三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

三角形的“四心”之青柳念文创作所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及心坎.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.ABC ∆的重心一般用字母O 暗示.性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O为ABC ∆的外心.二、三角形的心坎定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的心坎，即内切圆圆心.ABC ∆的心坎一般用字母I 暗示，它具有如下性质：性 质：1.心坎到三角形三边等距，且顶点与心坎的连线平分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP +=λ，则动点P的轨迹过ABC ∆的心坎.三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 暗示.性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，知足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心.四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 暗示.性 质：G 的连线必平分对边.2.重心定理：三角形重心与顶点的间隔等于它与对边中点的间隔的2倍.即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3CB A GC B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ； （2）)(31PC PB PA PG ++=.。

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是(((=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；范 例(一例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(ACAB++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心A CB1e 2e P解析：因为AB是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心AB(x 1C(x 2,yx H Q G D EF解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用AB uuu uuu uuur解析：因为AB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为HPGABC 的重心OAOB OC0；ABC 的重心, UT i 3则SU UIL (PABOCAOCAOBABC 的垂心 OAU ULT PBPCur)i-- S AB C--- " ■ - ------- ' i 3故 OA OB OC 0；ABC 的重心.OB OB 0C 0C 0A ；ABC （非直角三角形）的垂心，则SBOC - AOC -S AOB tan A : tan B : tan C故tan AOA tan BOB tan COC 03. O 是 ABC 的外心 |OA | |OB| |OC|(或OA OB------ 2OC )若 O 是 ABC 的外心则 S BOC :S AOC :S AOB sin BOC :sin AOC :sin AOBsin2A : sin2B : sin2C故 sin2AOA sin 2BOB sin 2COC 0矿（旦竺）阪（旦仝）4. O 是内心ABC 的充要条件是|AB | AC |BA | |BC |CB ) 0 I CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记 AB,BC,CA 的单位向量为e i ，e 2，e 3 , 则刚才0是ABC 内心的充要条件可以写成 OA (e 1 e 3) OB (e 1 e 2) OC (e 2 e 3)ABC 内心的充要条件也可以是aOAbOB cOC 0。

若O 是ABC 的内心，则BOC -SAOC:SAOBa: b : c故 aOA bOB cOC 0或 sinAOAsin BOB sinCOC 0；uiur uuu uuu uur uuu uur r| AB | PC | BC | PA | CA | PB 0P 是 uuu uuur向量（-AB m ）（ 0）所在直线过|AB| |AC|分线所在直线）；（一）将平面向量与三角形内心结合考查ABC 的内心；ABC 的内心（是 BAC 的角平OP OA(A ) .O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，(AB AC ) (AB AC )，0, 则P 点的轨迹一定通过 ABC 的（ ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心动点P 满足COP OA AP ，则原式可化为 AP （e e 2），由菱形的基本性质知 AP 平分 BAC ，那么在 ABC 中，AP平分 BAC ，则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”同理HC AB ，HA BC .故H 是厶ABC 的垂心.（反之亦然（证略）） 例3.（湖南）P 是厶ABC 所在平面上一点，若 PA PBA. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心则PB CA,同理PA BC,PC AB 所以P 为 ABC 的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例4. 6是厶ABC 所在平面内一点，GA GB GC =0 点6是厶ABC 的重心.证明 作图如右，图中GB GC GE连结BE 和CE 则CE=GB BE=GC BGC 助平行四边形 D 是BC 的中点, 线• 将 GB GC GE 代入 GA GB GC =0，得GA EG =0 GA GE 2GD ，故6是厶ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5.P 是厶ABC 所在平面内任一点.G 是厶ABC 的重心PG 1 （P A PB PC ）.3证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)•/ G 是厶 ABC 的重心 .I GA GB GC =0 AG BG CG =0，即卩 3PG PA PB PC 由此可得PG 1(PA PB PC).(反之亦然(证略))3例6若0为ABC 内一点， uuu OA uuu uur rOB OC 0，则 0 是 ABC 的()A.内心B . 外心C .垂心D .重心uuu uuu LULT r uuu uuuruuu解析：由OA OB OC 0 得 OB OC OA ，如图以 OB OC 为相邻两边构作平行四边形，则解析：由PA PBPB PC 得 PA PBPB PC0.即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0例2.H 是厶ABC 所在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA点H 是厶ABC 的垂心.由 HA HB HB HCPP■!HB (HC HA) 0HB AC 0HBAC ,PB PC PC PA ，贝U P 是厶 ABC ^( D )AD 为BC 边上的中OP 1 +OP 2 +OP 3 =0 且 | OP 1 | = | OP 2 | = | OP 3 | 点 O 是正△ P 1P 2P 3 的中心.例9.在△ ABC 中，已知Q G H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(OC |BC ||BA |(OB AC|AB |(OA =⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2．O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3．O是的外心(或)若O是的外心则故4．O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成，O是内心的充要条件也可以是。

若O是的内心，则故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；xx 例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））例3.(xx)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D ）A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由.即则所以P为的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略））例6 若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。

(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。

三角形的“四心”之答禄夫天创作创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 暗示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。

二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 暗示，它具有如下性质： 性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AC AB AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。

三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 暗示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心。

结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 暗示。

性 质：G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是(OC (OB (OA =⋅=⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将=+代入++=0，得+=0⇒2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质三角形是几何学中的基础概念之一，具有丰富的性质和特点。

其中，重心、外心、垂心和内心是三角形重要的特殊点，它们在三角形的研究和计算中起着重要的作用。

本文将介绍三角形重心、外心、垂心和内心的向量表示及其性质。

一、三角形重心的向量表示及性质重心是三角形三条中线的交点，记为G。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形重心G的向量表示为：G = (a + b + c)/3重心G的性质如下：1. 重心到三角形各顶点的向量和为0向量，即AG + BG + CG = 0。

2. 重心将中线分成2:1的比例，即AG : GM = 2:1，BG : GN = 2:1，CG : GP = 2:1，其中M、N、P分别为中线BC、AC、AB的中点。

3. 重心是三角形内切圆和外接圆的同一个圆心。

二、三角形外心的向量表示及性质外心是三角形三条垂直平分线的交点，记为O。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形外心O的向量表示为：O = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的垂直平分线的向量。

外心O的性质如下：1. 外心到三角形各顶点的距离相等，即OA = OB = OC。

2. 外心是三角形外接圆的圆心，且外接圆的半径为OA、OB、OC中的一个。

三、三角形垂心的向量表示及性质垂心是三角形三条高线的交点，记为H。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形垂心H的向量表示为：H = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的高线的向量。

垂心H的性质如下：1. 垂心到三角形各顶点的距离相等，即HA = HB = HC。

2. 垂心是三角形内接圆的圆心，且内接圆的半径为HA、HB、HC中的一个。

四、三角形内心的向量表示及性质内心是三角形三条角平分线的交点，记为I。