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2021学年高中数学3.3.1抛物线及其标准方程课件人教A版必修一.pptx

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人教A版高中数学选择性必修第一册3-3-1抛物线及其标准方程课件

人教A版高中数学选择性必修第一册3-3-1抛物线及其标准方程课件

(二)基本知能小试 1．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则点P的轨迹是
()
A．抛物线 B．线段
C．直线
解析：动点P的条件满足抛物线的定义．
答案：A
D．射线
2．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨 迹方程为________．
答案：y2＝8x
素养．
知识点一 抛物线的定义 (一)教材梳理填空 抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的 距离相等的点的轨迹叫
做抛物线． (2)焦点：定点F. (3)准线：定直线l.
[微思考] 在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛 物线吗？
提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于定直 线的一条直线，l不过定点F时，点的轨迹是抛物线．
解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，p＝2，准线方程为 x＝－p2＝－1. 答案：2 x＝－1
2．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5； (2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 解：(1)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准 线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标 准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. (2)对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
[解] 由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F12，0的距离比它到 y 轴的距离大12， 所以动点 M 到 F12，0的距离与它到直线 l：x＝－12的距离相等．由抛物线的定 义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为 y2＝2px(p>0)的形式，而p2＝12，所以 p＝1,2p＝2，故点 M 的轨迹方程为 y2＝ 2x(x≠0)．

人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程

人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程
第三章
3.3
3.3.1 抛物线及其标准方程
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
自主预习 新知导学
一、抛物线的定义
1.抛物线的定义
焦点
准线
我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线
点 F 叫做抛物线的焦点
直线 l 叫做抛物线的准线
当且仅当P为AB与抛物线的交点时,取等号.
故(|PA|+|PF|)min=|AB|=4+1=5.
此时yP=2,代入抛物线方程得xP=1,P(1,2).
将本例(2)点A坐标改为(3,4),点P到抛物线准线的距离为d,其他条件不变,
则|PA|+d的最小值为
.
解析:由题意可知点(3,4)在抛物线的外部,d=|PF|.
2
心M的轨迹方程是y2=12x.
本 课 结 束
2
+ (2-0) =
17
.
2
(2)若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为
10,求抛物线方程和点M的坐标.
解:由抛物线定义,焦点为 F
准线为

x=2 ,由题意设

- 2 ,0
,
M 到准线的距离为|MN|,

则|MN|=|MF|=10,即2 -(-9)=10,
解得p=2.
A.2
C.2 3
2x的焦点,P为C上一
)
B.2 2
D.4
解析:由题意知抛物线的焦点 F( 2,0),
由抛物线的定义知|PF|=xP+ 2,

新教材人教a版选择性必修第一册331抛物线及其标准方程课件

新教材人教a版选择性必修第一册331抛物线及其标准方程课件

谢 谢！
综上所述,满足题意的抛物线的标准方程为y2=- x或x 2=-8y.
(-4,-2)
反思感悟
求抛物线的标准方程一般有两种形式：
（1）定义法，直接利用定义求解．
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
形式简单？
l
y
设︱KF︱= p (p>0)
设点M的坐标为（x，y），
M
H

由定义可知，
P
p
( x )2 y 2 x
2
2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
K
O
F
x
l
y
新知讲解 抛物线的标准方程
M
H
K
其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离(焦准距).
O
F
x
抛物线标准方程的其他形式
典例剖析
例2
一种卫星接收天线的轴截面如图所示．卫星波束呈近似平行状态射
入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口
径为，深度为1m，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
解：如图，在接收天线的轴截面所在的平面内建立直角坐标系，使接收天线
的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.则 A (1, 2.4)．
2
即时巩固
×
×
×
×
上
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.

抛物线及其标准方程(共32张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册

抛物线及其标准方程(共32张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
(1)椭圆的离心率范围为0<e<1 ;(2) 双曲线的离心率的范围是e>1 ;(3)当e=1 时，它的轨迹是什么? 抛物线我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、 双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线.
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①

数学人教A版选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程课件(2)

数学人教A版选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程课件(2)
p
p
p
x

x
y
准线方程
2
2
2
四个方程有何特点？
➢ 左边是二次项,且系数为1
➢ 右边是一次式; 决定了焦点的位置和开口方向
标准方程
2
2
2
x2 2 py，p 0
p
F (0， )
2
p
y
2
（1）一次项变量为()，则焦点在()轴；
(2)一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.
F
x
= >
两抛物线关
于轴对称
思考2：顶点在原点，焦点在坐标轴上，开口向上的抛物线的标准方程
是什么？
y
M( , )
( , )
O
= >
F
x
= >
两抛物线
关于直线
= 对称
思考3：顶点在原点，焦点在坐标轴上，开口向下的抛物线的标准方程
3.3.1抛物线及其标准方程
新课导入
yx
2
L
y x
2
经过前边内容的学习，我们知道椭圆与双曲线有一个统一的定义
问题1 椭圆与双曲线的第二定义是什么？
动点到一个定点 和一条定直线的距离之比
为常数 ()

=
N

第二定义
d
当 < < 时,动点的轨迹是椭圆
当 > 时，动点的轨迹是双曲线
温故知新
问题：二次函数 = ( ≠ )的图象是抛物线吗？如果是，请写出
它的焦点坐标、准线方程.

= ( ≠0)
化成标准形式
抛物线的标准形式为 = ± >

数学人教A版选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程课件

数学人教A版选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程课件

(B)(0, 4)
(C )( 1 , 0) 64
(D) (0, 1 ) 64
2.平面上到定点 A(1,1) 和到定直线
l : x 2 y 3 距离相等的点的轨迹为(A )
(A)直线
(B)抛物线
(C)双曲线 (D)椭圆
例题讲评
例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近 似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦 点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。 建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
y
A
. o
Fx
B
例题讲评
解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，
使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
设抛物线的标准方程是y2 2 px( p 0) ，由已知条件
可得，点A的坐标是(0.5, 2.4) ，代入方程，得
即 p 5.76
2.42 2 p 0.5
所以，所求抛物线的标准方程是 y2 11.52x ，焦点的坐标是(2.88, 0)
一、现实情境
l
汲
l 文
化 精 粹
∟
M p
育
F
时 代
新
人
学校举行了主题为“汲文化精粹，育时代新人”的文化节，进行现 场直播时要求摄像设备能同时覆盖舞台和观众席。经过测算，只 要使摄像机到舞台的中心和观众席的第一排距离相等即可。你知 道摄像机应该按照怎样的路线运动吗？
3.3.1 抛物线及其标准方程（一）
学习新知
球在空中运动的轨迹是抛物线规律,那么抛物线它有怎样的几何 特征呢? 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 又到底是一条怎样的抛物线?

数学人教A版选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程课件

3
9
4
2
为x y或y x
2
3
2
例题分析
【例4】(1)抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标为____.
(2)抛物线y2=2px（p>0)上一点M到焦点的距离是a（a>p/2),
则M到准线的距离是___,M的横坐标是___.
针对练习
y
例 5 若一动圆过点 P（0，2）且与直线 y 2 0 相切， P
··
M
F
e=1
基础知识
1、定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过
点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
l
H
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l叫做抛物线的准线。
| MF |
即：若
1, 则点M的轨迹是抛物线。
| MH |
M
·
·
F
基础知识
2、抛物线的标准方程
（1）建系 如图，以直线l的垂线KF为x轴，
2
的最小值是________.
课堂小结
1、定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点
的轨迹叫做抛物线。
（ p 0, p为焦准距）
2、标准方程与图形：
l
图形
方程
焦点
准线
y
O F
y2=2px
p
F ( ,0 )
2
p
x =2
y
x
F
y
l
O
y2=-2px
p
F(- ,0)
2
p
x=
2
x
O
y
F
l
l
x2=2py

数学人教A版选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程


(x p)2 y2 | x p |
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
新知总结 二、探究抛物线标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常 数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是:焦点到准线的距离
焦点坐标是 ( p , 0) , 2
准线方程为:
解：由
x2
1 6
y 知：2 p
1 ， 6
p
1 12
P132思考：二次此函抛数物线y的焦a点x坐2 (标a是(0，0214))，的准图线像方为程什是么y 是抛214物. 线？
y ax2 (a 0) x2 1 y a
1 2 p a
当a>0时与当a<0时，结论都为：
焦点（0，1 )准线y=- 1
l
准线
e=1
d 为 M 到 l 的距离
即:若 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. d
二、探究抛物线标准方程
完成P130思考:比较椭圆,双曲线 标准方程的建立,你认为如何建立 直角坐标系,可能使抛物线的方程 情势简单？
l
·M
N
·F
回顾求曲线方程一般步骤：
1.建:建立直角坐标系.
4. 代:代入坐标与数据;
A
o .F x
B
例题讲评
解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系， 使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
设抛物线的标准方程是y2 2 px( p 0) ，由已知条件
可得，点A的坐标是 （1，2.4），代入方程，得2.42 2 p 0.5
即 p 5.76
所以，所求抛物线的标准方程是 y2 11.52x ，焦点的坐标是(2.88, 0)

高中数学人教A版() 选择性必修1第三章3.3.1《抛物线及其标准方程》课件（）


2
2
·· ┑ p
K O F ( p ,0)
x
(x p )2 y2 | x p |
2
2
2 x2 px p2 y2 x2 px p2
4
4
l
x
p
2
y2 2 px, ( p 0)
三、抛物线的标准方程
y
y2 = 2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程。l
其中p为正常数。
OF x
其中焦点F( p , 0),准线方程为x p ,开口向右
抛物线及其标准方程
1、掌握抛物线的定义及其标准方程； 2、进一步熟悉坐标法，能根据已知 条件用坐标法求抛物线的方程； 3、会根据条件确定抛物线的标准方程及 焦点坐标，准线方程，画抛物线的草图。
复习回顾
我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征： 都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线 的距离的比是常数k的点的轨迹.
交线为抛物线。在轴截面内的卫星波束呈近似平行 状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦 点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m, 建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐 标.
●解：在接收天线的轴截面所在平面内
●建立直角坐标系，使接收天线的顶点
ห้องสมุดไป่ตู้
●与原点重合，焦点在x轴y上2=2px(p＞0) ●设抛物线的标准方程为
(2)已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。
解:(1)因为p=3,抛物线的焦点在x轴正半轴 上，所以焦点坐标是(3/2,0),准线方程是x=-3/2.
（2）因为抛物线的焦点在y轴负半轴上， 且p=4,所以抛物线的标准方程是x2=-8y
例2 一种卫星接受天线如图所示，其曲面与轴截面的

数学人教A版选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程课件(1)


y 2 2 px ( p 0)
问题5：抛物线的四种标准方程情势上有
什么共同特点?
左边都是平方项，
右边都是一次项.
问题6：如何根据抛物线的标准方程来判
断抛物线的焦点位置及开口方向？
x 2 2 py( p 0)
①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.
x 2 2 py( p 0)
②一次项系数的符号决定了抛物线的开
2.设点
则焦点F的坐标为（p/2,0),准线的方程为 =

−

由抛物线的定义，抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}
3.列式
4.化简
所以
−

+

=
+

2
两边平方,整理得 y2=2px(p>0)
其中p为正常数，它的几何意义是: 焦点到准线的距离．
探究点3 抛物线的标准方程不同情势
新课知识
p
x
2
y 2 2 px ( p 0)
p
F ( ,0)
2
p
x
2
x 2 2 py( p 0)
p
F (0, )
2
p
y
2
x 2 2 py( p 0)
p
F (0, )
2
y
2
p
2
新课知识
图形
四种抛物线及其它们的标准方程
标准方程
y 2 2 px( p 0)
新课知识
探究点1 抛物线的定义
在平面内,与一个定点F和一条定直线
l(l不经过点F) 距离相等(|MF|=|MH|)的点的
轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的焦点,
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答案：C
解析：设抛物线的标准方程为
y2
2 px(
p
0)
，则焦点
F
p 2
，0
.设
A
y02 2p
，y0
.由
AB
BF
，
得
y0 2 y02
2 p
1 .化简，得 8 y0
2
y02
，解得
y0
4 .由 |
AF
| 5 ，得
y02 2p
p 2
5，
2p 2
∴ 16 p 5 ，∴ p2 10 p 16 0 ，解得 p 2 或 p 8 ，∴抛物线的标准方程为 y2 4x 或 2p 2
p 2
，0
x p 2
程
的 不
x2 2 py( p 0)
0
，p 2
y p 2
同
形 式
x2 2 py( p 0)
0，Leabharlann p 2y p 21.准线方程为 x 1的抛物线的标准方程是( )
A. y2 2x
B. y2 4x
C. y2 2x
D. y2 4x
答案：B 解析： p 1 ，∴ p 2 ，且抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的负半轴上，故可设抛物线的
y2 16x .故选 C.
6.抛物线 x 1 y2 的焦点坐标是_________. 4m
答案： (m，0) 解析：将方程改写成 y2 4mx ，得 2 p 4m ，∴ p 2m ，即焦点坐标为 (m，0) .
7.已知点 M 2，4 在抛物线 C : y2 2 px p 0 上，点 M 到抛物线 C 的
的坐标为
p 2
，0
，准线
l
的方程
为x p. 2
设 M (x，y)是抛物线上任意一点，点 M 到准线 l 的距离
为 d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合 P {M |MF| d }.
因 为 |MF|
x
p 2
2
y2
， d |x p| ， 所 以 2
x
p 2 2
y2
x
p 2
.将上式两边平方并化简，得
第三章 圆锥曲线的方程
3.3.1抛物线及其标准方程
学习目标
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合思想.
我们把平面内与一个定点 F 和一条定直 线 l（l 不经过点 F）的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程， 你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的 方程形式简单？
根据抛物线的几何特征，如图，
我们取经过点 F 且垂直于直线 l 的直
线为 x 轴，垂足为 K，并使原点与线
段 KF 的中点重合，建立平面直角坐
标系 Oxy. 设| KF | p( p 0)，那么焦
点
F
焦点的距离是
.
答案：4
解析：由点 M 2，4 在抛物线 C : y2 2 px p 0 上，可得16 4 p ，p 4 ，抛物线 C : y2 8x ，
焦点坐标 F 2，0 ，准线方程为 x 2 ，点 M 到抛物线 C 的准线方程的距离为 4.
8.根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)焦点在 y 轴上，且准线与直线 y 1 的距离为 3； (2)焦点在直线 x 2y 4 0 上.
解析：(1)由题意，方程可设为 x2 my .其准线方程为 y m ， 4
∴ |1 m | 3，解得 m 8 或 m 16， 4
故所求抛物线的标准方程为 x2 8y 或 x2 16 y . (2)令 x 0 ，则 y 2 ；令 y 0 ，则 x 4 ，∴抛物线的焦点为 (4,0) 或 (0, 2) . 当焦点为 (4,0) 时，抛物线方程为 y2 16x ；当焦点为 (0, 2) 时，抛物线方程为 x2 8y .
2 标准方程为 y2 2 px ，将 p 代入可得 y2 4x .
2.抛物线 y 1 x2 的焦点坐标是( ) 2
A． 0，1
B．
0，1 2
C．
0，1 4
D．
0
，1 8
答案：B
解析：∵抛物线 y 1 x2 ，即 x2 2 y 中， p 1 ， p 1 ，焦点在 y 轴上，开口向上，
5.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，抛物线上一点 A 满足 AF 5 ，
且点 A 与点 B(0，2) 的连线与直线 BF 垂直，则抛物线的标准方程可以是( )
① y2 4x ；② y2 8x ；③ y2 12x ；④ y2 16x .
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
2
22
∴焦点坐标为
0
，1 2
，故选
B.
3.若抛物线 y ax2 的焦点坐标是 0，1 ，则 a ( )
A. 1
B. 1
C. 2
2
D. 1 4
答案：D
解析：抛物线 y ax2 的标准方程为 x2 1 y ， a
∵抛物线 y ax2 的焦点坐标为 0，1 ，∴ 1 1，∴ a 1 .故选 D.
4a
4
4.若抛物线 y2 2 px p 0 的焦点是椭圆 x2 y2 1 的一个焦点，则 p ( )
3p p
A．2
B．3
C．4
D．8
答案：D
解析：∵抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 ( p ，0) 是椭圆 x2 y2 1 的一个焦点，
2
3p p
∴ 3p p ( p )2 ，解得 p 8 ，故选 D． 2
y2
2 px(
p
0)
叫做抛物线的标准方程.它表示焦点在
x
轴正半轴上，焦点是
F
p 2
，0
，
准线是 x p 的抛物线. 2
讨论
抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
抛
图形
标准方程
交点坐标
准线方程
物 线
y2 2 px( p 0)
p 2
，0
x p 2
的
标
准 方
y2 2 px( p 0)
∴所求抛物线的标准方程为 y2 16x 或 x2 8y .
9.若抛物线 y2 2 px p 0 上有一点 M，其横坐标为 9 ，它到焦点的
距离为 10，求抛物线方程和点 M 的坐标.
解析：由抛物线定义，焦点为
F
p 2
,
0
，则准线为
y2 2 px( p 0) .
从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标 (x，y) 都是方程 y2 2 px( p 0) 的
解，以
y2
2 px(
p
0)
的解为坐标的点
(x，y)
与抛物线的焦点
F
p 2
，0
的距离和它到准
线 x p 的距离相等，即以 y2 2 px( p 0) 的解为坐标的点都在抛物线上.我们把 2