 (D)1lg 227．级数1(21)nn nx ∞=+∑的收敛区间为( )(A) (-1,1) (B) [-1,1] (C) (0,1] (D) [-1,0) 8.设2()y xz f x y=,则( ) = z -(A) 2z z xyxy∂∂+∂∂ (B) 2z z xyxy∂∂+∂∂ (C) 2z z yxxy∂∂+∂∂ (D) 2z z yxxy∂∂+∂∂9．累次积分224(,)xI x f x y d y x-=⎰,其中(,)f x y 为连续函数.则 I = ( )(A)4(,)d y f x y d x ⎰⎰(B) 242(,)(,)d x f x y d y d y f x y d x +⎰⎰⎰(C) 22402(,)xx f x y d y x-⎰⎰(D)sin co s 0(co s ,sin )f r r rd r θθθθθ⎰⎰10．设()()x ax F x f t d t x a=-⎰，其中()f x 是连续函数，则lim ()x aF x →=（ ）(A) 0 (B) a (C) ()af x (D) 不存在二．填空题：(每小题2分，共10分)1． 函数()y f x =在0x 处极限存在，则在点0x 处------------连续，但在点0x 处连续，则在点0x 处极限----------------------。

微积分测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题3分，共21分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。

A 1sin x xB 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的（C ）。

A 连续点B 第一类非可去间断点C 可去间断点D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。

A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=，则常数a 等于（A ）。

A -1B 0C 1D 25、极限201lim cos 1x x e x →--等于（D ）。

A ∞B 2C 0D -2 6、设函数11()1x x f x e-=-则（D ）。

A x=0,x=1都是()f x 的第一类间断点.B x=0,x=1都是()f x 的第二类间断点C x=0是()f x 的第一类间断点，x=1是()f x )的第二类间断点.D x=0是()f x 的第二类间断点，x=1是()f x 的第一类间断点. . D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 0lim ()x f x →=∞，所以x=0为第二类间断点；1lim ()0x f x +→=，1lim ()1x f x -→=-，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). 【评注】 应特别注意：1lim 1x x x +→=+∞-，1lim 1x xx -→=-∞- 从而+∞=-→+11lim x xx e，.0lim 11=-→-x x x e7已知lim()9xx x a x a→∞+=-，则a =( C ).A.1；B.∞；C.ln 3；D.2ln3.二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x→∞-2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f4、 111lim[]1223(1)n n n →∞+++••+5、 若lim ()x f x π→存在，且sin ()2lim ()x xf xf x x ππ→=+-，则lim ()x f x π→三、解答题1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n→∞--- 解：原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++•••=•= 2、（6分）计算极限 30tan sin lim x x xx →-解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===3、（7分）计算极限 123lim()21x x x x +→∞++ 解：原式= 11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++=+•+=++ 4、（7分）计算极限1x e →-解：原式=201sin 12lim 2x x xx →=5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值解：因为1lim(1)0x x →-+=，所以 321lim(4)0x x ax x →---+=，因此 4a = 并将其代入原式321144(1)(1)(4)lim lim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++6、（8分）设3()32,()(1)nx x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x αβ解：32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x cα→=-+=-+-+=∴==- 此时，()()x x αβ7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin0()0x x f x xa xx ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。

微积分考试题库（附答案）85考试试卷（⼀）⼀、填空1．设c b a,,为单位向量，且满⾜0=++c b a ，则a c c b b a ?+?+?= 2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→=，xx e 1lim →=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ?dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．?>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b⼆、选择1．曲线==-0122z y x 绕x 轴旋转⼀周所得曲⾯⽅程为（）。

（A ）12222=+-z y x ；（B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ；（D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（）。

（A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'?dx x f x f x )]()([（）（A ）c x xf +)(；（B ）c x f x +')(；（C ）c x f x +'+)(；（D ）c x f x ++)( 4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上⾄少有⼀点ξ，使得（）（A ）0)(='ξf （B ）ab a f b f f --=')()()(ξ86（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=?)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1．求与两条直线??+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平⾏且过点（3，-2，1）的平⾯⽅程。

第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

85考试试卷（一）一、填空1．设c b a,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→=，xx e 1lim →=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ⎰dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b二、选择1．曲线⎩⎨⎧==-0122z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。

（A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（ ）。

（A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)(4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）ab a f b f f --=')()()(ξ86（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=⎰)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1． 求与两条直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。

物理微积分试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 微积分中，函数的导数表示的是：A. 函数在某一点的斜率B. 函数在某一点的面积C. 函数在某一点的体积D. 函数在某一点的切线方程答案：A2. 以下哪个选项是牛顿-莱布尼茨公式的表述？A. 微分和积分是互为逆运算B. 定积分的值等于原函数的差C. 微分是积分的逆运算D. 积分是微分的逆运算答案：B3. 在物理学中，下列哪个量不是标量？A. 速度B. 力C. 温度D. 压力答案：B4. 根据能量守恒定律，下列哪个说法是正确的？A. 能量可以在不同形式之间转换，但总量不变B. 能量可以在不同形式之间转换，总量会减少C. 能量可以在不同形式之间转换，总量会增加D. 能量不能在不同形式之间转换答案：A5. 以下哪个选项是正确的微分方程形式？A. \(\frac{dy}{dx} = y\)B. \(\frac{dy}{dx} = x\)C. \(\frac{dy}{dx} = y^2\)D. 以上都是答案：D6. 根据麦克斯韦方程组，电场和磁场之间的关系是：A. 电场产生磁场B. 磁场产生电场C. 电场和磁场相互独立D. 以上都不是答案：B7. 以下哪个是正确的物理定律？A. 牛顿第一定律B. 牛顿第二定律C. 牛顿第三定律D. 所有选项答案：D8. 在热力学中，下列哪个是正确的？A. 温度是热能的量度B. 热量是热能的量度C. 熵是系统无序度的量度D. 所有选项答案：D9. 根据量子力学，下列哪个是正确的？A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的行为遵循经典力学定律D. 粒子的行为遵循相对论定律答案：B10. 在电磁学中，下列哪个是正确的？A. 电场线是实际存在的物理实体B. 磁场线是实际存在的物理实体C. 电场线和磁场线都是虚拟的，用于描述场的分布D. 电场线和磁场线都是实际存在的物理实体答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 微积分中的导数定义为函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋向于零时的极限，即 \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)。

微积分基础试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2的导数是：A. 2xB. x^2C. 2x^2D. x答案：A2. 曲线y=e^x在x=0处的切线斜率是：A. 1B. eC. e^0D. 0答案：A3. 定积分∫(0 to 1) x dx的值是：A. 1/2B. 1/3C. 1D. 0答案：A4. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是：A. cos(x)B. sin(x) + CC. -cos(x) + CD. cos(x) + C答案：D5. 极限lim(x→0) (1/x)的值是：A. 0B. ∞C. -∞D. 不存在答案：D6. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点是：A. x=1B. x=2C. x=1或x=2D. x=0答案：C7. 曲线y=ln(x)在x=e处的切线方程是：A. y=x-1B. y=x+1C. y=1-xD. y=1+x答案：A8. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 曲线y=x^3-3x^2+2x的拐点是：A. x=0B. x=1C. x=2D. x=3答案：B10. 函数f(x)=x^2-4x+4的对称轴是：A. x=2B. x=-2C. x=0D. x=4答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的二阶导数是______。

答案：6x2. 定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx的值是______。

答案：13. 函数f(x)=x^2+3x+2的零点是______。

答案：-1和-24. 曲线y=x^2在x=1处的切线斜率是______。

答案：25. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。

答案：e^x + C6. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是______。

答案：07. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是______。

《微积分》测试题DE（附答案）【编号】ZSWD2023B0068一、单项选择题（每题5分，共15分） 1、设()f x 在0x 处可导，则 000()()limt f x t f x t t( C )A.0()f xB. 0()f xC. 02()f xD.以上都不对解： 00000000()()()()lim limt t f x t f x f x t f x f x t f x t t t000000000()()()()limlim 2t t f x t f x f x t f x f x f x f x t t2、下列结论成立的是（ C ）。

A. 若00()0,()0f x f x ，则0x 不是函数()f x 的极值点；B. 若0x 是函数()f x 的极值点，则必有0()0f x ；C. 若00()0,()0f x f x ，则0x 是函数()f x 的极小值点；D. 若函数()f x 在0x 不可导，则0x 是()f x 的极值点。

3、设函数3241x y x ，则函数曲线的渐近线的条数为（ C ）。

Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条解：32lim 41x x x ，无水平渐近线；3212lim 41x x x ，有两条铅垂渐近线12x ；321lim lim 441x x y x x x x ， 3224411lim lim 04441x x x x x y x x ，有一条斜渐近线14y x。

所以，答案选择C 。

二、填空题（每空5分，共15分）1、用微分近似计算公式计算 ln 1.02的近似值为（ 0.02 ）。

解：当x 很小时，有微分近似计算公式 ln 1x x ，所以ln 1.02ln 10.020.02 。

2、设函数sin 2y x ，则27y等于（ 272cos 2x ）。

解： sin 22cos 2y x x ， 22sin 2y y x ， 32cos 2y y x ，442sin 2y y x ，……， 27272cos 2y x 。

《微积分》上册 综合练习题2一、填空题（每小题2分，共20分）： 1.设11(1),()2-11x f f x xx x-==-则。

1111111(1),1,,(),()121111211-=-=====-+---+f t x f t f x x x x tt x t解由令 2．函数)12ln(2712arcsin )(2--+-=x x x x x f 的定义域区间 。

解 12(,1)(1,2]3．已知函数2()2=-f x x x 的单增区间是 （0，1） 。

解222'()0,1,(0,1)'()022-===∈>-x f x x x f x x x当时，，单增区间是（0，1）4．)1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点为=0x 0 ；补充定义=)(0x f -2时，则函数在0x 处连续。

2200111212lim lim 2,lim lim (1)(1)(1)(1)x x x x x x e x e xx x x x x x x x →→→→--==-==∞----解 5．若)(x f 在x = a 处可微，则[]hh a f h a f h )()(lim--+→＝ 。

[][])('2)()()()(lim )()(lim00a f hh a f a f a f h a f h h a f h a f h h =--+-+=--+→→解 6． 如果()(1)2)(3)(4)f x x x x x =----则方程()0f x '=有 3 个实根。

解 由罗尔定理可得。

7．曲线1222()arctan 2x x f x e x x =⋅--有 2 条渐近线。

解12220lim ()lim arctan 0,lim ()2→∞→∞→=⋅==∞--x x x x x f x e f x x x8．已知函数)(x f 任意阶可导，且2()[()]f x f x '=，则)(x f 的n （n ≥ 2）阶导数=)()(x f n 1![()]n n f x +。

微积分考试试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，那么 f'(1) 的值是多少？A. -1B. -4C. -3D. 0答案：C2. 给定曲线 y = 2e^x - x，求当 x = 0 时，曲线的切线方程为？A. y = 1 - xB. y = x - 1C. y = e - xD. y = x - e答案：A3. 对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1，在 [0,2] 区间上的定积分为？A. 12B. 10C. 14D. 16答案：C二、填空题1. 设函数 g(x) = 2x^3 - 6x + 5 的不定积分为 F(x)，那么 F(2) 的值为________。

答案：272. 设函数 h(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 5x - 2，那么 h'(x) 的导函数为_________。

答案：4x^3 - 6x^2 + 6x + 5三、解答题1. 计算函数f(x) = ∫[0,2] (3x^2 + 2x + 1) dx 的值。

解答步骤：首先对 f(x) 进行积分得到 F(x) = x^3 + x^2 + x + C。

然后将积分上下限代入 F(x)，得到 F(2) = 2^3 + 2^2 + 2 + C = 14 + C。

由于题目没有给定积分常数 C，所以无法具体计算 F(2) 的值。

2. 求函数g(x) = ∫[-1,1] (2x^3 - 6x + 5) dx 的值。

解答步骤：首先对 g(x) 进行积分得到 G(x) = x^4 - 3x^2 + 5x + C。

然后将积分上下限代入 G(x)，得到 G(1) - G(-1) = (1^4 - 3(1)^2 +5(1)) - ((-1)^4 - 3(-1)^2 + 5(-1))= (1 - 3 + 5) - (1 - 3 - 5) = 3 - (-7) = 10。

微积分试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 曲线 \( y = x^3 - 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. -1B. 1C. 3D. 53. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \)，则该积分的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{2}{3} \)D. 14. 函数 \( y = \ln(x) \) 的原函数是：A. \( x \)B. \( x^2 \)C. \( e^x \)D. \( x\ln(x) \)5. 已知 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x \)，当 \( x = 1 \) 时，\( y \) 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 36. 函数 \( y = \sin(x) \) 的二阶导数是：A. \( -\sin(x) \)B. \( -\cos(x) \)C. \( \cos(x) \)D. \( \sin(x) \)7. 若 \( \int x e^x dx \) 可以用换元积分法求解，设 \( u = x \) 则 \( du \) 是：A. \( e^x \)B. \( e^x dx \)C. \( x dx \)D. \( 1 \)8. 函数 \( y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) 的泰勒展开式在 \( x = 0 \) 处的前三项是：A. \( 1 + 3x + 3x^2 \)B. \( 1 + x + x^2 \)C. \( 1 + 3x + 9x^2 \)D. \( 1 + 3x + 3x^3 \)9. 函数 \( y = e^{2x} \) 的不定积分是：A. \( \frac{1}{2}e^{2x} \)B. \( e^{2x} \)C. \( 2e^{2x} \)D. \( 2x e^{2x} \)10. 若 \( \frac{dy}{dx} = y - 1 \)，且 \( y = 2 \) 当 \( x =0 \)，则 \( y \) 的通解是：A. \( y = x + 2 \)B. \( y = e^x + 1 \)C. \( y = e^x - 1 \)D. \( y = 1 - e^x \)二、填空题（每空2分，共20分）11. 若 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，则 \( f'(x) = \)__________。

微积分公式sin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β sin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ½(α+β) cos ½(α-β) sin α - sin β = 2 cos ½(α+β) sin ½(α-β)cos α + cos β = 2 cos ½(α+β) cos ½(α-β) cos α - cos β = -2 sin ½(α+β) sin ½(α-β) tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±e x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n + …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ½n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [½n (n +1)]2Γ(x) =⎰∞t x-1e -t d t = 2⎰∞t 2x-12t e -d t =⎰∞)1(ln tx-1 d t β(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1 d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x=⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希臘字母 (Greek Alphabets)大寫 小寫讀音 大寫 小寫讀音 大寫 小寫 讀音Α α alpha Ι ι iota Ρ ρrho Β β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda Τ τtau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilonΕ ε epsilon Ν ν nu Φ φphi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χkhi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψpsi Θθ thetaΠπ piΩω omega倒數關係: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1商數關係: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方關係: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ⎰ 順位高d 順位低 ;0*∞ =∞1 *∞ = ∞∞ = 0*01 = 00順位一: 對數; 反三角(反雙曲) 順位二: 多項函數; 冪函數1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十億1 000 000 106 mega M 百萬1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一0.01 10-2 centi c 厘（或寫作「厘」），百分之一0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百萬分之一0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十億分之一0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飛（或作「費」），千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（ ）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B（7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ． 答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）． A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e ()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ．B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx-+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设x y x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+（4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．x eC ．2xD ．x -3 答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

85考试试卷（一）一、填空1．设c b a,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→=，xx e 1lim →=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ⎰dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b二、选择1．曲线⎩⎨⎧==-0122z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。

（A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（ ）。

（A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)(4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）ab a f b f f --=')()()(ξ86（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=⎰)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1． 求与两条直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。